第3讲 坐标系与参数方程
【高考考情解读】 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．高考中以解答题形式出现，中档难度，分值为10分．
1． 直线的极坐标方程
若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；
(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M ????b ，π
2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 2． 圆的极坐标方程
若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为：
ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2
＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ； (3)圆心位于M ????r ，π
2，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 3． 常见曲线的参数方程
(1)圆x 2
＋y 2
＝r 2
的参数方程为?
????
x ＝r cos θ，
y ＝r sin θ(θ为参数)．
(2)圆(x －x 0)2
＋(y －y 0)2
＝r 2
的参数方程为?
????
x ＝x 0＋r cos θ，
y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．
(3)椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1的参数方程为?????
x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．
(4)抛物线y 2＝2px 的参数方程为????
?
x ＝2pt 2，y ＝2pt
(t 为参数)．
(5)过定点P (x 0，y 0)的倾斜角为α的直线的参数方程为?
????
x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．
4． 直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标 系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直 角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则 ?????
x ＝ρcos θ
y ＝ρsin θ，?
????
ρ2＝x 2＋y 2
tan θ＝y x (x ≠0).
考点一 极坐标与直角坐标的互化
例1 在以O 为极点的极坐标系中，直线l 与曲线C 的极坐标方程分别是ρcos(θ＋π4
)＝32
和ρsin 2θ＝8cos θ，直线l 与曲线C 交于点A 、B ，求线段AB 的长． 解 ∵ρcos(θ＋π4)＝ρcos θcos π4－ρsin θsin π
4
＝
22ρcos θ－2
2
ρsin θ ＝32，
∴直线l 对应的直角坐标方程为x －y ＝6. 又∵ρsin 2θ＝8cos θ， ∴ρ2sin 2θ＝8ρcos θ.
∴曲线C 对应的直角坐标方程是y 2＝8x .
解方程组?????
x －y ＝6y 2＝8x ，
得????? x ＝2y ＝－4或?
????
x ＝18
y ＝12， 所以A (2，－4)，B (18,12)，
所以AB ＝(18－2)2＋[12－(－4)]2＝16 2. 即线段AB 的长为16 2.
(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，
否则点的极坐标将不唯一．
(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．
(1)(2012·陕西改编)求直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长．
解 直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝1
2；
圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ， 化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x .
将x ＝12代入x 2＋y 2＝2x 得y 2＝34，∴y ＝±32.
故弦长为2×
3
2
＝ 3. (2)(2012·湖南)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，求a 的值． 解 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，
即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0， ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2. 在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝2
2
. 将??
?
?22，0代入x 2＋y 2＝a 2
得a ＝22. 考点二 参数方程与普通方程的互化
例2 (1)(2013·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为?
????
x ＝t ＋1，
y ＝2t (t 为参数)，
曲线C 的参数方程为?
????
x ＝2tan 2
θ，
y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求
出它们的公共点的坐标．
解 因为直线l 的参数方程为?
???
?
x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝
2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .
联立方程组?
???
?
y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，
解得公共点的坐标为(2,2)，???
?1
2，－1. (2)已知直线l 的参数方程为?
????
x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2
＝1上的任意一点，
求点P 到直线l 的距离的最大值．
解 由于直线l 的参数方程为?????
x ＝4－2t ，
y ＝t －2(t 为参数)，
故直线l 的普通方程为x ＋2y ＝0. 因为P 为椭圆x 24＋y 2
＝1上的任意一点，
故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈R .
因此点P 到直线l 的距离是d ＝|2cos θ＋2sin θ|
12＋22
＝22???
?sin ????θ＋π45
.
所以当θ＝k π＋π4，k ∈Z 时，d 取得最大值210
5
.
(1)参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元
法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形． (2)参数方程思想的应用，不仅有利于曲线方程的表达，也成为研究曲线性质的有力工具，如在求轨迹方程、求最值的问题中有广泛的应用．
(1)(2013·广东改编)已知曲线C 的参数方程为???
x ＝2cos t y ＝2sin t
(t 为参数)，C 在
点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．
解 由???
x ＝2cos t y ＝2sin t
(t 为参数)，得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2.则在点(1,1)处的切线
l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，故l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－2＝0.
(2)(2013·课标全国Ⅱ)已知动点P 、Q 都在曲线C ：????
?
x ＝2cos t ，y ＝2sin t
(t 为参数)上，对应参数
分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点． ①求M 的轨迹的参数方程；
②将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解 ①依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)， 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． M 的轨迹的参数方程为
?
????
x ＝cos α＋cos 2α，
y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0<α<2π)． ②M 点到坐标原点的距离
d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)．
当α＝π，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点． 考点三 极坐标与参数方程的综合应用
例3 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为?
????
x ＝2cos α，
y ＝2＋2sin α(α为参数)．
M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →
，点P 的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的参数方程；
(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π
3与C 1的异于极点的交
点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .
解 (1)设P (x ，y )，则由条件知M ????
x 2，y 2.由于M 点在C 1上，
所以???
x
2
＝2cos α，y
2＝2＋2sin α，
即?????
x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.
从而C 2的参数方程为?
????
x ＝4cos α，
y ＝4＋4sin α.(α为参数)
(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π
3，
射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π
3.
所以AB ＝|ρ2－ρ1|＝2 3.
(1)曲线参数方程有很多优点：
①曲线上任一点坐标都可用一个参数表示，变元只有一个．特别对于圆、椭圆、双曲线有很大用处．
②很多参数都有实际意义，解决问题更方便．比如：
直线参数方程?
????
x ＝x 0＋t cos α
y ＝y 0＋t sin α(α为倾斜角，t 为参数)，其中|t |＝PM ，P (x ，y )为动点，
M (x 0，y 0)为定点．
(2)求两点间距离时，用极坐标也比较方便，这两点与原点共线时，距离为|ρ1－ρ2|，这两点与原点不共线时，用余弦定理求解．无论哪种情形，用数形结合的方法易得解题思路．
(1)(2013·湖北改编)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为?
??
??
x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为
极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π4)＝2
2m (m
为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，求椭圆C 的离心率． 解 椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1，直线l 的标准方程为x ＋y ＝m ，圆O 的方程为x 2
＋y 2＝b 2，
由题意知?????
|m |2＝b
a 2－
b 2＝|m |，
∴a 2－b 2＝2b 2，a 2＝3b 2， ∴e ＝
c 2a 2
＝3b 2－b 2
3b 2
＝23＝63
. (2)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的
参数方程为???
x ＝1
tan φ，
y ＝1
tan 2
φ
(φ为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝1，若
曲线C 1与C 2相交于A 、B 两点． ①求线段AB 的长；
②求点M (－1,2)到A 、B 两点的距离之积．
解 ①由曲线C 1的参数方程可得曲线C 1的普通方程为y ＝x 2(x ≠0)，
由曲线C 2的极坐标方程可得曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －1＝0，则曲线C 2的参数
方程为??
?
x ＝－1－22t ，
y ＝2＋2
2
t (t 为参数)，将其代入曲线C 1的普通方程得t 2＋2t －2＝0，
设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2， 则t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－2， 所以AB ＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝10. ②由①可得MA ·MB ＝|t 1t 2|＝2.
1． 解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化
为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用．在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数
表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度． 2． 极坐标方程与普通方程互化核心公式：
????
?
x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，?????
ρ2＝x 2＋y 2
tan θ＝y x (x ≠0)
. 3． 过点A (ρ0，θ0) ，倾斜角为α的直线方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．特别地，①过点
A (a,0)，垂直于极轴的直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a .②平行于极轴且过点A (b ，π2)的
直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝b .
4． 圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ2
0－2ρρ0cos(θ－θ0)．
5． 重点掌握直线的参数方程?????
x ＝x 0＋t cos θy ＝y 0
＋t sin θ(t 为参数)，理解参数t 的几何意义.
1． 在极坐标系中，求过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程．
解 把ρ＝6cos θ两边同乘以ρ，得ρ2＝6ρcos θ， 所以圆的普通方程为x 2＋y 2－6x ＝0， 即(x －3)2＋y 2＝9，圆心为(3,0)， 故所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝3.
2． 已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长
度单位相同．直线l 的极坐标方程为ρ＝
92sin ???
?θ＋π
4，点P (1＋cos α，sin α)，参数
α∈[0,2π)．
(1)求点P 轨迹的直角坐标方程； (2)求点P 到直线l 距离的最大值．
解 (1)由?
????
x ＝1＋cos α，
y ＝sin α，
得点P 的轨迹方程(x －1)2＋y 2＝1. (2)由ρ＝
9
2sin ????θ＋π4，得ρ＝9
sin θ＋cos θ， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝9.
∴曲线C 的直角坐标方程为x ＋y ＝9.
圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心(1,0)到直线x ＋y ＝9的距离为42，
所以(PQ )min ＝42－1.
(推荐时间：60分钟)
1． (2013·湖南改编)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：?
????
x ＝2s ＋1，
y ＝s (s 为参数)和直线
l 2：?????
x ＝at ，
y ＝2t －1(t 为参数)平行，求常数a 的值．
解 由?????
x ＝2s ＋1，y ＝s 消去参数s ，得x ＝2y ＋1.
由?
???
?
x ＝at ，y ＝2t －1消去参数t ，得2x ＝ay ＋a . ∵l 1∥l 2，∴2a ＝12≠1
a
，∴a ＝4.
2． (2012·江苏)如图，在极坐标系中，已知圆C 经过点P ?
???2，π
4，圆 心为直线ρsin ????θ－π3＝－3
2与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 解 在ρsin ????θ－π3＝－3
2中令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ????2，π
4， 所以圆C 的半径 PC ＝
(2)2＋12－2×1×2cos π
4
＝1，
于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
3． 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆?
????
x ＝5cos φ，
y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线
?
???
?
x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程． 解 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3， 从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．
将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.
故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝1
2(x －4)，
即x －2y －4＝0.
4． (2013·重庆改编)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线?
????
x ＝t 2
，
y ＝t 3
(t 为参数)相交于A ，B 两点，求AB 的长．
解 将极坐标方程ρcos θ＝4化为直角坐标方程得x ＝4，将x ＝4代入?
????
x ＝t 2
，
y ＝t 3
得t ＝±2，从而y ＝±8.所以A (4,8)，B (4，－8)．所以AB ＝|8－(－8)|＝16.
5． 在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．
解 将极坐标方程化为直角坐标方程， 得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，
即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0. 由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1， 即有|3×1＋4×0＋a |
32＋42＝1，解得a ＝－8或a ＝2.
故a 的值为－8或2.
6． 求直线ρ＝53cos θ－2sin θ
关于θ＝π
4(ρ∈R )对称的直线方程．
解 直线ρ＝53cos θ－2sin θ化为直角坐标方程为3x －2y ＝5，θ＝π
4化为直角坐标方程为
y ＝x ，则3x －2y ＝5关于y ＝x 对称的直线方程为3y －2x ＝5，化为极坐标方程为3ρsin θ－2ρcos θ＝5，即ρ＝5
3sin θ－2cos θ
.
7． 在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ???
?θ－π
6上的动点，试求PQ 的最大值．
解 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ， ∴x 2＋y 2－12y ＝0， 即x 2＋(y －6)2＝36. 圆心坐标为(0,6)，半径为6. 又∵ρ＝12cos ???
?θ－π
6， ∴ρ2＝12ρ(cos θcos π6＋sin θsin π
6)，
∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0，
∴(x －33)2＋(y －3)2＝36， 圆心坐标为(33，3)，半径为6.
∴(PQ )max ＝6＋6＋(33)2＋(6－3)2＝18.
8． 已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π
6
(ρ∈R )，曲线C 1，
C 2相交于点M ，N .
(1)将曲线C 1，C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求线段MN 的长．
解 (1)由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ， 即曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0， 由θ＝π6(ρ∈R )得，曲线C 2的直角坐标方程为y ＝33x .
(2)把y ＝
3
3
x 代入x 2＋y 2－4y ＝0， 得x 2＋13x 2－433x ＝0，即43x 2－43
3x ＝0，
解得x 1＝0，x 2＝3， ∴y 1＝0，y 2＝1. ∴MN ＝(3)2＋1＝2. 即线段MN 的长为2.
9． (2013·辽宁)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆
C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ????θ－π
4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；
(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为????
?
x ＝t 3
＋a ，y ＝b 2
t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值． 解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.
解????? x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得?????
x 1＝0，y 1＝4，
?????
x 2＝2，
y 2
＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为????4，π2，????22，π4， 注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．
故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝b 2x －ab
2
＋1，
所以???
b
2＝1，
－ab
2＋1＝2，
解得a ＝－1，b ＝2.
10．(2012·辽宁)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.
(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
解?
????
ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3，
故圆C 1与圆C 2交点的坐标为????2，π3，????2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)方法一 由?
????
x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ
得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)． 故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为
?
???
?
x ＝1，y ＝t －3≤t ≤ 3. ? ????或参数方程写成?????
x ＝1，
y ＝y －3≤y ≤3 方法二 将x ＝1代入?
????
x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ
得ρcos θ＝1，从而ρ＝1
cos θ
.
于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为
?
??
??
x ＝1，y ＝tan θ????－π3
≤θ≤π3.
复数 基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有： （1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2 121z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?； （6）||||||2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则z z 1= 。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1212,0r r z z z =≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2),.)(2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n π θπ θ+++=， k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n ππ2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1121,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=，
高三数学教学计划5篇精选合集 高三数学教学计划1 为了做好这学期的数学教学工作，我计划做好以下几方面 的工作： 1、理论学习： 抓好教育理论特别是最新的教育理论的学习，及时了解课 改信息和课改动向，转变教学观念，形成新课标教学思想，树 立现代化、科学化的教育思想。 2、做好各时期的计划： 为了搞好教学工作，以课程改革的思想为指导，根据学校 的工作安排以及数学教学任务和内容，做好学期教学工作的总 体计划和安排，并且对各单元的进度情况进行详细计划。 3、备好每堂课 认真钻研课标和教材，做好备课工作，对教学情况和各单 元知识点做到心中有数，备好学生的学习和对知识的掌握情况，写好每节课的教案为上好课提供保证，做好课后反思和课后总 结工作，以提高自己的教学理论水平和教学实践能力。 4、做好课堂教学 创设教学情境，激发学习兴趣，爱因斯曾经说过：“兴趣 是最好的老师。”激发学生的学习兴趣，是数学教学过程中提 高质量的重要手段之一。结合教学内容，选一些与实际联系紧
密的数学问题让学生去解决，教学组织合理，教学内容语言生动。想尽各种办法让学生爱听、乐听，以全面提高课堂教学质量。 5、批改作业 精批细改每一位学生的每份作业，学生的作业缺陷，做到心中有数。对每位学生的作业订正和掌握情况都尽力做到及时反馈，再次批改，让学生获得了一个较好的巩固机会。 6、做好课外辅导 全面关心学生，这是老师的神圣职责，在课后能对学生进行针对性的辅导，解答学生在理解教材与具体解题中的困难，使优生尽可能“吃饱”，获得进一步提高;使差生也能及时扫除学习障碍，增强学生信心，尽可能“吃得了”。充分调动学生学习数学的积极性，扩大他们的知识视野，发展智力水平，提高分析问题与解决问题的能力。 总之通过做好教学工作的每一环节，尽最大的努力，想出各种有效的办法，以提高教学质量。 高三数学教学计划2 根据学科的特点，结合我校数学教学的实际情况制定以下教学计划。 一、教学内容 高中数学所有内容：抓基础知识和基本技能，抓数学的通性通法，即教材与课程目标中要求我们把握的数学对象的基本
高三数学选择题专题训练（一） 1．已知集合{}1),(≤+=y x y x P ，{ }1),(22≤+=y x y x Q ，则有 （ ） A ．Q P ?≠ B ．Q P = C ．P Q P = D ．Q Q P = 2．函数11)(+-=x x e e x f 的反函数是（ ） A ．)11( 11)(1<<-+-=-x x x Ln x f B ．)11(11)(1-<>+-=-x x x x Ln x f 或 C ．)11( 11)(1 <<--+=-x x x Ln x f D ．)11(11)(1-<>-+=-x x x x Ln x f 或 3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，369-=S ，10413-=S ，等比数列{}n b 中，55a b =，77a b =， 则6b 的值 （ ） A ．24 B ．24- C ．24± D ．无法确定 4．若α、β是两个不重合的平面， 、m 是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分而非必要 条件是 （ ） A ． αα??m 且 ∥β m ∥β B ．βα??m 且 ∥m C ．βα⊥⊥m 且 ∥m D ． ∥α m ∥β 且 ∥m 5．已知n n n x a x a a x x x +++=++++++ 102)1()1()1(，若n a a a n -=+++-509121，则n 的 值 （ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 6．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，则)1(λλ-+=，)2,1(∈λ，则（ ） A ．点M 在线段A B 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上 D ．O ，A ，M ，B 四点共线 7．若A 为抛物线24 1x y = 的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B 、C 两点，则AC AB ?等于 （ ） A ．31- B ．3- C ．3 D ．43- 8．用四种不同颜色给正方体1111D C B A ABCD -的六个面涂色，要求相邻两个面涂不同的颜色， 则共有涂色方法 （ ） A ．24种 B ．72种 C ．96种 D ．48种 9．若函数x x a y 2cos 2sin -=的图象关于直线π8 7=x 对称，那么a 的值 （ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-
高三数学第二轮专题复习系列(4) 三角函数 一、本章知识结构： 二、高考要求 1.理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。 2.掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式） 3.能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 4.会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图线、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数及Y=Asin(ωχ+φ)的简图、理解A 、ω、 的物理意义。 5. 会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx 表示角。 三、热点分析 1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强. 2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至2002年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题。 3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解. 4.立足课本、抓好基础.从前面叙述可知，我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来，所以在复习中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下，加强了对三角函数性质和图象的考查力度. 四、复习建议 应用 同角三角函数的基本关任意角的概念 任意角的三角诱导公式 三角函数的图象与计算与化简 证明恒等式 已知三角函数值求和角公式 倍角公式 差角公式 弧长与扇形面积公角度制与弧度应用 应用 应用 应用
高三学期数学组教学计划 高三学期数学组教学计划 一、指导思想 以教学改革为动力、以学校创建为前提、以提高课堂效率为目的、以自主教育为模式、以现代信息技术为手段、以培养学生的创新能 力为目标，全面改进教育教学方法，更新教育观念，改变传统教学 模式，培养学生综合素质，搞好本组教育教学工作，力争高一、高 二的常规教学，高三的复习备考工作更上一个台阶。 二、具体措施 利用教研备课、活动时间，认真学习有关教育教学理论，继续加强三新学习，吸收最新教改信息，提升教育理论，改进教学方法， 同时开展走出去，请进来的办法进行校际交流，专家培训，名师讲座，扩大视野，丰富提高，完善积累，做到善学才能善解，善研才 能善教、善教才有高效。 2、开展说课资源共 教学研究重要的是认真钻研教材内容，吃透教材大纲，这是搞好教研活动，做好教学工作的根本保证。集体备课是发挥集体优势， 钻研教材的有效途径，在集体备中，以说课的形式对教材的教学目标、重点、难点及成因、编者意图、教材的前后联系进行阐述，提 出突出重点，解决难点的措施，说本单元的备课的内在联系，典型 练习的变式训练，解题的规律方法技巧，思想方法的渗透，学法指 导等，进行组内教流，互相切磋，发挥骨干教师的传帮带作用。 3、改变课型，注意实效 结合学校创建，开展“三名”、“四课”活动，有针对性地加强课堂教学内容方法、方式的改革，充分发挥学科指导组的作用，开
展多种形式的课型，研究课型。如高一新教材的研究课、高二教学 的概念引入课、高三专题复习的研究课等形式上有概念的引入课， 例习题课、讲解课、试卷评讲课、专题复习课、多媒体应用课等， 以此为纽带带动各组的教研教改活动的开展，加强听课评课的监督 与指导，改进教学方法，运用现代教学手段，提升教育理念，明确 教育目的，提高教学质量，同时积极组织本组教师参加校级、区级、市级、省级的各类公开课，优质课评比、教案评比、五项技能比赛等，以此促进提高教师的.综合素质，丰富教育教学经验。 4、加强管理，落实常规 5、勤于总结，深化提高 通过理论学习，常规培训，鼓励引导教师，结合教学实际，认真总结，积极思考，撰写有关方面的论文，如数学素质教育、创新教 育的理论、探讨和实践探索、数学课程标准讨论、典型例题评析、 高中新教材教学、教学艺术、教学访谈、教学活动课教学等内容。 以此提高教师的理论素养和实践能力，真正提高教育教学质量。 具体安排： 二月份：三新及有关理论学习；新教师听课、评课； 三、四月：示范课、研讨课、优质课等公开课的开展； 五月：组织好学科优秀cai课件比赛及高一、高二月考及高三模拟考试。 六月：各备课组期末小结及常规教学检查。
数列 20．（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 满足：22,5642=+=a a a ，数列{}n b 满足n n n na b b b =+++-12122 ，设数列{}n b 的前n 项和为n S 。 （Ⅰ）求数列{}{}n n b a ,的通项公式； （Ⅱ）求满足1413< （1）求这7条鱼中至少有6条被QQ 先生吃掉的概率； （2）以ξ表示这7条鱼中被QQ 先生吃掉的鱼的条数，求ξ的分布列及其数学期望E ξ． 18．解：（1）设QQ 先生能吃到的鱼的条数为ξ QQ 先生要想吃到7条鱼就必须在第一天吃掉黑鱼，()177 P ξ== ……………2分 QQ 先生要想吃到6条鱼就必须在第二天吃掉黑鱼，()61667535 P ξ==?= ……4分 故QQ 先生至少吃掉6条鱼的概率是()()()1166735P P P ξξξ≥==+== ……6分 （2）QQ 先生能吃到的鱼的条数ξ可取4,5,6,7,最坏的情况是只能吃到4条鱼:前3天各吃掉1条青鱼,其余3条青鱼被黑鱼吃掉,第4天QQ 先生吃掉黑鱼,其概率为 64216(4)75335P ξ==??= ………8分 ()6418575335 P ξ==??=………10分 所以ξ的分布列为（必须写出分布列, 否则扣1分） ……………………11分 故416586675535353535 E ξ????= +++=，所求期望值为5． (12) 20.∵a 2=5，a 4+a 6=22，∴a 1+d=5，（a 1+3d ）+（a 1+5d ）=22， 解得：a 1=3，d=2． ∴12+=n a n …………2分 在n n n na b b b =+++-1212 2 中令n=1得：b 1=a 1=3， 又b 1+2b 2+…+2n b n+1=（n+1）a n+1， ∴2n b n+1=（n+1）a n+1一na n ． ∴2n b n+1=（n+1）（2n+3）－n （2n+1）=4n+3， 大田职专11级1—5班数学专题复习 立体几何模块 1、如图，四边形ABCD 与''ABB A 都是边长为a 的正方形，点E 是A A '的中点，'A A ⊥平面ABCD .。（I ）计算：多面体A 'B 'BAC 的体积； （II ）求证：C A '//平面BDE ； (Ⅲ) 求证：平面AC A '⊥平面BDE ． 2、如图，已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，ο45=∠ABC ，1DC =， 2=AB ，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ． （Ⅰ）求证：//AB 平面PCD ； （Ⅱ）求证：⊥BC 平面PAC ； （Ⅲ）若M 是PC 的中点，求三棱锥M ACD -的体积． 3、如图，在三棱锥A —BCD 中，AB ⊥平面BCD ，它的正视图和俯视图都是直角三角形，图中尺寸单位为cm 。（I ）在正视图右边的网格内,按网格尺寸和画三视图的要求，画出三棱锥的侧（左）视图；（II ）证明：CD ⊥平面ABD ；（III ）按照图中给出的尺寸，求三棱锥A —BC D 的侧面积。 B ' ? D C A ' B A E M C A P 5、（11-3泉质） 6、如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=?，点M 是棱PC 的中点，N 是棱PB 的中点，PA ⊥平面ABCD ，AC 、BD 交于点O 。 （1）求证：平面OMN//平面PAD ； （2）若DM 与平面PAC 所成角的正切值为2，求三棱锥 P —BCD 的体积。 8、 9、已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点． 求证：（Ⅰ）直线MF ∥平面ABCD ； （Ⅱ）平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1． A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D M F 专题二 复数 【1】复数的基本概念 （1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数； 纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义： 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且 （3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-； （4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习） （5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模； 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+，222z a b i =+ （1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-； （3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 （4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=?≠+，当c d a b =时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解 1、函数与导数（1） 2、三角函数与解三角形 3、函数与导数（2） 4、立体几何 5、数列（1） 6、应用题 7、解析几何 8、数列（2） 9、矩阵与变换 10、坐标系与参数方程 11、空间向量与立体几何 12、曲线与方程、抛物线 13、计数原理与二项式分布 14、随机变量及其概率分布 15、数学归纳法 高考压轴大题突破练 (一)函数与导数(1) 1．已知函数f (x )＝a e x x ＋x . (1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值； (2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2， ∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1. ∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －(a e ＋1)＝x －1， 又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1， 解得a ＝－1 e . (2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2 ， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值． 方法一 当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)， 则???? ? x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0， 则0 0000 2 00 201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ? > +> -+ = ? ①②③ 由③得0 e x a ＝－x 20 x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0 >0， 结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0 e x a x ＋x 0>0，得a >－02 0e x x ， 设h (x )＝－x 2 e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x ， 当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数， ∴a >h (x 0)>h (2)＝－4 e 2. 宾阳中学2018届高三数学备课组第二轮复习计划 为使二轮复习有序进行，使我们的复习工作卓有成效并最终赢得胜利，在校、年级领导指导下，结合年级2018届高考备考整体方案的基础上，经数学基组研究，制定本工作计划。 一、成员： 韦胜华（基组长）、黎锦勇、文育球、韦振、施平凡、候微、张善军、蓝文斌、陈卫庆、黄凤宾、李雪凤、韦衍凤、梁建祥、卢焕荣、黄恩端、林祟标。 本届高三学生由于高一、高二赶课较快，训练量较少，所以基础相对薄弱，数学的五大能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力都较差，处理常规问题的通解通法未能落实到位，常见的数学思想还未形成。 二、努力目标及指导思想： 1、承上启下，使知识系统化、条理化，促进灵活应用。 2、强化基础夯实，重点突出，难点分解，各个击破，综合提高。 三、时间安排：2018年1月下旬至4月中旬。 四、方法与措施： （一）重视《考试大纲》（以2018年为准）与《考试说明》（参照2017年的考试说明）的学习，这两本书是高考命题的依据，是回答考什么、考多难、怎样考这3个问题的具体规定和解说。 （二）重视课本的示范作用，虽然2018年高考是全新的命题模式，但教材的示范作用绝不能低估。 （三）注重主干知识的复习，对于支撑学科知识体系的重点知识，要占有较大的比例，构成数学试题的主体。 （四）注重数学思想方法的复习。在复习基础知识的同时，要进一步强化基本数学思想和方法的复习，只有这样，在高考中才能灵活运用和综合运用所学的知识。 （五）注重数学能力的提高，数学能力包括空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。 （六）注重数学新题型的练习。以高考试题为代表，构建新题型。 宾阳中学2018届高三理科数学备课组第二轮复习计划第1页（共2页） 数学思想三（等价转化） 1．设M={y|y=x+1, x ∈R}, N={ y|y=x 2+1, x ∈R},则集合M ∩N 等于 ( ) A.{(0,1),(1,2)} B.{x|x ≥1} C.{y|y ∈R} D.{0,1} 2．三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为M,N,Q ，则体积为 ( ) A.32MNQ B.42MNQ C.62MNQ D.8 2MNQ 3．若3sin 2 +2sin 2 =2sin ，则y= sin 2 +sin 2 的最大值为 ( ) A. 21 B.32 C.94 D.9 2 4．对一切实数x ∈R ，不等式x 4+(a-1)x 2+1≥0恒成立，则a 的取值范 围为 ( ) A.a ≥-1 B.a ≥0 C.a ≤3 D.a ≤1 5．(1-x 3)(1+x)10的展开式中，x 5的系数是 ( ) A.-297 B.-252 C.297 D.207 6．方程|2|)1(3)1(32 ++=-+-y x y x 表示的曲线是 ( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 7．AB 是抛物线y=x 2的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 长度的最大值 ( ) A. 45 B.2 5 C.2 D.4 8．马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的9只路灯，为节约用电，可以把其中的3只路灯关掉，但不能同时关掉相邻的2只或3只，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有___________________种。 9．正三棱锥A BCD 的底面边长为a ，侧棱长为2a ，过B 点作与侧棱AC,AD 都相交的截面BEF ，则截面⊿BEF 的周长的最小值为_______________ 10．已知方程x 2+mx+m+1=0的两个根为一个三角形两内角的正切值，则 m ∈________________________________________ 11．等差数列{a n }的前项和为S n , a 1=6,若S 1,S 2,S 3,···S n ,···中S 8最大，问数列{a n -4}的前多少项之和最大？ 复数专题 一、选择题 1 ．（2012年高考（天津理）） i 是虚数单位,复数7= 3i z i -+ （ ） A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i -- 2 ．（2012年高考（新课标理））下面是关于复数2 1z i = -+的四 个命题:其中的真命 题为 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- （ ） A ．23,p p B ．12,p p C ．,p p 24 D ．,p p 34 3 ．（2012年高考（浙江理））已知i 是虚数单位,则 3+i 1i -= （ ） A ．1-2i B ．2-i C ．2+i D ．1+2i 4 ．（2012年高考（四川理））复数2(1)2i i -= （ ） A ．1 B ．1- C ． i D ．i - 5 ．（2012年高考（上海理））若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根,则 （ ） A ．3,2==c b . B ．3,2=-=c b . C ．1,2-=-=c b . D ．1,2-==c b . 6 ．（2012年高考（陕西理））设,a b R ∈, 是虚数单位,则“0ab =”是“复数b a i + 为纯虚数”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7 ．（2012年高考（山东理））若复数z 满足(2)117z i i -=+( i 为虚数单位),则z 为 （ ） A ．35i + B ．35i - C ．35i -+ D ．35i -- 8 ．（2012年高考（辽宁理））复数 22i i -=+ （ ） A ．34i - B ．34i + C ．41i - D ．3 1i + 高三数学教学计划 一、学生基本情况： 175班共有学生66人，176班共有学生60人。学生基本属于知识型，相当多的同学对基础知识掌握较差，学习习惯不太好，两班学习数学的气氛不太浓，学习不够刻苦,各班都有少数尖子生，但是每个班两极分化非常严重，差生面特别广，很多学生从基础知识到学习能力都有待培养，辅差任务非常重,目前形势非常严峻。 二、高考要求 1、高考对数学的考查以知识为载体，着重考察学生的逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、运用数学思想方法分析问题解决问题的能力。 2、重视数学思想方法的考查，重点考查转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想。高考数学实体的设计是以考查数学思想为主线，在知识的交汇点设计试题。 3、高考试题注重区分度，同一试题，大多没有繁杂的运算，且解法较多，不同层次的学生有不同的解法。 4、注重应用题的考查，2002年文科试题应用有3道题，共28分。 5、注重学生创新意识的考查，注重学生创造能力的考查。 三、教学措施 1、以能力为中心，以基础为依托，调整学生的学习习惯，调动学生学习的积极性，让学生多动手、多动脑，培养学生的运算能力、逻辑思维能力、运用数学思想方法分析问题解决问题的能力。精讲多练，一般地，每一节课让学生练习20分钟左右，充分发挥学生的主体作用。 2、坚持每一个教学内容集体研究，充分发挥备课组集体的力量，精心备好每一节课，努力提高上课效率。调整教学方法，采用新的教学模式。教学基本模式为： 基础练习→典型例题→作业→课后检查 （1）基础练习：一般5道题，主要复习基础知识，基本方法。要求所有的学生都过关，所有的学生都能做完。 （2）典型例题：一般4道题，例1为基础题，要直接运用课前练习的基础知识、基本方法，由学生上台演练。例2思路要广，让有生能想到多种方法，让中等生能想到1—2种方法，让中下生让能想到1种方法。例3题目要新，能转化为前面的典型类型求解。例4 为综合题，培养学生运用数学思想方法分析问题解决问题的能力。 （3）作业：本节课的基础问题，典型问题及下一节课的预习题。 （4）课后检查；重点检查改错本及复习资料上的作业。 3、脚踏实地做好落实工作。当日内容，当日消化，加强每天、每月过关练习的检查与落实。坚持每周一周练，每章一章考。通过周练重点突破一些重点、难点，章考试一章的查漏补缺，章考后对一章的不足之处进行重点讲评。 4、周练与章考，切实把握试题的选取，切实把握高考的脉搏，注重基础知识的考查，注重能力的考查，注意思维的层次性（即解法的多样性），适时推出一些新题，加强应用题考察的力度。每一次考试试题坚持集体研究，努力提高考试的效率。 5、发挥集体的力量，共同培养尖子学生。 6、加强文科数学教学辅导的力度，坚持每周有针对性地集体辅导一次，建议学校文科数学每周多开一节课（即每周7节）。 四、教学进度详细安排： 1、函数（共11课时）（8月9日结束） 专题训练（一） （每个专题时间：35分钟，满分：60分） 1 ．函数y = 的定义域是（ ） A ．[1,)+∞ B ．2 3(,)+∞ C ．2 3[,1] D ．23(,1] 2．函数221 ()1x f x x -=+, 则(2)1()2 f f = （ ） A ．1 B ．－1 C ．35 D ．3 5- 3．圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为（ ） A ．2 B C ．1 D 4．不等式2 21 x x + >+的解集是 （ ） A ．(1,0)(1,)-+∞U B ．(,1)(0,1)-∞-U C ．(1,0)(0,1)-U D ．(,1)(1,)-∞-+∞U 5．sin163 sin 223sin 253sin313+=o o o o （ ） A ．12- B ．12 C ． D 6．若向量r r a 与b 的夹角为60o ，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-r r r r r ,则向量a r 的模为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 7．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。那么p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题 （ ） ① ////m m αββα? ???? ② //////m n n m ββ? ??? ③ ,m m n n αβ?? ???? 异面 ④ //m m αββα⊥? ?⊥?? 其中假命题有：（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 9． 若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S > 成立的最大自然数n 是 （ ） A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．4008 10．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此 双曲线的离心率e 的最大值为 （ ） A ．43 B ．53 C ．2 D ．73 11．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮 使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为 （ ） A ．2140 B ．1740 C ．310 D ．7120 12． 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形 孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是 高三数学教学计划 高三数学第一轮复习以抓基础，练基本功（主要是解题基本功）为主，注重对知识的梳理，数学方法的养成，使学生对整个高中数学知识、方法和思想有个完整的认识，形成网络。在本轮复习中应对高中数学的所有考点，涉及的解题方法进行全面的复习，使学生对每个知识点掌握到位，对数学概念的内涵和外延，公式定理的适用范围有着本质、透彻的理解，使学生切实掌握数学基本知识，基本技能和基本的数学思想方法，对基本的解题方法（解题方法的培养、训练要注重通性通法，淡化特殊技巧）能运用自如，做到稳扎稳打，基础过关，牢固。 高三数学第二轮复习以专题复习、专题训练为主，注重学生数学能力与思维水平的养成，使学生在解题方法，解题技能上达到运用自如的境界。本轮复习中对高中数学重点内容要加深加难，重点培养学生解活题、较难题、难题的能力。专题复习既要按章节进行，又要按题型进行，按章节进行内容如下：函数与导数、数列（特别是递推数列）与极限、三角函数与平面向量、不等式、直线与圆锥曲线（注意圆锥曲线与向量的结合）、立体几何、概率与统计。按题型进行内容如下：选择题解法训练，填空题解法训练，解答题解法训练，特别要注重解答题训练的质量。 本轮复习应多在知识网络的交汇处选题，强调学科内的小综合，加强对知识交汇点问题的训练，达到 培养学生整合知识，能综合地运用整个高中数学思想方法解题的能力之目的。 高三数学第三轮复习以强化训练、查漏补缺为主。在本轮复习中，让学生多做模拟题，强化做题的速度与质量。同时针对第一轮、第二轮的不足进行查漏补缺，特别是在第一轮、第二轮大多数学生做不出来的题目在本轮复习中可集中让学生重做，解决学生在前面复习中暴露的问题。 具体措施建议如下： 一、处理好课本与资料的关系 对资料精讲，用好用巧，但不被资料束缚手脚，牵着鼻子走，不仅老师认真钻研资料，更要引导学生在复习课本的基础上认真钻研资料，用活用巧。 二、分层教学 由于数学分为文理科，且文理各有不同的层次，所以分层教学非常必要，计划对高三数学分为四层：理科A层、文科A层、理科B、C层、文科B、C 层，各层实施不同的教学进度。其中理A、文A在重点抓好基础的同时适当加深难度与深度，其他层主要抓基础。 三、抓好周练 每周分层出一次周练，要求周练围绕上一周所授内容命题，题量适中，难易适当，针对性强，注重基础知识与方法的反馈训练。命题的主导思想是“出活题、考基础、考能力”。在周练的基础上，每章节复习过程中印发年高考试题分章选解给学生课后完成。 四、集体备课 俗话说：三个臭皮匠顶得一个诸葛亮。在复习 2020年高三数学解答题专题训练题精选25 1.已知集合，，． Ⅰ若，求实数a的取值范围； Ⅱ设函数，若实数满足，求实数取值的集合． 2.甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是， 乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选； （Ⅰ）求甲恰有2个题目答对的概率； （Ⅱ）求乙答对的题目数X的分布列； （Ⅲ）试比较甲，乙两人平均答对的题目数的大小，并说明理由． 3.设f（x）=log2-x为奇函数，a为常数． （1）求a的值； （2）判断并证明函数f（x）在x∈（1，+∞）时的单调性； （3）若对于区间[2，3]上的每一个x值，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m 取值范围． 4.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，已知∠B=60°，AC=7．AD=6，面积 （1）求sin∠DAC和cos∠DAB的值； （2）求边BC，AB的长度． 5.等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设，求b1+b2+b3+…+b10的值． 6.设，函数. 当时，求函数的单调区间； 若函数在区间上有唯一零点，试求a的值． 7.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC＝∠BCD＝90°，BC＝2，， PD＝4，∠PDA＝60°，且平面PAD⊥平面ABCD． (1)求证：AD⊥PB； (2)在线段PA上是否存在一点M，使二面角M-BC-D的大小为，若存在，求出的 值；若不存在，请说明理由． 8.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°， PA=，∠ACB=90°，M是线段PD上的一点（不包括端点）． （Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC； （Ⅱ）求二面角D-PC-A的正切值； （Ⅲ）试确定点M的位置，使直线MA与平面PCD所成角θ的正弦值为． 9.已知函数f（x）=（a-）x2-2ax+ln x，a∈R （1）当a=1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值； （2）求g（x）=f（x）+ax在x=1处的切线方程； 高三数学第二轮复习的学法 1.继续强化对基础知识的理解，掌握抓住重点知识抓住薄弱的环节和知识的缺陷，全面搞好基础知识全面搞好基础知识的复习。（备考指南与知识点总结）中学数学的重点知识包括：1）集合、函数与导数。此专题函数和导数、应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。 （2）三角函数、平面向量和解三角形。此专题中平面向量和三角函数的图像与性质，恒等变换是重点。 （3）数列。此专题中数列是重点，同时也要注意数列与其他知识交汇问题的训练。 （4）立体几何。此专题注重点线面的关系，用空间向量解决点线面的问题是重点。 （5）解析几何。此专题中解析几何是重点，以基本性质、基本运算为目标。突出直线和圆、圆锥曲线的交点、弦长、轨迹等。 （6）概率与统计、算法初步、复数。此专题中概率统计是重点，以摸球、射击问题为背景理解概率问题。 （7）不等式、推理与证明。此专题中不等式是重点，注重不等式与其他知识的整合。 2、对基础知识的复习应突出抓好两点： （1）深入理解数学概念，正确揭示数学概念的本质，属性和相互间的内在联系，发挥数学概念在分析问题和解决问题中的作用。 （2）对数学公式、法则、定理、定律务必弄清其来龙去脉，掌握它们的推导过程，使用范围，使用方法（正用逆用、变用）熟练运用它们进行推理，证明和运算。 3、系统地对数学知识进行整理、归纳、沟通知识间的内在联系，形成纵向、横向知识链，构造知识网络，从知识的联系和整体上把握基础知识。例如以函数为主线的知识链。又如直线与平面的位置关系中“平行”与“垂直”的知识链。 4、认真领悟数学思想，熟练掌握数学方法，正确应用它们分析问题和解决问题。 数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，在平时的做题中必须提炼出其中的数学思想方法，并以之指导自己的解题。 数学思想数学在高考中涉及的数学思想有以下四种: （1）分类讨论思想：分类讨论思想是以概念的划分，集合的分类为基础的解题思想，是一种逻辑划分的思想方法。分类讨论的实质是“化整为零、积零为整”。科学分类的基本原则是 以教学改革为动力、以学校创建为前提、以提高课堂效率为目的、以自主教育为模式、以现代信息技术为手段、以培养学生的创新能力为目标，全面改进教育教学方法，更新教育观念，改变传统教学模式，培养学生综合素质，搞好本组教育教学工作，力争高一、高二的常规教学，高三的复习备考工作更上一个台阶。 1、相互学习，提高素质 利用教研备课、活动时间，认真学习有关教育教学理论，继续加强三新学习，吸收最新教改信息，提升教育理论，改进教学方法，同时开展走出去，请进来的办法进行校际交流，专家培训，名师讲座，扩大视野，丰富提高，完善积累，做到善学才能善解，善研才能善教、善教才有高效。 2、开展说课资源共 教学研究重要的是认真钻研教材内容，吃透教材大纲，这是搞好教研活动，做好教学工作的根本保证。集体备课是发挥集体优势，钻研教材的有效途径，在集体备中，以说课的形式对教材的教学目标、重点、难点及成因、编者意图、教材的前后联系进行阐述，提出突出重点，解决难点的措施，说本单元的备课的内在联系，典型练习的变式训练，解题的规律方法技巧，思想方法的渗透，学法指导等，进行组内教流，互相切磋，发挥骨干教师的传帮带作用。 3、改变课型，注意实效 结合学校创建，开展“三名”、“四课”活动，有针对性地加强课堂教学内容方法、方式的改革，充分发挥学科指导组的作用，开展多种形式的课型，研究课型。如高一新教材的研究课、高二教学的概念引入课、高三专题复习的研究课等形式上有概念的引入课，例习题课、讲解课、试卷评讲课、专题复习课、多媒体应用课等，以此为纽带带动各组的教研教改活动的开展，加强听课评课的监督与指导，改进教学方法，运用现代教学手段，提升教育理念，明确教育目的，提高教学质量，同时积极组织本组教师参加校级、区级、市级、省级的各类公开课，优质课评比、教案评比、五项技能比赛等，以此促进提高教师的综合素质，丰富教育教学经验。 4、加强管理，落实常规 根据教育教学的需要，结合学校要求，加强备、教、改、导、考、评、析的教学常规管理与检查。以备课组长、学科指导组为主体，对每位教师的教学情况进行逐一检查、监督、及时反馈、具体指导，对备课组的教学进度的安排，集体备课的落实，单元检测的组织等工作进行检查，使本组教学工作有条不紊，注重实效，各项教学工作全面提高。同时,根据学校的总体安排,结合学校的创建实际,积极参加学校组织的各项教研、教改、比赛等活动,认真准备,争取取得最佳的成绩,为参加上一级组织的相应的比赛,推荐最佳人选,为学校和数学组获得更大的荣誉.高三数学文科第二轮专题复习
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