《线性代数》（经管类）
第四部分 考点串讲
（按标准试卷题序串讲） 一、单项选择题： 1、行列式的计算
本题型为历年必考题型，其有两种形式一种直接解答，考查其运算能力，其次是考查如何利用性质求行列式解，应掌握这两种方法：
1）利用传统的计算方法直接计算； 2）利用性质巧计算，主要性质有： ①行列式和它的转置行列式相等； ②行列式可以按行列提出公因数；
③互换行列式中的任意两行（列），行列式的值改变符号；
④如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零 ⑤行列式或以按行（列）拆开
⑥把行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上去，所得行列式值不变。
2、字母型行列式计算
本题型主要考查考生利用矩阵行列式公式能力，主要涉及公式有： 1）|KA|=K n |A|
2）||||||B A AB
3）||||A A T
=
45）1
|||*|-=n A A
3、考查方阵的性质及公式，主要是会灵活运用公式，主要有以下公式： 1）A A =--1
1)(
23）1
11)(
---=A B AB 4）T
T A A )()(
11
--= 5）k
k A A )()(
11
--= 4、考查伴随矩阵的求法
1）求件随机矩阵先求出各元素的代数佘子式，再把每行对应的代数佘子代换成对应的例。
25、求方阵的逆距阵：
求方阵的逆矩阵也有两种方法，根据实际情况选定：
1A* 2）利用初等行变换求逆矩阵
6、向量组线性相关与线性无关的考查 这种题型有两种考法
1）利用线性相关这一已知条件可实数：
如若向量组)1,0,0()0,2,1()0,1,1(2
3
21+==+=t a a t a 线性相关，则实数t 为多少？
解：因为已知向量组线性相关所以有
1=∴t
2）根据线性相关与线性无关性质关断某些推断的正确与否
如：已知量组4324321,,,,,,:α
αααααα中A 线性相关，那么 4321,,,:ααααA 线性无关，B 、4321,,,αααα线性相关 C 、4
321,,αααα可由线性表示 D 、43αα，线性无关 根据线性相关组的扩充向量组必为相关组，所以造B 7）考查A 与B 相似性质：
设立A 和B 是两个n 阶方阵，如果存在某个n 阶可逆矩阵P 使得 AP
P B 1-=则称A 和B 是相似的，记为B A ~ A 与B 相似有：① trA=trB ②|A|=|B|
8、考查线性方程组的解法： 1）齐次线性方程组的解：
①若21.εε是齐次线性方程组0=Ax 的解，则21εε+也是0=Ax 的解
②若ε是齐次线性方程组0=Ax 的解，k 是任意实数，则k ε也是0=Ax 的解。 2）非齐次线性方程组的解：
①如果21.y y 是非齐次线性方程组b Ax =的解，则21y y -=ε是它的导出组
0=Ax 的解。
②如果y 是非齐次线方程组b Ax =的解，ε是它导出组0=Ax 的解，则y +ε必是b Ax =的解。
9、考查正交向量性质：
设
n
n
n
R
b b b ∈==),,(),,(2
12
1 βαααα如果
0).(=βα则称α与
β正交，记为βα⊥
例：下列向量中与α=（1、1、-1）正交的向量是（ ） A 、1α=（1、1、1）
B 、2α=（-1、1、1）
C 、3α=（1、-1、1）
D 、4α=（0、1、1）
跟据性质不难得出D 为正确答案
10、本题一般考察由所给的二次型转化为对称矩阵或由对称矩阵转化为对应的二次型，P164
本题型简单应该必得 二、填空题
11、本题仍然考查行列式的计算性质
如||||A k kA
n
=等相关公式的运用 例，设A 为三阵方阵且|A|=3，则|2A|=23|A|=8×3=24 12、本题主要考查矩阵的性质及相关运算 1）矩阵的乘法
利用基本的矩法运算法则进行运算 2）求伴随矩阵
利用最基本的概念求伴随矩阵 3）求可逆矩阵
① ②利用矩阵的初等变换求伴随矩阵 4）转置运算律 ①A A T
T =)( ②（A+B ）=A T +B T
③为实k KA kA T
T =)(
④T
k T k T T T T K A Ak AA A B AB 1
2)()(-== 5）方阵行列式的性质 ①|||A A T
=
②||||A k kA
n
= ③||||||B A AB
=（行列式乘法规则） 6）可逆矩阵的基本性质：
设B A ,为同阶的可逆方阵，常数：k 则0≠
①1-A 为可逆矩阵、且11
()A
A --=
②AB 为可逆矩阵、且1
11
)(
---=A B AB
③kA ④A T 为可逆矩阵、且T
T A A )()(
11--= ⑤可逆矩阵可以从矩阵等式的周侧消去，即当P 为可逆矩阵地有：
B
A BP AP B
A P
B PA =?==?=
⑥设A 是n 阶可逆矩阵我们记E A =0并定义1()k
A A k --=其中k 是任意正整数则
有：
ααααk k k k A A A A A ==+)(,
这里，k 和a 为任意整数（包括负整数、零和正整数） 13、考查齐次方程0=Ax 的基础解系所含向量的个数：
设A 为n m ?矩阵，0,)(==Ax r A 则r 的基础解系中解向量个数为n-r
14、考查齐次线性方程组0=Ax 有非零解的条件：者齐次线性方程组有非零解，则必有|A|=0
15、考查矩阵秩的求法： 1）给出了已知矩阵求法矩阵的秩
利用矩阵的初等行变化求秩，秩即为矩阵非零行个数，
2）给出了几个向量最后间向量组成向量组的秩，其解法是相同的
已知向量组????
?
??????????
?????-=????
??????-=11121211321t ααα的秩为2 则数t=-2
解：????
??????+--→??????????
+--→??????????--t t t t t t t 2103100121133100111121211 因秩为22
-=t ，则 16、考查解方程解的性质 17、考查方阵特征值的求法
1）根据特征值的和等于方阵的迹，求方阵的特征值
例：已知0=λ为矩阵????
?
?????-----=222222220A 的2重特征值，则A 的另一个特征值
为 。
解：根据特征值的和等于方阵的迹，得：
42203
3
2
1
=?++=++λλλλ
2）根据特征值之积等于|A|的值。
例：设三阶方阵A 的三个特征值为1、2、3则|A+E|=
解：三阶方阵的特征值为1、2、3则A+E 的特征值为2、3、4
24432||=??=+∴E A
18、由二次型转化为标准型，或由标准型转化为二次型 19、利用二次型正定的性质，求R 的取值范围
例：二次型2
3
2221321)2()1()1(),,(x k x k x k x x x f -+-++=正定则数k 的取值范围为
解：第一次先将二次型转化为标准型
????
??????--+200010001k k k 第二次列式
20)1)(1)(2(0)1)(1(01>???
???>-+->-+>+k k k k k k k 20、一般考查向量内积的性质：
向量内积有以下基本性质：对于TE 取的n
R r R k ∈∈,,,2,βα有：
1）对称性),(),(
αββα= 2）线性性),(),(),(β
αβαβαk k k == )(),(),(r r r ++=+β
αβα
它们可以合并为),(),(),(r r k r k β
αααβα+=+
例：设α与β的内积（8),2(2||||,2),(-=-+==β
ββ
βαa 则内积）
解：),(),2(),2(β
βββ
β-+-=-+a a
8
422)
,(),(2)
,(),(2-=-?-=--=-+-=ββββββa a
三、计算题：
21、本题主要考查行列式值的求法； [知识点一]常规解法
[知识点二]利用行列式的性质求解 22、求方阵的可逆矩阵
[知识点一] [知识点二]利用矩阵的初等变化求1-A
23、考查知阵的运算其中包括可逆矩阵，转置矩阵性质及运算律的考查 24、求向量组的极大线性无关组
[知识点]利用矩阵的初等行变化求极大线性无关组， 25、解方程组的解：
[知识点一]解齐次线性方程组的解 [知识点二]解非齐次线性方程组的解 26、求对角矩阵
四、证明题：
本大题主要考查线性相关与线性无关及其相关知识， 例：设向量组21,αα线性无关，证明向量组2
1
2
2
1
1
,a a a a -=+=ββ也线性
无关。
其次考查矩阵的性质：如
例：设n 阶矩阵A 满足A 2=A 证明E-2A 可逆；且（E-2A ）-1=E-2A
第五部分 必考题型分析
一、求行列式的值
近年来此题型为计算题第一题，历年必考，一般多以技巧性解题为主，充分利用性质解答。
解：通过观察，行列式的每列之和皆为3得：
本题即充分利用性质解题，而非常规硬算，那样计算量太大很难正确，利用性质计算量大大下降，且正确率也必然上升
二、求方阵的可逆矩阵
可逆适阵的求法是楞年必考题，多以计算大题形式出现，解此种类型题，主要是通过矩阵的初等交换求方阵的可逆矩阵
例：设矩阵=????
??????=-1111110100A ，A 则 。 解：→????
?
?????→??????????001010100111011001100010001111110100 ????
??????--→??????????-→001011110100010001001011100110010001 ????
?
?????--∴-0010111101A
[解析]把原矩阵化为单位矩阵，同时单位矩阵按照其同样的初等变化转化为A -1 三、由矩阵性质及运算法则求矩阵X
本题型也为历年必考题型，多以大题出现，难度不大，但容易出错，在解管过程中关键是要对运算细节的把握。
例：已知??????-=??????-=??????=211232413512C B A X 满足X C B AX 求=+
解：C B AX
=+
)
(11B C A AX A B
C AX -=-=--
??
?
???-=??????--??????-=-??????--=-11113241215225131B C A )(1B C A X -=∴-
??
????--=???
???-??????--=381211112513
在本题中要特别留意)(1
1
B C A Ax A B C Ax -=?-=--其中A -1是左乘、位置一
定要定位准确，这是关键之处，也集中表现出矩阵，行列式这块内容的位置特性，且矩阵是矩阵行列式是行列式，行列式实质上是一个数，而矩阵则不然
四、求向量组的极大线性无关组：
求向量组的极大线性无关组其实与求向量组或矩阵的秩是同一个过程，都是首先通过矩阵的初等行变化，将其矩阵转化为阶梯形矩阵再求解：
例：求向量组?????
?
??????-=??????
??????=??????
??????-=????????????-=1222,1132,1123,13214
3
2
1
αααα 的极大无关组并将其余向量由极大无关组线性表示 解：以1α、2α、3α、4α为列向量的矩作初等行变换有：
所以1α、2α、3α为极大无关组并且五、解非齐次线性方程组：
设y 是b Ax =的任意一个解，r n -εεε ,
,21是导出组0=Ax 的一个基础解系，则，
r
n r n k k k y y --++++=ε
εε 2211*就是b Ax =的通解。 求法：
①对（A 、b ）进行初等行变换化简化成行阶梯形矩阵 ②对写出原方程组同解的方程组，确定自由未知量 ③设自由未知量为零，可得到b Ax =的特解y*
④再写出与原方程组的导出组同解的方程组，确定自由未知量
⑤令自由未知量为单位向量组，可得到导出组0=Ax 的基础解系r n -εεε ,
,21 ⑥写出b Ax =的能解
r
n r n r n k k k k k k y y ---+++++= 212211(,*ε
εε为任意实数）
例：
λ为何值时，线性方程组 ?????=++=++=++11321321221x
x x x x x x x x λλλ 有解，并求解 解：
??
??
?
?????-----→??????????=λ
λλλλλλ
λ
λ11111011001111111111),(2
b A 当
3)(),(,==≠A r b A r 时λ方程组有唯一解，此时
????
?
?????-+-→??????????-++→??????????-+→12110001000112110001100111111011001),(λ
λ
λλλ
b A 所以解为：
???
??-=+=-=1213
21x x x λ 当1(,)()13r A b r A λ===<时,方程组有无穷多解，此时
111
1(,)000
00000r b ??
??→??????
得到同解的线性方程组为0321=
++x x x 即：1x =1-32
x x -
分别令???????????
?=??????10;0132
x x 可求得基础解系为????
?
?????-=??????????-=10101121y y 和所以通解为 111010(,001y k k αα--??????
??????=++??????
????????????
为任意实数） 六、特征值与特征向量的求法：
定义：设A=（ij a ）为n 阶实方阵，如果存在某个数λ和某个n 维非零列向量P 满足，AP=λP
则称λ是的一个特征值，P 是A 的属于这个特征值λ的一个特征向量。 2、求法：
（1）写出特征多项式||A E -λ求出特征方程||A E -λ=0的所有根，这些根就是A 的全部特征值。
（2）对特征值0
λ，求出齐次线性方程组的所有非零解，这些就是A 属于这
个特征值的特征向量
（3）例题
求???
?
??????--=320230005A 的特征值与特征向量
解：
)1()5(320230005||2
--=??
??
?
?????---==λλλ
λλλ
A E 令||A E =λ=0得5,1321=
==λλλ即为A 的全部特征值
对应于1λ=1，解齐次线性方程组（1λE-A ）x=0
得：???===????????????????????---321321
00220220004x x x x x x 即 令13=x 得基础解系为???
?
?
?????110
所以01(0)1k k A ??
??≠??????
是的属于特征值1=λ的全部特征向量 对于532==λλ解齐次线性方程组（2λE-A ）x=0
即：{32321
022*******x x x x x -==????
????????????????即 令?????
?????-??????????????????????=??????11000110,0131得基础解系数为x x 所以),(1100012121不全为零k k k k ????
??????-+?????????? 即为对应532==λλ的全部特征向量 七、线性相关与线性无关及有关知识 1、定义
对向量组m ααα,,,21 ，若存在不全为零的数m k k k ,,,21 使得，0,,,2211=m
m k k k ααα
则称m ααα,,,21 线性相关m
k k k ,,,21 为相关系数，否则利m
ααα,,,21 线性无关。 2、结论：
（1）单个向量α线性相关0=?α 单个向量α线性无关0≠?α （2）两个向量α与β线性相关?
α与β成比例 两个向量α与β线性无关?
α与β不成比例
（3）含有零向量的向量组线性相关 （4）单位向量组线性无关
例：设321,,ααα是齐次方程组0=Ax 的基础解系
证明：
3
2
1
2
1
1,αααααα+++，也是0=Ax 的基础解系
证明：的是0,,321
=Ax α
αα 3
2
1
2
1
1,αααααα+++，是方程组0=Ax 的解
又令0)()(321321211=+++++α
αααααk k k 得0)()(332211321=+++++α
αα
k k k k k k 3
2
1
211,αααααα+++∴，线性无关
3
2
1
2
11,αααααα+++∴，是0=Ax 的一个基础解系
第六部分 必考经典例题
例1计算行列式
例2求矩阵?????
????
???=00010
01101111
11
1
A 的逆矩阵A -1 解：利用初等行变换求A 的逆矩阵；时（A 、E ）作初等行变换
→?????
???????---→????????????=1111010000100001000100110111100010000100001000010001001101111111),( E A
?????
?
??????---→????????????---→????????????---001101101100100010000100001000011100011100100001000100100100100011000111001000010001001101111000
?????
???????---=-00110110110010001A 所以 例3 设A 为3阶方阵且
解：
例4求向量组123(2,1,3,1)
(3,1,2,0),(1,3,42),ααα=-=-=-
)1,1,3,4(4-=
α的一个极大无关组并将其余向量用该极大无关系表示出来 解：
→??????
??????----→????????????----=11432413023113211134243102131312),,,(4
321T αααα ?????
?
??????--→????????????---→????????????-----00210012001000010023001300110001210103155315510001 极大无关组为21,αα，且3α=221αα-,4α=212
αα+- 例5解非齐次线性方程组
??
???=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x 解：
????
?
?????------→??????????------=111771663441001041841933511131),( b A
令0,043==
x x 得到特解为与导出组同解的方程组为：
令???
? ?????? ??=???? ??400243x x 得到基础解系为
10月自考线性代数经管类试卷及答案
10月高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数(经管类) 试卷 (课程代码04184) 说明：在本卷中。A T表示矩阵A的转置矩阵。A* 表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵， ︱A ︱表示方阵A的行列式，r(A)表示矩 阵A的秩。 第一部分选择题 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分， 共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符 合题目要求的，请将其选出并将“答题卡” 的相应代码涂黑。未涂、错涂或多涂均无分。 1．已知2阶行列式 A．-2 B．-l C．1 D．2 3．设向量组可由向量组线性 表出，则下列结论中 正确的是
A．若s≤t，则必线性相关 B．若s≤t，则必线性相关 C．若线性无关，则s≤t D．若线性无关，则s≤t 4．设有非齐次线性方程组Ax=b，其中A为m×n 矩阵，且r(A)=r 1，r(A，b)=r 2 ，则 下列结论中正确的是 A．若r 1 =m，则Ax=O有非零解 B．若r 1 =n，则Ax=0仅有零解 C．若r 2 =m，则Ax=b有无穷多解 D．若r 2 =n，则Ax=b有惟一解 5. 设n阶矩阵A满足︱2E-3A︱=0，则A必有一个特征值= 第二部分非选择题 二、填空题 (本大题共l0小题。每小题2分，共20分) 请在答题卡上作答。 6．设行列式中元素a ij 的代数余子式为 A ij (i,j=1,2)，则a 11 A 21 +a 12 +A 22 =__________． 7．已知矩阵，则A2+2A+E=___________．
8．设矩阵，若矩阵A满足AP=B，则A=________． 9．设向量，，则由向量组线性表出的表示式为=____________． 10．设向量组a 1=(1，2,1)T，a 2 =(-1，1，0)T， a 3 =(0，2，k)T线性无关，则数k的取值应 满足__________． 11．设3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵(A，b)经初等行变换可化为 若该方程组无解，则数k=_________．12．设=-2是n阶矩阵A的一个特征值，则矩阵A—3E必有一个特征值是________． 13．设2阶矩阵A与B相似，其中，则数a=___________． 14．设向量a 1=(1，-l，0)T，a 2 =(4，0，1)T，则 =__________． 15．二次型f(x 1，x 2 )=-2x 1 2+x 2 2+4x 1 x 2 的规范形为
线性代数（经管类）-阶段测评1 1.单选题 1.1 5.0 设矩阵 $A=((a_11,a_12),(a_21,a_22)),B=((a_21+a_11,a_22+a_12),(a_11 ,a_12)),P_1=((0,1),(1,0)),P_2=((1,0),(1,1))$，则必有（） 您答对了a a $P_1P_2A=B$ b $P_2P_1A=B$ c $AP_1P_2=B$ d $AP_2P_1=B$ 考点：矩阵的行列变换，左乘行变，右乘列变。 1.2 5.0 设$A$为四阶矩阵，且$|A|=-3$，则$|A^(**)|$=（） 您答对了 c ? a $-3$ ?
?b $9$ ? ?c $-27$ ? ?d $81$ ? $|A^(**)|=|A|^(n-1)=-3^3=-27$. 1.3 5.0 设$A，B$为$n$阶方阵，满足$A^2=B^2$，则必有（） 您答对了 d ?a $A=B$ ? ?b $A=-B$ ? ?c $|A|=|B|$ ? ?d $|A|^2=|B|^2$ ? 方阵行列式的性质，特别是$|AB|=|A||B|$ 解1：因为$A^2=B^2$，故$|A^2|=|B^2|$，而因为$|AB|=|A||B|$，故$|A^2|=|A|^2，|B^2|=|B|^2$，所以$|A|^2=|B|^2$ 解2：取
$A=((1,0,0),(0,-1,0),(0,0,-1)),B=((1,0,0),(0,-1,0),(0,0,1))$，显然$A^2=B^2=E$，但选项A,B,C都不对，应用排除法知正确答案为D。 1.4 5.0 设3阶矩阵$A$的行列式$|A|=(1)/(3)$，则$|-3A^T|=$（） 您答对了 d ?a 9 ? ?b 1 ? ?c -1 ? ?d -9 ? $|-3A^T|=(-3)^3|A^T|=-27|A|=-9$. 1.5 5.0 设矩阵$A=[[a,b],[c,d]]$，且已知$|A|=-1$，则$A^-1$=（） 您答对了 b ?a $[[d,-b],[-c,a]]$ ? ?b $[[-d,b],[c,-a]]$ ? ?c $[[d,-c],[-b,a]]$
自考高数线性代数笔记 第一章行列式 1.1行列式的定义 （一）一阶、二阶、三阶行列式的定义 （1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。 注意：在线性代数中，符号不是绝对值。 例如，且； （2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为： 所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。（主对角线减 次对角线的乘积） 例如 （3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为 例如=0 三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆
方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。 例如： （1） =1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0 （2） （3） （2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如
例1a为何值时， [答疑编号10010101：针对该题提问] 解因为 所以8-3a=0，时 例2当x取何值时， [答疑编号10010102：针对该题提问] 解：. 解得0 线性代数（经管类）考点逐个击破 第一章 行列式 （一）行列式的定义 行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数. 1．二阶行列式 由4个数)2,1,(=j i a ij 得到下列式子： 11122122 a a a a 称为一个二阶行列式，其运算规则为 2112221122 211211a a a a a a a a -= 2．三阶行列式 由9个数)3,2,1,(=j i a ij 得到下列式子：33 323123222113 1211a a a a a a a a a 称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念. 3．余子式及代数余子式 设有三阶行列式 33 323123222113 12113a a a a a a a a a D = 对任何一个元素ij a ，我们划去它所在的第i 行及第j 列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素ij a 的余子式，记成ij M 例如 33 32232211a a a a M = ，33 32131221a a a a M = ，23 22131231a a a a M = 再记 ij j i ij M A +-=)1( ，称ij A 为元素ij a 的代数余子式. 例如 1111M A =，2121M A -=，3131M A = 那么 ，三阶行列式3D 定义为 我们把它称为3D 按第一列的展开式，经常 31 312121111133 323123222113 12113A a A a A a a a a a a a a a a D ++== 4184线性代数（经管类）——重点难点总结 1、设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为0，且A 的秩为n -1，则齐次线性方程组Ax =0的通解为_K(1,1,1….1)T 2、设A 是n m ?矩阵，已知0=Ax 只有零解，则以下结论正确的是（A ） A ．n m ≥ B ．b Ax =（其中b 是m 维实向量）必有唯一解 C ．m A r =)( D ．0=Ax 存在基础解系 解：αααααααααααααααα 100 101 101)())(()())(()(T T T T T T T T ==， 由于)13(23)2,3(=??? ? ??=T αα， 所以10010010113)13()(==ααααT T ??? ? ??=???? ??=466913)2,3(2313100 100ααT （标准答案）． 6、已知4321,,,αααα线性无关，证明：21αα+,32αα+,43αα+,14αα-线性无关． 证：设0)()()()(144433322211=-++++++ααααααααk k k k ， 即0)()()()(443332221141=++++++-ααααk k k k k k k k ， 因为4321,,,αααα线性无关，必有??? ?? ??=+=+=+=-000043322141 k k k k k k k k ， 只有04321====k k k k ，所以21αα+，32αα+，43αα+，14αα-线性无关． 7、设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（） A.A =0/A/=0? B.A =E C.r (A )=n D.0 2015年10月高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数(经管类) 试卷 (课程代码04184) 本试卷共3页，满分l00分，考试时间l50分钟。 考生答题注意事项： 1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。2．第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。3．第二部分为非选择题。必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。4．合理安排答题空间。超出答题区域无效。 说明：在本卷中。A T表示矩阵A的转置矩阵。A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，︱A ︱表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。 第一部分选择题 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑。未涂、错涂或多涂均无分。 1．已知2阶行列式 A．-2 B．-l C．1 D．2 3．设向量组可由向量组线性表出，则下列结论中 正确的是 A．若s≤t，则必线性相关 B．若s≤t，则必线性相关 C．若线性无关，则s≤t D．若线性无关，则s≤t 4．设有非齐次线性方程组Ax=b，其中A为m×n矩阵，且r(A)=r1，r(A，b)=r2，则 下列结论中正确的是 A．若r1=m，则Ax=O有非零解 B．若r1=n，则Ax=0仅有零解 C．若r2=m，则Ax=b有无穷多解 D．若r2=n，则Ax=b有惟一解 5. 设n阶矩阵A满足︱2E-3A︱=0，则A必有一个特征值= 第二部分非选择题 二、填空题 (本大题共l0小题。每小题2分，共20分) 请在答题卡上作答。 6．设行列式中元素a ij的代数余子式为A ij(i,j=1,2)，则a11A21+a12+A22=__________．7．已知矩阵，则A2+2A+E=___________． 8．设矩阵，若矩阵A满足AP=B，则A=________． 9．设向量，，则由向量组线性表出的表示式为=____________． 10．设向量组a1=(1，2,1)T，a2=(-1，1，0)T，a3=(0，2，k)T线性无关，则数k的取值应 满足__________． 11．设3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵(A，b)经初等行变换可化为 若该方程组无解，则数k=_________． 12．设=-2是n阶矩阵A的一个特征值，则矩阵A—3E必有一个特征值是________．13．设2阶矩阵A与B相似，其中，则数a=___________． 14．设向量a1=(1，-l，0)T，a2=(4，0，1)T，则=__________． 15．二次型f(x1，x2)=-2x12+x22+4x1x2的规范形为__________． 三、计算题(本大题共7小题，每小题9分，共63分) 请在答题卡上作答。 16. 计算行列式的值． 17. 已知矩阵，若矩阵x满足等式AX=B+X，求X． 《线性代数》（经管类） 第四部分 考点串讲 （按标准试卷题序串讲） 一、单项选择题： 1、行列式的计算 本题型为历年必考题型，其有两种形式一种直接解答，考查其运算能力，其次是考查如何利用性质求行列式解，应掌握这两种方法： 1）利用传统的计算方法直接计算； 2）利用性质巧计算，主要性质有： ①行列式和它的转置行列式相等； ②行列式可以按行列提出公因数； ③互换行列式中的任意两行（列），行列式的值改变符号； ④如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零 ⑤行列式或以按行（列）拆开 ⑥把行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上去，所得行列式值不变。 2、字母型行列式计算 本题型主要考查考生利用矩阵行列式公式能力，主要涉及公式有： 1）|KA|=K n |A| 2）||||||B A AB 3）||||A A T = 45）1 |||*|-=n A A 3、考查方阵的性质及公式，主要是会灵活运用公式，主要有以下公式： 1）A A =--1 1)( 23）1 11)( ---=A B AB 4）T T A A )()( 11 --= 5）k k A A )()( 11 --= 4、考查伴随矩阵的求法 1）求件随机矩阵先求出各元素的代数佘子式，再把每行对应的代数佘子代换成对应的例。 25、求方阵的逆距阵： 求方阵的逆矩阵也有两种方法，根据实际情况选定： 1A* 2）利用初等行变换求逆矩阵 6、向量组线性相关与线性无关的考查 这种题型有两种考法 1）利用线性相关这一已知条件可实数： 如若向量组)1,0,0()0,2,1()0,1,1(2 3 21+==+=t a a t a 线性相关，则实数t 为多少？ 解：因为已知向量组线性相关所以有 1=∴t 2）根据线性相关与线性无关性质关断某些推断的正确与否 如：已知量组4324321,,,,,,:α αααααα中A 线性相关，那么 4321,,,:ααααA 线性无关，B 、4321,,,αααα线性相关 C 、4 321,,αααα可由线性表示 D 、43αα，线性无关 根据线性相关组的扩充向量组必为相关组，所以造B 7）考查A 与B 相似性质： 设立A 和B 是两个n 阶方阵，如果存在某个n 阶可逆矩阵P 使得 AP P B 1-=则称A 和B 是相似的，记为B A ~ A 与B 相似有：① trA=trB ②|A|=|B| 高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数(经管类)优化试卷（一） 说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式． 一、单项选择题(本大题共10小题。每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内．错选、多选或未选均无分． 1．设A为3阶方阵，且|A|=2，则| 2A-l | ( ) A．-4 B．-1 C．1 D．4 2．设矩阵A=(1,2),B=，C=,下列矩阵运算中有意义的是( ) A．ACB B．ABC C．BAC D．CBA 3．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A．A+A T B．A - A T C．A A T D．A T A 4．设2阶矩阵A= ，则A*= ( ) 5．矩阵的逆矩阵是（） 6．设矩阵A=，则A中( ) A．所有2阶子式都不为零 B．所有2阶子式都为零 C．所有3阶子式都不为零 D．存在一个3阶子式不为零 7．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( ) A．A的列向量组线性相关 B．A的列向量组线性无关 C．A的行向量组线性相关 D．A的行向量组线性无关 8．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k,k1,k2，方程组的通解可表为( ) 9．矩阵的非零特征值为( ) A．4 B．3 C．2 D．l 10．4元二次型的秩为( ) A．4 B．3 C．2 D．l 二、填空题(本大题共10小题．每小题2分．共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均无分． 11．若i=1，2，3，则行列式=_________________。 12．设矩阵A= ，则行列式|A T A|=_______________。 13．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为__________________。 14．设矩阵A= ,矩阵B=A – E，则矩阵B的秩r（B）=______________。 15．向量空间的维数为_______________。 16．设向量，则向量的内积=_______________。 17．设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r（A）=____________。 18．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵经初等行变换化为： ，若方程组无解，则a的取值为___________。19．设3元实二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形式_____________。 20．设矩阵A= 为正定矩阵，则a的取值范围是_______________。三、计算题(本大题共6小题，每小题9分．共54分) 第一章行列式 1.1 行列式的定义 1.2 行列式行(列)展开 1.3 行列式的性质与计算 1.3 克拉默法则 第二章矩阵 2.1 线性方程组与矩阵的定义2.2 矩阵运算 2.3 分阵的逆矩阵 2.4 分块矩阵 2.5 矩阵的初等变换与初等方阵2.6 矩阵的秩 2.7 矩阵与线性方程组 第三章向量空间 3.1 n维向量概念及其线性运算 3.2 线性相关与线性无关 3.3 向量组的秩 3.4 向量空间 第四章线性方程组 4.1 齐次线性方程组 4.2 非齐次线性方程组 第五章特征值与特征向量 5.1 特征值与特征向量 5.2 方阵的相似变换 5.3 向量内积和正交矩阵 5.4 实对称矩阵的相似标准形 第六章实二次型 6.1 实二次型及其标准形 6.2 正这二次型和正定矩阵 … … (中间部分略) 完整版15页请—— QQ：1273114568 索取 第一部分行列式 本章概述 行列式在线性代数的考试中占很大的比例。从考试大纲来看。虽然只占13%左右。但在其他章。的试题中都有必须用到行列式计算的内容。故这部分试题在试卷中所占比例远大于13%。 1.1 行列式的定义 1.1.1 二阶行列式与三阶行列式的定义 一、二元一次方程组和二阶行列式 例1.求二元一次方程组 的解。 解：应用消元法得当 时。得 同理得 定义称 为二阶行列式。称 为二阶行列式的值。 记为 。 于是 由此可知。若 。则二元一次方程组的解可表示为： 例2 二阶行列式的结果是一个数。我们称它为该二阶行列式的 值。 二、三元一次方程组和三阶行列式 考虑三元一次方程组 希望适当选择 。使得当 消去。得一元一次方程若 ，能解出 其中 要满足为解出 。在（6），（7）的两边都除以 得 这是以 为未知数的二元一次方程组。 定义1.1.1 在三阶行列式 中，称 于是原方程组的解为 ; 类似地得 这就将二元一次方程组解的公式推广到了三元一次方程 组。 例3 计算 例4 （1） 2015年4月高等教育自学考试全国统一命题考试 04184 线性代数（经管类）试卷 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设行列式D 1= 2 2 11b a b a ，D 2= 2 22 1113232a b a a b a --，则D 2= 【 】 A.-D 1 B.D 1 C.2D 1 D.3D 1 2、若 A=? ?? ? ??1x 1021，B = ??? ? ??y 24202，且2A =B ，则 【 】 A.x=1，y=2 B.x=2，y=1 C.x=1，y=1 D.x=2，y=2 3、已知A 是3阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A 等价的是 【 】 A.????? ??000000001 B.????? ??000010001 C.????? ??100000001 D.??? ? ? ??100010001 4、设2阶实对称矩阵A 的全部特征值味1，-1，-1，则齐次线性方程组（E +A ）x =0的基础 解系所含解向量的个数为 【 】 A.0 B.1 C.2 D.3 5、矩阵??? ? ??--3113有一个特征值为 【 】 A.-3 B.-2 C.1 D.2 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6、设A 为3阶矩阵，且A =3，则13-A = . 7、设A =??? ? ??5312，则A *= . 8、已知A =???? ??1201，B =??? ? ??-211111，若矩阵X 满足AX =B ，则X = . 9、若向量组=1α(1，2，1)T ，=2α(k-1，4，2)T 线性相关，则数k= . 10、若齐次线性方程组??? ??=-+=+-=++0 3020 2321321321x x x x x x ax x x 有非零解，则数 a = . 11、设向量=1α(1，-2，2)T ，=2α(2，0，-1)T ，则内积（21,αα）= . 12、向量空间V ={x=(x 1，x 2，0)T |x 1，x 2R ∈}的维数为 . 13、与向量（1，0，1）T 和（1，1，0）T 均正交的一个单位向量 线性代数（经管类）综合试题一 （课程代码 4184） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设D==M≠0，则D1== ( B )． A.－2M B.2M C.－6M D.6M 2.设A、B、C为同阶方阵，若由AB = AC必能推出B = C，则 A应满足 ( D )． A. A≠ O B. A = O C.|A|= 0 D. |A|≠0 3.设A，B均为n阶方阵，则( A )． A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0 B.(A+B)2=A2+2AB+B2 C.当AB=O时，有A=O或B=O D.(AB)-1=B-1A-1 4.二阶矩阵A，|A|=1，则A-1= ( B )． A. B. C. D. ，则下列说法正确的是( B )． A.若两向量组等价，则s = t . B.若两向量组等价，则r()= r() C.若s = t，则两向量组等价. D.若r()=r()，则两向量组等价. 6.向量组线性相关的充分必要条件是( C )． A.中至少有一个零向量 B.中至少有两个向量对应分量成比例 C.中至少有一个向量可由其余向量线性表示 D.可由线性表示 7.设向量组有两个极大无关组与 ，则下列成立的是( C )． A. r与s未必相等 B. r + s = m C. r = s D. r + s > m 8.对方程组Ax = b与其导出组Ax = o，下列命题正确的是( D )． A. Ax = o有解时，Ax = b必有解. B. Ax = o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解. C. Ax = b无解时，Ax = o也无解. D. Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解. 9.设方程组有非零解，则k = ( D )． A. 2 B. 3 C. -1 D. 1 10.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( D )． 全国2011年7月高等教育自学考试 线性代数（经管类）试题 课程代码：04184 说明：本卷中，A T 表示方阵A 的转置钜阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵， |A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设101350041A -?? ??=?????? ，则T AA =（ ） A ．-49 B ．-7 C ．7 D ．49 2．设A 为3阶方阵，且4A =，则2A -=（ ） A ．-32 B ．-8 C ．8 D ．32 3．设A ，B 为n 阶方阵，且A T =-A ，B T =B ，则下列命题正确的是（ ） A ．（A +B ）T =A +B B ．（AB ）T =-AB C ．A 2是对称矩阵 D ．B 2+A 是对称阵 4．设A ，B ，X ，Y 都是n 阶方阵，则下面等式正确的是（ ） A ．若A 2=0，则A =0 B ．（AB ）2=A 2B 2 C ．若AX =AY ，则X =Y D ．若A +X =B ，则X =B -A 5．设矩阵A =11 3 10 21400050 000?? ??-? ??? ?? ?? ，则秩（A ）=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．若方程组02020kx z x ky z kx y z + =?? ++=??-+=? 仅有零解，则k =（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．2 7．实数向量空间V={（x 1，x 2，x 3）|x 1 +x 3=0}的维数是（ ） 《线性代数（经管类）》综合测验题库 一、单项选择题 1.下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是() A.A-1正定 B.A没有负的特征值 C.A的正惯性指数等于n D.A合同于单位阵 2.二次型f（x1,x2,x3）= x12+ x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说法正确的是() A.是正定的 B.其矩阵可逆 C.其秩为1 D.其秩为2 3.设f=X T AX，g=X T BX是两个n元正定二次型，则()未必是正定二次型。 A.X T（A+B）X B.X T A-1X C.X T B-1X D.X T ABX 4.设A，B为正定阵，则() A.AB，A+B都正定 B.AB正定，A+B非正定 C.AB非正定，A+B正定 D.AB不一定正定，A+B正定 5.二次型f=x T Ax经过满秩线性变换x=Py可化为二次型y T By，则矩阵A与B() A.一定合同 B.一定相似 C.即相似又合同 D.即不相似也不合同 — 6.实对称矩阵A的秩等于r，又它有t个正特征值，则它的符号差为() A.r B.t-r C.2t-r D.r-t 7.设 8.f（x1,x2,x3）= x12-2x1x2+4x32对应的矩阵是() 9.设A是n阶矩阵，C是n阶正交阵，且B=C T AC，则下述结论()不成立。 A.A与B相似 B.A与B等价 C.A与B有相同的特征值 — D.A与B有相同的特征向量 10.下列命题错误的是() A.属于不同特征值的特征向量必线性无关 B.属于同一特征值的特征向量必线性相关 C.相似矩阵必有相同的特征值 D.特征值相同的矩阵未必相似 11.下列矩阵必相似于对角矩阵的是() 12.已知矩阵有一个特征值为0，则() A.x=2.5 B.x=1 C.x=-2.5 D.x=0 13.已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，则|A-4E|=() A.2 B.-6 C.6 D.24 14.已知f（x）=x2+x+1方阵A的特征值1,0,-1,则f（A）的特征值为() A.3，1，1 B.2，-1，-2 C.3，1，-1 2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试 04184线性代数（经管类）试卷 本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。 说明：本试卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵， A 表示方阵A 的行列式，()A r 表示矩阵A 的秩。 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。错选、多选或未选均无分。 1.设3阶行列式1 1 1 232221 13 1211 a a a a a a =2，若元素ij a 的代数余子公式为ij A （i,j=1,2,3)，则=++333231A A A 【 】 A.1- B.0 C.1 D.2 2.设A 为3阶矩阵，将A 的第3行乘以2 1 -得到单位矩阵E ， 则A =【 】 A.2- B.2 1 - C.21 D.2 3.设向量组321,,ααα的秩为2，则321,,ααα中 【 】 A.必有一个零向量 B. B.任意两个向量都线性无关 C.存在一个向量可由其余向量线性表出 D.每个向量均可由其余向量线性表出 4.设3阶矩阵??? ? ? ??---=466353331A ,则下列向量中是A 的属于特征值2-的特征向量为 【 】 A.????? ??-011 B.????? ??-101 C.????? ??201 D.???? ? ??211 5.二次型212 322213214),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为 【 】 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错误、不填均无分、 2018年4月高等教育自学考试全国统一命题考试 04184线性代数（经管类）试卷 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1. 设2阶行列式 121 21a a b b =-，则12 1212 12 a a a a b b b b +-=+- A. 2- B. 1- C. 1 D.2 2. 设A 为3阶矩阵，且||=0A a ≠，将A 按列分块为123(,,)A a a a = ，若矩阵122331(,,),B a a a a a a =+++则||=B A. 0 B. a C. 2a D.3a 3. 设向量组123,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 A. 123,2,3a a a C. 122331,,a a a a a a --- B. 1123,2,a a a a - D.1223123,,2a a a a a a a +-+- 4. 设矩阵300 00 00000120 02 2B ?? ? ? = ?- ??? ，若矩阵,A B 相似，则矩阵3E A -的秩为 A. 1 B. 2 C. 3 D.4 5. 设矩阵120240001A -?? ?=- ? ??? ，则二次型T x Ax 的规范型为 A. 222123z z z ++ B. 222123z z z +- C. 2212z z - D.2212z z + 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 6. 设3阶行列式11 1213 21 222312 2 2 a a a a a a = ，若元素ij a 的代数余子式为ij A ，则 313233++=A A A . 7. 已知矩阵(1,2,1),(2,1,1)A B =-=- ，且,T C A B = 则C = . 8. 设A 为3阶矩阵，且1||=3A -，则行列式1 * 132A A -??+= ??? . 9.2016 2017 001123010010456100=100789001?? ???? ? ??? ? ??? ? ????? ???? . 10. 设 向 量 (1 ,T β= 可由向量组 123(1,1,)(1,,1)(,1,1)T T T a a a ααα===，，线性表示，且表示法唯一，则 a 的取值应满足 . 11. 设向量组123(1,2,1)(0,4,5)(2,0,)T T T t ααα=-=-=，，的秩为2，则 t = . 12. 已知12(1,0,1)(3,1,5)T T ηη=-=-，是3元非齐次线性方程组Ax b = 的两个解，则对应齐次线性方程组Ax b =有一个非零解=ξ . 13.设2=3 λ- 为n 阶矩阵A 的一个特征值，则矩阵2 23E A - 必有一个特征值为 . 14.设2阶实对称阵A 的特征值为2,2- ，则2 A = . 15.设二次型22111211(,)4f x x x x tx x =+- 正定，则实数t 的取值范围是 . 三、计算题：本大题共有7小题，每小题9分，共63分。 16. 计算4阶行列式23001230 01230012 D --=-- . 2014年10月全国高等教育自学考试 线性代数（经管类）试卷及答案 课程代码：04184 本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。 说明：本试卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，()A r 表示矩阵A 的秩。 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设3阶行列式111 2322 21131211 a a a a a a =2，若元素ij a 的代数余子公式为ij A （i,j=1,2,3)，则=++333231A A A 【 】 A.1- B.0 C.1 D.2 2.设A 为3阶矩阵，将A 的第3行乘以21- 得到单位矩阵E ， 则A =【 】 A.2- B.2 1- C.21 D.2 3.设向量组321,,ααα的秩为2，则321,,ααα中 【 】 A.必有一个零向量 B. B.任意两个向量都线性无关 C.存在一个向量可由其余向量线性表出 D.每个向量均可由其余向量线性表出 4.设3阶矩阵???? ? ??---=466353331A ,则下列向量中是A 的属于特征值2-的特 征向量为 【 】 A.????? ??-011 B.????? ??-101 C.????? ??201 D.???? ? ??211 5.二次型212322213214),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为 【 】 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错误、不填均无分、 6.设131 2)(--=x x f ，则方程0)(=x f 的根是 7.设矩阵??? ? ??=0210A ,则*A = 8.设A 为3阶矩阵，21- =A ,则行列式1)2(-A = 9.设矩阵???? ??=4321B ,??? ? ??=2001P ,若矩阵A 满足B PA =,则A = 10.设向量T )4,1(1-=α,T )2,1(2=α,T )2,4(3=α,则3α由21,αα线性表出 的表示式为 11.设向量组T T T k ),0,1(,)0,1,4(,)1,1,3(321===ααα线性相关， 则数=k 12.3元齐次线性方程组?? ?=-=+0 03221x x x x 的基础解系中所含解向量的个数 为 13.设3阶矩阵A 满足023=+A E ，则A 必有一个特征值为 14.设2阶实对称矩阵A 的特征值分别为1-和1，则=2A 第一章 行列式 一．行列式的定义和性质 1. 余子式ij M 和代数余子式ij A 的定义 2．行列式按一行或一列展开的公式 1）1 1 ,1,2, ;(,1,2, )n n ij ij ij ij ij ij n n i j A a a A j n A a a A i n ========∑∑ 2）11 ; 00 n n ij ik ij kj i j k j k i A A a A a A k j k i ====??==??≠≠??∑∑ 测试点 行列式的任意一行(列)与另一行(列)元素的代数余子式的乘积之和为零. 3．行列式的性质 1）.T A A = 2）用数k 乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k 倍.推论 3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论 4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0. 5）行列式可以按任一行（列）拆开. 6）行列式的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等. 例 设行列式22 11 b a b a =1，22 11 c a c a =2，则2 22 1 11 c b a c b a ++=（ 3 ） 二．行列式的计算 1．二阶行列式和三角形行列式的计算. 2. 对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算. 3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开. 4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型. 5. 范德蒙行列式的计算公式 例(性质4) (1)(1)(2) (2)(1)(3) 123233 100 233 100203249 4992004992004090.367677 300677 300607 +-+-= = = 例（各行元素之和为常数的行列式的计算技巧） 全国2007年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案 课程代码：04184 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A 是3阶方阵，且|A |=21 -，则|A -1|=（ A ） A ．-2 B ．2 1- C ．21 D ．2 2．设A 为n 阶方阵，λ为实数，则=||A λ（ C ） A ．||A λ B ．||||A λ C ．||A n λ D ．||||A n λ 3．设A 为n 阶方阵，令方阵B =A +A T ，则必有（ A ） A ． B T =B B ．B =2A C ．B B T -= D ．B =0 4．矩阵A =???? ? ?--1111的伴随矩阵A *=（ D ） A ．???? ??--1111 B ．???? ??--1111 C ．??? ? ??--1111 D ．??? ? ??--1111 5．下列矩阵中，是初等矩阵的为（ C ） A ．???? ??0001 B ．? ??? ? ??--100101110 C ．????? ??101010001 D ．??? ? ? ??001300010 6．若向量组)0,1,1(1+=t α，)0,2,1(2=α，)1,0,0(23+=t α线性相关，则实数t =（ B ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 A ．A 中的4阶子式都不为0 B ．A 中存在不为0的4阶子式 C ．A 中的3阶子式都不为0 D ．A 中存在不为0的3阶子式 8．设3阶实对称矩阵A 的特征值为021==λλ，23=λ，则秩(A )=（ B ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 线性代数复习提纲 第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A|自学考试线性代数经管类资料重点考点
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