P61 习题3-1
1、根据定义求导数：
(1)cos y x =
00000cos()cos lim
2sin sin
22lim
sin()sin
22lim
2
sin
2lim sin()lim
22
sin x x x x x x x x y x
x x x x x x x
x x
x x
x x x x ?→?→?→?→?→+?-'=?+?++?--=???+=-???=-+?=- 12
(2)y x =
112
2
012()lim lim
lim 12x x x x x x
y x
x ?→?→?→-+?-'=?====
(3)y =
033
223
2
2
2(lim
lim
lim
lim
x x x x x x y x
?→?→?→?→+?'=?====
=(4)x y a =
001lim lim x x x x x
x x a a a y a x x
+???→?→--'==??
设t x =?，则
01
lim t x
t a y a t
→-'=
再设t
s a =，则log a t s =，于是
11
1
1
110
1
1lim log 1lim
log 1
lim log [1(1)]
1log ln x s a
x s s a x s s a x
a x s y a s a s
a s a e
a a
→→--→--'===+-==
2、
0000000()()(1)lim
[(()]()
lim ()
x x f x x f x x
f x x f x x f x ?→-?→-?-?+-?-=--?'=-
00000000000000000000000()()(2)lim
()()()()lim ()()()()lim lim ()()()()lim lim ()[()]2()
x x x x x x f x x f x x x
f x x f x f x f x x x
f x x f x f x f x x x x
f x x f x f x x f x x x f x f x f x ?→?→?→?→?→?→+?--??+?-+--?=?+?---?=+??+?--?-=-??''=--'= 000()(3)lim
()lim (0)(0)lim (0)
x x x f x x f x x
f x f x f →?→?→?=?+?-=?'= 00001001
(4)lim [()()]1
()()
lim 1()
n n
n f x f x n
f x f x n n
f x →∞→+-+-='=
3、证：
()f x 为偶函数且(0)0f =，则
00000(0)(0)(0)lim ()(0)
lim ()(0)
lim ()(0)
lim ()(0)
lim (0)x x x x x f x f f x f x f x
f x f x
f x f x
f x f x f -
-
-
-
+
-?→?→?→?→-?→++?-'=??-=?-?-=?-?-=--?-?-=--?'=- 又()f x 在0x =处可导，则
(0)(0)f f -+''=
即(0)(0)f f ++''=- 所以(0)0f +'= 故(0)0f '=。 4、证：
（1）设()f x 为可导的奇函数，则：
0000()()()lim
()()lim ()()
lim
[()]()
lim ()x x x x f x x f x f x x f x x f x x
f x x f x x
f x x f x x f x ?→?→?→-?→-+?--'-=?--?+=?-?-=-?+-?-=-?'= 所以()f x '为偶函数。
（2）设()f x 为可导的偶函数，则：
0000()()
()lim
()()lim ()()
lim
[()]()
lim ()
x x x x f x x f x f x x f x x f x x
f x x f x x
f x x f x x f x ?→?→?→-?→-+?--'-=?-?-=?-?-=--?+-?-=--?'=- 所以()f x '为奇函数。
（3）设()f x 为可导的周期函数且其周期为
T ，则：
00()()()lim
()()lim ()x x f x T x f x T f x T x f x x f x x f x ?→?→++?-+'+=?+?-=?'= 所以()f x '仍为以T 为周期的周期函数。 5、解：
00||1x x x y e =='==
x y e ∴=在点(0,1)处的切线斜率为1，法线斜率为了-1，故所求的切线和法线方程分别为：
1,1y x y x -=-=-
即1,1y x y x =+=-+。 6、解：
1
lim ()lim sin
0(0)x x f x x f x
→→=== 所以()f x 在0x =处连续；
000000011
()sin
sin lim ()lim 111sin sin sin
lim 11sin sin
1lim lim sin 11
(sin sin )
1lim sin 1111
2cos sin 12sin lim x x x x x x x x x x x x x f x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x --
-
-
--
-?→?→?→?→?→?→?→+?-+?=?+?-+?+?=?-+?=+?+?-+?=+?+-
+?+?=+00
22sin
112()sin 2cos lim 1sin
112()2()sin 2cos lim 2()
111sin 2cos ()
2111sin cos
x x x
x x x x x x x x
x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
-
-
?→?→?-?+?=+?--?+?+?=+-?+?=+?-=-即：111()cos sin f x x x x
'=
- 于是()f x 在0x =处不可导。 7、解：
()f x 在1x =处连续，
1
1
2
lim ()lim()(1)11
x x f x ax b a b f ++
→→∴=+=+===
即1a b +=
又()f x 在1x =处可导，
00(1)(1)
(1)lim (1)()
lim x x f x f f x a x b a b x a
-
-
-?→?→+?-'=?+?+-+=?= 022
02
0(1)(1)(1)lim (1)1lim 2lim 2x x x f x f f x x x
x x x +
-
-
+?→?→?→+?-'=?+?-=??+?=?= 又()f x 在1x =处可导，
2a ∴=
由1a b +=得1b =-。
8、解：
由已知，产品的产量N 并不随劳动力数量x 的增加而均匀增加，当0x x =时劳动生产率应为： 0
000
()()
lim
()x x N x N x N x x x →-'=-。
P67 习题3-2
1、求下列函数的导数：
52524(1)(31)()(3)()1561y x x x x x x x x ''=+++''''=+++=++ 2222(2)(cos )()cos (cos )2cos sin y x x x x x x x x x x ''=''=+=- 2
21(3)(
)sin (1)sin (1)(sin )sin sin (1)cos sin x
y x
x x x x x
x x x x
+''=''
+-+=-+=
2(4)(tan sin )(tan )(sin )sec cos y x x x x x x
''
=+''=+=+ 2
2
22222(5)()(2)4x x x
y e e x xe ''='=?=
(6)(arctan 1112y x ''='
=
=?+=
2
2
2
22
2
2
(7)(cos3)()cos3(cos3)2cos3(3sin 3)2cos33sin 3x x x x x x x y e x e x e x e x x e x xe x e x
''=''=+=??+-=-
(8)(ln(cos ))ln(cos )(ln(cos ))ln(cos )(cos )cos sin ln(cos )cos ln(cos )tan y x x x x x x x
x x x x x
x x
x x x
''
=''
=+'=+?=-
=-
2、解：
22121222
11()(
)2111()()21[(2)][(1)]12(2)(1)f x x x x x x x x x x --''=+++''=+++''
=+++=--
++
222
1201
(0)(02)(01)4f ?'∴=--=-++ 22212(1)1
(1)(12)((1)1)2
f ?-'-=-
-=-
-+-+ 22212111
(1)(12)(11)18
f ?'=-
-=-
++ 3、解：
11()111
1
()1
x f x x x
f x x ==
++∴=
+ 2
11
()()1(1)
f x x x ''∴==-++ 4、解：
当1x -∞<<时，
(1)1y x ''=-=-
当12x ≤≤时，
[(1)(2)]23y x x x ''=--=-
当2x <<+∞时，
[(2)1]1y x ''=--+=
1,123,121,2x y x x x --∞<
'∴=-≤≤??<<+∞?
P69 习题3-3
1、求下列函数的二阶导数：
325
5
2
75
5
3(1)()5
36
()525
y x x y x x
---'''==='''∴==-
222
2
2
2
22
2
2
2(2)()(2)2(2)(2)(2)()22(2)
24x x x
x x x x x x x y e e x xe y xe x e x e e x xe e
x e
----------''==?-=-'''''∴=-=-+-=---=-+ 22(3)(sin cos )cos sin (cos sin )sin cos y ax bx a ax b bx
y a ax b bx a ax b bx ''=+=-'''∴=-=-- (4)(sin )sin cos (sin cos )(sin )(cos )sin cos cos sin 2cos x x x x x x
x
x x x x x y e x e x e x y e x e x e x e x e x e x e x e x e x ''
==+'''
∴=+''
=+=++-=
2
1
(5)(ln 2)11
()y x x y x x
''=='''∴==-
22
(6)[ln(2)]ln(2)2
[ln(2)]2
122(2)4(2)x y x x x x x y x x x x x x x x ''=+=+++'''∴=++
++-=+
+++=
+
2、求下列函数的n 阶导数：
3222(1)(1)321
(321)62(62)6
y x x x x x y x x x y x ''=+++=++'''=++=+''''=+=
当3n >时
()0n y =
112(4)23(5)34()1(2)(ln )ln 1(ln 1)()()2(2)6()(2)!,(2)
n n n y x x x y x x y x x y x x y x x y n x n --------''==+'''=+=''''==-'=-='==-=--≥
2(4)(5)(6)(3)(sin )2sin cos sin 2(sin 2)2cos 22sin(2)
22(2cos 2)4sin 24sin(2)
23(4sin 2)8cos 28sin(2)
24(8cos 2)16sin 216sin(2)
25(16sin 2)32cos 232sin(y x x x x y x x x y x x x y x x x y x x x y x x π
π
π
π
''==='''===+''''==-=+'=-=-=+'=-==+'===()12)
2
1
2sin(2)
2
n n x n y x π
π-+-=+
()(4)()(1)[(1)](1)(2)()x x x x
x x x x
n x
y xe e xe x e
y x e e x e x e y x n e ''==+=+'''=+=++=+=+
P73 习题3-4 1、解：
由0x
y
xy e e -+=两边对x 求导得：
0x y x y
y xy e e y e y y e x
''+-+?=-'∴=+
2、解：
由1ln()y
y x y e =-++两边对x 求导得：
11
1y
y
y y y e y x y
y xe ye x y '+''=-
+?+'∴=+---
3、解：
由23xy e x y --=两边对x 求导得：
()2021
xy xy
xy
e y xy y ye y xe ''+--=-'∴=-
把0y =代入23xy e x y --=解得1x =-，
12|11
xy
x xy ye y xe =--'∴==--
即所给曲线在点(1,0)-处的切线斜率1k =- 故所求切线方程为：
1(1)y x =-+
即1y x =--。 4、解：
由234()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----两边取对数得：
lg ()lg(1)2lg(2)3lg(3)4lg(4)f x x x x x =-+-+-+-
再对上式两边关于x 求导得：
()1234
()1234
()2()3()4()
()1234
f x f x x x x x f x f x f x f x f x x x x x '=+++----'∴=+++
----
即：
234342
2
4
233
()(2)(3)(4)2(1)(2)(3)(4)3(1)(2)(3)(4)4(1)(2)(3)(4)f x x x x x x x x x x x x x x x x '=---+----+----+----
234(1)(12)(13)(14)648
(3)0
f f '∴=---=-'=
5、解： 2242tan sec 2sin 22tan sec sec 2sin 22dy
t t dt
dx
a t dt
dy
dy t t t dt dx dx a t a
dt
=?=-?∴===-- 6、解： 如图所示
40km/h
30km/h
B
A
经过t h
后，两船之间的距离为
50s t
则两船距离增大的速度为
(50)50(/)v s t km h ''===。
P77 习题3-5
1、求下列函数的微分dy ：
ln(tan )
ln(tan )2ln(tan )(1)51
5ln 5sec tan 5ln 5sin cos x x x dy d x dx x
dx x x
==?????=
2
22
(2)ln(1sin )2cos 1sin dy d x x x dx x =--=-
22
(3)(sin3)(2sin33cos3)dy d x x x x
x x dx ==+
(4)dy ===
2、求下列方程确定的隐函数的微分dy ： （1）由1y xe y =-两边对x 求导得：
11y y y
y
y
y
e xe y y e y xe e dy dx
xe ''+?='∴=-∴=- （2）由sin()xy x y e +=两边对x 求导得：
cos()(1)()cos()cos()cos()cos()
xy xy
xy
xy
xy x y y e y xy x y ye y xe x y x y ye dy dx
xe x y ''+?+=?++-'∴=-++-∴=-+
（3）由3
3
30x y xy +-=两边对x 求导得：
222
2
2
233330x y y y xy y x y y x y x dy dx
y x
''+--=-'∴=--∴=-
（4）由x y
xy e
+=两边对x 求导得：
(1)x y x y x y x y x y
y xy e y e y y x e e y dy dx
x e +++++''+=+-'∴=
--∴=-
3、解：
由2
2
ln cos y x x x =+得：
222
2
221(ln cos )2(2ln sin )(2ln 2sin )|(2sin1)x dy d x x x x
x x x x dx
x
x x x x dx
dy dx
==+=+?-=+-∴=- 4、解：
由2
arctan 4
xy y π
+=
两边对x 求导得：
2
2
222222201(1)
12(1)(1)
12(1)
y y xyy y y y y xy y y y dy dx
xy y '
'++
=++'∴=-
+++∴=-++
把0x =代入2
arctan 4
xy y π
+=
得：
1y =，
22021(11)
|21201(11)
x dy dx dx =+∴=-=-+??+
5、计算下列近似值：
0(1)cos 29
设()cos f x x =，
由000()()()()f x f x f x x x '≈+-得：
000cos cos sin ()x x x x x ≈-?-
令0
002929,301806
x x ππ
==
==，则
00029cos 29cos30sin 30()
1806
129()21806
3600.87
ππ
πππ≈-?-=--≈
+≈
0000(2)tan136tan(18044)tan 44=-=-
设()tan f x x =，
由000()()()()f x f x f x x x '≈+-得：
2000tan tan sec ()x x x x x ≈-?-
令0
004444,451804
x x ππ
==
==，则 0020tan 44tan 45sec 45()
180
1900.965
π
π
≈+?-
=-
≈
00tan136tan 440.965∴=-≈-
设()f x =
由000()()()()f x f x f x x x '≈+-得：
0()x x ≈- 令025.4,25x x ==，则
(25.425) 5.04≈-=
(4)ln1.01
设()ln f x x =，
由000()()()()f x f x f x x x '≈+-得：
000
1
ln ln ()x x x x x ≈+?-
令01.01,1x x ==，则
1.011
ln1.01ln10.011
-≈+=
6、解：
当10l cm =时，钟摆摆动的周期
02T =此时一天摆动的次数为
00
243600
N T ?=
当10.01l cm =时，钟摆摆动的周期
12T =此时一天摆动的次数为
11
243600
N T ?=
长摆钟比标准钟每天少摆动的次数为：
0101
243600243600
N N T T ??-=-
因此长摆钟每天慢走的时间为：
0111
01
1
243600243600
()(
)243600(
1)241)43.2()
N N T T T T T T s ??-=-=?-=?≈
P78 复习题三
1、求下列函数的导数：
31
22
5
2
3
2(1)(23)3322
y x x
x x x x ------''='
=-+-=-+
32
(2)(sin sin 3)3sin cos 3cos3y x x x x x
''=-=-
33333
2
332
(3)(cos ln )cos ln (cos ln )cos cos ln (3cos sin ln )
cos cos ln 3cos sin ln x x x x
x
x x x y e x x e x x e x x x
e x x e x x x x e x e x x e x x x x
''
='
=+=+-+=-+
(4)[sin(ln )]4sin(ln )[sin(ln )]44sin(ln )cos(ln )44y x x x x x x x π
ππ
π
π
''
=-'=-+-=-+-
2tan 2tan tan 2tan 22tan (5)(3arcsin )(3)(arcsin )3ln 3(
)tan tan sec 3ln 3tan 3
ln 3(cot csc )x x
x
x
x
x
x
x
x
x
y x x x x x x x x x x x ''
=+''
=+'=?-=?=?-+
2
222
(6)[ln(222a y x a a ''
====
2、求下列函数的二阶导数：
(1)(y x y ''='===
'''
==
=
224
3
3
326
24
24
(2)()222()(2)3(2)(236)(46)x
x x x x x x
x x x x x x x e y x e x xe x xe e x xe e y x e xe e x x xe e x e x x x x x e x x x ''
=-=
-=
-'''=+---=
+--+=
-+=
32222(3)(ln )3ln (3ln 1)
[(3ln 1)]2(3ln 1)36ln 5y x x x x x x x y x x x x x x x x
''==+=+'''=+=++=+
1121121(3)(sin )sin cos (sin cos )(1)sin cos cos sin (1)sin 2cos sin a a a a a a a a a a a a y x x ax x x x y ax x x x a a x x ax x ax x x x a a x x ax x x x
-------''==+'''
=+=-++-=-+-3、求下列隐函数的导数：
（1）由cos()xy x =两边对x 求导得：
sin()()1
1sin()xy y xy y y xy x
'-?+='∴=--
（2）由1
2
y y xe =
+两边对x 求导得： 1y y y
y
y e xe y e y xe ''
=+?'∴=
-
（3）由
ln 1x
x y
-=两边对x 求导得： 22
21
0y xy y x y y
y x x
'--='∴=
-
（4）由x y
xy e
+=两边对x 求导得：
(1)x y x y x y
y xy e y e y y x e +++''+=+-'∴=
-
4、求下列函数的微分：
32751212
2
2
53
1
22221
(1)[(23)]
(233233)
153(7433)22
dy d x x x d x x x x x x x x x x x dx
---=-+=-++-+=-++--
3222222
2
(2)(cos )3cos (sin )26sin cos dy d x x x xdx x x x dx
==?-?=- ln tan ln tan 2ln tan ln tan (3)(5)5ln 5(ln tan )sec 5ln 5tan 5ln 5sin cos x x x
x dy d d x x
dx x
dx x x
==??=???=
3
3
32321
(4)(
)12
(1)16(1)
x dy d x d x x dx x +=-=+--=-
5、求下列函数的近似值：
设()f x =
由000()()()()f x f x f x x x '≈+-得：
0)x x ≈-
令080,81x x ==，则
1
81)3 2.9907108
≈-=-
≈(12)ln1.002
设()ln f x x =，
由000()()()()f x f x f x x x '≈+-得：
000
1
ln ln ()x x x x x ≈+
- 令01.002,1x x ==，则
1
ln1.002ln1(1.0021)0.0021
≈+-=
0(3)cos 29
设()cos f x x =，
由000()()()()f x f x f x x x '≈+-得：
000cos cos sin ()x x x x x ≈-?-
令0
002929,301806
x x ππ
==
==，则
00029cos 29cos30sin 30()
1806
129()21806
3600.87
ππ
πππ≈-?-=--≈
+≈
0000(4)tan136tan(18044)tan 44=-=-
设()tan f x x =，
由000()()()()f x f x f x x x '≈+-得：
2000tan tan sec ()x x x x x ≈-?-
令0
004444,451804
x x ππ
==
==，则
0020tan 44tan 45sec 45()
180
1900.965
π
π
≈+?-
=-
≈
tan136tan 440.965∴=-≈-
6、解：
由224236x xy y ++=两边对x 求导得：
23224120x y xyy y y ''+++= 2
3
26x y y xy y +'∴=-
+ 那么曲线在点(1,1)-处的切线斜率为
11
|4
x k y ='==-
所以曲线在点(1,1)-处的切线方程为
1
1(1)4
y x +=--
即：430x y ++= 法线方程为
14(1)y x +=-
即：450x y --=。 7、解：
00
0lim ()lim lim lim 0lim ()(0)
x x x x x f x f x f ++
+
+
-
→→→→→====== ()f x ∴的0x =连续；
000
()(0)(0)lim lim lim x x x f x f f x ++
+
+?→?→?→?-'==?==+∞
()f x ∴的0x =不可导。
8、解：
33(4)31
sin sin sin 34433
cos cos34433sin()sin (3)424239
sin sin 3443292sin()sin(3)4242327
cos cos34433273sin()sin(3)4242381
sin sin 3443481sin()sin 424x x x
y x x
x x y x x
x x y x x
x x y x x
x ππ
ππππ
π=-'∴=-=+-+''=-+=+-+'''=-+=+-+=-=+- ()4(3)233sin()sin(3)
4242
n
n x n n y x x πππ
+=+-+
9、解：
2
1
1dx dt x
=+
由225t y ty e -+=两边对t 求导得：
2220t y y tyy e ''--+=
222t
dy y e dt ty
-∴=
- 222(1)()
22122t
t y e
dy dy t y e ty dt dx dx ty
-+--∴===
-。
10、证明：
03020()(0)(0)lim
1
sin
lim
1
lim sin 0x x x f x f f x
x x x
x x
?→?→?→?-'=???=?=?=? ()f x ∴在0x =处可导即可微；
又2
113sin cos ,0()0,
0x x x f x x x x ?-≠?'=??=? 0200()(0)
lim 11
3sin cos
lim
11
lim (3sin cos )x x x f x f x
x x x x x
x x x
+
?→?→?→''?-??-???=?=?-?? 显然上述极限不存在
所以()f x '在0x =处不可导即不可微。
关于导数的29个典型习题 习题1设函数在0=x 的某邻域内1 C 类(有一阶连续导数)，且.0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h f b h f a -+在 0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值。 解 由题设知 0)0()1()]0()2()([lim 0 =-+=-+→f b a f h f b h f a h . .01,0)0(=-+∴≠b a f 由洛比达法则知 ).0()2(1 ) 2(2)(lim )0()2()(lim 000f b a h f b h f a h f h bf h af h h '+='+'=-+=→→洛,0)0(≠'f 故.02=+b a 联立可 解出.1,2-==b a 习题2 设,0,00,)()(?????=≠-=-x x x e x g x f x 其中)(x g 有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g .(1) 求);(x f '(2) 讨论 )(x f '在),(+∞-∞上的连续性. 解 (1) 当0≠x 时，用公式有 ,)1()()()(])([)(2 2x e x x g x g x x e x g e x g x x f x x x ---++-'=+-+'=' 当0=x 时，用定义求导数，有 .21)0()(lim )0(2 0-''=-='-→g x e x g f x x 二次洛 ???? ?=-''≠++-'='∴-.0,2 1)0(0,)1()()()(2x g x x e x x g x g x x f x (2) 因在0=x 处有 ).0(2 1)0(2)(lim 2)1()()()(lim )(lim 000f g e x g x e x e x g x g x x g x f x x x x x x '=-''=-''=+-+'-''+'='-→--→→洛 而)(x f '在0≠x 处连续，故).,()(+∞-∞∈'C x f 习题3 证明：若022=++++c y b x a y x （圆），其中c b a ,,为定数),04(22>-+c b a 则 =+x d y d dx dy 222 3 2])(1[定数。 证 求导，,022='++'+y b a y y x 即.22b y a x y ++-=' 再导一次，,02222 =''+'+''+y b y y y 即 .2)1(22b y y y +'--='' )(.42 1...1)2(21...)1(22 22 3 2定数c b a y b y y y -+-=='++-=='''+∴
第三章一元函数的导 数和微分【字体：大中小】【打印】 3.1 导数概念 一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题
二、导数的定义 设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数 y=f（x）在点处的导数，记为 即 其它形式 关于导数的说明： 在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。 对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）
的导函数，记作 注意： 2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题： 例1、115页8 设函数f（x）在点x=a可导，求： （1） 【答疑编号11030101：针对该题提问】 （2） 【答疑编号11030102：针对该题提问】
三、单侧导数 1.左导数： 2.右导数： 函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。 【答疑编号11030103：针对该题提问】 解
闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数 步骤： 例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。 【答疑编号11030104：针对该题提问】 解 例4、设函数 【答疑编号11030105：针对该题提问】 解
导数与微分测试题（一） 一、选择题（每小题4分，共20分） 1、 设函数10 ()10 2 x x f x x ?≠??=??=?? 在0x =处（ ） A 、不连续； B 、连续但不可导； C 、二阶可导； D 、仅一阶可导； 2、若抛物线2y ax =与曲线ln y x =相切，则a 等于（ ） A 、1； B 、 12 ； C 、 12e ； D 、2e ； 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ ） A 、1； B 、 2 e ； C 、 2e ； D 、e ； 4、设函数()f x 在点x a =处可导，则0 ()() lim x f a x f a x x →+--等于（ ） A 、0； B 、()f a '； C 、2()f a '； D 、(2)f a '； 5、设函数()f x 可微，则当0x ?→时，y dy ?-与x ?相比是（ ） A 、等价无穷小； B 、同阶非等价无穷小； C 、低阶无穷小； D 、高阶无穷小； 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、设函数()f x x x =，则(0)f '=______； 2、 设函数()x f x xe =，则(0)f ''=______； 3、 设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则 01lim ()n nf x n →∞ + =______； 4、 曲线2 28y x x =-+上点______处的切线平行于x 轴，点______处的 切线与x 轴正向的交角为 4 π 。
5、 d ______ = x e dx - 三、解答题 1、（7分）设函数()()() , ()f x x a x x ??=-在x a =处连续， 求()f a '； 2、（7分）设函数()a a x a x a f x x a a =++，求()f x '； 3、（8分）求曲线 sin cos 2x t y t =?? =? 在 6 t π = 处的切线方程和法线方程； 4、（7分）求由方程 1sin 02 x y y -+=所确定的隐函数y 的二阶导数 2 2 d y dx 5、（7分）设函数1212()()()n a a a n y x a x a x a =--- ，求 y ' 6、（10分）设函数2 12()12 x x f x ax b x ?≤?? =? ?+> ?? ，适当选择,a b 的值，使 得()f x 在12 x = 处可导 7（7分）若2 2 ()()y f x xf y x +=，其中 ()f x 为可微函数，求dy 8、（7分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，且满足 ()()0,()()0f a f b f a f b +-''==?>，证明：()f x 在(,)a b 内至少存在一点c ，使得 ()0f c = 导数与微分测试题及答案（一） 一、1－5 CCBCD 二、1. 0； 2. 2； 3. 1； 4.（1，7）、329(, )24 ； 5. x e --； 三、1. 解：()() ()() ()lim lim ()x a x a f x f a x a x f a a x a x a ??→→--'===--；
高等数学练习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3 π ，21）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)
P61 习题3-1 1、根据定义求导数： (1)cos y x = 00000cos()cos lim 2sin sin 22lim sin()sin 22lim 2 sin 2lim sin()lim 22 sin x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→?→+?-'=?+?++?--=???+=-???=-+?=- 12 (2)y x = 112 2 012()lim lim lim 12x x x x x x y x x ?→?→?→-+?-'=?==== (3)y = 033 223 2 2 2(lim lim lim lim x x x x x x y x ?→?→?→?→+?'=?==== =(4)x y a = 001lim lim x x x x x x x a a a y a x x +???→?→--'==?? 设t x =?，则 01 lim t x t a y a t →-'= 再设t s a =，则log a t s =，于是 11 1 1 110 1 1lim log 1lim log 1 lim log [1(1)] 1log ln x s a x s s a x s s a x a x s y a s a s a s a e a a →→--→--'===+-== 2、
0000000()()(1)lim [(()]() lim () x x f x x f x x f x x f x x f x ?→-?→-?-?+-?-=--?'=- 00000000000000000000000()()(2)lim ()()()()lim ()()()()lim lim ()()()()lim lim ()[()]2() x x x x x x f x x f x x x f x x f x f x f x x x f x x f x f x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x f x f x ?→?→?→?→?→?→+?--??+?-+--?=?+?---?=+??+?--?-=-??''=--'= 000()(3)lim ()lim (0)(0)lim (0) x x x f x x f x x f x f x f →?→?→?=?+?-=?'= 00001001 (4)lim [()()]1 ()() lim 1() n n n f x f x n f x f x n n f x →∞→+-+-='= 3、证： ()f x 为偶函数且(0)0f =，则 00000(0)(0)(0)lim ()(0) lim ()(0) lim ()(0) lim ()(0) lim (0)x x x x x f x f f x f x f x f x f x f x f x f x f x f - - - - + -?→?→?→?→-?→++?-'=??-=?-?-=?-?-=--?-?-=--?'=- 又()f x 在0x =处可导，则 (0)(0)f f -+''= 即(0)(0)f f ++''=- 所以(0)0f +'= 故(0)0f '=。 4、证： （1）设()f x 为可导的奇函数，则： 0000()()()lim ()()lim ()() lim [()]() lim ()x x x x f x x f x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x ?→?→?→-?→-+?--'-=?--?+=?-?-=-?+-?-=-?'= 所以()f x '为偶函数。 （2）设()f x 为可导的偶函数，则：
第三章 导数与微分 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1. 理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题. 2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式. 3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法. 4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法. 5.了解可导、可微、连续之间的关系. 重点 导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法. 难点 求复合函数和隐函数的导数的方法. （二） 内容提要 1.导数的概念 ⑴导数 设函数)(x f y =在点0 x 的某一邻域内有定义，当自变量x 在点0 x 处有增量)0(≠??x x ，x x ?+0 仍在该邻域内时，相应地，函数有增量)()(0 x f x x f y -?+=?，若极限 000 0()()lim lim x x f x x f x y x x ?→?→+?-?=?? 存在，则称)(x f 在点0 x 处可导，并称此极限值为)(x f 在点0 x 处的导数，记为)(0 x f '，也可记为0 00 0d d d d , ,)(x x x f x x x y x x y x y ===' '或，即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000. 若极限不存在，则称)(x f y =在点0 x 处不可导. 若固定0 x ，令x x x =?+0 ，则当0→?x 时，有0x x →，所以函数)(x f 在 点0 x 处的导数)(0 x f '也可表示为 00 ) ()(lim )(x x x f x f x f x --='→.
3第三章微分中值定理与导数的应用习题解答23309
第三章微分中值定理与导数的应用答案 §3.1 微分中值定理?Skip Record If...? 1．填空题 （１）?Skip Record If...?（２） 3 , ?Skip Record If...? 2．选择题 （１） B （２） C （３） B 3． 证明：令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?，所以?Skip Record If...?为一常数． 设?Skip Record If...?，又因为?Skip Record If...?， 故 ?Skip Record If...?． 4． 证明：由于?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上连续,在?Skip Record If...?可导,且?Skip Record If...?，根据罗尔定理知，存在?Skip Record If...?，使?Skip Record If...?．同理存在?Skip Record If...?，使?Skip Record If...?．又?Skip Record If...?在 ?Skip Record If...?上 符合罗尔定理的条件，故有?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?． 5． 证明：设?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?，根据零点存在定理至少存在一个?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?．另一方面，假设有?Skip Record If...?，且?Skip Record If...?，使?Skip Record If...?，根据罗尔定理，存在?Skip Record If...?使?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?，这与?Skip Record If...?矛盾．故方程?Skip Record If...?只有一个实根． 6． 证明：由于?Skip Record If...?在?Skip Record If...?内可导，从而?Skip Record If...?在闭区间?Skip Record If...?内连续，在开区间?Skip Record If...?内可导．又因为?Skip Record If...?，根据零点存在定理，必存在点?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?．同理，存在点?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?．因此?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上满足罗尔定理的条件，故存在?Skip Record If...?，使?Skip Record If...?成立． 7. 证明：只需令?Skip Record If...?，利用柯西中值定理即可证明.
第二章 导数与微分 单元测试题 考试时间：120分钟 满分：100分 试卷代码：M1-2b 一、选择题(每小题2分，共40分) 1．两曲线21y y ax b x = =+，在点1(22 ，处相切，则（ ） A．13164a b =-=， B．11164 a b ==， C．912a b =-=， D．712a b ==-， 2．设(0)0f =，则()f x 在0x =可导的充要条件为（ ） A．201lim (1cos )h f h h →-存在 B．01lim (1)h h f e h →-存在 C．201lim (sin )h f h h h →-存在 D．[]01lim (2)()h f h f h h →-存在 3．设函数()f x 在区间()δδ-，内有定义，若当()x δδ∈-，时恒有2()f x x ≤，则0x =必是()f x 的（ ） A．间断点 B．连续而不可导的点 C．可导的点，且(0)0f '= D．可导的点，且(0)0f '≠ 4．设函数()y f x =在0x 点处可导，x y ，分别为自变量和函数的增量，dy 为其微分且0()0f x '≠，则0lim x dy y y →-= （ ） A．-1 B．1 C．0 D．∞ 5．设()f x 具有任意阶导数，且[]2 ()()f x f x '=，则()()n f x =（ ） A．[]1()n n f x + B．[]1!()n n f x + C．[]1(1)()n n f x ++ D．[]1(1)!()n n f x ++ 6．已知函数 0() 0x x f x a b x x x ≤??=?>?? +cos 在0x =处可导，则（ ） A．22a b =-=， B．22a b ==-， C．11a b =-=， D．11a b ==-， 7．设函数32()3f x x x x =+，则使()(0)n f 不存在的最小正整数n 必为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．若()f x 是奇函数且(0)f '存在，则0x =是函数()()f x F x x =的（ ）
导数与微分习题（基础题） 1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，相应函数的改变量=?y ( ) A ．()x x f ?+0 B ．()x x f ?+0 C ．()()00x f x x f -?+ D ．()x x f ?0 2．设()x f 在0x 处可导，则()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dx dy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( ) A ．左导数存在； B ．右导数存在； C ．左右导数都存在 D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在 7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．6 8．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( ) A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){} x f x f e x f ''+'2 9．若()???≥+<=0 ,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=b C ．2-=a ，1=b D ．2=a ，1-=b
第三章 函数的导数与微分 习题 3－1 1. 根据定义求下列函数的导数: (1) x y 1 = (2)x y cos = (3)b ax y +=(a ,b 为常数) (4)x y = 解(1)因为 00()()'lim lim x x y f x x f x y x x ?→?→?+?-==?? =x x x x x ?-?+→?1 1lim 0=01lim ()x x x x ?→-+?=21 x - 所以 21 y x '=- . (2) 因为00cos()cos 'lim lim x x y x x x y x x ?→?→?+?-==?? 02sin()sin 22 lim sin x x x x x x ?→??-+==-? 所以sin y x '=- (3) 因为 00[()][]'lim lim x x y a x x b ax b y x x ?→?→?+?+-+==?? =x x a x ??→?0lim =a 所以y a '= (4) 因为 00'lim lim x x y y x x ?→?→?-==?? = )(lim 0x x x x x x +?+??→? lim x ?→== 所以 y '= . 2. 下列各题中假定)(0' x f 存在, 按照导数的定义观察下列极限, 指出A 表示什么? (1) A x x f x x f x =?-?-→?)()(lim 000 (2) A x x f x =→)(lim 0(其中0)0(=f 且)0(' f )存在) (3) A x f tx f x =-→)0()(lim 0(其中)0(' f 存在)
第三章 导数与微分 同步练习 一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim =--→x f x f x x ，则)0(f '= 。 2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。 3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则 1 =x dx dy = 。 4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。 5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将 。 6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为 。 7、已知x x y ln =，则)10(y = 。 8、已知2arcsin )(),232 3( x x f x x f y ='+-=，则：0 =x dx dy = 。 9、设1 111ln 2 2++-+=x x y ，则y '= 。 10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。 11、已知()x ke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dy x d 。 二、选择 1、设f 可微，则=---→1 ) 1()2(lim 1 x f x f x （ ） A 、)1(-'-x f B 、)1(-'f C 、)1(f '- D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→) ()2(lim 000 x f x x f x x （ ） A 、 41 B 、4 1 - C 、1 D 、-1 3、设?? ???=≠=0001arctan )(x x x x x f ，则)(x f 在0=x 处（ ） A 、不连续 B 、极限不存在 Ｃ、连续且可导 Ｄ、连续但不可导 ４、下列函数在[]1,1-上可微的有（ ） Ａ、x x y sin 3 2+= Ｂ、x x y sin =
题型 1.由已知导数，求切线的方程 2.对简单的、常见函数进行求导 3.对复合函数、隐函数、对数求导法进行求导 4.参数方程与一些个别函数的应用 5.常见的高阶导数及其求导 内容 一．导数的概念 1.导数的定义 2.导数的几何意义 3.导数的物理意义 4.可导与连续之间的关系 二．导数的计算 1.导数的基本公式 2.导数的四则运算法则 3.反函数的求导法则 4.复函数的求导法则 5.隐函数的求导 6.参数方程所确定的函数的导数 7. 对数求导法 8.高阶导数
三．微分 1.微分的定义 2.可导与可微的关系 3.复合函数的微分法则 4.微分在近似计算中的应用 典型例题 题型I 利用导数定义解题 题型II 导数在几何上的应用 题型III 利用导数公式及其求导法则求导 题型IV 求高阶导数 题型V 可导、连续与极限存在的关系 自测题二 一．填空题 二．选择题 三．解答题 4月9日微分练习题 基础题： （一）选择题 1.若 ? ??≥+<+=1,1,3)(2x b ax x x x f 在1=x 处可导，则（ ） A. 2,2==b a B. 2,2=-=b a C. 2,2-==b a D. 2 ,2-=-=b a
2. 设 0'()2f x =，则000 ()() lim x f x h f x h h ?→+--＝( ). A 、不存在 B 、 2 C 、 0 D 、 4 3. 设 )0()(32>=x x x f , 则(_))4(='f A.2 B.3 C.4 D.5 4.已知函数)(x f 具有任意阶导数，且2)]([)(x f x f ='，则当n 为大于 2的正整数时， )(x f 的n 阶 导数 )()(x f n 是（ ）。 A 、1)]([+n x f n B 、1)]([!+n x f n C 、n x f 2)]([ D 、n x f n 2)]([! （二）填空题 5. 设 2 sin x e y = ，则=dy _____. 6.已知 x y 2sin =，则) (n y = . 7.设函数 ()y y x =由参数方程(),()x x y y θθ==确定，()x θ与()y θ均可导，且00()x x θ=， '0()2x θ=， 2x x dy dx ==，则'0()y θ= . 8.设 0,sin )(>=a x x f ，则=--→h a f h a f h 2) ()(lim ； 9. 已知设 cos2x y e = ，则=dy ____ _. 10. sin x y x = ，则2 x dy π==_____________ 11. 已知函数()x f x xe =,则(100)()f x = . 12. 设 )]([22x f x f y +=, 其中)(u f 为可导函数, 则 =dx dy 13．2 x x y =,则 dx dy .=______ 14. 已知函数)100()2)(1()(---=x x x x x f ,则)0('f = 15. 设函数,22x x y -+=求.) (n y . 综合题： （三）解答题 16. 求与抛物线2 25y x x =-+上连接两点(1,4)P 与(3,8)Q 的弦平行，且与抛物线相切的
第三章 微分中值定理与导数的应用 习题3-1 1.解：（1）虽然()f x 在[1,1]-上连续，(1)(1)f f -=，且()f x 在(1,1)-内可导。可见，()f x 在[1,1]-上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点ξ(1,1)∈-，使得()0f ξ'=，即： 22 120(21) ξ ξ-=+ ，满足，0ξ=； （2）虽然()f x 在[1,1]-上连续，(1)(1)f f -=，但()f x 在(1,1)-内0x =点不可导。可见，()f x 在[1,1]-上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在一点ξ(1,1)∈-，使得 ()0f ξ'=. 2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件. 3．解：令3 3arccos arccos(34)y x x x =-- ，2y '=，化简得 0,C y y '=∴=（C 为常数） ，又(0.5)y π=，故当0.50.5x -≤≤，有()y x π=。 4．证明：显然(),()f x F x 都满足在0,2π??????上连续，在0,2π?? ??? 内可导 ()cos ,()1sin f x x F x x ''==-且对任一0,2x π?? ∈ ??? ，()0F x '≠，(),()f x F x ∴满足柯西 中值定理条件。 (0)121(0)22f f F F πππ??- ???=??-- ???，而sin cos ()cos 242()1sin 1cos sin 242x x f x x x F x x x ππππ????-- ? ? '????==='-????--- ? ????? ，令()1()12 f x F x π'= '-，即tan 1422 x ππ ??-=- ???，此时 2arctan 142x ππ?? ??=-- ???????显然0,2x π??∈ ???，即 2arctan 10,4 22πππξ?????? ?=--∈ ? ?????????，
第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 【知识点归纳】 1.平均变化率： 2.瞬时速度： 3.导数及导函数的概念： 4.导数的几何意义： 拓展知识： 5.平均变化率的几何意义： 6.导数与切线的关系： 【典型例题】 题型一 求平均变化率： 例 1.已知函数2 ()21y f x x ==-的图像上一点（1,1）及其邻近一点(1,1)x y +?+?，则y x ??=_______. 变式训练： 1.以00(0)v v >速度竖直向上抛出一物体，t 秒时的高度为201()2 s t v t gt =-，求物体在0t 到0t t +?这段时间的平均速度v . 2.求正弦函数sin y x =在0x =和2x π= 附近的平均变化率，并比较他们的大小.
题型二 实际问题中的瞬时速度 例 2 已知质点M 按规律223s t =+做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ） （1）当2,0.01t t =?=时，求s t ??；（2）当2,0.001t t =?=时，求s t ??； （3）求质点M 在t=2时的瞬时速度. 题型三 求函数的导数及导函数的值 例 3求函数1y x x =-在1x =处的导数. 题型四 曲线的切线问题 例 4 （1）已知曲线22y x =上一点A （1，2），求点A 处的切线方程. （2）求过点（-1，-2）且与曲线32y x x =-想切的直线方程. （3）求曲线321()53f x x x = -+在x=1处的切线的倾斜角. （4）曲线3y x =在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标.
第三章 一阶微分方程的解的存在定理 例3-1 求方程 22y x dx dy += 满足初始条件0)0(=y 的解的逐次逼近)(),(),(321x y x y x y ，并求出h 的最大值，其中h 的意义同解的存在唯一性定理中的h 。 解 函数2 2 ),(y x y x f +=在整个平面上有意义，则在以原点为中心的任一闭矩形区域 b y a x D ≤≤,:上均满足解的存在唯一性定理的条件，初值问题?????=+=0 )0(22y y x dx dy 的解在],[h h -上存在唯一，其中)(max ),, min(22),(y x M M b a h D y x +==∈。 因为逐次逼近函数序列为 ?-+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10， 此时，2 200),(,0,0y x y x f y x +===，所以 0)(0=x y ， ?=+=x x dx x y x x y 03 2 02 13 )]([)(， | 63 3)]([)(7 032 12 2x x dx x y x x y x +=+=?， ?? +++=+=x x dx x x x x dx x y x x y 0 14 1062 2 223)3969 18929()]([)( 59535 20792633151173x x x x +++=。 现在求h 的最大值。 因为 ),, min(2 2b a b a h += 对任给的正数b a ,，ab b a 22 2 ≥+，上式中，当 b a = 时， 2 2b a b +取得最大值
a ab b 21 2= 。 此时，)21,min()2, min(a a ab b a h ==，当且仅当a a 21 = ，即22==b a 时，h 取得最大值为 2 2 。 评注：本题主要考查对初值问题的解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想（逐次逼近方法）的理解。特别地，对其中的b y a x D y x f M M b a h D y x ≤≤==∈,:),,(max ),, min(),(等常数意义的理解和对逐次逼近函数列? -+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10的构造过程的理 解。 例3-2 证明下列初值问题的解在指定区间上存在且唯一。 1） 2 1 0,0)0(cos 2 2≤ ≤=+='x y x y y ，。 2） 32 2 )2 1 (0,0)0(≤≤=+='x y y x y ， 。 | 证 1） 以原点为中心作闭矩形区域1,2 1 :≤≤ y x D 。 易验证2 2 cos ),(x y y x f +=在区域D 上满足解的存在唯一性定理的条件，求得 2cos m ax 22),(=+=∈x y M D y x ，则2 1 )21,21min(==h 。 因此初值问题 ?? ?=+='0 )0(cos 2 2y x y y 的解在]21,21[- 上存在唯一，从而在区间]2 1 ,0[上方程 cos 22， x y y +='满足条件0)0( =y 的解存在唯一。 2） 以原点为中心作闭矩形区域b y a x D ≤≤,:。 易验证x y y x f +=2 ),(在D 上满足解的存在唯一性定理的条件，并求得 22),(m ax b a x y M D y x +=+=∈，
第二章 导数与微分 (A) 1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，相应函数的改变量=?y ( ) A ．()x x f ?+0 B ．()x x f ?+0 C ．()()00x f x x f -?+ D ．()x x f ?0 2．设()x f 在0x 处可，则()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dx dy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( ) A ．左导数存在； B ．右导数存在； C ．左右导数都存在 D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在 7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．6 8．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( ) A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){} x f x f e x f ''+'2 9．若()???≥+<=0 ,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=b C ．2-=a ，1=b D ．2=a ，1-=b
高等数学练习题 第二章 导数与微分 系 专业 班 学号 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3 π ，21）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点 x 处连续是在该点 x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ]
微积分典型例题和重点知识点 1. 重点掌握定义域-习题1-2中的2,4(17页) 2. 习题1-3中的1-2-3-6-8(23页) 3. 左右极限法-例6,课后习题1. 4.6 4. 无穷小与无穷大---定义1/定理3习题4 5. 极限运算法则--定理1,例5/习题中1的2-5-610-14-15/2 的3/3 6. 单调有界准则中的准则2/两个重要极限/习题1的3,4/2的4,7/4 7. 无穷小的比较---习题1/2/3/5的2-3-5 8. 函数的连续与间断---定义1/定义2/习题2 的2/4的3/6 9. 连续函数的运算与性质-习题1/2/4/6 10. 总习题1的1-8-26-29-33-34-35 11. 导数的概念-例2/例3 12. 函数的求导法则-定理1/复合函数的求导法则/例9-注意化简/例10/基本求导公式/习题1的2-4-5-9-10/2 的1/4 的3-5-6-8/5的1-2-5-8/6的2 13. 高阶导数==与隐函数求导结合出题---习题1的4-5/4/6的3 14. 隐函数的求导数---例2/例3/习题中1 的2-5,2的2-3,3的3 15. 函数的微分-例3 /例4 16. 总复习题1-2-10-13-14-21-23-25 17. 中值定理---习题1-3-5(重点证明题)-10的1-11========[证明一个中值的等式或根的存在,多用罗尔定理,可用原函数找辅助函函数]=========[注意洛必达法则失败的情况]==习题1 的3-5-6-910-11-12-14-17 18. 函数凹凸性:定理2/例6/例8/习题4 的2-3,6的2 19. 习题3-5中的8 20. 导数在经济学中的应用---例3(应用题)/例4/例5 /例6/习题的5-9-10 21. 总复习题1 的2/13 的1-5/24的1 22. 不定积分----例4(可能与不定积分结合)/性质1性质2(可能出选择题)/基本积分表/例8/例9/习题1 的7-10-12/3/4====有一个会有第一类间断点的函数都没有原函数 23. 换元积分法---例2 /例3/例6/常用凑微分公式/习题2 的7-8-10-11-12/3的1/4 24. 分部积分法----按”反-对-幂-三-指”的顺序,在前的设为U,在后的设为V/例3/例4/例10/习题1的2-5-14/3 25. 注意---------------------微积分重点小节是:1.7-----1.8----2.2-----2.4-----3.2-----3.7------4.2------4.3----- 计算题4题分别是分步积分凑积分法极限隐函数的求导 应用题的是弹性函数和利用函数求最值 以上是其他老师划的一些重点知识和例题,习题,请各位同学根据老师讲的内容并结合自身复习情况,做适当的调整