1. (2016 四川省广安市) 】．在数学活动课上，老师要求学生在5×5的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行．画四种图形，并直接写出其周长（所画图象相似的只算一种）．
答案：】．考点作图—相似变换．
分析在图1中画等腰直角三角形；在图2、3、4中画有一条直角边为，另一条直角边分别为3，4，2的直角三角形，然后计算出四个直角三角形的周长．
解答解：如图1，三角形的周长=2+；
如图2，三角形的周长=4+2；
如图3，三角形的周长=5+；
如图4，三角形的周长=3+．
20160925134830312205 5 坐标系中的位似变换解决问题2016/9/25
1.1 直角坐标系中的平移变换与伸缩变换 目标：平移变换与伸缩变换的应用与理解 一.直角坐标系 1.直线上，取定一个点为原点，规定一个长度为单位长度，规定直线的一个方向为正方向。这样我们就建立了直线上的坐标系 (即数轴)。它使直线上任意一点P 都可以由惟一的实数x 来确定。 2.平面上，取定两条互相垂直的直线作为x 、y 轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这两条直线的正方向。这样我们就建立了平面直角坐标系。它使平面上任意一点P 都可以由惟一的二元有序实数对),(y x 来确定。 3.在空间中，选择三条两两垂直且交于一点的直线，以这三条直线分别作为x 、y 、z 轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这三条直线的正方向。这样我们就建立了空间直角坐标系。它使空间中任意一点P 都可以由惟一的三元有序实数对),,(z y x 来确定。 事实上，直线上所有点的集合与全体实数的集合一一对应；平面上所有点的集合与全体二元有序数对),(y x 的集合一一对应；空间中所有点的集合与全体三元有序数对),,(z y x 的集合一一对应. 二.平面直角坐标系中图形的平移变换 1.平移变换 在平面内，将图形F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为 图形F 的平移。若以向量a 表示移动的方向和长度，我们也称图形F 按向量a 平移． 在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为),(y x ，向量),(k h a = ，平移后的对应点为),(y x P '''. 则有：),(),(),(y x k h y x ''=+ 即有：?? ?' =+'=+y k y x h x . 因此，我们也可以说，在平面直角坐标系中，由???' =+'=+y k y x h x 所确定的变换 是一个平移变换。
第2课时 坐标系中的位似图形 要点感知 一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同的倍数，所得的图形与原图形是以 为位似中心的位似图形.在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，位似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 . 预习练习1-1 (2019·孝感)在平面直角坐标系中，已知点E(-4，2)，F(-2，-2)，以原点O 为位似中心，相似比为12，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E ′的坐标是( ) A.(-2，1) B.(-8，4) C.(-8，4)或(8，-4) D.(-2，1)或(2，-1) 1-2 如图，已知O 是坐标原点，△OBC 与△ODE 是以O 点为位似中心的位似图形，且△OBC 与△ODE 的相似比为1∶2，如果△OBC 内部一点M 的坐标为(x ，y)，则M 在△ODE 中的对应点M ′的坐标为( ) A.(-x ，-y) B.(-2x ，-2y) C.(-2x ，2y) D.(2x ，-2y) 1-3 △ABC 和△A ′B ′C ′关于原点位似，且点A(-3，4)，它的对应点A ′(6，-8)，则△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是 . 知识点 以坐标原点为位似中心的位似图形的坐标变化规律 1.(2019·青岛)如图，△ABO 缩小后变为△A ′B ′O ，其中A ，B 的对应点分别为A ′，B ′点A ，B ，A ′，B ′均在图中在格点上.若线段AB 上有一点P(m ，n)，则点P 在A ′B ′上的对应点P ′的坐标为( ) A.(2m ，n) B.(m ，n) C.(m ，2n ) D.(2m ，2 n ) 2.如图，原点O 是△ABC 和△A ′B ′C ′的位似中心，点A(1，0)与点A ′(-2，0)是对应点，点B(2，2)，则B ′点的坐标 . 3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△A ′B ′C ′是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，且点B(3，1)，B ′(6， 2). (1)若点A(52 ，3)，则A ′的坐标为 ；
第2课时 坐标系中的位似关系 基础题 知识点1 位似图形的坐标变换 1．(辽阳中考)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO 与△A ′B ′O ′是以点P 为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P 的坐标为( ) A ．(0，0) B ．(0，1) C ．(－3，2) D ．(3，－2) 2．如图，已知E(－4，2)，F(－1，－1)，以原点O 为位似中心，在y 轴右侧按比例尺1∶2把△EFO 缩小，则E 点对应点E ′的坐标为( ) A ．(2，1) B ．(12，12) C ．(2，－1) D ．(2，－1 2 ) 3．如图，平面直角坐标系中，有一条鱼，它有六个顶点，则( ) A ．将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似 B ．将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似 C ．将各点横、纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似 D ．将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以1 2 ，得到的鱼与原来的鱼位似 4．如图，表示△AOB 以O 为位似中心，扩大到△COD ，各点坐标分别为B(3，0)，D(4，0)，则△AOB 与△C OD 的相似比为________． 5．(荆门中考)如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，相似比为1∶2，点A 的坐标为(0，1)，则点E 的坐标是________．
6．如图，原点O 是△ABC 和△A ′B ′C ′的位似中心，点A(1，0)与点A ′(－2，0)是对应点，△ABC 的面积是3 2， 则△A ′B ′C ′的面积是________． 7．四边形ABCD 各顶点的坐标分别为A(1，3)、B(5，2)、C(8，4)、D(6，9)，四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1是以原点为位似中心，相似比为1 2 的位似图形，且四边形A 1B 1C 1D 1在第一象限．写出各点坐标． 知识点2 直角坐标系中位似图形的画法 8．如图，点A 的坐标为(0，－2)，点B 的坐标为(2，－1)，将图中△ABC 以B 为位似中心，放大到原来的2倍，得到△A ′BC ′. (1)在网格图中画出△A ′BC ′(保留痕迹，标上字母，不必写作法)； (2)根据你所画的正确的图形写出：与点A 对应的点A ′的坐标为________． 中档题 9．如图，以某点为位似中心，将△AOB 进行位似变换得到△CDE ，记△AOB 与△CDE 对应边的比为k ，则位似中心的坐标和k 的值分别为( ) A ．(0，0)，2 B ．(2，2)，1 2
图形在坐标中的平移（基础）知识讲解 【学习目标】 1. 能在直角坐标系中用坐标的方法研究图形的平移变换，掌握图形在平移过程中各点的变化规律，理解图形在平面直角坐标系上的平移实质是点坐标的对应变换. 2. 运用点的坐标的变化规律来进行简单的平移作图. 【要点梳理】 要点一、点在坐标中的平移 在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)． 要点诠释： （1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减； （2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减； （3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．要点二、图形在坐标中的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 要点诠释： （1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决． （2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化. 【典型例题】 类型一、点在坐标中的平移 1．写出下列各点平移后的点的坐标： （1）将A（-3，2）向右平移3个单位； （2）将B（1，-2）向左平移3个单位； （3）将C（4，7）向上平移2个单位； （4）将D（-1，2）向下平移1个单位． （5）将E（2，-3）先向右平移1个单位，再向下平移1个单位． 【思路点拨】根据平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．即可得出平移后点的坐标． 【答案与解析】 解：由题意可得： （1）平移后点的坐标为：（0，2）； （2）平移后点的坐标为：（-2，-2）； （3）平移后点的坐标为：（4，9）； （4）平移后点的坐标为：（-1，1）； （6）平移后点的坐标为：（3，-4）． 【总结升华】本题考查了点的平移及平移特征，掌握平移中点的变化规律是关键．
课题：点在平面直角坐标系内的运动规律 教学目的： 1、探究点在直角坐标系的坐标研究变化规律，寻找解决 这类问题的方法。 教学难点： 1、如何发现规律； 2、运用什么样的方法研究 教学过程： 1、新课引入 2、探究新课 例题 1、机器人从 O 点出发，向正东方向走 3 米，到达 A1点，再向正北方向走 6 米到达 A2点，再向正西方向走 9 米到达 A3点，再向正南方向走 12 米到达 A4点，再向正东方向走 15 米到达 A5点······按此规律走下去，则 A6的坐标 _______,A108的坐标 _______. y A10 A7 A6 A3A2 x O R A1 A4A5 A9 A8 小结：先找出各象限的点的坐标规律，然后研究周期数，找出所求的点在哪个象限。 例题 2、如图、在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数 的点，其顺序按图中图片方向排列，如(1,0),(2,0),(2,1), (1,1),(1,2),(2,2),···，根据这个规律，第 2014 个点的横坐标为 ________.
5 y 4 3 2 1 x O 小：通研究点于的序数的位置律，而写出点的坐。关的是序数的排列律。 例 3、如、点 P 在平面直角坐系中按如中箭所示的 方向运，第 1 次从原点运到点 (1,1),第 2 次从点 (1,1)运 到点 (2,1),第 3 次从点 (2,1)运到点 (3,2),······按的运 律，第 2014 次运后，点P 的坐是 ________. y D H L (3, 2)(7, 2)(11, 2) B F J (1, 1)(5, 1)(9, 1) O (2, 0)(4, 0)(6, 0)(8, 0)(10, 0)(12, 0)x C E G I K M 小： _____________________________________________. 例 4、如，在平面直角坐系上有点A（ 1，0），点 A 第一次跳至点 A1（-1，1），第二次跳至点A2（ 2，1），第三次跳 至点 A3（-2，2），第四次向右跳 5 个位至点 A4（3，2）， ???，依此律跳下去，点 A 第 100 次跳至点 A100 的坐 是________.
坐标系平移和旋转 平面上的坐标系 地理坐标是一种球面坐标。由于地球表面是不可展开的曲面，也就是说曲面上的各点不能直接表示在平面上，因此必须运用地图投影的方法，建立地球表面和平面上点的函数关系，使地球表面上任一点由地理坐标（φ、λ）确定的点，在平面上必有一个与它相对应的点，平面上任一点的位置可以用极坐标或直角坐标表示。 平面直角坐标系的建立 在平面上选一点O为直角坐标原点，过该点O作相互垂直的两轴X’OX和Y’OY而建立平面直角坐标系，如图5所示。 直角坐标系中，规定OX、OY方向为正值，OX、OY方向为负值，因此在坐标系中的一个已知点P，它的位置便可由该点对OX与OY轴的垂线长度唯一地确定，即x=AP，y=BP，通常记为P(x，y)。 平面极坐标系（Polar Coordinate）的建立 图:平面直角坐标系和极坐标系 如图5所示，设O’为极坐标原点，O’O为极轴，P是坐标系中的一个点，则O’P称为极距，用符号ρ表示，即ρ=O’P。∠OO’P为极角，用符号δ表示，则∠OO’P=δ。极角δ由极轴起算，按逆时针方向为正，顺时针方向为负。
极坐标与平面直角坐标之间可建立一定的关系式。由图5可知，直角坐标的x轴与极轴重合，二坐标系原点间距离OO’用Q表示，则有： X=Q–ρcosδ Y=ρsinδ 直角坐标系的平移和旋转 坐标系平移 如图1所示，坐标系XOY与坐标系X’O’Y’相应的坐标轴彼此平行，并且具有相同的正向。坐标系X’O’Y’是由坐标系XOY平行移动而得到的。设P点在坐标系XOY中的坐标为(x，y)，在X’O’Y’中坐标为(x’，y’)，而(a，b)是O’在坐标系XOY中的坐标，于是： x=x’+a y=y’+b 上式即一点在坐标系平移前后之坐标关系式。 图1：坐标平移 坐标系旋转 如图2所示，如坐标系XOY与坐标系X’O’Y’的原点重合，且对应的两坐标轴夹角为θ，坐标系X’O’Y’是由坐标系XOY以O为中心逆时针旋转θ角后得到的。 x=x’cosθ+y’sinθ
第2课时 平面直角坐标系中的位似变换 1.理解位似图形的坐标变化规律；（难点） 2.能熟练在坐标系中根据坐标的变化规律作出位似图形.（重点） 一、情景导入 观察如图所示的坐标系中的几个图形，它们之间有什么联系？ 二、合作探究 探究点：平面直角坐标系中的位似变换 【类型一】 求在坐标系中进行位似变化对应点的坐标 在平面直角坐标系中，已知点A （6，4），B （4，－2），以原点O 为位似中心，相似比为1 2，把△ABO 缩小，则点A 的 对应点A ′的坐标是（ ） A.（3，2） B.（12，8） C.（12，8）或（－12，－8） D.（3，2）或（－3，－2） 解析：根据题意画出相应的图形，找出点A 的对应点A ′的坐标即可 . 如图，△A ′B ′O 与△A ″B ″O 即为所作的位似图形，可求得点A 的对应点的坐标为 （3，2）或（－3，－2）.故选D. 方法总结：位似图形与位似中心有 两种情况：（1）位似图形在位似中心两侧；（2）位似图形在位似中心同侧.若题中未指 明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏 解. 【类型二】 在平面直角坐标系中画位似图形 如图，在平面直角坐标系中，A （1，2），B （2，4），C （4，5），D （3，1）围成四边形ABCD ，作出一个四边形ABCD 的位 似图形，使得新图形与原图形对应线段的比为2：1，位似中心是坐标原点 . 解析：以坐标原点O 为位似中心的两个位似图形，一种可能是位似图形在位似中心同侧，此时各顶点的坐标比为2；另一种可能是位似图形在位似中心的两侧，此时各顶点的坐标比为－2，此题作出一个即可. 解：如图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律，分别取A ′（2，4），B ′（4，8），C ′（8，10），D ′（6，2），顺次连接A ′B ′，B ′C ′，C ′D ′，D ′A ′. 则四边形A ′B ′C ′D ′就是四边形ABCD 的一个位似图形. 方法总结：画以原点为位似中心的位似图形的方法：将一个多边形各点的横坐标与纵坐标都乘±k （或除以±k ），可得新多边形各顶点的坐标，描出这些点并顺次连接这些点即可.
27.3.2 平面直角坐标系中的位似 一、教学目标 知识与技能 1．巩固位似图形及其有关概念． 2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小 比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律． 过程与方法 了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找 出这些变换． 情感态度与价值观 培养学生从特殊到一般地认识事物，获得数学的经验，激发学生探索知识 的兴趣 二、重、难点 重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换 难点：一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律 三、课堂引入 1．如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，（1）将△ABC 向左平移三个单位得到△A 1B 1C 1，写出A 1、B 1、C 1三点的坐标； （2）写出△ABC 关于x 轴对称的△A 2B 2C 2三个顶点A 2、B 2、C 2的坐标； （3）将△ABC 绕点O 旋转180°得到△A 3B 3C 3，写出A 3、B 3、C 3三点的坐标． 2．在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何 用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似 也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形 坐标的变化来表示． 3．探究： （1）如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点 O 为位似中心，相似比为31，把线段AB 缩小．观察对应点之间坐标的变化，你 有什么发现？ （2）如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)， 以点O 为位似中心，相似比为2，将△ABC 放大，观察对应顶点 坐标的变化，你有什么发现？ 【归纳】 位似变换中对应点的坐标的变化规律：
7.2.2 用坐标表示平移 一、教学目标 1、知识与技能： 掌握点的平移规律，图形平移与坐标变化的关系，能利用点的平移规律将平面图形进行平移． 2、过程与方法： 经历点的坐标变化与图形变化之间关系的探索过程,感受并了解图形的平移变化与点的坐标变化之间的关系 3、情感态度价值观： 培养学生主动探索，敢于实践的创新精神，让学生学会主动寻求解决问题的途径，从成功中体会研究数学问题的乐趣，从而增强学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 二、学情分析 1、知识掌握上，七年级学生刚刚学习直角坐标系，对直角坐标系及坐标的理解不一定很深刻，许多学生容易造成知识混乱，所以应全面系统的去讲述。 2、由于七年级学生的理解能力、思维特征和生理特征，学生好动性，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬等特点，所以在教学中应抓住学生这一生理心理特点，一方面要运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。 3、心理上，学生对数学课的兴趣，老师应抓住这有利因素，引导学生认识到数学课的科学性，学好数学有利于其他学科的学习以及学科知识的渗透性三、教学重点、难点 教学重点：掌握图形平移与坐标变化的关系； 教学难点：利用图形平移与坐标变化的关系解决实际问题。 四、教学过程： （一）温故知新，复习引入 复习平移概念及性质。 (1)什么叫平移？ (2)平移之后得到的新图形与原图形有什么关系？ 设计说明：从学生已有的数学知识出发，回顾平移的相关知识，为新知识、新课题的学习奠定了基础，从而也很自然地过渡到新课题的学习中去。 （二）合作交流，探究新知 1、探究点的平移与坐标的变化 （1）如图,将点A(－2, －3)向右平移5 得到点A1,在图上标出这个点,并写出它的坐标. 问：你从刚才的探究中发现什么规律了吗？ 归纳： 把点A向左平移2个单位呢?将点 （x，y）向右平移a个单位长度，对应点的横坐 标 a ，而纵坐标不变，即坐标变为。 将点（x，y）向左平移a个单位长度，
九年级数学上册教案 吧 斗 Assistant teacher 为 梦 想 奋
第2课时 平面直角坐标系中的位似变换 1.理解位似图形的坐标变化规律；（难点） 2.能熟练在坐标系中根据坐标的变化规律作出位似图形.（重点） 一、情景导入 观察如图所示的坐标系中的几个图形，它们之间有什么联系？ 二、合作探究 探究点：平面直角坐标系中的位似变换 【类型一】 求在坐标系中进行位似变化对应点的坐标 在平面直角坐标系中，已知点A （6，4），B （4，－2），以原点O 为位似中心，相似比为12 ，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是（ ） A.（3，2） B.（12，8） C.（12，8）或（－12，－8） D.（3，2）或（－3，－2） 解析：根据题意画出相应的图形，找出点A 的对应点A ′的坐标即可. 如图，△A ′B ′O 与△A ″B ″O 即为所作的位似图形，可求得点A 的对应点的坐标为（3，2）或（－3，－2）.故选D. 方法总结：位似图形与位似中心有两种情况：（1）位似图形在位似中心两侧；（2）位似图形在位似中心同侧.若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解. 【类型二】 在平面直角坐标系中画位似图形 如图，在平面直角坐标系中，A （1，2），B （2，4），C （4，5），D （3，1）围成四边形ABCD ，作出一个四边形ABCD 的位似图形，使得新图形与原图形对应线段的比为2：
1，位似中心是坐标原点. 解析：以坐标原点O为位似中心的两个位似图形，一种可能是位似图形在位似中心同侧，此时各顶点的坐标比为2；另一种可能是位似图形在位似中心的两侧，此时各顶点的坐标比为－2，此题作出一个即可. 解：如图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律，分别取A′（2，4），B′（4，8），C′（8，10），D′（6，2），顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′. 则四边形A′B′C′D′就是四边形ABCD的一个位似图形. 方法总结：画以原点为位似中心的位似图形的方法：将一个多边形各点的横坐标与纵坐标都乘±k（或除以±k），可得新多边形各顶点的坐标，描出这些点并顺次连接这些点即可. 三、板书设计 平面直角坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|. 位似变换是特殊的相似变换.以学生的自主探究为主线，培养学生的探索精神和合作意识.注重数形思想的渗透，通过坐标变换，在平面坐标系中，让学生画图、观察、归纳、交流，得出结论.在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律.通过交流合作，体验到成功的喜悦，树立学好数学的自信心. 第2课时平面直角坐标系中的位似变换 教学目标 1、理解图形在平面直角坐标系中的相似变换方法与性质； 2、会在平面直角坐标系中的进行图形的相似变换，掌握在平面直角坐标系中相似变换的坐标关系； 3、了解伸缩变换与反向位似图形的概念； 教学重点： 图形在平面直角坐标系中的相似变换方法与性质；
16.1 坐标轴平移 【学习目标】：1、掌握坐标变化与图形平移的关系；能利用点的平移规律将平面 图形进行平移；会根据图形上点的坐标的变化，来判定图形的 移动过程． 2、培养学生形象思维能力，和数形结合的意识． 3、培养学生探究的兴趣和归纳概括能力，体会使复杂问题简单化． 【学习重点】：掌握坐标变化与图形平移的关系． 【学习难点】：利用坐标变化与图形平移的关系解决实际问题． 【学习过程】： 一、预习检查： 预习P38—39页例1内容并回答： 在平面直角坐标系中，将点（x ，y ）向右（或左）平移a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y ）或_______．将点（x ，y ）向上（或下）平移b 个单位，可以得到对应点（x ，y +b ）或_______． 二、自主探究、课堂展示： 一般地，若坐标系xOy 平移后得到新坐标,y O x '''O '在原坐标系xOy 中的坐标是),,(00y x 则有以下关系 ???==_______,_______,y x 或 ???='='_______, _______,y x 其中),(y x 为点在坐标系xOy 中的坐标，),(y x ''为点在坐标系y O x '''中的坐标. 以上公式叫做坐标轴平移的坐标变换公式. 例 2 将坐标轴的原点平移至),2,1(O '利用坐标轴平移的坐标变换公式,求下列各点在新坐标系中的坐标: ),8,0(A ),2,1(B ),0,6(C ),2,1(--D ).7,5(-E
例3平移坐标轴,将原点移至),1,2(-'O 求下列曲线在新坐标系中的方程: (1) ;2=x (2) ;1-=y (3) .1+=x y 例4. 平移坐标轴,化简曲线方程.0542=+-+y x x 三、自我检测： 1. 在平面直角坐标系中，把点P （-1，-2）向上平移4个单位长度所得点的坐标是 . 2. 将P （-4，3）沿x 轴负方向平移两个单位长度，再沿y 轴负方向平移两个单位长度，所得到的点的坐标为 . 3. 将点A （4，3）向 平移 个单位长度后，其坐标的变化是 . 4. 将点P(-3，y)向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q(x ，-1)，则 xy=_______. 四、拓展提高 1.如下图所示的鱼是将坐标为（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，-1），（3，0），（4，-2），（0，0）作如下变化： ①纵坐标保持不变，横坐标分别变成原来的2倍； ②横坐标保持不变，纵坐标分别变成原来的2倍； ③纵坐标、横坐标分别变成原来的2倍； 再将所得的点用线段依次连接起来，所得图案与原来图案相比有什么变化？
图形在坐标中的平移（提高）知识讲解 【学习目标】 1. 能在直角坐标系中用坐标的方法研究图形的平移变换，掌握图形在平移过程中各点的变化规律，理解图形在平面直角坐标系上的平移实质是点坐标的对应变换. 2. 运用点的坐标的变化规律来进行简单的平移作图. 【要点梳理】 要点一、点在用坐标中的平移 在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)． 要点诠释： （1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减； （2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减； （3）在坐标系内，平移点的坐标规律：沿x轴方向平移纵坐标不变,沿y轴方向平移横坐标不变． 要点二、图形在坐标中的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 要点诠释： （1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决． （2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化. 【典型例题】 类型一、点在用坐标中的平移 1．（2016?藁城区校级模拟）在平面直角坐标系中，将点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点A′，若点A′位于第二象限，则m、n的取值范围分别是（） A．m＜0，n＞0 B．m＜1，n＞﹣2 C．m＜0，n＜﹣2 D．m＜﹣2，m＞﹣4【思路点拨】根据点的平移规律可得向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到（m﹣1+3，n+2+2），再根据第二象限内点的坐标符号可得． 【答案与解析】 解：点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点A′（m+2，n+4），∵点A′位于第二象限， ∴，解得：m＜﹣2，n＞﹣4，故选D． 【总结升华】此题主要考查了点的坐标平移规律，关键是横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 2. 如果将点P（3，4）沿x轴方向平移2个单位，再沿y轴方向向下平移3个单位后的坐标是_______． 【答案】（1,1）或（5，1） 【解析】 解：直接利用平移中点的变化规律求解即可．由点P的平移规律可知，此题规律是（x-2，y-3），或（x+2,y-3）
九年级数学下册考点专题训练 第2课时平面直角坐标系中的位似 1.使学生理解掌握位似图形在平面直角坐标系上的应用，即会根据相似比，求位似图形顶点，以及根据位似图形对应点坐标，求位似图形的相似比和在平面直角坐标系上作出位似图形. 2.让学生在应用有关知识解决问题的过程中，提高应用意识，体验数形结合的思想方法在解题中的运用. 阅读教材P48-50，自学“探究”与“例”，掌握以原点为位似中心的两个位似图形对应顶点的坐标规律. 自学反馈学生独立完成后集体订正 ①如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为1 3 ，把线段AB缩小，观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？ ②在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点坐标的比为 . ③△ABC和△A1B1C1关于原点位似且点A(-3，4)，它的对应点A1(6，-８)，则△ABC和△A1B1C1的相似比是 . ④已知△ABC三顶点的坐标分别为A(1,2),B(1,0),C(3,3),以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABC 放大得到其位似图形△A1B1C1，则△A1B1C1各顶点的坐标分别为A1 ,B1 ,C1 . 注意分两种情况. 活动1 小组讨论 例1将图形中的△ABC作下列移动，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化.①向上平移4个单位；②关于y轴成轴对称；③以点A为位似中心，放大到2倍.
解:①平移后得△A1B1C1，横坐标不变，纵坐标都加4； ②△ABC关于y轴成轴对称的图形为△A2B2C2，纵坐标不变，横坐标为对应点横坐标的相反数； ③放大后得△AB3C3，A的坐标不变，B3在B的基础上纵坐标不变，横坐标加AB的长，C3的横坐标在C的横坐标的基础上加AB的长，纵坐标在C的纵坐标系的基础上加BC的长. 考虑图形在平面直角坐标系中作何种变换，弄清点的坐标的变化情况；作位似变换时，求出顶点坐标即可. 活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果) 1.某个图形上各点的横、纵坐标都变成原来的1 2，连接各点所得图形与原图形相比( ) A.完全没有变化 B.扩大成原来的2倍 C.面积缩小为原来的1 4 D.关于纵轴成轴对称 2.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和８，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值( ) A.只有1个 B.可以有2个 C.有2个以上但有限 D.有无数个 活动1 小组讨论 例2 如图所示的△ABC，以A点为位似中心，放大为原来的2倍，画出一个相应的图形，并写出相应的点的坐标. 解:根据题意，图中的△AB1C1就是满足题意的三角形，其中A点的坐标不变，仍是(-3，-1)，B1、C1的坐标分别为(3，-3)，(1，3).
直角坐标系中的位似图形练习题 1.下列图形中△ABC∽△DEF，则这两个三角形不是位似图形的是( ) A. B. C. D. 2.如图，在直角坐标系中，有两点A(4,?2)， B(3,?0)，以原点O为位似中心，A'B'与AB的相 似比为1 2A'B'，正确的画法是( ) A. B.
3. 如图，△AOB缩小后得△COD，△AOB与△COD的相似比是3，若点C坐标为(1,?2)，则点A的坐标为( ) A.(2,?4) B.(2,?6) C.(3,?6) D.(3,?4) 4. 如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A(－2,?－1)，B(－2,?－3)，O(0,?0)， △A1B1O1的顶点坐标分别为A1(1,?－1)，B1 (1,?－5)，O1(5,－1)，△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为( ) A.(－5,?1) B.(－5,?－1) C.(5,?－1) D.(－1,?－5)
5. 如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F 的坐标分别为(－4,?4)，(2,?1)，则位似中心的坐标为( ) A.(0,?3) B.(0,?2.5) C.(0,?2) D.(0,?1.5) 6. 如图，平面直角坐标系中，点A(－2,?0)，B(0,?1)，C(－3,?2)，以原点O为位似中心，把△ABC缩小为△A'B'C'，且△A'B'C'与△ABC 的相似比为1:2，则点C的对应点C'的坐标为( ) A.(－1.5,?1) B.(－1.5,?1)或(1.5,?－1) C.(－6,?4) D.(－6,?4)或(6,?－4)
12.2图形在坐标系中的平移 一、教学内容 在同一坐标系中，感受图形上的点的坐标与图形变化之间的关系 二、教学目标 1、能在直角坐标系中用坐标的方法研究图形的变换，掌握图形在平移过程中各点坐标的变化规律，理解图形在平面坐标系上的平移实质上就是点坐标的对应变换； 2、运用图形在直角坐标系中平移的点坐标的变化规律进行简单的平移作图； 3、经历观察、分析、抽象、归纳等过程，经历与他人合作交流的过程进一步发展数形结合的思想与空间观念。 三、教学重点 掌握用坐标系的变化规律来描述平移的过程 四、教学难点 根据图形的平移过程，探索、归纳出坐标的变化规律 五、教学关键 通过探究发现并总结规律，让学生在坐标系中，结合图形的变换理解得出的结论。 六、教学准备 多媒体、三角板及相关资料 七、教学方法：探究、启发教学 八、教学过程 （一）创设情境（多媒体显示） 1、平移的概念（提问学生，强调方向和距离） 2、同学们会下棋吗？棋子的移动，什么在变，什么不变？那么在棋盘上推动棋 子是否可以看成图形在平面上的平移？ （二）问题导入，新课讲解 探索图形在平移过程中各点坐标的变化规律。 第13页思考题（多媒体显示） 师：引导学生讨论、分析；
生：与同伴交流回答问题。（教师指正） 发现：第（2）题对应点的纵坐标都不变，横坐标变了，将横坐标都减去5即可；第（3）题对应点的横坐标都不变，纵坐标变了，将纵坐标都减去2即可。 师：把三角形ABC向左或向上移动1个单位，点坐标又将怎样的变化？ 生：讨论回答问题 师生共同归纳出平移规律： （1）三角形的平移，是通过三角形任意一点坐标的变化而得到的； （2）在直角坐标系中，沿横轴平移，图形上每一点的纵坐标不变，而横坐标增减，简记“左减右加”；沿纵轴平移，横坐标不变，纵坐标增减，简记“上加下减”。 （3）“左减右加，上加下减”也可这样理解：按x轴（y轴）正方向平移，则纵（横）坐标加上平移的单位数量，按x轴（y轴）负方向平移，则横（纵）坐标减去平移的单位数量即可。 （教学形式：观察、操作、感知、总结、互动交流） (三)范例讲解，领悟规律 第13页例题（多媒体显示） 师：组织学生学习例题，提醒学生应用总结出的规律，则能很快标出移动后各点坐标； 生：阅读理解，验证图形的平移规律 变化题：将三角形ABC先向左移动3个单位，再向上移动2个单位后的各顶点坐标。 （学生动手画图、观察、寻找规律） 1、例题：说出下列由点A到点B是怎样平移的？ (1) A(x,y) B(x-1,y+2) (2) A(x,y) B(x+3,y-2) (3) A(x+3,y-2) B(x,y) 逆向思维训练,给出变化的坐标，让学生了解点的位置的变化，会使学生更为清晰地掌握图形在平面上平移的意义。 （四）随堂练习 第14页的1、2、3题
第2课时 平面直角坐标系中的位似图形 基础题 知识点 以坐标原点为位似中心的位似图形的坐标变化规律 1．(武汉中考)如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的1 2后得到线段CD ，则端点C 的坐标为( ) A ．(3，3) B ．(4，3) C ．(3，1) D ．(4，1) 2．如图，已知O 是坐标原点，△OBC 与△ODE 是以O 点为位似中心的位似图形，且△OBC 与△ODE 的相似比为1∶2，如果△OBC 内部一点M 的坐标为(x ，y)，则M 在△ODE 中的对应点M′的坐标为( ) A ．(－x ，－y) B ．(－2x ，－2y) C ．(－2x ，2y) D ．(2x ，－2y) 3．△ABC 和△A′B′C′关于原点位似，且点A(－3，4)，它的对应点A′(6，－8)，则△ABC 与△A′B′C′的相似比是________． 4．如图，原点O 是△ABC 和△A′B′C′的位似中心，点A(1，0)与点A′(－2，0)是对应点，点B(2，2)，则B′点的坐标________． 5．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形(如图所示)，则大鱼上的一点(a ，b)对应小鱼上的点的坐标是________________． 6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△A′B′C′是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，且点B(3，1)，B ′(6，2)． (1)若点A(5 2 ，3)，则A′的坐标为________； (2)若△ABC 的面积为m ，则△A′B′C′的面积＝________．
6.2.2用坐标表示平移 夯基达标 1.填空 ⑴在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x ﹢a，y）（或），将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y﹢b）（或）。 ⑵在平面直角坐标系中，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向（或向）平移个单位长度；如果把一个图形各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向（或向）平移个单位长度； 2.在平面直角坐标系中，把点P（-1，-2）向上平移4个单位长度所得点的坐标是。 3.将点A（4，3）向平移个单位长度后，其坐标的变化是( 6, 3 ) 。 4.已知点A(-4,-6),将点A先向右平移4个单位长度,再向上平移6个单位长度,得到A′,则A′的坐标为________. 5. 已知△ABC,A(-3,2),B(1,1),C(-1,-2),现将△ABC平移,使点A到点(1,-2) 的位置上,则点B,C的坐标分别为______,________. 6.△ABC中,如果A(1,1),B(-1,-1),C(2,-1),则△ABC的面积为________. 7.如图，一小船，将其向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，试确定A、B、 C、D、E、F、G平移后对应点的坐标并画出平移后的图形. 8. 如图所示,△A′B′C′是△ABC经过平移得到的,△ABC中任意一点P(x1,y1)平移后的对应点为 +6,y1+4),求A′,B′,C′的坐标. P′(x 拓展演练 1. 坐标平面内有4个点A(0,2),B(-1,0),C(1,-1),D(3,1). (1)建立坐标系,描出这4个点; (2)顺次连接A,B,C,D,组成四边形ABCD,求四边形ABCD的面积.
北师版八年级数学下册教案 第2课时 坐标系中的点沿x 轴、y 轴的平移 1．复习并巩固平移的性质及简单的平移作图； 2．能够根据平移的性质解决点的坐标平移变化问题．(重点，难点) 一、情境导入 在如图所示的坐标系中标注出点A 0(－2，－3)，并按下列要求作图． (1)将A 0向上平移3个单位长度，向右平移6个单位长度得到A 1； (2)将A 0向右平移6个单位长度，向上平移3个单位长度得到A 2； (3)将A 0向下平移2个单位长度，向左平移4个单位长度得到A 3； (4)将A 0向左平移4个单位长度，向下平移2个单位长度得到A 4. 观察每一次平移后得到的点的坐标，你能从中发现什么规律？ 二、合作探究 探究点一：图形沿x 轴或y 轴方向的平移与点的坐标变化 【类型一】 沿x 轴方向的平移的坐标 变化 在平面直角坐标系中，点A (－2， 3)平移后能与原来的位置关于y 轴对称，则 应把点A ( ) A ．向右平移2个单位 B ．向左平移2个单位 C ．向右平移4个单位 D ．向左平移4个单位 解析：关于y 轴成轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，那么向右平移两个横坐标差的绝对值即可．∵点A (－2，3)平移后能与原来的位置关于y 轴对称，∴平移后的坐标为(2，3)．∵横坐标增大，∴点A 是向右平移得到，平移距离为|2－(－2)|＝4.故选C. 方法总结：本题考查了平移中点的变化规律及点关于坐标轴对称的知识，用到的知识点为：两点关于y 轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数；点的左右移动只改变点的横坐标． 【类型二】 沿y 轴方向的平移的坐标变化 点P (－2，1)向下平移2个单位长 度后，在x 轴反射下的点P ′的坐标为( ) A ．(－2，－1) B ．(2，－1) C ．(－2，1) D ．(2，1) 解析：把点P (－2，1)向下平移2个单位长度后，横坐标不变，纵坐标减去2即可得到平移后点的坐标(－2，－1)，在x 轴反射下的点P ′与P 关于x 轴对称．点P (－2，1)向下平移2个单位长度后的坐标为(－2，－1)，则在x 轴反射下的点P ′的坐标为(－2，1)，故选C. 方法总结：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a 个单位长度(即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减)．
九年级数学上册第四章图形的相似8图形的位似第2课时平面直角坐标系 中的位似变换教案（新版）北师大版 一、教学目标 1．巩固位似图形及其有关概念． 2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律． 3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换． 二、重点、难点 1．重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换． 2．难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律． 3．难点的突破方法 （1）相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，因此一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．． （2）带领学生共同探究出位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点 ．．为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． （3）在平面直角坐标系中，用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的关键是要确定位似图形各个顶点的坐标，而不同方法得到的图形坐标是不同的．如：已知：△ABC三个顶点坐标分别为A(1,3)，B(2,0)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，根据前面（2）总结的变化规律，点A的对应点A′的坐标为（1×2，3×2），即A′（2，6），或点A的对应点A′′的坐标为（1×(-2)，3×(-2)），即A′′（-2，-6）．类似地，可以确定其他顶点的坐标． （4）本节课的最后要给学生总结（或让学生自己总结）平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而图形放大或缩小（位似变换）之后是相似的．并让学生练习在所给的图案中，找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换． 三、例题的意图 本节课安排了两个例题，例1是教材P117的例题，它是在引导学生寻找出位似变换中对应点的坐标的变化规律后的一个用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的题目，其目的是巩固新知识，帮助学生加深理解用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换知识，此题目应让学生用不同方法作出图形．例2是教材P64的一个问题，它是“平移、轴对称、旋转和位似”四种变换的一个综合题目，所给的图案由于观察的角度不同，答案就会不同，因此应让学生自己来回答，并在顺利完成这个题目基础上，让学生自己总结出这四种变换的异同． 四、课堂引入 1．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，