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北京市海淀区2020-2021学年高二上学期期末考试理科数学试题

北京市海淀区2020-2021学年高二上学期期末考试理科数学

试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．直线210x y +-=在y 轴上的截距为

A ．2-

B ．1-

C ．12-

D ．1

2．在空间直角坐标系中，已知点(1,0,1)A ，(3,2,1)B ，则线段AB 的中点的坐标是（）

A ．(1,1,1)

B ．(2,1,1)

C ．(1,1,2)

D ．(1,2,3) 3．已知圆22310x y x m +-++=经过原点，则实数m 等于

A ．32-

B ．1-

C ．1

D ．32

4．鲁班锁是曾广泛流传与民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身机构的连接支撑，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧.下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（）

A ．32

B ．34

C ．36

D ．40 5．已知平面α，β，直线m ，n ，下列命题中假命题．．．

是（） A ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ

B ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥

C ．若m α⊥，m β?，则αβ⊥

D ．若//m α，//αβ，n β?，则//m n

6．椭圆C ：22

11612

x y +=的焦点为1F ，2F ，若点M 在C 上且满足122MF MF -=，则12F MF ?中最大角为（）

A ．90?

B ．105?

C ．120?

D ．150? 7．“0m <”是“方程22x my m +=表示双曲线”的

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

8．平面α，β，γ两两互相垂直，在平面α内有一点A 到平面β，平面γ的距离都等于1.则在平面α内与点A ，平面β，平面γ距离都相等的点的个数为（） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

二、双空题

9．直线:10l x y +-=的倾斜角为______,经过点(1,1)且与直线l 平行的直线方程为______________.

三、填空题

1010y +-=被圆221x y +=所截得的弦长为__________．

11．请从正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是_________ .（只需写出一组） 12．在平面直角坐标系中，已知点(1,2,0)A ，(,3,1)B x -，(4,,2)C y ，若A 、B 、C 三点共线，则x y +=__________．

13．已知椭圆1C 和双曲线2C 的中点均为原点，且焦点均在x 轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为___________.

14．曲线W 的方程为22322()8x y x y +=.

①请写出曲线W 的两条对称轴方程____________；

②请写出曲线W 上的两个点的坐标____________；

③曲线W 上的点到原点的距离的取值范围是___________.

四、解答题

15．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的半径为1，其圆心在射线(0)y x x =≥上，且

OC =.

（Ⅰ）求圆C 的方程；

（Ⅱ）若直线l 过点(1,0)P ，且与圆C 相切，求直线l 的方程.

16．如图，在三棱锥P ABC -中，PB PC =，AB AC =，且点D 、E 分别是BC ，PB 的中点.

（I ）求证：//DE 平面PAC ；

（II ）求证：平面ABC ⊥平面PAD .

17．如图，平面ABCF ⊥平面FCDE ，四边形ABCF 和FCDE 是全等的等腰梯形，其中////AB FC ED ，且122

AB BC FC ==

=，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点.

（I ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两个点所在直线与平面EGO 垂直，并给出证明．．

；（II ）求二面角O EG F --的余弦值；

（III ）在线段CD 上是否存在点H ，使得//BH 平面EGO ？如果存在，求出DH 的长度，如果不存在，请说明理由.

18．已知抛物线W ：24y x =，直线4x =与抛物线W 交于A ，B 两点.点00(,)P x y 00(4,0)x y <≥为抛物线上一动点，直线PA ，PB 分别与x 轴交于M ，N .

（I ）若PAB ?的面积为4，求点P 的坐标；

（II ）当直线PA PB ⊥时，求线段PA 的长；

（III ）若PMN ?与PAB ?面积相等，求PMN ?的面积.

参考答案

1．D

【解析】

∵令0x =，此时1y =

∴在y 轴上的截距为1

故选D

2．B

【解析】

()1,0,1A ，()3,2,1B ，

∴线段AB 的中点的坐标1302112

22+++?? ???，，，即()211，，故选B

3．B

【解析】

∵圆经过原点()0,0

∴代入可得10m +=

∴1m =-

故选B

4．C

【解析】

∵由图可知要计算鲁班锁的体积，可将其分解为求三个长方体的体积

左右两个长方体的长宽高分别为4,2,2，中间的长方体长宽高为2,2,1

∴零件的体积为42222142236??+??+??=

故选C

点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽. 5．D

【解析】

A 中m α⊥，m β⊥，//αβ∴，故正确，

B 中 //m n ，m α⊥，n α∴⊥，由平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面可知，B 正确；

C 中 m α⊥，m β?，由面面垂直判定定理可知αβ⊥，故正确；

故选D

点睛：根据直线与平面垂直的性质和直线与平面所成角的定义，得到A 正确；根据直线与平面垂直的定义，结合平面与平面平行的判定定理，得到B 正确，根据直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理，得到C 正确；根据直线与平面平行的性质定理的大前提，可知D 错误，，由此得到正确的答案。

6．A

【解析】

∵椭圆22

:11612

x y C += ∴焦点()()122,0,2,0F F -

∵点M 在C 上 ∴128MF MF += ∵122MF MF -= ∴15MF =，23MF = ∵124F F =

∴12F MF ?中最大角为21MF F ∠ ∴2222121

2121291625cos 02234

MF F F MF MF F MF F F +-+-∠===?? ∴2190MF F ∠=?

故选A

点睛：本题考查椭圆的简单的性质的应用，根据三边求最大角，先求出最大边，根据“大边对大角”可以判断最大角，再利用余弦定理求出余弦值即可得角.

7．C

【解析】若方程2

21x x my m y m +=?+=为双曲线，则0m < ∴0m <是方程22x my m +=表示双曲线的充分必要条件

故选C

8．B

【解析】

不妨设到点A ，平面β，γ距离为x

则有)222x x x +=或)2

22x x x += 两方程解得两个根，故共有两个点，符合题意‘

故选B

9．3π4

20x y +-= 【解析】

∵直线l 的斜率为1-，设倾斜角为()0θθπ≤<

∴tan 1θ=- ∴34

πθ= 设与直线l 平行的直线方程为0x y t ++=，将点()1,1代入可得2t =-

故直线方程为20x y +-= 故答案为

3,204x y π+-=

10【解析】由题意可知：1

d ==

∴

弦长为=11．1,,,A A B C （此答案不唯一）

【解析】

在正方体的一个面上取三个点构成的直角三角形作为三棱锥的底面，如ABC ?；取对面上与直角三角形锐角顶点正对的顶点，作为三棱锥的顶点，即点1A ，可得两个符合条件的三棱锥1A ABC -

故答案为1,,,A A B C

12．12

- 【解析】

()111AB x →=--，，，()322AC

y →=-，， A 、B 、C 三点共线，

AC AB

λ∴→=→，可知2λ=- ()213x ∴--=，解得12

x =- 22y -=-，解得0y = 则12

x y +=- 点睛：本题考查的是空间直角坐标系和三点共线的知识点，要掌握三点共线的特点，由含有公共点的向量结合共线定理可以先求出λ的值，然后计算求得x 、y ，从而求得结果

13【解析】

由题意及表格知：是椭圆上的点，(4,2)-和-是双曲线上的点设双曲线的标准方程为22

221(0,0)x y a b a b

-=>>

∴22221641{2481a b a b

-=-= ∴228{4

a b == ∴22212c a b =+=

∴双曲线的离心率为c e a ===

故答案为2

14．0x =，0y =，y x =，y x =-中的任意两条都对 (0,0)，(1,1)此答案不唯一

【解析】

①不难发现，其图象关于y 轴对称，即0x =，又y x ，可以互换，结果不变，故关于y x =对称；

②可以得到()0,0和()1,1两个特殊点坐标

③()()222

32222884x y x y x y ++=≤?，即()()3222222x y x y +≤+

222x y ∴+≤

，则到原点距离范围为??

15．（Ⅰ）22:(2)(2)1C x y -+-=（Ⅱ）1x =或3430x y --=．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设出C 的坐标，根据线段长度求出C 的坐标，即可求圆C 的方程；（Ⅱ）讨论直线斜率是否存在，利用直线和圆相切的位置关系建立方程关系进行求解即可．试题解析：（Ⅰ）设圆心(),C a a ，则

OC =

解得2a =，2a =-（舍掉）

所以圆()()22

:221C x y -+-=

（Ⅱ）若直线l 的斜率不存在，直线l ：1x =，符合题意

若直线l 的斜率存在，设直线l 为()1y k x =-，

即 0kx y k --=

由题意,

圆心到直线的距离1d ==，解得34

k = 所以直线l 的方程为3430x y --=

综上所述，所求直线l 的方程为1x =或3430x y --=．

16．（I ）见解析；（II ）见解析.

【解析】

试题分析：()1证明DE PC ，利用线面平行的判定定理证明DE 平面PAC ()2证明BC ⊥平面PAD ，即可证明平面ABC ⊥平面PAD

解析：（I ）证明：在PBC ?中，

因为D ，E 分别是BC ，PB 的中点，

所以//DE PC

因为DE ?平面PAC ，PC ?平面PAC

所以//DE 平面PAC .

（II ）证明：因为PB PC =，AB AC =，D 是BC 的中点，

所以PD BC ⊥，AD BC ⊥

因为PD AD D ?=，PD ，AD ?平面PAD

所以BC ⊥平面PAD

因为BC ?平面ABC

所以平面ABC ⊥平面PAD .

17．（I ）见解析；（II

）（III ）见解析. 【解析】

试题分析：()1法一：向量法，分别以边OG ，OC ，OH 所在直线为x ，y ，z 轴，给出相应点坐标，证明0FD OG ?=，0FD OE ?=法二：先证OG FC ⊥接着证明所以OG ⊥

平面FCDE 即OG FD ⊥最后证得结果(2)要求二面角的平面角的余弦值就先求得平面

EFG 的法向量，

利用公式即可算出结果(3)法一：借助向量假设存在，计算可得3FD BH ?=矛盾，故不存在；法二：假设存在点H ，证得平面//EOG 平面BCD ，即有GBCO 为平行四边形，所以GB CO =，矛盾

解析：法一：向量法

（I ）F ，D 点为所求的点.

证明如下：

因为四边形ABCF 是等腰梯形，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点，

所以OG FC ⊥.

又平面ABCF ⊥平面FCDE ，平面ABCF

平面FCDE =FC ，所以OG ⊥平面FCDE

同理取DE 的中点H ，则OH ⊥平面ABCF .

分别以边OG ，OC ，OH 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由2AB =

，得)G

，(D

，(0,E -，()0,2,0F -，

则(FD =，()3,0,0OG =

，(0,OE =-.

所以0FD OG ?=，0FD OE ?=

又EO OG O ?=，

所以FD ⊥平面EGO

（II ）由（I ）知平面

EGO 的一个法向量为(FD =.

设平面EFG 的法向量为(),,m x y z =，则 0,0,m FE m FG ??=??=?

即020

y y ?+=?+= 令3y =，则1z =-，2x =- 所以()2,3,1m =-- 所以cos ,FD m

--?=

所以二面角O EG F --的余弦值为-（III ）假设存在点H ，使得BH //平面EOG .

设DH DC λ=

所以BH BD DH =+ BD DC λ=+，所以0FD BH ?=

而计算可得3FD BH ?=

这与0FD BH ?=矛盾

所以在线段CD 上不存在点H ，使得BH //平面EOG

法二：（I ）证明如下：

因为四边形ABCF 是等腰梯形，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点，

所以OG FC ⊥

又平面ABCF ⊥平面FCDE ，平面ABCF ?平面FCDE FC =，

所以OG ⊥平面FCDE

因为FD ?平面FCDE ，所以OG FD ⊥，

又//ED FO ，且EF ED =，

所以EFOD 为菱形，所以FD EO ⊥

因为EO OG O ?=，

所以FD ⊥平面EGO .

（III ）假设存在点H ，使得//BH 平面EOG

由//ED OC ，所以EOCD 为平行四边形，

所以//EO DC

因为EO ?平面EOG

所以//DC 平面EOG

又BH DC H ?=，所以平面//EOG 平面BCD ，

所以//BC 平面EOG ，所以//BC OG ，

所以GBCO 为平行四边形，所以GB CO =，矛盾

所以不存在点H ，使得//BH 平面EOG

点睛：本题方法很多，但不管哪种方法一定是运用基本定理或者运算，要找出两点证明线面

垂直，就要依据线面垂直的判定定理，先证线线垂直，再证线面垂直，要求二面角的平面角余弦值根据向量运用公式求得结果

18．（I

）(3,P ；（II

）PA =；（III ）8.

【解析】

试题分析：()1把4x =代入抛物线方程，求得()4,4A ，()4,4B -，因为12PAB S AB d ?=? 1842

d =??=，从而计算出结果（2）借助向量所以0AP BP ?=，得所以22000816160x x y -++-=，

计算得PA =3）根据题意面积相等，先求出M x 、N x ，因为PMN PAB S S ??=，所以0011422

MN y AB x ?=?-，即可求得结果解析：（I ）把4x =代入抛物线方程，得到4y =±

所以不妨设()4,4A ，()4,4B -，所以8AB = 因为12PAB S AB d ?=? 1842

d =??=，所以点P 到直线AB 的距离1d =

所以点P 的横坐标03x =

代入抛物线方程得(3,P

（II ）因为PA PB ⊥，所以0AP BP ?=

所以()()()()000044440x x y y --+-+=，

所以22000816160x x y -++-=，

把2004y x =代入得到20040x x -= 所以00x =，04x =（舍）

所以00y =

，PA =

（III ）直线PA 的方程为()004444y y x x --=-- ()0444

x y =-+，

点M 横坐标()

0004444M x x y y --=+=--

同理PB 的方程为()004444

y y x x ++=-- ()0444x y =-+，点N 横坐标()

0004444N x x y y -=+=+

因为PMN PAB S S ??=，所以0011422

MN y AB x ?=?- 所以()20044y x =-，解得02x =

所以8PMN PAB S S ??==.

高二数学期末试卷(理科)

高二数学期末考试卷（理科）一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1、与向量(1,3,2)a =-r 平行的一个向量的坐标是（） A ．（ 3 1 ，1，1） B ．（－1，－3，2） C ．（－21，2 3 ，－1） D ．（2，－3，－22） 2、设命题p ：方程2310x x +-=的两根符号不同；命题q ：方程2310x x +-=的两根之和为3，判断命题“p ?”、“q ?”、“p q ∧”、“p q ∨”为假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、“a ＞b ＞0”是“ab ＜2 2 2b a +”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4、椭圆14 2 2=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于（）. A ．5 B ．8 C ．5或3 D ．5或8 5、已知空间四边形OABC 中，===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则=（） A ． 21 3221+- B ．21 2132++- C ．2 1 2121-+ D ．2 13232-+ 6、抛物线2 y 4x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（） A ． 1716 B ．1516 C ．7 8 D ．0 7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为（） A.5或 54 或 C. D.5或5 3 8、若不等式|x －1|