用放缩法证明不等式的方法与技巧
一.常用公式
1.)1(11)1(12-<<+k k k k k 2.12
112-+<<++k k k k k
3.22k k ≥()4≥k 4.1232k
k ???????≥(2≥k )
5.
??
????--≤!!(!k k k 1)11211(待学) 6.b a b a +≤+ (待学) 二.放缩技巧
所谓放缩的技巧:即欲证A B ≤,欲寻找一个(或多个)中间变量C ,使A C B ≤≤, 由A 到C 叫做“放”,由B 到C 叫做“缩”.
常用的放缩技巧 (1)若0,,t a t a a t a >+>-<
(2)
<
>
11>
,n >= (3)21111111
(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n
-
=<<=->++-- (4
)=
<=<= (5)若,,a b m R +
∈,则,a a a a m b b m b b
+><
+ (6)21111111
112!3!!222
n n -+++???+<+++???+
(7)22211111111
11(1)()()232231n n n
+++???+<+-+-+???+--(因为211(1)n n n <
-) (7)1111111112321111n n n n n n n n n +++???+≤++???+=<+++++++
或11111111123222222
n n n n n n n n n +++???+≥++???+==+++
(8
)1+???+>???+== 三.常见题型
(一).先求和再放缩: 1.设1111
2612
(1)
n S n n =
++++
+,求证:1n S <
2.设1n
b n =
(n N *
∈),数列2{}n n b b +的前n 项和为n T ,求证:34n T <
(二).先放缩再求和: 3.证明不等式:111
12112123
123n
++++
?????
?
4.设2
22
111123
n
S n =+
+++
(1)求证:当2n ≥时,21
n n
S n <<+; (2)试探究:当2n ≥时,是否有
65
(1)(21)3
n n S n n <<++?说明理由.
5.设13521
2462n n b n -
=????
,求证: (1)
n b <
(2)1231n b b b b ++++<
6.设n
a n =,21
2
(
)n n n
b a a +=+
求证(1)12n n a a +<+
(2)*123()1
n n
b b b b n N n ++++<∈+
7. 设2(1)n
b n =+,(1)n a n n =+, 求证:
11221115
12n n a b a b a b +++<+++…
8. 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个
蜂巢,按此规律,以()f n 表示第n 个图的蜂巢总数.
(4),
(5)f f 的值,并求()f n 的表达式(不要求证
(1
)试给出
明); (2)证明:11114
(1)(2)(3)
()3
f f f f n ++++
<.
9.(10广州)设n S 为数列
}{n
a 的前n 项和,对任意的∈n N
*
,都有()1n
n S m ma =+-m (为常数,且0)m >.
(1)求证:数列}{n
a 是等比数列;
(2)设数列}{n
a 的公比()m f q =,数列{}n
b 满足()1
1
12,n
n b a b
f b -== (2n ≥,∈n N *),求数列{}n b 的
通项公式;
(3)在满足(2)的条件下,求证:数列{}2n
b 的前n 项和8918
n
T
<
.
10.(010深圳)在单调递增数列{}n a 中,11a =,22a =,且21221,,n n n a a a -+成等差数列,22122,,n n n a a a ++成等比数列,1,2,3,
n =.
(1)分别计算3a ,5a 和4a ,6a 的值;
(2)求数列{}n a 的通项公式(将n a 用n 表示); (3)设数列1{}n a 的前n 项和为n S ,证明:42
n n
S n <
+,n *∈N .
2.证:1
n
b n
=
21111
()(2)22
n b b b n n n n +=
=-++
1324352n n n T b b b b b b b b +=+++
11111111111
[()()()()()]213243546
2
n n =-+-+-+-++-+
11113(1)22124
n n =
+--<++ . 3.证明:
111
1112123
123n
++++
??????
?
<211111222n -+
+++11
22
n -=-<2 4.解:(1)∵当2n ≥时,21111
(1)1n n n n n
<
=--- ∴22
211
11111111[(1)()(
)]23223
11n n n +
+++
<+-+-++--+=1
21
n -+2< 又∵
21111
(1)1
n n n n n >=-++ ∴11111
(1)()()2231
n
S n n >-+-+
+-+1111n n n =-
=++ ∴当2n ≥时,
21
n n
S n <<+. (2)∵
22144112()4(21)(21)2121
n n n n n n =<=--+-+ ∴2
22111111111
112[()()(
)]23
3557
2121
n n n +
+++
<+-+-++--+
=
52321n -+53
< 当2n ≥时,要6(1)(21)n
n S n n >
++只需61(1)(21)
n n
n n n >+++
即需216n +>,显然这在3n ≥时成立 而2
15144S =+
=,当2n ≥时
6624(1)(21)(21)(41)5n n n ?==++++ 显然54
45
> 即当2n ≥时6(1)(21)
n
n
S n n >
++也成立
综上所述:当2n ≥时,有65
(1)(21)3
n n S n n <<++.
5.证法一:∵2
2414,n n -<∴222(21)(21)4(21)(21)4(21).n n n n n n n -+-+<-
∴
212n n -< ∴13521352124623572121
n n n n n --???????=++.………………10分
证法二:
212n n -<=,下同证法一. …………10分
证法三:(利用对偶式)设
13521246
2n n A n -=??
,246235721
n n
B n =??+, 则121n n A B n =+.又22414n n -<,也即212221n n n n -<
+,所以n n A B <,也即2
121
n n n A A B n <=+, 又因为0
n A >,所以n A <.即
135
21.246
221
n n n -????
<+ ………………10分 证法四:(数学归纳法)①当1n =时, 1123
x =<,命题成立;
②假设n k =时,命题成立,即135********
k k k -??<+,
则当1n k =+时,
135********
24622(1)2(1)2(2)
21k k k k k k k k k -+++???=
++++ 2
22
2
2
22
211(21)(23)4(1)4(1)234(23)(1)(483)(484)1
04(23)(1)4(23)(1)
k k k k k k k k k k k k k k k k +++-+-=
++++++-++-==<++++
22114(1)23k k k +∴
<++ 即212223k k k +<
++ 即135212124622(1)23k k k k k -+???<++
故当1n k =+时,命题成立.
综上可知,对一切非零自然数n ,不等式②成立. ………………10分
②由于
2121212121
k k k k k <<+--+++-, 所以212121
k b k k k <
<+--+, 从而12(31)(53)(2121)211n b b b n n n ++<-+-+
++--=+-.
也即12
211n n b b b a ++
<+………………14分
6. 证明:(法一)
111211232
2(1)211
(
),9(1)(1)
111
1223(1)
n n n n n n n n
n n n n a a a a a a a a n n b a a n n n n b b b n n +++++>?∴<=
+?+∴<<
+++∴+++
+<
+++??+即分
b
11111111223111
n
n n n n =-+-++-=-=
+++ ………………12分 (法二)(1)当21241
1,(),21192
n b =====?+时右右,显然成立 …………5分
(2)假设n k =时,
2
1212()123
k k b b b k k ++++<+++ ………………7分
22222222221()1232
(2)(23)4(1)(2)(1)(23)(1)(23)(2)
(23)[(2)(1)]4(32)(1)(23)(2)
k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++-++++++++-++=++?+++-++++=
++?+
2
21211
0(1)(23)(2)21
()1232
11
112(1)1
k k k k k k k k k k k b b b k k +-=
<++?++∴+<
+++++∴+++<=+++分
即当1n k =+时,不等式成立,由(1)(2)可得原不等成立。…………12分 6. 证明:(法一)
111211232
2(1)211
(
),9(1)(1)
111
1223(1)
n n n n n n n n
n n n n a a a a a a a a n n b a a n n n n b b b n n +++++>?∴<=
+?+∴<<
+++∴+++
+<
+++??+即分
b
11111111223111
n
n n n n =-+-++-=-=
+++ ………………12分 (法二)(1)当21241
1,(),21192
n b =====?+时右右,显然成立 …………5分
(2)假设n k =时,
2
1212()123
k k b b b k k ++++<+++ ………………7分
22222222221()1232
(2)(23)4(1)(2)(1)(23)(1)(23)(2)
(23)[(2)(1)]4(32)(1)(23)(2)k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++-++++++++-++=++?+++-++++=
++?+
221211
0(1)(23)(2)21()1232
11
112(1)1
k k k
k k k k k k k k b b b k k +-=<++?++∴+<+++++∴+++<=+++分
即当1n k =+时,不等式成立,由(1)(2)可得原不等成立。…………12分
7.证明: 当1n =时,
11115
612
a b =<+. 当2n ≥时.
(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+.
11111
()2(1)21
n n a b n n n n <=-+++ 故
112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??
+++<++++ ?+++??+??……
111111116223341n n ??=+-+-++- ?+?? (1111115)
62216412
n ??=+-<+= ?+??
综上,原不等式成立.
8.解: ⑴(4)37,(5)61.f f ==
由于
(2)(1)716,(3)(2)19726,f f f f -=-=-=-=? (4)(3)371936,(5)(4)613746,f f f f -=-=?-=-=?
因此,当2n ≥时,有()(1)6(1),f n f n n --=-
所以
()[()(1)][(1)(2)][(2)(1)](1)f n f n f n f n f n f f f =--+---++-+
26[(1)(2)21)1331n n n n =-+-++++=-+.
又
2(1)131311f ==?-?+,所以2()331f n n n =-+.
(注:直接给出结果也给分)
⑵当2k
≥时,
22111111
()()3313331f k k k k k k k
=<=--+--. 所以
11111111111[(1)()()(1)(2)(3)()32231f f f f n n n
++++<+-+-++-- 11141(1)1333
n =+-<+=.
9.(1)证明:当1=n 时,()1111a S m ma ==+-,解得11=a .
当2n ≥时,11n n n n n a S S ma ma --=-=-.
即
()11n n m a ma -+=.
∵m 为常数,且0m >,∴
11n n a m
a m -=+()2n ≥. ∴数列}{n a 是首项为1,公比为1m
m
+的等比数列.
(2)解:由(1)得,()m f q =1m
m
=+,1122b a ==.
∵()1
11
1n n n n b b f b b ---==+,
∴
1111n n b b -=+,即1111
=--n n b b ()2n ≥. ∴?
?
???
?n b 1是首项为1
2,公差为1的等差数列. ∴()11211122n n n b -=+-?=,即221
n b n =-(∈n N *
). (3)证明:由(2)知221n b n =-,则()
2
2
421n b n =-.…所以
2222123n n T b b b b =++++
()
2
44
4
4925
21n =+++
+-,
当2n ≥时,
()
()2
4
411
222121n n n n
n <
=----,
所以()
2
444
4925
21n
T n =+++
+
-
411111
14923341n n ??????<+
+-+-++- ? ? ?-??????
4011899218
n =
+-<. 10.解:(1)由已知,得3
3a =,56a =,49
2
a =
,68a = . (2)(证法1)121222a ?==,362322a ?==,5123422
a ?==,……; 2222a =,2432a =,2
642
a =,…….
∴猜想21
(1)
2
n n n a -+=
,22(1)2n n a +=,*n N ∈,
以下用数学归纳法证明之.
①当1=n 时,21111a a ?-==,2
21222
a ?==,猜想成立; ②假设(1,*)n k k k N =≥∈时,猜想成立,即21(1)
2
k k k a -+=,22(1)2k k a +=
,
那么
[]22(1)121221
(1)(1)1(1)(1)22222
k k k k k k k k k a a a a +-+-+++++==-=?-=,
[]
[]2
2
2
22
12(1)22
2
2(1)(2)(1)1(2)2
22
(1)2
k k k k
k k k a k a a a k ++++++++=====+.
∴1+=k n
时,猜想也成立.
由①②,根据数学归纳法原理,对任意的*n N ∈,猜想成立.
∴当n 为奇数时,8)
3)(1(212121++=???
??+++=n n n n a n ;
当n 为偶数时,8
)2(21222
+=
?
?? ??+=n n a n . 即数列}{n a 的通项公式为???????+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,8
)2(,8
)
3)(1(2
.
(注:通项公式也可以写成16
)1(721
812n n n n a -+++=)
(证法2)令1
21
2-+=n n n a a b ,*n N ∈,则
1222212121
22212
12122212321-=-?=-==++++++++++k
k k k k k k k k k k n a a a a a a a a a a a b
1141141221
212121
2121212-+=-+
?=-+=-+-++-+n
n
k k k k k k k b b a a a a a a a . ∴n n n b b b +-=-+1)1(211,11
21)1(22)1(111-+=-+-=-+n n n n b b b b .
从而
2111111=---+n n b b (常数),*n N ∈,又21
111=-b , 故}11{
-n b 是首项为21,公差为2
1
的等差数列,∴221)1(2111n n b n =?-+=-, 解之,得n
n b n 2
+=,即n n a a n n 21212+=-+,*n N ∈. ∴3
2125232573513112-----??????
=n n n n n a a a a a a a a a a a a
2
)
1(1123524131+=
-+?-?????=n n n n n n , 从而2
)1(22)
2)(1(2)1(2212122+=
+++
+=+=+-n n n n n a a a n n n .(余同法1) (注:本小题解法中,也可以令n n n a a b 222+=,或令1
22-=n n
n a a b ,余下解法与法2类似)
(3)(法1)由(2),得??????
?
+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,)
2(8
,)
3)(1(812
. 显然,2
114341111+?=<==a S ; 当n 为偶数时,
???
???+++?+++?++?++?=2222)2(1)2(181861616414
14218n n n S n ?????????? ??+++?++??? ???+?+??? ???+?+??? ?
??+?<)2(1
)2(18618616416414214218n n n n
????????? ??+-++??? ??-+??? ??-+??? ?
?-=2118161614141218n n
242121
8+=
??
? ??+-=n n n ; 当n 为奇数(3≥n )时,)
3)(1(82)1()1(411++++--<+=-n n n n a S S n n n 24)3)(2)(1(8242)3)(1(211424+<+++-+=??
????+-++++-++=
n n n n n n n n n n n n n n n . 综上所述,2
4+ S n ,*n N ∈. (解法2)由(2),得?? ???? ? +++=为偶数为奇数n n n n n a n ,)2(8,) 3)(1(812 . 以下用数学归纳法证明24+ S n ,*n N ∈. ①当1=n 时,2 114341111+?=<==a S ; 当2=n 时,2 22422321111212+?=<=+=+=a a S .∴2,1=n 时,不等式成立.…… ②假设)2(≥=k k n 时,不等式成立,即2 4+ S k , 那么,当k 为奇数时, 2 11)3(8 241+++<+=++k k k a S S k k k 2 2)3)(2(83)1(431) 3(2243)1(4++-++=??????++-++++++= k k k k k k k k k k k 2)1() 1(4+++ ) 4)(2(8 2411 1+++ +< + =++k k k k a S S k k k )4)(3)(2(83)1(431)4)(2(2243)1(4+++-++=??????++-+++++++= k k k k k k k k k k k k k 2)1()1(4+++ 时,不等式也成立. 由①②,根据数学归纳法原理,对任意的*n N ∈,不等式2 4+< n n S n 成立. (14) 例1已知数列{a n }满足:a 1=1且 ) 2(21322 1≥= ---n a a n n n . (1) 求数列{a n }的通项公式; (2) 设m ∈N +,m ≥n ≥2,证明(a n +n 2 1)m 1(m-n+1)≤ m m 1 2- 分析:这是06年河北省高中数学竞赛的一道解答题(1)大家都知道数列的递推公式往往比通项公式还重要.这就引导我们要重视数列的递推公式 由已知有a n =1 1212 3--+n n a ,学生对形如1,0(1≠≠+=-A AB B Aa a n n 且, A ,B 是常数)形式的一次线性递推关系的 数列通过构造新数列求通项公式的方法已不陌生,本题中的递推关系显然不是此类型.那么我们能否也可通过待定系数法构造新数列呢? 不妨设)2)(2(23211≤+=+ --n x a x a n n n n 即 11223--+=n n n c a a 与 112 1 23--+= n n n a a 比较系数得c=1.即 n n n a )23(21=+) 21(232111--+=+n n n n a a 又 23211=+a ,故{n n a 21+}是首项为23公比为23的等比数列, 故 n n n a 21)23(-= (2) 这一问是数列、二项式定理及不等式证明的综合问题.综合性较强. 即证(m m n m m n 1 )1()2 32-≤+-,当m=n 时显然成立。易验证当且仅当m=n=2时,等号成立。 设 ) 1()2 3 (+-=n m b m n n 下 面先研究其单调性。当 m >n 时, 1111 1 1134 )11(32)11()23()( ),11()23()1()23(+-+--+>∴>=?+>-+=∴-+=-+-=n n m m n n m m n n b b m m n m b b n m n m n m b b 即数列{ n b }是递减数列.因为n ≥ 2,故只须证 , 1 22m m b -≤即证 m m m 1)23(2 +≤。事实上, 492125111)1( 22 1>-=?+?+>+m m C m C m m m m m 故上不等式成立。综上,原不等式成立。无独有偶,在不到 1个月 的06年全国一卷高考题22中恰出现了本例中构造数列求通项公式n a 的模型。有兴趣的同学可找做一做。 例2设数列{ n a }满足 1 2,311+-==+n a a a n n (1) 求{ n a }的通项公式; (2) 若 1 111 1,1,1++-=-= -==n n n n n n n c c d n a c c b c 求证:数列{n n d b ?}的前n 项和 31 < n s 分析:(1)此时我们不妨设) (2)1(1B An a B n A a n n ++=++++ 即 B A An a a n n +-+=+21与已知条件式比较系数得.0,1=-= B A )(2)1(1n a n a n n -=--∴+又} {,211n a a n -∴=-是首项为 2,公比为 2 的等比数列。 n a n a n n n n +==-∴2,2即. (3) 由(1)知 n n n n b n a 21 ,2= ∴+=. 当2≥n 时, .2122 1121 121...21211......1)(...)()(1 121 21123121-----=-- =++++=++++=-++-+-+=n n n n n n n b b b c c c c c c c c 当n=1时, 1c =1也适合上式,所以 1 212-- =n n c ,故 )12)(22(1)21212121(211 11--=- --= ++-n n n n n n n d b 方法一:n n 222 1 ≥-+ ,312 1 ≥-+n (这步难度较大,也较关键,后一式缩至常数不易想到.必须要有执果索因的分析才可推 测出.) 3 1)211(31211)21(161231...231231,2312<-?=--?=?++?+?≤∴?≤∴n n n n n n n S d b . 方法二 :在数列中,简单尝试的方法也相当重要.很多学生做此题时想用裂项相消法但是发现此种处理达不到目的.但是当n ≥3 时,我们看: 121)]221121(...)301151()14171[(31121 221 (1511417161617) 1 31)12()22(1 (151417613211) 11111-----++-+--=---++-+-+=--?-++?+?+?= ++++++n n n n n n n n n n S S S 我们可重新加括号得 这样由前二项会得到 . ..31 121 ,022112111也易让学生接受步想法这样也实现了我们的初得证故显然<>->---++n n n n s 易验证当n=1,2时 31 n s 下面我们再举一个数列中利用放缩法证明不等式的问题. 例3已知正项数列{n a }满足)(,)1(1 ,12 11*+∈?++ ==N n a n a a a n n n (1) 判断数列{ n a }的单调性; (2) 求证: 2 1) 1(1 112111+<-<+-++n a a n n n n 分析:(1)n n n n a a n a a >>+= -++12 10)1(1 故 ,即 n n a a >+1 故数列{ n a }为递增数列. (2) 不妨先证 21) 1(111+<-+n a a n n . )1(1 )1(1)1(1 12 121 21 11 ++= += -=-+++++n a a n a a n a a a a a a a n n n n n n n n n n n 再证: 1 1 12111+-<+-+n n a a n n 原解答中放缩技巧太强,下面给出另一种证法 1 11111...3121211).) 1(1 )1(1()1(1...321211)1(1...3121)11(...)11()11(1122 221 322111+- =+-++-+-=+<++++?+?<++++<-++-+-=-++n n n n n n n n n a a a a a a a a n n n 这种常用的放缩手段用到了累差迭加法及 1 11 21 2 21111)1(1]) 1(1[)1(1 1++++++-=-∴ ++ =∴++=++ =+<∴n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a n a a a n a a a n a a n a ]) 1(1[)1(1 )1(1)1(2 21 2 1 2++ += += += ++n a n a a n a a n a n n n n n n . ,)1 1)(1(1 也易让学生接受的这种证法还是比较自然++ ++= n a n n n . 当2≥n 时,11<<+n a n a n n 2 111)2)(1(1111+- +=++>-∴+n n n n a a n n . 易验证当n=1时,上式也成立. 综上,故有2 1) 1(1 112111+<-<+-++n a a n n n n 成立. 例 4 已知 ,求证: 分析 由 可想到二项式系数的和为 ,由 可想到二项式定理,利用放缩法把转化成 构造出二项式定理公式,从而得出结论。 证明 设且。 对任意 ,有 将上述各式叠加: 例 5 求证: 分析左式是n个因式连乘的形式,应把各因式化为分式,通过放缩,使之能交替消项,达到化简的目的。由于右式是 ,因此所放缩后的因式应与有关。 证明 例 6 分析左式很难求和,可将右式拆成n项相加的形式,然后证明右式各项分别大于左式各项,叠加得出结论。 证明 高考专题—放缩法 一.先求和后放缩 例1.正数数列{} n a 的前 n项的和n S,满足1 2+ = n n a S ,试求: (1)数列{} n a 的通项公式; (2)设 11+= n n n a a b ,数列{}n b 的前n 项的和为n B ,求证:21 < n B 解:(1)由已知得2 )1(4+=n n a S ,2≥n 时,211)1(4+=--n n a S ,作差得:12 12224----+=n n n n n a a a a a ,所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ,又因为{}n a 为正数数列,所以2 1=--n n a a ,即{}n a 是公差为2的等差数列, 由 1211+=a S ,得11=a ,所以12-=n a n (2) ) 121 121(21)12)(12(111+--=+-== +n n n n a a b n n n ,所以 21)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-= n n n B n 注:一般先分析数列的通项公式.如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和,则采用先求和再放缩的方法来证 明不等式.求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列(这里所谓的差比数列,即指数列 {}n a 满足条件 () n f a a n n =-+1)求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和. 二.先放缩再求和 1.放缩后成等差数列,再求和 例2.已知各项均为正数的数列 {} n a 的前n 项和为n S ,且2 2n n n a a S +=. (1) 求证:22 14n n n a a S ++< ; (2) ??+< 解:(1)在条件中,令1=n ,得1112 122a S a a ==+,1011=∴>a a ,又由条件n n n S a a 22=+有 1 1212+++=+n n n S a a ,上述两式相减,注意到 n n n S S a -=++11得 0)1)((11=--+++n n n n a a a a 01>+∴>+n n n a a a ∴ 11 n n a a +-= 所以, n n a n =-?+=)1(11, (1) 2n n n S += 所以 42)1(212)1(2 1 2 22++= ++?<+=n n n a a n n n n S (2)因为 1)1(+<+ 2)1(2 +<+< n n n n ,所以 2)1(23222121++ +?+?= ++n n S S S n 212322++++ 2 12 2312-= += +n S n n ; 2 22)1(2222121n n S n n n S S S = +=+++>++ 2.放缩后成等比数列,再求和 例3.(1)设 a ,n ∈N *,a ≥2,证明: n n n a a a a ?+≥--)1()(2; (2)等比数列{a n }中, 11 2a =- ,前n 项的和为A n ,且 A 7,A 9,A 8成等差数列.设 n n n a a b -=12 ,数列{b n }前n 项的和为 B n ,证明:B n <1 3. 解:(1)当 n 为奇数时,a n ≥a ,于是, n n n n n a a a a a a ?+≥+=--)1()1()(2. 当n 为偶数时,a -1≥1,且a n ≥a 2,于是 n n n n n n n a a a a a a a a a a a ?+≥?-+=?-≥-=--)1()1)(1()1()1()(22. (2)∵ 9789A A a a -=+,899A A a -=-,899a a a +=-,∴公比 9812 a q a = =-. ∴ n n a )21 (-=. n n n n n n b 231 )2(41)2 1(141 ?≤ --= --= . ∴n n b b b B ++=2131)211(31211) 211(213123123123122<-=--? =?++?+?≤n n . 3.放缩后为差比数列,再求和 例4.已知数列 {} n a 满足: 11=a , )3,2,1()21(1 =+ =+n a n a n n n .求证: 1121 3-++- ≥>n n n n a a 证明:因为n n n a n a )21(1+=+,所以1+n a 与n a 同号,又因为011 >=a ,所以0>n a , 即021>=-+n n n n a n a a ,即n n a a >+1.所以数列{}n a 为递增数列,所以11=≥a a n , 即 n n n n n n a n a a 221≥=-+,累加得:1 2121 2221--+++≥-n n n a a . 令 12212221--+++=n n n S ,所以n n n S 2122212132-+++= ,两式相减得: n n n n S 212121212121132--++++=- ,所以1212-+-=n n n S ,所以1213-+-≥n n n a , 故得 1 121 3-++-≥>n n n n a a . 4.放缩后为裂项相消,再求和 例5.在m (m ≥2)个不同数的排列P 1P 2…P n 中,若1≤i <j ≤m 时P i >P j (即前面某数大于后面某数),则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ,如排列21的逆序 数 11=a ,排列321的逆序数63=a . (1)求a 4、a 5,并写出a n 的表达式; (2)令 n n n n n a a a a b 1 1+++= ,证明 3 2221+<++ 解(1)由已知得 15 ,1054==a a , 2)1(12)1(+= +++-+=n n n n a n . (2)因为 ,2,1,22 222211==+?+>+++=+= ++n n n n n n n n n a a a a b n n n n n , 所以 n b b b n 221>+++ . 又因为 ,2,1,222222=+-+=+++= n n n n n n n b n , 所以 )] 21 1()4121()3111[(2221+-++-+-+=+++n n n b b b n =3 222 1232+<+-+-+n n n n . 综上, ,2,1,32221=+<++ 注:常用放缩的结论:(1))2(111)1(11)1(11112≥--=-<<+=+-k k k k k k k k k k (2).) 2)(11 1( 21 211 2)1 11( 2≥- -=-+< < ++= +- k k k k k k k k k k 练习1已知数列{a n }满足:a 1=1且 ) 2(2 1322 1≥= ---n a a n n n . (1) 求数列{a n }的通项公式; (2) 设m ∈N +,m ≥n ≥2,证明(a n +n 2 1)m 1(m-n+1)≤ m m 1 2- 分析:这是06年河北省高中数学竞赛的一道解答题(1)大家都知道数列的递推公式往往比通项公式还重要.这就引导我们要重视数列的递推公式 由已知有a n =1 1212 3--+n n a ,学生对形如1,0(1≠≠+=-A AB B Aa a n n 且, A ,B 是常数)形式的一次线性递推关系的 数列通过构造新数列求通项公式的方法已不陌生,本题中的递推关系显然不是此类型.那么我们能否也可通过待定系数法构造新数列呢? 不妨设)2)(2(23211≤+=+ --n x a x a n n n n 即 11223--+=n n n c a a 与 112 1 23--+= n n n a a 比较系数得c=1.即 n n n a )23(21=+) 21(232111--+=+n n n n a a 又 23211=+a ,故{n n a 21+}是首项为23公比为23的等比数列, 故 n n n a 21)23(-= (2) 这一问是数列、二项式定理及不等式证明的综合问题.综合性较强. 即证 (m m n m m n 1 )1()232-≤+-,当m=n 时显然成立。易验证当且仅当m=n=2时,等号成立。 设 ) 1()2 3 (+-=n m b m n n 下 面先研究其单调性。当 m >n 时, 1111 1 1134 )11(32)11()23()( ),11()23()1()23(+-+--+>∴>=?+>-+=∴-+=-+-=n n m m n n m m n n b b m m n m b b n m n m n m b b 即数列{ n b }是递减数列.因为n ≥ 2,故只须证 , 1 22m m b -≤即证 m m m 1)23(2 +≤。事实上, 492125111)1( 22 1>-=?+?+>+m m C m C m m m m m 故上不等式成立。综上,原不等式成立。 2设数列{ n a }满足 12,311+-==+n a a a n n (1) 求{ n a }的通项公式; (2) 若 1 111 1,1,1++-=-= -==n n n n n n n c c d n a c c b c 求证:数列{n n d b ?}的前n 项和 31 < n s 分析:(1)此时我们不妨设) (2)1(1B An a B n A a n n ++=++++ 即 B A An a a n n +-+=+21与已知条件式比较系数得.0,1=-= B A )(2)1(1n a n a n n -=--∴+又} {,211n a a n -∴=-是首项为 2,公比为 2 的等比数列。 n a n a n n n n +==-∴2,2即. (3) 由(1)知 n n n n b n a 21 ,2= ∴+=. 当2≥n 时, .2122 1121121...21211......1)(...)()(1121 21123121-----=-- =++++=++++=-++-+-+=n n n n n n n b b b c c c c c c c c 当n=1时, 1c =1也适合上式,所以 1 212-- =n n c ,故 )12)(22(1)21212121(211 11--=---= ++-n n n n n n n d b 方法一:n n 222 1 ≥-+ ,312 1 ≥-+n (这步难度较大,也较关键,后一式缩至常数不易想到.必须要有执果索因的分析才可推 测出.) 3 1)211(31211)21(161231...231231,2312<-?=--?=?++?+?≤∴?≤∴n n n n n n n S d b . 方法二 :在数列中,简单尝试的方法也相当重要.很多学生做此题时想用裂项相消法但是发现此种处理达不到目的.但是当n ≥3 时,我们看: 121)]221121(...)301151()14171[(31121 221 (1511417161617) 1 31)12()22(1 (151417613211) 11111-----++-+--=---++-+-+=--?-++?+?+?= ++++++n n n n n n n n n n S S S 我们可重新加括号得 这样由前二项会得到 . ..31 121 ,022112111也易让学生接受步想法这样也实现了我们的初得证故显然<>->---++n n n n s 易验证当n=1,2时 31 n s 下面我们再举一个数列中利用放缩法证明不等式的问题. 3已知正项数列{ n a }满足 )(,)1(1,12 11* +∈?++ ==N n a n a a a n n n (1) 判断数列{ n a }的单调性; (2) 求证: 2 1) 1(1 112111+<-<+-++n a a n n n n 分析:(1)n n n n a a n a a >>+= -++12 10)1(1 故 ,即 n n a a >+1 故数列{ n a }为递增数列. (2) 不妨先证 21) 1(111+<-+n a a n n . )1(1 )1(1)1(112 121 21 11 ++= += -=-+++++n a a n a a n a a a a a a a n n n n n n n n n n n 再证: 1 1 12111+-<+-+n n a a n n 原解答中放缩技巧太强,下面给出另一种证法 1 11111...3121211).) 1(1 )1(1()1(1...321211)1(1...3121)11(...)11()11(1122 221 322111+- =+-++-+-=+<++++?+?<++++<-++-+-=-++n n n n n n n n n a a a a a a a a n n n 这种常用的放缩手段用到了累差迭加法及 1 11 2 1 2 21111)1(1]) 1(1[)1(1 1++++++-= -∴++=∴ ++=++=+<∴n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a n a a a n a a a n a a n a ]) 1(1[)1(1 )1(1)1(2 21 2 1 2++ += += += ++n a n a a n a a n a n n n n n n . ,)1 1)(1(1 也易让学生接受的这种证法还是比较自然++ ++= n a n n n . 当2≥n 时,11<<+n a n a n n 2 111)2)(1(1111+- +=++>-∴+n n n n a a n n . 易验证当n=1时,上式也成立. 综上,故有 2 1) 1(1 112111+<-<+-++n a a n n n n 成立. 4求证:2222111171234n ++++< 证明: 21111(1)1n n n n n <=--- 222 2211111111151171()().123223 1424n n n n ∴ ++++ <++-++ -=+-<- 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧,放缩拆项时,不一定从第一项开始,须根据具体题型分别对待,即不能放的太 宽,也不能缩的太窄,真正做到恰倒好处。 5已知*21(). n n a n N =-∈求证: *12 231 1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证 明 : 111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232 k k k k k k k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-1222311111111 ...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->- *122311...().232n n a a a n n n N a a a +∴-<+++<∈ 6 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n =2a n +(-1)n ,n ≥1. (Ⅰ)写出求数列{a n }的前3项a 1,a 2,a 3; (Ⅱ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅲ)证明:对任意的整数m >4,有4 5 11178m a a a +++ <. 解;数列{n a }的通项公式为:22[2(1)]3n n n a -=--. ⑶由已知得:2324 51113111 []221212(1)m m m a a a -+++=+++ -+-- 23111111 []2391533632(1)m m -=++++++-- 11111 [1]2351121=+++++ 11111 [1]2351020<+++++ 511(1) 1452[] 12312 m --=+- 514221[]23552m -=+- 51311131041057()1552151201208m -=-<=<=. 故4 511178m a a a +++<( m >4). 用放缩法证明不等式 一. “添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的,这是常规思路。 例1. 设a ,b 为不相等的两正数,且a 3-b 3=a 2-b 2,求证 14 3<+<a b 。 证明:由题设得a 2+ab +b 2=a +b ,于是(a +b )2>a 2+ab +b 2=a +b ,又a +b >0,得a +b >1,又 ab <14(a +b )2,而 (a +b )2=a +b +ab <a +b +14(a +b )2,即34(a +b )2<a +b ,所以a +b <43,故有1<a +b <4 3。 例2. 已知a 、b 、c 不全为零,求证: a a b b b b c c c ac a a b c 22222232++++++++++>() 证 明 : 因 为 a a b b a b b a b a b a b 22222 2342 22++= +++=++()>()≥,同理 b b c c b c 222+++>,c ac a c a 222+++>。 所以a ab b b bc c c ac a a b c 22222232++++++++++>() 二. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大,若分母变大则分式值变小,一个真分式,分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大,利用这些性质,可达到证题目的。 例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边,求证: 12 <++<a b c b a c c a b +++。 证明:由于a 、b 、c 为正数,所以 a b c a a b c +++>, b a c b a b c +++> , c a b c a b c +++>,所以 a b c b a c c a b a a b c b a b c c a b c +++++>++++++++=1,又a ,b ,c 为三角形的边,故 b + c >a ,则 a b c + 为真分数,则 a b c a a b c +++<2,同理b a c b a b c +++<2,c a b c a b c +++<2, 故 a b c b a c c a b a a b c b a b c c a b c +++++++++=++<++2222. 综合得12 <++<a b c b a c c a b +++。 三. 裂项放缩 若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和,可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例4. 已知n ∈N*,求 n 2n 13 12 11<…+ ++ + 。 证明:因为 1 221 21n n n n n n n = ++-=--< () ,则 112 13 + + + …<()()…()<+ +-+-++--=-1122123221212n n n n n ,证毕。 例5. 已知*N n ∈且)1n (n 3221a n +++?+?= ,求证: 2)1(2)1(2 +<<+n a n n n 对所有正整数n 都成立。 证明:因为n n n n =>+2)1(,所以2) 1n (n n 21a n +=+++> , 又 2) 1()1(+< +n n n n , 所以2)1n (21n 225232)1n (n 232221a 2 n += ++++=++++++< ,综合知结论成立。 四. 公式放缩 利用已知的公式或恒不等式,把欲证不等式变形后再放缩,可获简解。 例6. 已知函数1212)(+-=x x x f ,证明:对于*N n ∈且3≥n 都有1)(+> n n n f 。 证明:由题意知 )12)(1() 12(212211)111()1 221(112121)(+++-= +-+=+--+-=+-+-=+-n n n n n n n n n n n n n n n f 又因为 * N n ∈且 3≥n ,所以只须证122+>n n ,又因为 1 n 21n 2)1n (n n 1C C C C C )11(2n n 1 n n 2 n 1 n 0 n n n +>+++-+ +=+++++=+=- 所以 1)(+>n n n f 。 例7. 已知 2x 1)x (f +=,求证:当a b ≠时f a f b a b ()()-<-。 证明: f a f b a b a b a b a b a b a b ()()-=+-+=-+++= +-+++1111112222 2222 b a b a b a )b a (b a b a b a -=+-+<+-+<证毕。 五. 换元放缩 对于不等式的某个部分进行换元,可显露问题的本质,然后随机进行放缩,可达解题目的。 例8. 已知c b a >>,求证0 a c 1 c b 1b a 1>-+-+-。 证明:因为c b a >>,所以可设t c a +=,)0u t (u c b >>+=,所以0u t >-则 0tu u t t 1u 1t 1u 1u t 1a c 1c b 1b a 1>-=->-+-=-+-+-,即0a c 1 c b 1b a 1>-+-+-。 利用放缩法证明数列型不等式压轴题 惠州市华罗庚中学 欧阳勇 摘要:纵观近几年高考数学卷,压轴题很多是数列型不等式,其中通常需要证明数列型不等式,它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法,而且还可以综合考查其它多种数学思想方法,充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算,利用不等式的传递性,其优点是能迅速地化繁为简,化难为易,达到事半功倍的效果;其难点是变形灵活,技巧性强,放缩尺度很难把握。对大部分学生来说,在面对这类考题时,往往无从下笔.本文以数列型不等式压轴题的证明为例,探究放缩法在其中的应用,希望能抛砖引玉,给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。 关键词:放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题 主体: 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法:放缩法与裂项求和的结合,用放缩法构造裂项求和,用于解决和式 问题。裂项放缩法主要有两种类型: (1)先放缩通项,然后将其裂成某个数列的相邻两项的差,在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+,1,2,3, n =。设2n n n T S =, 1,2,3, n =,证明: 1 32 n i i T =< ∑。 证明:易得12(21)(21),3 n n n S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++= =-----, 11223 111 31131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ = 113113()221212 n +-<-- 点评: 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---,然后再求和,即可达到目标。 (2)先放缩通项,然后将其裂成(3)n n ≥项之和,然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-,1n n b a =-,数列{}n b 的 用放缩法证明不等式 欧阳光明(2021.03.07) 所谓放缩法就是利用不等式的传递性,对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程,在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”,否则就不能同向传递了,此法既可以单独用来证明不等式,也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。 一. “添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的,这是常规思路。 例1. 设a ,b 为不相等的两正数,且a 3-b 3=a 2-b 2,求证 143 <+<a b 。 证明:由题设得a 2+ab +b 2=a +b ,于是(a +b )2>a 2+ab + b 2=a +b ,又a +b >0,得a +b >1,又ab <14 (a +b )2,而(a +b )2=a +b +ab <a +b +14 (a +b )2,即34(a +b )2<a +b ,所以a +b <43,故有1<a +b <43 。 例2. 已知a 、b 、c 不全为零,求证: 证明:因为 a a b b a b b a b a b a b 22222 2342 22++= +++=++()>()≥,同理b bc c b c 222 +++>,c ac a c a 222+++>。 所以 a a b b b b c c c ac a a b c 22222232 ++++++++++>() 二. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大,若分母变大则分式值变小,一个真分式,分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大,利用这些性质,可达到证题目的。 例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边,求证: 12<++<a b c b a c c a b +++。 证明:由于a 、b 、c 为正数,所以a b c a a b c +++> ,b a c b a b c +++>,c a b c a b c +++>,所以 a b c b a c c a b a a b c b a b c c a b c +++++>++++++++=1,又a ,b ,c 为三角 形的边,故b +c >a ,则a b c +为真分数,则a b c a a b c +++<2,同理b a c b a b c +++<2,c a b c a b c +++<2, 故a b c b a c c a b a a b c b a b c c a b c +++++++++=++<++2222. 综合得12<++<a b c b a c c a b +++。 三. 裂项放缩 若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和,可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例4. 已知n ∈N*,求n 2n 131211<…+ +++。 证明:因为,则11213+ ++ 2 3、先放缩,后裂项(或先裂项再放 缩) n a =n ,求证:k=1 例3、已知 a k n 证明:苕 1 V (k — 1)k(k + 1) _________ 二[+£莖壬匹 ^/(k — 1)(k + 1) ( >/k + 1 +寸 k — 1 ) k z2 (二 学习必备 欢迎下载 用放缩法”证明不等式的基本方法 近年来在高考解答题中,常渗透不等式证明的内容,而不等式的证明是高中数学中的一个难点,它可以考察学生 逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提 的是,高考中可以用 放缩法”证明不等式的频率很高, ,对它的运用往往能体现出创造性。 放缩法”它可以和很 而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察, 例谈 若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大,多项式中加上一些负的值,多项式的值变小。由于证明不等式的 需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性,达到证明的目的。本题在放缩 k 时就舍去了 2 -2,从而是使和式得到化简. 2、先放缩再求和(或先求和再放缩) 例 2、函数 f (x )= 一,求证:f (1) +f (2) + …+f (n ) 1 +4x f(n)=二=1--^A 1-丄 1 +4n 1+4 2 *2 1 1 1 +f (2) + …+f (n ) >1—+1屮"+1— 2 21 2 22 2 2n +1 +1 +…=n + 丄一1 (n 迂 N *). 2 4 2n 2n '1 2 此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数, 再对分母进行放缩,从而对左边可以进行 求和.若分子,分母如果同时存在变量时,要设法使其中之一变为常量,分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。女口 它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点 ,有极大的迁移性 多知识内容结合,对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标, 放缩时要注意适度,否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题, 1、添加或舍弃一些正项(或负项) 放缩”的基本策略,期望对读者能有所帮助。 例1、已知 a n =2“ -1(n 亡 N ).求证: n 1 2—3 a 2 a 3 + a n 证明:,— a k + 2k -1 =2^ 1 2 "2(22-1) _ 1 "2"3.2k +2k -2 >1-1.l^,k=1,2,..., n, 2 3 2k 玉+更+ +旦 a 2 a 3 「-1(1 +-+...+丄)」-丄(1二)「-1 , 2 3 2 22 2n 2 3 2n 2 3 2 3 a 2 a 3 + <-(n 迂 N *). a n + 2 证明:由 需放大,则只要把分子放大或分母缩小即可; 如需缩小,则只要把分子缩小或分母放大即可。 用放缩法证明不等式的方法与技巧 一.常用公式 1.)1(11)1(12-<<+k k k k k 2.12 112-+<<++k k k k k 3.22k k ≥()4≥k 4.1232k k ???????≥(2≥k ) 5. ?? ????--≤!!(!k k k 1)11211(待学) 6.b a b a +≤+ (待学) 二.放缩技巧 所谓放缩的技巧:即欲证A B ≤,欲寻找一个(或多个)中间变量C ,使A C B ≤≤, 由A 到C 叫做“放”,由B 到C 叫做“缩”. 常用的放缩技巧 (1)若0,,t a t a a t a >+>-< (2) < > 11> ,n >= (3)21111111 (1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n - =<<=->++-- (4 )= <=<= (5)若,,a b m R + ∈,则,a a a a m b b m b b +>< + (6)21111111 112!3!!222 n n -+++???+<+++???+ (7)22211111111 11(1)()()232231n n n +++???+<+-+-+???+--(因为211(1)n n n < -) (7)1111111112321111n n n n n n n n n +++???+≤++???+=<+++++++ 或11111111123222222 n n n n n n n n n +++???+≥++???+==+++ (8 )1+???+>???+== 三.常见题型 (一).先求和再放缩: 1.设1111 2612 (1) n S n n = ++++ +,求证:1n S < 2.设1n b n = (n N * ∈),数列2{}n n b b +的前n 项和为n T ,求证:34n T < (二).先放缩再求和: 3.证明不等式:111 12112123 123n ++++ ????? ? 放缩法”证明不等式的基本策略 近年来在高考解答题中, 常渗透不等式证明的内容, 而不等式的证明是高中数学中的一个难点, 以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一 提的是,高考中可以用 证明不等式的频率很高,它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点 能体现出创造性。 放缩法”它可以和很多知识内容结合, 而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察,放缩时要注意适度, 些高考试题,例谈 放缩”的基本策略,期望对读者能有所帮助。 1、添加或舍弃一些正项(或负项) 2、先放缩再求和(或先求和再放缩) 子分母均取正值的分式。如需放大,则只要把分子放大或分母缩小即可;如需缩小,则只要把分子缩小或 分母放大即可。 3、先放缩,后裂项(或先裂项再放缩) n J k 例 3、已知 a n =n ,求证:k=1 a k V 3- 它可 放缩法” ,有极大的迁移性,对它的运 用往往 对应变能力有较高的要求。 因为放缩必须有目标, 否则就不能同向传递。下面结合一 例1、已知 a n 2n 1(n N ).求证: a 1 a ^ a 2 a 3 丑(n N a n 1 ). 证明:Q 皀 a k 1 2k 1 2k 1 2(2k1 1) 1 3.2k 2k 2 1,2,..., n. a_ a 2 a 2 a 3 a n a n 1 1 ( 1 1 二(二 二 1 a_ 3 a 2 a 2 a 3 多项式的值变小。由于证 若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大, 多项式中加上一些负的值, 明不等式的需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性,达到证 明的目的。本题在放缩时就舍去了 2k 2,从而是使和式得到化简 例2、函数f (x ) =±- 1 4x ,求证: (1)+f ( 2) +…+f (n ) 证明:由 f(n)= 羊7=1-- 1 4n 1 得 f (1) +f (2) + …+f (n ) n 2(1 4 1 1 丄 2 21 2 22 1 1 * 芦 >1 此题不等式左边不易求和 ,此时根据不等式右边特征 ,先将分子变为常数,再对分母进行放缩,从而对 左边可以进行求和.若分子, 分母如果同时存在变量时 ,要设法使其中之一变为常量,分式的放缩对于分 用放缩法证明不等式 所谓放缩法就是利用不等式的传递性,对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程,在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”,否则就不能同向传递了,此法既可以单独用来证明不等式,也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。 一. “添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的,这是常规思路。 例1. 设a ,b 为不相等的两正数,且a 3-b 3=a 2-b 2,求证143 <+<a b 。 证明:由题设得a 2+ab +b 2=a +b ,于是(a +b )2>a 2+ab +b 2=a +b ,又a +b >0,得a +b >1,又ab <14(a +b )2,而(a +b )2=a +b +ab <a +b +14(a +b )2,即34(a +b )2<a +b ,所以 a + b <43,故有1<a +b <43 。 例2. 已知a 、b 、c 不全为零,求证: a a b b b b c c c ac a a b c 22222232 ++++++++++>() 证明:因为a ab b a b b a b a b a b 222 22 234 2 22++=+++=++()>()≥,同理b bc c b c 222 +++>,c ac a c a 222+++>。 所以a ab b b bc c c ac a a b c 22222232 ++++++++++>() 二. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大,若分母变大则分式值变小,一个真分式,分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大,利用这些性质,可达到证题目的。 例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边,求证:12<++<a b c b a c c a b +++。 证明:由于a 、b 、c 为正数,所以a b c a a b c +++>,b a c b a b c +++>,c a b c a b c +++>,所以 放缩法典型例题 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中,是历年高考命题的热点,这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力.本文介绍一类与数列和有关的不等式问题,解决这类问题常常用到放缩法,而求解途径一般有两条:一是先求和再放缩,二是先放缩再求和. 一.先求和后放缩 例1.正数数列的前项的和,满足,试求: (1)数列的通项公式; (2)设,数列的前项的和为,求证: 解:(1)由已知得,时,,作差得: ,所以,又因为为正数数列,所以,即是公差为2的等差数列,由,得,所以 (2),所以 注:一般先分析数列的通项公式.如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和,则采用先求和再放缩的方法来证明不等式.求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列(这 里所谓的差比数列,即指数列满足条件)求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和. 二.先放缩再求和 1.放缩后成等差数列,再求和 例2.已知各项均为正数的数列的前项和为,且. (1) 求证:; (2)求证: 解:(1)在条件中,令,得,,又由条件有,上述两式相减,注意到得 ∴ 所以,, 所以 (2)因为,所以,所以 ; 2.放缩后成等比数列,再求和 例3.(1)设a,n∈N*,a≥2,证明:; (2)等比数列{a n}中,,前n项的和为A n,且A7,A9,A8成等差数列.设,数列{b n}前n项的和为B n,证明:B n<. 解:(1)当n为奇数时,a n≥a,于是,. 当n为偶数时,a-1≥1,且a n≥a2,于是 .(2)∵,,,∴公比. ∴.. ∴.3.放缩后为差比数列,再求和 例4.已知数列满足:,.求证: 证明:因为,所以与同号,又因为,所以,即,即.所以数列为递增数列,所以,即,累加得:. 令,所以,两式相减得: ,所以,所以, 故得. 4.放缩后为裂项相消,再求和 例5.在m(m≥2)个不同数的排列P1P2…P n中,若1≤i<j≤m时P i>P(即前面某数大于后面某数),则称P i与P j构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为a n,如排列21的逆序数,排列321的逆序数.j (1)求a4、a5,并写出a n的表达式; (2)令,证明,n=1,2,…. (2)因为, 放缩法证明数列不等式 主要放缩技能: 1.211111111(1)(n 1)1n n n n n n n n -=<<=-++-- 2221144112()141(21)(21)21214 n n n n n n n <===--+--+- ==>= ==<= =<= == =< = = 5. 121122211(21)(21)(22)(21)(21)2121 n n n n n n n n n n ---<==-------- 6. 111 22(1)11(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n +++++-==-+?+??+? 例1.设函数2*2()1x x n y n N x -+=∈+的最小值为n a ,最大值为n b , 且n c =(1)求n c ;(2)证明: 4444123111174n c c c c ++++ < 例2.证明:1611780<+ ++< 例3.已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s ,且12n n n a s a + =,*n N ∈; (1)求证:数列{} 2n s 是等差数列; (2)解关于数列n 的不等式:11()48n n n a s s n ++?+>- (3)记312311112,n n n n b s T b b b b = = ++++,证明:312n T << 例4. 已知数列{}n a 满足:n a n ?????? 是公差为1的等差数列,且121n n n a a n ++=+; (1) 求n a ;(2 12n na +++< 例5.在数列{}n a 中,已知1112,2n n n n a a a a a ++==-; (1)求n a ;(2)证明:112233(1)(1)(1)(1)3n n a a a a a a a a -+-+-++-< 例6. 数列{}n a 满足:11122,1()22 n n n n n a a a n a ++==++; (1)设2n n n b a =,求n b ;(2)记11(1)n n c n n a +=+,求证:12351162 n c c c c ≤++++< 利用放缩法证明数列型不等式 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法:放缩法与裂项求和的结合,用放缩法构造裂项求和,用于解决和式问题。裂项放缩法 主要有两种类型: (1)先放缩通项,然后将其裂成某个数列的相邻两项的差,在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+,1,2,3,n =L 。设2n n n T S =,1,2,3,n =L ,证明: 1 3 2 n i i T =< ∑。 证明:易得12(21)(21),3 n n n S +=--11 32311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++==-----, 112231 11 3113111111 ()()221212212121212121n n i i i n n i i T ++===-=-+-++---------∑∑L = 113113()221212 n +-<-- 点评: 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---,然后再求和,即可达到目标。 (2)先放缩通项,然后将其裂成(3)n n ≥项之和,然后再结合其余条件进行二次放缩。 例 2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-,1n n b a =-,数列{}n b 的前n 和为n S , 2n n n T S S =-; (I )求证:1n n T T +>; (II )求证:当2n ≥时,2n S 711 12 n +≥ 。 证明:(I )1111111 ()2322122n n T T n n n n n n +-=+++-++++++++L L 11121221n n n = +- +++10(21)(22) n n =>++ ∴1n n T T +>. (II )112211222222,n n n n n n S S S S S S S S ---≥∴=-+-++-+Q L 1221122n n T T T T S --=+++++L 由(I )可知n T 递增,从而12222n n T T T --≥≥≥L ,又11217,1,212T S T = ==, 12211222n n n S T T T T S --∴=+++++L 21171711 (1)(1)112212 n n T T S n +≥-++=-++= 即当2n ≥时,2n S 711 12 n +≥。 点评:此题(II )充分利用(I )的结论,n T 递增,将2n S 裂成1122112222n n n n S S S S S S S ----+-++-+L 的 导数应用于不等式证明之放缩法一例 的单调区间; 求轴垂直,处的切线与,在点(曲线是自然对数的底数),为常数,已知函数)()1())1(1)(...718.2(),2(ln )(.21x f y f x f y e k k x e x f x ==-=- 2)()1(,0)1(ln 1)(2-+<+>+-=x x x e e x g x x e x x x g 证明:,对任意)设( ()()()】式成立。证毕。恒成立,【所以所以)递增 ,)递减,在(,在(划分单调区间如下:解得令】 【只需证再用放缩法 , )即证明()(】,只需证 ,要证【)() (),所以(放缩,由于以下对】 【证明:结论20)(011132 ln 2)(0)(,,0ln 3)(,ln 31ln 2)(2),0(,0ln 2x )(,0ln 2x ln 1x 1 )]1(ln 1[)1(1)], 1(ln 1[1)1(11)1(1)1()(111),1()()]1(ln 1[1)0(,)1(ln 11323232332 3333min 33322222222222222222>>-=+-=+-=+-=++==∞+>>+='+=? ++='>>++=>+++?-->+++?+->+++-?+>++++≥++≥+≥+<+-?+?>+<+-?+?------------------------x h e e e e e e e e e e e e e e h h e e x h e x x x h x x x x x h x e x x x h x e e x x x x x x e e x x e x x x x e x e x e e x e x e e e e x x x x e e e x x x x x x x x x x x 用放缩法证明与数列和有关的不等 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中,是历年高考命题的热点,这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力.本文介绍一类与数列和有关的不等式问题,解决这类问题常常用到放缩法,而求解途径一般有两条:一是先求和再放缩,二是先放缩再求和. 一.先求和后放缩 例1.正数数列{}n a 的前n 项的和n S ,满足12+=n n a S ,试求: (1)数列{}n a 的通项公式; (2)设11+= n n n a a b ,数列{}n b 的前n 项的和为n B ,求证:2 1 利用放缩法证明数列型不等式 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法:放缩法与裂项求和的结合,用放缩法构造裂项求和,用于解决和式 问题。裂项放缩法主要有两种类型: (1)先放缩通项,然后将其裂成某个数列的相邻两项的差,在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+,1,2,3, n =。设2n n n T S =, 1,2,3, n =,证明: 1 32 n i i T =< ∑。 点评: 关键是将12(21)(21) n n n +--裂项成111 2121n n +---,然后再求和,即可达到目标。 (2)先放缩通项,然后将其裂成(3)n n ≥项之和,然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-,1n n b a =-,数列{}n b 的前n 和为n S ,2n n n T S S =-; (I )求证:1n n T T +>; (II )求证:当2n ≥时,2n S 711 12 n +≥。 点评:此题(II )充分利用(I )的结论,n T 递增,将2n S 裂成 1122 112222n n n n S S S S S S S ----+-+ +-+的和,从而找到了解题的突破口。 2、迭乘放缩法:放缩法与迭乘法的结合,用放缩法构造迭乘形式,相乘时消去中间项。用于解决积式问题。 例3 已知数列{}n a 的首项为13,a =点()1,+n n a a 在直线)(03*N n y x ∈=-上。 若 3 *3log 2(),n n c a n N =-∈证明对任意的* n ∈N ,不等 式 12111 (1)(1+)(1+)n c c c +??>恒成立. 点评:此题是证明积式大于根式,由于左边没有根式,右边是三次根式,立方后比较更容易处理。33 131(1+ )()32 n n c n -=-可以看成是三个假分式的乘积,保持其中一项不变,另两项假分数分子分母同时加1,加2,则积变小,3313133131 ()323231332 n n n n n n n n n n --++>??=----,而通项式为31 { }32 n n +-的数列在迭乘时刚好相消,从而达到目标。 1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n Λ求证 .2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数 bx a x f 211 )(?+= ,若5 4)1(= f ,且 )(x f 在[0,1]上的最小值为21,求证: .2 1 21)()2()1(1 -+ >++++n n n f f f Λ 例3 求证),1(22 1321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++-Λ. 例4 已知222121n a a a +++=L ,222 121n x x x +++=L ,求证:n n x a x a x a +++Λ2 211≤1. 2.利用有用结论 例5 求证.12)1 21 1()511)(311)(11(+>-+++ +n n Λ 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤+-++++=*n N n a n n a n x f x x x x 给定Λ 求证:)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 1211 1,(1).2 n n n a a a n n +==+ ++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥; )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立,证明2n a e <(无理数 2.71828e ≈L ) 例8 已知不等式 21111 [log ],,2232 n n N n n *+++>∈>L 。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足:.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,] [log 222≥+ 证明数列不等式的常用放缩方法技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如: a a >+12; n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如:4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3lg 2 =<=+; 2) 1()1(++< +n n n n ⑷二项式放缩: n n n n n n C C C +++=+= 10)11(2,121 0+=+≥n C C n n n , 2 222 210++=++≥n n C C C n n n n )2)(1(2≥->n n n n (5)利用常用结论: Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 2 1k 的放缩(1) : 2111(1)(1) k k k k k <<+-(程度大) Ⅲ. 21k 的放缩(2):2 2 111111()1(1)(1)211 k k k k k k < ==+-+--+(程度小) Ⅳ. 2 1k 的放缩(3):2214112()412121k k k k <=+--+(程度更小) Ⅴ. 分式放缩还可利用真(假)分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++ 用放缩法证明不等式 Company Document number:WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT 利用放缩法证明数列型不等式 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法:放缩法与裂项求和的结合,用放缩法构造裂项求和,用于解决和式问题。裂项放缩法主要有两种类型: (1)先放缩通项,然后将其裂成某个数列的相邻两项的差,在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+,1,2,3, n =。设2n n n T S =, 1,2,3, n =,证明:1 32 n i i T =< ∑。 证明:易得12(21)(21),3 n n n S +=--11 32311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++==-----, 11223 111 31131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ =113113()221212 n +-<-- 点评: 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---,然后再求和,即可达到目标。 (2)先放缩通项,然后将其裂成(3)n n ≥项之和,然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-,1n n b a =-,数列{}n b 的前n 和为 n S ,2n n n T S S =-; (I )求证:1n n T T +>; (II )求证:当2n ≥时,2n S 711 12 n +≥ 。 证明:(I )111111 1()23 2212 2n n T T n n n n n n +-= +++ -+++ +++++ 111 21221n n n = +- +++10(21)(22) n n =>++ ∴1n n T T +>. (II )112211222222,n n n n n n S S S S S S S S ---≥∴=-+-+ +-+1221122n n T T T T S --=++ +++ 不等式的证明(放缩法) 1.设x 0, y 0 , A x y , B x x y ,则 A, B 的大小关系是() 1 x y 1 1 y A. A B B. A B C. A B D. A B 2.已知三角形的三边长分别为a, b, c ,设 M a b , N c , Q a b , 1 a 1 b 1 c 1 a b 则M,N与Q的大小关系是() A.MNQ B. MQN C. QNM D. N Q M 3.设不等的两个正数a, b 满足a3 b3 a2 b2,则a b 的取值范围是() A. (1, ) B. (1, 4 C. [1, 4 D. (0,1] ) ] 1 1 1 3 1 3 4.设A L ,则 A 与1的大小关系是. 210 210 1 210 2 211 1 5.设S 1 1 1 L 1 ,则 S 的整数部分为. 2 3 100 6.已知a,b,c均为正数,且a2 b2 c2 ,求证:c3 a3 b3 c3 . 2 7.设n N 1 1 1 1 . ,求证:L (2n 1)2 4 9 25 8.设n N 1 1 1 L 1 1 . ,求证: n 1 n 2 2n 2 9.设n N 1 1 L 1 1. ,求证: 42 (2 n)2 22 10.设S n 1 2 2 3 L n ( n 1) ,求证:不等式n( n 1) S n (n 1)2 2 2 对 所有的正整数n 都成立. 简答: 1. B 提示: A x y x y x y B 1 x y 1 x y 1 x y 1 x 1 y 2. D 提示:由 a b c ,得 1 1 , 1 a 1 a b 1 c 1 1 1 a b c b a b c c 3. B 提示:由条件得 a 2 ab b 2 a b ,所以 (a b)2 a 2 a b b 2 a b ,故 a b 1 . 又 ( a b) 2 0 ,可得 3(a 2 ab b 2 ) 4( a 2 ab b 2 ) ,从而 3( a b)2 4( a b) ,所以 a b 4 ,故 1 a b 4 . 3 3 4. A<1 5. 18 提示:因为 n 2 时, n n 1 2 n n n 1 ,所以 2 1 2 ,即 2( n 1 n ) 1 n 1) n n 1 n n n 2( n 1 n 故18 1 2( 101 2) 1 1 1 L 1 1 2( 100 1) 19 2 3 100 所以所求整数部分为 18. 6.解:由已知可知, 0 a c,0 b c, a b a 2 b 2 c 2 c, ab 2 ,所以 2 3 3 2 2 2 2 3 3 3 2 ab 2 2 c 2 ) c 3 a b aga bgb c(a b ) c ,a b (a b)(a b ) c(c 2 2 所以原不等式得证 . 7.提示:由 1 4k 2 1 1 4k 1 (1 1 ) ,累加即得 . (2 k 1)2 4k 1 4k 2 4 k k 1 8.提示: 1n 1 1 L 1 1 1 L 1 1 1 L 1 n 1. 2 2n 2n 2n 2n n 1 n 2 2n n n n n 9.提示: 1 1 1 1) 1 1 ,累加即得 . (2 n)2 n 2 n(n n 1 n 证明不等式的基本方法 导学目标:1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式. [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式:如果a ,b ,c>0,那么_________________________,当且仅当a =b =c 时等号成立. 2.基本不等式(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1,a 2,…,a n ,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即a 1+a 2+…+a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ,当且仅当__________________时等 号成立. 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法:比较法是证明不等式最基本的方法,具体有作差比较和作商比较两种,其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小. (2)综合法:从已知条件出发,利用定义、______、______、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫综合法.也叫顺推证法或由因导果法. (3)分析法:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的________条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立为止,这种证明方法叫分析法.也叫逆推证法或执果索因法. (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法. ②反证法的特点 先假设原命题不成立,再在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实等矛盾. (5)放缩法 ①定义:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值________或________,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法. ②思路:分析观察证明式的特点,适当放大或缩小是证题关键. 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t =a +2b ,s =a +b 2 +1,则s 与t 的大小关系是( A ) A.s≥t B.s>t C.s≤t D.s 放缩法证明不等式类型 所谓放缩法就是利用不等式的传递性,对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程,在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”,否则就不能同向传递了,此法既可以单独用来证明不等式,也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见类型。 一、“添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的,这是常规思路。 例1. 已知a 、b 、c 不全为零,求证:a ab b b bc c c ac a a b c 22222232 ++++++++++>(). 证明:因为 a a b b a b b a b a b a b 22222 2342 22++=+++=++()>()≥,同理b bc c b c 222 +++>,c ac a c a 222+++>, 所以a ab b b bc c c ac a a b c 22222232 ++++++++++>(). 二、分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大,若分母变大则分式值变小;一个真 分式,分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大,利用这些性质,可达到证题目的。 例2、若a , b , c , d ∈R +,求证:21<+++++++++++< c a d d b d c c a c b b d b a a 证:记m =c a d d b d c c a c b b d b a a +++++++++++ ∵a , b , c , d ∈R + ∴1=+++++++++++++++> c b a d d b a d c c a c b a b d c b a a m 2=+++++++< c d d d c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立 三、与数列求和有关的放缩 若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和,可采用数列中裂项求和等方法来解题。 常见的放缩公式有:n n n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-<<+=+- ,利用放缩法证明数列型不等式压轴题
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