12.9 利用定积分求曲线围成的面积
武汉外国语学校 汪家硕
一．复习回顾：
1.定积分的几何意义：当()0f x ≥时，积分()b a f x dx ?在几何上表示由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积。
当()0f x ≤时，由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方。
2.牛顿—莱布尼茨公式
定理（微积分基本定理）如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且'()()F x f x =，则
()()()b
a f x dx F
b F a =-?
二．曲线围成的面积
1.设f 和g 是区间[,]a b 上的连续函数且对任意的[,]x a b ∈有()()f x g x ≥，则直线x a =和直线x b =以及曲线间围成的面积可以表示为：
()()()()b b b a a a f x dx g x dx f x g x dx -=-?
??
例1.求抛物线2y x =和直线2y x =所围成的区域面积。
解：先求出P 点坐标。
解方程组22y x y x ?=?=? ? 02x x =??=?
∴ P 点的坐标是(2,4)。
?b a f (x )dx =?c a f (x )dx +?b c f (x )dx 。
所求的面积=
2
23
22
00
84
24
333
x
x x dx x
??
-=-=-=
??
??
?
例1
例2．计算曲线
21
y x
=+和2
4
y x
=-，以及直线1
x=和1
x=-所围成的区域面积。
解：所求面积=
1
113
222
111
214
4(1)323
33
x
x x dx x dx x
---
??
--+=-=-=
??
??
??
例2
2.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方，如果它们交叉会是什么结果？
考虑区间112233
[,],[,],[,],[,]
a c c c c c c b
，阴影部分面积可以表示为：
123
123
()()()()()()()()
c c c b
a c c c
f x
g x dx g x f x dx f x g x dx g x f x dx
-+-+-+-
????
例3：求
3
()
f x x
=和()
g x x
=所围成的封闭区域面积。
解：当()()
f x
g x
=时图像的交点，
即
332
0(1)0
x x x x x x
=?-=?-=
01
x
∴=±
或
例3
例4：求阴影部分的面积。
例4 练习：
1.求阴影部分面积
12.9 利用定积分求曲线围成的面积 武汉外国语学校 汪家硕 一．复习回顾： 1.定积分的几何意义：当()0f x ≥时，积分()b a f x dx ?在几何上表示由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积。 当()0f x ≤时，由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方。 2.牛顿—莱布尼茨公式 定理（微积分基本定理）如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且'()()F x f x =，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 二．曲线围成的面积 1.设f 和g 是区间[,]a b 上的连续函数且对任意的[,]x a b ∈有()()f x g x ≥，则直线x a =和直线x b =以及曲线间围成的面积可以表示为： ()()()()b b b a a a f x dx g x dx f x g x dx -=-? ?? 例1.求抛物线2y x =和直线2y x =所围成的区域面积。 解：先求出P 点坐标。 解方程组22y x y x ?=?=? ? 02x x =??=? ∴ P 点的坐标是(2,4)。 ?b a f (x )dx =?c a f (x )dx +?b c f (x )dx 。
所求的面积= 2 23 22 00 84 24 333 x x x dx x ?? -=-=-= ?? ?? ? 例1 例2．计算曲线 21 y x =+和2 4 y x =-，以及直线1 x=和1 x=-所围成的区域面积。 解：所求面积= 1 113 222 111 214 4(1)323 33 x x x dx x dx x --- ?? --+=-=-= ?? ?? ?? 例2 2.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方，如果它们交叉会是什么结果？ 考虑区间112233 [,],[,],[,],[,] a c c c c c c b ，阴影部分面积可以表示为： 123 123 ()()()()()()()() c c c b a c c c f x g x dx g x f x dx f x g x dx g x f x dx -+-+-+- ???? 例3：求 3 () f x x =和() g x x =所围成的封闭区域面积。 解：当()() f x g x =时图像的交点， 即 332 0(1)0 x x x x x x =?-=?-= 01 x ∴=± 或 例3
找一个函数来描述要求解的曲面一侧的高度，然后描述无穷小单元的面积。其实，不管是什么样的坐标，思路都是一样的。事实上，最原始的方法可以用方格子图纸来计算面积。用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和平面曲线的弧长。Mbth是一种积分，它是函数f(X)在区间[a，b]上的积分和的极限。 这里要注意定积分和不定积分的关系：如果有定积分，就是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，只有一个数学计算关系(牛顿-莱布尼兹公式)。定积分定义：设函数f(X)在区间[a，b]上连续，将区间[a，b]分成n个子区间[x0，x1]，(x1，x2]，(x2，x3]，…。，(xn-1，xn]，其中x0=a，xn=b。可以知道，每个区间的长度依次为x1=x1-x0，并且每个子区间(xi-1，xi]中的任意点ξi(1，2，…，n)被用作求和公式。 这个求和公式称为积分和。设λ=max{x1，x2，…，xn}(即，λ是最大间隔长度)。如果当λ→为0时存在积分和极限，则这个极限称为函数f(X)在区间[a，b]上的定积分，记为，函数f(X)在区间[1]内，其中：a称为积分下限，b称为积分上限，区间[a，b]称为积分区间，函数f(X)称为被积函数，x称为积分变量，f(X)dx称为被积函数表达式，∫称为整数。 之所以叫定积分，是因为积分后得到的值是定的，是常数，不是函数。
根据上述定义，如果函数f(X)可以在区间[a，b]内积分，则存在n等分的特殊除法： 特别地，根据上述表达式，当区间[a，b]恰好是区间[0，1]时，区间[0，1]的积分表达式如下： 1.当a=b时， 2.当a>b时， 3.在整数前可以提到常量。 4.代数和的积分等于积分的代数和。 5.定积分的可加性：如果将积分区间[a，b]分成两个子区间[a，c]和[c，b]，则有由于性质2，如果f(X)在区间d上可积，则区间d(可能不在区间[a，b]上)中的任何c都满足条件。 6.如果f(X)在区间[a，b]内≥0。 7.积分中值定理：如果f(X)在[a，b]上连续，则在[a，b]中至少有一个点ε
欢迎阅读 题型 1.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求面积 2.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求体积 内容 一．微元法及其应用 二．平面图形的面积 1.直角坐标系下图形的面积 2.边界曲线为参数方程的图形面积 3. 极坐标系下平面图形的面积 三．立体的体积 1.已知平行截面的立体体积 2.旋转体的体积 四．平面曲线的弦长 五．旋转体的侧面积 六．定积分的应用 1.定积分在经济上的应用 2.定积分在物理上的应用 题型 题型I微元法的应用 题型II求平面图形的面积
题型III 求立体的体积 题型IV 定积分在经济上的应用 题型V 定积分在物理上的应用 自测题六 解答题 4月25日定积分的应用练习题 一．填空题 1. 求由抛物线线x x y 22+=，直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________ 2.抛物线x y 22=把圆822≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________ 3. 由曲线y x y y x 2,422==+及直线4=y 所围成图形的面积为 4.曲线3 3 1x x y - =相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线θ2sin 32=r 相应于2 2 π θπ ≤ ≤- 上的一段弧所围成的图形面积为 ． 6.椭圆)0,0(1sin 1cos b a t b y t a x ???+=+=所围成的图形的面积为 二．选择题 1. 由曲线22,y x x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ． 31 B ． 32 C ． 21 D ． 2 3 2. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（ ） A ． 223a π B ． 243a π C ． 2 8 3a π D ． 23a π 3. 曲线2 x x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 （ ） A ． 2 a a e e -+ B ． 2a a e e -- C ． 12++-a a e e D ．12-+-a a e e 4. 由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。
第六章 定积分的应用 （A ） 1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）221x y = 与822=+y x （两部分都要计算） 2）x y 1= 与直线x y =及2=x 3）x e y =，x e y -=与直线1=x 4）θρcos 2a = 5）t a x 3cos =，t a y 3sin = １、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的 面积
２、求对数螺线θρae =()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积 ３、求由曲线x y sin =和它在2π =x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 ４、由3x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体 的体积 ５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形 的立体体积 ６、计算曲线()x y -= 33 3上对应于31≤≤x 的一段弧的长度 ７、计算星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =的全长
８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ） 成正比，即：kS =→F （k 是比例常数），如果把弹簧原长拉伸6cm ， 计算所作的功 ９、一物体按规律3ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0 =x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功 １０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？ １１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边 与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力 １２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处 有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力 (B) 1、设由抛物线()022>=p px y 与直线p y x 2 3=+ 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积
高考数学复习总结归纳点拨 1 用定积分求面积的技巧 求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用.把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分体现了数形结合的数学思想.求解此类题常常用到以下技巧. 一、巧选积分变量 求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便. 例1 求抛物线22y x =与直线4y x =-围成的平面图形的面积． 解析：如图1，解方程组224y x y x ?=?=-? ，，得两曲线的变点为(22)(84)-，，，． 方法一：选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积应该是两部分之和，即33282 8822022024222(24)224183032 S xdx x x dx x x x =+-+=++=??|||． 方法二：选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积可据公式求得，即 24 234 22114418226y S y y dy y y --????=+-=+-= ? ??????|． 点评：从上述两种解法可以看出，对y 积分比对x 积分计算简捷.因此，应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的.但同时也要注意对y 积分时，积分函数应 是()x y ?=，本题须将条件中的曲线方程、直线方程化为2142 x y x y = =+，的形式，然后求得积分．另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变. 二、巧用对称性 在求平面图形面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，也是简化计算过程的常用手段. 例2 求由三条曲线2241y x y x y ===， ，所围图形的面积. 解析：如图2，因为224y x y x ==， 是偶函数，根据对称性，只算出y 轴右边的图形的面积再两倍即可．
题型 1.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求面积 2.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求体积 容 一．微元法及其应用 二．平面图形的面积 1.直角坐标系下图形的面积 2.边界曲线为参数方程的图形面积 3. 极坐标系下平面图形的面积 三．立体的体积 1.已知平行截面的立体体积 2.旋转体的体积 四．平面曲线的弦长 五．旋转体的侧面积 六．定积分的应用 1.定积分在经济上的应用 2.定积分在物理上的应用 题型 题型I微元法的应用 题型II求平面图形的面积
题型III 求立体的体积 题型IV 定积分在经济上的应用 题型V 定积分在物理上的应用 自测题六 解答题 4月25日定积分的应用练习题 一．填空题 1. 求由抛物线线x x y 22 +=，直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________ 2.抛物线x y 22 =把圆82 2 ≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________ 3. 由曲线y x y y x 2,42 2==+及直线4=y 所围成图形的面积为 4.曲线3 3 1x x y - = 相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线θ2sin 32 = r 相应于2 2 π θπ ≤ ≤- 上的一段弧所围成的图形面积 为 ． 6.椭圆)0,0(1 sin 1 cos b a t b y t a x ?? ?+=+=所围成的图形的面积为 二．选择题 1. 由曲线2 2 ,y x x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ． 31 B ． 32 C ． 21 D ． 2 3 2. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（ ） A ． 223a π B ． 243a π C ． 2 8 3a π D ． 23a π 3. 曲线2 x x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 （ ）
用定积分求面积的技巧 求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用.把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分体现了数形结合的数学思想.求解此类题常常用到以下技巧. 一、巧选积分变量 求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便. 例1 求抛物线22y x =与直线4y x =-围成的平面图形的面积． 解析：如图1，解方程组224y x y x ?=?=-? ，，得两曲线的变点为(22)(84)-，，，． 方法一：选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积应该是两部分之和，即 3328 28822022024222(24)224183032 S xdx x x dx x x x =+-+=++=??|||． 方法二：选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积可据公式求得，即24 234 22114418226y S y y dy y y --????=+-=+-= ? ??????|． 点评：从上述两种解法可以看出，对y 积分比对x 积分计算简捷.因此，应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的.但同时也要注意对y 积分时，积分函数应 是()x y ?=，本题须将条件中的曲线方程、直线方程化为2142 x y x y = =+，的形式，然后求得积分．另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变. 二、巧用对称性 在求平面图形面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，也是简化计算过程的常用手段. 例2 求由三条曲线2241y x y x y ===， ，所围图形的面积. 解析：如图2，因为224y x y x ==， 是偶函数，根据对称性，只算出y 轴右边的图形的面积再两倍即可．
积分法求圆球的表面积与体积 方法一: 如图圆O 的方程为2 2 2 R y x =+, 22x R y -= 将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体 从X 负半轴到X 正半轴将直径2R 等分n 份)(∞→n 每份长为x ? 球体也同时被垂直分成n 份薄片 每片的半径为22x R r -= 每片分得弧长为l d 如图:当无限等分后 (1)CE d l ≈弧 (2)CE OC ⊥ (3)x EH ?= 易证CEH OCX ?∝? CX OC EH CE =?CX EH OC CE ?= x x R R l ?-= ??2 2 弧 薄片的球面面积x x R R x R l r S ?--=?=?2 2 2 22)2(ππ x R S ?=?π2 球面面积? ? +-+-== R R R R Rx Rdx ππ22=2 4R π 方法二: 如图圆O 的方程为2 2 2 R y x =+, 22x R y -= 将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体 沿X 轴正方向到X 轴负方向将圆心角等分n 份 )(∞→n 每份为θ?,),0(πθ∈ 球体也同时被垂直分割成n 份薄片 每片弧长相等对应圆心角为θ? 每片对应的半径为θsin R r = 当0→?θ时
(1)θ?=∠BOC (2)CB CB 弧弦≈ (3)CB OB ⊥ 薄片周长θπsin 2R L = 薄片的(宽))sin(θ?=R h 薄片外围面积)sin(sin 2θθπ??=?R R S )sin(sin 22 θθπ?=R θθπ?=sin 22R 20 224cos 2sin 2R R R S πθπθθπππ =-=?=?? 方法三: 如图圆O 的方程为2 2 2 R y x =+, 22x R y -= 将圆O 绕Y 轴旋转一周,得到一个圆球体 沿Y 轴负方向到Y 轴正方向将圆心角等分n 份)(∞→n 每份为θ?,)2 ,2(π πθ- ∈ 球体也同时被水平分割成n 份薄片 每片弧长相等对应圆心角为θ? 每片对应的半径为θcos R r = 如图取OC oB →这一份进行研究 当0→?θ时 (1)θ?=∠BOC (2)CB CB 弧弦≈ (3)CB OC ⊥ 薄片周长θπcos 2R L = 薄片的厚(高))sin(θ?=R h 薄片外围面积)sin(cos 2θθπ??=?R R S )sin(cos 22 θθπ?=R 由极限:当0→x 时 1sin =x x ? 当 0→x 时x x =sin 故 )sin(cos 22 θθπ?=?R S θθπ?=cos 22 R 2 22 22 2 2 4sin 2cos 2R R R S πθπθθππ ππ π==?=??- -
用定积分求面积的两个常用公式 求平面图形围成的面积是定积分重要应用之一，下面介绍求面积的两个常用公式及其应用． 一、两个常用公式 公式一：由连续曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b 与y ＝0所围成的曲边梯形的面积A 为 A ＝ |()|b a f x dx ? ． 特别地，（1）当f (x )≥0时(如图1)，A ＝()b a f x dx ? ； （2）当f (x )≤0时(如图2)，A ＝－ ()b a f x dx ? ； （3）当f (x )有正有负时(如图3)，A ＝ ()c a f x dx ? － ()b c f x dx ? ． 公式二：由连续曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )，f (x )≥g (x )及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的图形(如图4)的面积A 为 A ＝ [()()]b a f x g x dx -?． 二、应用举例 例1 由y ＝x 3 ，x ＝0，x ＝2，y ＝0围成的图形面积． 分析：先画出图象，利用公式1转化为定积分问题即可解决． 解：（1）如图1，由公式1，得 1 图2 图
S ＝ 2 30 x dx ? ＝ 4244 0111|204444 x =?-?=． 评注：注意定积分与利用定积分计算曲线围成图形的面积区别．定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．一般情况下，借助定积分分别求出每一部分曲边梯形的面积，然后将它们加在一起． 例2 （1）由曲线y ＝x 2，y 2 ＝x 所围成图形的面积． （2）由y ＝14x 2－1，y ＝12x ，y ＝3 4 x 在第一象限所围成图形的面积． 分析：先画图象找出范围，利用公式2，用积分表示，再求积分． 解：（1） 如图2，所求面积为阴影部分． 解方程组22 y x y x ?=??=??，得交点(0，0)，(1，1)，由公式2，得 S ＝1 2 0)x dx ?＝3312 02211()|33333 x x -=-=． （2）如图3，解方程组2114 12y x y x ? =-????=??和 2114 34 y x y x ? =-??? ?=??， 得x ＝0，x ＝1 ＋负的舍去)，x ＝4． 由公式2，得图形面积 S ＝10 31 ()42 x dx -? ＋4 2111 [(1)]42 x x dx -- ? 216-=． 3 图
有关定积分问题的常见题型解析 题型一 利用微积分基本定理求积分 例1、求下列定积分： （1）()1 3 031x x dx -+? （2）() 94 1x x dx +? （3）? --2 2 24x 分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。 评注：利用微积分基本定理求定积分 dx x f a b )(?的关键是找出)()(/ x f x F =的函数)(x F 。 如果原函数不好找，则可以尝试找出画出函数的图像， 图像为圆或者三角形则直接求 其面积。 题型二 利用定积分求平面图形的面积 例2 如图 ，求直线y=2x+3与抛物线y=x 2所围成的图形面积。 分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积。为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。 评注：求平面图形的面积的一般步骤：⑴画图，并将图形分割成若干曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和。 关键环节：①认定曲边梯形，选定积分变量；②确定被积函数和积分上下限。 知识小结：几种典型的曲边梯形面积的计算方法： （1）由三条直线x=a 、x=b （a ＜b ）、x 轴，一条曲线y=()x f （()x f ≥0）围成的曲边梯形的面积： S ＝ ()?b a dx x f ，如图1。 （2）由三条直线x=a 、x=b （a ＜b ）、x 轴，一条曲线y=()x f （()x f ≤0）围成的曲边梯形的面积： S ＝ ()()?? -=b a b a dx x f dx x f ，如图2。 （3）由两条直线x=a 、x=b （a ＜b ）、两条曲线y=()x f 、y=()x g （()()x g x f ≥）围成的平面图形的面积：S ＝ ()()?-b a dx x g x f ][，如图3。
定积分复习重点 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质 1212(1)()()(). (2)[()()]()(). (3)()()()(). b b a a b b b a a a b c b a a c kf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+????????为常数其中a
定积分法求面积的探究 教学系： 专业： 年级： 姓名： 学号： 导师及职称：
摘要 定积分是数学中十分重要的工具，其中求图形的面积正是它的运用之一，它的思想就是切割求和，在不同的坐标系下可采用特定的方法求解面积。本文介绍了几种运用定积分来求面积的方法，其中列举了特殊的例题以及重要的问题解决方法。如果实际问题中的所求量与某一区间有关且在该区间上具有可加性，我们就可以用函数的定积分来表示这个所求的量，因此我们就可以运用定积分来解决一些实际问题。 同时利用定积分求不规则平面图形的面积，是定积分在几何中的重要应用之一。如何灵活地运用定积分的定义及有关公式,巧妙地将求不规则图形的面积问题等价转化为求定积分的数值问题就是一大关键，本文结合实例，介绍几种常用的转化方法与求解策略。从而充分的体现数形结合的数学思想方法。 关键词：定积分；封闭图形；曲面域；对称性
Research of square in definite integral ABSTRACT A definite integral is very important mathematical tools, for which the graphics area is one of its application, its thought is to cut and, under different coordinate systems can use specific method to find the area. This paper introduces several methods of using the integral area to seek the. Which lists the specific examples and an important method to solve the problem. If practical problems for quantity with a certain interval and in the interval is additive, we can use the definite integral of a function to represent the desired amount. Therefore, we can use the definite integral to solve some practical problems. At the same time, the use of definite integrals for the irregular plane graphics area, is one of the important applications of integral in geometry. How to flexibly use definite integral is defined and the related formulae and skillfully will seek irregular graphic area equivalent transformation to calculate the numerical integral is one of key, the paper with examples, introduces several commonly used transformation method and solution strategy. In order to fully reflect the combination of the mathematical thought and method. Keywords: definite integral; closed graph; surface area; symmetry
利用定积分求曲线围成的 面积 This manuscript was revised on November 28, 2020
利用定积分求曲线围成的面积 武汉外国语学校 汪家硕 一．复习回顾： 1.定积分的几何意义：当()0f x ≥时，积分()b a f x dx ?在几何上表示由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积。 当()0f x ≤时，由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方。 2.牛顿—莱布尼茨公式 定理（微积分基本定理）如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且'()()F x f x =，则 二．曲线围成的面积 1.设f 和g 是区间[,]a b 上的连续函数且对任意的[,]x a b ∈有()()f x g x ≥，则直线x a =和直线x b =以及曲线间围成的面积可以表示为： ()()()()b b b a a a f x dx g x dx f x g x dx -=-??? 例1.求抛物线2y x =和直线2y x =所围成的区域面 积。 解：先求出P 点坐标。 解方程组22y x y x ?=?=? ? 02x x =??=? ∴ P 点的坐标是(2,4)。 所求的面积= 2 2322008424333x x x dx x ??-=-=-=????? 例1 例2．计算曲线21y x =+和24y x =-，以及直线1x =和1x =-所围成的区域面积。 解：所求面积= 例2 2.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方，如 果它们交叉会是什么结果 考虑区间112233[,],[,],[,],[,]a c c c c c c b ，阴影部分面积可以表 示为： 例3：求3()f x x =和()g x x =所围成的封闭区域面积。
利用定积分求面积 1. 导数 ()y f x =在0x x =处的导数,记作0000()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?(也可记为0x x ='y ) 几个常用函数的导数： （1）)'(c =0（c 为常数）；（2）1()'n n x nx -=（a 为任意常数）； 练习： ①已知S =πr 2，求r S ' ②已知V = 3 4π3 R ，求R V ' ③已知y =x 2+3x 求（1）y '；(2) 求y '︱x =2 ④已知y =x 3 求 （1）y '；（2）y '︱x =0；（3）求曲线在（0，0）处的切线方程. 2. 曲边梯形 在直角坐标系中，由连续曲线y =f (x )，直线x =a 、x =b 及x 轴所围成的图形叫做曲边梯形。 例 1.求抛物线y =x 2、直线x =1和x 轴所围成的曲边梯形的面积。 3．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?= ），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数 S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx =? 2．定积分的几何意义 如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥，那么定积分 ()b a f x dx ? 表示由直线
定积分的简单应用(二) 复习： （1） 求曲边梯形面积的方法是什么 （2） 定积分的几何意义是什么 （3） 微积分基本定理是什么 引入： 我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。 1. 简单几何体的体积计算 问题：设由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的平面图形（如图甲）绕x 轴 旋转一周所得旋转体的体积为V ，如何求V * 分析： 在区间[,]a b 内插入1n -个分点，使0121n n a x x x x x b -=<<< <<=，把曲线 ()y f x =（a x b ≤≤）分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”，如图甲所示。设第i 个“小长条” 的宽是1i i i x x x -?=-，1,2, ,i n =。这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度是i x ?的 小圆片，如图乙所示。当i x ?很小时，第i 个小圆片近似于底面半径为()i i y f x =的小圆柱。因此，第i 个小圆台的体积i V 近似为2()i i i V f x x π=? 该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和： 2221122[()()()]n n V f x x f x x f x x π≈?+?+ +? 这个问题就是积分问题，则有： \
2 2()()b b a a V f x dx f x dx ππ==?? 归纳： 设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π=? 2. 利用定积分求旋转体的体积 （1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数 （2） 分清端点 （3） 确定几何体的构造 （4） 利用定积分进行体积计算 3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积 若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y ，其公式为2()b a V g y dy π =? ￥ 类型一：求简单几何体的体积 例1：给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积 思路： 由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。 解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为,x y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，如图:BC y a =。则该旋转体即为圆柱的体积为： 22300|a a V a dx a x a πππ=?==? 规律方法： 求旋转体的体积，应先建立平面直角坐标系，设旋转曲线函数为()f x 。确定积分上、下限 ,a b ，则体积2()b a V f x dx π=? 练习1：如图所示，给定直角边为a 的等腰直角三角形，绕y 轴旋转一周，求形成的几何体的 体积。 ）
2013利用定积分求曲线围成的面积 12.9 利用定积分求曲线围成的面积 一．复习回顾： 1.定积分的几何意义：当()0f x ≥时，积分()b a f x dx ?在几何上表示由()y f x =、x a =、 x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积。 当()0f x ≤时，由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方。 2.牛顿—莱布尼茨公式 定理（微积分基本定理）如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且' ()()F x f x =，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 二．曲线围成的面积 1.设f 和g 是区间[,]a b 上的连续函数且对任意的[,]x a b ∈有()()f x g x ≥，则直线x a =和直线x b =以及曲线间围成的面积可以表示为： ()()()()b b b a a a f x dx g x dx f x g x dx -=-? ?? 例1.求抛物线2y x =和直线2y x =所围成的区域面积。 解：先求出P 点坐标。 解方程组22y x y x ?=?=? ? 02x x =??=? ∴ P 点的坐标是(2,4)。 ?b a f (x )dx =c a f (x )dx +b c f (x )dx 。
所求的面积= 2 23220 08424333x x x dx x ??-=-=-=????? 例1 例2．计算曲线21y x =+和24y x =-，以及直线1x =和1x =-所围成的区域面积。 解：所求面积= 1 11322211 12144(1)32333x x x dx x dx x ---??--+=-=-=?????? 例2 2.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方，如果它们交叉会是什么结 果？ 考虑区间112233[,],[,],[,],[,]a c c c c c c b ，阴影部分面积可以表示为： 1 23123 ()()()()()()()()c c c b a c c c f x g x dx g x f x dx f x g x dx g x f x dx -+-+-+-???? 例3：求3()f x x =和()g x x =所围成的封闭区域面积。 解：当()()f x g x =时图像的交点， 即 3320(1)0x x x x x x =?-=?-= 01x ∴=±或 例3
定积分求面积 平面图形的面积有两点需要注意，一个是选择用极坐标计算面积还是选择用极坐标系计算面积，一个是在计算面积是应该注意正负，定积分是有正负的，但是面积都是正的，在理解了定积分的含义之后，要明白计算面积时要加绝对值，或者在负的定积分前加负号，保证计算出来的面积是正的。 定积分在几何上的意义是曲线围成的面积，那么它只能求面积吗?它的应用可广泛了，可以这样说，我们都有一门课叫大学物理，其实大学物理跟高中物理相比在知识点上并没有增加多少，只是用微积分的方法解决了一些连续性变化的物理问题而已。很多同学觉得大学物理难学，那一定是你没有领会微积分的真谛，也就是不会使用微积分解决实际问题。 用定积分求平面图形面积的关键是根据题意准确确定平面图形的边界，并根据边界将面积正确的写成积分形式。用定积分求弧长问题难点在于曲线方程的直角坐标系形式与极坐标系形式之间的转换，以及对这些变换的理解，然后就是对三角函数类定积分的熟练计算，很多时候不能“蛮算”要“巧算”。很多同学觉得这是很简单的事情，而不以为然，认为这种题目很简单没有必要浪费时间去做，可是到了考试时候真正出现这种题目，又有几个人能用很短的时间把题目做正确？确定边界问题咋一看很简单——不就是初中数学的内容吗？但是解题需要的是熟练，而熟练必然建立在多练习多总结的基础上。
此外用定积分求面积问题积累的经验在后面多重积分的应用问题中也非常有用，求曲线弧长积累的经验在后面曲线曲面积分计算中也很有用。很多同学之所以觉得曲线曲面积分、多重积分很难是因为定积分学的不够扎实。如果我们在一维的数学思维训练够了，那么学习更高维的数学就不再是难事。 见到题目都觉得简单，都不想去动手做，最终必然是什么都不会。所以希望同学们从基础题目做起，千万不要眼高手低——天下难事必作于易。
导数与积分（定积分求面积）：（答案见笔记本） 1. 已知函数b ax x x f +-=2)(2 在1=x 处有极值2， （1）求函数b ax x x f +-=2)(2在闭区间[]3,0上的最值； （2）求曲线b ax x x f +-=2)(2 与3+=x y 所围成的图形的面积. 2. 已知函数bx ax x f +=3)(在3=x 时取得极值-54， （1）求a 、b 的值； （2）求曲线)(x f y =与x 轴围成的图形的面积. 3. 求抛物线12-=x y ，直线2=x ，0=y 所围成的图形的面积.
4. 求正弦函数x y sin =，?? ????∈π23,0x 和直线π23=x 及x 轴围成图形的面积. 5. 设二次函数y=)(x f ,方程0)(=x f 有两个相等的实根，且22)(+='x x f （1）求)(x f 的表达式； （2）求)(x f y =的图像与两坐标轴围成的图形的面积. 6. 已知函数)0(ln )(≠=x x x f ，函数)0(),()(1)(≠'+'= x x f a x f x g （1）当0≠x 时，求函数)(x g 的表达式； （2）当0 a ，函数)(x g 在),0(+∞上的最小值是2，求a 的值； （3）在（2）的条件下，求直线6 732+= x y 与函数)(x g y =的图像所围成的面积.
7. 求有抛物线xa y 82=，)0( y 与直线06=-+y x 及0=y 围成的图形的面积. 8. 求有曲线2)2(+=x y ，)4(- x 与x 轴、直线x y -=4所围成的图形的面积. 9.求抛物线)0(,22 p px y =和过它上面的点),2 ( 1p p p 的切线的垂线所围成的平面图形的面积. 欢迎您的下载，资料仅供参考！
定积分法求面积探究毕业论文
定积分法求面积的探究 教学系： 专业： 年级： 姓名： 学号： 导师及职称：
摘要 定积分是数学中十分重要的工具，其中求图形的面积正是它的运用之一，它的思想就是切割求和，在不同的坐标系下可采用特定的方法求解面积。本文介绍了几种运用定积分来求面积的方法，其中列举了特殊的例题以及重要的问题解决方法。如果实际问题中的所求量与某一区间有关且在该区间上具有可加性，我们就可以用函数的定积分来表示这个所求的量，因此我们就可以运用定积分来解决一些实际问题。 同时利用定积分求不规则平面图形的面积，是定积分在几何中的重要应用之一。如何灵活地运用定积分的定义及有关公式,巧妙地将求不规则图形的面积问题等价转化为求定积分的数值问题就是一大关键，本文结合实例，介绍几种常用的转化方法与求解策略。从而充分的体现数形结合的数学思想方法。 关键词：定积分；封闭图形；曲面域；对称性
Research of square in definite integral ABSTRACT A definite integral is very important mathematical tools, for which the graphics area is one of its application, its thought is to cut and, under different coordinate systems can use specific method to find the area. This paper introduces several methods of using the integral area to seek the. Which lists the specific examples and an important method to solve the problem. If practical problems for quantity with a certain interval and in the interval is additive, we can use the definite integral of a function to represent the desired amount. Therefore, we can use the definite integral to solve some practical problems. At the same time, the use of definite integrals for the irregular plane graphics area, is one of the important applications of integral in geometry. How to flexibly use definite integral is defined and the related formulae and skillfully will seek irregular graphic area equivalent transformation to calculate the numerical integral is one of key, the paper with examples, introduces several commonly used transformation method and solution strategy. In order to fully reflect the combination of the mathematical thought and method. Keywords: definite integral; closed graph; surface area; symmetry