线性相关和线性无关的结论
§3.2性质定理总结： 一、线性相关的判别： 1、m ααα ,,21线性相关?存在不全为零的数m k k k ,,,21 ，使得 1122m m k k k .ααα++= 0 2、1α线性相关? 1α=0. 3、12,αα线性相关? 1α与2α的对应分量成比例. 4、m ααα ,,21线性相关?其中至少有一个向量能用其余向量线性表示. 5、n 个n 维向量线性相关?它们构成的行列式等于零. 6、m ααα ,,21线性相关 ?m ααα ,,21的秩小于m . 7、对调坐标不改变向量组的线性相关性. 8、部分相关?整体相关. 9、m 个n 维 (m >n ) 向量线性相关. 二、线性无关的判别： 1、m ααα ,,21线性无关?如果1122,m m k k k ααα++= 0则有 .021====m k k k 2、整体无关?部分无关. 3、无关则加长无关 三、线性相关的性质： m ααα ,,21线性无关，12m ,,,αααβ 线性相关?β可由m ααα ,,21线性表 示，且表示法唯一. 四、线性无关的性质： 1、若向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示，且向量组Ⅰ线性无关，则Ⅰ的元素个数≤Ⅱ的元素个数. 2、等价线性无关向量组的向量个数相同.
五、向量组的秩的性质： 1、矩阵A的秩等于A的行（列）向量组的秩. A的不等于零的子式对应于A的行（列）向量组的线性无关组； A的行（列）向量组的线性无关组对应于A的不等于零的子式. 2、若向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示，则Ⅰ的秩≤Ⅱ的秩. 3、等价向量组的秩相同. 六、矩阵的初等行（列）变换不改变列（行）向量组的线性关系.
线性代数 向量组的线性相关性
第三节 向量组的线性相关性 分布图示 ★ 线性相关与线性无关 ★ 例1 ★ 例2 ★ 证明线性无关的一种方法 线性相关性的判定 ★ 定理1 ★ 定理2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5 ★ 例7 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-3 内容要点 一、线性相关性概念 定义1 给定向量组,,,,:21s A ααα 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k 使 ,02211=+++s s k k k ααα (1) 则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关. 注: ① 当且仅当021====s k k k 时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21 线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的; ③ 向量组只含有一个向量α时，则 （1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的； ④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面. 二、线性相关性的判定 定理1 向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示. 定理 2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j =???? ?? ? ??=α 则向量组s ααα,,,21 线性相关的充要条件是: 是矩阵),,,(21s A ααα =的秩小于向量的个数s .
第四章向量组的线性相关性目标测试题(参考答案)
第四章 向量组的线性相关性目标测试题 （参考答案） 一、填空题. 1. 设向量组) , ,0( ),0 , ,( ), ,0 ,(321b a c b c a ===ααα线性无关，则c b a ,,必满足关系式0abc ≠. 2. 已知向量组)1 ,1 ,3 ,4( ),2 ,6 ,2 ,4( ),0 ,2 ,1 ,3( ),1 ,3 ,1 ,2(4321-=-=-=-=αααα，则该向量组的秩为___2__. 3. 设三阶矩阵122212304A -?? ?= ? ???，三维向量11a α?? ?= ? ??? ，若向量A α与α线性相关，则a = -1 ． 4. 已知向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)T T T t ααα=-==--的秩为2，则t ＝ 3 ． 5. 设321,,ααα线性无关，问=k __1_时，312312,,αααααα---k 线性相关. 6．设12,,s ηηηL 为非齐次线性方程组Ax b =的解，若1122s s k k k ηηη+++L 也是方程组Ax b =的解， 则12s k k k L ，，，应满足条件12s + 1k k k ++=L . 二、选择题. 1．设有向量组 ),0 ,2 ,2 ,1( ),14 ,7 ,0 ,3( ),2 ,1 ,3 ,0( ),4 ,2 ,1 ,1(4321-===-=αααα),10 ,5 ,1 ,2(5=α 则该向量组的最大线性无关组( B ). (A ) 321 , ,ααα, (B ) 421 , ,ααα, (C ) 521 , ,ααα, (D ) 5421 , , ,αααα． 2. 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是(C ). (A ) 21αα+,,32αα+13αα+, (B ) ,1α21αα+,321a ++αα, (C ) 21αα-,,32αα-13αα-, (D ) 21αα+,,231αα+133αα+.
向量组线性相关性判定
向量组线性相关性判定 安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法作者院数学与统计学院专业数学与应用数学年级2011级学号指导教师郭亚梅论文成绩日期2015年月日学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 作者签名：日期：导师签名：
日期：院长签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期：向量组线性相关性的判定方法摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法. 关键词：向量组线性相关线性无关判定方法 1 引言线性相关性的内容是线性代数课程中的
重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. n维向量的定义定义：n个有次序的数a1,a2,?,an所组成的数组(a1,a2,?an)或(a1,a2,?an)T分别称为n维行向量或列向量.这n个数称为向量的n 个分量? 第i个数ai称为第i个分量?显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母?,?等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 向量的线性运算行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算? 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律. 全体的n维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n维向量空间. 例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性
向量组线性相关性判定
安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法 作者 院（系）数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2011级 学号 指导教师郭亚梅 论文成绩 日期2015年月日
学生诚信承诺书 本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 作者签名：日期： 导师签名：日期： 院长签名：日期： 论文使用授权说明 本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期：
向量组线性相关性的判定方法 （安阳师范学院 数学与统计学院 河南 安阳 455002） 摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他 许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.本文将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法. 关键词：向量组 线性相关 线性无关 判定方法 1 引言 线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.本文总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. 2.1 n 维向量的定义 （一维、二维、三维向量，推广到n 维向量） 定义： n 个有次序的数12,a ,,a n a 所组成的数组12(a ,a ,)n a 或12(a ,a ,)T n a 分别称为n 维行向量或列向量.这n 个数称为向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母,αβ等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 2.2 向量的线性运算 行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算. 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律. 全体的n 维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n 维向量空间（或线性空间）. 例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n 次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性的定义 3.1向量组 有限个或无限个同维数列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称为一个向量组. 例如一个m n ?矩阵对应一个m 维列向量组, 也对应一个n 维行向量组
向量组的线性相关性的判定方法浅析分解
目录 摘要：.......................................................................................................................................................... I 关键词：.......................................................................................................................................................... I Abstract......................................................................................................................................................... II Keywords： .................................................................................................................................................. II 1．前言.. (1) 2．预备知识 (1) 2.1线性相关性的概念及性质 (1) 2.1.1线性相关的概念 (1) 2.1.2线性相关的性质 (2) 3.向量组线性相关的判定方法 (3) 3.1定义法 (3) 3.2根据齐次线性方程组的解进行判定 (4) 3.3利用矩阵的秩进行判定 (5) 3.4利用行列式值进行判定 (6) 3.5反证法 (7) 3.6 数学归纳法 (7) 3.7用线性变换的性质进行判定 (8) 3.8利用朗斯基行列式来判定 (10) 4.结束语 (11) 参考文献 (12) 致谢 (13)
2-2 向量组的线性相关性
２－２ 向量组的线性相关性 一、线性组合、线性表出及其与线性方程组的关系 例2.5［Ｐ８７ 不管］ 定义2.4［Ｐ８７ －６行至Ｐ８８ １行］ ｎ维向量α１，α２，…，αｍ的一个线性组合，线性组合的系数； 向量β可由向量组α１，α２，…，αｍ线性表出（线性表示），线性表出的系数。 例（补）设β＝（ｂ１，ｂ２，ｂ３），αｉ＝（ａｉ１，ａｉ２，ａｉ３），ｉ＝１，２，３，那么 β可由α１，α２，α３线性表出 ?向量方程ｘ１α１＋ｘ２α２＋ｘ３α３＝β有解 α１ α２ α３ ??????=++=++=++33332231 1323322221121331221111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 有解。此时， 线性方程组有唯一解?β可由α１，α２，α３线性表出，且表示法唯一； 线性方程组有无穷多解?β可由α１，α２，α３线性表出，且表示法不唯一。 例[结论]：向量组β1，β2，…，βｍ中每一个向量βi 均可由该向量组线性表出。 证明：βI ＝０β１＋…＋０βｉ－１＋１βｉ＋０βｉ＋１＋…＋０βｍ， ｉ＝１，２，…，ｍ。 作业：Ｐ１１２：１９（１）用定理做，（２）除用定理做外，还可用观察法做。 二、线性相关、线性无关及其与齐次线性方程组解的关系： 对每一个向量组α１，α２，…，αｍ，总有 ０α１＋０α２＋…＋０αｍ＝０。 所有向量组的共性。 定义２．５：设α１，α２，…，αｍ是一组ｎ维向量，如果存在一组不全为零的常数ｋ１， ｋ２，，ｋｍ，使得 ｋ１α１＋ｋ２α２＋…＋ｋｍαｍ＝０ （２．６） 则称向量组α１，α２，…，αｍ是线性相关的；否则，称为线性无关的。即如果有 ｋ１α１＋ｋ２α２＋…＋ｋｍαｍ＝０ 成立，则必有ｋ１＝ｋ２＝…＝ｋｍ＝０，则称α１，α２，…，αｍ是线性无关的。 例［Ｐ８８：１１行－２３行］ 对于向量组 ξ１＝（１，１，０），ξ２＝（１，２，０），ξ３＝（１，３，１） 令 ｘ１ξ１＋ｘ２ξ２＋ｘ３ξ３＝０， 即 ?? ???==++=++003203321321x x x x x x x ，解得：ｘ１＝ｘ２＝ｘ３＝０， 所以ξ １，ξ２，ξ３线性无关。
2-2 向量组的线性相关性习题评讲
２－２ 向量组的线性相关性习题评讲 １９、把向量β表示成α１，α２，α３，α４的线性组合： （１）α１＝（1，1，1，1），α２＝（1，1，-1，-1），α３＝（1，-1，1，-1）， α４＝（1，-1，-1，1） ，β＝（1，2，1，1）。 解：令βαααα=+++44332211x x x x ，解对应的线性方程组， A ＝????????? ???------11111111112111111111→????????????------00220020201220011111→????? ???????--12 2000011001010 11111 →????????????---12 200 011000101010101→?? ???? ??????--14 000 01100010101100 1 →?????? ??????? ?--411 00011000101011 001→ ? ? ??????? ?????????? ?--411000410100410 010450 001，得ｘ１＝45，ｘ２＝41，ｘ３＝－41，ｘ４＝－41， 所以β＝ 45α１＋41α２－41α３－4 1 α４ 。 （２）α１＝（1，1，0，1），α２＝（2，1，3，1），α３＝（1，1，0，0）， α４＝（0，1，-1，-1），β＝（0，0，0，10）。 解１：观察出β＝α１－α３。 解：令βαααα=+++44332211x x x x ，解对应的线性方程组，
A ＝????????? ???--11011010300111100121→????????? ???-----11110010300101000 121→????? ???????---12 100 020********* 101 →????????? ???-01 00 101000001000101→?? ??? ???????-010 00 10100000101000 1 ， 得ｘ１＝１，ｘ２＝０，ｘ３＝－１，ｘ４＝０，所以β＝α１－α３。 ５、证明向量组β１＝α１＋α２，β２＝α２＋α３，β３＝α３＋α４，β４＝α４＋α１线性相关，其中α１，α２，α３，α４是任意ｎ维向量。 证明１：因为（α１＋α２）－（α２＋α３）＋（α３＋α４）－（α４＋α１）＝０， 即１β１＋（－１）β２＋１β３＋（－１）β４＝０， 所以β１，β２，β３，β４线性相关。 证明２：令ｘ１β１＋ｘ２β２＋ｘ３β３＋ｘ４β４＝０，即 ｘ１（α１＋α２）＋ｘ２（α２＋α３）＋ｘ３（α３＋α４）＋ｘ４（α４＋α１）＝０， 即（ｘ１＋ｘ４）α１＋（ｘ１＋ｘ２）α２＋（ｘ２＋ｘ３）α３＋（ｘ３＋ｘ４）α４＝０， 用观察法找一个充分条件：当ｘ１＝ｘ３＝１，ｘ２＝ｘ４＝－１时，上式成立。 即有不全为零的数１，－１，１，－１，使 １β１＋（－１）β２＋１β３＋（－１）β４＝０， 所以β１，β２，β３，β４线性相关。 ７、证明向量组α１＝（０，３，１，－１），α２＝（６，０，５，１）， α３＝（４，－７，１，３）线性相关，并求它们满足的线性关系。 证明：令ｘ１α１＋ｘ２α２＋ｘ３α３＝０，解对应的齐次线性方程组，由 Ａ＝????????? ???--311 151703 460→????????????---460151703311→? ????? ??????--460460230311→?????? ????????--0000003210311
一判定下列向量组的线性相关性求出它的一个极大线性无
一． 判定下列向量组的线性相关性，求出它的一个极大线性无关组，并将其余 向量用极大线性无关组线性表示. 123411511123,,,.31811397αααα--???????? ? ? ? ?- ? ? ? ?==== ? ? ? ?- ? ? ? ?-???????? 二． 设有线性方程组 x y z ,x y z ,x y z ,l l l l l ì--=????-+-=-í???--+=?? 21 问 l 取何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？ 并在有无限多解时求其通解. 三． 设矩阵 32 21,423A k k -?? ?=-- ? ?-?? 问当 k 为何值时, 存在可逆矩阵 ,P 使得 1P AP - 为对角矩阵? 并求出 P 和相应的对角矩阵. 四．已知A 是n 阶方阵, 且满足 220(A A E E +-=是n 阶单位矩阵). (1) 证明 A E + 和 3A E - 可逆, 并分别求其逆矩阵； (2) 证明 2A E +不可逆（A ≠E ）. 一.求解矩阵方程AX B =，其中12220213,1113225A B -???? ? ?=-=- ? ? ? ?--???? . 二．设有线性方程组 1231231 232125541x x x x x x x x x λλ-++=??-+=??-++=-? 问：λ取何值时,此方程组(1)有唯一解;(2) 无解;(3) 有无穷多解？并在有无穷 解时求通解. 三. （14分）设矩阵01101010A x ?? ?= ? ??? ，（1）问 x 为值时, 矩阵A 能对角化？（2）
向量组线性相关与线性无关解析
向量组线性相关与线性无关的判别方法 摘要 向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的 线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法. 关键词 向量组 线性相关 线性无关 矩阵 秩 1 引言 在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的. 2 向量组线性相关和线性无关的定义 定义 设向量组m ααα,,,21 都为n 维向量，如果数域P 中存在一组不全为零的数 12,m k k k ,使0332211=++++m m k k k k αααα 则称向量组是线性相关, 反之，若数域 P 中没有不全为零的数12 ,m k k k ，使 0332211=++++m m k k k k αααα ， 称它是线性无关. 3 向量组线性相关和线性无关的判定方法 3.1 一个向量与两个向量线性相关的判定方法 由定义可以看出，零向量的任何一个线性组合为零，只要取系数不为零，即可以得出这个向量是线性相关的. 命题1 一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量. 关于两个向量的线性相关性判断可以转化为向量的成比例判断. 命题2 两个n 维向量()n a a a ,,,21 =α， ()n b b b 21,=β线性相关的充要条件是i a 与()n i b i 2,1=对应成比例.
向量组的线性相关与线性无关
向量组的线性相关与线性无关 1.线性组合 设12,,,n t a a a R ???∈，12,,,t k k k R ???∈，称1122t t k a k a k a ++???+为12,,,t a a a ???的一个线性组合。 【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k k k a k a k a a a a k ?? ? ?++???+=??? ? ???。这 样的表示是有好处的。 2.线性表示 设12,,,n t a a a R ???∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ???∈，使得 1122t t b k a k a k a =++???+ 则称b 可由12,,,t a a a ???线性表示。 1122t t b k a k a k a =++???+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ?? ? ?=??? ? ???。因此，b 可 由12,,,t a a a ???线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ?? ? ????= ? ???有解，而该方程组有解 当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ???=???。 3.向量组等价 设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ??????∈，如果12,,,t a a a ???中每一个向量都可以由 12,,,s b b b ???线性表示，则称向量组12,,,t a a a ???可以由向量组12,,,s b b b ???线性表示。 如果向量组12,,,t a a a ???和向量组12,,,s b b b ???可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。 向量组等价的性质：
向量组的线性相关性的判定
向量组的线性相关性的判定 摘 要：向量组的线性相关性是线性代数中的一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其它许多理论.本文利用线性相关性的定义，行列式的值，矩阵的秩，齐次线性方程组的解，弗朗斯基判别法等知识对向量组的线性相关性进行了判定，并比较了几种不同判定方法的适用条件. 关键词：向量组；线性相关；行列式 引言 向量组的线性相关性在线性代数中起到贯穿始终的作用.线性相关性这个概念在许多数学专业课程中都有体现，如微分几何，高等代数和偏微分方程等等.它是线性代数理论的基本概念，它与向量空间(包括基，维数），子空间等概念有密切关系，同时在微分几何以及偏微分方程中都有广泛的应用.因此，掌握线性相关性这个概念有着非常重要的意义，也是解决其它问题的重要理论依据. 向量组的线性相关与线性无关判定方法是非常灵活的.本文参考文献[2]介绍了线性相关的定义及其性质，并给出了证明.文献[1]、[3]、[4]、[5]则是介绍了关于向量组线性相关判定的几种方法，给出了证明并举出了几个例子. 本文从线性相关性的定义出发，分别运用了定义法、线性关系、向量空间的性质、矩阵的秩、行列式的值、反证法、线性变换的性质等几种方法对向量组的线性相关性进行了判定.如果向量组是函数，那么可用弗朗斯基判别法判定.特别是反证法，线性变换的性质，弗朗斯基判别法运用于一些复杂和特殊的题目，是比较方便的. 1.向量组线性相关性的相关定义及性质 定义 1.1]1[ 定义在P 上的线性空间V ，对于给定的一组向量12,,,n x x x L ,如果存在n 个不全为0的数12,,,n λλλL ，使得 11220n n x x x λλλ+++=L . 那么称12,,,n x x x L 是线性相关的.否则称12,,,n x x x L 是线性无关的.
向量组线性相关性判定
师学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法 作者 院（系）数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2011级 学号 指导教师郭亚梅 论文成绩 日期2015年月日
学生诚信承诺书 本人重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得师学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了意. 作者签名：日期： 导师签名：日期： 院长签名：日期： 论文使用授权说明 本人完全了解师学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期： 向量组线性相关性的判定方法
（师学院 数学与统计学院 455002） 摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他 许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.本文将向量组向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法. 关键词：向量组 线性相关 线性无关 判定方法 1 引言 线性相关性的容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.本文总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. 2.1 n 维向量的定义 （一维、二维、三维向量，推广到n 维向量） 定义： n 个有次序的数12,a , ,a n a 所组成的数组12(a ,a , )n a 或12(a ,a , )T n a 分别称为n 维行向量或列向量.这n 个数称为向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母,αβ等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 2.2 向量的线性运算行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算. 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律. 全体的n 维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n 维向量空间（或线性空间）. 例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n 次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性的定义 3.1向量组 有限个或无限个同维数列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称为一个向量组. 例如一个m n ?矩阵对应一个m 维列向量组, 也对应一个n 维行向量组
向量组的线性相关性 线性代数习题集
线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性 系 专业 班 姓名 学号 第一节 向量组及其线性组合 第二节 向量组的线性相关性 一．选择题 1．n 维向量s ααα,,,Λ21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ] （A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k αααΛ （B ）s ααα,,,Λ21中任何)(s j j ≤个向量线性相关 （C ）设),,,(s A αααΛ21=，非齐次线性方程组B AX =有唯一解 （D ）设),,,(s A αααΛ21=，A 的行秩 ＜ s . 2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ] （A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示 （C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示 二．填空题： 1． 设T T T ),,(,),,(,),,(0431********===ααα 则=-21αα (1,0,1)T - =-+32123ααα (0,1,2)T 2． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T ),,,(31521=α，T )10,5,1,10(2=α T ),,,(11143-=α，则=α (1,2,3,4)T 3． 已知T T T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 2 4． 设向量组),,(,),,(,),,(b a c b c a 000321===ααα线性无关，则c b a ,,满足关系式 0abc ≠
向量组的线性相关性教案
第四章 向量组的线性相关性 1．教学目的和要求： （1）理解n 维向量、向量的线性表示的概念. （2）理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用向量组线性相关、线性无关的 有关性质及判别法. （3）了解向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及 秩. （4）了解向量组等价的概念以及向量组的秩与矩阵秩的关系. （5）理解线性方程组解的性质. （6）理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念。掌握齐次线性方程组的基础解系和 通解的求法. （7）理解非齐次线性方程组的解结构系及通解的概念. （8）会用初等行变换求解线性方程组. 2．教学重点：向量组的线性相关性、向量组的秩、线性方程组的解的结构. 3．教学难点： （1）向量组的线性相关性中相关定理的证明. （2）求向量组的秩及最大线性无关组. （3）线性方程组的解的结构定理及其应用. 4．教学内容： §1 向量组及其线性组合 定义1 n 个有次序的数n α α,,1 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数称为第i 个分量. 定义2 对n 维向量β及m αα,,1 , 若有数组m k k ,,1 , 使得m m k k ααβ++=11 ， 称β为m αα,,1 的线性组合,或β可由m αα,,1 线性 表示． 例1 设 ??????????-=1011β, ??????????=1112β, ??????????-=1133β, ?? ??? ?????=1354β 试判断4β可否由321,,βββ线性表示? 解 设 3322114ββββk k k ++=，比较两端的对应分量可得 ??????????????????? ?--32111111031 1k k k ?? ????????=135, 求得一组解为??????????=??????????120321k k k 于是有3214 120ββββ++=, 即4β可由321,,βββ线性表示．
