重庆大学数学实验 方程模型及其求解算法 参考答案

实验2 方程模型及其求解算法

一、实验目的及意义

[1] 复习求解方程及方程组的基本原理和方法；

[2] 掌握迭代算法；

[3] 熟悉MATLAB软件编程环境；掌握MATLAB编程语句(特别是循环、条件、控制等语句)；

[4] 通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；

通过该实验的学习，复习和归纳方程求解或方程组求解的各种数值解法（简单迭代法、二分法、牛顿法、割线法等），初步了解数学建模过程。这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。

二、实验内容

1．方程求解和方程组的各种数值解法练习

2．直接使用MATLAB命令对方程和方程组进行求解练习

3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。

三、实验步骤

1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；

2．根据各种数值解法步骤编写M文件

3．保存文件并运行；

4．观察运行结果(数值或图形)；

5．根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会。

四、实验要求与任务

基础实验

1．用图形放大法求解方程x sin(x) = 1. 并观察该方程有多少个根。

画出图形程序：

x=-10:0.01:10;

y=x.*sin(x)-1;

y1=zeros(size(x));

plot(x,y,x,y1)

MATLAB运行结果：

-10-8-6-4-20246810

-8-6

-4

-2

2

4

6

8

扩大区间画图程序：

x=-50:0.01:50;

y=x.*sin(x)-1;

y1=zeros(size(x));

plot(x,y,x,y1)

MATLAB 运行结果：

-50-40-30-20-1001020304050

由上图可知，该方程有偶数个无数的根。

2．将方程x 5

+5x

3

- 2x + 1 = 0 改写成各种等价的形式进行迭代，观察迭代是否收敛，

并给出解释。

（1）画图：

x1=-6:0.01:6;

x2=-3:0.01:3;

x3=-1:0.01:1;

x4=-0.8:0.01:-0.75;

y1=x1.^5 +5*x1.^3-2*x1+1;

y2=x2.^5 +5*x2.^3-2*x2+1;

y3=x3.^5 +5*x3.^3-2*x3+1;

y4=x4.^5 +5*x4.^3-2*x4+1;

subplot(2,2,1),plot(x1,y1)

,title('子图(1)') ,grid on,

subplot(2,2,2),plot(x2,y2)

,title('子图(2)'),grid on,

subplot(2,2,3),plot(x3,y3)

,title('子图(3)'),grid on,

subplot(2,2,4),plot(x4,y4)

,title('子图(4)') ,grid on,

由图可知x 的初值应在（-0.78，0.76）之间。（2）解：第一步构造迭代函数

()

x f x

=

1()

x f x =

32121555x x x x

=-+- 2()x f x = 32521x x x x

=-+- 3()x f x = 第二步

利用加速迭代收敛法变形后：

534241012515x x x x x

--+=-- 1()x f x = 62352435322

x x x x x x x --=++- 2()x f x = 2

5328561

x x x x x x -+=++- 3()x f x = 第三步

迭代

设定初值

00.75x =-

1()n n x f x +=n=0,1,2,3………

用 MA TLAB 编程

x=-077;y=-0.77;z=-0.77;

for k=1:30

x=(-4*x^5-10*x^3+1)/(2-5*x^4-15*x^2);

y=(2*y^6+4*y^2-3*y)/(5*y^3+3*y^5+2*y-2);

z=(8*z^2-2*z)/(z^5+5*z^3+6*z-1);

x,y,z;

end

迭代结果为：

x =

-61.5948

y =

-0.7685

z =

-0.7687

x =

-49.2694 y =

-0.7685 z =

-0.7685 x =

-39.4074 y =

-0.7685 z =

-0.7685 x =

-31.5158 y =

-0.7685 z =

-0.7685 x =

-25.2000 y =

-0.7685 z =

-0.7685 x =

-20.1442 y =

-0.7685 z =

-0.7685 x =

-16.0957 y =

-0.7685 z =

-0.7685 x =

-12.8521 y =

-0.7685 z =

-0.7685 x =

-10.2512 y =

-0.7685 z =

-0.7685 x =

-8.1634 y =

-0.7685

-0.7685 x =

-6.4844 y =

-0.7685 z =

-0.7685 x =

-5.1311 y =

-0.7685 z =

-0.7685 x =

-4.0373 y =

-0.7685

z =

-0.7685 x =

-3.1508 y =

-0.7685 z =

-0.7685 x =

-2.4323 y =

-0.7685 z =

-0.7685 x =

-1.8546 y =

-0.7685

z =

-0.7685 x =

-1.4028 y =

-0.7685 z =

-0.7685 x =

-1.0737 y =

-0.7685 z =

-0.7685 x =

-0.8700 y =

-0.7685 z =

-0.7685 x =

-0.7840 y =

-0.7685 z =

-0.7685 x =

-0.7689 y =

-0.7685 z =

-0.7685 x =

-0.7685 y =

-0.7685 z =

-0.7685 x =

-0.7685 y =

-0.7685 z =

-0.7685 x =

-0.7685 y =

-0.7685 z =

-0.7685 x =

-0.7685

-0.7685 z =

-0.7685 x =

-0.7685 y =

-0.7685 z =

-0.7685 x =

-0.7685 y =

-0.7685 z =

-0.7685 x =

-0.7685

y =

-0.7685

z =

-0.7685

x =

-0.7685

y =

-0.7685

z =

-0.7685

x =

-0.7685

y =

-0.7685

z =

-0.7685因此方程的解为 -0.7685.

3．求解下列方程组

1

212122221231213123

12(1)25712(2)3110

2400x x x x e x x e x x x x x x x x x x x --?-=??-+=???-+=-?+-=??+=?

(1)程序：

[x1,x2]=solve('2.*x1-x2=exp(-x1),-x1+2.*x2=exp(-x2)')

MATLAB运行结果：

x1 =

.56714329040978387299996866221036

x2 =

.56714329040978387299996866221036

（2）程序

[x1,x2,x3]=solve('x1^2-5*x2^2+7*x3^2+12,3*x1*x2+x1*x3-11*x1,2.*x2*x3+40*x1') MATLAB运行结果：

x1 =

0.

0.

0.

0.

1. -387.00943364216191174841684720677+3

2.703483593366328482166316712807*i -387.00943364216191174841684720677-32.703483593366328482166316712807*i -.31446604900950983649963891979635

x2 =

-1.5491933384829667540717061599130 1.5491933384829667540717061599130 0.

0.

5. -.31228791210131965952830872704551-50.806549482970160848437610559089*i -.31228791210131965952830872704551+50.806549482970160848437610559089*i 2.9579091575359726523899507874243

x3 =

0.

0.

1.3093073414159542875965849124937*i -1.3093073414159542875965849124937*i -4. 11.936863736303958978584926181137+15

2.41964844891048254531283167727*i 11.936863736303958978584926181137-152.41964844891048254531283167727*i

2.1262725273920820428301476377270 直接使用MATLAB 命令：solve()和fsolve()对方程组求解。

4

．迭代以下函数，分析其收敛性。任选一个完成。

使用线性连接图、蛛网图或分枝与混沌图对参数a 进行讨论与观察，会得到什么结论？

选择2）

线性连接图：

源代码：

>> a=0.5;x=[];

x(1)=0.5;

for i=2:20

x(i)=a*sin(x(i-1));

end

n=1:20;

subplot(2,2,1),plot(n,x),title('a=0.5,x0=0.5')

图：05101520

a=0.5,x0=0.5

应用实验（以下四个问题，至少完成一个）

1．油价与船速的优化问题

;

)()3);

sin()()2;

)()()142a x x f x a x f a x a x f -==--=

油价的上涨，将影响大型海船确定合理的航行速度，以优化航行收入。直观地，油耗的多少直接影响船速的快慢，因而直接影响航行时间的长短，进而影响支付船员人工费用数量。过去有一些经验表明：(1) 油耗正比于船速的立方；(2) 最省油航速的基础上改变20%的速度；则引起50%的油耗的变化。作为一个例子：某中型海船，每天油耗40吨，减少20%的航速，省油50%、即20吨。每吨油价250美元，由此每天减少耗油费用5000美元，而航行时间的增加将增加对船员支付的费用的增加，如何最优化?

算例：航程L=1536海里，标准最省油航速20节，油耗每天50吨，航行时间8天。最低航速10节，本次航行总收入为84600美元。油价250美元/吨，日固定开支1000美元。试确定最佳航速。

2. 炮弹发射角的问题

炮弹发射视为斜抛运动，已知初始速度为200 m/s，问要击中水平距离360m、垂直距离160m 的目标，当忽略空气阻力时，发射角应多大？此时炮弹的运行轨迹如何？试进行动态模拟。

进一步思考：如果要考虑水平方向的阻力，且设阻力与（水平方向）速度成正比，系数为 0.1（1/s），结果又如何？此时炮弹的运行轨迹如何？试进行动态模拟。

3. 小行星的运动轨道问题

一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，其单位为天文测量单位。在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如下表：

4．GPS全球定位系统是一个基于卫星的导航系统。其原理如下：有30个卫星绕地球运行。任何时刻他们都知道自己的准确位置，每隔几秒种，所有卫星都同步地发出表明自己准确位置的信号

重庆大学数学模型数学实验作业四讲解

开课学院、实验室：数统学院实验时间：2015年10月28日 课程名称数学实验实验项目 名称 种群数量的状态转移—— 微分方程 实验项目类型 验证演示综合设计其他 指导 教师 肖剑成绩 实验目的 [1] 归纳和学习求解常微分方程(组)的基本原理和方法； [2] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [3] 熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令； [4] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； 通过该实验的学习，使学生掌握微分方程(组)求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等），对常微分方程的数值解法有一个初步了解，同时学会使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令，学会建 立微分方程方面的数学模型。这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌握数学的分析思维方法，熟 悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。 实验内容 1．微分方程及方程组的解析求解法； 2．微分方程及方程组的数值求解法——欧拉、欧拉改进算法； 3．直接使用MATLAB命令对微分方程(组)进行求解(包括解析解、数值解)； 4．利用图形对解的特征作定性分析； 5．建立微分方程方面的数学模型，并了解建立数学模型的全过程。 基础实验 一、问题重述 1．求微分方程的解析解, 并画出它们的图形， y’= y + 2x, y(0) = 1, 0

重庆大学数值分析试卷

重庆大学数值分析课程试卷 2012 ~2013 学年 第 1学期 开课学院：数统学院 课程号： 考试日期： 考试方式 ： 考试时间 120 分钟 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 得 分 注：1.大标题用四号宋体、小标题及正文推荐用小四号宋体；2.按A4纸缩小打印 一、 选择题（3分/每小题，共15分） 1、以下误差公式不正确的是（ A ） A. ()()()1212x x x x εε ε- =- B. ()()()1212x x x x εεε+=+ C ．()()()122112x x x x x x εε ε = + D. ()()2 2 x x x εε = 2、通过点()0 0,x y ，()11,x y 的拉格朗日插值基函数()0l x ，()1l x 满足（C ） A. ()000l x =,()110l x = B. ()000l x =,()111l x = C. ()001l x =,()111l x = D. ()001l x =,()110l x = 3、已知等距节点的插值型求积公式 ()()3 52 k k k f x d x A f x =≈ ∑ ? ，则3 k k A == ∑ （ C ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4、解线性方程组A x b =的简单迭代格式() () 1k k x B x f +=+收敛的充要条件是（ B ） A. ()1A ρ< B. ()1B ρ< C. ()1A ρ> D. ()1B ρ> 5、已知差商021[,,]5 f x x x =，402[,,]9f x x x =，234[,,]14f x x x =，032[,,]8f x x x =， 则 420[,,]f x x x = （ B ） A. 5 B. 9 C. 14 D. 8 二、 填空题（3分/每小题，共15分） 1取 3.141592x =作为数 3.14159265 4...的近似值，则x 有____6____位有效数字 2、Cotes 求积公式的代数精度为 5 学院 专业、班 年级 学号 姓名 公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊 封 线 密

重庆大学高等数学习题3-2

A 组 1.用洛必达法则求下列极限： （1）02lim 1cos x x x e e x -→+-- （2）arctan 2lim 1 x x x π →+∞- （3）0cos lim sin x x e x x x →- （4）011 limcot ( )sin x x x x →- （5）1 0(1)lim x x x e x →+- （6）21 0sin lim ()x x x x +→ （7）011lim()sin x x x →- （8）sin 0lim x x x +→ （9）lim(1)x x a x →∞+ （10 ）n 其中n 为正整数 解析：考查洛必达法则的应用，洛必达法则主要应用于00，∞ ∞型极限的求解，当然对于一 些能够化简为00，∞ ∞ 型极限的同样适用，例如00010?∞==∞ 等等，在求解的过程中，同样可以利用前面已经学到的极限的求解方法，例如等价无穷小、两个重要极限 解：（1）本题为 型极限的求解，利用洛必达法则求解得 0002lim lim lim 21cos sin cos x x x x x x x x x e e e e e e x x x ---→→→+--+===- （2）本题为 型极限的求解，利用洛必达法则求解得 2222 1arctan 12lim lim lim 111 1x x x x x x x x x π →+∞→+∞→+∞--+===+- （3）本题为0 型极限的求解，利用洛必达法则求解得 000cos sin 1lim lim lim sin sin cos 0x x x x x e x e x x x x x x →→→-+===∞+ （4）先化简，得 23 00011cos sin sin sin limcot ( )lim lim lim sin sin sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→----=?== 型极限的求解，利用洛必达法则求解得

重庆大学数学实验 方程模型及其求解算法 参考答案

实验2 方程模型及其求解算法 一、实验目的及意义 [1] 复习求解方程及方程组的基本原理和方法； [2] 掌握迭代算法； [3] 熟悉MATLAB软件编程环境；掌握MATLAB编程语句(特别是循环、条件、控制等语句)； [4] 通过范例展现求解实际问题的初步建模过程； 通过该实验的学习，复习和归纳方程求解或方程组求解的各种数值解法（简单迭代法、二分法、牛顿法、割线法等），初步了解数学建模过程。这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。 二、实验内容 1．方程求解和方程组的各种数值解法练习 2．直接使用MATLAB命令对方程和方程组进行求解练习 3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。 三、实验步骤 1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口； 2．根据各种数值解法步骤编写M文件 3．保存文件并运行； 4．观察运行结果(数值或图形)； 5．根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会。 四、实验要求与任务 基础实验 1．用图形放大法求解方程x sin(x) = 1. 并观察该方程有多少个根。 画出图形程序： x=-10:0.01:10; y=x.*sin(x)-1; y1=zeros(size(x)); plot(x,y,x,y1) MATLAB运行结果：

-10-8-6-4-20246810 -8-6 -4 -2 2 4 6 8 扩大区间画图程序： x=-50:0.01:50; y=x.*sin(x)-1; y1=zeros(size(x)); plot(x,y,x,y1) MATLAB 运行结果： -50-40-30-20-1001020304050 由上图可知，该方程有偶数个无数的根。

重庆大学高等数学习题1-5

习题1-5 A 组 1.求参数a 的值，使得函数24 ,2()2,2x x f x x a x ?-≠? =-??=? 在点2x =处连续 解析：考查分段函数的连续性，函数在某一点连续的充要条件可以总结为0 0lim ()()x x f x f x →= 解：本题中2222 4 lim ()lim lim(2)42x x x x f x x x →→→-==+=- 则4a = 2.若函数(sin cos ),0 ()2,0x e x x x f x x a x ?+>=?+≤? 是(,)-∞+∞上的连续函数，求a 解析：考查函数在定义域内的连续性，本题中，当0x >和0x ≤时，函数()f x 都是初等函数的复合，因此都在连续的，则判断函数在上连续只需判断函数在点0x =处连续，即使 00 lim ()lim ()(0)x x f x f x f - + →→== 解：已知(0)f a = lim ()lim(2)x x f x x a a -- →→=+=，00 lim ()lim (sin cos )1x x x f x e x x ++→→=+= 则1a = 3.若函数2,0()sin 0a bx x f x bx x x ?+≤? =?>? ?在0x =点处连续，求a 与b 的关系 解析：考查分段函数在某点上的连续性，和上题类似，只需使0 lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+ →→== 解：已知(0)f a = 20 lim ()lim()x x f x a bx a -- →→=+=，0 0sin sin lim ()lim lim x x x bx bx f x b b x bx +++→→→=== 则a b = 4.求下列函数的间断点，并指出其类型 （1）2 sin ()1x f x x = - （2）1 ()1x f x x -=-

重庆大学高数(下)期末试题二(含答案)

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页 重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 20 — 20 学年 第 学期 开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期: 考试方式： 考试时间: 120 分 一、选择题(每小题3分,共18分) 1. 设向量a 与三轴正向夹角依次为,,,αβγ则当cos 0β=时有(). (A) a ⊥xoy 面 (B) a //xoz 面 (C) a ⊥yoz 面 (D) a xoz ⊥面 知识点:向量与坐标的位置关系,难度等级:1. 答案: (B) 分析:cos 0,β=,2 πβ=a 垂直于y 轴,a //xoz 面. 2. 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为 212323,y C C x C x =++其中123,,C C C 为独立的任意常数,则该方程 为(). (A)0y y '''+= (B) 30y y '''+'= (C)0y y '''-= (D) 0y '''= 知识点:通过微分方程的通解求微分方程,难度等级:2. 答案: (D) 分析:由通解中的三个独立解21,,x x 知,方程对应的特征方 程的特征根为1230.λλλ===因此对应的特征方程是30.λ=于是对应的微分方程应是0.y '''=故应选(D). 3. 设D 由 14122≤+≤y x 确定.若1221,D I d x y σ=+??222(),D I x y d σ=+??223ln(),D I x y d σ=+??则1,I 2,I 3I 之间的大小顺序为( ). (A)321I I I << (B)231I I I << (C)132I I I << (D)123I I I << 知识点:二重积分比较大小,难度等级:1. 答案:(D) 分析:积分区域D 由 221 14 x y ≤+≤确定.在D 内,222222 1 ln(),x y x y x y +<+< +故321.I I I <<只有D 符合. 4．设曲线L 是由(,0)A a 到(0,0)O 的上半圆周22,x y ax +=则曲线积分 命 题人 : 组题人 : 审题人: 命 题时间: 教务处制 学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室 公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊 封 线 密

重庆大学《数值分析》期末考试真题及答案

一.填空题: 1． 若求积公式对任意不超过 m 次的多项式精确成立,而对 m+1 次多项 式不成立,则称此公式的代数精度为m 次. 2． 高斯消元法求解线性方程组的的过程中若主元素为零会发生 计算中 断 ;. 主元素的绝对值太小会发生 误差增大 . 3． ) 4． 当A 具有对角线优势且 不可约 时，线性方程组Ax=b 用简单迭代法和塞德 尔迭代法均收敛. 5． 求解常微分方程初值问题的欧拉方法是 1 阶格式; 标准龙格库塔法是 4 阶格式. 6． 一个n 阶牛顿-柯特斯公式至少有 n 次代数精度,当n 偶数时,此公式可 以有 n+1 次代数精度. 、 7． 相近数 相减会扩大相对误差,有效数字越多,相对误差 越大 . 二计算题: 1. 线性方程组: ??? ??-=++-=+-=++5 .1526235.333321 321321x x x x x x x x x 1) ￥ 2) 对系数阵作LU 分解,写出L 阵和U 阵； ???? ? ? ?-=????? ? ?--=79/123/54 1 33 14 /33/113 /11U L 3) 求出此方程组的解. )5.0,1,2('-=x 2. 线性方程组: — ??? ??=++-=++=++3 32212325223321 321321x x x x x x x x x 1)对系数阵作LU 分解,写出L 阵和U 阵；

?? ??? ? ?=?? ?? ? ??=573235223 152321321//////U L 2)求出此方程组的解. ),,(' -=133x 4) # 5) 此方程组能否用用简单迭代法和高斯塞德尔迭代法求解. 073 2 2 232223053 2 2 3 03>=>=>,, A 对称正定,用高斯-塞德尔迭代法收敛; . .,., //////)(,6667033331027 16 3432323232323232131 =-==+-=-?? ?? ? ?? -=+-=-λλλλλJ J B I U L D B 用简单迭代法不收敛 > 3. 设f (x )= x 4, 以-1,0,1,2为插值节点, 1) 试写出f (x )的三次拉格朗日插值多项式P 3(x )及其插值余项R 3(x ); 6 ) 2)(1())()(())()(()(3020103210--- =------= x x x x x x x x x x x x x x x x l

重庆大学高等数学习题2-2

A 组 1.利用导数的四则运算法则求下列函数的导数： （1）（2）tan sin 3 y x x π =+ （3）sinx y x = （4 ）y = （5）3cot ln x x y x += （6）223sin 1x x y x x =-+ 解析：考查导数的求解，四则法则就是导数的四种运算法则，包括加减乘除，同时要对初等函数的导数公式非常了解，详细见91P 解：（1）92y x '=- （2）2()tan (tan )(sin )tan sec 3 y x x x x x x x π ''''=++=+ （3）22 (sin )()sin cos sin x x x x x x x y x x ''--'= = （4 ）化简y == 已知'= ，则 y '''= == （5） 2 33322 2321(3csc )ln (cot ) (cot )ln (ln )(cot )ln ln (3csc )ln cot )ln x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x --?+''+-+'==---=

（6）222222 2 22222 222 ()(1)(1)(sin )()sin 3(1)2(1)2cos sin 3(1)23(cos sin )(1)x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x ''''+-+-'=-++-?-=-+-=-+ 2.求下列函数的导数： （1）1 ()21 f x x = -，求(0)f '，(2)f '-； （2）23 51 ()t t f t t -+=，求(1)f '-，(1)f ' 解析：考查函数导数的求解，上面两题都是由基本初等函数构成的，直接利用导数四则法则求解 解：（1）22 (1)(21)(21)2 ()(21)(21)x x f x x x ''----'= =-- 则(0)2f '=-，2 (2)25 f '-=- （2）233232266 4322 64 (51)()(51)(25)3(51)()103103t t t t t t t t t t t f t t t t t t t t t t ''-+--+---+'== -+--+-== 则(1)14f '-=-,(1)6f '= 3.求曲线arctan y x =在横坐标为1的点处的切线方程和法线方程 解析：考查导数的应用，从上节可知，曲线在某点的切线斜率等于该点上导数的值，由此可 以利用点斜式求切线方程，法线与切线垂直，则其斜率相乘为1 解：已知14 x y π == ，21 1 y x '= + 则曲线在点(1, )4 π 上的斜率为1112 x k y ='== 则切线方程为1(1)42y x π - =-，即11242 y x π=+- 设法线方程的斜率为2k ，则121k k ?=-，得22k =-

2015年重庆大学数学分析研考题(精)

重庆大学2015年硕士研究生入学考试试题 科目代码:621 科目名称:数学分析总分:150 分 特别提醒:所有答案一律写在答题纸上,直接写在试题上的不给分。 一、计算(6分/每小题,共24分 (1(( (1 2 2lim 111n n x x x -→∞ +++ (1x < (2 (2 1x xe dx x +? (3 2 sin 1cos x x dx x π

+? (4((21 1lim 1n n k nx k nx k n →∞=+++∑ 二、(10分设(f x 在(0,+∞上满足函数方程((2f x f x =,且(0 lim x f x C →=(常数,证明:(f x C ≡,(0,x ∈+∞. 三、(13分若(f x 在(,-∞+∞上可微,且(lim x f x →∞ =-∞,证明:存在(,ξ∈-∞+∞使得(0f ξ'=. 四、(15分设(,α∈-∞+∞,讨论级数????? +∑∞ =n n n n ln 1sin 12 πα 的绝对收敛性与条件收敛性. 五、(13分计算(32sin 2x y z dxdydz Ω ++???,Ω由旋转双曲面2221x y z +-=、 平面z H =、z H =-所围成. 六、(15分计算(2 222 axdydz z a dxdy

I x y z ∑ ++=++?? ,其中∑为下半球222 z a x y =---的上侧,0a >. 七、(15分令2 1 sin( (1xt f t dx x +∞ =+?,证明: (1反常积分关于t 在(,-∞+∞上一致收敛; (2函数(f t 在(,-∞+∞上连续,且lim (0t f t →+∞ =. 八、(15分函数(f x 为(,-∞+∞上的单调增加有界函数, (1证明:对于任意(0,x ∈-∞+∞,(0 lim x x f x →+存在; (2讨论(lim x f x →-∞ 的存在性,并说明理由. 九、(15分讨论(肯定,给出证明;否定,举出反例: (1对无穷限反常积分,平方可积与绝对可积之间的关系; (2对无界函数反常积分,平方可积与绝对可积之间的关系. 十、(15分设11a =,21a =,2123n n n a a a ++=+,1n ≥, (1证明{} n a 的通项公式为113(12 n n n a --+-=; (2求

重庆大学高等数学总复习题三

A 组 一、填空题： 1.函数lnsin y x =在5[ , ]66ππ 上满足罗尔定理中的____ξ= 解析：考查罗尔定理的应用，要求解ξ，即在区间5(, )66ππ 内，求=0y '的解 解：cos = sin x y x '，令=0y '，则2 x π = 2.函数4()f x x =，2 ()F x x =在[1,2]上满足柯西中值定理中的____ξ= 解析：考查柯西定理的应用，要求解ξ，即在区间(1,2)内，求 (2)(1)() (2)(1)() F F F x f f f x '-='-的解 解：已知 (2)(1)1 (2)(1)5 F F f f -=-，()2F x x '=，3()4f x x = 则即求 321 45 x x =，解得2x =，2x =-（舍去） 则ξ= 3.设函数3 x y e -=，[5,5]x ∈-，则该函数的最大值_____M =，最小值_____m = 解析：考查函数最值的求解，由于函数中存在绝对值，则可以化为分段函数，然后在区间内的最值 解：化为分段函数33,53 35x x e x y e x --?≥>=?≥≥-? 已知x e 和3x +都为恒增函数，则3 x e -也为恒增函数 即当53x ≥>时，最大值为25 x y e ==，3 1x y == 因为3x -为恒减函数，则3 x e -也为恒减函数 当35x ≥≥-时，最大值为8 5 x y e =-=，3 1x y == 综上可知，最大值8 M e =，最小值1m = 4.曲线1ln()y x e x =+（0x >）的渐近线方程为_____ 解析：考查函数渐近线的求解，渐近线包括垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线，前面已经 介绍过各类渐近线的定义，则只需一一验证各类渐近线是 否存在

重庆大学高等数学习题3-1

A 组 1.验证拉格朗日中值定理对函数3 2 452y x x x =-+-在区间[0,1]上的正确性 解析：考查拉格朗日中值定理的应用，只需在[0,1]内找出一点使得=0y '， 证明：已知函数在[0,1]内连续，在(0,1)内可导，则其满足拉格朗日中值定理的两个条件 令()y y x =，则(1)2y =-，(0)2y =- 又因为2 ()12101y x x x '=-+，令[(1)(0)]()(10)y y y x '-=-，即()0y x '=，解得 1,21052412 x ±= = 则存在(0,1)ξ∈，使得(1)(0)()(10)y y y ξ'-=- 2.证明方程32 20x x C -+=在区间[0,1]上不可能有两个不同的实根，其中C 为任意常数 解析：考查罗尔定理的应用，本题可以利用反证法来证明 证明：设3 2 ()2f x x x C =-+，假设存在两点1x ，2x （12x x >），使得12()()0f x f x == 则在12[,]x x 内，满足罗尔定理，即存在12(,)x x ξ∈，使得()0f ξ'= 2()34f x x x '=-，令()0f x '=，解得0x =， x =（不在所设区间内，舍去） 若0ξ=，则1x ，2x 中必有一个不存在，与所设假设不符 则方程32 20x x C -+=在区间[0,1]上不可能有两个不同的实根 3.若方程1 0110n n n a x a x a x --+++=L 有一个正根0x x =，证明：方程 12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=L 必有一个小于0x 的正根 解析：考查罗尔定理的应用，判断利用哪个中值定理可以通过所得条件得出，设 1011()n n n f x a x a x a x --=+++L ，则由已知条件可得0()(0)0f x f ==，这样满足罗尔定 理的第三个条件 证明：设1 011()n n n f x a x a x a x --=+++L ，0()(0)0f x f == 且12 011()(1)n n n f x a nx a n x a ---'=+-++L 根据罗尔定理可知，存在一点0(0,)x ξ∈，使得()0f ξ'=

“2011年重庆大学数学建模竞赛”报名通知

“2011年重庆大学数学建模竞赛”报名通知 2011/3/15 数学建模竞赛能够提高大学生建立数学模型与运用计算机技术解决实际问题的综合能力，拓展知识面，开阔眼界, 培养创新精神及合作意识，磨炼意志。为了推动创新教育的深入开展，让尽可能多的学生参与这项有益的活动，同时也为参加国内外建模竞赛选拔参赛队员，我校每年都要举办“重庆大学数学建模竞赛暨全国大学生数学建模竞赛选拔赛”。2011年重庆大学数学建模竞赛将于5月21日至5月30日举行,我们将从竞赛优胜者中选拔队员参加暑期的培训和9月份的全国竞赛。在3月26日下午起将在D1137举办数学建模竞赛周末讲座（其他具体时间地点请关注重庆大学“数学实验”国家级精品课程网“https://www.doczj.com/doc/183498524.html,/cmewebhome/”上的“公告”栏目中的通知）。现将有关事宜通知如下： 一、报名时间 3月16日——4月20日。 二、报名地点 各学院学生工作办公室。请各学院将名单汇总后于4月25日前将名单电子稿发送至gongqu@https://www.doczj.com/doc/183498524.html,。 三、对报名学生的要求 一至三年级理工科学生。学生自愿组队参加竞赛，每队三人，学校鼓励跨院系组队。 四、参加培训学生的待遇 1. 免费听课和上机培训； 2. 参加培训并代表学校参加全国竞赛者给予记2个创新实践学分； 3. 全国数学建模竞赛获奖者有资格代表学校参加次年2月的美国大学生数学建模竞赛； 4. 全国大学生数学建模竞赛获奖者，在推荐免试攻读硕士生时将按《重庆大学推荐优秀应届本科毕业生免试攻读硕士学位研究生和直接攻读博士学位研究实施办法（试行）》（重大校[2009]146号）相关规定获加分奖励。 欢迎符合条件的同学踊跃报名，力争在竞赛中取得优秀成绩，为重庆大学争光。 重庆大学数学与统计学院 2011.3.15

重庆大学出版社高等数学题库参考答案

第五章不定积分1(直接积分法、换元积分法) 一、单选题 1.设)(x f 是可导函数,则?' ))((dx x f 为（A ）. A.)(x f B.C x f +)( C.)(x f ' D.C x f +')( 2.函数)(x f 的（B ）原函数,称为)(x f 的不定积分. A.任意一个 B.所有 C.唯一 D.某一个 3.? = +=)(,2cos )(x f C x e dx x f x 则（A ）. A.)2sin 22(cos x x e x - B.C x x e x +-)2sin 22(cos C.x e x 2cos D.x e x 2sin 4.函数x e x f =)(的不定积分是（B ）. A.x e B.c e x + C.x ln D.c x +ln 5.函数x x f cos )(=的原函数是（A ）. A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos 6.函数2 11)(x x f -=的原函数是（A ）. A.c x x ++ 1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++1 2 7.设x 2是)(x f 的一个原函数,则[] =' ?dx x f )(（B ） A.x 2 B.2 C.2 x D.-2 8.若c e dx e x x +=? ,则? x d e x 22=（A ） A.c e x +2 B.c e x + C.c e x +-2 D.c e x +-2 9.函数x x f sin )(=的原函数是（D ） A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos 10.若)()()()()(x G x F x f x G x F '-'的原函数，则均为、=（B ） A.)(x f B.0 C.)(x F D.)(x f ' 11.函数21 1)(x x f + =的原函数是（A ） A.c x x +-1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++12 12.函数2 1 1)(x x f - =的原函数是（A ） A.c x x ++ 1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++ 12

数值分析实验报告

学生实验报告实验课程名称 开课实验室 学院年级专业班 学生姓名学号 开课时间至学年学期

if(A(m,k)~=0) if(m~=k) A([k m],:)=A([m k],:); %换行 end A(k+1:n, k:c)=A(k+1:n, k:c)-(A(k+1:n,k)/ A(k,k))*A(k, k:c); %消去end end x=zeros(length(b),1); %回代求解 x(n)=A(n,c)/A(n,n); for k=n-1:-1:1 x(k)=(A(k,c)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n))/A(k,k); end y=x; format short;%设置为默认格式显示,显示5位 （2）建立MATLAB界面 利用MA TLAB的GUI建立如下界面求解线性方程组： 详见程序。 五、计算实例、数据、结果、分析 下面我们对以上的结果进行测试，求解：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - 7 2 5 10 13 9 14 4 4 3 2 1 13 12 4 3 3 10 2 4 3 2 1 x x x x 输入数据后点击和，得到如下结果： 更改以上数据进行测试，求解如下方程组： 1 2 3 4 43211 34321 23431 12341 x x x x ?? ???? ?? ???? ?? ???? = ?? ???? - ?? ???? - ???? ?? 得到如下结果：

重庆大学数学实验报告七

开课学院、实验室：数统学院DS1421实验时间：2013年03月17日

由于matlab中小数只能是四位，所以我在编程的过程中将距离扩大了1000倍，但是并不会影响我们所求得的结果。 运行程序之后我们得到的结果为： 我们可以得到当金星与地球的距离（米）的对数值为9.9351799时，只一天恰好是25号。 8.编写的matlab程序如下： x=0:400:2800; y=0:400:2400; z=[1180 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1370 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1460 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940]; [xi,yi]=meshgrid(0:5:2800,0:5:2400); zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'cubic'); mesh(xi,yi,zi); xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('高程'); title('某山区地貌图'); figure(2); contour(xi,yi,zi,30); 运行程序我们得到的结果如下所示： 山区的地貌图如下所示：

等高线图如下所示： 三、附录（程序等） 6. y=18:2:30;

重庆大学高等数学(II-2) ( 第3次 )

第3次作业 一、填空题（本大题共40分，共 10 小题，每小题 4 分） 1. 写出级数的通项为： ______ 。 2. 级数的敛散性为 ______ 。 3. 函数的定义域为 ______ 。 4. 设平面通过点（1，3，-2），且垂直于向量 ，求该平面的方程。 5. 由曲线绕y轴一周所得的旋转面方程为 ______ 。 6. 设，且函数f可微，则 ______ 7. 已知D由及x轴围成，则

______ 。 8. 过点(3,0,－1)且与平面平行的平面方程为 ______ 。 9. 一平面通过两点和且垂直于平面，求它的方程。 10. 设，其中 具有连续的二阶偏导数， ____________。 二、计算题（本大题共40分，共 8 小题，每小题 5 分） 1. 判断级数的敛散性。 2. 利用二重积分的性质估计 (其中是

矩形区域 )的值。 3. 求曲面在点(1,1,2)处的切平面和法线方程。 4. 求两平面， 的夹角。 5. 已知三角形ABC的顶点是A(1,2,3),B(3,4,5), C(2,4,7)，求三角形的面积。 6. 求微分方程满足的 特解。 7. 求的所有二阶偏导数。 8. 把对坐标的曲线积分 化成对弧长的曲线积分，其中L为 (1)在 xOy 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)； (2)沿抛物线 从点(0,0)到点(1,1)； (3)沿上半圆周 从点(0,0)到点(1,1)。

三、证明题（本大题共20分，共 2 小题，每小题 10 分） 1. 证明：若数列收敛于a,则级数 。 2. 设级数和收敛, 证明级数 收敛。 答案： 一、填空题（40分，共 10 题，每小题 4 分） 1. 参考答案： 解题方案： 评分标准： 2. 参考答案： 发散 解题方案：

重庆大学出社高等数学题库参考答案

第五章 不定积分1(直接积分法、换元积分法) 一、单选题 1.设)(x f 是可导函数,则?' ))((dx x f 为（ A ）. A.)(x f B.C x f +)( C.)(x f ' D.C x f +')( 2.函数)(x f 的（ B ）原函数,称为)(x f 的不定积分. A.任意一个 B.所有 C.唯一 D.某一个 3.? = +=)(,2cos )(x f C x e dx x f x 则（ A ）. A.)2sin 22(cos x x e x - B.C x x e x +-)2sin 22(cos C.x e x 2cos D. x e x 2sin 4.函数x e x f =)( 的不定积分是（ B ）. A.x e B.c e x + C.x ln D.c x +ln 5.函数x x f cos )(=的原函数是 （ A ）. A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos 6.函数211)(x x f -=的原函数是（ A ）. A.c x x ++ 1 B.x x 1- C.32 x D.c x x ++12 7.设x 2是)(x f 的一个原函数,则[] =' ?dx x f )(（ B ） A. x 2 B.2 C.2 x 8.若 c e dx e x x +=? , 则 ?x d e x 22=（ A ） A.c e x +2 B.c e x + C.c e x +-2 D.c e x +-2 9.函数x x f sin )(=的原函数是（ D ） A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos 10.若)()()()()(x G x F x f x G x F '-'的原函数，则均为、=（ B ） A.)(x f B.0 C.)(x F D.)(x f ' 11.函数21 1)(x x f + =的原函数是（ A ） A.c x x +-1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++12 12. 函数21 1)(x x f - =的原函数是（ A ）

重庆大学数学实验一 matlab的基本应用 参考答案

《数学实验》第一次上机实验 1． 设有分块矩阵?? ? ???= ????22322333S O R E A ，其中E,R,O,S 分别为单位阵、随机阵、零阵和对角阵，试通过数值计算验证?? ????+= 22 S 0RS R E A 。 程序及结果： E=eye(3); %创建单位矩阵E% R=rand(3,2); %创建随机矩阵R% O=zeros(2,3); %创建0矩阵% S=diag(1:2); %创建对角矩阵% A=[E,R;O,S]; %创建A 矩阵% B=[E,(R+R*S);zeros(2,3),S^2] %计算等号右边的值% A^2 %计算等号左边的值% 运行结果： B = 1.00 0 0 1.63 2.74 0 1.00 0 1.81 1.90 0 0 1.00 0.25 0.29 0 0 0 1.00 0 0 0 0 0 4.00 ans = 1.00 0 0 1.63 2.74 0 1.00 0 1.81 1.90 0 0 1.00 0.25 0.29 0 0 0 1.00 0 0 0 0 0 4.00 2．某零售店有9种商品的单件进价（元）、售价（元）及一周的销量如表1.1，问哪种商品的利润最大，哪种商品的利润最小；按收入由小到大，列出所有商品及其收入；求这一周该10种商品的总收入和总利润。 表1.1 1)程序： a=[7.15 8.25 3.20 10.30 6.68 12.03 16.85 17.51 9.30]; b=[11.10 15.00 6.00 16.25 9.90 18.25 20.80 24.15 15.50]; c=[568 1205 753 580 395 2104 1538 810 694];

重庆大学--数学模型--数学实验作业七

重庆大学--数学模型--数学实验作业七

开课学院、实验室：数统学院实验时间：2015年11月25日 课程名称数学实验实验 项目 名 称 医用薄膜渗 透率的确定 ——数据拟 合 实验项 目类型 验证演示综合设计其他 指导教师肖剑成 绩 实验目的 [1] 了解最小二乘拟合的基本原理和方法； [2] 掌握用MATLAB作最小二乘多项式拟合和曲线拟合的方法； [3] 通过实例学习如何用拟合方法解决实际问题，注意与插值方法的区别。 [4] 了解各种参数辨识的原理和方法； [5] 通过范例展现由机理分析确定模型结构，拟合方法辨识参数，误差分析等求解实际问题的过程； 通过该实验的学习，掌握几种基本的参数辨识方法，了解拟合的几种典型应用，观察不同方法得出的模型的准确程度，学习参数的误差分析，进一步了解数学建模过程。这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。 实验内容 1．用MATLAB中的函数作一元函数的多项式拟合与曲线拟合，作出误差图； 2．用MATLAB中的函数作二元函数的最小二乘拟合，

作出误差图； 3．针对预测和确定参数的实际问题，建立数学模型，并求解。 应用实验（或综合实验） 1.旧车价格预测 一、问题重述 某年美国旧车价格的调查资料如下表，其中xi表示轿车的使用年数，yi表示相应的平均价格。试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据，并预测使用4.5年后轿车的平均价格大致为多少？ 表1 x i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y i 26 15 19 43 14 94 10 87 76 5 53 8 48 4 29 22 6 20 4 二、数学模型的建立与求解 先作出散点图分析其应该是一个二次函数，可以采用polyfit线性拟合。 编辑程序Untitled1.m: clc x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]; y=[2615 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204]; plot(x,y,'+') hold on a=polyfit(x,y,2) y1=polyval(a,x); plot(x,y1,'r') t=4.5; cost=polyval(a,t) 三、实验结果及分析 a =1.0e+03* 0.0361 -0.6508 3.1523 t =4.5000

时数分配 - 重庆大学-数学与统计学院-数学实验

2011—2012学年度第二学期教学日历 课程名称：数学实验任课教师姓名：龚劬 课程类别：（）必修课（ ）选修课 教材名称：数学实验主编姓名刘琼荪出版时间2004.7 授课对象：计算机学院计算机科学1—5班、网络工程1-3班、信息安全1班140 人 填表时间：2012 年 3 月

教学日历

数学软件自己动手做实验。 第7次教学内容： 1. 应用实例：放射性废物的处理问题 问题重述、分析、假设，建立数学模 型，模型求解 2．方程和方程组求解的MATLAB命令及其应 用。 教学方式：多媒体教学2 14 第8次实验内容： 1．使用MATLAB软件求解方程与方程组的练 习； 2．应用问题：炮弹发射角的确定。 教学方式：学生在教师指导下，借助于计算机和 数学软件自己动手做实验。4 3 18 第9次教学内容： 1. 引例：倒葫芦形状容器壁上的刻度问题 微分方程模型及其求解方法解 析法，数值解法：欧拉方法，梯形法， 改进欧拉方法 教学方式：多媒体教学2 20 第10次实验内容： 1．使用MATLAB软件求解微分方程（组）的 练习； 2．编用向前欧拉公式和改进的欧拉公式求微 分方程数值解的MATLAB程序，并观察其 迭代过程； 教学方式：学生在教师指导下，借助于计算机和 数学软件自己动手做实验。4 3 24 第11次教学内容： 1. 求解微分方程（组）的MATLAB命令追 击路线问题 教学方式：多媒体教学2 26 第12次实验内容： 1．用MATLAB命令求解Rossler微分方程组， 并讨论解随参数的变化情况； 2.考虑两相互竞争种群的数量变化模型；4 3 30

重庆大学数学与统计学院

重庆大学数学与统计学院 推荐免试攻读硕士研究生实施办法及操作细则 根据教育部办公厅《关于进一步完善推荐优秀应届本科毕业生免试攻读研究生工作的通知》（教学厅〔2013〕8号）和学校《重庆大学推荐优秀应届本科毕业生免试攻读硕士学位研究生工作管理办法（试行）》（重大校〔2014〕268号）及相关文件﹑通知的精神，结合我院的实际情况，特制定本实施细则。 一﹑推荐免试研究生条件 1. 申请者应符合重庆大学对应届本科毕业生申请免试攻读硕士学位研究生基本条件的规定。 2. 补充业务条件 （1）学习态度端正，成绩优异，前三年的平均成绩在同专业学生中排名应处于前列，方可进入推免资格的候选人名单，并予以公布。 （2）本科学习阶段内必修课和专选课补考科目不得超过1门（无不及格成绩），特殊情况需经学院推免研究生工作小组讨论研究决定。 3. 可适当突破第2条限制的情况： (1) 在全国性的大学生数学竞赛，数学建模竞赛活动中获国家二等奖以上的学生，直接具有推免资格，但须满足基本条件且复试合格。 (2) 基础课和专业课成绩优异，并且具有浓厚数学兴趣和具有培养潜质者优先推荐。但需要2位专家推荐。 二﹑综合成绩计算办法 综合成绩：60% A +40% B + C (附加分数) 1、A——平均成绩 平均成绩按三年计算，课程只包括必修课和专业选修课（五级记分折算标准：优=95分、良=85、中=75分、及格=65分）。 2、B——按百分制给出的面试成绩，其中1）笔试科目80%，2）专业面试10%，3）英语口语面试10%。 3、C:见加分细则

三、免试研究生的推荐程序 1. 学院组成推免研究生工作小组，由院长为组长，学院党政班子、学院学位委员会、研究生教学工作委员会和教学管理人员为成员。 2. 由学生本人提出申请，报学院推免研究生工作小组。 3. 学院推免研究生工作小组从符合推荐免试研究生基本条件的申请学生中，根据学生平均成绩及优先情况进行排序，并按推荐免试研究生名额的1.5倍比例，确定具有推荐免试研究生面试人选名单，并予以公布。 4. 学院推免研究生工作小组组织专家对初选合格的学生进行面试，根据面试专家个人评分，计算每个学生的平均分。 5．面试包括： 1）笔试科目：数学分析、高等代数； 2）专业面试：面试老师有统一评分标准，对所有专业大方向相同的考生使用相同的面试题目，已面试的考生在所有面试结束前不能离开面试考场； 3）英语口语面试。 6. 学院推免研究生工作小组根据平均成绩、面试成绩和获奖得分，计算综合成绩，进行排序，并向学生公布。 7. 学院推免研究生工作小组根据综合成绩排名，确定获得推免资格的初选学生名单，并张榜公布三天。 8. 公布无异后，初选学生名单经学院推免研究生工作小组审核盖章后上报教务处。 四、本实施细则自颁布之日起实行，并由数学与统计学院推免研究生工作小组负责解释。 重庆大学数学与统计学院 2016年9月5日