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高一数学校本教材《数学在生活中的应用》

课题：数学在生活中的应用

本课题分三个部分： 1、分段函数模型在实际问题中的应用

2、概率在生活中的应用

3、函数在现实生活中的应用

第一部分：分段函数在实际问题中的应用

数学应用意识的考查是高考命题的指导思想，考查应用意识是通过解答应

用问题来体现的，考查的重点是客观事物的数学化，这个过程主要是依据现实生活的背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决。我们会遇到如关于醉酒驾车问题、工作安排问题、学生听课注意力问题、通讯话费问题、阶梯电价问题、计程车计费问题、停车费问题、邮资问题、个人所得税等诸如此类问题，

加以说明。

一、醉酒驾车问题举例1. 某驾驶员喝了m 升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小

实际问题

(核心) 数学模型 (关键) 还原说明 (验证) 模型的解 (目的)

分析模型 (重点)

时)变化的规律近似地满足表达式f(x)=()?????>?≤≤-1

,10,531532x x x x 。《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定: 驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02毫克/毫升.此驾驶员至少要过______小时后才能开车。(精确到1小时)

分析:本题为分段函数型。根据解答分段函数“对号入座”的解题原则，分别利用两段函数表达式求解。

解析:当0≤x ≤1时,f(x)为增函数，f(x )≥50-2=0.04>0.02；当x>1时, f(x)=()x

3153?≤0.02得()x

31≤301，3x ≥30, 33=27<30, 34=81>30,x ≥4,故该驾驶员至少要过4小时后才能开车.

二、工作安排问题

举例2. 某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A

型零件和1个B 型零件配套组成，每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每

组加工同一种型号的零件。设加工A 型零件的工人人数为x 名(*∈N x ).

⑴分别用含x 的式子表示完成A 型零件加工所需时间和完成B 型零件加工所需时间；

⑵为了在最短时间内完成全部生产任务，x 应取何值?

解析: ⑴生产150件产品，需加工A 型零件450个，则完成A 型零件加工所需时间f(x)=

()

491,905450

≤≤∈=*x N x x x . 生产150件产品，需加工B 型零件150个，则完成B 型零件加工所需时间g(x)=()()

491,5050503150≤≤∈=*--x N x x x . (2)设完成全部生产任务所需时间为h(x)小时，则h(x)为f(x)与g(x)的较大者。令

f(x)≥g(x)，即x 90≥x

-5050，解得1≤x ≤3271.所以当1≤x ≤32时，f(x)>g(x)，当33

≤x ≤49时，f(x)

?????≤≤∈≤≤∈*-*4932,,321,,505090x N x x N x x x 。当1≤x ≤32时，h(x)在[1,32]上单调递减，则h(x)在[1,32]上的最小值为h(32)=164532

90=(小时)，当33≤x ≤49时，故h(x)在[33，49] 上单调递增，则h(x)在[33，49] 上的最小值为h(33)= 17

50335050

=-(小时).因为h(33)> h(32)，所以h(x)在[1,49] 上的最小值为h(32).所以x=32.故为了在最短时间内完成全部生产任务，x 应取32.

点评:本题主要考查分段函数，反比例函数及其性质等基本知识，同时考查数学建模能力及应用意识。本题的理解有一定难度。

三、学生听课注意力问题

举例3 . 通过研究学生的学习行为，心理学专家发现学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散。设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生注意力越集中)，经过试验分析得知:

f(t)=

40203807)2010(240)100100242t t t t t t (1) 讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中?能持续多少分钟?

(2) 讲课开始25分钟与讲课开始5分钟时，学生的注意力哪时更集中?

(3) 一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那

么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目?

解析:(1) 当0

(2) f(5)=195，f(25)=205，故讲课开始25分钟时学生的注意力比讲课开始5分

钟时更集中

(3) 当024.所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需的状态下讲授完这道题目。

四、商品利润最大问题

举例4. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加

投入100元，设月产量为x ，已知总收入满足函数:R （x ）=()()???>≤≤-40080000

,400040021x x x x (1) 将利润表示为月产量的函数f(x);

(2) 每月产量为何值时，公司所获利润最大?最大利润为多少元?( 总收入=总成本+利润)

分析: 本题为分段函数型。根据解答分段函数“对号入座”的解题原则，分别利用两段函数表达式来求新的表达式可求得第(1)小题，然后利用配方法和单调性求解最值。

解析: (1)月产量为x 台，则总成本为20000+100x ，从而f(x)=

()()?

??>-≤≤-+-40010060000,400020000300221x x x x x (3) 当0≤X ≤400时,f(x)=-2

1(x-300)2+25000. 当X >400时, f(x)=60000-100x 是减函数, f(x)< 60000-100×400<25000.故每月生产300台仪器时，利润最大，最

大利润为25000元.

评注: 本题主要是根据题设条件给出的函数去求，但要注意分段求解，分段函数的最值求法注意取各段的最大(或者最小)者的最大者(最小者)为函数的最值。

五、通讯收费问题

举例5. 有甲、乙两家通讯公司，甲公司每月通话的收费标准如图6所示；乙公司每月通话收费标准如表1所示．

（1）观察图6，

甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费

金额是元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为元；

（2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？

解析：1）从图6，可以看出，这是常数函数与一次函数构成的分段函数，

当0≤t ≤100时，话费金额y=20；

当t ＞100时，话费金额y 是通话时间t 的一次函数，不妨设y=kt+b ，

且函数经过点（100，20）和（200，40），

所以，?

??=+=+4020020100b k b k ,解得：k=0.2，b=0,所以，y=0.2t, 所以,甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是20元；当甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为0.2元；

2)仔细观察表1,可以知道乙公司每月通话收费y=0.15t+2.5,

当0≤t ≤100时，甲公司的话费金额y=20；乙公司通话收费y=0.15t+2.5=15+2.5=17.5,

所以,李女士如果月通话时间不超过100分钟，她选择乙通迅公司更合算；

因为，0.15t+2.5=0.2t，所以，t=500，

所以，当通话时间t=500分钟时，选择甲、乙两家公司哪一家都可以；

因为，0.15t+2.5＞0.2t，所以，t＜500，

所以，当通话时间100＜t＜500分钟时，选择甲公司；

因为，0.15t+2.5＜0.2t，所以，t＞500，

所以，当通话时间t＞500分钟时，选择乙

六、生活中的用水用电问题

举例6. 为了鼓励节能降耗, 某市规定如下用电收费标准: 每户每月的用电量不超过120 度时, 电价为 a 元/ 度;超过120 度时, 不超过部分仍为a元/ 度, 超过部分为b元/ 度. 已知某用户五月份用电115 度, 交电费69 元, 六月份用电140 度, 交电费94 元.

( 1) 求a , b 的值;

( 2) 设该用户每月用电量为x ( 度) , 应付电费为y ( 元) .

①分别求出0 ≤ x ≤120 和x > 120 时, y与x 之间的函数关系式;

②若该用户计划七月份所付电费不超过83元, 问该用户七月份最多可用电多少度?

解析：

115 a = 69 ,

120 a + 20 b = 94.

解这个方程组, 得a = 0. 6，b = 1. 1.

( 2) ①当0 ≤ x ≤120 时, y = 0 . 6 x .

当x > 120 时, y = 120 × 6 + 1 . 1 ( x2120) ,0.即y = 1. 1 x260 .

②∵> 120 ×0 . 6 = 72 , ∴y与x 之间的函数83关系式为y = 1. 1 x260 .

由题意, 得 1 . 1 x260 ≤83 , x ≤130.

∴该用户七月份最多可用电130 度.

七、生活中的医疗保险问题

举例7. 为了增强农民抵御大病风险的能力,政府积极推行农村医疗保险制度. 我市某县根据本地的实际情况, 制定了纳入医疗保险的农民住院医疗费用的报销规定: 享受医保的农民可在定点医院住院治疗, 由患者先垫付医疗费用,住院治疗结束后凭发票到县医保中心报销.

住院医疗费用的报销比例标准如下表:

( 1) 设某位享受医保的农民在一次住院治疗中的医疗费用为x 元( x > 100) ,

按规定报销的医疗费用为y 元, 试写出y 与x 的函数关系式;

( 2) 若该农民在这次住院治疗中的医疗费用为1000 元, 则他在这次住院治疗中报销的医疗费用和自付的医疗费用各为多少元.

解: ( 1) y = ( x2100) ×60 % = 0 . 6 x260 ( x> 100)

( 2) 当x = 1000 元时, y = 0 . 6 ×1000 260 =600 260 = 540 ( 元)

1000 2540 = 460 ( 元)

答: 他在这次住院治疗中报销的医疗费用和自付的医疗费用各为540 元和

460 元。

分段函数是高中数学的重要内容，涉及分段函数的应用问题，题源丰富，背景深刻，题型新颖，解法灵活．同时，应用题与现实生活联系密切，它不仅能培养学生分析问题和解决实际问题的能力，还能提高学生的思维素质，因此在数学教学中倍受青睐．

第二部分：概率在生活中的应用

一、绪论

由于新课程强调数学教育的基础性、现实性、大众性，重视素质教育高考的兼容性，概率统计在社会现实中具有很高的应用价值。概率在生活中无处不有，无处不在的，要用学生熟悉、感兴趣的生活实际问题设计出丰富多彩的学习活动，使学生积极、主动地学习和运用数学。在有关概率的题目中，有的取材于，并要

注意培养学生善于从普通语言中捕捉信息、将普通语言转化为数学语言的能力，使学生能以数学语言为工具进行数学思维与数学交流。让学生感觉数学概率就发生在身边。

本课题主要从概率的起源、概率的相关概念、概率在现实中的应用以及结论几部分构成。其中，第二部分说的是概率源于博弈成科学，第三部分主要说的是概念问题，并强调了一些注意事项及和频率的区别和联系；第四部分举例讲述了概率在现实中的应用；第五部分做了相应的总结分析。

二、概率的起源

概率问题的历史可以追溯到很远,很早以前,人们就用抽签、抓阄的方法解决问题,这可能是概率最早的应用.而真正研究随机现象的概率论出现在15世纪之后,当时的保险业非常不成熟,只是一种完全靠估计形势而出现的赌博性事业,保险公司要承担很大的不确定性风险,保险业的发展渴望能有指导保险的计算工具的出现.这一渴望戏剧性地因15世纪末赌博现象的大量出现而得到解决.

据传,当时有一个法国赌徒梅勒遇到了一个难解的问题:梅勒和他的一个朋友每人出30个金币,两人谁先赢满三局谁就得到全部赌注.在游戏进行了一会儿后,梅勒赢了两局,他的朋友赢了一局.这时候梅勒由于一个紧急事情必须离开,游戏不得不停止.他们该如何分配赌桌上的60个金币的赌注呢?梅勒的朋友认为,既然他接下来赢的机会是梅勒的一半,那么他该拿到梅勒所得的一半,即他拿20个金币,梅勒拿40个金币.然而梅勒争执道:再掷一次色子,即使他输了,游戏是平局,他最少也能得到全部赌注的一半—30个金币;但如果他赢了,就可以拿走全部的赌注.在下一次掷色子之前,他实际上已经拥有了30个金币,他还有50%的机会赢得另外30个金币,所以,他应分得45个金币.

赌本究竟如何分配才合理呢?后来梅勒把这个问题告诉了当时法国著名的数

学家帕斯卡,这居然也难住了帕斯卡,因为当时并没有相关的知识来解决此类问题,而且两人说的似乎都有道理.帕斯卡又写信告诉了另一个著名的数学家费尔马,于是在这两位伟大的法国数学家之间开始了具有划时代意义的通信,在通信中,他们最终正确地解决了这个问题.他们设想:如果继续赌下去,梅勒(设为甲)和他的朋友(设为乙)最终获胜的机会如何呢?他们俩至多再赌两局即可分出胜负,这两局胜的情况有4种可能的结果:甲甲、甲乙、乙甲、乙乙.前三种情况都是甲最后取胜,只有最后一种情况才是乙取胜,所以赌注应按3:1的比例分配,即甲得45个金币,乙得15个金币.虽然梅勒的计算方式不一样,但他的分配方式是对的.

后来,荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯把这一问题置于更复杂的情形之下,试图总结出更一般的规律,于1657年写成了《论赌博中的计算》一文,这就是最早的概率论著作.正是他们把这一类问题提高到了理论的高度,并总结出了其中的一般规律.同时,他们的研究还吸引了许多学者,由此把赌博的数理讨论推向了一个新的台阶,逐渐建立起一些重要概念及运算法则,从而使这类研究从对机会性的游戏的分析发展上升为一个新的数学分支.由赌徒的问题引起,概率逐渐演变成一门严谨的科学.

三、概率的相关概念

在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成两大类：一类是确定性的现象，指在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。如，在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。另一类是不确定性的现象。这类现象在一定条件下的结果是不确定的。例如，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。又如，在同样条件下，进行小麦品种的人工催芽试验，各颗种子的发芽情况也不

尽相同有强弱和早晚之别等。这类现象，我们无法用必然性的因果关系，对现象的结果事先做出确定的答案。事物间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象。

概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小。比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。

在了解这些概念的同时，我们还要关注概率的注意事项及了解频率与概念的区别于联系：

(4)有关概率的注意事项：

a．概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映.

b．概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同.

(5)频率与概率的区别与联系：从定义可以得到二者的联系, 可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近，说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同.

(4)概率在现实中的应用

1、彩票中奖的概率

走在街头，来来往往的车辆让人联想到概率；生产、生活更是离不开概率。在令人心动的彩票摇奖中，概率也同样指导着我们的实践。继股票之后，彩票也成了城乡居民经济生活中的一个热点。据统计，全国100个人中就有3个彩民。通过对北京、上海与广州3城市居民调查的结果显示，有50%的居民买过彩票，其中5%的居民成为“职业”(经济性购买)彩民。“以小博大”的发财梦，是不少彩票购买者的共同心态。那么，购买彩票真的能让我们如愿以偿吗?

“下一个百万富翁就是你!”这句响亮的且极具诱惑了的话是彩票的广告词.花上几元钱,买一张彩票,然后就中了几百万乃至上千万的巨额奖金,这大概是很多人梦寐以求的事.可是这样的机会有多大呢?

我们以前段时间比较流行的“6+1”中国体育福利彩票为例来计算一下.买一注彩票,你只需在0到9的10个数字中任意选取7个,可以重复.在每一期开奖时有一个专门的摇奖机按顺序随机摇出7个标有数字的小球,如果你买的号码与开奖的号码一致,那你就中了特等奖,其奖金最高是500万元.可是,当我们计算这种摇奖方式能产生出多少种不同的情况时,我们会吓一跳:10×10×10×10×10×10×10×10=10000000种!这就是说,假如你只买了一注彩票,7个号码按顺序与开奖号码完全一致的机会是一千万分之一.一千万分之一是一个什么样的概念呢?如果每星期你坚持花20元买10注彩票,那你在每19230年中有赢得一次大奖的机会;即使每星期坚持花2000元买1000注,也大致需要每192年才有一次中大奖的机会.这几乎是单靠人力所不能完成的,获大奖仅是我们期盼的偶然中的偶然事件.即数学上归为小概率事件之列.(不可能发生的事件)举个例子:假如你买1注彩票,号码为0000000,大家也许会笑你是个是个傻瓜,0000000—中大奖?可能吗?其实号码0000000和其他任何可能中大奖的概率是一样的,都是一千万分之一.当你意识到0000000号码不能中奖时,也应该明白其他

号码中奖的可能性其实也一样不可能.

再如“双色球”中奖概率又是多少?

①“双色球”一等奖的中奖概率是多少?

“双色球”一等奖就是中了6个红色球号码和1个蓝色球号码，即中了“6+1”。由此，它的中奖概率就等于红色球33选6的中奖概率N与蓝色球16选1的中奖概率n的乘积S，即S＝l／17721088。

②二等奖的中奖概率是多少?

“双色球”二等奖的中奖概率为 1 ／1181406 。

③三等奖的中奖概率是多少?

“双色球”三等奖的中奖概率为 1 ／109389 。

④、总的平均中奖率为：

1188988/17721088=0.067094526024587203675079092209237=6.7%

由此看出，只有极少数人能中奖，购买者应怀有平常心，既不能把它作为纯粹的投资，更不应把它当成发财之路。这些看起来似乎并不很难，其实却是“可望而不可及”的。

那为什么总有人能中大奖呢?这是因为参与的人数是极其巨大的,人们总是抱着撞大运的心理去参加.孰不知,彩民们就在这样的幻想中为彩票公司贡献了巨额的财富.一般情况下,彩票发行者只拿出全部彩金的45%作为奖金返还,这意味着无论奖金的比例如何分配,无论彩票的销售总量是多少,彩民平均付出1元钱只能赢得0.45元的回报.从这个平均值的角度出发,这个游戏是绝对不划算的.

2、选择题瞎猜问题

现在用计算机阅卷的考试越来越多.于是在考卷上,便于计算机阅卷的选择题的比例也越来越大.你想过做选择题全凭瞎猜能得多少分吗?

比如,有5道3选1的选择题,5道题全部答错的概率为:

23?? ???=32243=约13% 因此,只要用1减去5道题全部答错的概率:

100%-13%=约87%

由此可见,即使不看题目,瞎猜乱选,也有近90%的概率至少可以答对1道题.当然,绝不是鼓励大家在考试中胡乱做选择题.如果知道正确答案,还是要选对应的选项.

再比如,如果考试中有10道选择题,每道题都有4个选项,但其中只有1个正确答案.在这种情况下,至少能猜对1道题的概率有多大?

10道题全部答错的概率为: 10

34?? ???

=0.056=5.6% 用1减去10道题全部答错的概率5.6%,得到的就是至少能猜对1道题的概率,即94.4%.由此看出,即使瞎猜乱选,做10道题中至少能猜对一道还是不难的.

那么做10道题中猜对5道的概率又该如何计算呢?通过下面的公式可以算出概率为P 的事情发生r 次的概率: r n C ×r P ×()

1n r P -- 而是从n 个元素中选出r 个元素的公式,计算方法为: r n C

=!n ÷!r ×()!n r - 公式里全是符号,可能会有点晕.其实,只要把具体数字带入公式,就容易理解

了. 我们的问题是“有10道4选1的选择题,猜对其中5道的概率有多大?”,换言之,就是“在10道题中,概率为14

的情况出现5次的概率为多大?”

一共有10道选择题,所以n=10;由于是4选1的选择题,所以P =14

;问的是猜对5道题的概率,所以r =5.把n =10、P =14

和r =5代入上述公式中,便得到: 510C ×514?? ???×5

34?? ???

= 252×11024×2431024=0.058…… 5.8%≈

因此,做10道4选1的选择题时,猜对其中5道的概率仅有5.8%.

这也就是说,猜对的题目越多,实现的概率越小.因此,要想在考试中取得好成绩,光靠运气瞎猜乱选是行不通的,必须具有真才实学.

3、面试通过的概率

刚从学校毕业即将步入社会的年轻人都希望找一份合适的工作.可是,目前的经济情况一直不景气,找个工作都很难,很多公司的面试通过率也很低,年轻人该怎么办呢?其实,年轻的朋友不必灰心丧气.从概率学的角度讲,只要坚持不懈地努力,成功的概率就会不断提高.

一件成功概率为50%的事情.只要我们反复做5次,就可以把成功概率提高至97%.

如果5家公司的面试率都是50%,那么我们去这5家公司面试时至少可以通过一家公司面试的概率也为97%.

将每家公司面试不合格的概率相乘,就可以得出去5家公司面试都不合格的概率,即

50.5=0.03 (约3%)

用1减去都不合格的概率,得出的便是至少可以通过一家公司面试的概率:

1- 0.03=0.97(97%)

同样,如果面试的通过率都为30%,面试5家,至少可以通过1家面试的概率为83%.

如果面试的通过率仅为10%,连续面试10家,至少可以通过1家面试的概率为65%.如果连续面试20家,至少通过1家面试的概率则高达88%.

此外,如果几家公司的面试通过率各不相同,分别是10%、20%、30%、40%和50%,那么参加这几家公司的面试后,至少能通过1家面试的概率该如何计算呢? 即使各个公司的面试通过率各不相同,同样可以利用前面的方法进行计算.首先将各个公司面试的不合格的概率相乘,就可以得到去任何一家公司面试都不合格的概率,再用1减去这一概率,便得到至少能通过一家公司面试的概率.

因此

1-(0.9×0.8×0.7×0.6×0.5)=约0.85

也就是说,至少通过1家公司面试的概率为85%.

4、生日概率问题

我们来看一个经典的生日概率问题.以1年365天计(不考虑闰年因素),你如果肯定在某人群中至少要有两人生日相同,那么需要多少人?大家不难得到结果,366人,只要人数超过365人,必然会有人生日相同.但如果一个班有50个人,他们中间有人生日相同的概率是多少?你可能想,大概20%～30%,错,有97%的可能! 它的计算方式是这样的:

a 、50个人可能的生日组合是365×365×365×……×365(共50个)个;

b 、50个人生日都不重复的组合是365×364×363×……×316(共50个)个;

c 、50个人生日有重复的概率是1-b

. 这里,50个人生日全不相同的概率是b a

=0.03,因此50个人生日有重复的概率是1-0.03＝0.97,即97%.

根据概率公式计算,只要有23人在一起,其中两人生日相同的概率就达到51%!

但是,如果换一个角度,要求你遇到的人中至少有一人和你生日相同的概率大于50%,你最少要遇到253人才成.

5、降水概率问题

降水概率为0,为什么还会下雨?

一提到概率,很多朋友首先会想起天气预报中出现的“降水概率”,毕竟每天都有天气预报,每天都能接触到“降水概率”这个专用术语.那么,到底什么事降水概率呢?所谓降水概率就是下雨或下雪的概率.

听到天气预报中说的降水概率后,一般人都会根据经验决定出门时是否带伞.比如,一听到预报说降水概率在50%以上,很多朋友就会带雨伞出门.不过,对我而言,降水概率不上60%,我决不会带雨伞出门.

我们说过,概率为0的事情绝对不会发生.不过,说到降水概率,即使为0%,也不能保证绝对不会下雨或下雪.这是为什么呢?降水概率是将未来可能出现的气象条件与以往的气象数据进行对比和分析后得到的.

首先,要使用超级计算机预测未来一半时间内的大气状况和气压配置等各种气象条件.然后,再将预测的气象数据与过去保存的气象数据进行对比,并找出过去在相同的气象条件下降水在1毫米以上的概率有多大.这一概率就是未来一段时间内的降水概率.

比如,为了预测明天早晨6点到中午12点之间的降水概率,气象专家首先要用超级计算机预测明天这个时间段内的各种气象条件.然后,再找出过去与预测的现象条件类似或接近的气象数据,并据此计算出降水在1毫米以上的概率值.假如在以往10次类似的气象条件中,有7次降水在1毫米以上,那么降水的概率就为

70%.

因此,预测说降水概率为70%这,相当于预报10次降水概率为70%中只有7次的降水会在1毫米以上.

此外,现在的降水概率的预报以10%为单位,因而降水概率都是10%的整数倍,之间的数值都要进行四舍五入.当然,预报得过于具体也没有多大意义.因此,0%—4%的降水概率都会预报为0%,而5%—14%的降水概率都会预报为10%……因此,预报降水概率为0%,是说降水概率在0%-4%之间,因此不能完全保证不会下雨或下雪.

6、概率与赌博

概率理论从赌博中发展而来,又反过来成为赌场老板赚钱的强大工具.进入赌场的人总是相信自己运气十足,孰不知赌场庄家早已利用概率规律为他们设下了陷阱.例如,很多赌场里的老虎机上都顶着跑车,下面写着告示,告诉赌客已经有多少人玩了游戏,车还没送出,暗示现在轮到你的机会大增.但这其实是赌场利用概率规律为赌徒设下的一个诱惑陷阱.概率里有一个重要的规律就是随机事件的独立性,在随机事件中下次事件发生与否与上次事件是没关系的.

但人们通常都对这个规律无知无觉,很多情况下,人们因为前面已经有了大量的未中奖人群而去买彩票或参与到游戏中去.实际上,只要得大奖的规则没有变化,每人是否幸运,和前面的人是否中奖毫无关系,并不会因为前面人没中奖你就多了中奖的机会.庄家在参与赌博时已经设计好了一个有利于自己的概率,而很多玩家却浑然不知.

以前些年盛行于农村街头的摸球中奖事件为例.每逢集市,在街上总有人在人流密集的地方设摊摸奖,其规则是:在黑布袋里有六个白乒乓球与六个黄乒乓球,玩家随便从黑布袋中摸出六个球,1)摸出6黄或6白可得100元钱;2)摸出5黄1白或5

白1黄,可得10元钱;3)摸出4黄2白或4白2黄,可得1元钱;4)摸出3黄3白则要花20元买一瓶洗发水(估计一瓶洗发水的价格在九元左右,即庄家可赚11元).表面上看,共有7种情况,竟有6种情况可获奖,而只有1种情况要花钱买洗发水,即使摸到这种情况就当花钱买洗发水了,人们有了这种心理,感觉这种赌局非常划算.

但实际上赢钱的人很少,而如果连摸5次以上,几乎是必赔无疑,这里,庄家使用了什么障眼法呢?我们用概率的知识看一下.从12个球中摸出任意的6个球,共有

种情况,其中出现6黄或6白的情况,都只有1次,共2次,概率约为0.22%;

出现5黄1白或5白1黄的机会相等,分别有=66=36次,共72次,其概率约

为7.79%;出现4黄2白或4白2黄的机会相等,分别有=15×15=225次,共450

次,其概率约为48.70%;而摸到3黄3白的次数为=2020=400次,概率约为43.29%.按照上述概率,当玩家摸10次球时,最大的可能为4次3黄3白,共赔48元;5次为4黄2白或4白2黄,获得5元;1次为5黄1白或5白1黄,获得10元.这样玩家一般都会损失30元左右,平均一次损失3元.当玩的次数不断增加时,玩家平均损失的钱数几乎保持在此数额.

由于农村的人知识缺乏,头脑简单,贪小心理较重,再加上游戏方法简单,男女老幼都会玩,所以上当受骗的人还真不少,尤其是赶集的农村妇女,而庄家由于利用了概率论,经过周密计算,成了不变的赢家.

五、结论

因此，我们在生活和工作中，无论做什么事都要脚踏实地，对生活中的某些偶然事件要理性的分析、对待。一位哲学家曾经说过：“概率是人生的真正指南”。随着生产的发展和科学技术水平的提高，概率已渗透到我们生活的各个领域。众所周知的保险、邮电系统发行有奖明信片的利润计算、招工考试录取分数线的预测甚至利用脚印长度估计犯人身高等无不充分利用概率知识。

如今“降水概率”已经赫然于电视和报端。有人设想，不久的将来，新闻报道中每一条消息旁都会注明“真实概率”，电视节目的预告中，每个节目旁都会写上“可视度概率”。另外，还有西瓜成熟概率、火车正点概率、药方疗效概率、广告可靠概率等等。又由于概率是等可能性的表现，从某种意义上说是民主与平等的体现，因此，社会生活中的很多竞争机制都能用概率来解释其公平合理性。

总之随机现象在现实世界中大量存在,概率必将越来越显示出它巨大的威力。

第三部分：函数在现实生活中的应用

一，前言

身为高中生的我们在学校学习了许多类型的函数，函数作为高考的一大考点现在已经越来越让人注意起来，那么，各种函数在我们生活中又有什么应用呢？就此问题我们对此进行了研究与调查。

二，不同函数在生活中的运用

1，一次函数在生活中的运用

一元一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛。当人们在社会生活中从事买卖特别是消费活动时，若其中涉及到变量的线性依存关系，则可利用一元一次函数解决问题。

例如，当我们购物、租用车辆、入住旅馆时，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。这时我们应三思而后行，深入发掘自己头脑中的数学知识，做出明智的选择。俗话说：“从南京到北京，买的没有卖的精。”我们切不可盲从，以免上了商家设下的小圈套，吃了眼前亏。

下面，我就为大家讲述我亲身经历的一件事。

我们再去超市中经常会遇到“选择性优惠”，很多人在面对不同的优惠方式时往往会中了商家的圈套，选择了那一种不值的优惠方式，但是，运用一次函数的知识可以很好地解决这个问题。

比如，有一次在美廉美超市购物，在快结账的出口的地方经常有一些促销的商品，有一次看见了一块醒目的牌子吸引了我，上面说购买茶壶、茶杯可以优惠，这似乎很少见。更奇怪

高中数学听课评课总结

高中数学听课评课总结在学校领导的关心下，在教务处的具体指导下，本组教师群策群力，团结进取，在教学教研方面做得了一些成绩，主要有以下几个方面：本期加大了教学督查的力度。教研组内先后听了，魏丽芳，黄双妹、李哲3位老师的课，针对教育教学中存在的问题，教研组内进行了交流，有效的促进了他们对教育教学的研究以及角色的转变，保证了教学的有效推进。对提高教学质量取得了较好的效果。授课老师通过展示课件、授课技巧，注重相关知识与高考的链接，听后有不少的收获。我们组织评课活动，会上，各位老师各抒己见，指出了授课老师主要优点，并与授课老师交换了意见。阐述教学设计的理念，真诚地提出自己的见解。公开课对教师是一次良好的锻炼机会，也是学习别人的绝佳时机。通过听课，能够及时发现自己的不足之处，提高自己的教学水平，公开课的最大亮点是能够学习别人的先进理念，互帮互助，共同进步。经常利用多媒体教学，对提高教育教学质量起到促进作用，最后，教研组长对公开课中教师的教学设计、班级信息技术的运用、师生互动等方面作了分析，并且针对公开课出现的几个问题提出了改进建议，提出了新的希望。区级研讨课在我校举行。魏丽芳老师在高三6班举行鲤城区区级研讨课活动，椭圆的应用复习，得到全体参加的数

学教师一致好评，他对多媒体运用熟练、恰当，学生踊跃发言，整节课学习情势高，体现教师较强教学基本功，及引导学生自主学习的能力，老师一题多解，一题多变，利用树壮图展示知识间关系，教学效果明显。李哲向量的运算，双妹直线方程复习三角公式推导课都给每位教师留下深刻印象，他们认真负责，认真备课，上课，主动请教老教师研讨公开课内容，让听课教师受益。针对公开课存在问题，我们认真落实常规教学教研。数学组全体老师都能认真深入钻研业务，不断学习新的知识，努力提高教育、教学水平，以课堂教学改革为切入点，以促进学生自主学习为主攻方向，提高了课堂效益。为了能充分挖掘各人的潜能，发挥集体的力量和智慧，我们很注重集体备课，各年段每周至少有两次集体备课时间，并做到有内容和中心发言人，在集中之前，大家必须先钻研教材内容，然后就教材的内容对教学设计、教学的重难点如何去突破、对如何把握例题讲解的深浅程度、习题的选用等等发表个的见解和意见，大家一起学习、研究，取长补短。平时大家经常互相听课，同备课组的老师经常互相推荐自己经过学习后觉得很有收益的教研论文，大家一起共同学习，研究，最终达到共同提高的目的。全组教师工作十分认真，积极钻研教材，研究教法，在学校教学常规检查中，数学组整体情况良好，多次受到学校

高中数学竞赛校本课程

高中数学竞赛校本课程一、课程目标数学是研究空间形式和数量关系的学科，也是研究模式与秩序的一门学科。数学本身的特点决定了它作为科学基础的地位，中学数学的内容与其中蕴含的数学思想方法，尤其是通过数学学习培养的思考问题、解决问题的数学能力将在更深一层次的科学研究中大有作为。 1、夯实学生数学基础，使学生熟练掌握各种数学基本技能；全面提高学生演绎推理、直觉猜想、归纳抽象、体系构建、算法设计等诸多方面的能力，并在此基础上培养学生学习新的数学知识的能力，数学地提出、分析、解决问题的能力，数学表达与交流的能力；发展学生数学应用意识与数学创新意识。 2、努力扩展学生的数学视野，全面渗透研究性学习，激发学生学习数学的兴趣，使学生能欣赏数学的美学魅力，认识数学的价值，崇尚数学的思考，培养从事科学研究的精神与方法。 3、多角度衔接高等教育，大胆引入现代数学基本理念，为学生继续从事高深科学领域的学习奠定所必需的数学基础。二、课程设计理念与课程内容特色本课程始终围绕学生群体设计，从他们的学习与发展的实际学情为基本出发点。课程的内容的选择是严格的，它具有鲜明的针对性，能体现数学教学的特点。本课程设计向要突现以下几点： 1、注重发展学生的数学综合能力 “学以致用”，数学知识的学习必须进入运用的层次，接受实践的考验。20世纪下半叶以来，数学的最大发展是应用，这也对数学教学产生了深刻的影响。本课程在数学知识的理论应用与实践运用上大大加强，数学的融会贯通与“数学建模”成为主体；加强了数学各分支间的结合，以重要的数学思想方法来贯穿数学学习。 2、重视数学思想与数学方法养成的创新学习理念传授数学知识不是数学教学的重点，‘授人以鱼，不若授之以渔’。引导学生掌握解决问题的科学的数学思想与数学方法是本课程的核心。课程不完全以知识系统为主线，很多例题与练习是为了凸现其中的蕴含的数学思想方法而设计。本课程试图通过数学思想方法的养成为学生形成正确的，积极主动的学习方式创造有利条件，为学生提供“提出问题，探索研究，实践应用”的空间，帮助学生形成独立思考、自主钻研的习惯，培养学生的自主能力，提高理性的数学思维，养成勇于创新的科学理念。 3、拓展数学视野，形成开放体系，努力增强时代感由于本课程的学习对象为具备教好的数学基础与学习能力的学生，因此在内容上必须有一定的深度与广度，要能够印发学生的思考，要有新的知识内容与视角，传统的数学课程内容长期以来已经模式化，可选择性不强，本课程大胆突破高考限制，引入“向量几何”、“矩阵理论”、“概率统计”、“线性规划”、“微积分初步”等现代数学内容，摆脱以往数学课程内容的被动与滞后，是本课程力图突破的一点。此外，本课程通过每个章节设置的“本章阅读”介绍著名数学家、数学趣题、数学发展史以及最新数学进展来拓展学生的视野，提高学习数学兴趣。三、课程内容与数学计划高一上学期第一章.集合与命题第二章.函数第三章.不等式第四章.三角函数

上海市上海中学高一数学上学期期中试卷(含解析)

上海市上海中学高一数学上学期期中试卷（含解析）一、选择题（本大题共4小题） 1.已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 详解：，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A. 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别. 2.已知实数x，y，则“”是“”的（） A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】找出与所表示的区域，再根据小范围推大范围可得结果．【详解】表示的区域是以为顶点的正方形及内部，表示的区域是以为圆心，1为半径的圆及内部，正方形是圆的内接正方形，，推不出， “”是“”的充分而不必要条件．故选：B．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了不等式组表示的区域，考查了推理能力，属于中档题． 3.设，，且，则（）

A. B. C. D. 以上都不能恒成立【答案】A 【解析】【分析】利用反证法可证得，进而由可得解. 【详解】利用反证法：只需证明，假设，则：所以：，但是，故：，，．所以：与矛盾．所以：假设错误，故：，所以：，故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：反证法的应用，关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题型． 4.对二次函数（为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（） A. 是的零点 B. 1是的极值点 C. 3是的极值 D. 点在曲线上【答案】A 【解析】若选项A错误时，选项B、C、D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所

高一数学校本教材《数学在生活中的应用》

课题：数学在生活中的应用本课题分三个部分： 1、分段函数模型在实际问题中的应用 2、概率在生活中的应用 3、函数在现实生活中的应用第一部分：分段函数在实际问题中的应用数学应用意识的考查是高考命题的指导思想，考查应用意识是通过解答应用问题来体现的，考查的重点是客观事物的数学化，这个过程主要是依据现实生活的背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决。我们会遇到如关于醉酒驾车问题、工作安排问题、学生听课注意力问题、通讯话费问题、阶梯电价问题、计程车计费问题、停车费问题、邮资问题、个人所得税等诸如此类问题，加以说明。一、醉酒驾车问题举例1. 某驾驶员喝了m 升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小实际问题 (核心) 数学模型 (关键) 还原说明 (验证) 模型的解 (目的) 分析模型 (重点)

时)变化的规律近似地满足表达式f(x)=()?????>?≤≤-1 ,10,531532x x x x 。《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定: 驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02毫克/毫升.此驾驶员至少要过______小时后才能开车。(精确到1小时) 分析:本题为分段函数型。根据解答分段函数“对号入座”的解题原则，分别利用两段函数表达式求解。解析:当0≤x ≤1时,f(x)为增函数，f(x )≥50-2=0.04>0.02；当x>1时, f(x)=()x 3153?≤0.02得()x 31≤301，3x ≥30, 33=27<30, 34=81>30,x ≥4,故该驾驶员至少要过4小时后才能开车. 二、工作安排问题举例2. 某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成，每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一种型号的零件。设加工A 型零件的工人人数为x 名(*∈N x ). ⑴分别用含x 的式子表示完成A 型零件加工所需时间和完成B 型零件加工所需时间； ⑵为了在最短时间内完成全部生产任务，x 应取何值? 解析: ⑴生产150件产品，需加工A 型零件450个，则完成A 型零件加工所需时间f(x)= () 491,905450 ≤≤∈=*x N x x x . 生产150件产品，需加工B 型零件150个，则完成B 型零件加工所需时间g(x)=()() 491,5050503150≤≤∈=*--x N x x x . (2)设完成全部生产任务所需时间为h(x)小时，则h(x)为f(x)与g(x)的较大者。令 f(x)≥g(x)，即x 90≥x -5050，解得1≤x ≤3271.所以当1≤x ≤32时，f(x)>g(x)，当33

2016-2017年上海市上海中学高一上期中数学试卷

上海中学高一期中数学卷 2016.11 一. 填空题 1. 设集合{0,2,4,6,8,10}A =，{4,8}B =，则A C B = 2. 已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =I 3. “若1x =且1y =，则2x y +=”的逆否命题是 4. 若2211()f x x x x +=+ ，则(3)f = 5. 不等式9x x >的解是 6. 若不等式2(1)0ax a x a +++<对一切x R ∈恒成立，则a 的取值范围是 7. 不等式2(3)30x --<的解是 8. 已知集合{|68}A x x =-≤≤，{|}B x x m =≤，若A B B ≠U 且A B ≠?I ，则m 的取值范围是 9. 不等式1()()25a x y x y ++ ≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为 10. 设0a >，0b >，且45ab a b =++，则ab 的最小值为 11. 已知二次函数22 ()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数c ，使()0f c >，则实数p 的取值范围是 12. 已知0a >，0b >，2a b +=，则22 21 a b a b +++的最小值为二. 选择题 1. 不等式||x x x <的解集是（） A. {|01}x x << B. {|11}x x -<< C. {|01x x <<或1}x <- D. {|10x x -<<或1}x > 2. 若A B ?，A C ?，{0,1,2,3,4,5,6}B =，{0,2,4,6,8,10}C =，则这样的A 的个数为（） A. 4 B. 15 C. 16 D. 32 3. 不等式210ax bx ++>的解集是11 (,)23 -，则a b -=（） A. 7- B. 7 C. 5- D. 5 4. 已知函数2 ()f x x bx =+，则“0b <”是“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等” 的（）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要

高中数学听课记录范例

高中数学听课记录范例听课有利于青年教师学习优秀教师的先进教学经验，兴城良好的教学风气。那么高中数学听课记录怎么写呢？一、实例导入课题：日常生活中，我们有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从阶梯教室后向前走，逐步下降,上下楼梯也是一样。（板书课题：函数的单调性）二、推出新课：（一）、函数的单调性： 1、观察非典时期每日新增病例的变化统计图，对函数的单调性有感性的认识。 2、学生思考一次函数y=kx+b中，当k>0时，y的值随x的值的变化情况。总结该函数图像中点的坐标规律。 3、单调增（减）函数的定义：一般地，设函数的定义域为I，区间AI，如果对于区间A内的任意两个值，当时都有，那么就说在这个区间上是单调增（减）函数。（让学生思考交流之后，说出增、减函数定义中的关键词）（二）、单调函数、单调区间的概念：（教师板书，引导学生理解。）（三）、函数单调性的判断与证明 1、讲解例1：画出的图像，判断它的单调性，并加以证明。分析：画出图形，让学生归纳，并利用定义证明，教师板书。

例题中的注意点：（1）、解题格式；（2）、防止循环论证；（3）、作差同“0”比较。 2、师生共同归纳用定义法证明函数单调的一般步骤：（1）、取值；（2）、作差与变形；（3）、判断；（4）、结论。 3、讲解例2：求证：函数在区间上是单调增函数。（学生小组讨论，集体思考证明过程，请完成的小组上黑板板演，其他小组分析纠错，教师做好点拨。）三、课堂练习：1、P39页1、2、3题。四、课堂小结：（学生总结知识点，教师补充。）五、布置作业：1、P39页2、4、5题。评价与建议 1、教学环节设计合理，思路清晰。 2、对概念的讲解很细致，教学作用点找的很好。 3、讲解、合作讨论、学生板演、核心指导相结合，防止学生疲劳而影响课堂效果。 4、教学中善于表扬学生、鼓励学生。 5、教学中要更多地深入学生之中，关注学生的实际学习情况，提高课堂效率。 6、这节课的知识比较抽象，学生能搞懂基本概念的来龙去脉，但更重要的是引导学生从具体实例抽象出数学概念的过程，在运用中逐步理解概念的本质需要加强。

2020上海中学高一下期中数学

微信号：JW2215874840或ross950715或Soulzbb 上海中学 2019-2020 学年高一下期中考试一、填空题（每空3分,共30分） 1.已知点A (2,-1)在角α的终边上,则sin α=__________. 2.函数sin(2)y x π=+的最小正周期是________. 3．一个扇形半径是2,圆心角的弧度数是2,则此扇形的面积是________. 4.已知函数[]()sin (0,)f x x x π=∈和函数1()tan 2 g x x = 的图像交于A 、B 、C 三点,则△ABC 的面积为________. 5.在平面直角坐标系xoy 中,角α与角β都以x 轴正半轴为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3 α= ,则cos()αβ-=__________.6.已知3sin()45x π-=,则sin 2x =__________.7.设(),0,x y π∈，且满足2222sin cos cos cos sin sin 1sin() x x x y x y x y -+-=+，则x y -=_____.8.我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”,用现代式子表示即为：在△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别是a 、b 、,c 则△ABC 的面积 S =.根据此公式，若cos (3)cos 0a B b c A ++=,且2222a b c +-=,则△ABC 的面积为_______. 9.若函数()2sin(2)1()6f x x a a R π=++-∈在区间0,2π?????? 上有两个不同的零点12,x x ,则12x x a +-的取值范围是__________. 10.已知函数sin ()cos m f ααα-=在(0,2 π上单调递减,则实数m 的取值范围是________.二、选择题（每题4分,共24分） 1.已知cos ,(1,1),(,)2k k πααπ=∈-∈,则sin()πα+=( ) A. C. D.1k -

高中数学等比数列听课记录

听课记录一、导入（由教材例题直接引入，PPT 展示） 1. (必修5P 55习题2(1)改编)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 6＝32，则S 3＝________． 2. (必修5P 49习题1改编) {a n }为等比数列，a 2＝6，a 5＝162，则{a n }的通项公式a n ＝________． 3. (必修5P 49习题6改编)等比数列{a n }中，a 1>0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝36，则a 3＋a 5＝________． 4. (必修5P 49习题7(2)改编)已知两个数k ＋9和6－k 的等比中项是2k ，则k ＝________． 5. (必修5P 51例2改编)等比数列{a n }中，S 3＝7，S 6＝63，则a n ＝________．二、知识点回顾 1.等比数列相关概念 2.等比数列相关性质三、典例分析题型1 等比数列的基本运算例1 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1) 求{a n }的公比q ；(2) 若a 1－a 3＝3，求S n . 解：(1) ∵ S 1，S 3，S 2成等差数列，∴ 2S 3＝S 1＋S 2，即2(a 1＋a 2＋a 3)＝a 1＋a 1＋a 2， ∴ 2a 3＝－a 2，∴ q ＝a 3a 2＝－12. (2) a 3＝a 1q 2＝14a 1，∴ a 1－14a 1＝3，∴ a 1＝4，∴ S n ＝4????1－()－12n 1＋12＝83－83() －12n . 变式训练已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且2a n ＋1＝S n ＋2(n ∈N )． (1) 求a 2，a 3的值，并求数列{a n }的通项公式； (2) 求解S n (n ∈N )．题型2 等比数列的判定与证明例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，3S n ＝a n －1(n ∈N )． (1) 求a 1，a 2； (2) 求证：数列{a n }是等比数列； (3) 求a n 和S n . (1) 解：由3S 1＝a 1－1，得3a 1＝a 1－1，∴ a 1＝－12.又3S 2＝a 2－1，即3a 1＋3a 2＝a 2－1，得a 2＝14. (2) 证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列． (3) 解：由(2)可得a n ＝????－12n ，S n ＝????－12????1－????－12n 1－????－12＝－13????1－????－12n .

高中数学教案——函数教材分析

第二章函数教材分析本章为函数，分三个单元共10节，内容如下函数、函数的表示方法、函数的单调性，;反函数；指数、指数函数；对数、对数函数；函数的应用举例本章共需30课时，具体分配如下： 2.1函数约3课时 2.2 函数的表示方法约2时 2.3 函数单调性约2课时 2.4 反函数约3课时 2.5 指数约3课时 2.6 指数函数约3课时 2.7 对数约3课时 2.8 对数函数约3课时

2.9 函数的应用举例约4课时实习作业约1课时小结与复习约3课时一、内容与要求函数是数学的重要的基础概念之一进一步学习的数学分析，包括极限理论、微分学、积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程，其他学科如物理学等学科也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具丰富的辩证思想，是对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材函数的思想方法也广泛地诊透到中学数学的全过程和其他学科中函数是中学数学的主体内容它与中学数学很多内容都密切相关，初中代数中的“函数及其图象”就属于函数的内容，高中数学中的指数函数、对数函数、三角函数是函数内容的主体，通过这些函数的研究，能够认识函数的性质、图象及其初步的应用后续内容的极限、微积分初步知识等都是函数的内容数列可以看作整标函数，等差数列的通项反映的点对(n，an)都分布在直线y＝kx+b的图象上，等差数列的前n项和公式也可以看作关于n(n∈N)的二次函数关系式，等比数列的内容也都属于指数函数类型的整标函数与函数内容有关函数在中学教材中是分三个阶段安排的步讨论了函数的概念、函数的表示方法以及函数图象的绘制等，并具体地讨论正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，通过计算函数值、研究正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的慨念和性质，理解函数的概念，并用描点法可以绘制相应函数图象本章以及第四章三角函数的内容是中学函数教学的第二阶段，也就是函数概念的再认识阶段，即用集合、映射的思想理解函数的一般定义，加深对函数概念的理解，在此基础上研究了指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的概念、图象和性质，从而使学生在第二阶段函数的学习中获得较为系统的函数知识，并初步培养了学生的函数的应用意识，为今后学习打下良好的基础第二阶段的主要内容在本章教学中完成第三阶段的函数教学是在高中三年级数学的限定选修课中安排的，选修Ⅰ的内容有极限与导数，选修Ⅱ的内容有极限、导数、积分，这些内容是函数及其应用研究的深化和提高，也是进一步学习和参加工农业生产需要具备的基础知识 (一)内容安排第一单元是函数，包括函数、函数的表示方法、函数的单调性、反函数等4节，是全章的基础本章的函数是用初中代数中的“对应”来描述的函数概念，这两个函数

2018-2019学年上海市上海中学高一下期中考试数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市上海中学高一下期中考试数学试题一、单选题 1．若则在 A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D 【解析】根据三角函数值在各个象限的正负，判断出角的终边所在的象限. 【详解】由于，故角为第一、第四象限角.由于，故角为第二、第四象限角.所以角为第四象限角.故选D. 【点睛】本小题主要考查三角函数值在各个象限的正负值，根据正切值和余弦值同时满足的象限得出正确选项. 2．函数的部分图像如图,则可以取的一组值是 A．B． C．D．【答案】C 【解析】试题分析：∵，∴，，又由得. 3．在△ABC中,分别为三个内角A、B、C的对边,若则△ABC的形状是A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】D 【解析】利用正弦定理化简得：，再利用二倍角公式整理得：，解三角方程即可得解。【详解】

由正弦定理化简得：, 整理得：，所以又，所以或. 所以或. 故选：D 【点睛】本题主要考查了正弦定理及三角恒等变换，还考查了正弦的二倍角公式及三角函数的性质，属于中档题。二、填空题 4．函数的最小正周期是_________. 【答案】【解析】直接由周期公式得解。【详解】函数的最小正周期是：故填：【点睛】本题主要考查了的周期公式，属于基础题。 5．已知点P在角的终边上,则_______. 【答案】0 【解析】求出到原点的距离，利用三角函数定义得解。【详解】设到原点的距离，则所以，，所以【点睛】本题主要考查了三角函数定义，考查计算能力，属于基础题。 6．已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为__________．

高一数学必修1教学计划

高一数学必修1教学计划榆中县职教中心李斌高一年级学生的自主学习能力较差，问题很多。有些学生解方程、解不等式甚至连分数的加减法都不会。这给教学工作带来了一定的难度，要想在这个基础上把教学搞好，任务很艰巨。所以特制定如下教学工作计划。一、指导思想准确把握《教学大纲》和《考试大纲》的各项基本要求，立足于基础知识和基本技能的教学，注重渗透数学思想和方法。针对学生实际，不断研究数学教学，改进教法，指导学法，奠定立足社会所需要的必备的基础知识、基本技能和基本能力，着力于培养学生的创新精神，运用数学的意识和能力，奠定他们终身学习的基础。二、教学建议 1、深入钻研教材。以教材为核心，深入研究教材中章节知识的内外结构，熟练把握知识的逻辑体系，细致领悟教材改革的精髓，逐步明确教材对教学形式、内容和教学目标的影响。 2、准确把握新大纲。新大纲修改了部分内容的教学要求层次，准确把握新大纲对知识点的基本要求，防止自觉不自觉地对教材加深加宽。同时，在整体上，要重视数学应用；重视数学思想方法的渗透。如增加阅读材料（开阔学生的视野），以拓宽知识的广度来求得知识的深度。 3、树立以学生为主体的教育观念。学生的发展是课程实施的出发点和归宿，教师必须面向全体学生因材施教，以学生为主体，构建新的认识体系，营造有利于学生学习的氛围。 4、发挥教材的多种教学功能。用好章头图，激发学生的学习兴趣；发挥阅读材料的功能，培养学生用数学的意识；组织好研究性课题的教学，让学生感受社会生活之所需；小结和复习是培养学生自学的好材料。 5、落实课外活动的内容。组织和加强数学兴趣小组的活动内容。三、教学内容第一章集合与函数概念 1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。 2．能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。 3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。 4．在具体情境中，了解全集与空集的含义。 5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。 6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。 7．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 8．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。 9．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数。 10．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。 11．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何