专题：一元二次方程的5种解法
方法1 形如x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解
1.用直接开平方法解下列方程:
(1)9x2=25; (2)x2-√=0; (3)(2t-1)2=9;
(4)(x-3)2-9=0. (5)2(x－1)2－18＝0.
用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤：
(1)看：看是否符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式；
(2)化：对于不符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式；
(3)求：应用平方根的意义，将一元二次方程化为两个一元一次方程求解.
方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解 2.用配方法解下列方程：
(1)x 2-10x+9=0; (2)x 2+2x=2; (3)2x 2-4x+1=0.
3. 用配方法解下列方程：
(1)3x 2
＋6x －5＝0; (2)12
x 2
－6x －7＝0； (3)2x 2＋7x －4＝0.
用配方法解一元二次方程的“五步法”
(1)移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项. (2)化1：当方程的二次项系数不为1时，在方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.
(3)配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x ＋n)2＝p 的形式.
(4)开方：若p ≥0，则两边直接开平方得到一元一次方程；若p ＜0，则原方程无解.
(5)求解：解所得到的一元一次方程，求出原方程的解.
方法3 易化成一般形式（二次项系数不为1）时，用公式法求解4.用公式法解方程:
(1)x2+3x+1=0; (2)2x2-5x-7=0;
(3)(x+1)(x-1)+2(x+3)=8; (4)y2-2√2y+2=0；
(5)(x＋1)(2x－6)＝1； (6)x2＋5x＋18＝3(x＋4)．
用公式法解一元二次方程的四个步骤
(1)化：若方程不是一般形式，先把一元二次方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
(2)定：确定a，b，c的值.
(3)算：计算b2－4ac的值.
(4)求：若b2－4ac≥0，则利用求根公式求出方程的根；若b2－4ac ＜0，则原方程没有实数根.
方法4 能化成形如（x+a）（x+b）=0时，用因式分解法求解
5．用因式分解法解下列方程：
(1)x2－9＝0； (2)x2＋2x＝0；
(3)x2－53x＝0； (4)5x2＋20x＋20＝0；
(5)(2＋x)2－9＝0； (6)3x(x－2)＝2(x－2)．
(7)(3x＋2)2－4x2＝0； (8)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；
用因式分解法解一元二次方程的“四步法”
（“右化零，左分解，两因式，各求解”）
6.有三个方程:①(2x-1)2=5;②x2-x-1=0;③x(x-√3)=√3-x.解这三个方程时适合的解法依次是( )
A.因式分解法、公式法、因式分解法
B.直接开平方法、配方法、公式法
C.直接开平方法、公式法、因式分解法
D.公式法、配方法、公式法
7.用适当的方法解下列方程:
(1)(x-1)2=3; (2)x2+2x-2=0;
(3)(x-5)2=2(x-5)-1; (4)x(3x-2)=3x-2.
方法5 用换元法解方程
8.【阅读材料】
解方程：x4－3x2＋2＝0.
解：设x2＝m，则原方程变为m2－3m＋2＝0，
解得m1＝1，m2＝2.
当m＝1时，x2＝1，解得x＝±1.
当m＝2时，x2＝2，解得x＝± 2.
所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－ 2.
以上方法就叫做换元法，通过换元达到了降次的目的，体现了转化的思想．
【问题解决】
利用上述方法解方程(x2－2x)2－5x2＋10x＋6＝0.
参考答案：
1.解:(1)方程两边同时除以9得,x 2=25
9,
根据平方根的意义得,x=±5
3
.
(2)移项得,x 2=√256=16, 根据平方根的意义得,x=±4. (3)根据平方根的意义得,2t-1=±3, 移项得,2t=4或2t=-2, 系数化为1得,t=2或t=-1. (4)移项得,(x-3)2=9,
根据平方根的意义得,x-3=±3, 移项得,x=0或x=6. (5)∵2(x －1)2－18＝0，
∴(x －1)2＝9，∴x －1＝±3，∴x 1＝4，x 2＝－2. 2.解:(1)移项,得x 2-10x=-9.
配方,得x 2-10x+25=-9+25,(x-5)2=16.开方,得x-5=4,或x-5=-4.
∴x 1=9,x 2=1.
(2)配方,得x 2+2x+1=2+1,(x+1)2=3.∴x+1=±√3.
∴x 1=√3-1,x 2=-√3-1.
(3)将方程两边同时除以2,得x 2-2x+1
2
=0,即x 2-2x=-1
2
.
配方,得x 2-2x+12
=-1
2
+12, (x-1)2
=1
2
.
∴x=1±√22.即x 1=1+√22,x 2=1-√2
2.
3.(1)原方程变形为3x 2＋6x ＝5，∴x 2＋2x ＝5
3
，
∴x 2
＋2x ＋1＝83，∴(x ＋1)2
＝83，∴x ＋1＝±263
，
∴x 1＝－1＋
263，x 2＝－1－263
. (2)原方程变形为12x 2
－6x ＝7，∴x 2－12x ＝14，
∴x 2－12x ＋36＝50，∴(x －6)2＝50，∴x －6＝±52， ∴x 1＝6＋52，x 2＝6－5 2.
（3）(x ＋74)2＝8116，∴x 1＝1
2
，x 2＝－4.
4.解:(1)∵a=1,b=3,c=1,∴Δ=b 2-4ac=9-4×1×1=5>0,∴x=
-3±√52
.
∴x 1=
-3+√52
,x 2=
-3-√52
.
(2)∵a=2,b=-5,c=-7,∴b 2-4ac=81,
∴x=
5±√814,∴x 1=-1,x 2=72
. (3)原方程可化为x 2+2x-3=0. ∵a=1,b=2,c=-3,∴b 2-4ac=16.
∴x=
-2±√16
2
,∴x 1=1,x 2=-3.
(4)∵这里a=1,b=-2√2,c=2,∴b 2-4ac=(-2√2)2-4×1×2=0,
∴y=
2√2±02
,∴y 1=y 2=√.
(5)整理得2x 2－4x －7＝0，∵a ＝2，b ＝－4，c ＝－7， ∴Δ＝b 2－4ac ＝(－4)2－4×2×(－7)＝72，
∴x ＝4±722×2＝2±322，∴x 1＝2＋322，x 2＝2－322
.
(6)整理得x 2＋2x ＋6＝0，∵a ＝1，b ＝2，c ＝6，∴Δ＝b 2－4ac ＝22－4×1×6＝－20＜0，∴原方程无实数根． 5.（1）解：(x ＋3)(x －3)＝0，
∴x 1＝－3，x 2＝3. （2）解：x(x ＋2)＝0， ∴x 1＝0，x 2＝－2. （3）解：x(x －53)＝0， ∴x 1＝0，x 2＝5 3. （4）解：(x ＋2)2＝0， ∴x 1＝x 2＝－2.
（5）解：(x ＋5)(x －1)＝0， ∴x 1＝－5，x 2＝1.
（6）解：原方程变形为3x(x －2)－2(x －2)＝0， 即(3x －2)(x －2)＝0， ∴x 1＝2
3
，x 2＝2.
（7）解：(3x ＋2＋2x)(3x ＋2－2x)＝0， 解得x 1＝－2
5
，x 2＝－2.
（8）解：原方程可化为[2(x －3)]2－[5(x －2)]2＝0， 即(2x －6)2－(5x －10)2＝0.
∴(2x －6＋5x －10)(2x －6－5x ＋10)＝0， 即(7x －16)(－3x ＋4)＝0. ∴x 1＝167，x 2＝43.
6.C
7.解:(1)∵x-1=±√3,∴x 1=√3+1,x 2=-√3+1.
(2)∵x2+2x+1=3,∴(x+1)2=3,
∴x1=√3-1,x2=-√3-1.
(3)∵(x-5)2-2(x-5)+1=0,
∴[(x-5)-1]2=0,∴x1=x2=6.
(4)∵x(3x-2)-(3x-2)=0,
∴(3x-2)(x-1)=0,
.
∴x-1=0或3x-2=0,∴x1=1,x2=2
3
8.解：(x2－2x)2－5x2＋10x＋6＝0，
整理，得(x2－2x)2－5(x2－2x)＋6＝0.
设x2－2x＝m，则原方程变为m2－5m＋6＝0，
解得m1＝3，m2＝2.
当m＝3时，x2－2x＝3，解得x＝3或x＝－1；
当m＝2时，x2－2x＝2，解得x＝1± 3.
所以原方程的解为x1＝3，x2＝－1，x3＝1＋3，x4＝1－ 3.
. . . 一元二次方程测试题 考试范围：一元二次方程；考试时间：120分钟；命题人：瀚博教育 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1．方程x（x﹣2）=3x的解为（） A．x=5 B．x1=0，x2=5 C．x1=2，x2=0 D．x1=0，x2=﹣5 2．下列方程是一元二次方程的是（） A．ax2+bx+c=0 B．3x2﹣2x=3（x2﹣2）C．x3﹣2x﹣4=0 D．（x﹣ 1）2+1=0 3．关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（） A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．3 4．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，则下列方程中正确的是（） A．12（1+x）=17 B．17（1﹣x）=12 C．12（1+x）2=17 D．12+12（1+x）+12（1+x）2=17 5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（） A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟 6．某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的长为x 米，可列方程为（） A．x（x+12）=210 B．x（x﹣12）=210 C．2x+2（x+12）=210 D．2x+2（x﹣12）=210 7．一元二次方程x2+bx﹣2=0中，若b＜0，则这个方程根的情况是（） A ．有两个正根B．有一正根一负根且正根的绝对值大 C．有两个负根D．有一正根一负根且负根的绝对值大 8．x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k的值为（） A．﹣1 B．或﹣1 C．D．﹣或1 9．一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（） A．有两个正根B．有两个负根 C．有一正根一负根且正根绝对值大D．有一正根一负根且负根绝对值大 10．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a﹣c≠0，以下列四个结论中，错误的是（） A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根 B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1 11．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（） A．7 B．11 C．12 D．16
一元二次方程专题复习 一、知识结构： 一元二次方程?? ???*?韦达定理根的判别解与解法 二、考点精析 考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax ⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 针对练习： ★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程， ⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。 ★★3、若方程()112=?+ -x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范 围是 。 ★★★4、若方程2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） 2 21 C21 1 考点二、方程的解 ⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根， 则m 的值为 。 针对练习： ★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 ★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程 311=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。
一元二次方程解法练习题 一、用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812 =-x 二、 用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 3 、9642=-x x 三、 用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、223 14y y -= 3、y y 32132=+ 4、01522=+-x x 5、1842-=--x x 6、02322=--x x
四、 用因式分解法解下列一元二次方程。 1、x x 22= 2、 x 2+4x -12=0 3、0862=+-x x 4、03072=--x x 五、用适当的方法解下列一元二次方程。(选用你认为最简单的方法) 1、()()513+=-x x x x 2、x x 5322=- 3、2 260x y -+= 4、01072=+-x x 5、()()623=+-x x 6、()()03342 =-+-x x x
7、()02152 =--x 8、0432=-y y 10、()()412=-+y y 11、()()1314-=-x x x 12、()025122 =-+x 13、22244a b ax x -=- 14、36 31352=+x x 15、()()213=-+y y 16、)0(0)(2≠=++-a b x b a ax 17、03)19(32 =--+a x a x 18、012=--x x 19 、02932=+-x x 20、02222=+-+a b ax x
一元二次方程及解法经典习题及解析 知识技能： 一、填空题： 1．下列方程中是一元二次方程的序号是 ． 42=x ① 522=+y x ② ③01332=-+x x 052=x ④ 5232=+x x ⑤ 412=+x x ⑥ x x x x x x 2)5(0143223-=+=+-。。。。⑧⑦ 2．已知，关于2的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程，则a 3．当=k 时，方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程． 4．解一元二次方程的一般方法有 ， ， ， · 5．一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 的求根公式为： ． 6．(2004·沈阳市)方程0322=--x x 的根是 ． 7．不解方程，判断一元二次方程022632 =+--x x x 的根的情况是 ． 8．(2004·锦州市)若关于X 的方程052=++k x x 有实数根，则k 的取值范围是 ． 9．已知：当m 时，方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根． 10．关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 的根的情况是 ． 二、选择题： 11．(2004·北京市海淀区)若a 的值使得1)2(42 2-+=++x a x x 成立，则a 的值为( ) A ．5 8．4 C ．3 D ．2 12．把方程x x 332-=-化为02=++c bx ax 后，a 、b 、c 的值分别为( ) 3.3.0.--A 3.3.1.--B 3.3.1.-C 3.3.1.--D 13．方程02=+x x 的解是( ) x A .=土1 0.=x B 1,0.21-==x x C 1.=x D
龙文教育学科辅导学案 教师: 学生: 年级: 日期:2013. 星期: 时段: 学情分析 课 题 一元二次方程章节复习及典型例题解析 学习目标与 考点分析 学习目标：1、通过对典型例题、自身错题的整理，抓住本章的重点、突破学习的难点； 2、通过灵活运用解方程的方法，体会四种解法之间的联系与区别，进一步熟练根据方程特征找出最优解法； 3、通过实际问题的解决，进一步熟练运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决 问题中的作用 考点分析：1一元二次方程的定义 、解法、及根与系数的关系 学习重点 理解并掌握一元二次方程的概念及解法 学习方法 讲练说相结合 学习内容与过程 一 回顾梳理旧的知识点（这些知识点必须牢牢掌握） 一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程解法及其经典练习题 方法一：直接开平方法（依据平方根的定义） 平方根的定义：如果一个数 的平方等于a （ ），那么这个数 叫做a 的平方根 即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x 5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22 =--x 方法二：配方法解一元二次方程 1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） 4) (5) 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x
方法三：公式法 1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0） 解：二次项系数化为1，得 ， 移项 ，得 ， 配方, 得 ， 方程左边写成平方式 ， ∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况： （1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x （2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。 （3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。 3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因 （1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的 ，通常用字母 “△” 表示。当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。 （2）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c = 0，当ac b 42-≥0时，?将a 、b 、c 代入式子=x 就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 4.公式法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） （4） （5） 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -= 3、y y 32132=+
专题：一元二次方程的5种解法 方法1 形如x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解 1.用直接开平方法解下列方程: (1)9x2=25; (2)x2-√=0; (3)(2t-1)2=9; (4)(x-3)2-9=0. (5)2(x－1)2－18＝0. 用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤： (1)看：看是否符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式； (2)化：对于不符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式； (3)求：应用平方根的意义，将一元二次方程化为两个一元一次方程求解.
方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解 2.用配方法解下列方程： (1)x 2-10x+9=0; (2)x 2+2x=2; (3)2x 2-4x+1=0. 3. 用配方法解下列方程： (1)3x 2 ＋6x －5＝0; (2)12 x 2 －6x －7＝0； (3)2x 2＋7x －4＝0. 用配方法解一元二次方程的“五步法” (1)移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项. (2)化1：当方程的二次项系数不为1时，在方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1. (3)配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x ＋n)2＝p 的形式. (4)开方：若p ≥0，则两边直接开平方得到一元一次方程；若p ＜0，则原方程无解. (5)求解：解所得到的一元一次方程，求出原方程的解.
方法3 易化成一般形式（二次项系数不为1）时，用公式法求解4.用公式法解方程: (1)x2+3x+1=0; (2)2x2-5x-7=0; (3)(x+1)(x-1)+2(x+3)=8; (4)y2-2√2y+2=0； (5)(x＋1)(2x－6)＝1； (6)x2＋5x＋18＝3(x＋4)．
湘教版九年级数学上册 第2章 反比例函数 一元二次方程 2．2 一元二次方程的解法 根据平方根的意义解一元二次方程 专题训练题 1．已知x ＝2是一元二次方程x 2－2mx ＋4＝0的一个解，则m 的值为( ) A ．2 B ．0 C ．0或2 D ．0或－2 2．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，则下列结论正确的是( ) A ．a ＋b ＋c ＝1 B ．a ＋b ＋c ＝0 C ．a －b ＋c ＝0 D ．a －b ＋c ＝1 3．已知m 是一元二次方程x 2－x －1＝0的一个根，那么代数式m 2－m 的值等于( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．2 4．已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－2 5．已知关于x 的一元二次方程(x ＋1)2－m ＝0有实数根，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥－34 B ．m ≥0 C ．m ≥1 D ．m ≥2 6．方程x 2－3＝0的根是( ) A ．x ＝3 B ．x 1＝3，x 2＝－3 C ．x ＝ 3 D ．x 1＝3，x 2＝－ 3 7．一元二次方程(x ＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋6＝4，则另一个一元一次方程是( ) A ．x －6＝－4 B ．x －6＝4 C ．x ＋6＝4 D ．x ＋6＝－4 8．方程－4x 2＋1＝0的解是( ) A ．x ＝12 B ．x ＝－12 C ．x ＝±12 D ．x ＝±2 9．方程(x －4)2＝11的根为( ) A ．x 1＝－4＋11，x 2＝－4－11 B ．x 1＝4＋11，x 2＝4－11 C ．x 1＝11＋4，x 2＝11－4 D ．x 1＝4＋11，x 2＝－4－11 10．对于形如(x ＋m )2＝n 的方程，它的解的正确表述为( ) A ．都能用直接开平方法求解得x ＝－m ±n B ．当n ≥0时，x ＝m ±n C ．当n ≥0时，x ＝－m ±n D ．当n ≥0时，x ＝±n －m 11．下列方程中，适合用直接开平方法求解的是( ) A ．x 2＋5x ＋1＝0 B ．x 2－6x －4＝0 C ．(x ＋3)2＝16 D ．(x ＋2)(x －2)＝4x 12．方程4x 2－81＝0的解为________． 13．解下列方程： (1)16x 2＝25； (2)(2x ＋1)2－1＝0.
一元二次方程概念与解法测试题 姓名： 得分： ⑤2 2230x x x +-=；⑥x x 322 +=；⑦231223x x -+= ；是一元二次方程的是 。 1． 把下列一元二次方程化成一般形式，并写出相应的二次项系数、一次项系数、常数项： 3．下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A .2(2)210m x x ---= B .2530k x k ++= C 21203x --= D.22 340x x +-= 4、已知关于x 的一元二次方程5)12(2 =+--a x a x 的一个解为1，则a= 。 5．方程22(4)(2)310m x m x m -+-+-=，当m = 时，为一元一次方程； 当m 时，为一元二次方程。 6．已知关于x 的一元二次方程22(2)340m x x m -++-=有一个解是0，则m = 。 8、2 2 ___)(_____6+=++x x x ； 2 2 ____)(_____3-=+-x x x 9、方程0162 =-x 的根是 ; 方程 0)2)(1(=-+x x 的根是 ; 10、如果二次三项式16)122 ++-x m x （ 是一个完全平方式，那么m 的值是_______________. 11、下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）； A 、02 =++c bx ax B 、 2112 =+x x C 、122 2-=+x x x D 、)1(2)1(32+=+x x 12、方程()()2 4330x x x -+-=的根为（ ）； （A ）3x = （B ）125x = （C ）12123,5 x x =-= （D ）1212 3,5x x == 13、解下面方程：（1）()2 25x -=（2）2 320x x --=（3）2 60x x +-=，较适当的方法分别为（ ） （A ）（1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法（B ）（1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法 （C ）（1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法（D ）（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法
一元二次方程 专题一：一元二次方程的定义 典例分析： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132 +=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．2±=m B ．m=2 C ．2-≠m D ．2±≠m 3、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2＋x+a 2－l=0的一个根是0。则a 的值为( ) A 、 1 B 、－l C 、 1 或－1 D 、 1 2 4、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 5、关于x 的方程0)2(2 2=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是（ ） A 、a ≠1 B 、a ≠－2 C 、a ≠1且a ≠－2 D 、a ≠1或a ≠－2 专题二：一元二次方程的解 典例分析： 1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。
4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a - 课堂练习： 1、已知一元二次方程x 2+3x+m=0的一个根为-1，则另一个根为 2、已知x=1是一元二次方程x 2+bx+5=0的一个解，求b 的值及方程的另一个根． 3、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。 专题三：一元二次方程的求解方法 典例分析： 一、直接开平方法 ();0912=--x 二、配方法 ． 难度训练： 1、如果二次三项式16)122++-x m x （ 是一个完全平方式，那么m 的值是_______________.
. 第二章一元二次方程单元测验 一、选择题：(每小题3分,共36分) 1. 下列方程中是一元二次方程的是 （ ） （A ）22)1(2-=-x x （B ）01232=+-x x （C ）042=-x x （D ）02352 =-x x 2. 方程1)14(2 =-x 的根为（ ） （A ）4121==x x （B ）2121==x x （C ）,01=x 212=x （D ）,2 1 1-=x 02=x 3. 解方程 7(8x + 3)＝6(8x + 3)2 的最佳方法应选择( ） （A ）因式分解法 （B ）直接开平方法 （C ）配方法 （D ）公式法 4. 下列方程中, 有两个不相等的实数根的方程是（ ） （A ）x 2 –3x + 4＝0 （B ）x 2–x –3＝0 （C ）x 2–12x + 36＝0 （D ）x 2–2x + 3＝0 5、已知ｍ是方程012 =--x x 的一个根，则代数ｍ2 －ｍ的值等于 （ ） A 、１ B 、－１ C 、0 D 、2 6、若方程0152 =--x x 的两根为的值为则 、212111,x x x x +（ ） A 、5 B 、51 C 、5- D 、5 1- 7. 以知三角形的两边长分别是2和9, 第三边的长是一元二次方程x 2 –14x + 48＝0的解, 则这个三角形 的周长是（ ）（A ）11 （B ）17 （C ）17或19 （D ）19 8. 下列说法中正确的是 （ ）（A ）方程2 80x -=有两个相等的实数根; （B ）方程252x x =-没有实数根;（C ）如果一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么0?=; （D ）如果a c 、异号，那么方程2 0ax bx c ++=有两个不相等的实数根. 9. 若一元二次方程(1–2k)x 2 + 12x –10＝0有实数根, 则K 的最大整数值为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）–1 （D ）0 10.把方程2x 2 -3x+1=0化为(x+a)2 =b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ??- = ???; B.2312416x ??-= ???; C. 2 31416x ? ?-= ? ?? ; D.以上都不对 11、 若方程02 =++q px x 的两个实根中只有一个根为0，那么 （ ） （A ）0==q p ; （B ）0,0≠=q p ; （C ）0,0=≠q p ; （D ）0,0≠≠q p . 12、下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是 （ ） A ． 若x 2=4，则x ＝2 B ．方程x (2x －1)＝2x －1的解为x ＝1 C ．若x 2 +2x +k =0有一根为2，则8＝－k D ．若分式1 2 32－＋－x x x 值为零，则x ＝1，2 二、填空题：(每小题3分,共30分) 1、方程()()-267-x 5x =+，化为一般形式为 ，其中二次项系数和一次项系数的和为 。 2. 当x =________时，分式1 4 32+--x x x 的值为零。 3. 若关于x 的方程02)1(2 =+--m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是______ 4.若方程042 2 =++m x x ，则m= . 5.已知0822 =--x x , 那么=--7632 x x _______________. 6. 若关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax （a ≠0）的两根分别为1，—2，则b a -的值为______. 7. 若2 2 2 (3)25a b +-=，则22 a b +=____ 8.若一元二次方程02 =++c bx ax 中，024=+-c b a ,则此方程必有一根为________. 9、若两个连续整数的积是20，则他们的和是________。 10.某企业前年的销售额为500万元，今年上升到720万元，如果这两年平均每年增长率相同，则去年销售额为 11. 如果x x 12、是方程x x 2 720-+=的两个根，那么x x 12+=____________。 13. 已知一元二次方程x x 2 350--=的两根分别为x x 12、，那么x x 12 22 +的值是____。 14. 若方程x x k 2 20-+=的两根的倒数和是 8 3 ，则k =____________。 15.已知关于x 的方程（2k+1）x 2 －kx+3=0，当k______时，?方程为一元二次方程，? 当k______时，方程为一元一次方程，其根为______．
一元二次方程经典考题难题 用适当的方法解下列方程 16)5(42=-x 0)12(532=++x x 04222=-+x x 22)3(4)12(+=-x x 9)32(4)32(122++=+x x 11.02.02=+x x 0)2(2)2)(1(3)1(222=---+++x x x x 6)53)(43(22=++++x x x x x x x 9)1(22=- 20)7)(5)(3)(1(=++++x x x x
1、若t 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac 4b 2 -=△和完全平方式2)2(b at M +=的关系式（） A △=M B △＞M C △＜M D 大小关系不能确定 2、若关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 中a,b,c 满足9a-3b+c=0，则该方程有一根是______ 3、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx x 的两根为2,121=-=x x ，则c bx x ++2分解因式的结果是______ 4、在实数范围内因式分解：=--742x x __________________ 5、已知03442=+--x x ，则=-+31232x x __________________ 6、m mx x ++24是一个完全平方式，则m=________________________ 7、已知,)2 1(822m x a x ax ++=++则a 和m 的值分别是__________________ 8、当k=_________时，方程012)3(2=++--k x x k 是关于x 的一元二次方程？ 9、关于x 的方程032)4()16(2 2=++++-m x m x m 当m______时，是一元一次方程：当m______时，是一元一次方程。 10、已知012=--x x ，则2009223++-x x 的值为__________ 11、已知012)()(22222=-+++y x y x ，则22y x +=_______ 12、试证明关于x 的方程012)208(22=+++-ax x a a ，无论a 取何值，该方程都是一元二次方程
专题(一)一元二次方程的解法 1．用直接开平方法解下列方程： (1)x2－16＝0；(2)3x2－27＝0； (3)(x－2)2＝9；(4)(2y－3)2＝16. 2．用配方法解下列方程： (1)x2－4x－1＝0； (2)2x2－4x－8＝0； (3)3x2－6x＋4＝0； (4)2x2＋7x＋3＝0.
3．用公式法解下列方程： (1)x2－23x＋3＝0； (2)－3x2＋5x＋2＝0； (3)4x2＋3x－2＝0； (4)3x＝2(x＋1)(x－1)． 4．用因式分解法解下列方程： (1)x2－3x＝0； (2)(x－3)2－9＝0；
(3)(3x－2)2＋(2－3x)＝0； (4)2(t－1)2＋8t＝0； (5)3x＋15＝－2x2－10x； (6)x2－3x＝(2－x)(x－3)． 5．用合适的方法解下列方程： (1)4(x－3)2－25(x－2)2＝0； (2)5(x－3)2＝x2－9；
(3)t 2－22t ＋18＝0. 参考答案 1.(1)移项，得x 2＝16，根据平方根的定义，得x ＝±4，即x 1＝4，x 2＝－4. (2)移项，得3x 2＝27，两边同除以3，得x 2＝9，根据平方根的定义，得x ＝±3，即x 1＝3，x 2＝－3. (3)根据平方根的定义，得x －2＝±3，即x 1＝5，x 2＝－1. (4)根据平方根的定义，得2y －3＝±4，即y 1＝72，y 2＝－12. 2.(1)移项，得x 2－4x ＝1.配方，得x 2－4x ＋22＝1＋4，即(x －2)2＝5.直接开平方，得x －2＝±5，∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5. (2)移项，得2x 2－4x ＝8.两边都除以2，得x 2－2x ＝4.配方，得x 2－2x ＋1＝4＋1.∴(x －1)2＝5.∴x －1＝± 5.∴x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5. (3)移项，得3x 2－6x ＝－4.二次项系数化为1，得x 2－2x ＝－43.配方，得x 2－2x ＋12＝－43＋12，即(x －1)2＝－13.∵ 实数的平方不可能是负数，∴原方程无实数根． (4)移项，得2x 2＋7x ＝－3.方程两边同除以2，得x 2＋72x ＝－32.配方，得x 2＋72x ＋(74)2＝－32＋(74)2，即(x ＋74)2＝2516. 直接开平方，得x ＋74＝±54.∴x 1＝－12，x 2＝－3. 3.(1)∵a ＝1，b ＝－23，c ＝3，b 2－4ac ＝(－23)2－4×1×3＝0，∴x ＝－（－23）±02×1 ＝ 3.∴x 1＝x 2＝ 3. (2)方程的两边同乘－1，得3x 2－5x －2＝0.∵a ＝3，b ＝－5，c ＝－2，b 2－4ac ＝(－5)2－4×3×(－2)＝49>0，∴x ＝－（－5）±492×3＝5±76，∴x 1＝2，x 2＝－13. (3)a ＝4，b ＝3，c ＝－－4ac ＝32－4×4×(－2)＝41>＝－3±412×4＝－3±418.∴x 1＝－3＋418，x 2＝－3－418 . (4)将原方程化为一般形式，得2x 2－3x －2＝0.∵a ＝2，b ＝－3，c ＝－2，b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×(－ 2)＝11>0，∴x ＝3±1122 ＝6±224.∴x 1＝6＋224，x 2＝6－224.
一元二次方程经典例题集锦 一、一元二次方程的解法 1．开平方法解下列方程： （1）012552=-x （2）289)3(1692=-x （3）03612=+y （5,521-==x x ） （13 22,135621== x x ） （5）（4）0)31(2 =-m （6） 85 )13(22 =+x （021==m m ） （3521±-=x ） 2．配方法解方程： （3）（1）0522=-+x x （2）0152=++y y （3）3422-=-y y （61±-=x ） （2215±-= x ） （2101±=y ） 3．公式法解下列方程： （1）2632-=x x （2）p p 3232=+ （3）y y 1172= （333±= x ） （321==p p ） （0,71121==y y ） （4）2592-=n n （5）3)12)(2(2---=+x x x （2 153±= x ） 4．因式分解法解下列方程：
（1）094 12=-x （2）04542=-+y y （3）031082=-+x x （6±=x ） （5,921=-=y y ） （23,4121-== x x ） （4）02172=-x x （5）6223362-=-x x x （3,021==x x ） （32,2321== x x ） （6）1)5(2)5(2--=-x x （7）08)3(2)3(222=-+-+x x x （621==x x ） （1,4,1,24321=-=-=-=x x x x ） 5．解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）： （1）128)72(22=-x （2）222)2(212m m m m -=+- （3）)3)(2()2(6+-=-x x x x （227±=x ） （262±=m ） （5 3,221==x x ） （4）3 )13(2)23(332-+-=+y y y y y （5）22)3(144)52(81-=-x x （2,2321==y y ） （2 3,102721==x x ） 6．解含有字母系数的方程（解关于x 的方程）： （1）02222=-+-n m mx x （2）124322+-=+a ax a x
一元二次方程典型例题整理版 专题一：一元二次方程的定义 典例分析： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132 +=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．2±=m B ．m=2 C ．2-≠m D ．2±≠m 3、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2＋x+a 2－l=0的一个根是0。则a 的值为( ) A 、 1 B 、－l C 、 1 或－1 D 、 1 2 4、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 5、关于x 的方程0)2(2 2=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是（ ） A 、a ≠1 B 、a ≠－2 C 、a ≠1且a ≠－2 D 、a ≠1或a ≠－2 专题二：一元二次方程的解 典例分析： 1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。
4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a - 课堂练习： 1、已知一元二次方程x 2+3x+m=0的一个根为-1，则另一个根为 2、已知x=1是一元二次方程x 2+bx+5=0的一个解，求b 的值及方程的另一个根． 3、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。 专题三：一元二次方程的求解方法 典例分析： 一、直接开平方法 ();0912=--x 二、配方法
专题：一元二次方程的八种解法 方法1 形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)时，用直接开平方法求解用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤： (1)看：看是否符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式； (2)化：对于不符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式； (3)求：应用平方根的意义，将一元二次方程化为两个一元一次方程求解. 1．用直接开平方法解下列方程： (1)x2－25＝0; (2)4x2＝1； (3)81x2－25＝0； (4)(2y－3)2－64＝0； (5)3(x＋1)2＝1 3 ； (6)(3x＋2)2＝25； (7)(x＋1)2－4＝0; (8)(2－x)2－9＝0.
方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解用配方法解一元二次方程的“五步法” (1)移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项. (2)化1：当方程的二次项系数不为1时，在方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1. (3)配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x＋n)2＝p的形式. (4)开方：若p≥0，则两边直接开平方得到一元一次方程；若p＜0，则原方程无解. (5)求解：解所得到的一元一次方程，求出原方程的解. 2．用配方法解下列方程： (1)x2－2x－2＝0； (2)x2-10x+29=0; （3）x2+2x=2; (4)x2－6x＋1＝2x－15；
3.用配方法解下列方程： (1)3x 2 ＋6x －5＝0; (2)12 x 2－6x －7＝0. (3)x 2 ＋16x －13＝0； (4)2x 2－3x －6＝0； 方法3 能化成形如（x+a ）（x+b ）=0时，用因式分解法求解 用因式分解法解一元二次方程的“四步法” （“右化零，左分解，两因式，各求解”） 4.用因式分解法解下列方程： (1)x 2－8x ＝0； (2)5x 2＋20x ＋20＝0；
一元二次方程 知识要点 1 ?方程中只含有 _个未知数，并且整理后未知数的最高次数是这样的__________ 方程叫做一元二次方程。 通常可写成如下的一般形式（a 、b、c、为常数，a_」。 2.一元二次方程的解法： （1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的__________ 的平方，而另一边是一个 ________ 时，可以根据 ________ 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。 （2）配方法：用配方法解一元二次方程ax2 bx c o a 0的一般步骤是： ①化二次项系数为 ____ ，即方程两边同时除以二次项系数； ②移项，使方程左边为 ______ 项和_______ 项，右边为______ 项； ③配方，即方程两边都加上 _________________ 的平方； ④化原方程为（x m）2 n的形式， 如果n是非负数，即n 0,就可以用_____________ 法求出方程的解。 如果n v O,则原方程_______ 。 （3）公式法：方程ax2 bx c 0（a ______________ 0），当b2 4ac 0 时，x = （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是： ①将方程的右边化为_______ ; ②将方程的左边化成两个_____ 的乘积； ③令每个因式都等于______ ，得到两个_________ 方程； ④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。 3. 一元二次方程的根的判别式 (1) b24ac >0 一兀二次方程ax2 bx c0 a 0有两个的实数根 即x,x2 (2) b24ac =0 一兀二次方程有两个的实数根，即xi X2 , (3) b24ac <0 一兀二次方程ax2 bx c0 a 0 实数根。 4.元 —二次方程根与系数的关系 （ 韦达定理） 如果一元二次方程ax2 bx c 0(a0）的两根为X i,X2，则% x2，x-i x2
龙文教育个性化辅导教案提纲教师:陈燕玲学生:年级九日期: 星期: 时段: 课题一元二次方程的概念及解法 学情分析 教学目标与考点分析1.掌握一元二次方程的概念及其一般形式，能指出一元二次方程的各项及其系数。2 能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。 教学重点难点教学重点: 掌握常用四种一元二次方程的解法。教学难点: 灵活选用适当方法解一元二次方程 教学方法讲解法合作探究法 教学过程 一、一元二次方程的概念： 问题（1）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？ 如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：________． 归纳： （1）只含一个未知数x；（2）最高次数是2次的；（3）?整式方程． 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. 例2．将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=?1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．