考点53 曲线与方程
1．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学理）P 为圆1C ：22
9x y +=上任意一点，Q 为
圆2C ：22
25x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上
的概率为（ ） A ．
1325
B ．
35
C ．
12
25π
D ．
35π
【答案】B 【解析】
设()00,Q x y ,中点M(x, y),则()002,2P x x y y --代入2
2
9x y +=，
得()()22
00229x x y y -+-=，
化简得：22
009224x y x y ????-+-= ? ??
???， 又22
0025x y +=表示以原点为圆心半径为5的圆，
故易知M 轨迹是在以00,22x y ??
???
为圆心，以32为半径的圆绕原点一周所形成的图形，
即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上， 即应有2
2
2
(14)x y r r +=，
那么在C 2内部任取一点落在M 内的概率为
16153
25255
πππ-==，
故选B.
2．（江西省宜春市2019届高三4月模拟考试数学理）已知点是单位正方体的对角面
上的一动点，过点作垂直于平面的直线，与正方体的侧面相交于、两点，则的面积的最大值为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
解：由题意知，MN⊥平面BB1D1D，其轨迹经过B，D1和侧棱AA1，CC1的中点E，F，
如图，设正方体中心为O1,当P点在线段BO1上运动时，MN随BP的增大而线性增大，所以△BMN的面积表达式应是开口向上的二次函数图像递增的一部分; 当P点在线段D1O1上运动时, MN随D1P的增大而线性减小，所以△BMN的面积表达式应是开口向下的二次函数图像递减的一部分.所以当MN与EF重合时，△BMN 的面积取最大值，
此时，BM＝BN，
MN，
S△BMN．
故选：A．
3．（安徽省芜湖市2019届高三5月模拟考试数学理）在直角坐标平面内，已知，以及动点是的三个顶点，且，则动点的轨迹曲线的离心率是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
∵sinAsinB-2cosC=0，∴sinAsinB=2cosC=-2cos（A+B）=-2(cosAcosB-sinAsinB)，
∴sinAsinB=2cosAcosB ，即tanAtanB=2，∴，
设C （x ，y ），又A （﹣2，0），B （2，0）， 所以有
，
整理得，∴离心率是
故选A ．
4．（2019届湘赣十四校高三联考第二次考试理）已知正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，E 为AD 的中点，P 为正方形1111D C B A 内的一个动点（含边界），且5PE ≤，则111PA PB PC ++的最小值为（ ） A ．171- B ．173-
C ．17
D ．171+
【答案】B 【解析】
设11A D 的中点为F ，连接EF 、PF ，则在EFP ?中，EF FP ⊥，222EP EF FP =+，∴21FP ≤. ∴P 是以F 为圆心，以1为半径的圆面（位于正方形1111A B C D 内）.
以1A 为原点建系如图所示，则()10,0A ，()12,0B ，()()12,2,F 0,1C ，设P 的坐标为(),x y ，则
()()()111,,2,,2,2PA x y PB x y PC x y =--=--=--,()111 43,23y PA PB PC x ++=--.
()()
22
22
111424323333PA PB PC x y x y ????
++=
-+-=-+- ? ?????
.
设Q 点的坐标为42,33??
???
，则()111331PA PB PC PQ QF ++=≥- 173=-.
故选：B
5．（湖南师大附中2019届高三月考试题（七)数学理）已知动圆C 经过点()A 2,0，且截y 轴所得的弦长为4，则圆心C 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
【答案】D 【解析】
设圆心C （x ，y ），弦为BD ，过点C 作CE ⊥y 轴，垂足为E ，则|BE |＝2， ∴|CA |2＝|CB |2＝|CE |2+|BE |2，
∴（x ﹣2）2+y 2＝22+x 2，化为y 2＝4x ． 故选D ．
6．（安徽省淮南市2019届高三第一次模拟考试数学理）在平面直角坐标系中，设点(),P x y ，定义
[]OP x y =+，其中O 为坐标原点，对于下列结论：
()1符合[]2OP =的点P 的轨迹围成的图形面积为8； ()2
设点P 220y +-=上任意一点，则[]1min OP =；
()3设点P 是直线：()1y kx k R =+∈上任意一点，则使得“[]OP 最小的点有无数个”的充要条件是1k =；
()
4设点P 是椭圆2
219
x y +=上任意一点，则[]max OP ．
其中正确的结论序号为( ) A ．()()()123 B ．()()()134
C ．()()()234
D ．()()()124
【答案】D 【解析】
()1由[]2OP =，根据新定义得：2x y +=，由方程表示的图形关于,x y 轴对称和原点对称，且
()202,02x y x y +=≤≤≤≤，画出图象如图所示：
四边形ABCD 为边长是28，故()1正确；
()()2,P x y 3220x y +-=上任一点，可得3
12
y x =-
， 可得3
1x y x x +=+， 当0x ≤时，[]3111OP x ?=-≥ ??；当03x <<时，[]3113OP x ??=+∈ ???
； 当3x ≥
时，可得[]3113OP x ?=-+≥ ?
?，综上可得[]OP 的最小值为1，故()2正确； ()()311x y x y k x +≥+=++，当1k =-时，11x y +≥=，满足题意；
而()11x y x y k x +≥-=--，当1k =时，11x y +≥-=，满足题意，即1k =±都能 “使[]
OP 最小的点P 有无数个”，()3不正确；
()
4点P 是椭圆2
219
x y +=上任意一点，因为求最大值，所以可设3cos x θ=，sin y θ=，0,2πθ??∈????，
[]()3cos sin 10sin OP x y θθθ?=+=+=+，0,2πθ??
∈????
，[]10max OP ∴=()4正确．
则正确的结论有：()1、()2、()4，故选D ．
7．（江苏省南通市2019届高三适应性考试）在长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正方形，P 为11A D 的中点，1AD =，13AA =Q 为正方形ABCD 所在平面内的一个动点，且满足2QC QP =，
则线段BQ 的长度的最大值是________. 【答案】6 【解析】
在正方形ABCD 所在平面内建立平面直角坐标系，设(,)Q x y ，
则有2223(1)PQ x y =++-，222
(2)(2)QC x y =-+-，
因为2QC QP =
，所以2222(2)(2)622(1)x y x y -+-=++-，
整理得2
2
(2)4x y ++=，
所以点Q 的轨迹是以(2,0)-为圆心，以2为半径的圆， 所以线段BQ 长度的最大值为2226?+=. 故答案为6
8．（北京市昌平区2019届高三5月综合练习（二模)数学理）已知平面内两个定点(3,0)M 和点(3,0)N -，
P 是动点，且直线PM ,PN 的斜率乘积为常数(0)a a ≠，设点P 的轨迹为C .
① 存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离之和为定值； ② 存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离之和为定值； ③ 不存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离差的绝对值为定值； ④ 不存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离差的绝对值为定值. 其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号） 【答案】②④ 【解析】
设点P 的坐标为：P （x ，y ）， 依题意，有：
33
y y
a x x ?=+-， 整理，得：22
199x y a
-=，
对于①，点的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，且c ＝4，a ＜0，
椭圆在x 轴上两顶点的距离为：6，焦点为：2×4＝8，不符； 对于②，点的轨迹为焦点在y 轴上的椭圆，且c ＝4，
椭圆方程为：22
199y x a +=-，则9916a --=，解得：259a =-，符合；
对于③，当79a =时，22
197
x y -=，所以，存在满足题意的实数a ，③错误；
对于④，点的轨迹为焦点在y 轴上的双曲线，即22
199
y x a +=-，
不可能成为焦点在y 轴上的双曲线， 所以，不存在满足题意的实数a ，正确. 所以，正确命题的序号是②④.
9．（河北省石家庄市2019届高三毕业班模拟考试一A 卷理）在棱长为1的透明密闭的正方形容器
1111ABCD A B C D -中，装有容器总体积一半的水（不计容器壁的厚度），将该正方体容器绕1BD 旋转，并
始终保持1BD 所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为__________．【来源】科数学试题
【解析】
如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中， 点E 在11A B 上，点F 在CD 上，满足1A E CF =， 则原问题等价于求解四边形1BFD E 的最大值.
作1EG BD ⊥于点G ，当EG 最大时，四边形1BFD E 有最大值.
建立如图所示的空间直角坐标系， 设()(),0,101E m m ≤≤，设(),,G x y z ， 由于()()11,0,0,0,1,1B D ，由1BG BD λ=可得：
()()1,,1,1,1x y z λ-=-，则：1x y z λλλ=-+??
=??=?
，故()1,,G λλλ-+,
故：()()11,,1,
1,1,1GE m BD λλλ=+---=-，
由1110GE BD m λλλ?=--+-+-=可得：21,133
m m
λλ-+=
-=
. 故：222
1221333m m m GE m +--??????=-++- ? ? ???????
()
21613m m =-+ 结合二次函数的性质可知：当0m =或1m =时，GE 取得最大值，此时S 取得最大值，最大值为：
11max 2BDD B S S =.
10．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第三次测评理）三角形ABC ?中，2AB =且
2AC BC =，则三角形ABC 面积的最大值为__________．
【答案】4
3
【解析】
设()()()1,0,1,0,,A B C x y -，
则由2AC BC =2222121x y x y ++=-+
化简得2
251639x y ??-+= ??
?， 所以C 点轨迹为以5
,03?? ???圆心，以4
3
为半径的圆， 所以ABC S ?最大值为
1442233
??=， 所以三角形ABC 面积的最大值为4
3
.
11．（2019届毕业班四省联考第二次诊断性考试理）在平面上给定相异两点A,B ，设P 点在同一平面上且满足
，当λ＞0且λ≠1时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我
们称这个圆为阿波罗斯圆，现有椭圆,A,B 为椭圆的长轴端点，C,D 为椭圆的短轴端点，
动点P 满足，△P AB 面积最大值为
,△PCD 面积最小值为，则椭圆离心率为______。
【答案】
【解析】 依题意
，设，依题意的
,
，两边平方化简得
，故圆心为
，半径
.所以
的最大面积为
，解得
，
的最小面积为，解得.故椭圆离心率为.
12．（江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考试数学理）已知两定点1
1,0,,033A B ????- ? ?????
，点M 是平面内的动点，且4AB AM BA BM +++=,记M 的轨迹是C （1）求曲线C 的方程；
（2）过点1(1,0)F 引直线l 交曲线C 于,Q N 两点，设(01)QF FN 且λλλ=>≠，点Q 关于x 轴的对称点为R ，证明直线NR 过定点.
【答案】（1）22
143
x y +=；
（2）见解析 【解析】
（1）设(,)M x y ，(1,)AB AM x y +=+，(1,)BA BM x y +=-， 则22||(1)AB AM x y +=++，22||(1)BA BM x y +=-+， 由于||||4AB AM BA BM +++=，
即2222(1)(1)4x y x y +++-+=，设1(1,0)F -，2(1,0)F ， 则12||||4F M F M +=，点M 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆， 故2a =，1c =，3b =
，
所以，动点M 的轨迹E 的方程为：22
143
x y +=．
如图所示，
先探究特殊性，当点Q 为椭圆的上顶点（03l:3(1)y x =--, 联立直线和椭圆方程得8
33
(,),(0,3)5N R , 3RN k =
直线RN:33,y x =令y=0,得x=4, 所以直线RN 过定点P(4,0). 下面证明一般情形：
设直线l:1122111,(,),(,),(,)x my Q x y N x y R x y =+-则
联立22
22
1,(34)6903412
x my m y my x y =+?∴++-=?+=?， 判别式2
=144
1),m ?+（
所以12122
934
y y y y m ===-+ 12121226,2m 3(),34
m
y y y y y y m +=-
=++注意到，
即1122323y my y y -+=，
设1122,(1,)(1,)(3,0)FR FN FP x y x y αβαβ=+∴--=-+，于是，
121
21=(1+3=x x y y αβα--??
-?）
， 又1212,,3QF FN y y my my λλαβ=∴-==+， 解得1122==-
,3
y m
y y αλβ=，
所以112232+=13y my y y αβ-+==，
所以点R,N,P 三点共线，因此直线RN 经过定点P(4,0). 综上，直线RN 经过定点P(4,0).
13．（山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）圆O ：x 2+y 2＝9上的动点P 在x 轴、y 轴上的射影分别是P 1，P 2，点M 满足122133
OM OP OP =+． （1）求点M 的轨迹C 的方程；
（2）点A （0，1），B （0，﹣3），过点B 的直线与轨迹C 交于点S ，N ，且直线AS 、AN 的斜率k AS ，k AN 存在，求证：k AS ?k AN 为常数．
【答案】（1）2
214
x y +=；
（2）12 【解析】
（1）设P （x 0，y 0），M （x ，y ），则1OP ＝（x 0，0）
，2OP ＝（0，y 0）， 由122133OM OP OP =+ ．得0000
233
2133x x x x y y y y ?
=??=????
???==???
代入x 02
+y 02
＝9，所以点M 的轨迹C 的方程为2
214
x y +=.
（2）当SN 的斜率不存在时，AS ，AN 的斜率也不存在，故不适合题意； 当SN 的斜率存在时，设斜率为k ，
则直线SN 的方程为y ＝kx ﹣3代入椭圆方程整理得（1+4k 2）x 2﹣24kx+32＝0，△＞0?k 2＞ 2 设S （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2＝
22414k k +，x 1x 2＝2
32
14k
+， 则k AS ?k AN ＝
()()()2
12121212121212
kx 4kx 4k x x 4k x x 16
y 1y 1x x x x x x ---++--?== ＝222222
2
3224416
32961664114143232214k k k k k k k k k
?
-?+-++++==+，
故k AS ?k AN 为常数1
2.
14．（安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查考试数学理）已知点，，
，是
平面内一动点，可以与点重合.当不与
重合时，直线
与
的斜率之积为
.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）一个矩形的四条边与动点的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】 解：（1）当与点
不重合时，
，得
，即，
当与点
重合时，
或
.
综上，动点的轨迹方程为.
（2）记矩形面积为，当矩形一边与坐标轴平行时，易知.
当矩形各边均不与坐标轴平行时， 根据对称性，设其中一边所在直线方程为
，则对边方程为
另一边所在的直线为，则对边方程为， 联立：，得
，
则
，即
.
矩形的一边长为，
同理：，矩形的另一边长为，
，
综上：
.
15．（广东省梅州市2019届高三总复习质检试卷理）已知过定点(1,0)N 的动圆是P 与圆
22:(1)8M x y ++=相内切.
（1）求动圆圆心P 的轨迹方程；
（2）设动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，,A B 是曲线C 上的两点，线段AB 的垂直平分线过点1
(0,)2
D ，求
OAB ?面积的最大值（O 是坐标原点）.
【答案】(1) 22 1.2x y += (2) 2
2
【解析】
解:(1)圆()2
2:12N x y ++=的圆心为()1,0M -,半径为22
设圆P 的半径为R ,由题意知点()1,0N 在圆M 内.
可得22,,222,PM R PN R PM PN MN ==∴+=>=
所以点P 的轨迹是以()1,0M -,()1,0N 为焦点,
长轴长为2a =的椭圆,
得 1.a b =
=
所以动圆圆心P 的轨迹方程为2
2 1.2
x y +=
(2)显然AB 不与x 轴垂直,设AB 所在直线方程为.y kx b =+可得2
2
,.12
y kx b x y =+??
?+=?? 可得(
)()
2
2
2124210.k
x
kbx b +++-=……①设()()1122,,,A x y B x y ,
则12,x x 是方程①的两不相等的实根,得
(
)(
)(
)
()
222
2
2
22
121222
2141681218210,,.1212b kb
k b k
b k b x x x x k k
-?=-+-=-+>+=-=++ 得
AB =
=
=
=
又点O 到直线AB 的距离d =
所以OAB ?
的面积
1
2S =?=
由题意知, 2
2
22
112211,,22DA DB x y x y ????=∴+-=+- ? ????
?
得()()()()1212121210,x x x x y y y y -++-+-= 又()()()12121212,2,y y k x x y y k x x b -=-+=++ 代入上式得(
)()2
1
2
120,k x x kb k +++-=
得()
222
4120,02210.12kb
k kb k k k b k
-
++-==++=+得或
(也可直接用垂直平分线过点10,
2D ??
???
得到,k b 关系) 当0k =时,
2S =
=≤
当2b =±
时,
S 有最大值2
当2
2
2210,212k b k b 即++=+=-时,
S =
==
当1b =
-时,S
有最大值
22
k =±此时
所以OAB ?面积的最大值为
2
16．（陕西省延安市2019届高考模拟试题一理）已知两直线方程1:2
l y x =与2:2
l y x =-，
点A 在1l 上运动，点B 在
2l 上运动，且线段AB 的长为定值（Ⅰ）求线段AB 的中点C 的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线1:l y kx m =+与点C 的轨迹相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若5
4
OM ON k k ?=
，求原点O 的直线l 的距离的取值范围.
【答案】（Ⅰ）22
14x y +
=（Ⅱ）0????
【解析】
（Ⅰ）∵点A 在1:l y x
=
上运动，点B 在2:l y =
上运动， ∴设11A x x ?? ? ?
??，22B x x ，?? ? ???，线段AB 的中点(),
C x y
，则有12122222
x x x x x y -+=
=，， ∴12122x x x x x +=-=，，
∵线段AB
的长为定值()212x x -
+2
12x x ?????
=8，
即()
2
+2
=8，化简得2
214
x y +=.
∴线段AB 的中点C 的轨迹方程为2
214
x y +=.
（Ⅱ）设()11M x y ，，()22N x y ，，联立2
214x y y kx m ?+=???=+?
得()22
418k x kmx ++ 2440m +-=，
()()
228441km k ?=-+ ()2440m ->，化简得2241m k <+①.
122841km x x k +=-+，2122
44
41
m x x k -=+ ()()1212y y kx m kx m =++ ()221212k x x km x x m =+++，
若54OM ON k k ?=
，则
1212
54y y x x =，即121245y y x x =， 所以()2
121244k x x km x x ++ 2
1245m x x +=，
即(
)
22
2
444541
m k k --++ 22844041km km m k ??-+= ?+??，化简得22
54m k +=②， 由①②得2
605m ≤<
，
215
204
k <≤， 因为O 到直线l
的距离d =22
222
5411k m d k k -==++ ()
29141k =-++ 又因为215204k <≤，所以2807
d ≤<， 所以O 到直线l
的距离的取值范围是07???????
，. 17．（东北三省四市2019届高三第一次模拟数学理）已知椭圆C ：221189
x y +=的短轴端点为1B ，2B ，
点M 是椭圆C 上的动点，且不与1B ，2B 重合，点N 满足11NB MB ⊥，22NB MB ⊥.
（Ⅰ）求动点N 的轨迹方程； （Ⅱ）求四边形21MB NB 面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）()22
109
92
y x x +=≠；（Ⅱ）272
2
. 【解析】
（Ⅰ）法一：设(),N x y ，()()000,0M x y x ≠，
11,MB NB ⊥ 22MB NB ⊥
∴直线0
10:33
x NB y x y +=-
+ ① 直线0
20:33
x NB y x y -=-
- ② ?①②得2
2
202
099
x y x y -=- 又
22
001189
x y +=， 2022221819929
o y y x x
y ??
- ?
??∴-==--，
整理得点N 的轨迹方程为()22
10992
y x x +=≠ 法二：设(),N x y ，()()000,0M x y x ≠，
11,MB NB ⊥ 22MB NB ⊥
∴直线0
10:33
x NB y x y +=-
+ ① 直线0
20:33
x NB y x y -=-
- ② 由①,②解得：20101
09
y x x y y
?-=???=-?，又22
001189x y +=，01
2x x ∴=- 故010
12x x y y =-??=-?，代入2
2
001189x y +=得22
111
9
92
y x +=. ∴点N 的轨迹方程为()22
10992
y x x +=≠ 法三：设直线()1:30MB y kx k =-≠，则直线11
:3NB y x k
=-
- ① 直线1MB 与椭圆22
:1189x y C +=的交点M 的坐标为22212632+12+1k k k k ??- ???
，.
则直线2MB 的斜率为2
22263
312+11222+1
MB k k k k k k --==-. ∴直线2:23NB y kx =+ ②
由① ②解得:点N 的轨迹方程为：()22
10992
y x x +=≠ （Ⅱ）法一：设()11,N x y ，()()000,0M x y x ≠由（Ⅰ）法二得：0
12
x x =- 四边形21MB NB 的面积()1212013
322
S B B x x x =
+=?， 20018x <≤，∴当2018x =时，S
的最大值为2
.
法二：由（Ⅰ）法三得：四边形21MB NB 的面积
()121
2M N S B B x x =+=
2221265432+12+12+1k k k k k k ???+= ??? 54272
122k k
≤+ 当且仅当2k =时，S 取得最大值
272
.
18．（福建省2019届高三毕业班3月质量检测考试理）在平面直角坐标系xOy 中,圆()2
2:11F x y -+=外的点P 在y 轴的右侧运动,且P 到圆F 上的点的最小距离等于它到y 轴的距离,记P 的轨迹为E . （1）求E 的方程；
（2）过点F 的直线交E 于A ,B 两点,以AB 为直径的圆D 与平行于y 轴的直线相切于点M ,线段DM 交E 于点N ,证明：AMB ?的面积是AMN ?的面积的四倍. 【答案】（1）()2
40y x x =>（2）见解析
【解析】
解法一：（1）设(),P x y ，依题意0x >，()1,0F .
因为P 在圆F 外，所以P 到圆F 上的点的最小距离为1PF - 依题意得1PF x -=，即
()
2
211x y x -+-=，
化简得E 的方程为()2
40y x x =>.
（2）设()00,N x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，则1212
,
22x x y y D ++??
???
. 依题意可设直线AB 的方程()()10y k x k =-≠，
由()2
1,4y k x y x
?=-?
=?
得(
)
22
2
2
240k x k x k -++=.
因为()
2
24224
416160k k k ?=+-=+>，
所以2122
24
k x x k
++=， 则有124
y y k +=，故22
22,k D k
k ??+ ???， 由抛物线的定义知2122
44
2k AB x x k
+=++=. 设(),M M M x y ，依题意得2M y k =，所以22
2
M k MD x k +=-.
又因为2AB
MD =，所以222
22
2M k x k k
+-=+， 解得1M x =-，所以21,
M k ?
?- ???
.， 因为02,
N x k ?? ???在抛物线上，所以02
1x k =，即212,N k k ??
???
， 所以21212211
2AMB
k S MD y y y y k
?+=-=-， 211212*********AMN
D k S MN y y MN y y y y k
?+=-=?-=-， 故4.AMB AMN S S ??=
解法二：（1）设(),P x y ，依题意0x >.
因为P 在圆F 外，所以P 到圆F 上的点的最小距离为1PF -. 依题意得，点P 到圆()1,0F 的距离PF 等于P 到直线1x =-的距离，
专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一． 【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等． 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决． 解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查． 例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线
空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 计数原理与二项式定理 A组——大题保分练 1．设集合A,B是非空集合M的两个不同子集,满足：A不是B的子集,且B也不是A的子集． (1)若M＝{a1,a2,a3,a4},直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数； (2)若M＝{a1,a2,a3,…,a n},求所有不同的有序集合对(A,B)的个数． 解：(1)110. (2)集合M有2n个子集,不同的有序集合对(A,B)有2n(2n－1)个． 当A?B,并设B中含有k(1≤k≤n,k∈N*)个元素, 则满足A?B的有序集合对(A,B)有n∑ k＝1C k n(2k－1)＝ n ∑ k＝0 C k n2k－ n ∑ k＝0 C k n＝3n－2n个． 同理,满足B?A的有序集合对(A,B)有3n－2n个． 故满足条件的有序集合对(A,B)的个数为2n(2n－1)－2(3n－2n)＝4n＋2n－2×3n. 2．记1,2,…,n满足下列性质T的排列a1,a2,…,a n的个数为f(n)(n≥2,n∈ N*)．性质T：排列a1,a2,…,a n中有且只有一个a i ＞a i＋1 (i∈{1,2,…,n－1})． (1)求f(3)； (2)求f(n)． 解：(1)当n＝3时,1,2,3的所有排列有(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2), (3,2,1),其中满足仅存在一个i∈{1,2,3},使得a i＞a i＋1的排列有(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1), (3,1,2),所以f(3)＝4. (2)在1,2,…,n的所有排列(a1,a2,…,a n)中, 若a i＝n(1≤i≤n－1),从n－1个数1,2,3,…,n－1中选i－1个数按从小到大的顺序排列为a1,a2,…,a i－1,其余按从小到大的顺序排列在余下位置,于是满足题意的排列个数为C i－1 n－1. 若a n＝n,则满足题意的排列个数为f(n－1)． 综上,f(n)＝f(n－1)＋n－1 ∑ i＝1 C i－1 n－1＝f(n－1)＋2n－1－1. 圆锥曲线与方程 题型一 定义运用 1.．（2017·湖南高考模拟（理））已知抛物线2 2x y = 上一点P 到焦点F 的距离为1，,M N 是直线2y =上 的两点，且2MN =，MNP ?的周长是6，则sin MPN ∠=（ ） A ． 4 5 B ． 25 C ． 23 D ． 13 【答案】A 【解析】由题意，22p = ，则 122p = ，故抛物线22x y = 的焦点坐标是10,2?? ??? ，由抛物线的定义得，点P 到准线1 2y =- 的距离等于PF ，即为1 ，故点P 到直线2y =的距离为132122d ??=---= ??? . 设 点P 在直线MN 上的射影为P' ，则3 '2 PP = . 当点,M N 在P'的同一侧（不与点P'重合）时，35 2=622 PM PN MN ++> ++ ，不符合题意；当点,M N 在P'的异侧（不与点P'重合）时，不妨设()'02P M x x =<<，则'2P N x =- ，故由 2=6PM PN MN ++= ，解得0x = 或2 ，不符合题意，舍去， 综上,M N 在两点中一定有一点与点P'重合，所以 24552 sin MPN <= = ，故选A. 2．（2017·河南高考模拟（文））已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2 :8C y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则点A 到抛物线的准线的距离为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】A 【解析】由题意得，设抛物线2 8y x =的准线方程为:2l x =-，直线()2y k x =+恒过定点()2,0-， 如图过,A B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，连接OB ， 由2FA FB =，则2AM BN =，点B 为AP 的中点， 因为点O 是PF 的中点，则1 2 OB AF = ， 《曲线的方程和性质》专题 一、《考试大纲》要求 ⒈直线和圆的方程 （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方 程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． ⒉圆锥曲线方程 （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用． 二、高考试题回放 1．（福建）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ） A ． 33 B ．32 C ．2 2 D ．23 2．(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 . 3．（福建）如图，P 是抛物线C ：y=2 1x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求 | || |||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4．（湖北）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为 （ ） A ．2 3 - B ．3 2- C ．4 1 D ．4 5.（湖北）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的 公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．（湖北）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两 点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 7．（湖南）如果双曲线112 132 2 =-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么 点 P 到右准线 的 距 离 是 （ ） 高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2） （1）若a ⊥b ，求tan θ的值； （2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高 下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加 两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的 有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分） 在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。 若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小； （2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值； （2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值， 若不是，则说明理由： （3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值； （3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围. 高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )江苏省高考数学二轮复习专题八二项式定理与数学归纳法(理)8.1计数原理与二项式定理达标训练(含解析)
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