圆锥曲线难题汇编
我经过反思与整理，写成此文。
一、圆锥曲线的光学性质
1．1 椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上； (见图1.1)
椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热．1．2双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．
1．3 抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）
抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物
1
2 线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．
要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。 二、问题转化及证明
2．1圆锥曲线的切线与法线的定义
设直线l 与曲线c 交于P ，Q 两点，当直线l 连续变动时，P ，Q 两点沿着曲线渐渐靠近，一直到P ，Q 重合为一点M ,此时直线l 称为曲线c 在点M 处的切线，过M 与直线l 垂直的直线称为曲线c 在点M 处的法线。 此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化： 2.2 圆锥曲线光学性质的证明
预备定理 1.若点00(,)P x y 是椭圆22
221x y a b
+=上任一点，则椭圆过该点的切
线方程为：00221x x y y
a b
+=。
证明：由22
22
1y x b a
=-?2
2
2
2(1)x y b a
=-……①
1°当x
a ≠±时，过点P 的切线斜率k 一定存在，且0
'|x x
k y ==
∴对①式求导：2
0222'b yy x a
=-
图1.3
图1.2 图1.1
3 ∴0
2
20
'|x x b x k y a y =-==∴切线方程为20002
0()b x y y x x a y --=--…………② ∵点00(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=上，
故 2200
221x y a b
+= 代入②得00221x x y y a b +=…………③
而当x
a =±时，00y = 切线方程为x a =±，也满足③式
故00221x x y y
a b
+=是椭圆过点00(,)P x y 的切线方程. 预备定理2. 若点00(,)P x y 是双曲线22
221x y a b
-=上任一点，则双曲线过该
点的切线方程为：00221x x y y
a b
-=
证明：由22221y x b a =-?2
222(1)x
y b a
=-……①
1°当x a ≠±时，过点P 的切线斜率k 一定存在，且0'|x x k
y ==
∴对①式求导：2
0222'b
yy x a
=∴02
020'|x x b x k y a y ===
∴切线方程为20
0020
()b x y y x x a y -=--…………②
∵点00(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=上，
故22
00
221x y a b
-= 代入②得00221x x y y a b -=…………③
而当x a =±时，
00y = 切线方程为x
a =±，也满足③式
故00221x x y y
a b
-=是双曲线过点00(,)P x y 的切线方程. 预备定理 3.若点00(,)P x y 是抛物线22y px =上任一点，则抛物线过该点的
4 切线方程是00()y y p x x =+
证明：由22y px =，对x 求导得：0
2'2'|x x p
yy p k y y ==?== 当00y ≠时，切线方程为00
()p
y y x x y -=
- 即2
000y y y px px -=-
而200002()y px y y p x x =?=+………………①
而当000,0y x ==时，切线方程为00x =也满足①式 故抛物线在该点的切线方程是00()y y
p x x =+.
定理1. 椭圆上一个点P 的两条焦半径的夹角被椭圆在点P 处的法线平分（图2.1）
已知：如图，椭圆C 的方程为22
221x y a b
+=，12,F F 分别是其左、右焦点，l 是过
椭圆上一点00(,)P x y 的切线，'l 为垂直于l 且过点P 的椭圆的法线，交x 轴于D
设21,F PD F PD αβ∠=∠=，
求证：αβ=.
证法一：在22
22:1x y C a b
+=上，
00(,)P x y C ∈，
则过点P 的切线方程为：00221x x y y
a b
+=
'l 是通过点P 且与切线l 垂直的法线，
则0000222211':()()()y x l x x y b a b a -=-
∴法线'l 与x 轴交于20((),0)c D x a
∴22
102022||,||c c F D x c F D c x a a
=+=-
∴2012
20
||||a cx F D F D a cx +=- 又由焦半径公式得：1020||,||PF a ex PF a ex =+=-
L
5 ∴
1122||||
||||
F D PF F D PF =
∴PD 是12F PF ∠的平分线 ∴αβ=
∵ββαα'+=?='+90，故可得βαβα'='?=
证法二：由证法一得切线l 的斜率020
20'|x x b x k y a y =-==，而1PF 的斜率010
y k x c =+，2
PF 的斜率020y
k x c
=-
∴l 到1PF 所成的角'α满足
200
22222
2000001222
2001000
200
tan '1()1()y b x x c a y a y b x b cx k k
b x y kk a b x y a cy x
c a y α++++-===+-+-
+ ∵00(,)P x y 在椭圆22
22:1x y C a b
+=上
∴2
tan 'b cy α=
同理，2PF 到l 所成的角'β满足2
220
tan 1k k b kk cy β-==
+ ∴tan 'tan 'αβ= 而','(0,)2
π
αβ∈
∴''αβ=
证法三：如图，作点3F ，使点3F 与2F 关于切线l 对称，连结1F ，3F 交椭圆C 于点'P
下面只需证明点P 与'P 重合即可
一方面，点P 是切线l 与椭圆C 的唯一交点，则12||||2PF PF a +=，是l 上的点到两焦点距离之和的最小值（这是因为l 上的其它点均在椭圆外） 另一方面，在直线l 上任取另一点''P
∵12131312|'||'||'||'||||''||''|P F P F P F P F F F P F P F +=+=<+
即'P 也是直线AB 上到两焦点的距离这和最小的唯一点，从而P 与'P 重合
6
即αβ=而得证
定理2 双曲线上一个点P 的两条焦半径的夹角被双曲线在点P 处的切线平分（图2.2）；
已知：如图，双曲线C 的方程为22
221x y a b
-=，1F ，2F 分别是其左、右焦点，l 是
过双曲线C 上的一点00(,)P x y 的切线，交x 轴于点D ，设1F P D α∠=，2F PD β∠= 求证：αβ=
证明：22
22:1x y C a b
-=
两焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c )(222b a c +=
00(,)P x y 在双曲线上
则过点P 的切线
00221x x y y
a b
-= 切线l 与x 轴交于2
(,0)a D x 。
由双曲线的焦半径公式得
1020|||
|,||||c c
PF x a PF x a a a
=+=- 双曲线的两焦点坐标为)0,(c F ，)0,(c F -'
故011102000220|
|
||||||||||,||||||,||||
||c
x a PF DF a c a c a DF x a DF x a c x a x a PF DF x a a
+=+=-==
- 故βαβα'='?= ， ∴切线l 为F FP '∠之角分线。
定理3 抛物线上一个点P 的焦半径与过点P 且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P 处法线平分（图2.3）。 已知：如图，抛物线C 的方程为为24y cx =， 直线l 是过抛物线上一点00(,)P x y 的切线，
图2.2
7 交x 轴于D ，,DPF PDF αγ∠=∠=， 反射线PQ 与l 所成角记为β， 求证：αβ=
证明： 如图 ，抛物线C 的方程为
2:4C y cx =，点00(,)P x y 在该抛物线上，
则过点P 的切线为00()y y p x x =+ 切线l 与x 轴交于0(,0)D x - 焦点为)0,(c F ，γβ= (同位角)
∵00||||,||||PF x c DF x c ==+=+ ∴||||PF DF = ∴γαβα=?=
通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的。那么它在解题和生产生活中有何应用呢？ 三、圆锥曲线的光学性质的应用 3．1解决入射与反射问题
例1. 设抛物线2:C y x =，一光线从点A(5，2)射出，平行C 的对称轴，射在C 上的P 点，经过反射后，又射到C 上的Q 点，则P 点的坐标为____，Q 点的坐标为______。
解：如图，直线AP 平行于对称轴且A(5，2)，∴则P 点的坐标为（4，2） ∴反射线PQ 过点1(,0)4
F 设2(,)Q t t ，则2281115
44
4
t t =
=
-
- 解得：18
t =- ∴11(
,)648
Q -
图
8 例2. 已知椭圆方程为252x +16
2
y = 1，若有光束自焦点
A (3，0)射出，经二次
反射回到A 点，设二次反射点为B ，C ，如图3.1.2所示，则△ABC 的周长为 。
解：∵椭圆方程为252x +16
2
y = 1中，225169c =-=
∴A (3，0)为该椭圆的一个焦点
∴自A (3，0)射出的光线AB 反射后，反射光线AC 定过另一个焦点A ' (-3，0)
故△ABC 的周长为''44520AB BA A C CA a +++==?=
例3.双曲线22
:188
x y C -=，又A C ∈，已知A (4，
22)，F (4，0)，若由F 射至A 的光线被双曲线C 反射，反射光通过P (8，k )，则k = 。
解：∵入射线FA 反射后得到的光线AP 的
反向延长线定过双曲线的另一个焦点'(4,0)F -
∴
128
k k =?=3．2 解决一类“距离之和”的最值问题
张奠宙教授说“在一般情况下，光线在传播过程中，总是选择最近的路线从一点传播到另一点。这虽然还只是一种停留“经验、感觉”层面上的结论，但却为我们研究一类“距离之和” 取值范围问题时指明了思考的方向，从而解决了一个从“想不到”到“想得到”的关键问题。如果再辅以严格的数学证明，这种“经验、感觉”依然是很有价值的、不可替代的。”我读了他的文章，深受启发，并用圆锥曲线的光学性质解决了我们经常见到而又觉得复杂的一类最值问题。
图
3.1.3
9 例4．已知椭圆C ：22
1259
x y +=，F 1、F 2为分别是其左右焦点，点Q(2，1)，P
是C 上的动点，求|MF 1|+|MQ|的取值范围。
（一）分析猜想：
（1）经计算，Q （2，2）点在椭圆内,由于椭圆是封闭图形，因此|MF 1|+|MQ|应该有一个封闭的取值范围，既有最小值也有最大值。
（2）同样根据光线的“最近传播法则”，结合椭圆的光学性质，可得：从F 1射出被椭圆反射后经过点Q 的光线所经过的路程往往是最短的。这种情况又分为两类，一是被上半椭圆反射（如图3.2.1，光线从F
1→P 1→Q ），二是被下半椭圆反射（如图3.2.2，光线从F 1→P 2→F 2→Q ），究竟哪种情况距离之和更小呢？显然，根据椭圆定义，图3.2.1中的|P 1F 1|+|P 1Q|<2a(2a 为椭圆长轴长)，而图3.2.2中的|P 2F 1
|+|P 2Q|>2a ，可见图3.2.1所示的情况距离之和更小。
但是，最大值又是多少呢？图3.2.2所示的光线又有什么特点呢？ 将图3.2.1.和图3.2.2中的光线反射路线合并图3.2.3，由于|P 2Q| +|P 2F 1|+|P 1Q|+|P 1F 1|是定值4a(a 为椭圆长半轴长)，而|P 1Q|+|P 1F 1|由前面知最小，由此猜测|P 2Q| +|P 2F 1|可能就是最大值。
（二）证明|P 1F 1|+|P 1Q|是最小值。 如图3.2.2，连接Q F 2，延长交椭圆于P 2，在椭圆上另取一点2P '，由椭圆定义知：|P 2Q|-|QF 2| +|PF 1| = |2P 'F 1| +|2P 'F 2|（*），因为|2P 'F 2|≥
|2P 'Q|-|QF 2|，代入（*）式得|P 2Q|-|QF 2| +|P 2F 1|≥|2P 'F 1| +|2P 'Q|-|QF 2|所以，|P 2Q| +|P 2F 1|≥|2P 'F 1| +|2P 'Q|。猜想得证。
（三）计算：
综上所述，只需求出2||F Q ==可得最小值为22||10a F Q -=-图3.2.1
10
最大值为22||10a F Q +=+例5．已知双曲线C ：2
2
13
y x -=， F 1、、F 2为分别是其左右焦点，点9(4,)2Q ，
M 是C 上的动点，求|MF 2|+|MQ|的取值范围。
分析猜想：经计算，Q 点在双曲线右支开口内部。由于双曲线是不封闭曲线，显然|MF 2|+|MQ|可以无限大，故要求|MF 2|+|MQ|的取值范围，关键是求出|MF 2|+|MQ|的最小值。根据光线的“最近传播”特点，我们猜想：从F 1射出经双曲线反射后经过点Q 的光线所经过的路程往往是最短的，再结合双曲线的光学性质（从一个焦点射出的光线经椭圆周反射，反射光线的反向延长线经过另一个焦点），可作出从F 1射出被双曲线反射后经过点Q 的光线：连接F 1Q ，与双曲线的交点即为使得|MF 2|+|MQ|最小的点，设为P 点，光线从F 2→P →Q 。（见图2）
（二）证明：如图2：按猜想作出点P ，由于所求点P 显然不在双曲线的左支上（此时显然距离之和不会最小），故在右支上另取一点P '，由双曲线定义知：|PF 1|-|PF 2| = |P 'F 1| -|P 'F 2|，即|PF 1|+|P 'F 2| = |P 'F 1| +|PF 2|，因为|PF 1|+|PQ|≤|P 'Q| +|P 'F 1|，两边同加|PF 2|得：所以|PF 1|+|PQ| +|PF 2|≤|P 'Q| +|P 'F 1|+ |PF 2|=|P 'Q| +|PF 1|+|P 'F 2|，故|PQ|+|PF 2|≤|P 'Q|+|P 'F 2|，猜想得证。 （三）计算：由题意知 ∵19(2,0),(4,)2
F Q -
∴2112||||||||||PQ PF FQ F P PF +=-+
=112||(||||)FQ F P PF -- =1||2FQ A - =
11
2
例6．已知抛物线C ：x y 42=， F
|MF|+|MQ|的取值范围。。
分析：由于抛物线不是封闭曲线，显然没有最大值，因此关键是求最小值。根据抛物线光学性质（从焦点射出的光线经抛物线反射，反射光线与对称轴平行，反之也成立），结合光线的“最近传播”特点，我们猜想：过Q 与对称轴平行的直线与抛物线的交点可能就是使距离之和最小的点，设为P 点（见图3.2.6）。可由抛物线的定义证明猜想是正确的。且|PF|+|PQ|≥3
3．3． 圆锥曲线光学性质在解决与“切线”相关问题时起简捷作用。
11 光线反射总是满足反射定律（入射角等于反射角），光线被曲线反射也不例外，此时的法线就是过反射点的曲线的切线的垂线。可见，曲线的切线和与曲线有关的反射问题有着密切联系。
以椭圆为例：如图3.3.1，l 是过椭圆周上一点P 的椭圆的切线，m 是P 点处的法线，光线从F 1（F 2）射出被椭圆反射经过F 2（F 1），满足∠1=∠2，且∠3=∠4。
例7．已知l 是过椭圆C ：22
11612
x y +=上一动点P 的椭圆C 的动切线，过
C 的左焦点F 1作l 的垂线，求垂足Q 的轨迹方程。
分析：如图3.3.2，本题如果忽视了椭圆的光学性质将很难着手，或许借助椭圆参数方程可以求解，但运算相当繁琐。由于l 是椭圆的切线，切点为P ，联想到椭圆光学性质及反射定律，可知：l 是∠F 1PF 2的外角平分线， F 1关于直线l 的对称点2F '在F 2P 的延长线上。这样，由于| P F 1| =|P 2F '|，故
|1F 'F 2|=|P F 1|+|PF 2|=2a=8，而Q 、O 分别是1F 'F 1、2F 'F 2的中点，所以|QO|=4。从而Q 点轨迹是以O 为圆心、以4为半径的圆。即点Q 的方程为2216x y +=
3．4在生产生活中的作用 例8．某种碟形太阳能热水 器的外形示意图如图3.4.1，其中F 为加热点；碟形反射壁是抛物线绕对称轴旋转而成的曲面；抛物线以cm 为单位的设计尺寸如 图3.4.2．为了达到最佳加热效果，F 应距碟底多少？
解 ：以碟形内壁底为原点，抛物线的对称轴为x 轴，开口方向为x
图
图3.4.1
图3.4.2
12 轴的正向，建立坐标系如图3.4.2，则内壁抛物线方程为y 2=2px ．据所示尺寸，抛物线过坐标为(40,85)的点，所以 852=2p ?40=80p ，p ≈90.3． 加热点F 应置于抛物线的焦点．焦点坐标为(2
p ,0)≈(45.2,0)．所以F 应距
碟底约45.2cm
圆锥曲线的光学性质是奇妙的，奇妙的背后蕴含着奇妙的数学关系。我们只有善于观察，勤于钻研，及时总结，才能闪现更多的灵感，才能在奥妙的数学世界畅游。
参考文献（1）张奠宙主编的《数学教育研究导引》 （2）教材124页《圆锥曲线的光学性质及其应用》
焦点三角形问题
椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b
222
21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，
∠=PF F 21β。
（1）求证离心率β
αβαsin sin )
sin(++=
e ；
（2）求|||PF PF 13
23
+的最值。
（Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -. 直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--.令3x =，得1(3,2)M y -. 所以直线BM 的斜率11 2131 BM y y k -+= =-. 17.（2015年文）设椭圆E 的方程为22 221(0),x y a b a b +=>>点O 为坐标原点，点A 的坐标为(,0)a ,点B 的坐标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM 的斜率为5 10 。[学优高考网] （1）求E 的离心率e; (2)设点C 的坐标为（0，-b ）,N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB 。 ∴a b 3 231＝5525451511052222222=?=?=-?=?e a c a c a a b （Ⅱ）由题意可知N 点的坐标为（2 ,2b a -）∴a b a b a a b b K MN 56 652 32213 1==-+= a b K AB -=∴1522-=-=?a b K K AB MN ∴MN ⊥AB 18.（2015年文）已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线
:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于 4 5 ，则椭圆E 的离心率的取值围是（ A ） A ． 3(0, ]2 B ．3(0,]4 C ．3[,1)2 D ．3[,1)4 1 19.（2015年新课标2文）已知双曲线过点() 4,3,且渐近线方程为1 2 y x =± ,则该双曲线的标准方程为 ．2 214 x y -= 20.（2015年文）已知抛物线2 2(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ B ） A ．(1,0)- B ．(1,0) C ．(0,1)- D ．(0,1) 【解析】试题分析：由抛物线22(0)y px p =>得准线2 p x =-，因为准线经过点(1,1)-，所以2p =， 所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B 考点：抛物线方程. 21.（2015年文科）如图，椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -，且离心率为22. (I)求椭圆E 的方程；2 212x y += 22.（2015年文）已知双曲线2 22 2 1(0,0)x y a b a b 的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆 2 2 2 y 3x 相切,则双曲线的方程为（ D ） (A) 2 21913x y (B) 2 2113 9 x y (C) 2 2 13 x y (D) 2 2 13 y x
圆锥曲线的基本定义性质与结论 考点一 圆锥曲线的定义 (一) 椭圆及其标准方程 1.椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 2.椭圆的标准方程： ①x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)，焦点是()()0,0,21 c F c F ，-，且c 2=a 2?b 2． ② y 2a 2+ x 2b 2 =1(a >b >0)，焦点是()()0,0,21c F c F ，-，且c 2=a 2?b 2． 3.椭圆的几何性质（用标准方程x 2 a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)研究）： 1）范围：?a ≤x ≤a ，?b ≤y ≤b ； 2）对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心； 3）椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的2121,,,B B A A ； 4）长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的A 1A 2；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段B 1B 2． 5）椭圆的离心率：e =c a ，焦距与长轴长之比，0
高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22221x y a b -=（ａ＞0，b>０）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于 （ Ｃ ） （A)3 (B)2 (Ｃ)5 （D ）6 ２.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ，右准线为l ，点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =,则||AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 （D ）. 3 3．过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是 （ ） A.2 B.3 C.5 D ．10 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直线 AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ) A ． 3 B ．22 Ｃ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ) A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” Ｄ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点)是“ 点” ６.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线ｙ=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 （ ）． Ａ. 4 5 B. ５ C. 2 5 D.5 2
高中数学圆锥曲线压轴题集锦2 一．解答题（共60小题） 1．如图，F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是双曲线C：=1（a，b＞0）的左，右焦点，过点F2作x轴的垂线交双曲线的上半部分于点P，过点F1作直线PF1的垂线交直线l：x=﹣ 于点Q． （1）若点P的坐标为（4，6），求双曲线C的方程及点P处的切线方程； （2）证明：直线PQ与双曲线C只有一个交点； （3）若过l：x=﹣上任一点M作双曲线C：=1（a，b＞0）的两条切线，切点分别为T1，T2，问：直线T1T2是否过定点，若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由． 2．已知曲线C1：+=1（a＞b＞0，x≥0）和曲线C2：x2+y2=r2（x≥0）都过点A（0，﹣1），且曲线C1所在的圆锥曲线的离心率为 （1）求曲线C1，C2的方程 （2）设点B，C分别在曲线C1，C2上，k1，k2分别为直线AB，AC的斜率，当k2=4k1时， ①直线BC是否经过定点？请说明理由 ②设E（0，1），求||?||的最大值．
3．已知B（﹣1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足||?||=?． （1）求点P（x，y）的轨迹C对应的方程． （2）如果点A（m，2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，问直线DE是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由． 4．已知F1、F2为椭圆C：的左，右焦点，M为椭圆上的动点，且? 的最大值为1，最小值为﹣2． （1）求椭圆C的方程； （2）过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点．试判断∠MAN是否为直角，并说明理由． 5．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点F1，F2关于直线x+y﹣2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点． （Ⅰ）求圆C的方程； （Ⅱ）设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线l 的方程． 6．过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l． （Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，证明：； （Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程． 7．如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4． （1）求椭圆C的方程； （2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，
第八章 圆锥曲线方程 ●考点阐释 圆锥曲线是解析几何的重点内容，这部分内容的特点是： （1）曲线与方程的基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活应用. （2）综合性强．在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容，体现了对各种能力的综合要求． （3）计算量大．要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力． ●试题类编 一、选择题 1.（2003京春文9，理5）在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（ ） 2.（2003京春理，7）椭圆?? ?=+=? ? sin 3cos 54y x （?为参数）的焦点坐标为（ ） A.（0，0），（0，－8） B.（0，0），（－8，0） C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0） 3.（2002京皖春，3）已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 4.（2002全国文，7）椭圆5x 2＋ky 2 ＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于（ ） A.－1 B.1 C. 5 D. － 5 5.（2002全国文，11）设θ∈（0，4 π），则二次曲线x 2cot θ－y 2tan θ＝1的离心率的取值范围为 （ ） A.（0，2 1） B.（ 2 2 ,21） C.（ 2,2 2 ） D.（ 2，＋∞） 6.（2002北京文，10）已知椭圆222253n y m x +和双曲线22 2 232n y m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ） A.x ＝± y 215 B.y ＝± x 215 C.x ＝±y 4 3 D.y ＝±x 4 3 7.（2002天津理，1）曲线???==θ θ sin cos y x （θ为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ） A.21 B.22 C.1 D.2
专题3、圆锥曲线与垂心问题 从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考． 三角形的垂心：三角形三条高线的交点 （1）、H 是ABC ?的垂心0HA BC HB AC HC AB ??=?=?=。 （2）、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离得2倍。 经典例题： 例1．（2020·浙江高三）记椭圆C ：2 2 21x y +=的左右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 交椭圆于A ，B ，A ， B 处的切线交于点P ，设12F F P 的垂心为H ，则PH 的最小值是（ ） A B C D 例2．（2020.江苏省高三期中）已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左?右焦点，过点2F 且垂直于 实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于A ，B 两点，则坐标原点O 可能为1ABF ?的（ ） A ．垂心 B ．内心 C ．外心 D ．重心 例3、（山东高考理）平面直角坐标系xoy 中，双曲线C 1:22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线与抛物线 22:2C x py =()0p >交于点O ,A ,B ，若OAB ?的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为 . 例4、（2020年福建省高三联考16题）已知：椭圆22 184 x y +=的右焦点为,F M 为上顶点，O 为坐标原点， 直线l 交椭圆于,P Q 两点，当F 为PQM ?的垂心时，则PQM ?的面积为 . 例5、已知点()1,0Q 在椭圆C ：2 2 12 y x +=上， 过点()0P m ， 作直线交椭圆C 于点,,A B ABQ ?的垂心
高考圆锥曲线压轴题型汇总
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高考圆锥曲线压轴题型总结 直线与圆锥曲线相交，一般采取设而不求，利用韦达定理，在这里我将这个问题分成了三种类型，其中第一种类型的变式比较多。而方程思想，函数思想在这里也用得多，两种思想可以提供简单的思路，简单的说就是只需考虑未知数个数和条件个数,。使用韦达定理时需注意成立的条件。 题型4有关定点，定值问题。将与之无关的参数提取出来，再对其系数进行处理。 （湖北卷）设A 、B 是椭圆 λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点. （Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程； （Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由. （I ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为 λ=++-=2 23,3)1(y x x k y 代入，整理得 .0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ① 设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根， 0])3(3)3([422>--+=?∴k k λ ② ) 3,1(.3) 3(2221N k k k x x 由且+-= +是线段AB 的中点，得 .3)3(,1222 1+=-∴=+k k k x x 解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A .0))(())((33, 3212121212 2222121=+-++-??????=+=+y y y y x x x x y x y x λλ 依题意， . ) (3,2 12121y y x x k x x AB ++- =∴≠ . 04),1(3). ,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+?>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλΘ
专题30圆锥曲线中的最值问题 【考情分析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。 江苏高考试题结构平稳，题量均匀?每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分 值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广.虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体.俗话说：他山之石可以攻玉.在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性?比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传 统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解.再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展 【备考策略】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： (1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； (2)不等式(组)求解法：利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式组得出参数的变化范围； (3)函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 (4)利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】 2 2 1. 已知双曲线务-每=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲 a2 b2 线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是[2, ?：：) 2 2 2. P是双曲线—-y 1的右支上一点，M N分别是圆(x + 5)2+ y2= 4和(x —5)2+ y2= 1上 9 16 的点，贝U |PM| —|PN|的最大值为乙 24 3. 抛物线y=-x上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是一 2 4. 已知抛物线y2=4x,过点F(4,0)的直线与抛物线相交于A(X1,y",B(x 2,y 2)两点，贝U y^+y?2 的最小值是32 . 5. 已知点M-2 , 0), N2,0)，动点P满足条件| FM |-|PN |=2、.2.记动点F的轨迹为W (I)求W的方程；_1 (n)若A, B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA OB的最小值. 解：(I)依题意，点P的轨迹是以M N为焦点的双曲线的右支， 2 2 所求方程为：———=1 (x 0) 2 2 (n)当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为斗x= x o, 此时A (x o,?林0 —2 ), B (X0, —丿X。一2 ), (A(B' = 2
数学高考圆锥曲线压轴题经典预测 一、圆锥曲线中的定值问题 y2 ＝ b2 （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m－k为定值． y2 ＝ b2
二、圆锥曲线中的最值问题 y2 ＝ b2 （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D 在椭圆C上，且A D⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点． （i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值； （ii）求△OMN面积的最大值． ★★已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形． （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E， （ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；
（Ⅰ）求C1、C2的方程； （Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值． 三、圆锥曲线与过定点（定直线）问题
四、圆锥曲线与求参数 ★★在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴 （Ⅰ）求椭圆C的方程； 的中点，射线OE交椭圆C与点P，设OP→＝tOE→，求实数t的值． 五、存在性问题 y2 ＝ b2
②问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k OA、k OB、k OC、k OD满足k OA＋k OB＋k OC＋k OD＝0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 六、轨迹方程
绝密★启用前 2013-2014学年度12月练考卷 圆锥曲线 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 一、选择题 1．F 1，F 2是双曲线22 22:1(,0)x y C a b b a b -=>>的左、右焦点，过左焦点F 1的直线l 与 双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率是（ ） A B C ．2 D 【答案】A 【解析】 试题分析： 22||:||:||3:4:5AB BF AF =，令)0(3>=m m AB ，m BF 4||2=， m AF 5||2=， ∴2BF AB ⊥， 由双曲线的定义a AF AF 2||||12=-，a BF BF 2||||12=-， a m AF 25||1-=∴，a m BF 24||1+=， ||||||11AB AF BF +=， ∴m a m a m 32524+-=+，即a k =， ∴由勾股定理知，222)2()4()6(c a a =+，求得 13=a c （负值舍去）， 故13=e . 考点：双曲线的定义，性质.
2．已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线2 21x y m +=的离心率为 （ ） D.56 或7 【答案】C 【解析】 试题分析：因为，实数4,,9m 构成一个等比数列，所以， 6m ==±. 当6m =时，圆锥曲线22 1x y m +=为2216 x y +=， 表示焦点在x 轴的椭圆，其离心率6 e ==； 当6m =-时，圆锥曲线22 1x y m +=为-2216 x y -+=表示焦点在y 轴的双曲线，其离 心率为e ==C ． 考点：椭圆、双曲线的几何性质. 3．中心在原点的双曲线，一个焦点为(0F ，1，则双曲线的方程是（ ） A ．22 1 2x y - = B ．22 12y x -= C ．221x = D ．221y -= 【答案】A 【解析】 试题分析：由焦点为(0F ，所以，双曲线的焦点在y 轴上，且c ，焦点到 1，所以，a 1）＝1，所以，b = ， 所以，双曲线方程为：2 2 12 x y -=.本题容易错选B ，没看清楚焦点的位置，注意区分. 考点：双曲线的标准方程及其性质. 4．设12,F F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若 a PF PF 6||||21=+，且12PF F ?的最小内角为30，则C 的离心率为（ ）
4.2 解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1．(2010·安徽)双曲线方程为x 2 －2y 2 ＝1，则它的右焦点坐标为 ( ) A. ????22，0 B.????52，0 C.??? ?62，0 D ．(3，0) 解析：∵原方程可化为x 21－y 2 1 2＝1，a 2＝1， b 2＝12， c 2＝a 2＋b 2＝32， ∴右焦点为????6 2 ，0. 答案：C 2．(2010·天津)已知双曲线x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个 焦点在抛物线y 2 ＝24x 的准线上，则双曲线的方程为 ( ) A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2 108－y 2 36＝1 D.x 2 27－y 2 9 ＝1 解析：∵渐近线方程是y ＝3x ，∴b a ＝ 3.① ∵双曲线的一个焦点在y 2＝24x 的准线上， ∴c ＝6.② 又c 2＝a 2＋b 2，③ 由①②③知，a 2＝9，b 2＝27， 此双曲线方程为x 29－y 2 27＝1. 答案：B
4．(2010·辽宁)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝() A．4 3 B．8 C．8 3 D．16 解析：解法一：AF直线方程为： y＝－3(x－2)， 当x＝－2时，y＝43，∴A(－2,43)． 当y＝43时代入y2＝8x中，x＝6， ∴P(6,43)， ∴|PF|＝|P A|＝6－(－2)＝8.故选B. 解法二：∵P A⊥l，∴PA∥x轴． 又∵∠AFO＝60°，∴∠F AP＝60°， 又由抛物线定义知P A＝PF， ∴△P AF为等边三角形． 又在Rt△AFF′中，FF′＝4， ∴F A＝8，∴P A＝8.故选B. 答案：B 5．高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为() A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线 解析：如图1，假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆 顶端仰角相等的点，由于∠BPA＝∠DPC，则Rt△ABP∽Rt△CDP，BA P A DC PC ，从而 PC＝2P A.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2)，则A(－5,0)，C(5,0)，设P(x，y)，得(x－5)2＋y2＝2(x＋5)2＋y2 化简得x2＋y2＋50 3 x＋25＝0，显然，P点的轨迹为圆．
一、圆锥曲线中的定值问题 y2 b2＝ （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率 为m，证明2m－k为定值． y2 b2＝ 线l的方程为x＝4． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． y2 b2＝ 过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围； （Ⅲ）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证 y2＝1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在 C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）． （Ⅰ）求双曲线C的方程；
|NF| 定值，并求此定值． 二、圆锥曲线中的最值问题 y2 b2＝ （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且A D⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值； （ii）求△OMN面积的最大值． ★★已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形． （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E， （ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标； （ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． y2 b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦 y2 b2＝1的左、右焦点分 （Ⅰ）求C1、C2的方程； （Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为A B的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形AP B Q面积的最小值．
第八章 圆锥曲线方程 ●考点阐释 圆锥曲线是解析几何的重点容，这部分容的特点是： （1）曲线与方程的基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活应用. （2）综合性强．在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等容，体现了对各种能力的综合要求． （3）计算量大．要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力． ●试题类编 一、选择题 1.（2003京春文9，理5）在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（ ） 2.（2003京春理，7）椭圆?? ?=+=? ? sin 3cos 54y x （?为参数）的焦点坐标为（ ） A.（0，0），（0，－8） B.（0，0），（－8，0） C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0） 3.（2002京皖春，3）已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 4.（2002全国文，7）椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于（ ） A.－1 B.1 C.5 D. － 5 5.（2002全国文，11）设θ∈（0， 4 π ），则二次曲线x 2cot θ－y 2tan θ＝1的离心率的取值围为（ ） A.（0， 2 1 ） B.（ 22 ,21） C.（ 2,2 2 ） D.（ 2，＋∞） 6.（2002文，10）已知椭圆222253n y m x +和双曲线22 2 232n y m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ） A.x ＝± y 2 15 B.y ＝± x 2 15
圆锥曲线60道题 一．解答题（共60小题） 1．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2， 直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点． （1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值； （2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系； （3）若a=2，且k OA?k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值． 2．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，设点A（0，b），在△AF1F2中，，周长为． （1）求椭圆Γ的方程； （2）设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为﹣1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标； （3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆Γ上的一个动点，试根据△AEP面积S的不同取值范围，讨论△AEP存在的个数，并说明理由． 3．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2： y2=4x的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=． （Ⅰ）求椭圆C1的方程； （Ⅱ）已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C1上，顶点B，D在直线7x﹣7y+1=0上，求直线AC的方程． 4．已知F1（﹣2，0），F2（2，0），点P满足|PF1|﹣|PF2|=2，记点P的轨迹为E． （1）求轨迹E的方程；
（2）若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点． （i）无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求实数m的值． （ii）在（i）的条件下，求△MPQ面积的最小值． 5．在平面直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为B（0，﹣1），C（0，1），平面内两点P、Q 同时满足： ①++=；②||=||=||；③∥． （1）求顶点A的轨迹E的方程； （2）过点F（，0）作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1，l2与点A的轨迹E的相交弦分别为A1B1，A2B2，设弦A1B1，A2B2的中点分别为M，N． （ⅰ）求四边形A1A2B1B2的面积S的最小值； （ⅱ）试问：直线MN是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由． 6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程． （Ⅱ）如图，动直线l：y=k1x﹣交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的 斜率为k2，且k1k2=，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率． 7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，F1、F2分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且||=2．
第五章压轴题秒杀 很多朋友留言说想掌握秒杀的最后一层。关于秒杀法的最难掌握的一层，便是对于高考数学压轴题的把握。压轴题，各省的难度不一致，但毫无疑问，尤其是理科的，会难倒很多很多很多人。 不过，压轴题并不是那般神秘难解，相反，出题人很怕很怕全省没多少做出来的，明白么？他很怕。那种思想，在群里面我也说过，在这里就不多啰嗦了。 想领悟、把握压轴题的思路，给大家推荐几道题目。 全是数学压轴题，且是理科（09的除山东的外我都没做过，所以不在推荐范围内）。 08全国一，08全国二，07江西，08山东，07全国一 一年过去了，很多题目都忘了，但这几道题，做过之后，虽然一年过去了，可脉络依然清晰。都是一些可以秒杀的典型压轴题，望冲击清华北大的同学细细研究。 记住，压轴题是出题人在微笑着和你对话。 具体的题目的“精”，以及怎么发挥和压榨一道经典题目的最大价值，会在以后的视频里面讲解的很清楚。 不过，我还是要说一下数列压轴题这块大家应该会什么（难度以及要求依次增高）\ 1：通项公式的求法（不甚解的去看一下以前的教案，或者问老师，这里必考。尤其推荐我押题的第一道数列解答题。） 2.：裂项相消（各种形式的都要会）、迭加、迭乘、错位相减求和（这几个是最基本和简单的数列考察方式，一般会在第二问考） 3：数学归纳法、不等式缩放 基本所有题目都是这几个的组合了，要做到每一类在脑中都至少有一道经典题想对应才行哦。 开始解答题了哦，先来一道最简单的。貌似北京的大多挺简单的。 这道题意义在什么呢？对于这道题在高考中出现的可能性我不做解释，只能说不大。意义在于，提醒大家四个字，必须必须必须谨记的四个字：分类讨论！！！！！！！ 下面07年山东高考的这道导数题，对分类讨论的考察尤为经典，很具参考性，类似的题目在08、09、10年高考题中见了很多。 (22)(本小题满分14分) 设函数f(x)=x2+b ln(x+1),其中b≠0. (Ⅰ)当b> 时，判断函数f(x)在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数f(x)的极值点； （Ⅲ）证明对任意的正整数n,不等式ln( )都成立. 这道题我觉得重点在于前两问，最后一问..有点鸡肋了~ 这道题，太明显了对吧？
1. 已知点100(,)P x y 为双曲线 22 22 1(8x y b b b -=为正常数）上任一点，2F 为双曲线的右焦点，过1P 作右准线的垂线，垂足为A ，连接2F A 并延长交y 轴于点2P ． （1）求线段12P P 的中点P 的轨迹E 的方程； （2）设轨迹E 与x 轴交于B ，D 两点，在E 上任取一点Q 111()(0)x y y ≠，，直线QB ，QD 分别交于y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 2. 如图，已知圆G ：2 2 2 (2)x y r -+=是椭圆2 216 x y +=1的内接ABC △的内切圆，其中A 为椭圆的左顶点． （1）求圆G 的半径r ； （2）过点M （0，1）作圆G 的两条切线交椭圆于E ，F 两点，证明：直线EF 与圆G 相切． x
3. 设点00(,)P x y 在直线(01)x m y m m =≠±<<，上，过点P 作双曲线22 1x y -=的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，定点10M m ?? ??? ，． （1）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求AMN △的垂心G 所在的曲线方 程； （2）求证：A M B 、、三点共线． 4. 作斜率为1 3 的直线l 与椭圆22:1364x y C +=交于,A B 两点（如图所示）， 且P 在直线l 的左上方. （1）证明：PAB ? 的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若60o APB ∠=，求PAB ?的面积. A x y O P B
5. 如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，x 轴被曲线2 2:C y x b =-截得 的线段长等于1C 的长半轴长.（1）求1C ，2C 的方程；（2）设2C 与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A,B ，直线MA,MB 分别与1C 相交与,D E . ①证明：MD ME ⊥； ②记MAB ?,MDE ?的面积分别是1S ，2S .问：是否存在直线l ,使得121732 S S =？请说明理由. 6. 已知抛物线2 :4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D . （1）证明：点F 在直线BD 上； （2）设8 9 FA FB =，求BDK ?的内切圆M 的方程 .
圆锥曲线综合检测1 一、单选题 1．已知椭圆22 1102 x y m m +=--的长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于（ ） A ．8 B ．7 C ．5 D ．4 2．若抛物线24y x =上的点M 到焦点的距离为10，则M 点到y 轴的距离是（ ） A ．6 B ．8 C ．9 D ．10 3．已知直线l 在y 轴上的截距为2，且与双曲线22 13 y x -=的渐近线平行，则直线l 的 方程是（ ） A ．2y = + B ．2y =+或2y =+ C ．2y x = +或2y x =+ D ．2y x = + 4．已知双曲线()22 22100x y a b a b -=>>，的左右焦点分别为()()1200F c F c -，，，，若直线2y x =与双曲线的一个交点P 的横坐标恰好为c ，则双曲线的离心率为（ ） A B ．2 C 1 D 1 5．已知双曲线22 215 x y a -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的焦 点到其渐近线的距离等于() A B ．3 C ．5 D ．6．已知点P 是双曲线C ：x 2 2 4 y -=1的一条渐近线y ＝kx （k ＞0）上一点，F 是双曲线 C 的右焦点，若△OPF 的面积为5，则点P 的横坐标为（ ） A ． B C ．± D ．7．若双曲线2 22312x y a -=的离心率为2，则其渐近线方程为（ ） A ．3 y x =± B ．y =
C ．1 3 y x =± D ．3y x =± 8．抛物线2y mx =的准线方程为（ ） A ．4m y =± B ．14x m =± C ．1 4y m =- D ．4 m x = 9．与直线240x y -+=平行的抛物线2y x 的切线方程为（ ） A ．230x y -+= B ．230x y --= C ．210x y -+= D ．210x y --= 10．已知F 是椭圆225945x y +=的左焦点，P 是此椭圆上的动点，()1,1A 是一定点，则3 2 PA PF + 的最小值为（ ） A ． 72 B ． 92 C ． 112 D ． 132 11．已知椭圆x 2+4y 2=12的左、右焦点分别为F 1?F 2，点P 在椭圆上，线段PF 1的中点在y 轴上，则∣PF 1∣是∣PF 2∣的（ ） A ．3倍 B ．4倍 C ．5倍 D ．7倍 12．设1F 、2F 分别是椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上， 线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=?，则椭圆C 的离心率为（ ） A ． 3 3 B 3 C ． 13 D ． 16 二、填空题 13．若椭圆2 2 1y x m +=的焦距是4，则m =________ 14．设F 为抛物线C ：28y x =的焦点，过F 且倾斜角为60的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为_______ 15．设F 为抛物线2 :12C y x =的焦点，经过点()1,0P 的直线与抛物线交于A ， B 两点，且2BP PA =，则||||AF BF += __________． 16．已知,A B 为双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右顶点，过点B 与双曲线的一条
2010年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线 一、选择题 1、（2010湖南文数）5. 设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 解析：抛物线的准线为：x=－2，点P 到准线距离为4＋2＝6，所以它到焦点的距离为6。. 2、（2010全国卷2理数）（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为2，过右焦点F 且斜率为 (0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k = （A ）1 （B （C （D ）2 【答案】B 【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义. 【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过 B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得， ，由，得， ∴ 即k= ，故选B. 3、（2010陕西文数）9.已知抛物线y 2 ＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2 ＋y 2 ＝16相切，则p 的值为 [C] （A ） 1 2 （B ）1 （C ）2 （D ）4 解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一：抛物线y 2 ＝2px （p >0）的准线方程为2 p x -=，因为抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2 ＋y 2 ＝16相切，所以2,42 3==+ p p 法二：作图可知，抛物线y 2 ＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2 ＋y 2 ＝16相切与点（-1,0） 所以2,12 =-=- p p 4、（2010辽宁文数）（9）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一 条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为