第四章倒易点阵及晶体衍射方向
1. 布拉格定律
一定波长的X 射线或入射电子与晶体试样相互作用 , 可以用布拉格定律来表征产生衍射的条件。
图 4.1 布拉格定律的几何说明
如图4.1, 设平行电子束σ0入射到晶体中面间距为d hkl的晶体面网组(hkl), 在人射波前SS' 处, 两电子波位相相同, 如果左边一支波经历波程PA+AD = nλ，n 为包括零的整数, 则两支波离开晶体后达到新波前TT' 时, 将具有相同的位相, 相干结果可以达到衍射极大; 反之, 若PA+AD ≠nλ, 则达到TT' 时, 它们位相不同, 不能相干得到衍射极大。由图4.1 可知，
PA+AD =2d hkl sinθ=nλ(4.1)
此即布拉格方程,n称为衍射级数。式(4.1)也可以写成:
λθ=??
?
??sin 2n
d hkl (4.1a) 因为 d hkl /n=d nh, nk, hl ，故可把n 级 (hkl) 反射看成是与 (hkl) 平行 但面网间距缩小 n 倍的、 (nh, nk, nl) 的一级反射。这样 , 布拉格方程可以写成一般形式 :
λθ=sin 2hkl d (4.1a) 还可以写成下述形式：
λ
θ/2/1sin hkl
d =
(4.1b) 只要满足布拉格方程 , 就获得了产生衍射极大的条件。式 (4.1a) 中 d hkl 为晶体中晶面组 (hkl) 的晶面间距；λ为入射电子束的波长；θ为人射电子束方向相对于晶面 (hkl) 的掠射角。
2. 倒易点阵
2.1 倒易点阵定义 （1）倒易点阵：
若已知晶体点阵的单位矢量 a 、b 、c, 可以定义倒易点阵的单位矢量a *、b *、c *，该点阵的方向矢量垂直于同名指数的晶体平面, 它的大小等于同名指数晶面间距的倒数,该点阵称为倒易点阵。 （2）正点阵与倒易点阵和基矢量的相互关系：
图4.2 正点阵与倒易点阵和基矢量的相互关系
取一晶体单胞 , 如图 4.2, 晶体点阵的单位矢量为 a 、b 和 c , 相应点阵的 6 个参数是a 、 b 、 c 、α、β和 γ。其晶体点阵的倒易点阵所具有的 3 个单位倒易矢量为a *、b *、c *。相应的倒易点阵的 6 个参数是a *、b *、c *、α*、β*和γ*。根据倒易点阵的定义可求出a *。其表达示为：
100100100**/1/1h d R a ===
式中的 h 100 为晶体平行六面体单胞中垂直于 (100) 面的高 OA 。 设 OA 与 a 的夹角为α。则以下两个同名基矢的标量积应有如下结果: （a ） 正点阵与倒易点阵的同名基矢的点乘积等于 1
1/cos 1001000==?=?**h h a a a a α
1=?=?=?***c c b b a a （4.2）
倒易基矢长度为:
[]1
)cos(-**∧?=a a a a
[]1
)cos(-**∧?=b b b b （4.3）
[]1
)cos(-*
*
∧?=c c c c
（b ） 正点阵与倒易点阵的异名基矢之间是相互垂直的, 即 a *⊥b ，a *⊥c 。正点阵与倒易点阵的异名基矢的点乘积等于零。
a *?
b = a *?
c = b *?a = b *?c = c *?a = c *?b = 0 (4.4)
（c ）定义晶体正点阵的单位基矢 (a 、 b 和 c) 与倒易点阵的单位基矢 (a *、b *和 C * ) 之间有如下关系:
V c b a ?=*
*
*
*?=V
c b a V a c b ?=*
（4.5） *
*
*?=V
a c
b （4.6） V b a
c ?=*
*
*
*?=V
b a
c 其中 V 和V *分别是正点阵和倒易点阵单胞的体积。倒易基矢 a *在正 点阵单胞基矢 b 、c 构成的平面法线方向, 它的长度等于这个平面族的面间距的倒数。同理，b *与 c 、a 构成的平面正交，c *与 a 、b 构成的平面正交, 它们的长度也分别等于这两个平面族的面间距的倒数。
正倒点阵单胞的体积 V 和 V *分别等于 a 、 b 、 c 和 a *、b *、c *
的三重标量积。
b a
c a c b c b a V ??=??=??= (4.7)
b a
c a c b c b a V ??=??=??=****** (4.8) 由倒易基矢a *、b *、C *组成的倒易矢量是
****++=lc kb ha r hkl （4.9）
它的端点是 hkl 倒易阵点。如 h 、k 、l 取遍所有整数值 , 即构成一个无穷尽的倒易点阵 , 正如在正空间中 wc vb ua r uvw ++=的端点处的阵点构 成的一个正点阵一样。正点阵与倒易点阵有完全对应的倒易关系。 (3) 正点阵与倒易点阵基矢之间的定量关系
假设它们基矢的列矩阵间存在矩阵因子[M], 其关系式表示如下:
[]???
?????=????
????***c b a M c b a (4.10)
等式两边分别右乘以正点阵的行矩阵 [a b c], 则有 [][][][]???
??????????????=????????=????
????************c c b c a c c b b b a b c a b a a a M c b a c b a M c b a c b a
上述等式右方最后一个矩阵为单元矩阵，可求出[M]并表示如下：
[][]?
??
????
?=????
?????????????=????????=22
2
cos cos cos cos cos cos c cb ca bc b ba ac ab a c c b c a c c b b b a b c a b a a a c b a c b a M α
βαλ
βγ
（4.11）
式中α、β、γ分别是晶体基轴b 与c ，c 与a 和a 与b 之间的夹角。 将等式（4.10）两边同时左点乘以[M]的逆矩阵[M]-1，得到以下结果：
[]???
?????=?????????**
*-c b a c b a M 1
等式两边同时右点乘以倒易点阵基矢的行矩阵[]**
*c b a ，有
[]???
?
????
?????????=***
********
****
**
*-c c b c a
c c b b b a b c a b a a a M 1 （4.12） 进一步解得：
[]??
??
?
??
?
????
???
?
------=-222
22
21
sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos sin 1c cb
ca bc b ab
ac
ab a A M γβ
βγβγαβγββλβαβγαγ
βαα
（4.13）
式中γβαγβαCOS COS COS COS COS COS A 21222+---=。
表4.1 不同晶系的坐标变换矩阵[M]及[M]-1
2.2倒易关系
从式 (4.2) 和式 (4.4) 可以看出, 正点阵单胞的基矢与倒易点阵单胞 的基矢是完全对称的, 两者互为倒易关系。倒易点阵在晶体几何方面的重要意义就在于它与正点阵间存在有一系列的倒易关系。分别从a 、b 和 c 与****++=lc kb ha r hkl
的
标量积得出:
1/=?*h a r ， 1/=?*k b r ， 1/=?*l c r （4.14）
它们是正点阵矢量r 与倒易点阵矢量r *的标量积:
n r r =?* (n 为任意整数 )
的几个特例, 0=?*
r r 表示 r 在r *上的投影为零。所有与r *正交的正 点阵矢量 r 都满足这一关系, 并都坐落在一个通过原点且与 r * 正交的平面上。根据倒易点阵矢量****++=lc kb ha r
hkl
的定义 ,h 、k 、l 均为整 数, 因此,(hkl) 点阵平面的指数
也必定是整数。
可将正点阵与倒易点阵之间的关系归纳如下 :
(1) 正点阵与倒易点阵互为倒易, 即正点阵的倒易是倒易点阵。倒易点阵的倒易
是正点阵, 这一点可以通过式 (4.5)、式 (4.6)、式 (4.7) 和式 (4.8) 反映出来。
(2)倒易点阵中的方向[hkl]*与正点阵中同名指数（hkl ）正交（图4.3），倒易原点到倒易点的距离hkl hkl
d r
/1=*。同样，正点阵中的晶向[υ?ω]与倒易点阵中同名支书
倒易平面（υ?ω）*正交，正点阵原点到υ?ω阵点的距离uvw
uvw d
r *=/1，uvw
d
*
是倒易
面（υ?ω）*的面间距，如图4.4所示。
图4.3 点阵平面（hkl ）与倒易点 图4.4 点阵平面（uvw ）*与点阵
阵方向[hkl]*正交，且hkl hkl d r /1*= 方向[uvw]正交，且*
/1uvw
uvwl d r =
表4.2 正空间和倒空间的相互关系
注意 , 只有在立方晶系情况下 , 正点阵中的晶向[υ?ω]才与正点阵中同名指数晶面 (υ?ω) 正交, 而其他晶系则不一定有这种正交关系 ( 见表 4.2)。
(3) 常见的七个晶系空间倒易关系见表 4.2 。如图 4.5 中以面心、体 心立方为例, 示意说明两者互为倒易情况。图中,(a)为正空间的面心立方, 其相应的倒空间为体心立方(b)；(c) 为正空间的体心立方, 其相应的倒空间为面心立方(d)；（a ）、(c) 上圆点代表原子；(b)、(d)上的圆点是倒空间的倒易点, 从坐标原点到这些点的向量称为倒易矢量, 它代表正空间一族晶面。
(4) 正点阵与倒易点阵的单胞体积互为倒易关系。由式 (4.4)、(4.5)、(4.6)、(4.7)、(4.8)和（4.11）不难得到如下结果：
V 2 = ∣M ∣ VV * =1
由此得 V * = 1/V =∣M ∣?
图4.5 面心立方、体心立方正空间与倒空间的相互关系
3. 正点阵与倒易点阵的指数变换
3.1 晶带及晶带定律
晶体中的许多晶面族(η κ λ) 同时与一个晶向[υ ? ω] 平行时( 见图 4.6), 这些晶面族总称为一个晶带, 这个晶向称为晶带轴。常常用晶带轴代表整个品带, 如
[υ ? ω] 晶带。
图4.6 晶带的示意图
既然这些晶面族都平行于晶带轴的方向 , 那么它们的倒易矢量
*
*+
*
*
ha
kb
r
+
=lc
就构成一个与晶带轴方向
+
r+
=
vb
wc
ua
正交的二维倒易点阵平面 (υ ? ω)*。易于证明 , 当 r 在 f 上的投影为零间 (0=?*
r r ) 时 , 可得出晶带定律
0=++lw kv hu （4.16）
上式也可写成四轴形式
0=+++lw it kv hu （4.17）
它反映了正空间与倒空间一些 有特定关系的矢量与平面指数间的关系 :
(1) 说明了相互垂直的正空间 矢量[υ ? ω]和倒空间矢量 [η κ λ]*之 间的指数关系或者理解为相互垂直的正空间平面 (η κ λ) 与倒空间平面 (υ ? ω)* 之间的指数关系。
（2）说明了正空间与倒空间各自的平面与平面上直线指数之间的关 系 , 即晶带平面 (η κ λ) 和晶带轴 [υ ? ω] 之间以及倒易面(υ ? ω)*和面上倒 易矢[η κ λ]*之间的指数关系。
由晶带定律可很方便地用来求解下列几何命题。
(1) 已知晶面 (η1 κ1 λ1) 和晶面(η2 κ2 λ2), 可求解它们的晶带[υ ? ω]。由晶带定律式 (4.16) 可得到下列方程组:
0111=++w l v k u h 0222=++w l v k u h
解出它们的晶带轴指数υ、 ?、 ω ：
221
1
2121l k l k k l l k u =-= 2
2
1
12121h l h l l h h l v =
-= 2
2
1
1
2121k h k h h k k h w =
-= 为了方便起见 , 通常写为下列便于记忆的形式:
此即常用的由两个点阵平面指数求晶带轴的公式。点阵平面 (η1 κ1 λ1) 、 (η2
κ2 λ2) 、 (η3 κ3 λ3) 同属于同一晶带的条件是倒易点阵矢量*1r ,*2r ,*
3r 在一个倒易点阵平面上 , 即0)(**
3*
2*
1=??=r r r V , 展开 得 :展开得：
03
332221
11=l k h l k h l k h (2) 已知两个晶带指数[υ1 ?1 ω1] 和[υ2 ?2 ω2], 求解它们所在平面的指数。
根据式（4.16），应有
0111=++lw kv hu 0222=++lw kv hu
解出他们所在平面指数η、κ、λ：
221
11221w v w v w v w v h =-= 22
1
12112u w u w w u w u k =-= 2
2
1
11221v u v u v u v u l =
-= 或写成较易记忆的形式：
同理，三个点阵方向（υ1 ?1 ω1）、（υ2 ?2 ω2）、（υ3 ?3 ω3）应满足：
03
332221
11=w v u w v u w v u （3）已知晶面(η1 κ1 λ1)和(η2 κ2 λ2)在一个晶带[υ ? ω]上，求解位于此晶带上介于二晶面之间的另一晶面(η3 κ3 λ3)。
同样，根据式（4.16）有：
0111=++lw kv hu 0222=++lw kv hu
由上式可得
0)()()(212121=+++++w l l v k k u h h 此结果应满足0)(*
3*
2*
1*
=??=r r r V 或式（4.20）。
图 4.7 是晶带定律的示意图 , 属于 [υ ? ω] 晶带的晶面族的倒易阵点
图4.7 晶带定律的示意图
ηκλ都在一个二维倒易点阵平面上。根据倒易关系 , 正点阵的 [υ ? ω]* 方向与倒易点阵的(υ ? ω)*倒易平面正交 , 因此这些ηκλ倒易点构成的二维倒易点阵平面就是(υ ? ω)*。这个倒 易点阵平面通过原点 , 满足关系式0=?*
r r , 用(υ ? ω)*0 表
示。在它上面或下面并与之平行的第 N 层 (υ ? ω)*倒易面不通过原点 :
N r r =?*
或
N lw kv hu =++（4.24）
这是广义的晶带定律。由于ηκλ及υ ? ω 都是一些整数 ,N 当然也是整数 , 一般代表(υ ? ω)*倒易面的层数。式 (4.24) 给出第 N 层(υ ? ω)*倒易面上 倒易阵点ηκλ的指数。 3.2 点阵的指数变换
在讨论正点阵与倒易点阵互为倒易的关系时已经指出 , 正点阵的 (ηκλ) 晶面与倒易点阵的同指数倒易方向 [ηκλ]*垂直 , 正点阵的 [υ ? ω] 晶向与倒易点阵的同指数倒易平面(υ ? ω)*垂直 ( 见图 4.3 和图 4.4)o 在晶体及其衍射谱的分析工作中 , 还要知道 (υ ? ω) 晶面的法线 [υ ? ω] 的指数 , 或者反过来 , 与[υ ? ω] 垂直的 (υ ? ω) 晶面的指数。只有在立方晶系中 , 才有 η = υ、 κ = ? 、 λ = ω 的简单指数关系。 对非立方晶系 , 不能认为电子束是垂直于正空间 (υ ? ω) 面的。一般说来 ,( ηκλ) 晶面的法线指数υ、 ?、 ω不一定是整数 , 与 [υ ? ω] 晶向垂直的晶面的指数也如此。
根据法线的定义 , 设 [υ ? ω] 与 (ηκλ) 垂直。倒易坐标的原点与正点阵的坐标原点是相重的 , 根据倒易点阵与正点阵的倒易关系 , 在此倒易坐标中引出的、代表 (ηκλ) 面的倒易矢量 [ηκλ]* 也是垂直于 (ηκλ) 面的 , 即 [υ ? ω] 和 [ηκλ] 势是同一矢量在正、倒空间的不同表示方式 , 可用数学式表达如下：
***++=++lc kb ha wc vb ua （4.25）
这就是说 , 在正点阵中的系数是υ、 ?、 ω , 在倒易点阵中的系数是η、κ、λ。将式 (4.25) 分别乘以a *、b *、c *, 根据式 (4.2) 和式 (4.4) 则有:
*****??+?+?=c la b ka a ha u
*****??+?+?=c lb b kb a hb v (4.26) *****??+?+?=c lc b kc a hc w
整理以后写成矩阵形式：
[]????????=?????
??????????
??????????=????????-***
****
********
**
*l k h M l k h c c b c a c c b b b a
b c a b a a a w v u 1 （4.27） 这就是在 (ηκλ) 晶面为已知的情况下求法线 [υ ? ω] 的公式 , 也是把一个倒
易矢量改用正点阵坐标描述的公式。
如果分别以 a 、b 、c 乘以式 (4.25) 两边 , 同理可以得出:
c wa b va a ua h ?+?+?=
c wb b vb a ub k ?+?+?= （4.28） c wc b vc a uc l ?+?+?=
或写成矩阵形式：
[]???
?
????=?????????????????????????=????????w v u M w v u c c b c a c c b b b a b c a b a a a l k h （4.29） 由此可以得出与 [υ ? ω]正交的(ηκλ)晶面的指数 , 这也就是正点阵矢量改用倒易点阵描述的系数。式 (4.29) 和式 (4.27) 中的 [M] 和 [M]-1 即前述的正 、倒基矢转换矩阵和逆矩阵。
图4.8 倒空间指数转换关系
可以用图解的方法表示正倒空间指数的转换或对应的关系。图 4.8 中用斜方块表
示平面,用箭头表示一维线的方向,用上角 " 餐 " 表示倒空间所隶属的线或面 , 图中各行的意义在图右都作了相应的说明。
正空间平面矢量转换成平行的倒易矢量 , 或者进行相反的转换 , 其指数不变。
正空间的方向矢量转换成平行的倒易面矢量, 或者进行相反的转换 , 其指数不变。正空间的方向矢量转换成平行的倒易矢量 , 其指数必须左乘以[M] 矩阵 , 进行相反转换时 , 其指数必须左乘以[M]-1矩阵。根据正倒点阵线面互应指数不变的规则 , 可推导出正空间平面转换成平行的倒易面必须左乘以[M]-1矩阵 , 进行相反转换时必须左乘以矩阵。
归纳图 4.8 可以组合成一个综合的表示形式 , 如图 4.9 所示 , 由图中可以看出图解的上、下两行表示正倒空间线面之间是相互对应的 , 转换成指数不变；对角之间表示正倒空间平行方向 ( 线 ) 间或平行平面间指数的转换关系 , 从下一行转到上一行均需左乘以[M] 矩阵 , 进行相反的转换 , 从上一行转到下一行均需乘以[M]-1矩阵。
图4.9 正倒空间指数转换的图解
图 4.9 中垂直的两行之间的意义是 : 左列是[υ ? ω]平行于 [ηκλ]*的直线方向 , 而 [ηκλ]*垂直于 (ηκλ), 因此图 4.8 倒空间指数转换关系[υ ? ω]也是垂直于 (ηκλ) 的。同理, [ηκλ]*是倒空间垂直于倒易面（υ ? ω）*的倒易矢量的指数。显然 , 左右两列中从下一行转到上一行同样需要乘以[M]矩阵。当然 , 进行相反的转换需要乘以[M]-1矩阵。因此 , 从图 4.9 可一目了然地了解正倒空间线面之间的各种平行或垂直关系指数转换的简单规则 , 并归纳如下 :
(1) 正空间的垂线转换到其垂面 , 其垂线指数必须左乘以[M]矩阵 , 进行相反
转换时 , 其垂面指数必须左乘以[M]-1矩阵。即[]=w v u ，也可以写成矩阵
形式：
[]????????=????????w v u M l k h 或 []???
?????=????????-l k h M w v u 1
（4.30） (2) 倒易空间的平面转换到倒易垂线 , 其平面指数必须左乘以 [M] 矩阵 , 进行相反转换时 , 其垂线指数必须左乘以 [M]-1 矩阵。即 , 或写成矩阵形式:
[]*
*
????
?
?????=??????????w v u M l k h 或 []*
-*????
?
?????=??????????l k h M w v u 1 （4.31）
(3) 由晶向转换为平行的倒易矢量 , 那么晶向指数必须左乘以 [M] 矩阵 , 进行相反的转换时 , 其倒易矢量指数必须左乘以 [M]-1 矩阵。即或写成矩阵形式:
[]??????????=??????????*
w v u M l k h 或 []*
-????
?
?????=??????????l k h M w v u 1 （4.32）
(4) 由倒易平面转换为平行的晶面时 , 则倒易平面指数必须左乘以 [M] 矩阵 , 进行相反的转换时 , 其晶面指数必须左乘以 [M]-1 矩阵。即 ，或写成矩阵形式:
[]*
????
??????=??????????w v u M l k h 或 []????
?
?????=??????????-*
l k h M w v u 1 （4.33）
4. 六方晶系的指数变换
六方晶系的特征是沿 C 轴方向有一个六次旋转对称轴。在(001) 平面上的两个轴(a1与a2) 的长度相等又都与C 轴正交, 是六次对称分布, 夹角为120o( 见图4.10 和图 4.11) 。用三轴坐标系描述六方点阵, 在(001) 平面上显不出六次对称特征。在标定六方晶系的衍射图时, 有三轴坐标系的密勒指数和四轴坐标系的密勒-布喇菲指数的两种表示方法, 对这两种指数的换算及其倒易点阵的表示见图 4.10 、图4.11 和表 4.3。
图4.10 六方点阵中点阵方向指数的两种表示
图4.11 六方晶系中倒易点阵的两种描述方法
表4.3 六方晶系的密勒指数与密勒-布喇菲指数
第四章倒易点阵及晶体衍射方向 1. 布拉格定律 一定波长的X 射线或入射电子与晶体试样相互作用 , 可以用布拉格定律来表征产生衍射的条件。 图 4.1 布拉格定律的几何说明 如图4.1, 设平行电子束σ0入射到晶体中面间距为d hkl的晶体面网组(hkl), 在人射波前SS' 处, 两电子波位相相同, 如果左边一支波经历波程PA+AD = nλ，n 为包括零的整数, 则两支波离开晶体后达到新波前TT' 时, 将具有相同的位相, 相干结果可以达到衍射极大; 反之, 若PA+AD ≠nλ, 则达到TT' 时, 它们位相不同, 不能相干得到衍射极大。由图4.1 可知， PA+AD =2d hkl sinθ=nλ(4.1) 此即布拉格方程,n称为衍射级数。式(4.1)也可以写成:
λθ=?? ? ??sin 2n d hkl (4.1a) 因为 d hkl /n=d nh, nk, hl ，故可把n 级 (hkl) 反射看成是与 (hkl) 平行 但面网间距缩小 n 倍的、 (nh, nk, nl) 的一级反射。这样 , 布拉格方程可以写成一般形式 : λθ=sin 2hkl d (4.1a) 还可以写成下述形式： λ θ/2/1sin hkl d = (4.1b) 只要满足布拉格方程 , 就获得了产生衍射极大的条件。式 (4.1a) 中 d hkl 为晶体中晶面组 (hkl) 的晶面间距；λ为入射电子束的波长；θ为人射电子束方向相对于晶面 (hkl) 的掠射角。 2. 倒易点阵 2.1 倒易点阵定义 （1）倒易点阵： 若已知晶体点阵的单位矢量 a 、b 、c, 可以定义倒易点阵的单位矢量a *、b *、c *，该点阵的方向矢量垂直于同名指数的晶体平面, 它的大小等于同名指数晶面间距的倒数,该点阵称为倒易点阵。 （2）正点阵与倒易点阵和基矢量的相互关系：
倒易格子与衍射--3.倒易点阵与电子衍射 四、电子衍射 1. 电子波的波长 电子束的波长很短，因此根据布拉格方程，其衍射角度2θ也特别小。 波长 C射线衍射仪0.1——100 ? 电子显微分析0.0251 ?(200kV) 2. 晶体形状与倒易点形状的关系 3. 倒易格子与倒易球 因为电子束的波长很短，只有一半X射线波长的1%，因此倒易球的半径很大，能与倒易球直接相交的一般只能是0层倒易面(即在垂直入射光束的方向倒易原点所在的平面)。 另外，由于电子衍射时，样品制作成为很薄的片状，因此，倒易点阵中的各倒易点体现为棒状，可以有更多的0层倒易点与倒易球相交。
图4-1. 倒易点阵 图4-2 倒易点阵与倒易球
图4-3. 0层的棒状倒易点与倒易球相交产生点阵衍射4. 电子衍射方程 如图所示，倒易点G与倒易球相交，产生的衍射效果记录在胶片的G’点。
图4-4 电子衍射方程的推导 因为电子波长很短，倒易球的半径很大，在倒易原点附近，倒易球面非常接近平面，因此， O1O/O1O’ = OG / OG’ 1/λ/L = 1/d/R Rd=Lλ 在恒定的实验条件下，Lλ是一个常数，即衍射常数(单位：mm.nm)。此即电子衍射的衍射方程。 由以上分析可知，单晶电子衍射花样可视为某个（uvw）*方向的0零层倒易平面的放大像[（uvw）*的0层平面法线方向[uvw]近似平行于入射束方向（但反向）]。因而，单晶电子衍射花样与二维（uvw）*的0层平面相似，具有周期性排列的特征。 5. 单晶电子衍射花样的标定 标定是指确定衍射花样中各斑点的指数(hkl)及其晶带轴方向[UVW]，并确定样品的点阵类型和位向。 （1）对斑点进行指标化 如图所示，晶带轴方向[uvw]，指向与入射电子束方向相反，属于该晶带的0层倒易面为[uvw]*0，记录的衍射花样相当于0层倒易面面的放大象。中心为倒易点阵原点(000)，
§2.3倒易点阵与爱瓦尔德球图解法 一、倒易点阵的概念 X 射线衍射晶体结构分析工作是通过衍射花样（包含衍射方向和强度信息）反推出衍射晶体的结构特征。通过衍射花样反推晶体结构是复杂而困难的工作。1921年爱瓦尔德（P.P. Ewald ） 通过倒易点阵可以把晶体的衍射斑点直接解释成晶体相应晶面的衍射结果。也可以说，电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵中某一截面上阵点排列的像。 倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的三维空间（倒易空间）点阵，它是一个虚拟点阵（通常将晶体点阵称为正点阵）。它的真面目只有从它的性质及其与正点阵的关系中才能真正了解。 一、 倒易点阵中基本矢量的定义 设正点阵的原点为O ，基矢为a 、b 、c ， 倒易点阵的原点为O *，基矢为a *、b *、c *（图2-9）， 则有 V b a c V a c b V c b a ?=?=?=***,, （2-11） 式中，V 为正点阵中单胞的体积： )()()(b a c a c b c b a V ??=??=??= 图2－9 倒易基矢和正空间基矢的关系 二、 倒易点阵的性质 a ） 根据式（2-11）有（因为00cos *=??=?=? b a b a b a θ） 0******=?=?=?=?=?=?b c a c c b a b c a b a （2-12） 1***=?=?=?c c b b a a （2-13） b ） 在倒易点阵中，由原点O *指向任意坐标为hkl 的阵点的倒易矢量g hkl 为 ***lc kb ha g hkl ++= （2-14） Φ3
在倒易空间中，画出衍射晶体的倒易点阵，以倒易原点O*为端点作入射波的波矢量k ，该矢量平行于入射束方向，长度等于波长的倒数，即λ1 =k ，以O 为中心，1/λ 为半径作一个球，这就是爱瓦尔德球。若有倒易阵点G （指数为hkl ）正好落在爱瓦尔德球的球面上，则相应的晶面组（hkl ）与入射束的方向必满足布拉格条件，而衍射束的方向就是，或者写成衍射波的波矢量k ′，其长度也等于反射球的半径1/λ。 根据倒易矢量的定义，g G O =*，于是我们得到 g k k =-' （2-17）
第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题 指导
竭诚为您提供优质文档/双击可除 第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与 习题指导 篇一：第十二章习题答案new 1、分析电子衍射与x衍射有何异同？ 答：相同点： ①都是以满足布拉格方程作为产生衍射的必要条件。 ②两种衍射技术所得到的衍射花样在几何特征上大致相似。 不同点： ①电子波的波长比x射线短的多，在同样满足布拉格条件时，它的衍射角很小，约为10-2rad。 而x射线产生衍射时，其衍射角最大可接近2 ?。 ②在进行电子衍射操作时采用薄晶样品，增加了倒易阵点和爱瓦尔德球相交截的机会，使 衍射条件变宽。
③因为电子波的波长短，采用爱瓦尔德球图解时，反射球的半径很大，在衍射角θ较小的 范围内反射球的球面可以近似地看成是一个平面，从而也可以认为电子衍射产生的衍射斑点大致分布在一个二维倒易截面内。 ④原子对电子的散射能力远高于它对x射线的散射能力，故电子衍射束的强度较大，摄取 衍射花样时曝光时间仅需数秒钟。 2、倒易点阵与正点阵之间关系如何？倒易点阵与晶体的电子衍射斑点之间有何对应关系？答：倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的一个三维空间点阵，通过倒易点阵可以把晶体的电子衍射斑点直接解释成晶体相对应晶面的衍射结果，可以认为电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵某一截面上阵点排列的像。 关系： ①倒易矢量ghkl垂直于正点阵中对应的（hkl）晶面，或平行于它的法向nhkl ②倒易点阵中的一个点代表正点阵中的一组晶面 ③倒易矢量的长度等于点阵中的相应晶面间距的倒数，即ghkl=1/dhkl ④对正交点阵有a*//a，b*//b，c*//c，a*=1/a， b*=1/b，c*=1/c。
利用透射电镜进行物相形貌观察（如图2-12中的各种结果）仅是一种较为直接的应用，透射电镜还可得到另外一类图像---电子衍射图（图2-15所示）。图中每一斑点都分别代表一个晶面族，不同的电子衍射谱图又反映出不同的物质结构。 图2-15 金蒸发膜的多晶和钢中Mo23C6单晶的电子衍射花样 按照一定规则进行分析，我们可以标定出每一斑点对应的晶面指数，再由标准物质手册，可以查出这两种物质分别是金的多晶体和Mo23C6单晶碳化物。可见，利用电子衍射图也可以分析未知的物相。 电子衍射原理和X射线衍射原理是完全一样的，但较之其还有以下特点： 1.电子衍射可与物像的形貌观察结合起来，使人们能在高倍下选择微区进行 晶体结构分析，弄清微区的物象组成； 2.电子波长短，使单晶电子衍射斑点大都分布在一二维倒易截面内，这对分 析晶体结构和位向关系带来很大方便； 3.电子衍射强度大，所需曝光时间短，摄取衍射花样时仅需几秒钟。 下面我们就来讨论为什么透射电镜中的电子束可以产生上述衍射花样----电子衍射原理。 电子衍射原理 已知，当波长为l 的单色平面电子波以入射角θ照射到晶面间距为d的平行晶面组时，各个晶面的散射波干涉加强的条件是满足布拉格关系：2dsinθ =nλ（11）式中n=0，1，2，3，4….，称为衍射级数，为简单起见，至考虑n=1的情况，即可将布拉格方程写成2dsinθ =l 或更进一步写成： ( ) 这一关系的几何意义为布拉格角的正玄函数为直角三角形的对边(1/d)与斜边(2/λ)之比，而满足上式关系的点的集合是以1/λ为半径，以2/λ为斜边的球的所有内接三角形的顶点---球面上所有的点均满足布拉格条件。可以想象，AO'
倒易点阵 将空间点阵（真点阵或实点阵）经过倒易变换，就得到倒易点阵。倒易点阵的外形也很象点阵，但其上的节点是对应着真点阵的一组晶面。倒易点阵的空间称为倒易空间。 倒易点阵与正点阵的关系:真点阵中的一组晶面（hkl），在倒易空间中将用一个点Ｐhkl 表示（如图所示），点子与晶面有倒易关系，关系为：点子取在（hkl）的法面上，且Ｐhkl 点到倒易点阵原点的距离与（hkl）面间距反比．从原点到Ｐhkl点矢量Ｈhkl称为倒易矢量，其大小Ｈhkl=k/dhkl 式中k为比例常数，在多数场合下取作１，但很多时候亦可令之等于Ｘ射线的波长． 倒易点阵的性质: １.倒易矢量r垂直于正点阵的HKL晶面 ２.倒易矢量长度r等于HKL晶面的面间距dHKL的倒数 倒易点阵 将空间点阵（真点阵或实点阵）经过倒易变换，就得到倒易点阵。倒易点阵的外形也很象点阵，但其上的节点是对应着真点阵的一组晶面。倒易点阵的空间称为倒易空间。倒易点阵与正点阵的关系真点阵中的一组晶面（hkl），在倒易空间中将用一个点Ｐhkl表示（如图所示），点子与晶面有倒易关系，关系为：点子取在（hkl）的法面上，且Ｐhkl点到倒易点阵原点的距离与（hkl）面间距反比．从原点到Ｐhkl点矢量Ｈhkl称为倒易矢量，其大小Ｈhkl=k/dhkl 式中k为比例常数，在多数场合下取作１，但很多时候亦可令之等于Ｘ射线的波长．倒易点阵的性质１.倒易矢量r垂直于正点阵的HKL晶面２.倒易矢量长度r等于HKL 晶面的面间距dHKL的倒数
布里渊区就是由晶体倒格矢中垂面在倒易空间中分割出来的一个个区域。所以会有第一布里渊区，直至第n布里渊区。其物理意义在于每个布里渊区代表了一个能带，布里渊区边界就是能带边界。 固体的能带理论中，各种电子态按照它们波矢的分类。在波矢空间中取某一倒易阵点为原点，作所有倒易点阵矢量的垂直平分面，这些面波矢空间划分为一系列的区域：其中最靠近原点的一组面所围的闭合区称为第一布里渊区；在第一布里渊区之外，由于一组平面所包围的波矢区叫第二布里渊区；依次类推可得第三、四、…等布里渊区。各布里渊区体积相等，都等于倒易点阵的元胞体积。周期结构中的一切波在布里渊区界面上产生布喇格反射,对于电子德布罗意波,这一反射可能使电子能量在布里渊区界面上（即倒易点阵矢量的中垂面）产生不连续变化。根据这一特点,1930年L.-N.布里渊首先提出用倒易点阵矢量的中垂面来划分波矢空间的区域，从此被称为布里渊区。 第一布里渊区就是倒易点阵的维格纳－赛茨元胞，如果对每一倒易点阵作此元胞，它们会毫无缝隙的填满整个波矢空间。由于完整晶体中运动的电子、声子、磁振子、……等元激发（见固体中的元激发）的能量和状态都是倒易点阵的周期函数，因此只需要用第一布里渊区中的波矢来描述能带电子、点阵振动和自旋波……的状态，并确定它们的能量（频率）和波矢关系。限于第一布里渊区的波矢称为简约波矢，而第一布里渊区又叫简约区，在文献中不加定语的布里渊区指的往往就是它。 布里渊区的形状取决于晶体所属布喇菲点阵的类型。简单立方、体心立方和面心立方点阵的简约区分别为立方体，菱十二面体和截角八面体（十四面体）。它们都是对称的多面体，并具有相应点阵的点群对称性，这一特征使简约区中高对称点的能量求解得以简化（见晶体的对称性）。
倒易点阵:晶体点阵结构与其电子衍射斑点之间可以通过另外一个假想的点阵很好地联系起来，这就是~ 零层倒易截面：电子束沿晶带轴的反向入射时，通过原点的倒易平面只有一个，我们把这个二维平面叫做~ 消光距离：透射束或衍射束在动力学相互作用的结果，在晶体深度方向上发生周期性的振荡，这种振荡的深度周期叫做~ 明场像：通过衍射成像原理成像时，让透射束通过物镜光阑而把衍射束挡掉形成的图像称为明场像。 暗场像：通过衍射成像原理成像时，让衍射束通过物镜光阑而把透射束挡掉形成的图像称为暗场像。 衍射衬度：由于样品中不同位向的晶体的衍射条件不同而造成的衬度差别叫~ 质厚衬度：是建立在非晶体样品中原子对入射电子的散射和透射电子显微镜小孔径角成像基础上的成像原理，是解释非晶态样品电子显微图像衬度的理论依据。 二次电子：在入射电子束作用下被轰击出来并离开样品表面的样品的核外电子叫~ 吸收电子：入射电子进入样品后，经多次非弹性散射能量损失殆尽，然后被样品吸收的电子。透射电子：如果被分析的样品很薄，那么就会有一部分入射电子穿过薄样品而成为透射电子。结构消光：当Fhkl=0时，即使满足布拉格定律，也没有衍射束产生，因为每个晶胞内原子散射波的合成振幅为零。这叫做~ 分辨率：是指成像物体（试样）上能分辨出来的两个物点间的最小距离。 焦点：一束平行于主轴的入射电子束通过电磁透镜时将被聚焦在轴线上一点。 焦长：透镜像平面允许的轴向偏差. 景深：透镜物平面允许的轴向偏差. 磁转角：电子束在镜筒中是按螺旋线轨迹前进的，衍射斑点到物镜的而一次像之间有一段距离，电子通过这段距离时会转过一定的角度. 电磁透镜：透射电子显微镜中用磁场来使电子波聚焦成像的装置。 透射电子显微镜：是以波长极短的电子束作为照明源，用电磁透镜聚焦成像的一种高分辨率，高放大倍数的电子光学仪器。 弹性散射：当一个电子穿透非晶体薄样品时，将与样品发生相互作用，或与原子核相互作用，或与核外电子相互作用，由于电子的质量比原子核小得多，所以原子核入射电子的散射作用，一般只引来电子改变运动方向，而能量没有变化，这种散射叫做弹性散射。 背散射电子：是被固定样品中的原子核反弹回来的一部分入射电子，其中包含弹性背散射电子和非弹性背散射电子。 弹性背散射电子：指被样品中原子核反弹回来的，散射向大于90°的电子其能量没有损失。非弹性背散射电子：是入射电子和样品河外电子撞击后产生的电子，波方向改变，能量也不同程度损失。 晶带轴：在正点阵中，同时平行于某一晶像的一组晶面构成一个晶带，而这一晶向称为这一晶带的晶带轴。 结构因子：表示晶体的正点晶胞内所有原子的散射波在衍射方向上的合成振幅。 第二相粒子:指那些和基体之间处于共格或半共格状态的粒子。 复型：就是真实样品表面形貌组织结构细节的薄膜复制样品。 萃取复型：是金相样品进行腐蚀使第二相粒子容易从基体上剥离以便把第二相粒子包络起来的方法。 二次复型：先制成逐渐复型，然后在中间复型上晶型第二次复型，再把中间复型溶去，最后得到的是第二次复型。
材料现代研究方法
X射线衍射方法 综合热分析 紫外光谱 红外光谱 XPS光电子能谱
2
倒易点阵
1. 倒易点阵的定义； 2. 倒易点阵与正点阵的倒易关系； 3. 倒易点阵参数；
倒易点阵
Questions: 1. 什么是倒易点阵？
天下本无事，庸人自扰之？ ? 非常有用!
2. 倒易点阵有用吗？ 3. 为什么要引入倒易点阵概念?
能简化（1）晶面与晶面指数表达；（2）衍射原理的表 达；（3）与实验测量结果直接关联，尤其是电子衍射部 部分。 晶体X射线衍射的核心，是对晶体中各个晶面的研 究，如果能把晶面作为一个点来研究，何乐不为！
5
倒易点阵
晶体XRD衍射图谱 晶体电子衍射花样
我们所观察到的衍射花样（或者衍射图谱）实际上是满 足衍射条件的倒易阵点的投影。
6
1.倒易点阵的定义
倒易点阵是在晶体点阵的基础上按照一定的对应关系 建立起来的空间几何图形。 每种空间点阵都存在着与其相对应的倒易空间点阵， 它是晶体点阵的另一种表达方式。 用倒易点阵处理衍射问题时，能使几何概念更清楚， 数学推演简化。 晶体点阵空间称为正空间，结点为阵点。倒易空间中 的结点称为倒易点。
7
1.倒易点阵的定义
简单点阵
001 101
简单点阵的倒易点阵
011 111
010 100 110
点阵: 原点、基矢量、 阵点、晶向、晶面
倒易点阵: 原点、倒易基矢量、 8 倒易点、倒易矢量、倒易面
1、埃利斑由于光的波动性，光通过小孔发生衍射，明暗相间的条纹衍射的图样，条纹间距随小孔尺寸的变大，衍射的图样的中心有最大的亮斑，称为埃利斑。 2、差热分析是在程序的控制条件下，测量在升温、降温或恒温过程中样品和参比物之间的温差。 3、差示扫描量热法（DSC）是在程序控制条件下，直接测量样品在升温、降温或恒温过程中所吸收的或放出的热量。 4、倒易点阵是由晶体点阵按照一定的对应关系建立的空间点阵，此对应关系可称为倒易变换。 5、干涉指数在（hkl）晶面组（其晶面间距记为dhkl）同一空间方位，设若有晶面间距为dhkl/n （n为任意整数）的晶面组（nh，nk，nl）即（H,K,L）记为干涉指数。 6、干涉面简化布拉格方程所引入的反射面（不需加工且要参与计算的面）。 7、景深当像平面固定时（像距不变）能在像清晰地范围内，允许物体平面沿透镜轴移动的最大距离。 8、焦长固定样品的条件下，像平面沿透镜主轴移动时能保持物象清晰的距离范围。 9、晶带晶体中，与某一晶向【uvw】平行的所有（HKL）晶面属于同一晶带，称为晶带 10、 α射线若K层产生空位，其外层电子向K层跃迁产生的X射线统称为K系特征辐射，其中有L层电子跃迁产生的K系特征辐射称为Ka. 11、数值孔径子午光线能进入或离开纤芯（光学系统或挂光学器件）的最大圆锥的半顶角之余弦，乘以圆锥顶所在介质的折射率。 12、透镜分辨率用物理学方法(如光学仪器)能分清两个密切相邻物体的程度 13 衍射衬度由样品各处衍射束强度的差异形成的衬度成为衍射衬度。 14 α射线若K层产生空位，其外层电子向K层跃迁产生的X射线统称为K系特征辐射，其中有L 层电子跃迁产生的K系特征辐射称为Ka. 15质厚衬度由于样品不同区间存在原子序数或厚度的差异而形成的非晶体样品投射电子显微图像衬度，即质量衬度，简称质厚衬度。 16 质谱是离子数量（强度）对质荷比的分布，以质谱图或质谱表的形式的表达。 一、判断题 1）、埃利斑半径与照明光源波长成反比，与透镜数值孔径成正比。（×） 14）、产生特征x射线的前提是原子内层电子被打出核外，原子处于激发态。（√） 5）、倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的—组晶面。（√） 11）、电子衍射只适于材料表层或或薄膜样品的结构分析。（√） 17）、电子衍射和x射线衍射一样必须严格符合布拉格方程。（×） 12）、凡物质受热时发生质量变化的物理或化学变化过程，均可用热重法分析、研究。（√） 13）、激发电位较低的谱线都比较强，激发电位高的谱线都比较弱。（√） 2）孔径角与物镜的有效直径成正比，与焦点的距离成反比。（√） 3）、NA值越大，照明光线波长越长．分辨率就越高。（×） 9）、能提高透射电镜成像衬度的可动光阑是第二聚光镜光阑。（√） 6）、透射电子显微镜的分辨率主要受衍射效应和像差两因素影响。（√） 10）、透射电子显微镜中可以消除的像差是球差。（×） 8）、已知x光管是铜靶,应选择的滤波片材料是钴。（×） 15）、x射线物相定性分析可知被测材料中有哪些物相，而定量分析可知这些物相的含量有什么成分。（×） 4）、有效放大倍数与仪器可以达到的放大倍数不同，前者取决于仪器分辨率和人眼分辨率，而后者仅仅是仪器的制造水平。（√） 7）、影响点阵常数精度的关键因素是sinθ，当θ角位于低角度时，若存在一Δθ的测量误差，对应的Δsinθ的误差范围很小。（×） 16）、有效放大倍数与仪器可以达到的放大倍数不同，前者取决于仪器分辨率和人眼分辨率，而后者仅仅是仪器的
例题 2．1体心立方和面心立方点阵的倒易点阵 证明体心立方点阵的倒易点阵 是面心立方点阵．反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵． [证明] 选体心立方点阵的初基矢量如图1．8所示， ()1???2a a x y z = +- ()2???2a a x y z =-++ ()3???2a a x y z =-+ 其中a 是立方晶胞边长，???,,x y z 是平行于立方体边的正交的单位矢量。 初基晶胞体积()31231 2c V a a a a =??= 根据式(2．1)计算倒易点阵矢量 123231312222,,c c c b a a b a a b a a V V V πππ= ?=?=? ()2 123?????22 2222 22c x y z V a a a a b a a x y a a a π=?=-=+- ()2 231?????22 2222 22c x y z V a a a a b a a y z a a a π=?=-=+- ()2 312?????22 2222 2 2 c x y z V a a a a b a a z x a a a π=?=-=+-
于是有： ()()()123222??????,,b x y b y z b z x a a a πππ = +=+=+ 显然123,,b b b 正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是4a π． 同理，对面心立方点阵写出初基矢量 ()1??2a a x y = + ()2??2a a y z =+ ()3??2a a z x =+ 如图1.10所示。 初基晶胞体积()31231 4c V a a a a =??=。 根据式(2．1)计算倒易点阵矢量 ()()()123222?????????,,b x y z b x y z b x y z a a a πππ = +-=-++=-+ 显然，123,,b b b 正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方点阵，其立方晶胞边长是4a π． 2．2 (a) 证明倒易点阵初基晶胞的体积是()3 2/c V π，这里c V 是晶体点阵初基晶胞的体积；(b) 证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身． [证明] (a) 倒易点阵初基晶胞体积为()123b b b ??，现计算()123b b b ??．由式(2．1)知， 123231312222,,c c c b a a b a a b a a V V V πππ= ?=?=? 此处 ()123c V a a a =?? 而
1、分析电子衍射与X 衍射有何异同？ 答：相同点： ① 都是以满足布拉格方程作为产生衍射的必要条件。 ② 两种衍射技术所得到的衍射花样在几何特征上大致相似。 不同点： ① 电子波的波长比x 射线短的多，在同样满足布拉格条件时，它的衍射角很小，约为10-2rad 。 而X 射线产生衍射时，其衍射角最大可接近 2 。 ② 在进行电子衍射操作时采用薄晶样品，增加了倒易阵点和爱瓦尔德球相交截的机会，使 衍射条件变宽。 ③ 因为电子波的波长短，采用爱瓦尔德球图解时，反射球的半径很大，在衍射角θ较小的 范围内反射球的球面可以近似地看成是一个平面，从而也可以认为电子衍射产生的衍射斑点大致分布在一个二维倒易截面内。 ④ 原子对电子的散射能力远高于它对x 射线的散射能力，故电子衍射束的强度较大，摄取 衍射花样时曝光时间仅需数秒钟。 2、倒易点阵与正点阵之间关系如何？倒易点阵与晶体的电子衍射斑点之间有何对应关系？ 答：倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的一个三维空间点阵，通过倒易点阵可以把晶体的电子衍射斑点直接解释成晶体相对应晶面的衍射结果，可以认为电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵某一截面上阵点排列的像。 关系： ① 倒易矢量g hkl 垂直于正点阵中对应的（hkl ）晶面，或平行于它的法向N hkl ② 倒易点阵中的一个点代表正点阵中的一组晶面 ③ 倒易矢量的长度等于点阵中的相应晶面间距的倒数，即g hkl =1/d hkl ④ 对正交点阵有a *//a ，b *//b ，c *//c ，a *=1/a ，b *=1/b ，c *=1/c 。 ⑤ 只有在立方点阵中，晶面法向和同指数的晶向是重合的，即倒易矢量g hkl 是与相应指数 的晶向[hkl]平行 ⑥ 某一倒易基矢量垂直于正交点阵中和自己异名的二基矢所成平面。 3、用爱瓦尔德图解法证明布拉格定律。 证：如图，以入射X 射线的波长λ的倒数为半径作一球（厄瓦尔德球），将试样放在球心O 处，入射线经试样与球相交于O*；以O*为倒易原点，若任一倒易点G 落在厄瓦尔德球面上，则G 对应的晶面满足衍射条件产生衍射。 令入射方向矢量为k （k = 1/λ），衍射方向矢量为k ，，衍射矢量为g 。则有g = 2ksin θ。∵g=1/d ；k=1/λ，∴2dsin θ=λ。即厄瓦尔德球图解与布拉格方程等价。
晶体学基础与X射线单晶衍射分析 一、晶体及其对称性 晶体是由原子（离子，分子）在空间周期地排列构成地固体物质，为了更好的描述晶体这种周期排列的性质，可以把晶体中按周期重复的区域里的结构抽象成一个点，这样周期排列的点就构成了一个点阵，晶体的结构就可以表示成：晶体结构＝点阵＋结构基元 的形式。用三个不相平行的单位矢量a，b，c可以点阵在空间排列的坐标，这三个矢量的长度a，b，c及其相互之间的夹角γ，β，α称为点阵参数或晶胞参数。 点阵在空间的排列是高度有序的，这决定了其可以做某些对称操作。固定一个点不动的对称操作（包括旋转，镜像，中心反映）可以有32种，对应32个点群。实际晶体中除了点操作外，还可以存在螺旋轴，滑移面，若把这些操作和点操作进行组合，可以产生230种对称操作，对应230个空间群，所有晶体的对称操作只可能是这230个空间群中的一个。了解晶体所属的空间群对测定晶体结构，判断晶体性质是极为重要的。 二、倒易点阵和衍射方向 由于晶体具有周期性的排列结构，X射线照射到晶体上会产生衍射，为了更方便的解释晶体的衍射现象，引入了倒易点阵的概念。倒易点阵是从是从晶体点阵中抽象出来的一套点阵。它与晶体点阵的关系可以用下面的公式描述： 其中a*,b*,c*是倒易点阵的单位矢量，倒易点阵上的点h，k，l的向量H可以表示为： H＝ha?+kb?+lc? 向量H的与晶体点阵中的平面（h，k，l）垂直，其长度与点阵中d hkl成反比，即： H＝1/d?kl.
晶体产生衍射的基本条件满足布拉格方程： 也即： sinθhkl ＝ 1d ?kl 2λ=H ?kl 2λ 从这里可以看出，只有倒易点阵H hkl 对应的方向才是晶体衍射极大值出射的方向。 三、晶体基本信息的测定 晶体的基本信息也就是晶体的晶胞参数和所属的空间群，其中晶胞参数可以在数据处理时利用布拉格方程来计算，为减小误差可以选用高角度的衍射点来求算。 由于在没有反常散射的情况下，晶体的衍射强度满足Friedel 定律，衍射点在H hkl 和H hkl ?????的强度是相等的，也就是衍射点的分布都是中心对称的。这样衍射点所满足的点群只能是那些有中心对称的点群，这样的点群有11个，称为劳埃群。当晶体中存在对称中心，螺旋轴，滑移面的时候，衍射图样中的许多衍射点会有规律地，系统地不出现，这种现象称为系统消光。通过对衍射图像上衍射点强度的对称规律分析，可以判断出晶体属于那种点阵类型，以及晶体中是否存在螺旋轴和滑移面。结合系统消光规律可以把劳埃群区分成120个衍射群，其中有58个衍射群对映唯一的空间群，而剩下的62个衍射群每个可以对应多个空间群。 对于非中心对称的晶体来说，反常散射效应破坏Friedel 中心对称定律，可以根据这个判断晶体中是否存在对称中心。另外根据衍射强度的统计分布规律也可以判断晶体中是否存在对称中心。 若上述这些方法还无法唯一确定晶体属于那种空间群，那么就只能假设那些可能的空间群都是对的，在各种可能的空间群下都去解析晶体的结构，与衍射数据最相符的那个结构所对应的空间群就是正确的空间群。 四、X 射线衍射分析的理论依据和难点 利用X 射线衍射来分析晶体的最终目的是测定晶体中各个原子的位置，从而解释物质的性能。知道了晶胞参数和晶体所属空间群还远远不够。晶体中原子对X 射线的散射，主要体现在核外电子对X 射线的散射上。在实际应用时，可以对