函数性质综合运用（讲义）
?课前预习
1.填空：
①如果我们将方程组中的两个方程看作是两个函数，则方程组的解恰好对应
两个函数图象的__________________；方程x2+3x-1=2x+1的根对应两个函数图象交点的__________．
特别地，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是二次函数______________的图象与______交点的横坐标．当?＞0时，二次函数图象与x轴有_____个交点；当?=0时，与x轴有_____个交点；当?＜0时，与x轴______交点．
②y=2x+1与y=x2+3x+1的交点个数为__________．
2.借助二次函数图象，数形结合回答下列问题：
①当a＞0时，抛物线开口_____，图象以对称轴为界，当x_____时，y随x
的增大而增大；该二次函数有最____值，是_______；
②当a＜0时，抛物线开口____，图象以对称轴为界，当x_____时，y随x的
增大而增大；该二次函数有最___值，是______．
③已知二次函数y=x2+2x-3．当-5＜x＜3时，y的取值范围为__________；当
1＜x≤5时，y的取值范围为__________．
注：二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为
2
4
()
24
b a
c b
a a
--，．
?知识点睛
a b c k ????
??
?????
??????
???????①坐标代入表达式，得方程或不等式表达式与坐标②借助表达式设坐标①判断，，，等字母符号函数图象与性质②借助图象比大小、找范围
③图象平移：左加右减，上加下减
将方程、不等式转化为函数，函数与方程、不等式数形结合，借助图象分析
??????????????????
???????????????
??
第一步：设坐标
利用所在函数表达式或坐标间关系横平竖直第二步：坐标相减竖直线段：纵坐标相减，上减下水平线段：横坐标相减，右减左表达线段长①倾斜程度不变借助相似，利用竖直线段长表达斜放置②倾斜程度变化 ? 精讲精练
1. 抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如表所示．
y 轴的右侧；③抛物线一定经过点(3，0)；
④在对称轴左侧，y 随x 增大而减小；⑤一元二次方程ax 2+bx +c =4的解为x =-1或x =2．由表可知，正确的说法有______个．
2. 已知二次函数y =(x -h )2+1（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况
下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（ ） A ．5或1
B ．-1或5
C ．1或-3
D ．1或3
3. 已知二次函数y =ax 2-bx -2（a ≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点(-1，0)，
当a -b 为整数时，ab 的值为（ ）
A ．34或1
B ．14或1
C ．34或12
D ．
14或34
4. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点(-1，0)，对称
轴为直线x =2．给出下列结论：①4a +b =0；②9a +c ＞3b ；③8a +7b +2c ＞0；④
若点A(-3，y1)，B(
1
2
-，y2)，C(
7
2
，y3)在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；⑤若
方程a(x+1)(x-5)=-3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜-1＜5＜x2．
其中正确的结论有_______（填写序号）．
5.若m，n（n＜m）是关于x的一元二次方程1-(x-a)(x-b)=0的两个根，且b＜
a，则m，n，b，a的大小关系为__________．
6.设关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＜1＜
x2，那么a的取值范围是（）
A．
22
75
a
-< 2 5 a> C． 2 7 a<-D． 2 11 a -<< 7.若关于x的方程x2+2kx+3k=0的两根都在-1和3之间（不含-1，3），则k的 取值范围是_______________． 8.已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A(m+1，n)，B(m-9， n)两点，则n的值为（） A．16 B．18 C．20 D．25 9.如图，在平面直角坐标系中，双曲线 2 y x =与直线y=x交于A，B两点，点C 是x轴上一动点，过点C作x轴垂线，交双曲线于点P，交直线y=x于点Q，当PQ长为1时，点Q的坐标为__________________． 第9题图第10题图 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线112y x = +与抛物线211 322 y x x =--交于A ，B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物 线上一动点（不与点A ，B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ．设点P 的横坐标为m ． （1）设线段PC 的长为n ，则n 与m 之间的函数关系式为______________； （2）线段PD 长的最大值为______________． 11. 如图，抛物线224 233 y x x =--与x 轴正半轴交于点A ，交y 轴于点B ．点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PC ，过点B 作BC ⊥PC 于点C ， 连接PB ．当△BCP 为等腰直角三角形时，线段PC 的长为__________． 12. 如图，边长为8的正方形C 经过点A ，点P 是抛物线上点A ，C 间的一个动点（含端点），于点E ，点D 的坐标为(0，6)，连接PD ．在变化过程中，PD 值，则PD -PE =___________． 13. 某班“数学兴趣小组”对函数y =x 2-2|x |如下，请补充完整． （1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x 轴有_____个交点，所以对应方程x 2-2|x |=0有_____个实数根； ②方程x 2-2|x |=2有______个实数根； ③关于x的方程x2-2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是___________． 【参考答案】 ? 课前预习 1. ①交点的坐标；横坐标；y =ax 2+bx +c （a ≠0）；x 轴；2；1；没有； ②2 2. ①向上；2b a >-；小；244ac b a -； ②向下；2b a <-；大；244ac b a -； ③-4≤y ＜12；0＜y ≤32 ? 精讲精练 1. 4 2. B 3. A 4. ①③⑤ 5. n ＜b ＜a ＜m 6. D 7. -1＜k ≤0 8. D 9. (-1，-1)或(1，1)或(-2，-2)或(2，2) 10. （1）2142n m m =-++；（2 11. 1722或 12. 2 13. （1）0；（2）图略；（3）略； （4）①3；3；②2；③-1＜a ＜0． 专题一 函数图象与性质的综合应用 (时间：45分钟 满分：100分) 一、选择题(每小题7分，共35分) 1．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是 ( ) A ．y ＝x 3＋x B ．y ＝－log 2x C ．y ＝3x D ．y ＝－1 x 2．设函数f (x )是定义在R 上周期为3的奇函数，若f (1)<1，f (2)＝2a －1 a ＋1 ，则 ( ) A ．a <1 2且a ≠－1 B ．－10 D ．－10f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ????43＋f ???? －43的值为________． 7．已知函数f (x )＝? ??? ? x 2＋x (x ≥0)，－x 2－x (x <0)， 则不等式f (x )＋2>0的解集是________． 8．设a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)有最小值，则不等式log a (x －1)>0的解集为 ___________． 函数及其性质专题 A 组题 1. 已知函数()133x x f x ?? =- ??? ，则()f x （ ） A. 是奇函数，且在R 上是增函数 B. 是偶函数，且在R 上是增函数 C. 是奇函数，且在R 上是减函数 D. 是偶函数，且在R 上是减函数 【答案】A 【解析】()()113333x x x x f x f x --?? ??-=-=-=- ? ??? ??，所以该函数是奇函数，并且3x y =是增函数， 13x y ??= ??? 是减函数，根据增函数?减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A. 2.函数33()11f x x x =++-，则下列坐标表示的点一定在函数f (x )图象上的是（ ） A ．(,())a f a -- B ．(,())a f a - C ．(,())a f a - D ．(,())a f a --- 【解析】可验证函数()f x 满足()()f x f x -=，()f x 是偶函数，故选B . 3.已知函数21,0 ()cos ,0x x f x x x ?+>=?? ≤，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 是增函数 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 的值域为[)1,-+∞ 【解析】当0x ≤时，()cos [1,1]f x x =∈-，当0x >时，),1(1)(2+∞∈+=x x f ，故选.D 4.如果奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么()f x 在区间[7,3]--上是（ ） A ．增函数且最小值是-5 B ．增函数且最大值是-5 C ．减函数且最大值是-5 D ．减函数且最小值是-5 【解析】奇函数图像关于原点对称，故由题()f x 在[7,3]--上递增，故在[7,3]--上， m i n ()( 7)(7)5f x f f =-=-=-，故选.A 5.若函数()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足(1)1,(2)2f f ==，则(3)(4)f f -=( ) A.1- B.1 C. 2- D. 2 【解析】因为函数()f x 是R 上周期为5的奇函数，所以(3)(4)(2)(1)(1)f(2) 1.f f f f f -=---=-=-故选.A 6.函数f (x )＝lg|sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 【解析】当,x k k Z π≠∈时，()()f x f x -=且()lg |sin()|lg |sin |()f x x x f x ππ+=+==，故选.C 7. 已知函数f (x )恒满足()(2)f x f x =-，且当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f 1 ()2 - ，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系( ) 教学内容—正反比例函数的图像和性质知识精要 1、掌握正、反比例函数的概念； 2、掌握正、反比例函数的图象的性质； 3、会用待定系数法求正、反比例函数的解析式。 热身练习 一 填空： 1、若正比例函数13 52 )1(---=m m x m y 的图象经过二、四象限，则这个正比例函数的解析式 是 。3y x =- 2、已知点P （1，a ）在反比例函数x k y = （k ≠0）的图像上，其中322++=m m a （m 为实数），则这个函数的图像在第 象限。一、三 3.已知函数y = (m 2 -2)32-+m m x 是反比例函数，且它的图象在第一、三象限，那么m= ；-2 4.反比例函数4 y x =-，当x > 0时y ，这部分图象在第 象限内；当x < 0时，y ，这部分图象在第 象限内；<0,四，>0，二 5.如图，正比例函数kx y =（k ＞0）与反比例函数x y 3 =的图像交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于 B ，CD ⊥x 轴于D ，则ABCD S 四边形＝ 。6 名称 k 图像 取值范围 与x 轴交点 与y 轴交点 增减性 正比例函数()0y kx k =≠ k>0 一、三象限(直线) x 、y 任意实 数 (0,0) (0,0) y 随x 增大而增大 K<0 二、四象限(直线) x 、y 任意实 数 (0,0) (0,0) y 随x 增大而减小 反比例函数()0k y k x = ≠ k>0 一、三象限(双曲线) , 无 无 在每个象限内, y 随x 增大而减小 K<0 一、三象限(双曲线) , 无 无 在每个象限内, y 随x 增大而增大 专题2.6 函数性质综合运用 1. 【山东改编，理10】已知当时，函数的图象与的图象 有且只有一个交点，则正实数的取值范围是 【答案】 2. 【天津改编，理6】已知奇函数在R 上是增函数， .若， ，，则a ，b ，c 的大小关系为 【答案】 【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，， 从而是上的偶函数，且在上是增函数， ， ，又，则，所以即， ， 所以． 3. 【课标3，理15】设函数则满足的x 的取值范围是 _________. 【答案】 []0,1x ∈()2 1y mx = -y m = m (] [)0,13, +∞()f x ()()g x xf x =2(log 5.1)a g =-0.8(2)b g =(3)c g =b a c <<()f x R 0x >()0f x >()()g x xf x =R [0,)+∞22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=0.822<4 5.18<<22log 5.13<<0.8 202 log 5.13<<<0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <?，，，， 1 ()()12f x f x +->1,4?? - +∞ ??? 4. 【北京，理13】能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的 一组整数a，b，c的值依次为______________________________． 【答案】-1，-2，-3（答案不唯一） 5. 【山东，理15】若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单 调递增，则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数的序号为 . ① ② ③ ④ 【答案】①④ 6. 【北京，理14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、 纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名 工人下 午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3. ①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________. ②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________. ()x e f x 2.71828e =()f x ()f x M M ()2x f x -=()3x f x -=()3f x x =()22f x x = + 函数性质综合运用（讲义） ?课前预习 1.填空： ①如果我们将方程组中的两个方程看作是两个函数，则方程组的解恰好对应 两个函数图象的__________________；方程x2+3x-1=2x+1的根对应两个函数图象交点的__________． 特别地，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是二次函数______________的图象与______交点的横坐标．当?＞0时，二次函数图象与x轴有_____个交点；当?=0时，与x轴有_____个交点；当?＜0时，与x轴______交点． ②y=2x+1与y=x2+3x+1的交点个数为__________． 2.借助二次函数图象，数形结合回答下列问题： ①当a＞0时，抛物线开口_____，图象以对称轴为界，当x_____时，y随x 的增大而增大；该二次函数有最____值，是_______； ②当a＜0时，抛物线开口____，图象以对称轴为界，当x_____时，y随x的 增大而增大；该二次函数有最___值，是______． ③已知二次函数y=x2+2x-3．当-5＜x＜3时，y的取值范围为__________；当 1＜x≤5时，y的取值范围为__________． 注：二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为 2 4 () 24 b a c b a a --，． ?知识点睛 a b c k ???? ?? ????? ?????? ???????①坐标代入表达式，得方程或不等式表达式与坐标②借助表达式设坐标①判断，，，等字母符号函数图象与性质②借助图象比大小、找范围 ③图象平移：左加右减，上加下减 将方程、不等式转化为函数，函数与方程、不等式数形结合，借助图象分析 ?????????????????? ??????????????? ?? 第一步：设坐标 利用所在函数表达式或坐标间关系横平竖直第二步：坐标相减竖直线段：纵坐标相减，上减下水平线段：横坐标相减，右减左表达线段长①倾斜程度不变借助相似，利用竖直线段长表达斜放置②倾斜程度变化 ? 精讲精练 1. 抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如表所示． y 轴的右侧；③抛物线一定经过点(3，0)； ④在对称轴左侧，y 随x 增大而减小；⑤一元二次方程ax 2+bx +c =4的解为x =-1或x =2．由表可知，正确的说法有______个． 2. 已知二次函数y =(x -h )2+1（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况 下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（ ） A ．5或1 B ．-1或5 C ．1或-3 D ．1或3 3. 已知二次函数y =ax 2-bx -2（a ≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点(-1，0)， 当a -b 为整数时，ab 的值为（ ） A ．34或1 B ．14或1 C ．34或12 D ． 14或34 4. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点(-1，0)，对称 轴为直线x =2．给出下列结论：①4a +b =0；②9a +c ＞3b ；③8a +7b +2c ＞0；④ 《一次函数的性质及运用》专题练习 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列图像中，表示y 是x 的函数有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．下列函数中自变量的取值范围选取错误的是 ( ) A ．y ＝x 2中x 取全体实数 B ．y ＝11x -中x ≠0 C ．y ＝11 x +中x ≠－1 D ．y x ≥1 3．某小汽车的油箱可装汽油30升，原有汽油10升，现再加汽油x 升，如果每升汽油2.6元，则油箱内汽油的总价y （元）与x （升）之间的函数关系是 ( ) A ．y ＝2.6x(0≤x ≤20) B ．y ＝2.6x ＋26(0 《函数图象与性质的综合应用》教学设计 一、内容及其解析 1．内容：函数图象与性质的综合应用。 2．解析： （1）函数图象是高考的必考内容，其中作图、识图、用图也是学生必须掌握的内容。 （2）函数的性质是高考的必考内容，它是函数知识的核心部分．函数的性质包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性与最大值、最小值等，在历年的高考试题中函数的性质都占有非常重要的地位。 (3)函数图象形象地显示了函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等)，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，因此常用函数的图象研究函数的性质。 二、目标及其解析 1.目标：（1）能根据要求作图、识图、用图，（2） 会用函数的性质比较函数值的大小、求函数值、解不等式、求二次函数的最值问题。 2.解析： （1）作图一般有两种方法：描点法、图象变换法．特别是图象变换法，有平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律；识图时，要留意它们的变化趋势，与坐标轴的交点及一些特殊点，特别是对称性、周期性等特点，应引起足够的重视；用图，主要是数形结合思想的应用。 （2）利用函数的性质比较函数值的大小、求函数值、解不等式、求二次函数的最值问题，其实是考查考生能否用运动变化的观点观察问题、分析问题、解决问题，特别是函数的最值问题，它是高考中的重要题型之一，所以要掌握求函数最值的几种常用方法与技巧，灵活、准确地列出函数模型。 三、问题与例题 问题1：函数有哪些性质，用这些性质可以解决哪些数学问题？ 题型一 函数求值 例1 已知f (x )＝????? 2t x (x <2)，log t (x 2－1) (x ≥2)， 若f (2)＝1，则f [f (5)]＝________. 设计意图：求解分段函数的函数值应注意验证自变量的取值范围．易错点是忽视自变量取值范围的限制。 变式训练1 已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2 009)＋f (－2 010)的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 题型二 函数与不等式 学习 目标核心素养 １．会根据函数奇偶性求函数值或解析式．２．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题.１．利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养． ２．借助奇偶性与单调性的应用提升逻辑推理、数学运算素养. 用奇偶性求解析式 【例１】（１）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）＝—x＋１，求f（x）的解析式； （２）设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝错误!，求函数f（x），g（x）的解析式． [思路点拨] （１）错误!错误! 错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误! （２）错误!错误! 错误!错误! 错误!错误!错误! [解] （１）设x<0，则—x>0， ∴f（—x）＝—（—x）＋１＝x＋１， 又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数， ∴f（—x）＝—f（x）＝x＋１， ∴当x<0时，f（x）＝—x—１． 又x＝0时，f（0）＝0， 所以f（x）＝错误! （２）∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数， ∴f（—x）＝f（x），g（—x）＝—g（x）． 由f（x）＋g（x）＝错误!，１ 用—x代替x得f（—x）＋g（—x）＝错误!， ∴f（x）—g（x）＝错误!，２ （１＋２）÷２，得f（x）＝错误!； （１—２）÷２，得g（x）＝错误!. 把本例（２）的条件“f（x）是偶函数，g（x）是奇函数”改为“f（x）是奇函数，g（x）是偶函数”，再求f（x），g（x）的解析式． [解] ∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数， ∴f（—x）＝—f（x），g（—x）＝g（x）， 又f（x）＋g（x）＝错误!，１ 用—x代替上式中的x，得 f（—x）＋g（—x）＝错误!， 即f（x）—g（x）＝错误!.２ 联立１２得 f（x）＝错误!，g（x）＝错误!. 利用函数奇偶性求解析式的方法 １“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设. ２要利用已知区间的解析式进行代入. ３利用f x的奇偶性写出—f x或f—x，从而解出f x. 提醒：若函数f x的定义域内含0且为奇函数，则必有f0＝0，但若为偶函数，未必有f0 ＝0． 函数单调性和奇偶性的综合问题 [探究问题] 一、选择题 1．(2016·广西桂林中学高一期中上)下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是( ) A ．y ＝log 3x B ．y ＝3|x | C ．y ＝x 12 D ．y ＝x 3 2．(2016·荆州模拟)已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，则f ????20152等于( ) A.3＋1 B.3－1 C ．－3－1 D ．－3＋1 3．(2016·西安模拟)设f (x )是定义在实数集上的函数，且f (2－x )＝f (x )，若当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ????13 C ．{x |x <0或x >4} D ．{x |0 函数综合练习 1 、映射、函数的定义； 2 、函数的基本性质（单调性，奇偶性，对称性，周期性） ； 3、基本函数（二次函数，幂函数，指数函数，对数函数）； 4、简单函数方程 5、极限、导数的定义、性质及其应用； 映射：（1）定义域中每个元素都在值域中有象（2）定义域中每个元素只对应一个象（良好定义） 单射：:f A B →，12x x ?≠都有12()()f x f x ≠ 满射：:f A B →，,,..()y B x A s t f x y ?∈?∈= 双射：是单射又是满射 逆映射：只有在:f A B →是双射才存在f 的逆映射，1()()f x y f y x -=?= 函数：定义域和值域元素都是数值的映射。 对于函数:f A B →： 单调性：1212,,x x x x A ?<∈，都有12()()f x f x <12(()())f x f x >，那么就称函数()f x 在区间A 上是单调增（减）函数 奇偶性：如果x A ?∈，都有x A -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；如果x A ?∈，都有x A -∈， 且()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数 周期性：存在非零常数T ，使得x A ?∈，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数 二次函数：2 ()f x ax bx c =++，最值：0a <时，开口向下，在2b a -处取最大值244ac b a -；0a >时，开口向 上，在2b a -处取最小值2 44ac b a -。 幂函数： ()a y x a =∈ 指数函数：(0,1)x y a a a =>≠ 定义域：，值域： + 单调性：01a <<时，单调递减；1a >时，单调 递增。 1、不等式)2(log log )1()32()1(->---x x x x 成立的一个充分不必要条件是 （ ） （A ）2>x （B ）4>x （C ）21< 心智家三优教育高一特训营数学教学进度表 ¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、 集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. ¤知识要点： 1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性. 2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ???，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集. 3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ???表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或 N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R . 4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、?表示，例如3N ∈， 2N -?. ¤例题精讲： 【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数. 【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B . 【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2 y x =的自变量的值组成的集合. *【例4】已知集合2{| 1}2 x a A a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ． 函数的性质 要求层次 重点 难点 单调性 C ①概念和图象特征 ②熟知函数的性质和图象 ①函数单调性的证明和判断 ②简单函数单调区间的求法 奇偶性 B 简单函数奇偶性的判断和证明 ①复合函数的奇偶性判断与证明 *②抽象函数的奇偶性 周期性 B 简单函数周期性的判断和证明 ①复合函数的周期性判断与证明 *②抽象函数的周期性 板块一：函数的单调性 （一）知识内容 1.函数单调性的定义： ①如果函数()f x 对区间D 内的任意12,x x ，当12x x <时都有()()12f x f x <，则称()f x 在D 内是增函数； 当12x x <时都有()()12f x f x >，则()f x 在D 内时减函数． ②设函数()y f x =在某区间D 内可导，若()0f x '>，则()y f x =为x D ∈的增函数；若()0f x '<，则 ()y f x =为x D ∈的减函数． 2.单调性的定义①的等价形式： 设[]12,,x x a b ∈，那么 ()() ()1212 0f x f x f x x x ->?-在[],a b 是增函数； ()()()1212 0f x f x f x x x - 即若()f x 在区间D 上递增（递减）且1212()()f x f x x x ．（1x 2,x D ∈）． ①比较函数值的大小②可用来解不等式．③求函数的值域或最值等 （二）主要方法 1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集； 2．判断函数的单调性的方法有： ⑴用定义 用定义法证明函数单调性的一般步骤： ①取值：即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且12x x < ②作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形． ③定号：确定差12()()f x f x -（或21()()f x f x -）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论． ④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间． ⑵用已知函数的单调性； ⑶利用函数的导数； ⑷如果()f x 在区间D 上是增（减）函数，那么()f x 在D 的任一非空子区间上也是增（减）函数； ⑸图象法； ⑹复合函数的单调性结论：“同增异减” ； 复合函数的概念： 如果y 是u 的函数，记作()y f u =，u 是x 的函数，记为()u g x =，且()g x 的值域与()f u 的定义域的交集非空，则通过u 确定了y 是x 的函数[()]y f g x =，这时y 叫做x 的复合函数，其中u 叫做中间变量，()u f u =叫做外层函数，()u g x =叫做内层函数． 注意：只有当外层函数()f u 的定义域与内层函数()g x 的值域的交集非空时才能构成复合函数[()]f g x ． ⑺在公共定义域内，增函数()f x +增函数()g x 是增函数；减函数()f x +减函数()g x 是减函数；增函数()f x -减函数()g x 是增函数；减函数()f x -增函数()g x 是减函数． ⑻函数(0,0)b y ax a b x =+>>在,,b b a a ????-∞-+∞ ??? ?????或上单调递增；在,00b b a a ????-? ??? ????或，上是单调递减． （三）典例分析 【例1】根据函数单调性的定义，证明函数3()1f x x =-+在(,)-∞+∞上是减函数． 【例2】证明函数()f x x =-在定义域上是减函数． 【例3】讨论函数2()23f x x ax =-+在(2,2)-内的单调性． 一、选择题 1．(2016·广西中学高一期中上)下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是( ) A ．y ＝log 3x B ．y ＝3|x | C ．y ＝x 12 D ．y ＝x 3 2．(2016·荆州模拟)已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，则f ? ?? ?? 20152等于( ) A. 3＋1 B. 3－1 C ．－3－1 D ．－ 3＋1 3．(2016·模拟)设f (x )是定义在实数集上的函数，且f (2－x )＝f (x )，若当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ? ????13 2019-2020学年高中数学 1.3函数的基本性质讲义 新人教A 版必修 1 一、函数的单调性 课型A 例1. 求证：y =()3,4上递增。 证明略 例2. 判断函数x x x f 1 )(+=在[)1,0-上的单调性，并证明。 单调减 证明略 例3. 求下列函数的单调区间： ① 22y x x =- 单调减区间(),1-∞ 单调增区间()1,+∞ ② y =单调减区间(),0-∞ 单调增区间()2,+∞ ③ 22y x x =- 单调减区间(),0(1,2)-∞和 单调增区间()2,(0,1)+∞和 ④ 22y x x =- 单调减区间()1,0-和()1,+∞ 单调增区间(),1-∞-和()0,1 例4. 若2()3f x x ax =-+-在(],2-∞-上递增，求a 的取值范围。 （4a ≥-） 例5．函数y =的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值等于 （ D ） A 10 B 9 D 6 二、函数的奇偶性 课型A 例1. 判断下列函数的奇偶性： ○1 1 22)(2++=x x x x f ； 非奇非偶函数 ○ 2 x x x f 2)(3-=； 奇函数非偶函数 ○ 3 a x f =)( （R x ∈） 当0a =时，既是奇函数又是偶函数 当0a ≠时， 是偶函数非奇函数 ○4 ???+-=)1()1()(x x x x x f . 0,0<≥x x 奇函数非偶函数 例2．已知函数53()8(2)=10f x x ax bx f =++--且，那么(2)f 等于 ( A ) A 26- B 18- C 10- D 10 例3．已知函数2()f x ax bx c =++是偶函数，那么是32()g x ax bx cx =++是（ A ） A.奇函数 B. 偶函数 C. 既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数 例4. 已知2()(11)1 x a f x x x bx +=-≤≤++为奇函数 ① 求,a b 的值 （0，0） ② 判断()f x 的单调性并证明。 解：（1）()f x 为奇函数 (0)0f ∴= (0)0,01a f a ∴= =∴= 又11(1)(1),,022f f b b b --=-∴=-∴=-+ （2）()f x 在[]1,1-上单调增。证明略 函数与导数 1．（1）函数f (x )＝ 的定义域是 ． 解：[2，3) (3，4)． （2）函数f (x )＝lg(x 2 －4x －21)的定义域是___________． 解：(7，＋∞) ∪(－∞，－3)． （3）函数2()f x =的定义域为 ． 解：[3,)+∞． 说明：考查函数的定义域，理解函数有意义的条件． 2．（1）若f (x )＝2x ＋3，g (x +2)= f (x )，则g (x )的表达式为________________． 解： 2x －1． （2）若一次函数y =f (x )在区间[－1，2]上的最大值为3，最小值为1，则f (x )的解析式为_____． 解：23x+53，或－23x+73 ． （3）已知f (x )=3x +2则 f n x f f f 个)))(((=________________． 解： 3n x +3n －1． （4）设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f = ． 解： 132 ． （5）周长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，圆的半径 为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式为f (x ) =_____________． 解：－(π2+2)x 2 +lx ，0 函数的性质综合应用 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期： ? 训练目标 函数的单调性、最值、奇偶性、周期性. 训练题型 (1)判定函数的性质;（2)求函数值或解析式;(3)求参数或参数范围;(４)和函数性 质有关的不等式问题． 解题策略 （１)利用奇偶性或周期性求函数值(或解析式)，要根据自变量之间的关系合理 转换;(２)和单调性有关的函数值大小问题,先化到同一单调区间；（3)解题时可以 根据函数性质作函数的草图,充分利用数形结合思想． 一、选择题 1．(2016·广西桂林中学高一期中上)下列函数中,既是单调函数又是奇函数的是( ） A ．ｙ=ｌｏg 3x ? ?? ?B.y ＝3|ｘ| C ．ｙ=ｘ12 ?? D.ｙ＝x 3 ２.(2016·荆州模拟)已知f （x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(０,１)时,ｆ（x )＝3ｘ-１,则ｆ错误!未定义书签。等于( ) Ａ．＼r （3)+1 ? ? B.错误!未定义书签。－1 Ｃ.-错误!未定义书签。-1 ??? ? D.－错误!未定义书签。＋1 3.(2016·西安模拟)设f (ｘ)是定义在实数集上的函数，且f （2－x )＝ｆ（ｘ)，若当ｘ≥1时，f （x )＝ln x ,则有（ ) A ．f 错误!未定义书签。专题一 函数图象与性质的综合应用
函数性质综合应用专题
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高考数学一轮复习： 专题2.6 函数性质综合运用(练)
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《一次函数的性质及运用》专题练习(含答案)
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