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微积分求极限的方法2·完整版

专题一求极限的方法

【考点】求极限

1、近几年来的考试必然会涉及求极限的大题目,一般为2-3题１2-１8分左右,而用极限的概念求极限的题目已不会出现。一般来说涉及到的方法主要涉及等价量代换、洛必达法则与利用定积分的概念求极限,使用这些方法时要注意条件,如等价量代换就是在几块式子乘积时才可使用,洛必达法则就是在0比０,无穷比无穷的情况下才可使用,运用极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使用等。

2、极限收敛的几个准则:归结准则(联系数列与函数)、夹逼准则(常用于数列的连加)、单调有界准则、子数列收敛定理(可用于讨论某数列极限不存在)

3、要注意除等价量代换与洛必达法则之外其她辅助方法的运用,比如因式分解,分子有理化,变量代换等等。

4、两个重要极限0sin lim 1x x x

→= 101lim(1)lim(1)x x x x x e x →∞→+=+=,注意变形,如将第二个式子10lim(1)x x x e →+=中的x 变成某趋向于0的函数()f x 以构造“1∞”的形式的典型求极限题目。

5、一些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结,如:

（1）利用归结原则将数列极限转化为函数极限

（2）函数在某点极限存在的充要条件就是左右极限存在且相等。有时可以利用这点进行

解题,如111lim x x e -→因左右极限不相等而在这点极限不存在。(当式子中出现绝对值与e 的无穷次方的结构时可以考虑从这个角度出发)

（3）遇到无限项与式求极限时想三种方法:

①瞧就是否能直接求出这个与式(如等比数列求与)再求极限

②夹逼定理

③用定积分的概念求解。

(4)如果f(x)/g(x)当x →ｘ０时的极限存在,而当ｘ→x0时g(x)→０,则当x →x ０时f(x)也 →0

(５)一个重要的不等式:sin x x ≤(0x >)

*其中方法②③考到的可能性较大。

6、有关求极限时能不能直接代入数据的问题。

7、闭区间上连续函数的性质(最值定理、根的存在性定理、介值定理)

8、此部分题目属于基本题型的题目,需要尽量拿到大部分的分数。

【例题精解·求极限的方法】

方法一:直接通过化简,运用极限的四则运算进行运算。

【例1】求极限 11lim 1

m n x x x →--

解

12 11

1(1)() lim lim

1)()

m m m

n n n

x x

x x x x

→→

--++

…1

注:此题通过洛必达法则进行求解也非常方便。还可通过变量代换构造等价量。

【例2】求极限22

lim(1)

x x x

→+∞

+--

解22

lim(1)lim

x x

x x x

→+∞→+∞

+--==

++-

注:1、遇到“根号加减根号”基本上有两种方法——有理化与采取倒变量的方法。

2、一个最基本的多项式极限

lim

n n

m m

a x a x a

b x b x b

→+∞

+++

…

(系数均不为0):

①若ｎ>m,则极限为正无穷;

②若n

③若n=m,则极限为1

。(本质为比较次数)

要注意的就是x就是趋向于正无穷,而且分子分母遇到根号时要以根号里x的最高次的

2次来计算,如21

x+的次数为１。

方法二:利用单调有界准则来证明极限存在并求极限

【例3】设112

u≥-,

12(1,2,...)

n n

u u n

=+=,证明lim n

→∞

存在并求之

方法三:利用夹逼定理——适用于无限项求极限时可放缩的情况。

【例4】求极限(1lim 123...n n n n n n →∞++++

解因 (1111=123...=n n n n n n n n n n n n ?<+++

故由夹逼定理(1lim 123...n n n n n n →∞++++=1

方法四＆方法五:等价量代换、洛必达法则——未定式极限。(化加减为乘除！) 【例５】求极限tan 0lim tan x x

x e e x x

→-- 解

原式=tan 00(1)(tan )lim lim 1tan tan x x x x x x e e e x x x x x x -→→--==-- 【例６】求极限

1121lim ()x x x x a a +→+∞-

解 111111222(1)

111lim ()=lim (1)lim 1(1)x x x x x x x x x x x a a x a a x a -++++→+∞→+∞→+∞--=??-= 21lim 1ln ln (1)x x a a x x →+∞

???=+

微积分2期末复习提纲答案

2015年6月微积分2期末复习提纲 1、本学期期末考试考察的知识点如下: 第六章隐函数的偏导数求解P194例9-10，条件极值应用题（例10）求解，约占12% 第七章二重积分（二重积分的概念，比较大小P209课后习题，直角坐标系下的交换积分次序P212例题3&P213习题1（7），直角坐标与极坐标系下的二重积分计算）约占26%; 第八章无穷级数（无穷级数的概念,几何级数，P-级数，正项级数的比较判别法和比值判别法，任意项级数的敛散性，幂级数的收敛半径及收敛域，求幂级数的和函数，间接展开以 1 ,,ln(1)1x e x x +-为主）约占35%; 第九章微分方程（微分方程及其解的概念，一阶分离变量,齐次和一阶线性微分方程求解(通解和特解），二阶常系数齐次，非齐次微分方程的通解(三角型的不要求）。约占27%. 2、样题供参考（难度、题型）一、填空题：（14小题） 1、若D ：224x y y +≤，则 D d σ=??4π。(表示求解积分区域D 的面积——圆) ● 或D ：9122≤+≤y x ，则 ??=D dxdy 8π。(表示求解积分区域D 的面积——圆环) ● 或2 2 :4D x y y +≤，将 dxdy y D ??化为极坐标系下的累次积分4sin 20 sin d r dr π θ θθ? ? ． (判断θ的范围作为上下限，判断r 的范围作为上下限，y 用rsin θ代入) 7.3极坐标系下二重积分的计算 2、交换积分次序 1 1 (,)y dy f x y dx = ? ?1 (,)x dx f x y dy ? ?。（依题得：010<

微积分2习题答案

一、填空题 1．设)(x P 是x 的多项式，且26)(lim 23=-∞→x x x P x ，3) (lim 0=→x x P x ，则=)(x P 2．=-++∞ →))(arcsin(lim 2 x x x x 6 π x x x 3262 3++↑ 3．=?? ? ??-∞ →3 21lim x x x 32 -e 4．设A x x ax x x =-+--→1 4 lim 31，则有=a ，=A 4，－2 5．设x x x x x f sin 2sin )(+=，则=∞→)(lim x f x 2 6．=?+→2 32031 sin sin lim x x x x x 31 7．函数) 2)(1(1+-+=x x x y 的间断点是 1=x 8．为使函数()x x x f tan 1 ?=在点0=x 处连续，应补充定义()=0f 1 9．设函数?????=≠-=00)1(3 x K x x y x 在0=x 处连续，则参数=K 3-e 10．函数???>+≤+=0 10 )(x e x a x x f x 在点0=x 处连续，则=a 2 二、单项选择题 1．设0>n x ，且n n x ∞→lim 存在，则n n x ∞ →lim ② ①0> ②0≥ ③0= ④0< 2．极限=-→1 11 lim x e x ③ ①∞ ②1 ③不存在 ④0 3．=++∞→- →x x x x x x 1 sin lim ) 1(lim 10 ④ ①e ； ②1e -； ③1e +； ④1 1e -+ 4．()() 213 ++-= x x x y 的连续区间是__________________ ② ①()()()+∞----∞-,11,22, ②[)+∞,3 ③()()+∞--∞-,22, ④()()+∞--∞-,11, 5．函数1 2 111 11+----=x x x x y 的不连续点有 ③ ①2个 ②3个 ③4个 ④4个以上 6．下列函数中，.当0→x 时，与无穷小量x 相比是高阶无穷小量的是___________；是等价无穷小量的是__________________ ①，② ①x cos 1- ②2 x x + ③x ④x 2sin

高等数学求极限的常用方法附例题和详解完整版

高等数学求极限的常用方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：（i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ

高等数学求极限的常用方法

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：（i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候）

高等数学求极限的14种方法(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ，（1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：（1）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则（5）两边夹挤准（夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：（1）“0 0”“∞ ∞”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成

高等数学-求极限的各种方法

求极限的各种方法 1．约去零因子求极限例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x

例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =??? ??-++∞→x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限【说明】 (1)常见等价无穷小有：当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x -, ()abx ax x x b ~11,2 1~ cos 12-+-； (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．；

微积分习题集带参考答案(2)

微积分习题集带参考答案一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f -++=4) 2ln(1 )(的定义域是]4,1()1,2(-?--． ⒉若24sin lim 0=→kx x x ，则=k 2 ． ⒊曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是1+=x y ． ⒋ =+?e 1 2 d )1ln(d d x x x 0 ． ⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为x y e =． 6函数24)2(2 -+=+x x x f ，则=)(x f 62 -x ． 7.当→x 0时，x x x f 1 sin )(=为无穷小量. 8.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(1) = 2-． 9. =+-? -x x x d )135(1 1 32． 10.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为x y e =. 11.函数x x x f 2)1(2 +=+，则=)(x f 12 -x ． 1⒉=∞ →x x x 1 sin lim 1 ． 1⒊曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是2 121+= x y ． 1⒋若 ?+=c x x x f 2sin d )(，则=')(x f in2x 4s -． 1⒌微分方程x y xy y cos 4)(7) 5(3 =+''的阶数为 5 ． 16.函数74)2(2 ++=+x x x f ，则=)(x f 32 +x ． 17.若函数???=≠+=0, ,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续，则=k 2 ． 18.函数2 )1(2+=x y 的单调增加区间是).1[∞+-． 19. = ? ∞ -dx e x 0 22 1 ． 20.微分方程x y xy y sin 4)(5) 4(3 =+''的阶数为 4 ． 21.设函数54)2(2 ++=+x x x f ，则=)(x f 12 +x ． 22.设函数????? =-≠+=0, 10 ,2sin )(x x k x x x f 在x = 0处连续，则k =1-．

微积分-求极限的方法

求极限方法一：直接代入法例一：（）=24 例二：（）= 类似这种你直接把x趋近的值代入到函数里面，就可以直接得到函数的极限了。知识点1：当x趋近值代入后，分子为0，分母不为0时，函数极限等于0 知识点2：当x趋近值代入后，分子不为0，分母为0时，函数极限等于方法二：因式分解法（一般是平方差，完全平方，十字相乘）普通的就是分子分母约去相同的项，因为x是趋近值，所以上下是可以约去的，不用考虑0的问题。类似=（）下面讲个例知识点3：=(x-y)() 例三：== 方法三：分母有理化（用于分母有根式，分子无根式）例四：= 方法四：分子有理化（用于分子有根式，分母无根式）例五：==1 方法五：分子分母同时有理化（用于分子有根式，分母有根式）例六：

知识点4：（使用这个知识点时，必须注意只能在x趋近于无穷时使用，且使用时只用看各项的最高次数，不用管其他）例七：（）=（分子的最高次是两次，大于分母最高次一次，所以直接得出极限为无穷大）例八：=0 （分子的最高次是一次，小于分母最高次两次，所以直接得出极限为零））例九：（分子的最高次是一次，等于分母最高次一次，所以直接得出极限为分子最高次数项系数分母最高次数项系数方法六：通分法（若函数为两个分数相加减时，通常先同分再做处理，一般情况下同分后都要进行因式分解，然后分子分母约去相同的多项式）例十：- 知识点5：当一个无穷小的函数乘以一个有界函数时，新函数的极限仍为无穷小。（有限个无穷小仍为无穷小=常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量）例十一：（）=0 函数左边用知识点4得出是无穷小，右边3+cosx是有界函数，所以新函数极限为无穷小，即0 所有求极限的题中，代入x趋近值后，若出现或，都可以使用洛必达法则求解极限。

微积分求极限的方法2·完整版

专题一求极限的方法【考点】求极限 1、近几年来的考试必然会涉及求极限的大题目,一般为2-3题１2-１8分左右,而用极限的概念求极限的题目已不会出现。一般来说涉及到的方法主要涉及等价量代换、洛必达法则与利用定积分的概念求极限,使用这些方法时要注意条件,如等价量代换就是在几块式子乘积时才可使用,洛必达法则就是在0比０,无穷比无穷的情况下才可使用,运用极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使用等。 2、极限收敛的几个准则:归结准则(联系数列与函数)、夹逼准则(常用于数列的连加)、单调有界准则、子数列收敛定理(可用于讨论某数列极限不存在) 3、要注意除等价量代换与洛必达法则之外其她辅助方法的运用,比如因式分解,分子有理化,变量代换等等。 4、两个重要极限0sin lim 1x x x →= 101lim(1)lim(1)x x x x x e x →∞→+=+=,注意变形,如将第二个式子10lim(1)x x x e →+=中的x 变成某趋向于0的函数()f x 以构造“1∞”的形式的典型求极限题目。 5、一些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结,如: （1）利用归结原则将数列极限转化为函数极限（2）函数在某点极限存在的充要条件就是左右极限存在且相等。有时可以利用这点进行解题,如111lim x x e -→因左右极限不相等而在这点极限不存在。(当式子中出现绝对值与e 的无穷次方的结构时可以考虑从这个角度出发) （3）遇到无限项与式求极限时想三种方法: ①瞧就是否能直接求出这个与式(如等比数列求与)再求极限 ②夹逼定理 ③用定积分的概念求解。 (4)如果f(x)/g(x)当x →ｘ０时的极限存在,而当ｘ→x0时g(x)→０,则当x →x ０时f(x)也 →0 (５)一个重要的不等式:sin x x ≤(0x >) *其中方法②③考到的可能性较大。 6、有关求极限时能不能直接代入数据的问题。 7、闭区间上连续函数的性质(最值定理、根的存在性定理、介值定理) 8、此部分题目属于基本题型的题目,需要尽量拿到大部分的分数。【例题精解·求极限的方法】方法一:直接通过化简,运用极限的四则运算进行运算。【例1】求极限 11lim 1 m n x x x →--

《高等数学二》期末复习题与答案_28171462418361700

《高等数学（二）》期末复习题一、选择题 1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?b a ，则=b （）（A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--，（C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线（C ）圆 (D)圆柱面 3、设22 ()D I x y dxdy =+?? ，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（） (A) 2240 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a πθπ=?? (C) 2230 023a d r dr a π θπ=? ? (D) 224001 2 a d r rdr a πθπ=?? 4、设的弧段为：2 30,1≤≤=y x L ，则=? L ds 6 （）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 )1(n n n 的敛散性为（）（A ）发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1 010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1 010d ),(d x x y x f y (B) ??-1 010 d ),(d y x y x f y (C) ? ?-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ??1 01 0d ),(d x y x f y

高等数学求极限的16种方法

高等数学求极限的16种方法首先说下我的感觉，假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面首先对极限的总结如下极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0） 3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）

微积分2答案完整版

2010—2011真题答案一、 1.答案：14 21sin 2sin 2 x x x x --，易。学霸解析：()2 1 2 2 4 421(sin )()sin ()sin sin 2sin 2 x x f x t dt x x x x x x x x -''''==-=-? 知识点：原函数求导，易。 2．答案：1y x =- 学霸解析：22()0y y y xy ''-+= 代入)1,2(，1y '=- 知识点：等式两边同时求导，中。 3. 答案：11(1)(1)1 n n n x n ∞ +=--+∑ 学霸解析：11 (1)ln(1)n n n x x n -∞ =-+=∑ 知识点：对ln(1+x)的应用，中。 4．答案： 120 (,)y y dy f x y dx -? ? 学霸解析：01, 0x y x ≤≤?? ≤≤?12, 02x y x ≤≤?? ≤≤-? 知识点：x,y 定义域的转换，中。 5．答案：(1cos1)π-

学霸解析：21 22 2 sin()sin (1cos1)D x y dxdy d r rdr πθπ+= =-???? 知识点：二重积分，中。 6．答案：11(ln )21x y c x +=- +- 学霸解析：111 ln 21x c x y +=-+- 11(ln )21x y c x +=-+- 知识点：微分方程求通解，难。二、 1. 答案：C 学霸解析：绝对收敛：对于级数1n n u ∞=∑,如果级数1n n u ∞=∑收敛的话，则称1 n n u ∞ =∑为绝对收敛。条件收敛：如果 1 n n u ∞ =∑发散，但 1 n n u ∞ =∑却是收敛的，则称 1 n n u ∞ =∑为条件收敛。知识点：幂级数收敛性，易。 2．答案：D 学霸解析：对于A ，2D dxdy =?? 对于B ， 4D dxdy =?? 知识点：二重积分，中。 3．

微积分2第十章答案

第十章无穷级数习题解答练习 10.1 1. 写出下列级数的一般项: (1) 1 (1) n +- ; (2) 1 1 21 (1)n n n a +-+-; (3) 2 1 n n +; (4) 2 1 n n -+. 2. 用定义判断下列级数的敛散性: (1) 当n 为奇数时, 前n 项和为1; 当为偶数时, 前n 项和为0, 故此级数发散. (2) 前n 项和为ln n , 其极限为+∞, 故此级数发散. (3) 此级数为公比是 1 5 的等比级数, 故此级数收敛. (4) 当1x <时, 此级数为公比是x -的等比级数, 故级数收敛; 当1x ≥时, 此级数为公比是x -的等比级数, 故级数发散. (5) 前n 项和为 11(1)221n -+, 其极限为12 , 故此级数收敛. 练习 10.2 1. 根据级数收敛的性质判断下列级数的敛散性: (1) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散. (2) 此级数通项的极限为不存在, 故此级数发散 (3) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散 (4) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散 (5) 此级数是两个收敛级数的差, 故此级数收敛 (6) 此级数是一个有限数和一个收敛级数的和, 故此级数收敛 (7) 此级数是一个发散级数和一个收敛级数的和, 故此级数发散 2. 若级数 1 n n u ∞ =∑ 收敛, 指出下列哪些级数是一定收敛的, 哪些级数是发散的? 哪些不能确定? (1) 此级数是两个收敛级数的差, 故此级数收敛 (2) 此级数是由收敛级数删掉有限项后得到, 故此级数收敛 (3) 此级数通项的极限为∞, 故此级数发散 (4) 不一定 (5) 不一定练习 10.3 1. 用比较判别法判别下列级数的敛散性: (1) 此级数的通项小于 1()2 n , 后者对应的级数收敛, 故此级数收敛 (2) 此级数的通项小于 2 1 n , 后者对应的级数收敛, 故此级数收敛

高等数学2第十章答案

习题10-1 二重积分的概念与性质 1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1）2()D x y d σ+??与3 ()D x y d σ+?? ，其中积分区域D 是圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成；（2） ln()D x y d σ+??与2 [ln()]D x y d σ+??，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)， (1,1)，(2,0)； 2.利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1）22 sin sin D I x yd σ= ??，其中{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤；（2）22 (49)D I x y d σ= ++?? ，其中22{(,)|4}D x y x y =+≤ . （3） .D I = ，其中{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤ 解 () ,f x y = Q 2，在D 上(),f x y 的最大值

()1 04M x y = == ，最小值()11,25m x y ==== 故0.40.5I ≤≤ 习题10-2 二重积分的计算法 1.计算下列二重积分：（1） 22 ()D x y d σ+??，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤；（2） sin D y d y σ??，其中D 是由2 ,y x y x ==所围成的闭区域. 解：sin D y d y σ??210sin 1sin1y y y dy dx y ==-?? 2.画出积分区域，并计算下列二重积分：（1） x y D e d σ+??，其中{(,)|||1}D x y x y =+≤

微积分2习题答案

一、填空题 1. 2. 设P(x)是x 的多项式，且lim 凡门二6 '—= 2, lim — = 3 ,则P(x) = 0 X 7T lim (arcsin(vx 2+x 一 x))= .YT4-X 6A 3 + 2x 2 + 3x t 3. lim 1 一 — .V — 4. x ) 设lim 一 "" 一 * + 4 = A ,则有"= 5. 6. 7. 8. 9. j X — 1 .? “ \ ? 2 sinx 设 / (A ) = xsm — d ----- X X ? 3 .1 L +sin x-sin — lim ------------ ------ - = t 3* 函数v = 一上］一的间断点是 (x-l)(x + 2) 为使函数/(x) = - ? tanx 在点x = 0处连续，应补充左义/(0)= x 3 设函数y = ^- x )x K 则 lim f (x)= X->X %工°在兀=0处连续，则参数K = x = 0 x + a e x +\ 二、单项选择题 1 ?设x n >Q,且lim x 存在,则 lim x HTX n->x @>0 ② no ③=0 2?极限 lim e 7^ = XT I ①8 ②1 10.函数f(x)= < x < 0 在点x = 0处连续，则“= x>0 ④<0 3. 4. ③不存在 lim(1 + x) x + lim xsiii —= -V — ②"： Jx 3 4, -2 ③ €+1: ④』+l y =-——-——-的连续区间是_ (x + lXx + 2) ①(-s,-2)u (- 2,-l)U (- 1，T ③(-oo,-2)U (-2,400) ②［3，T ④ co 厂i)u(_l,+oo) 函数『二二2 耳的不连续点有 ■ X-l .Y+1 ①2个 ②3个 6.下列函数中，?当XT0时，与无穷小量x 相比是髙阶无穷小咼的是. 价无穷小量的是 ______________ ① l-cosx ?x + X 2 5. ④4个以上 ④ sin 2x __ ■ 疋有 ①，②

微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第二章习题详解

第二章习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 n x a ε-< 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 n k x a ε+-< 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若l i m n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列 x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证： lim 0,,. 使当时，有n x n x a N n N x a εε→∞ =∴?>?>-< 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞ 不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =，所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞2221 11(1)(2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 2 2 2 2 22111112(1) (2) n n n n n n n n n n + +≤+++≤≤=+ 而且 2 1lim 0n n →∞ =，2lim 0n n →∞ =，所以由夹逼定理，得

微积分求极限的方法

求极限方法一：直接代入法例一：=24 例二：= 类似这种你直接把x趋近的值代入到函数里面，就可以直接得到函数的极限了。知识点1：当x趋近值代入后，分子为0，分母不为0时，函数极限等于0 知识点2：当x趋近值代入后，分子不为0，分母为0时，函数极限等于方法二：因式分解法（一般是平方差，完全平方，十字相乘）普通的就是分子分母约去相同的项，因为x是趋近值，所以上下是可以约去的，不用考虑0 的问题。类似= 下面讲个例知识点3：=(x-y)() 例三：== 方法三：分母有理化（用于分母有根式，分子无根式）例四：= 方法四：分子有理化（用于分子有根式，分母无根式）例五：==1 方法五：分子分母同时有理化（用于分子有根式，分母有根式）例六：知识点4：（使用这个知识点时，必须注意只能在x趋近于无穷时使用，且使用时只用看各项的最高次数，不用管其他）例七：=（分子的最高次是两次，大于分母最高次一次，所以直接得出极限为无穷大）

例八：=0 （分子的最高次是一次，小于分母最高次两次，所以直接得出极限为零）例九：（分子的最高次是一次，等于分母最高次一次，所以直接得出极限为）方法六：通分法（若函数为两个分数相加减时，通常先同分再做处理，一般情况下同分后都要进行因式分解，然后分子分母约去相同的多项式）例十：- 知识点5：当一个无穷小的函数乘以一个有界函数时，新函数的极限仍为无穷小。（有限个无穷小仍为无穷小=常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量）例十一：=0 函数左边用知识点4得出是无穷小，右边3+cosx是有界函数，所以新函数极限为无穷小，即0 所有求极限的题中，代入x趋近值后，若出现或，都可以使用洛必达法则求解极限。

微积分习题集带参考答案大全(2)

微积分习题集带参考答案 2（2），求圆的面积为1时，面积变量S 相对于周长l 的变化率。解此时S 是l 的函数 πππ4222 l l S = ?? ? ??=。于是S 对周长l 的变化率为 π2l dl dS =。当1=S 时π2=l ，此时π π 1 2 = =l dl dS 。 5(2). 设a x y ||=，在0=x 点可导，求α的取值范围。解设a x x f ||)(=。当0≤α时，0=x 是函数的间断点，此时函数不可导。只讨论0>α。考虑左导数 ?? ? ??>=<∞===---+ →1,0111 ,0)0()(lim 1 0αααα a x x x x x f x f ，考虑右导数 ?????>=-<∞=--=-=----→1 ,0111,)()(0)0()(lim 1 0ααααa x x x x x f x f ，因此该函数当1>α时在0=x 点可导，导数为0. 6. 设??? ??≥+-<≤+<-=1 ,1)1sin(10,0,1)(x x b x a x x e x f x 。求b a ,使得)(x f 在1,0=x 可导。解法1 因可导必连续，则 a f x f x ===- →)0(0)(lim 0，则0=a 。这样在1=x 处)(x f 也连续。此时 110)0()(lim )0(0=-=--='-→-x e x f x f f x x ，1lim 0)0()(lim )0(00==--='+→+→+x x x f x f f x x ，。 1111)1()(lim )1(1=--=--='- →-x x x f x f f x ，b x x b x f x f f x x =--=--='+→+→+1 ) 1sin(lim 1)1()(lim )1(11。若)1('f 存在，则应有b =1。此时1)1('=f 。解法2 同理可得0=a 。 1lim )'1(lim )0(00==-='- →- →-x x x x e e f ，11lim )'(lim )0(00==+='+ →+→+x x a x f ，则1)0('=f 。 11lim )'(lim )1(11==+='- →- →-x x a x f ，b x b x b f x x =-=+-='+ →+ →+)1cos(lim ]'1)1sin([lim )1(11。若)1('f 存在，则应有b =1。此时1)1('=f 。

高等数学2答案

习题11-1 对弧长的曲线积分 1.计算下列对弧长的曲线积分：（1） 22 x y L e ds +? ，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；（2） 2x yzds Γ ? ，其中Γ为折线ABCD ，这里A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、 (1,0,2)、(1,3,2)；（3） 2L y ds ? ，其中L 为摆线的一拱(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-(02)t π≤≤.

2.有一段铁丝成半圆形y ，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。解曲线L 的参数方程为()cos ,sin 0x a y a ???π==≤≤ ds ad ??= = 依题意(),x y y ρ=，所求质量22 sin 2L M yds a d a π ??= ==?? 习题11-2 对坐标的曲线积分 1.计算下列对坐标的曲线积分：（1） 2 2()L x y dx -?，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；（2） 22()()L x y dx x y dy x y +--+?，其中L 为圆周222 x y a +=（按逆时针方向绕行）；（3） (1)xdx ydy x y dz Γ +++-? ，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线；

（4） dx dy ydz Γ -+? ，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里A 、B 、C 依次为点(1,0,0)、 (0,1,0)、(0,0,1)； 2.计算 ()()L x y dx y x dy ++-?，其中L 是：（1）抛物线2 y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；（2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；

微积分2习题答案

4．()() 213 ++-= x x x y 的连续区间是__________________ ② ①()()()+∞----∞-,11,22, ②[)+∞,3 ③()()+∞--∞-,22, ④()()+∞--∞-,11, 5．函数1 2 111 11+----=x x x x y 的不连续点有 ③ ①2个 ②3个 ③4个 ④4个以上 6．下列函数中，.当0→x 时，与无穷小量x 相比是高阶无穷小量的是 ___________；是等价无穷小量的是__________________ ①，② ①x cos 1- ②2x x + ③x ④x 2sin 7．当+→0x 时，x sin 与||x 相比是 ② ①高阶无穷小量 ②低阶无穷小量 ③同阶但不等价的无穷小量 ④等价无穷小量 8．当0→x 时，x 2cos 1-与2x 相比是 ② ①高阶无穷小量 ②同阶但不等价的无穷小量 ③低阶无穷小量 ④等价无穷小量 9．设()?? ???=≠-=00 ,3sin x k x x x x f 为连续函数，则k =_______________ ② ① 1 ② －3 ③ 0 ④ 3 10．函数()x f 在点0x 处有定义是()x f 当0x x →时极限存在的 ④ ①充分但非必要条件 ②必要但非充分条件 ③充分必要条件 ④既非充分又非必要条件 11．当0→x 时，下列函数中比x 高阶的无穷小量是 ② ①x x sin + ②x x sin - ③()x +1ln ④()x -1ln 12．当0→x 时，下列函数中为无穷小量的是 ② ①x x 1sin + ②x x 1sin ? ③x x sin 1 + ④ x x sin 1 ? 13．当∞→x 时，下列函数中为无穷小量的是 ③ ①x x 1sin + ②x x 1sin ? ③x x sin 1 + ④ x x sin 1 ?