第一章
1．用消元法解下列线性方程组：
（1）???
??=++=++=++.
5432,9753,432321
321321x x x x x x x x x
解 由原方程组得同解方程组
12323234,23,x x x x x ++=??
+=?
得方程组的解为13232,
2 3.
x x x x =-??
=-+?令3x c =，得方程组的通解为
c x c x c x =+-=-=321,32,2，其中c 为任意常数． 2．用初等行变换将下列矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵：
（2）????
? ??--324423211123．
解 1102
232111232551232041050124442300000000r r ?
?- ?-???? ? ? ? ?
-??→--??→- ? ? ? ? ?- ????? ?
??
?
，得 行阶梯形：????? ?
?---0000510402321（不唯一）；行最简形：????
???
? ?
?
-
-00004525
10212
01 3．用初等行变换解下列线性方程组：
（1）??
?
??=+-=+-=++.3,1142,53332321321x x x x x x x x
解 2100313357214110109011320019r B ?
? ??? ?
? ?=-??→- ? ? ?- ??? ? ??
?M M M M M M ， 得方程组的解为
9
20
,97,32321=-==x x x ．
（2）???
??=+++=+++=++-.
2222,2562,
1344321
43214321x x x x x x x x x x x x
解 114311143121652032101222200001r B --???? ? ?
=??
→-- ? ? ? ?????
M M M M M M ， 得方程组无解．
第二章
1.（2）
2
2
x y x y ．
解 原式()xy y x =-．
（2）01000
020
00010
n n
-L L L
L L L L L L
． 2.解 原式1
100
020
(1)
001
n n n +=-=-L
L M M M L
!)1(1n n +-
3.（2）1111 2222 3333 4444
-
--
---
．
解原式
1111
0444
192 0066
0008
==．
（5）
1
2
1111
100
100
100
n
a
a
a
L
L
L
M M M L M
L
，其中0,1,2,,
i
a i n
≠=L．
解原式
1
11
2
1
2
1
1000
100
100
100
i
i
n
i i
r r
a
i n
n
a
a
a
a
=
-
≤≤
-
==
∑L
L
L
M M M L M
L
∑∏
==
-
n
i
n
i
i
i
a
a
11
)
1
1(
4．利用行列式展开定理，计算下列行列式：
（1）1214 0121 1013 0131
-
．
解原式
0201
201001
012132
1213217 101313
131131
0131
--
==-=-==-
-
-
．
（3）
1
2
3
1
0001 0000 0000 0000 1000
n
n
a
a
a
a
a
-
L
L
L
M M M M M
L
L
．
解 原式1221
31
1
00010000000(1)
0000000
n n n n a a a a a a a +--=-+L L L L L M M M M M M M L
L
231
1(1)
121
0000
(1)
(1)00n n n n a a a a a a ++--=--+L L L M M M L
23112n n a a a a a a -=-+L L 2311(1)n n a a a a a -=-L ．
7．设2
14211253133
5
111
D =
-，试求14243444A +A +A +A 和11121314M +M M M ++．
解 14243444A +A +A +A 0=；
11121314111213141
1111125+31335
1
1
1
M M M M A A A A --++=-+-=
- 010*******
213465
242242284214262
620620
6
1
20
---=
=-=-=-=--． 8．利用克拉默法则解下列线性方程组：
（1）12341234
123412345,242,2352,32110.
x x x x x x x x x x x x x x x x +++=??+-+=-??---=-??+++=?
解 经计算，得1234142,142,284,426,142D D D D D =-=-=-=-=，所以方程组的解为1,3,2,14321-====x x x x ．
9．试问λ取何值时，齐次线性方程组1231231
23230,
3470,20
x x x x x x x x x λ-+=??
-+=??-++=?有非零解．
解 方程组有非零解，则0D =．又
213
3
475(3)1
2
D λλ
-=-=-+-， 所以3-=λ．
第三章
2．设矩阵112123111,122211031A B ???? ? ?
=-=-- ? ? ? ?--????
．
（1）计算2A B +； （2）若X 满足32A X B +=，求X ．
解 （1）3472100411A B ??
?+= ? ???
； （2）11023577695X B A -?? ?
=-=-- ? ?--??
．
3．设有3阶方阵1
112223
3
3a c d A a c d a c d ?? ?= ? ???
，1
112
2233
3b c d B b c d b c d ?? ?= ? ???
，
且
1A =，2=B ，求2A B +． 解 11
1122
2233
33
2332233233a b c d A B a b c d a b c d ++=++
1
11111
2
222
223
3
3
3
3
3
9(2)9(2)45a c d b c d a c d b c d A B a c d b c d --=+--=+=--． 4（5）1
020020100
1000310
03?? ??? ? ?-- ? ? ? ??? ?
??．
解 原式3E =．
（6）()11121311
2
312
2223213
23
333a a a x x x x a a a x a a a x ???? ??? ??? ???????
．
解 原式222
111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++．
5．已知矩阵103021001A ?? ?= ? ???，100021301B ?? ?= ? ???
．求： （1）AB 与BA ； （2）))((B A B A -+与2
2
B A -.
解 （1）1003343301AB ??
?= ?
?
??
，1030433010BA ?? ?= ? ???； （2）906()()600609A B A B -?? ?+-=- ? ?-??，22006300600A B ??
?-=- ?
?-??
．
8．已知矩阵()12
3α=，11123β??=
???
，令βαT
A =，求n A ，其中n 为正整数． 解 1
11()
()()3()n
T
T n T n T n T A αβαββααβαβ---=== 1111232321
33312n -??
?
? ?== ?
? ?
??
?
?
????
?
?
??
??-------11
1121132
33323323233n n n n n n n n n ．
9．若A 为n 阶对称矩阵，P 为n 阶矩阵，证明T
P AP 为对称矩阵． 证 因为()()
T A A
T
T
T
T
T T
T P AP P A P P AP ===，所以T P AP 为对称矩阵．
10.（2）100210331A ?? ?
= ? ???
．
解 10A =≠，又*100210331A ?? ?=- ? ?
-??，所以1
*1A A A -==????
? ??--133012001． 14．设n 阶方阵A 满足2
3A A O -=，证明2A E -可逆，并求()1
2A E --．
证 由2
3A A O -=，得(2)()2A E A E E --=，即
(2)
2
A E
A E E --=， 所以2A E -可逆，且()
1
2A E --=2
E A -．
16．已知A 为三阶方阵，且2A =-，求：（3）*
1
12
A A --
． （3）*
1111115
222
A A A A A A -----
=-=-，有 原式13551()22A A
-=-
=-=16125
． 20．利用分块矩阵求下列矩阵的逆矩阵：
（1）130120005??
?- ? ???
．
解 将矩阵进行如下分块：
1
213
0120005A O A O A ??
?
-??
?== ? ???
???
M M L L L L M ， 则1
1
11
2A O A O
A ---??=
???
．又()1
11
1122313155,51211555A A ----??- ?????==== ? ? ?-?? ??? ???
，所以 1A -=???????
?
?
?-510
00515105352．
21．设矩阵11000
10000120021A ??
?
?= ?
?
??，利用分块矩阵计算4
A ．
解 将矩阵进行如下分块：
121100010
0(,)00120021A diag A A ??
? ?
?==
? ? ??
?M M L L L
L L M M ，
则4
4
41
2
(,)A diag A A =．又441
2144140,014041A A ????
== ? ?????
，所以
4140001000041400
04041A ??
?
?
= ? ?
??
． 22．设矩阵25
01
30000210
0122A ?? ?
?
= ?
?
??，利用分块矩阵计算2012A ．
解 将矩阵进行如下分块：
12250
01300(,)002100122A diag A A ??
? ?
?==
? ? ??
?
M M L L L
L L M M ，
则121(8)8A A A =?=?-=-，所以2012
2012
20128A
A
==．
24.（2）122212221??
?
- ? ?-??
．
解 ()12
210099912210021221201001099922100122100199
9r A E ?
? ???
? ?
?=-??→- ? ? ?- ??? ?-
??
?
M M M M M M ，
所以A 可逆，且11229992129
992219
9
9A -?? ? ? ?=- ? ? ?- ???
． 25．利用矩阵的初等行变换解下列矩阵方程：
（1）12313032410272101078X --???? ? ?-= ? ? ? ?-????
．
解 ()12313010064532410270102122101078001333r E X --???? ? ?
-??
→= ? ? ? ?-????
M M M M M M ，
所以645212333X ??
?= ? ???
． 26.（2）213244251721182--?? ?
- ? ?-??
．
解 21324213244251700151()22118200000r A R A ----???? ? ?
=-??
→-?= ? ? ? ?-????． 29．设A 是43?矩阵，且A 的秩为2，而101111123B ??
?
=- ? ?---??
，求()R AB ．
解 20B =≠，则()()2R AB R A ==．
33．试问λ取何值时，下列非齐次线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解．
（1）12312312
3(1)1,
(1),(1) 1.
x x x x x x x x x λλλλλ+++=??
+++=??+++=--?
解 方程组的系数行列式
2111111(3)1
1
1A λλλλλ
+=
+=++．
当0A ≠，即0≠λ且3-≠λ时，方程组有唯一解．
当0=λ时，
()111111111110000111110000r B A β???? ? ?
==??→ ? ? ? ?-????
M M M M M M ．
因为()1()2R A R B =≠=，所以方程组无解．
当3-=λ时，
()211111221213033511220000r B A β--???? ? ?
==--??→-- ? ? ? ?-????
M M M M M M ．
因为()()23R A R B ==<，所以方程组有无穷多解．
第四章
2．求解下列向量方程：
（1）βα=+X 3，其中T
T
(1,0,1),(1,1,1)αβ==-．
解 11
()(0,1,2)33T X βα=
-=-． 4.（3）??????? ??-=21011α，?
??
???
? ??---=42112α ，32310α?? ?
?= ? ???． 解 ()12311
211201
3013,,121001240000r ααα--????
?
?-
? ?=??→
? ?-
? ?-????
． 因为()123,,3R ααα=，所以该向量组线性无关．
（4）????
??
? ??=??????? ??--=???
???? ??--=??????? ??=1100,0121,3021,03214321αααα．
解 12341110111022200301(,,,)30110010030100
00r αααα--????
? ?--
? ?
=??→ ? ?- ? ?????
． 因为1234(,,,)34R αααα=<，所以该向量组线性相关． 7．若向量组321,,βββ由向量组321,,ααα线性表示为
112321233
123,,.
βαααβαααβααα=-+??
=+-??=-++? 试将向量组321,,ααα由向量组321,,βββ表示．
解 由112321233123,,βαααβαααβααα
=-+??
=+-??=-++?解得11222331311,
2211,2211.22αββαββαββ?=+??
?=+???
=+??
11．求下列各向量组的秩及其一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示．
（1）???
?
? ??=????? ??=????? ??=131,020,011321ααα．
解 123101100(,,)123010001001r ααα????
? ?
=??
→ ? ? ? ?????
， 所以3),,(321=αααR ，本身为一个极大无关组；
（2）????
??
? ??-=??????? ??---=??????? ??---=??????? ??=22
02,7431,6514,31214321αααα．
解 123411210141299
2
13054
01(,,,)991542
0003
67200
00r αααα??
-- ?-??
?
?
--
?
?-=??→ ?
?-- ?
?
-- ??? ??
?
， 所以2),,,(4321=ααααR ，21,αα为一个极大无关组，且
21395911ααα+-
=，2149
4
92ααα--=． （3）123410321301,,,,217542146αααα???????? ? ? ? ?- ? ? ? ?==== ? ? ? ? ? ? ? ?????????51120α??
?- ?= ? ???． 解 123451
3
2
1103011
30110
1101(,,,,)21752000114
2146000000r ααααα-????
?
?
---
? ?
=??→
? ?
?
?
????
，
所以3),,,,(54321=αααααR ，421,,ααα为一个极大无关组，且
2133ααα+=，4215αααα+--=．
14．设A 为n m ?矩阵，证明：O A =当且仅当0)(=A R ．
证 必要性显然，下证充分性：()0R A A O =?=．
设α为A 的任一列向量，则()()0R R A α≤=，所以()00R αα=?=．由α的任意
性知O A =．
19. （2）1234123412
40,20,30.x x x x x x x x x x x +-+=??
-+-=??++=?
解 由11002111131121011231010000r A ??
?-?? ? ? ?=--??→- ? ? ? ??? ? ???
，得132341,23.2x x x x x ?=-????=-??
令3420,01x x ??????=
? ? ?
????
??，得方程组的一个基础解系1(1,3,2,0)T ξ=-，T
)1,0,1,0(2-=ξ，通解为2211ξξc c X +=，其中21,c c 为任意常数．
20.（2）1234512345
2345123451,3235, 2262,54337.
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-??+++-=-??+++=??+++-=-?
解 方程组的增广矩阵
()1
111
11321135012262543317B A β-?? ?-- ?== ?
?--??M M M M 1
011530
12262000000000000r ----??
?
?
??→
?
?
??
M M M M ，
因为()()25R A R B ==<，所以方程组有无穷多解，且
13452
34553,
226 2.x x x x x x x x =++-??
=---+? 令314253,,x c x c x c ===，得通解为
123(3,2,0,0,0)(1,2,1,0,0)(1,2,0,1,0)(5,6,0,0,1)T T T T X c c c =-+-+-+-
其中123,,c c c 为任意常数．
第五章
1. (5)???
?
?
??----020212
022． 解 A 的特征多项式
220
2
12(2)(1)(4)0
2
A E λ
λλλλλλ
---=---=-+----， 所以A 的特征值为21-=λ，12=λ，43=λ．
当21-=λ时，解特征方程组(2)0A E X +=．由
11042022320110220002r A E ?
? ??? ? ?
+=?------?→ ? ? ? ??? ?
??
，
得13231,2.
x x x x ?
=???=?令32x =，得属于特征值21-=λ的线性无关的特征向量为1(1,2,2)T ξ=，全部特征向量为111,0k k ξ≠．
当12=λ时，解特征方程组()0A E X -=．由
101120120201
2021000r A E ??
?? ?
? ?-=??→ ? ? ?
---- ??
-???
， 得1323,
1.2
x x x x =-???=-??令32x =，
得属于特征值12=λ的线性无关的特征向量为2(2,1,2)T ξ=--，全部特征向量为222,0k k ξ≠．
当43=λ时，解特征方程组(4)0A E X -=．由
2201022320120240400r A E ????
? ?
-=??→ ? ? ? ???------?
--?，
得13232,2.
x x x x =??=-?令31x =，得属于特征值43=λ的线性无关的特征向量为3(2,2,1)T
ξ=-，全部特征向量为333,0k k ξ≠．
（6）----?? ??
???100111302．
解 A 的特征多项式
2100
1()(11123
2)A E λ
λλλλλ
-------=+--=
，
所以A 的特征值为2,132,1=-=λλ．
当12,1-=λ时，解特征方程组()0A E X +=．由
101000000101303000r A E -???? ? ?
+=??→ ? ? ? ????
--?，
得13.x x =令2310,01x x ??????
=
? ? ?????
??，得属于特征值12,1-=λ的线性无关的特征向量为12(0,1,0),(1,0,1)T T ξξ==，全部特征向量为112212,,k k k k ξξ+不全为0．
当23=λ时，解特征方程组(2)0A E X -=．由
100300113101
33000002r A E ??
?? ?
? ?-=??→ ? ? ?
???
??
----， 得1230,
1.3x x x =???=-??
令33x =，得属于特征值23=λ的线性无关的特征向量为3(0,1,3)T ξ=-，
全部特征向量为333,0k k ξ≠．
5．已知3阶矩阵A 的特征值为3,2,1，求A A A 7523+-及A 的伴随矩阵*
A 的特征值．
解 令3
2
5()7x x x x ?-+=，则A A A 752
3+-的特征值为
(1)3,(2)2,(3)3???===．
又1236A =??=，则*
A 特征值为
666
6,3,2123
===． 9．已知????? ??----=533242
111A ，???
?
?
??=20002000λ
B ，且A 与B 相似，求常数λ． 解 显然B 的特征值为,2,2λ．A 与B 相似，则A 的特征值为,2,2λ．由
14522λ++=++，
解得6=λ．
10．已知矩阵A x =?? ?????20000101与矩阵B y =-?? ?
?
?
??20000001相似，求常数x 与y ．
解 A 与B 相似，则202(1)1x y x y ++=++-?=-． （1） 又2A =-，由A B =，得22(1)1y y -=??-?=，代入（1）式，得0x =． 所以1,0==y x ．
11．设矩阵????
?
??---=12012001a A ．问a 为何值时，矩阵A 可相似对角化．
解 显然A 的特征值为1,231,1λλ==-．对1,21λ=，
A 可相似对角化()321R A E ?-=-=．
由2002001000000200r a A E a ???? ? ?
-=??→ ? ? ? -??-?
-??，得0=a ．
13.（2）???
?
? ??---1324121019106127．
解 A 的特征多项式
13
2(1)7126112610
19100
191012
24
131
4
3(1)21c c A E λ
λλλλ
λλλλ
λ-----==
=----------+--，
则A 的特征值为1,231,1λλ==-．
当1,21λ=时，解方程组()0A E X -=．由
6126102010122412121000000r A E -??-??
? ?
-=??→ ? ? ? ??-??
-?，
得()1R A E -=，所以A 与对角矩阵相似，且1232x x x =-．令2310,01x x ??????
=
? ? ?????
??，得属于特征值1,21λ=的线性无关的特征向量为12(2,1,0),(1,0,1)T T
p p ==-．
当31λ=-时，解方程组()0A E X +=．由
812610181012241411025016000r A E ?
?- ??? ?
?
?+=??→- ? ? ? ??? ?
---? ??，
得13231,25.6x x x x ?
=????=??
令36x =，得属于特征值3
1λ=-的线性无关的特征向量为3(3,5,6)T p =． 令123213105016(,,)P p p p -??
?= ? ???=，则1
P AP -=Λ????
? ??-=100010001．
（3）????
? ??----163053064
．
解 A 的特征多项式
24603
503
(1)(2)6
1A E λ
λλ
λλλ--------==--+，
则A 的特征值为1,231,2λλ==-．
当1,21λ=时，解方程组()0A E X -=．由
360360312000000600r A E ????
? ?
-=??→ ? ? ?--- ?-????
，
得()1R A E -=，所以A 与对角矩阵相似，且122x x =-．令2310,01x x ??????
=
? ? ?????
??，得属于特征值1,21λ=的线性无关的特征向量为12(2,1,0),(0,0,1)T T
p p =-=．
当32λ=-时，解方程组(2)0A E X +=．由
6603310301201000631r A E ???? ? ?
+=??→- ? ? ?--- ?-????
，
得1323,.
x x x x =-??
=?令31x =，得属于特征值31λ=-的线性无关的特征向量为3(1,1,1)T
p =-．
令12320110101,1(,)P p p p --?? =?= ? ???
，则1
P AP -=Λ
15．设3阶方阵A 有特征值9,1,0321=-==λλλ，对应特征向量依次为
T T T )2,1,1(,)0,1,1(,)1,1,1(321=-=--=ξξξ，
求A ．
解 A 有3个不同的特征值，则A 能相似对角化．令123111()111102,,P ξξξ--??
?
==- ? ???
，
则
1019P AP -??
?
=Λ=- ? ???
，
有1
A P P -=Λ．又122213306112P ---?? ?=- ? ???，所以????
? ??=633312321A
21．试求一个正交矩阵Q ，使AQ Q 1
-为对角阵：
（1）???
?
? ??----=02021
2022A ． 解 A 的特征多项式
(2)(1)(4)A E λλλλ-=-+--，
则A 的特征值为1232,1,4λλλ=-==．
属于特征值12λ=-的线性无关的特征向量为1(1,2,2)T
α=；单位化，得
1122(,,)333
T β=．
属于特征值21λ=的线性无关的特征向量为2(2,1,2)T
α=-；单位化，得
2212(,,)333
T β=-．
属于特征值34λ=的线性无关的特征向量为3(2,2,1)T
α=-；单位化，得
3221(,,)333
T β=-．
令正交矩阵12312
21(,,)2123221Q βββ?? ?
==- ? ?-?
?，则 ???
?
? ??-==-4000100021AQ Q AQ Q T ．
（3）????
? ??----=542452222
A ．
解 A 的特征多项式
2(1)(10)A E λλλ-=--，
则A 的特征值为1,231,10λλ==．
属于特征值1,21λ=的线性无关的特征向量为12(2,1,0),(2,0,1)T T
αα=-=；正交化，
得121
(2,1,0),(2,4,5)5
T
T ββ=-=
；单位化，得
12(,T T
γγ==． 属于特征值310λ=的线性无关的特征向量为3(1,2,2)T
α=--；单位化，得
31
22(,,)333
T γ=--．
令正交矩阵123132(,,)3203Q γγγ??- ? ? ?
==-
? ? ? ???
，则 ???
?
? ??==-10000100011AQ Q AQ Q T
22．设3阶实对称矩阵A 的特征值为6、3、3，与特征值6对应的特征向量为T
)1,1,1(1=ξ，求与特征值3对应的特征向量．
解 设123(,,)T
X x x x =为属于特征值3的特向量，有1[,]0X ξ=，即
0321=++x x x ，
其基础解系为T
)0,1,1(2-=ξ
T )1,0,1(3-=ξ．所以属于特征值3的特征向量为
3322ξξk k +，2k 、3k 不全为0．
第五章（B ）
二、计算题：
1．设???
?
? ??--=10000
1010A ，AP P B 1-=，其中P 为三阶可逆矩阵，求220042A B -． 解 2
4100010,001A A E -?? ?=-= ? ???
．又
P A P B 200412004-=14501()P A P -=E EP P ==-1,
所以2004
2230022030001B
A E A ??
?-=-= ? ?-??
． 3. 设矩阵????
?
?
?-----=12
2212
221
A ． （1）求A 的特征值；
（2）利用(1)中结果求1
-+A E 的特征值，其中E 为三阶单位矩阵． 解 （1）A 的特征多项式2
(1)(5)A E λλλ-=--+，得A 的特征值为
1,231,5λλ==-．
（2）令1()1g x x
=+
，得1
-+A E 的特征值为 1,234(1)2,(5)5
g g μμ===-=
．
线性代数课后习题答案 习题一 1.2.3（答案略） 4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数 故所求为127485639 (2) ∵(397281564)25119τ=+++= （奇数） ∴所求为397281564 5.(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数) ∴项前的符号位()6 11-=+ （正号） （2）∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+= ∴ 项前的符号位5(1)1-=- （负号） 6. (1) (2341)(1)12n n τ-?L L 原式=(1)(1)!n n -=- （2）()((1)(2)21) 1(1)(2)21n n n n n n τ--??---??L L 原式=(1)(2) 2 (1) !n n n --=- （3）原式=((1)21) 12(1)1(1) n n n n n a a a τ-?--L L (1) 2 12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L 7.8（答案略） 9. ∵162019(42)0D x =?-?+?--?= ∴7x = 10. （1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得 []11(1)1110 01(1)1110 (1)1 1 (1)1 1 1 x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L []1(1)(1)n x n x -=+-- （2）按第一列展开： 11100000 (1)(1)0 0n n n n n y x y D x x y x y x y -++=?+-=+-L L L L L L L L
习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值： （1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ； 解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --
线性代数课后习题答案-复旦大学出版社-熊维玲
第一章 3.如果排列n x x x 2 1是奇排列,则排列1 1 x x x n n 的奇偶 性如何？ 解：排列 1 1x x x n n 可以通过对排列 n x x x 21经过 (1)(1)(2)212 n n n n L 次邻换得到，每一次邻换都 改变排列的奇偶性，故当2)1( n n 为偶数时，排列 1 1x x x n n 为奇排列，当2)1( n n 为奇数时，排列1 1 x x x n n 为 偶排列。 4. 写出4阶行列式的展开式中含元素13 a 且带负 号的项. 解：含元素13a 的乘积项共有13223144 (1)t a a a a ，13223441 (1)t a a a a ， 13213244 (1)t a a a a ，13213442 (1)t a a a a ，13243241 (1)t a a a a ，13243142 (1)t a a a a 六项， 各项列标排列的逆序数分别为(3214)3t ， (3241)4t ， (3124)2 t ， (3142)3 t ， (3421)5t ，(3412)4 t ， 故所求为13223144 1a a a a ， 132134421a a a a ， 13243241 1a a a a 。 5.按照行列式的定义,求行列式 n n 0 000100200100 的
值. 解：根据行列式的定义，非零的乘积项只有 1,12,21,1(1)t n n n nn a a a a L ， 其中(1)(2) [(1)(2)21]2 n n t n n n L ，故行列式的值等于： (1)(2) 2 (1) ! n n n 6. 根据行列式定义,分别写出行列式x x x x x 1 11 1231112 1 2 的 展开式中含4 x 的项和含3 x 的项. 解：展开式含4 x 的乘积项为 4 11223344 (1)(1)22t a a a a x x x x x 含3 x 的乘积项为13 12213344 (1)(1)1t a a a a x x x x 8. 利用行列式的性质计算下列行列式： 解 ： (1) 41 131123421 1234 1111 1 1 1 1 410234123410121 10310 ()341234120121 2412341230321 r r r r r r r r r r r
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)
线性代数课后习题答案全)习题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.
第一章 行列式 §1 行列式的概念 1． 填空 (1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。 (2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构 成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为偶排列，该项的符号为 号。 (4) 在6阶行列式中， 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ，含 324314516625a a a a a a 的项的符号为 。 2． 用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。 3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。 证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。对于任意奇排 列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。
4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多，则此行列式为0，为什么？ 5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？ （提示：利用3题的结果） 6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式 （1）2 011 411 8 3 --- （2）2 2 2 1 11a b c a b c
第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题
线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0
（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定， 4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： 多练习方能成大财 （1）?? ??????? ???711 00251020214214； （2）????? ? ??? ???-26 0523******** 12； （3）???? ??????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）?? ??? ???????---d c b a 100 110011001 解 (1) 7110025102021421434327c c c c --0 1001423102 02110214--- =34)1(14 3102211014+-?---
线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： (1) ； 21-1 2 解：；5)1(1222 1-12=-?-?= (2) ；1 1 12 2 ++-x x x x 解： ； 1)1)(1(11 1232222--=-++-=++-x x x x x x x x x x (3) ;22b a b a 解： ;222 2ba ab b a b a -= (4) ;5 984131 11 解： ;59415318119318415115 984131 11=??-??-??-??+??+??= (5) ;0 00 00d c b a 解： ;00000000000000 00=??-??-??-??+??+??=d c b a d b c a d c b a (6) .132213321 解： .183211322133332221111 322133 21=??-??-??-??+??+??=
2.求下列排列的逆序数： （1）34215； 解：3在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；4的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2；1的前面有3个比它大的数，逆序数为3；5的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为5. （2）4312； 解：4在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面有1个比它大的数，逆序数为1；1的前面有2个比它大的数，逆序数为2；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2.因此排列的逆序数为5. （3）n(n-1)…21； 解：1的前面有n-1个比它大的数，逆序数为n-1；2的前面有n-2个比它大的数，逆序数为n-2；…；n-1的前面有1个比它大的数，逆序数为1；n 的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为n(n-1)/2. (4）13…(2n-1)(2n) …42. 解：1的前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面没有比它大的数，逆序数为0；…；2n-1的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2n-2个比它大的数，逆序数为2n-2；4的前面有2n-4个比它大的数，逆序数为2n-4；…；2n 的前面有2n-2n 个比它大的数，逆序数为2n-2n.因此排列的逆序数为n(n-1). 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□， 即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： (1) 71100 251020214214 ； 解： 7110025102 021 4214343 27c c c c --0 1 14 23102021 10214 ---= 34)1(14 3 10 2211014 +-?--- =- 14 3 10 2211014 --3 2 1 132c c c c ++- 14 17172 1099 -= 0. (2) ;0111101111011 110 解： 0111101111011 1104342c c c c --0 1 1 1 1 10110111000--=14)1(1 11 101 1 1+-?-- =-1 1 1 101 01 1-- 12c c +-1 2 1111 001-=- 1 2 11-=-3.
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a
解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1
解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6
线性代数习题一 说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设行列式11 121321 222331 3233a a a a a a a a a =2，则1112 13 31323321312232 2333 333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3 D ．6 2．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1 B ．E -A C ．E +A D ． E -A -1 3．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ） A ．?? ???A B 可逆，且其逆为-1-1 ?? ???A B B ．?? ??? A B 不可逆 C ．?? ? ??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ??? B A D ．?? ???A B 可逆，且其逆为-1-1?? ?? ? A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是 （ ） A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关 B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0 C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T C ．（1，-1，-2，0）T D ．（2，-6，-5，-1）T 6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ）
第四章 向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.
第一章 行列式 习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。 （反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。 如果0=b ，则有 a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。 所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ?。
第一章 行列式 1、 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4、
(2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3、 (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a )、 (4)y x y x x y x y y x y x +++、 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3)、 2、 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4;
解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32、(3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1、(4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3、 (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2、 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个)
线性代数习题及答案 习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)= (1) 2 n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+… +1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式4512 3 12123 122x x x D x x x = 的展开式中包含3x 和4 x 的项. 解： 设 123412341234 () 41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ = -∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素 的行下标，则4D 展开式中含3 x 项有 (2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=- 4D 展开式中含4x 项有 (1234)4(1)2210x x x x x τ-????=. 5. 用定义计算下列各行列式. (1) 0200 001030000004 ； (2)1230 0020 30450001 . 【解】(1) D =(1)τ(2314) 4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式.
高数选讲线性代数部分作业 1．已知n阶方阵满足A2+2A-3I＝O，则(A+4I)-1为 . 2．设n阶方阵满足 的代数余子式，则为（）。 3．已知n阶方阵 ，则A中所有元素的代数余子式之和为（）。 4．设有通解k[1,-2,1,3]T+[2,1,1,4]T,其中k是任意常数，则方程组必有一个特解是（） 5．设A与B是n阶方阵，齐次线性方程组＝0与＝0有相同的基础解系，则在下列方程组中以为基础解系的是（） (A) (B) (C) (D) 6．设A、B为四阶方阵，( ) （A）1．（B）2. （C）3. （D）4 7．设n阶矩阵A与B等价，则（）成立。 (A)detA=detB (B) detAdetB (C)若detA0，则必有detB0(D) detA=－detB 8．设是四维非零向量组，是的伴随矩阵，已知方程组 的基础解系为k（1，0，2，0）T,则方程组的基础解系为（） (A) (B) (C) (D) 9．设A是矩阵，则下列命题正确的是：（） （A）若R(A)＝m，则齐次方程组Ax＝0只有零解。 （B）若R(A)＝n，则齐次方程组Ax＝0只有零解。 （C）若m 11．四元非齐次线性方程组的通解为 x＝（1，－1，0，1）T＋k（2，－1，1，0）T,k为任意常数，记 则以下命题错误的是 （A） (B) (C) (D) 12．知线性方程有无穷多解，求的取值并求通解。 13．设A是阶方阵，是A的两个不同的特征值，是A的对应于的线性无关特征向量，是A的对应于的线性无关特征向量，证明线性无关。14．已知矩阵的秩为1，且是的一个特征向量，（1）求参数; （2）求可逆矩阵和对角矩阵，使得 15．设5阶实对称矩阵满足，其中是5阶单位矩阵，已知的秩为2，（1）求行列式的值；（2）判断是否为正定矩阵？证明你的结论。 （2）的特征值全为正数，所以是正定矩阵。 16．． 17． 18． 《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n : 习题1.3 1. 设11 1213 21 22233132330a a a D a a a a a a a ==≠, 据此计算下列行列式(要求写出计算过程): (1) 31 3233 21 2223111231a a a a a a a a a ; (2) 11 1312 1221232222313332 32 235235235a a a a a a a a a a a a ---. 分析 利用行列式得性质找出所求行列式与已知行列式的关系. 解 (1) 31 323321 222311 12 31 a a a a a a a a a 13 R 111213 21 222331 3233 a a a a a a a a a -=a -. (4) 方法一 11 13121221 23222231 333232 235235235a a a a a a a a a a a a ---23 5C C +111312212322313332 232323a a a a a a a a a 提取公因子 11 13122123223133 32 6a a a a a a a a a 23 C 111213 21 222331 32 33 6a a a a a a a a a -=6a -. 方法二 注意到该行列式的第二列均为2个数的和, 可用行列式的性质5将该行列式分成2个行求和, 结果与方法一相同. 2. 用行列式性质计算下列行列式(要求写出计算过程): (1) 19981999 20002001 20022003200420052006; (2) 1 11 a b c b c a c a b +++; (3) 11121321 22233132 33 x y x y x y x y x y x y x y x y x y ; (4) 10 010220 033040 04 --; (5) 111112341410204004; (6) 111011 01101101 11 ; (7) 2 11 4 1 120110299 ---; (8) 222222a b c a a b b c a b c c c a b ------. 分析 第(1)至第(4)小题可利用行列式性质求解; 第(5)至第(9)小题是采用归结化简为上 (下)三角行列式求解. 第一章 行列式 4.计算下列各行列式： （1）???? ????? ???71 10 025********* 4； （2）????????????-26 52321121314 1 2； （3）????????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）????? ???? ???---d c b a 1 00 110011001 解 (1) 71100251020214 214 34327c c c c --0 10014 2310202110 214---=3 4)1(1431022 11014+-?---=14 31022110 14-- 3 21132c c c c ++14 171720010 99-=0 (2) 260 5232112131 412-24c c -2605032122130 412-24r r -0412032122130 412- 14r r -0 000032122130412-=0 (3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4 (4) d c b a 100 110011001---21ar r +d c b a ab 1 001 100 110 10---+=12)1)(1(+--d c a ab 1011 1--+ 2 3dc c +0 10111-+-+cd c ad a a b =23)1)(1(+--cd ad ab +-+111=1++++ad cd ab abcd 5.证明: (1)1 11222 2b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3 3+; (3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2 2222222 2 2222222 =++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; (4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-?; (5)1 22 110000 0100001a x a a a a x x x n n n +-----ΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛn n n n a x a x a x ++++=--11 1Λ. 证明 (1)0 0122222221 312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a (2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开 按第一列 左边 bz ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分 bz ay y x by ax x z bx az z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分《线性代数》同济大学版-课后习题答案详解
线性代数课后习题答案 1.3
(完整版)线性代数课后习题答案第1——5章习题详解
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