空间几何体
一、由实际物体抽象出来的空间图形叫空间几何体。
多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。如：圆柱、圆锥、球形等。
这条定直线叫做旋转体的轴。
1. 棱柱
一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面，简称底。
其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
底面是三角形、四边形、五边形等的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱等。用表示底面各顶点的字母表示棱柱。
2.棱锥
一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。这个多边形面叫做棱锥的底面或底。有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面。各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。底面是三角形、四边形、五边形等的棱锥分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱等。三棱柱又叫四面体。棱锥用表示顶点和底面的字母来表示。如用S—ABCD表示四棱柱。
3. 棱台
用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分表示的多面体叫做棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。同样有侧面、侧棱、顶点，三棱台、四棱台、五棱台等，同棱柱一样也用字母表示。
4. 圆柱
以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面。平行与轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面。不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线（指垂直于底面的边）。
圆柱和棱柱统称为柱体。
5. 圆锥
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。有轴，底面、侧面、母线（指旋转的直角三角形的斜边）。圆锥用字母表示顶点字母和底面圆心字母。圆锥和棱锥统称为椎体。
6. 圆台
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，有轴、底面、侧面、母线。用字母表示（上底面和下底面的两个圆心字母表示）。
棱台与圆台统称为台体。
7. 球
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。半圆的圆心叫做球的球心。半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。用球心字母O 表示球，一般为“球O”。
空间向量知识点归纳总结 知识要点。 1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2.空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律：⑴加法交换律：a b b a ? ??ρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ? ???ρ?++=++ ⑶数乘分配律：b a b a ? ???λλλ+=+)( 3.共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫 做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρ ?//。 当我们说向量a ρ、b ρ共线（或a ρ//b ρ）时，表示a ρ、b ρ 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ 存在实数λ，使a ρ ＝λb ρ。 4.共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的条件是存在 实数,x y 使p xa yb =+r r r 。 5.空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量p r ，存在 一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r 。 若三向量,,a b c r r r 不共面，我们把{,,}a b c r r r 叫做空间的一个基底，,,a b c r r r 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序 实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 。 6.空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。 （2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k r r r 表示。 （3）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r ，
第四章 Hilbert 空间 一 内积空间的基本概念 设H 是域K 上的线性空间，对任意H y ,x ∈，有一个中K 数 ),(y x 与之对应，使得对任意H z ,y ,x ∈；K ∈α满足 1） 0)y ,x (≥；)y ,x (＝0，当且仅当 0x =； 2） )y ,x (＝_ __________)x ,y (； 3） )y ,x ()y ,x (αα=； 4） )z ,y x (+＝)z ,x (＋)z ,y (； 称)(,是H 上的一个内积，H 上定义了内积称为内积空间。 定理1.1设H 是内积空间，则对任意H y x ∈,有： |)y ,x (|2 )y ,y )(x ,x (≤。 设H 是内积空间，对任意H x ∈，命 ),(||||x x x = 则||||?是H 上的一个范数。 例 设H 是区间],[b a 上所有复值连续函数全体构成的线性空间，对任意H y x ∈,，定义 dt t y t x y x b a ?=________ )()(),( 则与],[2b a L 类似，), (y x 是一个内积，由内积产生的范数为 2 12 ) |)(|(||||?=b a dt t x x 上一个内积介不是Hilbert 空间。
定理 1.2 设H 是内积空间，则内积),(y x 是y x ,的连续函数，即时x x n →，y y n →，),(),(y x y x n n →。 定理1.3 设H 是内积空间，对任意H y x ∈,，有以下关系式成立， 1） 平行四边形法则： 2 || ||y x +＋2 || ||y x -＝2)||||||(||2 2 y x +； 2） 极化恒等式： ),(y x ＝4 1 （2 || ||y x +－ 2 || ||y x -＋ 2 || ||iy x i +－ )||||2 iy x i - 定理1.4 设X 是赋范空间，如果范数满足平行四边形法则，则可在X 中定义一个内积，使得由它产生的范数正是X 中原来的范数。 二 正交性，正交系 1 正交性 设H 是内积空间，H y x ∈,，如果0),(=y x ，称x 与y 正交，记为y x ⊥。 设M 是H 的任意子集，如果H x ∈与M 中每一元正交，称x 与M 正交，记为M x ⊥；如果N M ,是H 中两个子集， 对于任意 ,M x ∈,N y ∈y x ⊥，称M 与 N 正交，记 N M ⊥。设M 是H 的子集，所有H 中与M 正交的元的全体
第六讲 立体几何新题型 【考点透视】 (A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念. (B)版. ①理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘. ②了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算. ③掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式. ④理解直线的方向向量、平面的法向量，向量在平面内的射影等概念. ⑤了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念. ⑥掌握棱柱、棱锥、球的性质，掌握球的表面积、体积公式. ⑦会画直棱柱、正棱锥的直观图. 空间距离和角是高考考查的重点：特别是以两点间距离，点到平面的距离，两异面直线的距离，直线与平面的距离以及两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等作为命题的重点内容，高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查，分为多个小问题，也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题，但也可能在最后一问中设置有难度的问题. 不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色. 求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。 【例题解析】 考点1 点到平面的距离 求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 典型例题 例1如图，正三棱柱111ABC A B C 的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．
德国标准2001年3月 所协会（DIN）的同意。该标准由柏林Beuth出版社公司独家出售。
DIN 6700-1:2001-05 1 应用范围 该标准适用于铁道车辆和车辆部件生产和维护时金属材料的焊接。它就焊接工作的一般概念和基本原则做了规定。 该标准不适用于以下的铁道车辆组件或部件： －压力罐。 这里适用的规定有：压力罐条例（DruckbehV）、压力罐技术规定（TRB）以及DIN EN 286标准系列。 －运输危险品用的容器。 这里适用的规定有：含国际铁路危险货物运输规程的规定（RID）在内的铁路危险货物条例（GGVE）和罐车技术规定（TRT）。 －非危险货物的装卸采用压力方式，运输这种非危险物品所使用的装载容器。 这里适用的规定有：压力罐条例（DruckbehV）、压力罐技术规定（TRB）以及AD标准。 －蒸汽锅炉。 这里适用的规定有：蒸汽锅炉条例（DampfkV）、压力罐技术规定（TRB）以及AD 标准。 2 标准的引用 该标准包括其它指明日期或不指明日期的出版物的规定。正文中凡是引用了参见标准的地方都列出了相关的出版物。指明了日期时，则该出版物在此之后的种种修改或者修正只有通过修订或者修正补充之后方才成为该标准的组成部分。未指明日期则是指相关出版物的最新版本。 DIN 6700-2，铁道车辆和车辆部件的焊接－第2部分：部件类型、焊接企业的资格、一致性评定。 DIN 6700-3，铁道车辆和车辆部件的焊接－第3部分：设计规定（值）。 DIN 6700-4，铁道车辆和车辆部件的焊接－第4部分：操作规范。 DIN 6700-5，铁道车辆和车辆部件的焊接－第5部分：质量保证。 DIN 6700-6，铁道车辆和车辆部件的焊接－第6部分：材料、焊接添加剂、焊接方法和焊接技术设计资料。 DIN 8528-1，可焊接性、金属材料、概念。 DIN 25003，铁道车辆系统技术；概述、命名、定义。 DIN EN 287-1，焊工试验、熔焊－第1部分：钢。 DIN EN 287-2，焊工的审核，熔焊－第2部分：铝和铝合金。 DIN EN 288-1，试验和金属材料焊接方法的认可－第1部分：适用于熔焊的一般规则。 DIN EN 719，焊接管理－任务和责任。 DIN EN 729-2，焊接技术的质量要求；金属材料的熔焊－第2部分：整个质量要求。 DIN EN 1418，焊接人员：金属材料的全机械自动焊接操作人员的审核。 DIN EN 10204，金属产品；试验证明书的种类。 DIN EN 25817，钢材的电弧焊连接－评价组的非规律性判据。 DIN EN 30042，铝以及其适合焊接连接部位的电弧焊连接－评价组的非规律判据。 DIN EN 45014，适用于供应方一致性声明的一般规定。 DIN EN ISO 4063，焊接，和使用的工序－工序明细和顺序编号（ISO 4063：1998）；德文版EN ISO 4063:2000
立体几何空间距离问题 空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离. ●难点磁场 (★★★★)如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,P A⊥平面ABCD，P A=2c,Q 是P A的中点. 求：(1)Q到BD的距离； (2)P到平面BQD的距离. P为RT△ABC所在平面α外一点,∠ACB=90°(如图) (1)若PC=a，∠PCA=∠PCB=60°，求P到面α的距离及PC和α所成的角 （2）若PC=24，P到AC，BC的距离都是6√10，求P到α的距离及PC和α所成角（3）若PC=PB=PA，AC=18，P到α的距离为40，求P到BC的距离
●案例探究 ［例1］把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求： (1)EF 的长； (2)折起后∠EOF 的大小. 命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目. 知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式. 错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直. 技巧与方法：建系方式有多种，其中以O 点为 原点，以OB 、OC 、OD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单. 解：如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长为a ,则A (0，－22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0),D (0,0, 22a ),E (0,－4 2 a , a ),F ( 42a , 4 2 a ,0) 21| |||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420) 0,4 2 ,42(),42,42,0()2(23 ,43)420()4242()042(||)1(2 2222-=?>=<== - =?+-+?=?=-==∴=-+++-=OF OE OF OE OF OE a OF a OE a a a a a OF OE a a OF a a OE a EF a a a a a EF ∴∠EOF =120° ［例2］正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离. 命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目. 知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得.