高考数学考前120个提醒
一、集合与逻辑
1、（Ⅰ）区分集合中元素的形式：如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；
{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，如（1）设集合{|3}M x y x ==+，集合N ＝
{}
2
|1,y y x x M =+∈，则M N = ___（答：[1,)+∞）
；（2）设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈
，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+
，}R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--）（Ⅱ）（1）
M ={
}R a x ax y a 的定义域为
)lg(2
+-=，求M ；（2）N ={}
R a x ax y a 的值域为)lg(2
+-=。
解：（1）02>+-a x ax 在R x ∈恒成立，①当0=a 时，0>-x 在R x ∈不恒成立；②当0≠a 时，则???<->04102
a a ??????>-<>21210a a a 或?21>a ∴M =??? ??+∞,21；（2）a x ax +-2能取遍所有的正实数。①当0=a 时，x -R ∈；②当0≠a 时，则???≥->04102a a ??????≤≤->212
10a a ?210≤ A ? ，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。如：}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ， 求a 的取值。（答：a ≤0） 3、（1）}|{B x A x x B A ∈∈=且 ；}|{B x A x x B A ∈∈=或 C U A={x|x ∈U 但x ?A}；B A ??若x ∈A 则x ∈B ；真子集怎定义？含n 个元素的集合的子集个数为2n ，真子集个数为2n －1，非空真子集个数为2n －2；如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 （答：7）（2）从集合{}n a a a a A ,,,,321???=到集合{}m b b b b B ,,,,321???=的映射有n m 个。（3）C U (A ∩B)=C U A ∪C U B ；C U (A ∪B)=C U A ∩C U B;card(A ∪B)=?（4） A ∩B=A ?A ∪B= B ?A ?B ? C U B ?C U A ?A ∩C U B=? ? C U A ∪B=U （5）补集思想常运用于解决否定型或正面较 复杂的有关问题。如：已知函数12)2(24)(2 2 +----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数 c ，使0)(>c f ，求实数p 的取值范围。 （答：3 (3,)2 -） 4、充要条件与命题：（1）充要条件：①充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件。②必要条件：若q p ?， 则p 是q 必要条件。③充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件。注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然。（2）四种命题：①原命题：p q ?；②逆命题：q p ?；③否命 题：p q ???；④逆否命题：q p ???；互为逆否的两个命题是等价的。 如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件。（答：充分非必要条件）（3）若p q ?且q p ≠ ；则p 是q 的充分非必要条件（或q 是p 的必要非充分条件）；（4）注意命题p q ?的否定与它的否命题的区别：① 命题p q ?的否定是p q ??；②否命题是p q ???；③命题“p 或q ”的否定是“┐P 且┐Q ”；④“p 且q ”的否定是“┐ P 或┐Q ”。（5）注意：如 “若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是“若a 和b 不都是偶数，则b a +是奇数”；否定是“若a 和b 都是偶数，则b a +是奇数”。 二、函数与导数 5、指数式、对数式：（1 ）m n a = ，1m n m n a a - =， （以上0,,a m n N *>∈，且1n >）。01a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg 51+=，log ln e x x =，（2）b N N a a b =?=log （0>a ，1≠a ，0>N ）； （3）()N M MN a a a log log log +=；（4）N M N M a a a log log log -=； （5）log log m n a a n b b m = ；（6）对数恒等式:log a N a N =；（7）对数的换底公式:log log log m a m N N a =。如 2 1()2 的值为___(答：164 ) 6、一次函数:y=ax+b(a ≠0) b=0时奇函数； 7、二次函数：①三种形式：一般式f(x)=ax 2+bx+c(轴-b/2a,a ≠0,顶点?)；顶点式f(x)=a(x-h)2+k ，h ， k =？；零点式f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)（0≠a ）(轴?)；b=0偶函数；②区间最值：配方后一看开口方向, 二讨论对称轴与区间的相对位置关系； 如：若函数 4 22 12 +-= x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ， 则b ＝ （答：2）③实根分布：先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号； 8、 ) 0平移 ? a y + =中心为(b,a)) 9、对勾函数x x y + = 是奇函数,上为增函数 ，时)0(),,0∞+ 递减 ，在时)0,[],0(,0a a a -> ，递增 ，在),a [],a (+∞--∞ 10、单调性：（Ⅰ）定义法：设1x 、2x ∈[]b a ,，1x ≠2x ，那么 []1212()()()0x x f x f x -->?0) ()(2121>--x x x f x f ?)(x f 在[]b a ,上是增函数； []1212()()()0x x f x f x -- 0) ()(2 121<--x x x f x f ?)(x f 在[]b a ,上是减函数。 （Ⅱ）导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导， 如果0)(≥'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(≤'x f ，则)(x f 为减函数。 如：已知函数3 ()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是____(答：(,3]-∞)； 注意：（１） 0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。如函数3 )(x x f =在),(+∞-∞上单调递 增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。（2）函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,若 0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。（答：1223 m - << ）（3）复合函数由同增异减判定； （4）图像判定；（5）作用：比大小，解证不等式。 如函数()2 12 lo g 2y x x =-+的单调递增区间是 ________(答：（1,2）)。 11、奇偶性：(1)定义：f(x)是偶函数?f(-x)=f(x)=f(|x|)；f(x)是奇函数?f(-x)=-f(x)；定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0)；定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。(2)奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．（3）多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++ 的奇偶性：()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零；()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零。 12、周期性：（Ⅰ）类比“三角函数图像”得：（1）若()y f x =图像有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()y f x =必是周期函数，且一周期为2||T a b =-；（2）若()y f x =图像有两个对称中心 (,0),(,0)()A a B b a b ≠ ，则()y f x =是周期函数，且一周期为2||T a b =-；（3）如果函数()y f x =的 图像有一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则函数()y f x =必是周期函数，且一周期为 4||T a b =-；如：已知定义在R 上的函数()f x 是以2为周期的奇函数，则方程()0f x =在[2,2]-上至 少有__________个实数根（答：5）。（Ⅱ）由周期函数的定义“函数()f x 满足()()x a f x f +=(0)a >，则()f x 是周期为a 的周期函数”得：（1）函数()f x 满足()()x a f x f +=-，则()f x 是周期为2a 的周 期函数；（2）若) (1)(x f a x f =+（0≠a ，0)(≠x f ）恒成立，则2T a =；（3）若) (1)(x f a x f - =+（0≠a ，0)(≠x f ）恒成立，则2T a =。（4） 2 1)()(2 x f x f -+ =)(a x f +（)(x f []1,0∈）恒成立， 则2T a =。（5）) (11)(a x f x f +-=（0)(≠x f ）恒成立，则a T 3=。（6）)()()(a x f x f a x f +-=+， 则a T 6=。（7）)(21x x f += ) ()(1)()(2121x f x f x f x f ?-+，且1)(=a f （1)()(21≠?x f x f ，<021x x -a 2<）， 则a T 4=。如：①设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f 等于_____(答：5.0-)；②定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[3,2]--上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则(sin ),(cos )f f αβ的大小关系为_________(答： (sin )(cos )f f αβ>)； 13、常见的图象变换：（1）函数()a x f y +=的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左)0(>a 或向右 )0( 再向__平移3个单位而得到(答：y ；右)；②函数()lg(2)1f x x x =?+-的图象与x 轴的交点个数有__个(答：2)。（2）函数()x f y =+a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上)0(>a 或向下)0( x b y ++= 的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位，所得图象如果与 原图象关于直线x y =对称，那么 0,1)(≠-=b a A R b a B ∈-=,1)( 0,1)(≠=b a C R b a D ∈=,0)((答：C) （3）函数()ax f y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴伸缩为原来 的 a 1得到的。如：①将函数()y f x =的图像上所有点的横坐标变为原来的 13 （纵坐标不变），再将此图 像沿x 轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为___(答：(36)f x +)；②如若函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴方程是___(答：12 x =-)．（4）函数()x af y =)0(>a 的图象是 把函数()x f y =的图象沿y 轴伸缩为原来的a 倍得到的。 14、对称：（Ⅰ）点、曲线的对称性：(1)点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于y 轴的对称曲线方程为()x f y -=；(2)点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于x 轴的对称曲线方程为()x f y -=；(3)点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --；函数()x f y =关于原点的对称曲线方程为()x f y --=；(4)点(,)x y 关于直线y x a =±+的对称点((),)y a x a ±-±+；曲线(,)0f x y =关于直线y x a =±+的对称曲线的方程为((),)0f y a x a ±-±+=。特别地，点(,)x y 关于直线y x =的对称点为(,)y x ；曲线(,)0f x y =关于直线y x =的对称曲线的方程(,)0f y x =；点(,)x y 关于直线y x =-的对称点为(,)y x --；曲线(,)0f x y =关于直线y x =-的对称曲线的方程为(,)0f y x --=。如己知函数 33(),()23 2 x f x x x -= ≠ -，若)1(+=x f y 的图像是1C ,它关于直线y x =对称图像是22,C C 关于原点对称 的图像为33,C C 则对应的函数解析式是__（答：221 x y x +=-+）；(5)曲线(,)0f x y =关于点(,)a b 的对 称曲线的方)22(y b x a f --，= 0。如若函数x x y +=2与)(x g y =的图象关于点（-2，3）对称，则)(x g ＝___（答：276x x ---） (6)形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，对称中心是点(,)d a c c -。如已知函数图象C '与 2 :(1)1C y x a ax a ++=++关于直线y x =对称，且图象C '关于点（2，－3）对称，则a 的值为___（答： 2）(7)|()|f x 的图象先保留()f x 原来在x 轴上方的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到；(||)f x 的图象先保留()f x 在y 轴右方的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到。如①作出函数2|log (1)|y x =+及2log |1|y x =+的图象；②若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于____对称 （答：y 轴）（Ⅱ）函数图像本身的对称性：（1）)(x f y =的图象关于直线a x =对称?)(x a f + =)(x a f -?)2(x a f -=)(x f ；（2）)(x f y =的图象关于直线a x =对称? )(x a f + = )(x b f -?)(x b a f -+=)(x f ；如已知二次函数)(x f =bx ax +2 (0≠a )满足条件)3()5(-=-x f x f 且方程x x f =)(有等根，则)(x f ＝___(答：2 12 x x - +)；（3） )(x f y =的图象关于点 )0,(a 对称?)(x f =)2(x a f --?)(x a f ++)(x a f -=0；（4）)(x f y =的图象关于点),(b a 对称?)(x f =)2(2x a f b --?++)(x a f )(x a f - b 2=；（Ⅲ）两函数图像的对称：（1）函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴) 对称；（2）函数()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称；（3）函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =-；（4）函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =--；（5）函数)(x f y =和函数)(1 x f y -=的图象关于直线x y =对称。 （6）两函数y=f(a+x)与y=f(b-x)图像关于直线x= 2 a b -对称。但若f(a －x)＝f(b+x)，则f(x)图像关于直线x=2 b a +对称； 提醒：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；如：已知函数)(1)(R a x a a x x f ∈--+= 。求证：函数)(x f 的图像关于点(,1)M a -成中心对称图形。 15、求解抽象函数问题的常用方法是：借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：（1）正比例函数型：()(0)f x kx k =≠---()()()f x y f x f y ±=±，)0(f 0=，)1(f c =；（2）幂函数型： α x x f =)(---()()()f xy f x f y =，()()() x f x f y f y =，α =)1(' f ；（3）指数函数型： ()x f x a =---()()()f x y f x f y +=，()()() f x f x y f y -= ，a f =)1(（0≠a ）； （4）对数函数型： ()log a f x x =---()()()f xy f x f y =+，()()()x f f x f y y =-，且1)(=a f （0>a ，1≠a ）；（5） 三角函数型：①余弦函数)(x f =x cos ，正弦函数)(x g =x s in ，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+， )0(f 0=，1)(lim =→x x g x 。 ②()tan f x x =---- ()()()1()() f x f y f x y f x f y ++= -。如已知)(x f 是定义在R 上 的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则=-)2 (T f __（答：0） 16、反函数：①函数存在反函数的条件一一映射；②奇函数若有反函数则反函数是奇函数③周期函数、定义域为非单元素集的偶函数无反函数④互为反函数的两函数具相同单调性⑤f(x)定义域为A,值域为B,则f[f -1 (x)]=x(x ∈B),f -1 [f(x)]=x(x ∈A).⑥原函数定义域是反函数的值域,原函数值域是反函数的定义域。如：已知函数()y f x =的图象过点(1,1),那么()4f x -的反函数的图象一定经过点_____（答：（1,3））； 17、题型方法总结 （Ⅰ）判定相同函数：定义域相同且对应法则相 （Ⅱ）求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：2()f x ax bx c =++；顶点式：2 ()()f x a x m n =-+；零点式：12()()()f x a x x x x =--）。如：已知()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式 。（答：2 1()212 f x x x = ++）（2）代换（配凑）法――已知形如(())f g x 的表达式，求()f x 的表达式。如： ①已知,s in )c o s 1(2x x f =-求()2x f 的解析式（答：242()2,[f x x x x =-+∈-②若 2 2 1)1(x x x x f + =- ，则函数)1(-x f =___（答：223x x -+）；③若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数， 且当),0(+∞∈x 时，)1()(3 x x x f +=，那么当)0,(-∞∈x 时，)(x f =_____（答：(1x - ）。 这里 需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即()f x 的定义域应是()g x 的值域。（3）方程的思想――对已知等式进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。如：①已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式（答：2()33 f x x =--）；②已知()f x 是奇函数，)(x g 是偶函数，且()f x +)(x g = 1 1-x , 则()f x = （答： 2 1 x x -）。（Ⅲ）求定义域：（1）使函数解析式有意义(如：分母？偶次根式被开方 数？对数真数?底数？零指数幂的底数？)；（２）实际问题有意义；若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义域由a ≤g(x)≤b 解出；（３）若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x ∈[a,b]时g(x)的值域；如：①若函数)(x f y =的定义域为?? ? ?? ?2,2 1，则)(log 2 x f 的定义域为____（答：{ } 42| ≤≤x x ）； ②若函数2 (1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为____（答：[1,5]）。（Ⅳ）求值域： （1） 配方法：如：求函数2 25,[1,2]y x x x =-+∈-的值域（答：[4,8]）；（２）逆求法（反求法）：如：3 13 x x y = + 通过反解，用y 来表示3x ，再由3x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围（答：（0,1））；（３）换元法：如：①2 2sin 3cos 1y x x =--的值域为___（答：17[4, ]8 -）； ②21y x =++的值域为 ____（答：[)3,+∞） （令 t =，0t ≥。运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围）；（４）三角 有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；如：2sin 11cos y θθ -= +的值域（答： 3(, ]2 -∞）； （５）不等式法 ――利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值。如设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则 2 12 21)(b b a a +的取值范围是_____（答：(,0][4,)-∞+∞ ）。（６） 单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。如求1(19)y x x x =- <<， 2 2 9sin 1sin y x x =+ + ，()3log 5y x =--的值域为____（答：80(0, )9 、11[ ,9]2 、[)0,+∞）；（７） 数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。如①已知点(,)P x y 在圆221x y +=上， 求2 y x +及2y x - 的取值范围（答：[3 3 - 、[）；② 求函数y =的 值域（答：[10,)+∞）；（８）判别式法：如①求1y x +的值域 （答：122? ? - ??? ? ） ；②求函数3 x +的值域（答：1[0,]2 ）如求2 11 x x y x ++= +的值域（答：(,3][1,)-∞-+∞ ）。（９）导数法；分离参数法： 如：求函数32 ()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。（答：－48）。用2种方法求下列函数的值 域：①32([1,1])32x y x x +=∈--②（)0,(,3 2 -∞∈+-= x x x x y ；③)0,(,1 32 -∞∈-+-= x x x x y （Ⅴ）解应用题：审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证。（Ⅵ）恒成立问题：分离参数法；最值法； 化为一次或二次方程根的分布问题.a ≥f(x)恒成立?a ≥[f(x)]max,；a ≤f(x)恒成立?a ≤[f(x)]min ； （Ⅶ）任意定义在R 上函数f （x ）都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。即f （x ）＝()()g x h x ＋其中g （x ）＝ f x f x 2 （）＋（－） 是偶函数，h （x ）＝ f x f x 2 （）－（－） 是奇函数（Ⅷ）利用一些方法 （如赋值法（令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f 、令y x =或y x =-等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如：（1）若x R ∈，()f x 满足()()f x y f x += ()f y +， 则()f x 的奇偶性是____（答：奇函数）；（2）若x R ∈，()f x 满足 ()()f x y f x = ()f y +，则()f x 的奇偶性是___（答：偶函数）；（3）已知 ()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当03x <<时，()f x 的 图像如右图 所示，那么不等式0cos )( ( ,3) 2 2 π π -- ）；（4）设()f x 的定义域为R +，对任意,x y R + ∈，都有()()()x f f x f y y =-， 且1x >时，()0f x <，又1 ()12 f =，①求证()f x 为减函数；②解不等式2 ()(5)f x f x ≥ -+-.（答： (][)0,14,5 ）． 18、（1）导数几何物理意义：k=f /(x 0)表示曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率。V ＝s /(t)表示t 时刻即时速度，a=v ′(t)表示t 时刻加速度。如一物体的运动方程是21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____（答：5米/秒）（2）常见函数的导数： ①0='C （C 为常数），②()1-='n n nx x ()Q n ∈，③()x x cos sin ='，④()x x sin cos -=' ⑤()x x 1ln = ' ，()e x x a a log 1log =' ，⑥()x x e e ='，()a a a x x ln =' . （3）可导函数四则运算的求导法则：①()v u v u '±'=' ±，②()v u v u uv '+'=' ，()u C Cu '=' ③()02 ≠'-'=' ?? ? ??v v v u v u v u 。（4）复合函数的求导法则：设函数()u x ?=在点x 处有导数'' ()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数'' ()u y f u =，则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且 '''x u x y y u =?，或写作''' (())()()x f x f u x ??=。 19、 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=- 20、导数应用：⑴过某点的切线不一定只有一条； 如：已知函数3 ()3f x x x =-过点(2,6)P -作曲线 ()y f x =的切线，求此切线的方程（答：30x y +=或24540x y --=）。 ⑵研究单调性步骤：分析 y=f(x)定义域；求导数；解不等式f /(x)≥0得增区间；解不等式f /(x)≤0得减区间；注意f /(x)=0的点； 如：设0>a 函数ax x x f -=3 )(在),1[+∞上单调函数，则实数a 的取值范围___（答：03a <≤）；⑶ 求极值、最值步骤：求导数；求0)(='x f 的根；检验)(x f '在根左右两侧符号,若左正右负,则f(x)在该根处取极大值；若左负右正,则f(x)在该根处取极小值；把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值. 如：①函数512322 3 +--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是__（答：5；15-）； ②已知函数32()f x x bx cx d =+++在区间[－1,2 ]上是减函数，那么b ＋c 有最__值__答：大，152 -）③ 方程0109623=-+-x x x 的实根的个数为__（答：1） 特别提醒（Ⅰ）0x 是极值点的充要条件是0x 点两侧导数异号，而不仅是()0f x '＝0，()0f x '＝0是0x 为极值点的必要而不充分条件。（Ⅱ）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑0()0f x '=，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！如：函数()322 1f x x a x b x a x = +++=在处有极小值10，则a+b 的值为____（答：－7）（Ⅲ）导数与函数的单 调性的关系：（1）0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系：0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。（2）0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系：)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。 21、定积分：（1）牛顿-来布尼兹公式：设)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，)(x F 是函数)(x f 在区间[]b a ,上的任一原函数，即)()('x f x F =，则：?b a dx x f )(= )()(a F b F -（在定积分计算时，只需写出)(x f 的 一个原函数)(x F ，不需加上任意常数C ）(2)常用的积分公式： ① )1,-≠∈- ? n R n b a ； ② b a ln =? ； ③ αβα ββ α cos cos ) cos (sin -=-=?x dx x ； ④ αβα ββ α sin sin sin cos -==?x dx x ； ⑤ a a a a dx a x ln ln α β β α - = ?；⑥a b b a x e e dx e -=?。（3）①若)(x f 是奇函数，则)0(0)(≠=? -a dx x f a a 。如： 0cos 522 3 =+?-dx x x π π ；②若)(x f 是奇函数，则 )0()(2)(0 ≠=?? -a dx x f dx x f a a a 。如： ??=-20 2 2 c o s 2c o s π ππx d x dx =0 2sin 2π x =2； 三、立几 22、位置和符号：①空间两直线：平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法②直线与平面: a ∥α、 a ∩α=A (a ?α) 、a ?α③平面与平面:α∥β、α∩β=a 23、常用定理：①线面平行α αα////a a b b a ??? ? ?? ??；αββα////a a ?? ?? ?；ααββα//a a a ???? ?? ?⊥⊥； ②线线平行:b a b a a ////??? ??? =??βαβα ；b a b a //?? ?? ⊥⊥αα；b a b a ////??? ??? =?=?γβγαβ α；b c c a b a //////?? ?? ； ③面面平行:β αββαα////,//,??? ??? =???b a O b a b a ; βαβα//?? ?? ⊥⊥a a ; γ αβγβα//////?? ??； ④线线垂直:b a b a ⊥?????⊥αα；所成角90 ；PA a AO a a PO ⊥??? ? ??⊥?⊥αα(三垂线逆定理？)； ⑤线面垂直:α αα⊥??? ? ?? ⊥⊥=???l b l a l O b a b a ,,；βαβ αβ α⊥??? ? ?? ⊥?=?⊥a l a a l ,；βαβα⊥????⊥a a //；αα⊥?? ?? ⊥b a b a //； ⑥面面垂直：二面角900； βααβ⊥?? ?? ⊥?a a ； βααβ⊥?? ?? ⊥a a //； 24、求空间角：（Ⅰ）异面直线所成角θ的求法：（1）范围：(0, ]2 π θ∈；（2）求法：平移以及补形法、 向量法。如：①正四棱锥ABCD P -的所有棱长相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于__（答： 3 3）；②在正方体AC 1中，M 是侧棱DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中 心，P 是棱A 1B 1上的一点，则OP 与AM 所成的角的大小为__（答：90°）；（Ⅱ）直线和平面所成的角：（1）范围：[0,90] ；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。（3）求法：作垂线找射影或求点线距离（向量法）；如：①在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB=1，D 在棱BB 1上，BD=1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为___（答：arcsin ②正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是 AB 、C 1D 1的中点，则棱 A 1B 1 与截面A 1ECF 所成的角的余弦值是____（答： 13 ）；（Ⅲ）二面角：二 面角的求法：定义法、三垂线法、垂面法、面积射影法： cos S S θ?射原＝，即 面积射影定理:' cos S S θ =(平 面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ) 、转化为法向量的夹角。如：①正方形ABCD-A 1B 1C 1D 1中，二面角B-A 1C-A 的大小为___（答：60 ）；②正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中对角线BD 1＝8，BD 1与侧面B 1BCC 1所成的为30°，则二面角C 1—BD 1—B 1的大小为____ （答：arcsin 3 ）；（3）从点P 出发引三条射线PA 、PB 、PC ，每两条的 夹角都是60°，则二面角B-PA-C 的余弦值是___（答：13 ）； 25、平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系 三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)?顶点在底面射影为底面外心；侧棱两两垂直(两对对棱垂直)?顶点在底面射影为底面垂心；斜高相等(侧面与底面所成相等)?顶点在底面射影为底面内心；正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ,则S 侧cos θ=S 底；正三角形四心？内切外接圆半径？ 26、空间距离：①异面直线间距离:找公垂线；②平行线与面间距离(两平行面间距离)→点到面距离：直 接法、等体积、转移法、垂面法、向量法d=③点到线距离：用三垂线定理作垂线后再求； 27、直线AB与平面α所成的角： = =cos sinβ ，故=arcsin β，其中m为平面α的法向量。 28、锐二面角β α- -l的平面角： cos cos= θ， 故 n m? =a r cco s θ n m? - =arccos π θ其中m、n为平面α、β的法向量。 29、空间两点间的距离公式：若()() 2 2 2 1 1 1 , , x B , ,z y z y x A,则 ()()()2 1 2 2 1 2 2 1 2 , z z y y x x d B A - + - + - =. ★30、点Q到直线l 的距离：h=P在直线l上，直线l的方向向量PA a=,向量PQ b=。 31、点B到平面α的距离：d为平面α的法向量，AB是面α的一条斜线，α ∈ A。 32、求球面两点A、B距离①求弧度数③用公式L 球面距离 =θ 球心角 ×R；纬线半径r＝Rcos 纬度。S 球 =4πR2;V 球 ＝ 3 4 πR3； 33、平面图形翻折(展开)：注意翻折(展开)后在同一平面图形中角度、长度不变； 34、（1）设直线OA为平面α的斜线，其在平面内的射影为OB，OA与OB所成的角为 1 θ，OC在平面 α内，且与OB所成的角为 2 θ，与OA所成的角为θ，则 12 cos cos cos θθθ =；(2)从点O引射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则A在平面BOC的射影在∠BOC平分线上；若A到OB与OC距离相等,则A在平面BOC 的射影在∠BOC平分线上； 35、常用转化思想：①构造四边形、三角形把问题化为平面问题②将空间图展开为平面图③割补法④等体积转化⑤线线平行?线面平行?面面平行⑥线线垂直?线面垂直?面面垂直⑦有中点等特殊点线,用“中位线、重心”转化。 36、三面角公式：AB和平面所成角是θ，AB在平面内射影为AO，AC在平面内,设∠CAO=α，∠BAC=β， 则cosβ=cosθcos α；长方体:对角线长l=若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成 角分别为α，β，γ，则有cos2α+cos2β+cos2γ=1；体对角线与过同顶点的三侧面所成角分别为α， β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=2；正方体和长方体外接球直径=体对角线长； 特别指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即： 线∥线线∥面面∥面 判定 线⊥线线⊥面面⊥面 性质 线∥线线⊥面面∥面 ←→ ?←→ ? ?→ ??←→ ?←→ ?←? ?? ←→ ?←→ ? 四、解几 37、倾斜角α∈[0,π]，α=900斜率不存在；斜率k=tan α=1 212x x y y --，其中111(,)P x y 、222(,)P x y ；直线的 方向向量()b a v ,=，则直线的斜率为k = (0)b a a ≠。 38、直线方程：点斜式： y-y 1=k(x-x 1) (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )；斜截式：y=kx+b(b 为直线l 在y 轴上的截距)；一般式：Ax+By+C=0(其中A 、B 不同时为0)；两点式： 1 211 21x x x x y y y y --=-- (111(,)P x y 、 222(,)P x y 12x x ≠，12y y ≠)；截距式： 1 =+b y a x (其中a 、b 分别为直线在x 轴、y 轴上的截距，且 0,0≠≠b a )；求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造成丢解，直线Ax+By+C=0的方向向量为 a =(A,-B)。 39、两直线平行和垂直①若斜率存在l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2则l 1∥l 2?k 1∥k 2,b 1≠b 2； l 1⊥l 2?k 1k 2=-1；②若l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,则l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2=0 ，③若A 1、A 2、B 1、B 2 都不为零l 1∥l 2? 2 12 12 1C C B B A A ≠ =；④l 1∥l 2则化为同x 、y 系数后距离d= 2 2 21||B A C C +-。 40、l 1到l 2的角tan θ=1 2121k k k k +-；夹角tan θ=| 1 2121k k k k +-|；点线距d=2 2 00||B A C By Ax +++； 41、（Ⅰ）圆的方程：①标准方程：(x －a)2 +(y －b)2 =r 2 ；②一般方程：x 2 +y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2 -4F>0)③参数方程：?? ?+=+=θ θsin r b y cos r a x ；④直径式方程(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0 (11(,)A x y 、22(,)B x y 圆的直径的 端点)。（Ⅱ）圆中有关重要结论：(1)若P(0x ,0y )是圆222x y r +=上的点，则过点P(0x ,0y )的切线 方程为2 00xx yy r +=；(2)若P(0x ,0y )是圆222()()x a y b r -+-=上的点，则过点P(0x ,0y )的切线 方程为2 00()()()()x a x a y b y b r --+--=。(3)若P(0x ,0y )是圆222x y r +=外一点，由P(0x ,0y ) 向圆引两条切线， 切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为2 00xx yy r +=。(4)若P(0x ,0y )是圆 222 ()()x a y b r -+-=外一点, 由P(0x ,0y )向圆引两条切线, 切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为2 00()()()()x a x a y b y b r --+--=。（Ⅲ）圆的切线方程：(1)已知圆22 0x y Dx Ey F ++++=。 ①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是 0000() () 02 2 D x x E y y x x y y F +++++ +=； 当00(,)x y 圆外时, 0000() () 02 2 D x x E y y x x y y F ++++ + +=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆 外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线。 (2)已知圆222 x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=；②斜率为k 的圆的切线 方程为y kx =± 42、若(x 0-a)2 +(y 0-b)2 (=r 2 ，>r 2 )，则 P(x 0,y 0)在圆(x-a)2 +(y-b)2 =r 2 内(上、外) 43、直线与圆关系，常化为线心距与半径关系，如：用垂径定理，构造Rt △解决弦长问题，又：ｄ>r ?相离；d=r ?相切；d 44、圆与圆关系常化为圆心距与两圆半径间关系.设圆心距为d ，两圆半径分别为r ，R 则d>r+R ?两圆相离；d ＝r+R ?两圆相外切；|R －r| 45、把两圆x 2+y 2+D 1x+E 1y+C 1=0与x 2+y 2+D 2x+E 2y+C 2=0方程相减即得相交弦所在直线方程： (D 1-D 2)x+(E 1-E 2)y+(C 1-C 2)=0；推广：椭圆、双曲线、抛物线？过曲线f 1(x,y)=0与曲线f 2(x,y)=0交点的曲线系方程为: f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0 46、圆上动点到某条直线(或某点)的距离的最大、最小值的求法(过圆心) 47、椭圆①方程：1b y a x 2 22 2=+ (a>b>0)；参数方程?? ?==θ θsin b y cos a x ②定义： 相应 d |PF |=e<1；|PF 1|+|PF 2|=2a>2c ③ e= 2 2a b 1a c - = ，a 2=b 2+c 2④长轴长为2a ，短轴长为2b ⑤焦半径左PF 1=a+ex ，右PF 2=a-ex ；左焦点弦 )x x (e a 2AB B A ++=，右焦点弦) x x (e a 2AB B A +-=⑥准线x=c a 2 ± 、通径(最短焦点弦) a b 22 ，焦准距p= c b 2 ⑦ 2 1F PF S ?=2 tan b 2θ，当P 为短轴端点时∠PF 1F 2最大，近地a-c 远地a+c ； 48、双曲线：①方程： 1b y a x 2 22 2=- (a ，b>0)②定义： 相应 d |PF |=e>1；||PF 1|-|PF 2||=2a<2c ③e=2 2a b 1a c + =,c 2=a 2+b 2 ④四点坐标？x,y 范围?实虚轴、渐进线交点为中心⑤焦半径、焦点弦用第二定义推(注意左右支及左右焦点不同)；到焦点距离常化为到准线距离⑥准线x=c a 2 ± 、通径(最短焦点弦) a b 22 ，焦准距p= c b 2 ⑦ 2 1F PF S ? b y 2 2=或；焦点到渐进线距离为b ； 49、抛物线：①方程：y 2=2px ②定义：|PF|=d 准③顶点为焦点到准线垂线段中点；x,y 范围?轴？焦点F(2 p ,0)， 准线x=-2 p ，④焦半径2 p x AF A + =；焦点弦 AB ＝x 1+x 2+p ；y 1y 2=－p 2，x 1x 2=4 2 p 其中A(x 1,y 1)、 B(x 2,y 2) ⑤通径2p ，焦准距p ； 50、B>0，Ax+By+C>0表示直线斜上侧区域；Ax+By+C<0表示直线斜下侧区域； A>0，Ax+By+C>0表示直线斜右侧区域；Ax+By+C<0表示直线斜左侧区域； 求最优解注意①目标函数值≠截距②目标函数斜率与区域边界斜率的关系。 51、过圆x 2+y 2=r 2上点P(x 0,y 0)的切线为：x 0x+y 0y=r 2；过圆x 2+y 2=r 2外点P(x 0,y 0)作切线后切点弦方程： 2 00r y y x x =+；过圆外点作圆切线有两条.若只求出一条,则另一条垂直x 轴. 52、对称：①点(ａ,ｂ)关于ｘ轴、y 轴、原点、直线y=x 、y=-x 、y=x+m 、y=-x+m 的对称点分别是 (ａ,-ｂ)，(-ａ,ｂ)，(-ａ,-ｂ)，(ｂ,ａ)，(-ｂ,-ａ)，(b-m 、a+m)，(-b+m 、-a+m)②点 (ａ,ｂ)关于直线Ax+By+C=0对称点用斜率互为负倒数和中点在轴上解③曲线f(x,y)=0关于点(a,b)对称曲线为f(2a-x,2b-y)=0；关于y=x 对称曲线为f(y,x)=0；关于轴x=a 对称曲线方程为f(2a-x,y)=0；关于轴y=a 对称曲线方程为:f(x,2a-y)=0；可用于折叠(反射)问题. 53、相交弦问题①用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后，注意用判别式、韦达定理、弦长公式；注意二次项系数为0的讨论；注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用；注意焦点弦可用焦半径公式,其它用弦长公式| a |) k 1(x x k 1AB x x 2 122 ?+= -?+= 122 y y k 11-?+ =| a |) k 11(y y 2 ?+ = ②涉及弦中点与斜率问题 常用“点差法”。如： 曲线1b y a x 2 22 2 =± (a,b>0)上A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)中点为M(x 0,y 0)，则K AB K OM =2 2a b ；对抛 物线y 2=2px(p ≠0)有K AB ＝ 2 1y y p 2+ 54、轨迹方程：直接法(建系、设点、列式、化简、定范围)、定义法、几何法、代入法(动点P(x,y)依赖于动点Q(x 1,y 1)而变化，Q(x 1,y 1)在已知曲线上，用x 、y 表示x 1、y 1,再将x 1、y 1代入已知曲线即得所求方程)、参数法、交轨法等. 55、解题注意：①考虑圆锥曲线焦点位置，抛物线还应注意开口方向，以避免错误②求圆锥曲线方程常用待定系数法、定义法、轨迹法③焦点、准线有关问题常用圆锥曲线定义来简化运算或证明过程④运用假设技巧以简化计算。如：中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆(双曲线)方程可设为Ax 2+Bx 2 ＝1；共渐进线 x a b y ± =的双曲线标准方程可设为 λ λ(b y a x 2 22 2=- 为参数，λ≠0)；抛物线y 2 =2px 上点可设为( p 2y 2 ,y 0)；直线的 另一种假设为x=my+a ；⑤解焦点三角形常用正余弦定理及圆锥曲线定义. 56、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ；（2）给出OB OA +与AB 相交，则已知OB OA +过 AB 的中点；（3）给出0 =+PN PM ，则已知P 是MN 的中点；（4）给出() BQ BP AQ AP +=+λ, 则已知,A B 与PQ 的中点三点共线；（5） 给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ= 使； ③若存在实数,,1,O C O A O B αβαβαβ+==+ 且使,则已知C B A ,,三点共线。（6） 给出 λ λ++= 1OB OA OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即PB AP λ=。（7） 给出0=?MB MA , 则已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角；给出0<=?m MB MA ,则已知AMB ∠是钝角；给出 0>=?m MB MA ,则已知AMB ∠是锐角,（8） 给出λ,则已知MP 是AMB ∠的平 分线（9）平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+AD AB AD AB ，则已知ABCD 是菱形：（10） 平 行四边形ABCD 中，给出||||A B A D A B A D +=- ，则已知ABCD 是矩形：（11）在ABC ?中，给出 2 2 2 OC OB OA ==，则已知O 是ABC ?的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直 平分线的交点）；（12） 在ABC ?中，给出0=++OC OB OA ，则已知O 是ABC ?的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在ABC ?中，给出OA OC OC OB OB OA ?=?=?，则已知O 是 ABC ?的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（★14）ABC ?中，给出 +=OA OP ()||||AB AC AB AC λ+ )(+∈R λ，AP 通过ABC ?的内心；（★15）在ABC ?中，给出,0=?+?+?OC c OB b OA a 则已知O 是ABC ?的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三 条角平分线的交点）；（16） 在ABC ?中，给出() 12 A D A B A C =+ ，则已知AD 是ABC ?中BC 边的中线；（17）三角形五“心”向量形式的充要条件：设O 为A B C ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长 分别为,,a b c ，则①O 为A B C ?的外心222 O A O B O C ?== 。②O 为A B C ?的重心 0O A O B O C ?++= 。③O 为A B C ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=? 。④O 为A B C ?的内心 0aOA bOB cOC ?++= 。⑤O 为A B C ?的A ∠的旁心aOA bOB cOC ?=+ 。 五、算法57、算法的含义、程序框图（1）了解算法的含义及思想（2）理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环58、基本算法语句：输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义。 59、算法案例：（1）求最大公约数：辗转相除法、更相减损术。（对于两个以上的正数求最大公约数可 以先求其中两个数的最大公约数，在将刚得到的最大公约数与下一数在一起求最大公约数，如此下去…………….）。（2）进制数的转化：①将() 2101111011 转化为十进制的数；解： ()2101111011= 012345678212120212121212021?+?+?+?+?+?+?+?+?=379. ②将()853转化为二进制的数。解：（2）()853=018385?+?=()1043=43 余数43 21105212222220 11010 1 将余数从下到上的顺序改排成从左到右的顺序即可。 ∴()853=()2101011 ③已知n 次多项式 1 011()n n n n n P x a x a x a x a --=++++ ，如果在一种算法中，计算 k x （k ＝2，3，4，…， n ）的值需要k －1次乘法，（1）计算 30() P x 的值需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算 0() n P x 的值需要多少次运算？（2）若采取秦九韶算法：0011(),()()k k k P x a P x xP x a ++==+（k ＝0， 1，2，…， n －1），计算30() P x 的值只需6次运算，那么计算 0() n P x 的值共需要多少次运算？答案：（1）(n ＋3)； （2）2n ； ④利用秦九韶算法计算多项式1 876543x f(x)2 3 4 5 6 ++++++x x x x x ＝当x=4的值的时候，需要做乘法和 加法的次数分别为（A ）A 、6，6 B 、5，6 C 、5，5 D 、6，5 六、概率 60、⑴必然事件 P(A)=1，不可能事件 P(A)=0，随机事件的定义 0 ,2,1(0=≥i p i …)； ②P 1+P 2+…=1。⑵等可能事件的概率（古典概率）：P(A)=m/n ，理解这里m 、ｎ的 意义。；如： 设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：①从中任取2件都是次品；②从中任取5件恰有2件次品；③从中有放回地任取3件至少有2件次品；④从中依次取5件恰有2件次品。（答：① 215 ；②1021 ；③44125 ；④1021 ）⑶互斥事件(不可能同时发生的，这时P(A ?B)=０)： P(A+B)=P(A)+P(B)； 如：有A 、B 两个口袋，A 袋中有4个白球和2个黑球，B 袋中有3个白球和4个 黑球，从A 、B 袋中各取两个球交换后，求A 袋中仍装有4个白球的概率。（答：8 21）；⑷对立事件(A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生,但A 、B 中必然有一发生。这时P(A ?B)=０)：P(A )+P(A )＝1；⑸独立事件(事件A 、B 的发生相互独立，互不影响)：P(A ?B)＝P(A)·P(B)；如①设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为9 1,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P(A) 是____（答： 23 ）；②某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三 个问题分别得100分、100分、200分，答错得0分，假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为____；这名同学至少得300分的概率为______（答：0.228；0.564）；⑹独立重复事件（贝努里概型） P n (K)=C n k p k (1－p)k 表示事件A 在n 次独立重复试验中恰好发生了．．．．．k ．次． 的概率。P 为在一次独立重复试验中事件A 发生的概率。特殊：令k=0 得：在n 次独立重复试验中，事件A 没有发生的概率为．．．．．．．． P n (０)=C n 0p 0(1－p)n =(1－p)n , 令k=n 得：在n 次独立重复试验中，事件A 全部发生的概率为．．．．．．．．P n (n)=C n n p n (1－p)0 =p n 61、几何概型：)(A P = 积） 的区域长度（面积或体 试验的全部结果所构成 积） 的区域长度（面积或体 构成事件A 62、求事件的概率首先要正确判断属于那一种事件的概率。 63、要学会正确使用排列组合知识解决概率问题。 64、概率解答过程的书写一定要以文字为主，分步进行，尽量得分。 65、⑴随机变量ξ的所有可能取值分别为1x ，2x ，．．．．．． n x ，对应的概率分别为1p ，2p ，3p ，．．． 则离散型随机变量ξ的概率分布为 1=???+，则（1）???+???++=n n p x p x E 22ξ为ξ的数学期望；（2） ????+???+?-=n p x p x D 2 22 ()ξ为ξ的方差。其中1x ， 2x ，．．．．．． n x 这n 个数的算术平均数。（3）数学期望与方差的性质：()b aE b a E +=+ξξ， ()ξξD a b a D 2 =+，2 2 )()(ξξξE E D -= （4） ①独立事件重复试验：())1(=+=-q p q p C k p k n k k n n 为A 在n 次独立重复试验中恰发生k 次的概率（记在一次试验中事件A 发生地概率为p ）。②若ξ~) ,(p n B （ξ服从二项分布），记()k n k k n n q p C p n k b k p -==),;(，数学期望是：np E =ξ，方差是：npq D =ξ。 如（1）袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是_____（答：1 9）；（2）冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料， 取用甲种或乙种饮料的概率相等，则甲种饮料饮用完毕时乙种饮料还剩下3瓶的概率为____（答： 15128 ） ⑷①几何分布：在独立重复试验中，某事件A 第一次发生时所作试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散 型随机变量。②若ξ~)(p G （ξ服从几何分布），记 ()p q p k g k p k 1 );(-===ξ，数学期望是：p E 1= ξ， 方差是：2 p q D = ξ。 七、统计 66、总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图； （1）平均数（又称期望值）设数据n x x x x ，?,,,321，则①)(121n x x x n x +?++= ②设a x x -=1'1， a x x -=2' 2，………a x x n n -=',则a x x -=' ③n f f f x f x f x f n x i i i =+?+++?++= 212211],[1 （2）方差：衡量数据波动大小() () ???? ?? -+??+-= 2 2 121x x x x n S n （x x i -较小） ] [12 22 2 2 1 x n x x x n n -? ++ =（ 数 据较 小） ])()[(12 '' 2 '' 1x x x x n n -+??+-= ][12 '2'2'2 2'1 x n x x x n n -??++ = )(1 )(1 2 1 22 1 x n x n x x n n i i n i i -= -=∑∑==（数据较大） 2 S ---标准差。学会用修正的样本方差])() () [(1 12 2 22 12 *x x x x x x n S n -+???+-+--= 67、了解三种抽样的意义，理解样本频率分布的意义。 （Ⅰ）简单随机抽样：设一个总体的个数为N 。如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。实现简单随机抽样，常用抽签法和随机数表法。（Ⅱ）系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）。系统抽样的步骤可概括为：（1）将总体中的个体编号；（2）将整个的编号进行分段；（3）确定起始的个体编号；（4）抽取样本。（Ⅲ）分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层。 68、总体、个体、样本、样本容量;抽样方法：①简单随机抽样(包括随机数表法,抽签法)②分层抽样(用于个体有明显差异时)共同点：每个个体被抽到的概率都相等 n N 。如某中学有高一学生400人，高二学生 300人，高三学生300人，现通过分层抽样抽取一个容量为n 的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.2，则n= ___（答：200）； 69、总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，即用样本平均数估计总体 平均数（即总体期望值――描述一个总体的平均水平）直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距 的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率。样本平均数： ∑== +?+++= n i i n x n x x x x n x 1 3211)(1 样本方差： 2 222 121[()()()]n s x x x x x x n = -+-++- 2 1 1()n i i x x n == -∑＝ n 1(x 12 +x 22+ x 32+…+x n 2－n 2 x )方差和标 准差用来衡量一组数据的波动大小，数据方差越大，说明这组数据的波动越大。 x y O 提醒：若12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则12,,,n ax b ax b ax b +++ 的平均数为a x b +，方差 为22a s 。如数据n x x x ,,,21 的平均数5=x ，方差42=S ，则数据73,,73,7321+++n x x x 的平均数和 标准差分别为A ．15，36 B ．22，6 C ．15，6 D ．22，36 （答：B ） 70、正态分布：⑴正态分布概念：若连续型随机变量ξ的概率密度函数为R x e x f x ∈=-- ,21)(2 2 2)(σ μσ π， 其中,σμ为常数，且0σ>，则称ξ服从正态分布，简记为ξ～()2 ,N μσ。()f x 的图象称为正态曲线。 ⑵正态分布的期望与方差若ξ～()2 ,N μσ，则2 ,E D ξ μξσ== ⑶正态曲线的 ⑷在标准正态分布表中相应于0x 的值()0x Φ是指总体取值小于0x 的概率。即 ()()00x P x x Φ=< ⑸两个重要公式： ① ， ② ⑹()2 ,N μσ 与()0,1N 的关系： ①若ξ～()2 ,N μσ，则ξμησ -= ～()0,1N ，有()()000x P x F x μξσ-?? <==Φ ??? ②若ξ～()2 ,N μσ，则()211 2x x P x x x μμσσ--???? <<=Φ-Φ ? ????? ) (0x Φ()) ()(1221x x x x P Φ-Φ=<<ξ())(100x x -Φ-=Φ1x 2 x )(0x Φ) (10x -Φ- 【例1】以()x Φ表示标准正态总体在区间(),x -∞内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布()2 ,N μσ， 则概率()P ξμσ-<等于（ ） A.()()μσμσΦ+-Φ- B. ()()11Φ-Φ- C. 1μσ-?? Φ ??? D. ()2μσΦ+ 解析：考查()2 ,N μσ与()0,1N 的关系： 若ξ～()2 ,N μσ ，则()2112x x P x x x μμσσ--???? <<=Φ-Φ ? ????? 解：)(σμξ<-P =)(σμξσμ+<<-P =( σ μ σμ?-+-)( σ μ σμ?--=)1(?-)1(-?，答案为：B 【例2】设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N 已知()1.960.025Φ-=，则()1.96P ξ<= A. 0.025 B. 0.050 C. 0.950 D. 0.975 解法一：∵ξ～()0,1N ))()()()1.96.961.96 1.961.9 6121.960.950 ξ∴<=<< =Φ-Φ- =-Φ-= 解法二：因为曲线的对称轴是直线0x =，所以由图知 ()1.96P ξ>=()1.96P ξ≤-=()1.960.025Φ-=∴()1.96P ξ<=1-0.25-0.25=0.950 故答案为：C 【例3】已知随机变量ξ服从标准正态分布()2 2,N σ ，()40.84P ξ ≤= 则()0P ξ≤=（ ） A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84 解法一：∵()()422440.84P F ξσσ-???? ≤==Φ=Φ= ? ????? ()()02220010.16P F ξσσσ-?????? ∴≤==Φ=Φ-=-Φ= ? ? ??????? 。解法二：因为曲线的对称轴是直线2x =，所以由图知 ()0P ξ≤=()4P ξ>=1-()4P ξ≤=0.16，故答案为：A 练习1、设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=， 则()10P ξ-<<=（ ） A. 2 p B. 1p - C. 12p - D. 12 p - 71、线性回归直线方程a x b y ??+=，其中∑∑==---=n i i n i i i x x y y x x b 1 2 1 ) () )((?= 2 1 21x n x y x n y x n i i n i i i --∑∑== x b y a ??-=),(1 1 n y y n x x n i i n i i ∑ ∑=== =，),(y x 为样本中心点，回归直线必经过),(y x 。 72、⑴样本相关系数： ) )((2 1 2 2 1 2 1 y n y x n x y x n y x r n i i n i i n i i i ---=∑∑∑===，用它来衡量两个变量之间的线性相关程度，（Ⅰ） 当r ＞0时，表示两个变量正相关；当r ＜0时，表示两个变量负相关；（Ⅱ）r 越接近于1，表示线性相 关的程度越强； r 越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关关系；（Ⅲ）通常r ＞75.0时认 为两个变量之间有很强的线性相关关系。 ⑵相关指数：∑-=n i i y y R 2 2)(（有的用2k 来代替2R ）， 用来刻画回归效果，2 R 越大，意味着残差平方和∑=-n i i i y y 1 2)(（其中i y 表示i y 对线性回归方程的估计值） 越小，也就说明模型的拟合效果越好，在线性回归模型中，2R 表示解释变量对预报变量变化的贡献率。2R 越接近于1，表示回归的效果越好。（因为2R 越接近于1，表示解释变量和预报变量变化的线性相关性越强）⑶独立性检验：一般地，假设两个分类变量X 和Y ，它们的值域分别为{}21,x x 和{}21,y y ，其样本频数列联表（2×2列联表）为： 随机变量：) )()()(() (2 2 d b c a d c b a bc ad n K ++++-= ， 根据表中的数据利用公式) )()()(() (2 2 d b c a d c b a bc ad n K ++++-= 计算得到2K 的观测值k 首先、假设结论不成立，即0H ：X 和Y 没有关系； 2010年高考数学考前提醒100条 1. 注意区分集合中元素的形式：① {}x x y x -=2 |，②{ }x x y y -=2|，③{}x x y y x -=2 |),(，④{}02 =-x x ⑤ {}0|2 =-x x x 如⑴{|3}M x y x ==+， N ＝{ }2 |1,y y x x M =+∈，则M N =___（答：[1,)+∞） ；⑵{|(1,2)(3,4)} M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+，}R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--） 2. 遇到B A ?或 ?=B A 不要遗忘了?=A 的情况，如：⑴}0158|{2=+-=x x x A ，，}01|{=-=ax x B 若 A B ?，求实数a 的值.(不要遗忘a =0的情况)⑵}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值。（答：a ≤ 0） ⒊ ⑴{x|x=2n-1，n ∈Z}={x|x=2n+1，n ∈Z}={x|x=4n ±1，n ∈Z}⑵{x|x=2n-1，n ∈N}≠{x|x=2n+1，n ∈N} 4. C U (A ∩B)=C U A ∪C U B; C U (A ∪B)=C U A ∩C U B 5. A ∩B=A ?A ∪B=B ?A ?B ?C U B ?C U A ?A ∩C U B=??C U A ∪B=U ⒍ 原命题: p q ?;逆命题: q p ?;否命题: p q ???；逆否命题: q p ???；互为逆否的两个命题是等价的. 如：“βα sin sin ≠”是“β α≠”的 条件。（答：充分非必要条件） ⒎ 注意命题 p q ?的否定与它的否命题的区别: 命题p q ?的否定是p q ??；否命题是p q ??? 命题“p 或q ”的否定是“┐p 且┐q ”，“p 且q ”的否定是“┐p 或┐q ” ⒏ 注意下面几个命题的真假：⑴“一定是”的否定是“一定不是”（真）；⑵若|x|≤3，则x ≤3；（真）⑶若x+y ≠ 3，则x ≠1或y ≠2；（真）⑷若p 为lgx ≤1，则┐p 为lgx>1；（假）⑸若A={x|x ≠1}∪{y|y ≠2},B=(-∞,1)∪(1,2)∪(2,+∞),则A=B.(假) ⒐ 在映射f ：A →B 中满足两允许，两不允许：允许B 中有剩余元素，不允许中有剩余元素A ；允许多对一，不允许一对多. 10. ⑴A={(x,y)|x=a},B={(x,y)|y=f(x)},则A ∩B 中至多有一个元素;⑵若f(x)存在反函数,则方程f(x)=a 至多有一个实根. 11. 函数的几个重要性质：①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+，那么函数()x f y =的图象关 于直线a x =对称?()y f x a =+是偶函数； ②若都有()()x b f x a f +=-，那么函数()x f y =的图象关于直线2 b a x +=对称；函数()x a f y -=与函数()x b f y +=的图象关于直线2 b a x -= 对称；③函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称；函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称；函数()x f y =与函数()x f y --=的 图象关于坐标原点对称；④若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是增函数；若偶函 数 ()x f y =在区间()+∞,0上是增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是减函数； 12. 求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？ 13 函数与其反函数之间的一个有用的结论： ()().b f 1a b a f =?=-原函数与反函数图象的交点不全在y=x 上，如y=1+2x-x 2 （x ≥1）和其反函数图象的交点有3个：（1，2），（2，1），（ 2 51+， 2 5 1+）. 14 原函数 ()x f y =在区间[]a a ,-上单调递增，则一定存在反函数，且反函数()x f y 1-=也单调递增；但一个函数存在反函 数，此函数不一定单调． 15 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？奇偶性：f(x)是偶函数 ?f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数?f(-x)=-f(x); 高考考前数学120个提醒 一、集合与逻辑 1、（Ⅰ）区分集合中元素的形式：如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域； {}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，如（1）设集合{|3}M x y x ==+，集合N ＝ {}2 |1,y y x x M =+∈，则M N =___（答：[1,)+∞） ；（2）设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+，}R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--）（Ⅱ）（1） M ={}R a x ax y a 的定义域为)lg(2+-=，求M ；（2）N ={} R a x ax y a 的值域为)lg(2+-=。 解：（1）02 >+-a x ax 在R x ∈恒成立，①当0=a 时，0>-x 在R x ∈不恒成立；②当0≠a 时， 则???<->04102a a ??? ???>-<>21210a a a 或?21>a ∴M =??? ??+∞,21；（2）a x ax +-2能取遍所有的正实数。①当0=a 时，x -R ∈；②当0≠a 时，则???≥->04102a a ??????≤≤->212 10a a ?210≤c f ，求实数p 的取值范围。 （答：3 (3,)2 -） 4、充要条件与命题：（1）充要条件：①充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件。②必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件。③充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件。注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然。（2）四种命题：①原命题：p q ?；②逆命题：q p ?；③否命 题：p q ???；④逆否命题：q p ???；互为逆否的两个命题是等价的。 如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件。（答：充分非必要条件）（3）若p q ?且q p ≠；则p 是q 的充分非必要条件（或q 是p 的必要非充分条件）；（4）注意命题p q ?的否定与它的否命题的区别：① 命题p q ?的否定是p q ??；②否命题是p q ???；③命题“p 或q ”的否定是“┐P 且┐Q ”；④“p 且q ”的否定是“┐ P 或┐Q ”。（5）注意：如 “若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是“若a 和b 不都是偶数，则b a +是奇数”；否定是“若a 和b 都是偶数，则b a +是奇数”。 2019年高考数学考前3小时提醒 1、相信自己，相信我们平时的复习都是很全面、很扎实的！遇到设问新颖的试题，千万不要着急， 2、开考前5分钟，全面浏览一下试卷，做到心中有数儿，然后看选择题前5道和填空题前3道，争取口算、默算出结果或者找到思路、方法，开考铃声一响就能将这8道题秒杀！！！ 3、对于第8题、第14题，读完题能够有思路就做，最多给5分钟时间，还做不出结果，一定要先放弃！赶快做前三个解答。 4、第一题无论考什么类型的题，都是第一题的难度！ 5、三角函数热点公式：2222cos2cos sin 2cos 112sin θθθθθ=-=-=-，其变形： 21cos2sin 2θθ-=，21cos2cos 2 θθ+=；注意44sin cos θθ-和44sin cos θθ+的化简， 6、三角函数图象变换：sin 2sin(2)3x x π→-如何变换：沿x 轴向右平移6π个单位， 注意：“要得到········，只需将······平移······”注意“是由谁变到谁？” 7、基本不等式链： 2 min{,}max{,}112a b a b a b a b +≤≤≤≤≤+，知道其中一个的值，就可以求其它式子的范围或最值。但凡用到均值不等式求最值，一定要写“当且仅当·····”，包括解答题中！ 想到平面向量中的两个不等式式：||||||||||-≤±≤+a b a b a b （注意等号成立的条件！） ||||||||-?≤?≤?a b a b a b （数量积小于等于模之积）注意等号成立条件！ 8、遇到函数问题，先考虑定义域； 求极值、最值、零点问题，先利用导数分析函数的单调性！ 遇到不等式恒成立问题时，要先变形不等式，再设新函数，如果参变分离时就得讨论参数范围，还不如不参变分离； 遇到证明不等式，一定要先分析后构造：“要证·····，只需证····，只需证·····” 直到能轻松构造函数为止。 9、设直线y kx m =+时，要注意斜率不存在的情况，根据问题决定“先一般后特殊”还是“先特殊后一般”； 遇到动直线过x 轴上一点(,0)m 时，可以考虑设直线：“x h y m =+”，但是要思考该直线与 x 重合时的情形，看题目中有没有“不与x 轴重合”等字样，然后再思考“先一般后特殊”还是“先特殊后一般”； 10、立体几何的折叠问题：一定要注意：折叠前后的“变”与“不变”都哪些位置关系和数量关系；注意求“直线与平面所成角的正弦时，要先设线面角为θ，然后有 s i n |c o s ,||||| A B n A B n A B n θ?=??=?” 对于应用题、数学文化题、创新题，一定要读题三遍！！！ 注意：做选择题的方法与技巧：排除法、特殊值特殊图形法、代入检验法！！！ 祝你成功！轻松突破130分！加油！优秀的经纶毕业生！！！高三数学高考考前提醒100条
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2014届江苏高考数学考前指导卷(1)(含答案)