1.欧氏距离(Euclidean Distance) 欧氏距离是最易于理解的一种距离计算方法，源自欧氏空间中两点间的距离公式。(1)二维平面上两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的欧氏距离： (2)三维空间两点a(x1,y1,z1)与b(x2,y2,z2)间的欧氏距离： (3)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与b(x21,x22,…,x2n)间的欧氏距离： 也可以用表示成向量运算的形式： 2.曼哈顿距离(Manhattan Distance) 从名字就可以猜出这种距离的计算方法了。想象你在曼哈顿要从一个十字路口开车到另外一个十字路口，驾驶距离是两点间的直线距离吗？显然不是，除非你能穿越大楼。实际驾驶距离就是这个“曼哈顿距离”。而这也是曼哈顿距离名称的来源，曼哈顿距离也称为城市街区距离(City Block distance)。 (1)二维平面两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的曼哈顿距离 (2)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与b(x21,x22,…,x2n)间的曼哈顿距离 5.标准化欧氏距离(Standardized Euclidean distance ) (1)标准欧氏距离的定义
标准化欧氏距离是针对简单欧氏距离的缺点而作的一种改进方案。标准欧氏距离的思路：既然数据各维分量的分布不一样，好吧！那我先将各个分量都“标准化”到均值、方差相等吧。均值和方差标准化到多少呢？这里先复习点统计学知识吧，假设样本集X的均值(mean)为m，标准差(standard deviation)为s，那么X的“标准化变量”表示为：而且标准化变量的数学期望为0，方差为1。因此样本集的标准化过程(standardization)用公式描述就是： 标准化后的值= (标准化前的值－分量的均值) /分量的标准差 经过简单的推导就可以得到两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与b(x21,x22,…,x2n)间的标准化欧氏距离的公式： 如果将方差的倒数看成是一个权重，这个公式可以看成是一种加权欧氏距离(Weighted Euclidean distance)。 7.夹角余弦(Cosine) 有没有搞错，又不是学几何，怎么扯到夹角余弦了？各位看官稍安勿躁。几何中夹角余弦可用来衡量两个向量方向的差异，机器学习中借用这一概念来衡量样本向量之间的差异。 (1)在二维空间中向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)的夹角余弦公式： (2)两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)的夹角余弦 类似的，对于两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)，可以使用类似于夹角余弦的概念来衡量它们间的相似程度。 即：
欧几里得度量 欧几里得欧几里得度量。欧几里得度量是一个通常采用的距离定义。 指在m 维空间中两个点之间的真实距离。或者向量的自然长度。在二维和三维空间中的欧氏距离就是两点之间的实际距离。中文名,欧几里得度量。 别称,欧氏距离。表达式,|x| =。 提出者,欧几里得。 应用学科,数学。适用领域范围,m 维空间中两个点之间的真实距 离。相关,欧氏距离变换。 计算公式。 O p = sqrt A2+A2 )|x| = V O p = V A2+A2+A2 维欧氏空间是一个 点集,它的每个点X 或向量x 可以表示为。 其中x[i] 是实数。 称为X的第i个坐标。 两个点A =和B =之间的距离p定义为下面的公式：p =V [刀八2向量x =的自然长度|x|定义为下面的公式：|x| = 。 欧氏距离变换
所谓欧氏距离变换。 是指对于一张二值图像。将前景中的像素的值转化为该点到达最近的背景点的距离。欧氏距离变换在数字图像处理中的应用范围很广泛。 尤其对于图像的骨架提取。 是一个很好的参照。 闵氏距离。 又叫做闵可夫斯基距离,是欧氏空间中的一种测度。被看做是欧氏距离的一种推广。 欧氏距离是闵可夫斯基距离的一种特殊情况。 定义式：p =[刀"PE闵可夫斯基距离公式中。 当p=2 时。 即为欧氏距离；当p=1 时。 即为曼哈顿距离；当P T*时。 即为切比雪夫距离。 欧几里得度量（euclidean metric）（也称欧氏距离）是一个通常采 用的距离定义，指在m 维空间中两个点之间的真实距离，或者向量的自然长度（即该点到原点的距离）。 在二维和三维空间中的欧氏距离就是两点之间的实际距离。计算公式二维空间的公式三维空间的公式n 维空间的公式n 维欧氏空间是一个点集，它的每个点X或向量x可以表示为（x[1],x[2],…, x[n])，其中x[i](i = 1, 2,…，n)是实数，称为X的第i个坐标
空间分析之距离分析 继续总结下距离分析。如下是ArcGIS 10.x中，距离分析相关的工具： ArcGIS中，主要可以通过如下的几种方式进行距离分析： 1）欧氏距离分析 2）成本加权距离分析 3）用于垂直移动限制和水平移动限制的成本加权距离分析 4）获取最短路径 使用ArcGIS空间分析扩展实现距离分析，最主要的是欧氏距离分析和成本加权距离分析两类工具。 一、欧氏距离工具 欧氏距离工具测量每个像元距离最近源的直线距离（像元中心至像元中心的距离）。 欧氏距离（Euclidean Diatance）——求得每个像元至最近源的距离。 欧氏方向（Euclidean Direction）——求得每个像元至最近源的方向。 欧氏分配（Euclidean Allocation）——求得每个像元的最近的源。 TIPS：
1. 源（Source） 可以是感兴趣的地物的位置，数据方面，既可以是栅格数据，也可以是矢量数据。但注意：如果数据选用了栅格数据，数据中必须仅包含表示源的像元，其他像元需要是Nodata。如果选用矢量，在执行工具之时，内部会将其先转成栅格。 2. 欧氏距离的算法 简单理解为：工具会求得每个像元至每个源的距离，然后取得每个像元至每个源的最短距离以输出。其中，欧氏距离是像元中心与源像元的中心的直线距离。 如果像元与两个或更多源之间的距离相等，则计算都基于像元扫描过程中遇到的第一个源。无法控制该扫描过程。 帮助中有这样的描述：工具在实际执行的过程中，进行两次顺序扫描。这样，工具的执行速度与源像元的数目、分布以及最大距离无关。影响工具执行速度的唯一因素是栅格的大小。计算时间与“分析”窗口中的像元数成线性比例。暂且不知道进行了什么样的两次顺序扫描。 3. 欧氏距离输出栅格结果 投影平面上，像元与最近源之间的最短直线距离。如下图： 4. 欧氏方向输出栅格结果 像元与最近源之间的方位角方向（以度为单位）。使用360 度圆，刻度360 指北，90指东，从刻度1 顺时针增加。值0 供源像元使用。如下图： 5. 欧氏分配输出栅格结果
利用欧氏(Euclid)距离进行类别数据的分类计算 一、欧氏距离(Euclidean Distance) 欧氏距离是最易于理解的一种距离计算方法，源自欧氏空间中两点间的距离公式。 (1)二维平面上两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的欧氏距离： (2)三维空间两点a(x1,y1,z1)与b(x2,y2,z2)间的欧氏距离： (3)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的欧氏距离： 也可以用表示成向量运算的形式： 欧式距离是高维空间中两点之间的距离，它计算简单、应用广泛，但是没有考虑变量之间的相关性，当体现单一特征的多个变量参与计算时会影响结果的准确性，同时它对向量中得每个分量的误差都同等对待，一定程度上放大了较大变量误差在距离测度中的作用。 1
两个n维向量A(x11,x12,…,x1n)与B(x21,x22,…,x2n)间的欧氏距离定义为：D(A,B)=[(x11-x21)^2+(x12-x22)^2+…+(x1n-x2n)^2]^0.5 欧式距离的公式是 d=sqrt( ∑(x i1-xi2)^ ) 这里i=1,2..n 欧氏距离：（∑（Xi-Yi）2）1/2，即两项间的差是每个变量值差的平方和再平方根，目的是计算其间的整体距离即不相似性。 欧氏距离虽然很有用，但也有明显的缺点。它将样品的不同属性（即各指标或各变量）之间的差别等同看待，这一点有时不能满足实际要求。例如，在教育研究中，经常遇到对人的分析和判别，个体的不同属性对于区分个体有着不同的重要性。因此，有时需要采用不同的距离函数。 欧氏距离看作信号的相似程度。距离越近就越相似，就越容易相互干扰，误码率就越高。 二、案例分析 1、基本数据 欧氏x1 x2 p1 -1.51 0.86 p2 4.54 0.12 p3 4.42 1.27 p4 -2.18 1.41 1
基于距离的计算方法 1. 欧氏距离(Euclidean Distance) 欧氏距离是最易于理解的一种距离计算方法，源自欧氏空间中两点间的距离公式。 (1)二维平面上两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的欧氏距离： (2)三维空间两点a(x1,y1,z1)与b(x2,y2,z2)间的欧氏距离： (3)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与b(x21,x22,…,x2n)间的欧氏距离： 也可以用表示成向量运算的形式： (4)Matlab计算欧氏距离 Matlab计算距离主要使用pdist函数。若X是一个M×N的矩阵，则pdist(X)将X矩阵M行的每一行作为一个N维向量，然后计算这M个向量两两间的距离。例子：计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的欧式距离 X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2] D = pdist(X,'euclidean') 结果： D = 1.0000 2.0000 2.2361 2. 曼哈顿距离(Manhattan Distance) 从名字就可以猜出这种距离的计算方法了。想象你在曼哈顿要从一个十字路口开车到另外一个十字路口，驾驶距离是两点间的直线距离吗？显然不是，除
非你能穿越大楼。实际驾驶距离就是这个“曼哈顿距离”。而这也是曼哈顿距离名称的来源，曼哈顿距离也称为城市街区距离(City Block distance)。 (1)二维平面两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的曼哈顿距离 (2)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与b(x21,x22,…,x2n)间的曼哈顿距离 (3) Matlab计算曼哈顿距离 例子：计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的曼哈顿距离 X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2] D = pdist(X, 'cityblock') 结果： D = 1 2 3 5. 标准化欧氏距离(Standardized Euclidean distance ) (1)标准欧氏距离的定义 标准化欧氏距离是针对简单欧氏距离的缺点而作的一种改进方案。标准欧氏距离的思路：既然数据各维分量的分布不一样，好吧！那我先将各个分量都“标准化”到均值、方差相等吧。均值和方差标准化到多少呢？这里先复习点统计学知识吧，假设样本集X的均值(mean)为m，标准差(standard deviation)为s，那么X的“标准化变量”表示为： 而且标准化变量的数学期望为0，方差为1。因此样本集的标准化过程(standardization)用公式描述就是： 标准化后的值= ( 标准化前的值－分量的均值) /分量的标准差 经过简单的推导就可以得到两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的标准化欧氏距离的公式： 如果将方差的倒数看成是一个权重，这个公式可以看成是一种加权欧氏距离(Weighted Euclidean distance)。