【2015考纲解读】
1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质;理解数形结合的思想;了解圆锥曲线的简单应用.
2.了解双曲线的定义、几何性质,掌握双曲线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何性质解决一些简单的问题.
3. 了解抛物线的定义、几何性质,掌握抛物线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何性质解决一些简单的问题.
4.了解圆锥曲线的简单应用，理解直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系. 【知识络构建】
【重点知识整合】
2．双曲线
(1)双曲线的定义；
(2)两种标准方程：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点在x 轴上；y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)，焦点在
y 轴上；
(3)双曲线方程的一般形式：mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，其焦点位置有如下规律：当m >0，n <0时，焦点在x 轴上；当m <0，n >0时，焦点在y 轴上；
(4)双曲线的简单几何性质． 3．抛物线
(1)抛物线的定义； (2)抛物线的标准方程；
(3)抛物线方程的一般形式：焦点在x 轴上的抛物线方程可以用y 2＝λx (λ≠0)表示；焦点在y 轴上的抛物线标准方程可以用x 2＝λy (λ≠0)表示；
(4)抛物线的简单几何性质． 【高频考点突破】 考点一 椭圆
1．定义式：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)． 2．标准方程：焦点在x 轴上：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)；
焦点在y 轴上：y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)；
焦点不确定：mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)． 3．离心率：e ＝c
a
＝
1－ b
a
2<1.
4．过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为2b 2
a
.
例1、过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3
2.椭圆与x 轴交于两点A (a,0)、
B (－a,0)．过点
C 的直线l 与椭圆交于另一点
D ，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q .
(1)当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长；
(2)当点P 异于点B 时，求证：OP ·OQ
为定值．
所以D 点坐标为(837，－17
)．
故|CD |＝
837－0 2＋ －17－1 2＝167
.
【变式探究】若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，1
2)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切
点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
【方法技巧】
1．涉及椭圆基本量运算时要注意以下几个问题
(1)求椭圆标准方程或离心率要注意a 、b 、c 三者之间关系； (2)要善于借助于图形分析问题；
(3)对于焦点三角形问题要注意定义与正弦定理余弦定理的综合应用，尤其是配方法的使用．
2．直线与椭圆的位置关系问题
(1)判断方法：利用Δ>0，Δ＝0，Δ<0可解决； (2)弦长问题：|AB |＝ 1＋k 2 x 1－x 2 2 ＝
1＋1
k
2 y 1－y 2 2；
(3)中点弦问题：用点差法较简单. 考点二 双曲线
1．定义式：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|) 2．标准方程：
焦点在x 轴上：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，
焦点在y 轴上：y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)，
焦点不明确：mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． 3．离心率与渐近线问题： (1)焦点到渐近线的距离为b . (2)e ＝c a
＝
1＋ b
a
2>1，
注意：若a >b >0，则1
(3)焦点在x 轴上，渐近线的斜率k ＝±b
a ，
焦点在y 轴上，渐近线的斜率k ＝±a
b
.
(4)与x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2
b
2＝λ(λ≠0)．
例2、已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在
抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为
( )
A.x 236－y 2
108
＝1
B.x 29－y 2
27
＝1
C.x2
108－y2
36＝1 D.
x2
27－
y2
9＝1
【变式探究】设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|
为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()
A. 2
B. 3
C．2 D．3
【方法技巧】
1．使用双曲线定义时注意点在双曲线的哪一个分支上．
2．对于双曲线的离心率与渐近线的关系．若已知渐近线而不明确焦点位置，那么离心率一定有两解．
3．直线与双曲线的交点比椭圆复杂，要注意结合图形分析．尤其是直线与双曲线有且只有一个交点?Δ＝0或l平行于渐近线．
考点三抛物线
1．定义式：|PF|＝d.
2．根据焦点及开口确定标准方程．注意p>0时才有几何意义，即焦点到准线的距离．3．直线l过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，交抛物线于A、B两点，则有：
(1)通径的长为2p.
(2)焦点弦公式：|AB|＝x1＋x2＋p＝2p
sin2θ.
(3)x1x2＝p2
4，y1y2＝－p
2.
(4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切．
(5)1|AF |＋1|BF |＝2p
. 例3、如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .
(1)求实数b 的值；
(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．
【变式探究】已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为
( ) A.34 B ．1 C.54
D.74
解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为： 12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54
. 答案：C 【方法技巧】
1．求抛物线的标准方程常采用待定系数法．利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p 的值．注意定义转化．
2．直线与抛物线有且只有一个交点时，不一定有Δ＝0，还有 可能直线平行于抛物线的对称轴．
3．研究抛物线的几何性质时要注意结合图形进行分析． 【难点探究】
难点一 圆锥曲线的定义与标准方程
例1、已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，
且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )
A.x 25－y 24＝1
B.x 24－y 2
5＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 2
3
＝1 【变式探究】(1)已知点P 为双曲线x 216－y 2
9＝1右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦
点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2成立，则λ的值为( )
A.58
B.45
C.43
D.34
(2)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为2
2
.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________________．
【答案】(1)B (2)x 216＋y 2
8
＝1
【解析】 (1)根据三角形面积公式把S △IPF
1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2转化为焦点三角形边之间的关系．根据S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2，得|PF 1|＝|PF 2|＋λ|F 1F 2|，即2a ＝2λc ，则λ＝a c ＝4
5.注意内心是三角形内切圆的圆心，到三角形各边的距离相等．
(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)．
因为离心率为22，所以2
2＝
1－b 2
a
2， 解得b 2a 2＝1
2
，即a 2＝2b 2.
又△ABF 2的周长为||AB ＋||AF 2＋||BF 2＝||AF 1＋||BF 1＋||BF 2＋||AF 2＝(||AF 1＋||AF 2)＋(||BF 1＋||BF 2)＝2a ＋2a ＝4a ，所以4a ＝16，a ＝4，所以b ＝22，
所以椭圆方程为x 216＋y 2
8＝1.
难点二 圆锥曲线的几何性质
例2、已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 2
4
＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )
A ．a 2＝13
2 B ．a 2＝13
C ．b 2＝1
2
D ．b 2＝2
【变式探究】已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线
与双曲线一个交点为P ，且∠
PF 1F 2＝π
6
，则双曲线的渐近线方程为________．
【答案】y ＝±2x
【解析】 根据已知|PF 1|＝2·b 2a 且|PF 2|＝b 2a ，故2·b 2a －b 2a ＝2a ，所以b 2a 2＝2，b
a ＝ 2.
难点三 直线与圆锥曲线的位置关系
例3、设椭圆的对称中心为坐标原点，其中一个顶点为A (0,2)，右焦点F 与点B (2，2)
的距离为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在经过点(0，－2)的直线l ，使直线l 与椭圆相交于不同的两点M ，N 满足|AM →
|＝|AN →
|？若存在，求直线l 的倾斜角α；若不存在，请说明理由．
(2)由题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2(k ≠0)，由|AM |＝|AN |知点A 在线段MN 的垂直平分线上，由?????
y ＝kx －2，x 212＋y 2
4＝1
消去y 得x 2＋3(kx －2)2＝12，即可得方程(1＋3k 2)x 2－12kx ＝0，()
由k ≠0得方程()的Δ＝(－12k )2＝144k 2>0，即方程()有两个不相等的实数根．
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点P (x 0，y 0)，则x 1，x 2是方程()的两个不等的实根，故有x 1＋x 2＝12k
1＋3k 2
.
从而有x 0＝x 1＋x 22＝6k
1＋3k 2，y 0＝kx 0－2＝6k 2－2 1＋3k 2 1＋3k 2
＝－21＋3k 2
. 于是，可得线段MN 的中点P 的坐标为? ??
?
?6k 1＋3k 2，－21＋3k 2.
又由于k ≠0，因此直线AP 的斜率为k 1＝－2
1＋3k 2－26k 1＋3k 2
＝－2－2 1＋3k 2
6k .
由AP ⊥MN ，得－2－2 1＋3k 2 6k ×k ＝－1，即2＋2＋6k 2＝6，解得k ＝±33，即tan α＝±3
3.
又0≤α<π，故α＝π6或α＝5π6.综上可知存在直线l 满足题意，其倾斜角为α＝π6或α＝5π
6
.
【点评】 本题属于圆锥曲线与方程的经典类试题，首先求出圆锥曲线方程，然后再研究直线与圆锥曲线的位置关系．在直线与圆锥曲线位置关系的问题中，等价转化和设而不求是解决问题的一个重要指导思想，本题解答中使用的是等价转化的方法，实际上也可以根据
两点间距离公式得到点M ，N 的坐标满足的关系式，即x 21＋(y 1－2)2＝x 22＋(y 2－2)2
，即(x 1＋
x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2－4)(y 1－y 2)＝0，由于点M ，N 在直线上，y 1＝kx 1－2，y 2＝kx 2－2，代入(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2－4)(y 1－y 2)＝0，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(kx 1＋kx 2－8)(kx 1－kx 2)＝0，直
线斜率存在，则x 1≠x 2，所以(x 1＋x 2)＋k [k (x 1＋x 2)－8]＝0，然后根据韦达定理整体代入即可求出k 值．
【变式探究】如图所示，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝4
5
|PD |.
(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为4
5
的直线被C 所截线段的长度．
【规律技巧】
1．离心率的范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到关于a ，c 的不等式，由这个不等式确定a ，c 的关系．
2．抛物线y 2
＝2px (p >0)的过焦点F ????p 2，0的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 2
4
，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .同样可得抛物线y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py 类似的性
质．
3．解决直线与圆锥曲线相交时的弦长问题方法是：设而不求，根据韦达定理，进行整体代入．即当直线与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝
1＋1k
2|y 1
－y 2|，而|x 1－x 2|＝ x 1＋x 2 2－4x 1x 2等，根据将直线方程与圆锥曲线方程联立消元后的一元二次方程，利用韦达定理进行整体代入． 【历届高考真题】 【2012年高考试题】
1.【2012高考真题浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：2
2
221x y a b
-=（a,b ＞0）的左、
右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点，线段PQ 的垂直
平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是
A.
B
D. 【答案】B
【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组???????
=-+=0
,b y a x b x c
b y 得点
Q ),(a c bc a c ac --，联立方程组???????
=++=0
,b y a x b x c
b y 得点P ),(a
c bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222b
c
a x
b
c b c y --=-，令0=y ，得
)1(22
b a
c x +=，所以c b
a c 3)1(22=+，所以2222222a c
b a -==，即2223
c a =，所以
2
6
=
e 。故选B 2.【2012高考真题新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物
线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =C 的实轴长为（ ）
()A ()B ()C 4
()D 8
3.【2012高考真题新课标理4】设12F F 是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点，P
为直线32
a x =
上一点，1
2PF F ?是底角为30
的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） ()A 12 ()B 23 ()C 34
()
D 4
5
【答案】C
【解析】因为12PF F ?是底角为30
的等腰三角形，则有
P
F F F 212=,，因为
02130=∠F PF ，所以
0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222121F F PF D F ==
，即c c c a =?=-22
123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为4
3
=e ，选C. 4.【2012高考真题四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）
A 、
B 、
C 、4
D 、
5.【2012高考真题山东理10】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>.双曲
线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为
（A ）22182x y +
= （B ）221126x y += （C ）221164x y += （D ）22
1205
x y += 【答案】D
【解析】因为椭圆的离心率为
23，所以2
3==a c e ，22
43a c =，
222243b a a c -==
，所以224
1
a b =，即224b a =，双曲线的渐近线为x y ±=，代入椭圆得12222=+b x a x ，即14542
22222==+b x b x b x ，所以b x b x 52,5422±==，22
54b y =，b y 5
2±
=，则第一象限的交点坐标为)5
2,52(b b ，所以四边形的面积为
165165
2
5242==??b b b ，所以52
=b ，所以椭圆方程为
152022=+y x ，选D.
6.【2012高考真题湖南理5】已知双曲线C ：22x a -2
2y b
=1的焦距为10 ，点P （2,1）
在C 的渐近线上，则C 的方程为
A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220
y =1 D.220x -2
80y =1
7.【2012高考真题福建理8】已知双曲线
22
214x y b
-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
A.
B. C.3 D.5
【答案】Ａ．
【解析】由抛物线方程x y 122
=易知其焦点坐标为)0,3(，又根据双曲线的几何性质
可知2
234=+b ，所以5=b ，从而可得渐进线方程为x y 2
5
±
=，即025=-±y x ，所以54
5|
0235|=+?-?±=
d ，故选Ａ．
8.【2012高考真题安徽理9】过抛物线2
4y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则AOB ?的面积为（ ）
()
A ()
B ()C
2
()D
9.【2012高考真题全国卷理3】 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为
A 216x +212y =1
B 212x +28y =1
C 28x +24y =1
D 212x +24
y =1 【答案】C
【解析】椭圆的焦距为4，所以2,42==c c 因为准线为4-=x ，所以椭圆的焦点在x
轴上，且42
-=-c a ，所以842==c a ，448222=-=-=c a b ，所以椭圆的方程为14
82
2=+y x ，选C. 10.【2012高考真题全国卷理8】已知F 1、F 2为双曲线C ：x2-y2=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=
(A)
14 （B ）35 (C)34 (D)4
5
11.【2012高考真题北京理12】在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线=4x 的焦点F.且与该撇物线相交于A 、B 两点.其中点A 在x 轴上方。若直线l 的倾斜角为60o.则△OAF 的面积为
12.【2012高考真题四川理15】椭圆22
143
x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ?的周长最大时，FAB ?的面积是____________。
【答案】3
【解析】当直线x m =过右焦点时FAB ?的周长最大，1m ∴=； 将1x =带入解得32y =±
；所以13
2322
FAB S ?=??=. 13.【2012高考真题陕西理13】右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，
水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.
14.【2012高考真题重庆理14】过抛物线2
2y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若
25
,,12
AB AF BF =
<则AF = .
15.【2012高考真题辽宁理15】已知P ，Q 为抛物线22x y =上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，过P 、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于A ，则点A 的纵坐标为__________。
16.【2012高考真题江西理13】椭圆 )0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右顶点分别是A,B,左、
右焦点分别是F 1，F 2。若1AF ，21F F ，B F 1成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.
【答案】
5
5
【解析】椭圆的顶点)0,(),0,(A B a A -,焦点坐标为)0,(),0,(21c F c F -，所以
c a B F c a AF +=-=11,，c F F 221=,又因为1AF ，21F F ，B F 1成等比数列，所以有222))((4c a c a c a c -=+-=，即225a c =，所以c a 5=，离心率为5
5
=
=
a c e .
17.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线
22
214
x y m m -=+的
m 的值为 ▲ ．
18.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22
221(0)
x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，
．已知(1)e ，
和e ?
??
都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．
（i
）若12AF BF -=
，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．
【答案】解：（1）由题设知，222==
c
a b c e a
+，，由点(1)e ，
在椭圆上，得 2222222222222222111=1===1e c b c a b a a b b a b a a b
+=?+?+??，∴22
=1c a -。
由点e ?
??
在椭圆上，得
2
2
222422
2244
1311144=0=214e c a a a a a b a a
-????+=?+=?+=?-+?
∴椭圆的方程为2
212
x y +=。
（i
）由①②得，12AF BF -=
得2m =2。 ∵注意到0m >
，∴m ∴直线1AF
的斜率为1=2
m （
ii
）
证
明
：
∵
1
AF ∥
2
BF ，∴
2
11
BF PB PF AF =，即
212
1
1111
11BF PB PF BF AF PB PF AF PF AF +++=+?=。 ∴1
1112
=
AF PF BF AF BF +。
由点B
在椭圆上知，12BF BF +=
()
1
1212
=AF PF
BF AF BF +。
同理。()
2
2112
=
BF PF AF AF BF +。
∴(
)(
)
122
1221121212
2+=
AF BF AF BF PF PF BF AF AF BF AF BF AF BF +=+++
由①②得，)2121=2
m AF BF m +++，2
21
=2
m
AF BF m ++ ，
∴12+2PF PF ∴12PF PF +是定值。
19.【2012高考真题浙江理21】(本小题满分15分)如图，椭圆C ：22
22+1x y a b =(a ＞b ＞0)
的离心率为1
2
，其左焦点到点P (2，1)
O 的直线l 与C 相交于A ，B
两点，且线段AB 被直线OP 平分．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ) 求?ABP 的面积取最大时直线l 的方程．
(Ⅱ)易得直线OP 的方程：y ＝12x ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，R (x 0，y 0)．其中y 0＝1
2
x 0．
∵A ，B 在椭圆上，
∴22
02
2
0+12333
43
4422
+14
3A A A B A B AB A B A B B B x y x y y x x k x x y y y x y ?=?-+??=
=-?=-?=-?-+?=??．
设直线AB 的方程为l ：y ＝﹣3
2
x m +(m ≠0)，
2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D -
专题15 数形结合思想 专题点拨 数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合． (1)数形结合思想解决的问题常有以下几种： ①构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围； ②构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围； ③构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系； ④构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式； ⑤构建立体几何模型研究代数问题； ⑥构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； ⑦构建方程模型，求根的个数； ⑧研究图形的形状、位置关系、性质等． (2)数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题、选择题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点： ①准确画出函数图像，注意函数的定义域； ②用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图像，由图求解． (3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点： ①要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征； ②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化； ③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏； ④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解． 例题剖析 一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用 【例1】若方程x2－4x＋3＋m＝0在x∈(0，3)时有唯一实根，求实数m的取值范围． 【解析】利用数形结合的方法，直接观察得出结果．
【高考数学中最具震撼力的一个解答题！】注：【求解完第一问以后，】→WILL COME ACROSS圆锥曲线题10大题型：（1）弦长问题（2）中点问题（3）垂直问题（4）斜率问题（5）对称问题（6）向量问题（7）切线问题（8）面积问题（9）最值问题（10）焦点三角形问题。中的2-----4类；分门别类按套路求解； 1.高考最重要考：直线与椭圆，抛物线的位置关系。第一问最高频考（总与三个问题有关）：（1）———————；（2）——————————；（3）—————————； 2.圆锥曲线题，直线代入圆锥曲线的“固定3步走”：---------------------------------------------------; ——————————————————————————————————————； 3.圆锥曲线题固定步骤前9步：-------------------；---------------------------------------------；————————————；—————————；——————————；—————————————————；———————————；——————————————； 4.STEP1:首先看是否属于3种特殊弦长：（1）圆的弦长问题；（2）中点弦长问题（3）焦点弦长问题；→（1）圆的弦长问题：（2法）首选方法：垂径定理+勾
股定理：图示：--------------------------------；公式为：-------------------------；其中求“点线距”的方法：———————；次选：弦长公式；→（2） 中点弦长问题：（2法）首选方法：“点差法” 椭圆：（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；副产品：两直线永远不可能垂直！原因：___________；【两直线夹角的求法：（夹角公式）___________；】双曲线（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；抛物线：形式一：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；形式2：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；附：“点差法”步骤：椭圆：“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;→得公式：（公式一）-------------------；（公式二）---------------------；附：“点差法”步骤：抛物线；形式一___________;：“点”_______________________;_____________________;“差”_________________________;“设而不求法”___________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;→得公式：（公式一）---------------------；（公式二）--------------------；附：“点差法”步骤：
圆锥曲线 一、填空题 1、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、（2013年江苏高考）双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆 C 的离心率为 。 4、（ 南京、盐城市高三二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线C ： y x 42=的焦点为F ，定点)0, 22(A ，若射线FA 及抛物线C 相交于点M ，及抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN= 5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研（二））已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ 6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ，则m = ▲
7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ 8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近 线方程 为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ 9、（ 江苏苏州高三9月调研）已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、（南京市、盐城市 高三）若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 11、（南通市 高三）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、（苏州市 高三上期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为 13、（泰州市 高三上期末）双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ 14、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为（5，0），则实数 m = ▲ 15、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐 标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线及抛物线y 2＝4x Y
高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义 一、基础知识【理解去记】 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0
圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.
2.圆 圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2 E ），半径是 2 4F -E D 22+.配方，将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 ｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定.
第一部分 二 27 一、选择题 1．已知f (x )＝2x ，则函数y ＝f (|x －1|)的图象为( ) [答案] D [解析] 法一：f (|x －1|)＝2|x － 1|. 当x ＝0时，y ＝2.可排除A 、C ． 当x ＝－1时，y ＝4.可排除B ． 法二：y ＝2x →y ＝2|x |→y ＝2|x － 1|，经过图象的对称、平移可得到所求． [方法点拨] 1.函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求： ①会画各种简单函数的图象； ②能依据函数的图象判断相应函数的性质； ③能用数形结合的思想以图辅助解题． 2．作图、识图、用图技巧 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换． 描绘函数图象时，要从函数性质入手，抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行． (2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系． (3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究． 3．利用基本函数图象的变换作图 ①平移变换： y ＝f (x )――→h >0，右移|h |个单位 h <0，左移|h |个单位y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――→k >0，上移|k |个单位k <0，下移|k |个单位y ＝f (x )＋k . ②伸缩变换： y ＝f (x )错误!y ＝f (ωx )，