28.（本小题满分10分） 如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A 向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP-CQ。设AP=x （1）当PQ∥AD时，求x的值； （2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围； （3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围。 21．（本小题满分9分） 如图，直线y x m =+与双曲线 k y x =相交于A（2，1）、B两点． （1）求m及k的值； （2）不解关于x、y的方程组 , , y x m k y x =+ ? ? ? = ?? 直接写出点B的坐标； （3）直线24 y x m =-+经过点B吗？请说明理由． （第21题）
28．（2010江苏淮安，28，12分）如题28(a)图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(12，0)，点B坐标为(6，8)，点C为OB的中点，点D从点O出发，沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度／秒的速度运动一周． (1)点C坐标是( ，)，当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是( ，)； (2)设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示△OCD的面积S,并指出t为何值 时，S最大； (3)点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动，如题28(b)图，若点E与点D同时 出发，问在运动5秒钟内，以点D，A，E为顶点的三角形何时与△OCD相似(只考虑以点A．O为对应顶点的情况)： 题28(a)图题28(b)图 （10江苏南京）21.（7分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相较于点O，△ABC≌△BAD。求证：（1）OA=OB；（2）AB∥CD. （10江苏南京）28.（8分）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A
（1）求证：BG FG =； （2）若2 ==，求AB的长． AD DC 二：如图，已知矩形ABCD，延长CB到E，使CE=CA，连结AE并取中点F，连结AE并取中点F，连结BF、DF，求证BF⊥DF。 三：已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED.
求证:AE平分∠BAD. 四、（本题7分）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平分线，BD⊥AD于D，AB=12， AC=18，求DM的长。
五、（本题8分）如图，四边形ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 交于点O ， 且AC ⊥BD ，DH ⊥BC 。 ⑴求证：DH=2 1（AD+BC ） ⑵若AC=6，求梯形ABCD 的面积。 六、(6分) 、如图，P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥DC ，PF ⊥BC ，E 、F 分别为垂足，若CF=3,CE=4,求AP 的长.
七、(8分)如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，E 、F 分别是BM 、CM 的中点． （1）在不添加线段的前提下，图中有哪几对全等三角形？请直接写出结论； （2）判断并证明四边形MENF 是何种特殊的四边形？ （3）当等腰梯形ABCD 的高h 与底边BC 满足怎样的数量关系时？四边形MENF 是正方形（直接写出结论，不需要证明）． 选择题： 15、如图，每一个图形都是由不同个数的全等的小等腰梯形拼成的，梯形上、下底及腰长如 图，依此规律第10个图形的周长为 。 …… 第一个图 第二个图 第三个图 16、如图，矩形ABCD 对角线AC 经过原点O ，B 点坐标为 （―1，―3），若一反比例函数x k y 的图象过点D ，则其 解析式为 。 M F E N D C A B
八年级上册几何证明题专项练习 1．如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB． 2．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD． 3．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D． （1）求证：AC∥DE； （2）若BF=13，EC=5，求BC的长． 4．如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D． 5．如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB 求证：AE=CE．
6．如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD．求证：AB=AC． 7．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB． 8．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：DE=DF． 9．如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF． 10．如图，已知∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC． 求证：BC=AD．
11．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE． 12．如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF． 13．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2． （1）求证：BD=CE； （2）求证：∠M=∠N． 14．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E． 求证：△ACD≌△CBE． 15．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，∠BAE=∠BCE=90°，且BC=CE，AB=DE．求证：△ABC≌△DEC．
第十一章几何证明初步知识点整理定义：用来说明一个名词含义的语句叫做定义. 2.命题：对事情进行判断的语句叫做命题.每个命题都由条件和结论两部分组 成.条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项. 3.一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”引出的部 分是条件,“那么”引出的部分是结论.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.例如,下列句子都不是命题: 4.(1)你喜欢数学吗?(2)作线段AB=CD.⑶清新的空气；⑷不许讲话。 5.正确的命题称为真命题,不正确的的命题称为假命题. 6.反例：要指出一个命题是假命题，只要能举出一个例子，使它具备命题的条 件，而不符合命题的结论就可以了。这种例子称为反例。 5.公理：人类经过长期实践后公认为正确的命题,作为判断其他命题的依据。这些公认为正确的命题叫做公理。 证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明. 定理:经过证明的真命题称为定理. 本套教材以下列基本事实作为公理： 1.两点确定一条直线。 2.过直线外一点可以作且只能作一条直线与已知直线平行。 3.两直线平行,同位角相等。 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 5.判断三角形全等的方法：SAS ASA SSS。 6.全等三角形的对应角相等，对应边相等。 7.在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这一性质也看作公理,称为“等量代换”. 判断：
所有的命题都是公理。所有的真命题都是定理。 所有的定理是真命题。所有的公理是真命题。 6.在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。 Eg: (1)两条直线平行，内错角相等． (2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等． (3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等． (4)全等三角形的对应角相等． 注意: 一个命题是真命题,它的逆命题却不一定是真命题. 如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题就是原来定理的逆定理！（勾股定理和它的逆定理） 7.三角形内角和定理：三角形三个角的内角和等于180° 推论一：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 推论二：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。 8.直角三角形的两个锐角互余。有两角互余的三角形是直角三角形。 三角形的外角和等于360°。 9.反证法：先提出与命题的结论相反的假设,推出矛盾,从而证明命题成立.这种证明的方法叫做反证法. 反证法的步骤：否定结论—推出矛盾—肯定结论 Eg: 1、“a＜b”的反面应是（） （A）a≠＞b （B）a ＞b （C）a=b （D）a=b或a ＞b
八年级数学全等三角形证 明题 Prepared on 21 November 2021
第十三章全等三角形测试卷 （测试时间：90分钟总分：100分） 班级姓名得分 一、选择题（本大题共10题；每小题2分，共20分） 1．对于△ABC 与△DEF ，已知∠A =∠D ，∠B =∠E ，则下列条件①AB=DE ；② AC=DF ；③BC=DF ；④AB=EF 中，能判定它们全等的有（） A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④ 2．下列说法正确的是() A ．面积相等的两个三角形全等 B ．周长相等的两个三角形全等 C ．三个角对应相等的两个三角形全等 D ．能够完全重合的两个三角形全等 3．下列数据能确定形状和大小的是（） A ．A B =4，B C =5，∠C =60°B ．AB =6，∠C =60°，∠B =70° C ．AB =4，BC =5，CA =10 D ．∠C =60°，∠B =70°，∠A =50° 4．在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D ，AB =DE ，添加下列哪一个条件，依然不能证 明△ABC ≌△DEF () A ．AC =DF B ．B C =EF C ．∠B=∠E D ．∠C=∠F 5．OP 是∠AOB 的平分线，则下列说法正确的是（） A ．射线OP 上的点与OA ，O B 上任意一点的距离相等 B ．射线OP 上的点与边OA ，OB 的距离相等 C ．射线OP 上的点与OA 上各点的距离相等 D ．射线OP 上的点与OB 上各点的距离相等 6．如图，∠1=∠2，∠E=∠A ，EC=DA ，则△ABD ≌△EBC 时，运用的判定定理是（） A ．SSS B ．ASA C ．AAS D ．SAS 7．如图，若线段AB ，CD 交于点O ，且AB 、CD 互相平分，则下列结论错误的是 （） A ．AD=BC B ．∠C=∠D C ．A D ∥BC D ．OB=OC 8．如图，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，AB =CD ，AE =CF ， 则图中全等三角形共有() A ．1对 B ．2对 C ．3对 （第8题） A D C B E F O A D C B （第7题） A C E D （第6题） 2 1
几何证明题 1、已知：如图1所示，?ABC 中，∠=?===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。 求证：DE ＝DF 2、已知：如图2所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。求证：∠E ＝∠F 3、如图3所示，设BP 、CQ 是?ABC 的内角平分线，AH 、AK 分别为A 到BP 、CQ 的垂线。求证：KH ∥BC
4、已知：如图4所示，AB ＝AC ，∠，，A AE BF BD DC =?==90。求证：FD ⊥ED 5、已知：如图6所示在?ABC 中，∠=?B 60，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。 求证：AC ＝AE ＋CD 6、已知：如图7所示，正方形ABCD 中，F 在DC 上，E 在BC 上，∠=?EAF 45。 求证：EF ＝BE ＋DF
7、如图8所示，已知?ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝BD ，连结CE 、DE 。 求证：EC ＝ED 8、例题：已知：如图9所示，∠=∠>12，AB AC 。 求证：BD DC > 作业 1. 已知：如图11所示，?ABC 中，∠= C 90于E ，且有AC A D C E ==。求证：DE CD = 1 2 C 图11 A B D E
2. 已知：如图 求证：BC ＝ 3. 已知：如图13所示，过?ABC 的顶点A ，在∠A 内任引一射线，过 B 、 C 作此射线的垂线BP 和CQ 。设M 为BC 的中点。 求证：MP ＝MQ 4. ?ABC 中，∠=?⊥BAC AD BC 90，于D ，求证：()AD AB AC BC < ++4
全等三角形的判定班级：姓名： 1．已知AD是⊿ABC的中线，BE⊥AD，CF⊥AD，求证BE=CF。2．已知AC=BD，AE=CF，BE=DF，求证AE∥CF 3．已知AB=CD，BE=DF，AE=CF，求证AB∥CD 4．已知在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB，求证AB∥CD 5．已知∠BAC=∠DAE，∠1=∠2，BD=CE，求证⊿ABD≌⊿ACE. 6．已知CD∥AB，DF∥EB，DF=EB，求证AF=CE 7．已知BE=CF，AB=CD，∠B=∠C，求证AF=DE A B C D F E C D E F D C F E A B A D E B C 1 2 A D C E F B A D
8．已知AD =CB ， ∠A =∠C ，AE =CF ，求证EB ∥DF 9．已知M 是AB 的中点，∠1=∠2，MC =MD ，求证∠C =∠D 。 10．已知，AE =DF ，BF =CE ，AE ∥DF ，求证AB =CD 。 11．已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证AC =AD 12．已知∠E =∠F ，∠1=∠2，AB =CD ，求证AE =DF 13．已知ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，BD =EF ，求证BM =ME 。 14．在⊿ABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，且AD =BD ，求证⊿BHD ≌⊿ACD 。 A C D B 1 2 3 4 A B C D E F 1 2 A E H A C M E F B D B A D F E C M A B C D 1 2 D C F E A B
15．已知∠A =∠D ，AC ∥FD ，AC =FD ，求证AB ∥DE 。 16．已知AC =AB ，AE =AD ， ∠1=∠2，求证∠3=∠4。 17．已知EF ∥BC ，AF =CD ，AB ⊥BC ，DE ⊥EF ，求证⊿ABC ≌⊿DEF 。 18．已知AD =AE ，∠B =∠C ，求证AC =AB 。 19．已知AD ⊥BC ，BD =CD ，求证AB =AC 20．已知∠1=∠2，BC =AD ，求证⊿ABC ≌⊿BAD 。 A B C E F D A B C E D F A D E B C A B C D A D E B C 1 2 3 4
八年级上册证明题 课堂练习 一、解答题 1.（本题7分）已知如图，在△ABC 中，CH 是外角∠ACD 的角平分线，BH 是∠ABC 的平 分线, ∠A=58°.求∠H 的度数. 2.（本题10分）如图（1）：已知等腰直角三角形ABC 中,∠ACB= 90,直线l 经过点C,AD ⊥l ,BE ⊥l ,垂足分别为D 、E 。 (1)证明ΔACD ≌ΔCBE ；（5分） (2)如图2，当直线l 经过ΔABC 内部时,其他条件不变,（1）中的结论还成立吗?如果成立, A B C D H 图1
3．（6分）阅读理解题： （1）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=1 2BC． 求证：∠BAC=90°． 证明：∵AD=1 2BC，BD=CD= 1 2BC， ∴AD=BD=DC， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD， ∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°， ∴∠BAD+∠CAD=90°，即∠BAC=90°． （2）此题实际上是直角三角形的另一个判定定理，请你用文字语言叙述出来．（3）直线运用这个结论解答题目：一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另两边之和为1+ 3，求这个三角形的面积． 4、如图在ΔABC中AB=AC,∠BAC=900,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F
⑴求证：AE=CF （6分） ⑵是否还有其他结论，不要求证明（至少2个，4分） 5．将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3． (1) 将△ECD 沿直线l 向左平移到图(2)的位置，使E 点落在AB 上，则CC ′=______； (2) 将△ECD 绕点C 逆时针旋转到图(3)的位置，使点E 落在AB 上，则△ECD 绕点 C 旋转的度数=______； (3) 将△ECD 沿直线AC 翻折到图(4)的位置，ED ′与AB 相交于点F ，求证AF=FD ′． 6、如图，已知点P 为∠ABC 的任意一点，求证∠BPC > ∠BAC. D (1) (2) 第23题 A C B E 4 D E ’ A C B E D l (3) l D ’ F A C B E D (4) A C B E D l E ’ C ’
八年级下册几何证明题精选 1、如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE AC ⊥于BD CF E ⊥,于F ，求证：CF BE = 2、 如图，在平行四边形ABCD 中，DN CL BL AN ,,,分别为D C B A ∠∠∠∠,,,的 角平分线，试证明：四边形MNKL 是矩形 3、 如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥CE AC ,∥CE DE DB ,,相 交于E ，请判断四边形DOCE 的形状，并说明理由 4、 如图，△ABC 中，B ACB ∠?=∠,90的平分线交高CD 于点E ， 交AC 于F ，G AB FG ,⊥为垂足，请证明：四边形CEGF 是菱形 5、 如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，EF 经过点O ，分别与 边AB ，DC 相交于点F E ,，点N M ,分别是线段OC OA , 的中点，求证：四B
边形ENFM 是平行四边形 6、 已知，如图，点M H F E ,,,分别是正方形ABCD 的四条边上的点，并且 DM CH BF AE ===，求证：四边形EFHM 是正方形 F B 7、 如图，在梯形ABCD 中，N M ,分别为梯形两腰AB ，CD 的中点，ME ∥ AN 交BC 于点E ，试证明：NE AM = 8、 如图，在△ABC 中，AC AB =，CE BD ,分别为ACB ABC ∠∠, 的平分线，求证：四边形EBCD 是等腰梯形 9、 如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AB ∥DC ，?=∠90A ，CD 〉AD ， 将纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边CD 上的点E ，折痕为DF ，连结EF 并展开纸片。（1）求证：四边形ADEF 是正方形；（2）取线段AF 的中点G ，连结EG ，结果CD BG =，试说明四边形GBCE 是等腰梯形
八年级上册数学《证明》教案 教学目标： 知识与技能 1.使学生知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，掌握综合法证明的格式。 2.通过实例让学生体会反证法的含义和步骤。 过程与方法 经历有关有关命题的证明过程，三角形外角和定理的证明过程，使学生初步认识事物之间的因果关系与相互制约的关系。 情感、态度与价值观 感受数学的严谨，结论的确定，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力。 教学重点： 使学生知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，掌握综合法证明的格式。 教学难点： 综合法证明格式以及对反证法的理解。 教学过程： 一、复习： 判断下列命题是真命题还是假命题？（请生答） ①若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等。 ②内错角相等。 ③如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角。 ④三角形三个内角和为180度。（第四个一齐回答） 二、新授： 1，证明： 三角形的内角和为180度，那么三角形的外角和为多少度呢？ 采用剪拼或度量的方法，猜测三角形的外角和。（学生活动） 由于不同形状的三角形有无数个，我们不可能一一来验证，只能猜测任何一个三角形的外角和为360度。猜测出来的命题未必都是真命题，需要通过推理的方法加以证明。 回忆：从命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出其结论城里，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫做证明。 例1：证明命题“三角形的外角和为360度”是真命题。 F 分析：命题的条件：三角形的外角 命题的结论：外角和为360度（小组讨论完成） A 过程：已知：∠BAF、∠CBD、∠ACE分别是△ABC的三个外角 求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360° 证明：如图， ∵∠BAF=∠2+∠3 ∠CBD=∠1+∠3 B C ∠ACE=∠1+∠2（三角形的外角定理） D E ∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2（∠1+∠2+∠3）（等式的性质）
八年级数学上册几何证明题（提高题） 1.如图，在平面上将△ABC 绕 B 点旋转到△A/BC/的位置时,AA/∥BC,∠ABC=700，则∠CBC/为度. 2.如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB、AC 边翻折1800形成的，若∠1:∠2:∠3=28:5:3，则∠a 的度数为 3.将直角三角形（∠ACB 为直角）沿线段CD 折叠使B 落在B/处，若∠ACB/=50°，则∠ACD 度数为______． 4.如图,已知BD 平分∠ABC,DE⊥AB 于E,S△ABC=36cm2,AB=18cm,BC=12cm,则DE 的长为 5.如图,∠DEF=360，AB=BC=CD=DE=EF，求∠A 的度数。 6.已知△ABC≌△A/B/C/，△ABC 的三边为3、m、n，△A/B/C/的三边为5、p、q，若△ABC的各边都是整数，则m+n+p+q 的最大值为__________ 7.长为L 的一根绳,恰好可围成两个全等三角形,则其中一个三角形的最长边x的取值范围为( ) 8.已知,如图,下列三角形中,AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（） A.①③④ B.①②③④ C.①②④ D.①③ 9.如图，ΔABC 和ΔBDE 是等边三角形，D 在AE 延长线上。求证：BD+DC=AD。 10.如图，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC.求证：∠ADC+∠B=1800. 11.如图，在△ABC 中，D,E 分别为AB,AC 边中点，连接CD、BE 并分别延长至F、G，使BE=EG,CD=DF,连接FA,GA.求证：AF=AG. 12.如图，△ABC 中，∠BAC=900，AB=AC，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E， 直线CE 交BA 的延长线于F．求证：BD=2CE． 13.如图,已知△ABC中，AD平分∠BAC，E、F 分别在 BD、AD 上．DE=CD，EF=AC．求证：EF∥AB. 14.如图，∠A+∠D=1800，BE 平分∠ABC，CE平分∠BCD，点 E在 AD上． (1)探讨线段AB、CD 和BC 之间的等量关系;(2)探讨线段BE 与CE 之间的位置关系． 15.已知AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD的长. 16.已知，E 是AB 中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC的长. 17.如图,在△ABC 中，∠B，∠C相邻的外角的平分线交于点 D.求证：点 D 在∠A 的平分线上. 18.已知，在Rt△ABC 中，∠C=900，AC=BC，AD 为∠BAC 的平分线，DE⊥AB，垂足为C． 求证：△DBE 的周长等于AB的长． 19.已知，如图,在△ABC 中,AD 是∠BAC的角平分线，E、F 分别是AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=1800. 求证：DE=DF. 20.已知：如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F，交AC 的平行线BG 于点G，DE⊥GF，并交AB 于点E，连结EG．
几何证明题的技巧 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）分析综合法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 1、证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 例1. 已知：如图1所示，?ABC 中，∠=?===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。求证：DE ＝DF C F B A E D 图1 分析：由?ABC 是等腰直角三角形可知，∠=∠=?A B 45，由D 是AB 中点，可考虑连结CD ，易得CD AD =， ∠=?DCF 45。从而不难发现??DCF DAE ? 证明：连结CD AC BC A B ACB AD DB CD BD AD DCB B A AE CF A DCB AD CD =∴∠=∠∠=?=∴==∠=∠=∠=∠=∠=90，，，， ∴?∴=??A D E CDF DE DF 说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD ，因为CD 既是斜边上的中线，又是底边上的
（第8题） A D C B E F 全等三角 形测试卷 姓名得分 一、选择题（30分） 1．对于△ABC 与△DEF ，已知∠A =∠D ，∠B =∠E ，则下列条件①AB=DE ；②AC=DF ；③BC=DF ；④AB=EF 中，能判定 它们全等的有（） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．③④ 2．下列说法正确的是() A ．面积相等的两个三角形全等 B ．周长相等的两个三角形全等 C ．三个角对应相等的两个三角形全等 D ．能够完全重合的两个三角形全等 3．下列数据能确定形状和大小的是（） A ．A B =4，B C =5，∠C =60°B ．AB =6，∠C =60°，∠B =70° C ．AB =4，BC =5，CA =10 D ．∠C =60°，∠B =70°，∠A =50° 4．在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D ，AB =DE ，添加下列哪一个条件，依然不能证明△ABC ≌△DEF () A ．AC =DF B ．B C =EF C ．∠B=∠E D ．∠C=∠F 5．OP 是∠AOB 的平分线，则下列说法正确的是（） A ．射线OP 上的点与OA ，O B 上任意一点的距离相等 B ．射线OP 上的点与边OA ，OB 的距离相等 C ．射线OP 上的点与OA 上各点的距离相等 D ．射线OP 上的点与OB 上各点的距离相等 6．如图，∠1=∠2，∠E=∠A ，EC=DA ，则△ABD ≌△EBC 时，运用的判定定理是（） A ．SSS B ．ASA C ．AAS D ．SAS 7．如图，若线段AB ，CD 交于点O ，且AB 、CD 互相平分，则下列结论错误的是（） A ．AD=BC B ．∠C=∠D C ．A D ∥BC D ．OB=OC 8．如图，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，AB =CD ，AE =CF ，则图中全等三角形共有() A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 9．如图，AB =AC ，CF ⊥AB 于F ，BE ⊥AC 于E ，CF 与BE 交于点D ．有下列结论：①△ABE ≌△ ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③点D 在∠BAC 的平分线上．以上结论正确的A ．只有①B ．只有②C ．只有③D ．有①和②和③ 10．如图，DE ⊥BC ，BE=EC ，且AB =5，AC =8，则△ABD 的周长为（） A ．21 B ．18 C ．13 D ．9 二、填空题（18分） 11．如图，除公共边AB 外，根据下列括号内三角形全等的条件，在横线上添加适当的条件，使△ABC 与△ABD 全 等：（1），(ASA)；（2），∠3=∠4(AAS)． 12．如图，AD 是△ABC 的中线，延长AD 到E ，使DE =AD ，连结BE ，则有△ACD ≌△。 13．如图，△ABC ≌△ADE ，此时∠1=． 14．如图，AB ⊥AC ，垂足为A ，CD ⊥AC ，垂足为C ，DE ⊥BC ，且AB=CE ，若BC =5cm ， 则DE 的长为cm ． 15．如图，AD=BD ，AD ⊥BC ，垂足为D ，BF ⊥AC ，垂足为F ，BC =6cm ，DC =2cm ， 则AE =cm ． A B F C E D （第9题） O A D C B （第7题） A C E D （第6题） 2 1 E B A D C （第10题） A B C 3 4 1 2 （第11题） D D A B C F （第12题） B E D C （第13题） 3 1 2
八年级几何全等证明题归纳 1.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB 于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF． 求证：CF=AB+AF． 证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH， ∵BD⊥CD，BE⊥CE， ∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°， ∵∠EFB=∠DFC， ∴∠EBF=∠DCF， ∵DB=CD，BA=CH， ∴△ABD≌△HCD， ∴AD=DH，∠ADB=∠HDC， ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC=45°， ∴∠HDC=45°，∴∠HDB=∠BDC—∠HDC=45°， ∴∠ADB=∠HDB， ∵AD=HD，DF=DF， ∴△ADF≌△HDF， ∴AF=HF，
∴CF=CH+HF=AB+AF， ∴CF=AB+AF． 2.如图，ABCD为正方形，E为BC边上一点，且AE=DE，AE与对角线BD交于点F，连接CF，交ED于点G．判断CF与ED的位置关系，并说明理由． 解：垂直． 理由：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABD=∠CBD，AB=BC， ∵BF=BF， ∴△ABF≌△CBF， ∴∠BAF=∠BCF， ∵在RT△ABE和△DCE中，AE=DE，AB=DC， ∴RT△ABE≌△DCE， ∴∠BAE=∠CDE， ∴∠BCF=∠CDE，∵∠CDE+∠DEC=90°， ∴∠BCF+∠DEC=90°， ∴DE⊥CF． 3.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90o，AB＝AD，DE⊥CD交AB于E，DF平分∠CDE交BC于F，连接EF．证 明：CF＝EF 解： A E D
[暑期作业]八年级数学 图形与证明练习题 一、选择题: 1.如图1所示,AB ∥CD,EG ⊥AB,若∠1=58°,则∠E 的度数等于( ) A.122° B.58° C.32° D.29° 2.如图2所示,DE ∥BC,EF ∥AB,图中与∠BFE 互补的角共有( ) A.3个 B.2个 C.5个 D.4个 3.在△ABC 中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则a:b:c=( ) A.1:2:3 B.1:2: C.1: 4.等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则顶角的度数是( ) A.30° B.60°; C.30°或150° D.不能确定 5.如图3所示,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块, 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那最省事的办法是( ) A.带①去 B.带②去; C.带③去 D.带①和②去 6.等腰三角形周长是32cm,一边长为10cm,则其他两边的长分别为( ) A.10cm,12cm; B.11cm,11cm; C.11cm,11cm 或10cm,12cm D.不能确定 7.若直角三角形斜边上的中线等于最短的直角边长,那么它的最小内角为( ) A.10° B.20° C.30° D.60° 8.如图4所示,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,AC,BD 相交于点O, 则图中全等三角形共有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 9.矩形ABCD 中,E 在AD 上,AE=ED,F 在BC 上,若EF 把矩形ABCD 的面积分为1:2,则BF:FC=( )(BF 八年级数学下册几何证明题练习 1.已知：△ABC 的两条高BD ，CE 交于点F ，点M ，N ，分别是AF ，BC 的中点，连接ED ，MN ； (1)证明：MN 垂直平分ED ； (2))若∠EBD=∠DCE=45°，判断以M ，E ，N ，D 为顶点的四边形的形状，并证明你的结论； 2.四边形ABCD 是正方形，△BEF 是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF ，连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG ，CG ，EC ； (1)如图1，若点E 在CB 边的延长线上，直接写出EG 与GC 的位置关系及 GC EC 的值； (2)将图1中的△BEF 绕点B 顺时针旋转至图2所示位置，请问(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)将图1中的△BEF 绕点B 顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，若BE=1，AB=2，当E ，F ，D 三点共线时，求DF 的长； 3.已知，正方形ABCD 中，△BEF 为等腰直角三角形，且BF 为底，取DF 的中点G ，连接EG 、CG ． （1）如图1，若△BEF 的底边BF 在BC 上，猜想EG 和CG 的关系为-----------------------------------------------； （2）如图2，若△BEF 的直角边BE 在BC 上，则（1）中的结论是否还成立？请说明理由； （3）如图3，若△BEF 的直角边BE 在∠DBC 内，则（1）中的结论是否还成立？说明理由． 4.如图正方形ABCD ，点G 是BC 上的任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F ； (1)如图l ，写出线段AF 、BF 、EF 之间的数量关系：------------------------------；(不要求写证明过程) （2）如图2，若点G 是BC 的中点，求 GF EF 的比值； （3）如图3，若点O 是BD 的中点，连OE ，求EF OF 的比值； A B C D E 1 2 1．如图，已知AB 与CD 相交于O ，∠A ＝∠D ， CO ＝BO ， 求证： △AOC ≌△DOB ． 18．如图，∠C ＝∠D ， CE ＝DE ．求证：∠BAD ＝∠ABC ． 19．（5分）如图，D 是△ABC 的 边AB 上一点， DF 交AC 于点E ， DE =FE ，FC ∥AB ， 求证：AD =CF ． 1、如图，∠B ＝∠E ，AB ＝EF ，BD ＝EC ，那么△ABC 与 △FED 全等吗？为什么？ 2、如图，已知AB=AD ，AC=AE ，∠1=∠2，求证：BC=DE 3．如图11是一个测平架，AB ＝AC ，在BC 中点D 挂一个重锤，自然下垂，使用时调整架身，使点A 恰好在重锤线上，就说明此时BC 处于水平位置，你能说明其中的道理吗？ 4．如图12，已知ABC △的周长是21，OB OC ，分别平分∠ABC 和∠ACB ， OD ⊥BC 于D ，且OD ＝3，求△ABC 的面积． 5．已知:如图13，A F C D ，，，四 点在同一直线上，AF ＝CD ，AB ∥DE ， 且=AB DE ． 求证：（1）ABC DEF △≌△；（2）CBF FEC ∠∠． 6．如图14，AC ＝AE ，∠BAM ＝∠BND ＝∠EAC ， 图中是否存在与△ABE 全等的三角形?并证明． 7、如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ， AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论. 1．如图，AB=DF ，AC=DE ，BE=FC ，问：ΔABC 与ΔDEF 全等吗？AB 与DF 平行吗？请说明你的理由。 2． 如图，已知AB=AC ，AD=AE ， BE 与CD 相交于 O ， ΔABE 与Δ E A B D F C 图11 A D O C B 图12 A D F C B 图13 E A D M C B 图 14 E N A C E D B 几何证明： 【例1】．已知：如图6，△BCE 、△ACD 分别是以BE 、AD 为斜边的直角三角形，且BE AD =，△CDE 是等边三角形．求证：△ABC 是等边三角形． 证明：∵∠BCE=90°∠ACD=90° 在△ECB 和△ACD 中 ∠BCE=∠BCA+∠ACE BE=AD ~ ∠ACD=∠ACE+∠ECD ∠BCE=∠ACD ∴∠ACB=∠ECD EC=CD ∵△ECD 为等边三角形 ∴△ECB ≌△DCA( HL ) ∴∠ECD=60° CD=EC ∴BC=AC 即ACB==60° ∵∠ACB=60° — ∴△ABC 是等边三角形 [例2】、如图，已知BC > AB ，AD=DC 。BD 平分∠ABC 。求证：∠A+∠C=180°. 证明：在BC 上截取BE=BA,连接DE, ∴∠A=∠BED AD= DE ∵BD 平分∠BAC ∵AD=DC ' ∴∠ABD = ∠EBD ∴DE=DC 在△ABD 和△EBD 中 得 ∠DEC=∠C AB=EB ∵∠BED+∠DEC=180° ∠ABD = ∠EBD ∴∠A+∠C=180° @ BD=BD △ABD ≌ △EBD （SAS ） 1、线段的数量关系: 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。 ①倍长中线 【例. 3】如图，已知在△ABC 中，90C ?∠=，30B ?∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D . 求证：2BD CD = 证明：延长DC 到E ，使得CE=CD,联结AE ∵∠ADE=60° AD=AE ∵∠C=90° ∴△ADE 为等边三角形 ∴AC ⊥CD ∴AD=DE ∵CD=CE ∵DB=DA ∴AD=AE ∴BD=DE 、 第3题 B A 图6 D C B E A D C B A E 初二下册数学证明题及答案 下文是关于初二下册数学证明题及答案相关内容，希望对你有一定的帮助： 篇一:《初二数学下册证明题(中等难题含答案)》 一：已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE AC． D A （1）求证：BG FG； （2）若AD DC2，求AB的长． B G C E 二：如图，已知矩形ABCD，延长CB到E，使CE=CA，连结AE并取中点F，连结AE并取中点F，连结BF、DF，求证BF ⊥DF。 三：已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED. 求证:AE平分∠BAD. （第23题） 四、（本题7分）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A 的平分线，BD⊥AD于D， AB=12，AC=18，求DM的长。 五、（本题8分）如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD 交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC。⑴求证：DH= 1 （AD+BC） 2 ⑵若AC=6，求梯形ABCD的面积。 六、(6分) 、如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE ⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足，若CF=3,CE=4,求AP的长. 七、(8分)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、 CM的中点． （1）在不添加线段的前提下，图中有哪几对全等三角形？请直接写出结论；（2）判断并证明四边形MENF是何种特殊的四边形？ （3）当等腰梯形ABCD的高h与底边BC满足怎样的数量关系时？四边形MENF是正方形（直接写出结论，不需要证明）． A初中八年级数学下册几何证明题练习
八年级数学证明题
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初二下册数学证明题及答案
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