第一章 行列式
线性方程组的求解是线性代数的一个重要课题。行列式是由研究线性方程组产生的，它是一个重要的数学工具，它在数学及其他学科中都有着广泛的应用。
本章的教学基本要求：了解行列式的定义和性质，掌握利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的方法，会计算简单的n 阶行列式。理解和掌握克拉默（Cramer ）法则。
本章的重点及难点：利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的值，主要是三阶、四阶行列式的计算；利用克拉默法则求解线性方程组。
§ 1 二阶、三阶行列式
一、内容提要 1．二阶行列式的定义
2112221122
2112
11
a a a a a a a a -= 其中ij a 称为行列式的元素，ij a 的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下标称为行标，表明该元素位于第i 行；第二个下标称为列标，表明该元素位于第j 列。
二阶行列式中，等式右端的表达式又称为行列式的展开式，二阶行列式的展开式可以用所谓对角线法则得到，即：
21
11 a a -+
2212a a =21122211a a a a -
其中，实线上两个元素的乘积带正号，虚线上两个元素的乘积带负号，所得两项的代数和就是二阶行列式的展开式。
2．三阶行列式的定义
33
323123222113
1211a a a a a a a a a 322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++= 三阶行列式的展开式也可以用对角线法则得到，三阶行列式的对角线法则如下图所示：
+
- 3332
31
23
2221
131211a a a a a a a a a
其中每一条实线上三个元素的乘积带正号，每一条虚线上三个元素的乘积带负号，所得
六项的代数和就是三阶行列式的展开式。
二、例题分析
例1 求解二元线性方程组
???=+=+342
2321
21x x x x
解： 由于系数行列式 4
12
3=
D 0101243≠=?-?= 232424
32
21=?-?==
D ， 71233312
32=?-?==
D 所以方程组有唯一解为： 2.011==D D
x ， 7.022==D
D x 。
例2 计算行列式 2
524313
21-=D
解 5412)1(22335)1(3242231??-?-?-??-?-?+??+??=D 27-= 例3 计算行列式
22
12
11
10
a a a D =
；33232213
1211
20
00a a a a a a D =； 22
21
11
30
a a a D =
； 33
3231222111
4000a a a a a a D = 解： 由对角线法则有： 22111a a D = ；3322112a a a D =； 22113a a D = ；3322114a a a D =
特别地:
221122
11
a a a a = ； 33221133
2211
0000
0a a a a a a = 三、小结
对角线法则只适用与二阶与三阶行列式的计算。 由例3得结论：
（1）上（下）三角行列式等于主对角线上元素的乘积。 （2）对角行列式等于主对角线上元素的乘积。
§ 2 全排列及其逆序数
一、内容提要
排列 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列，简称排列.n 个不同元素的所有排列的种数，通常用n P 表示.
!n P n =。
逆序 在一个排列n t s p p p p p 21 中，若t s p p >，则称这两个数组成一个逆序. 排列n p p p 21 中，所有逆序的总数称为此排列的逆序数。记为) (21n p p p τ。 排列n p p p 21 中，考虑元素),,2,1( n i p i =，如果比i p 大的且排在i p 前面的元素有i
t 个，则称元素i p 的逆序数是i t 。记为i i t p =)(τ。
奇排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列。
偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列。
特别地，标准排列1，2，···，n 的逆序数0)123(=n τ。 规定，标准排列是偶排列。 二、例题分析
排列n p p p 21 中，考虑比),,2,1( n i p i =大，且排在i p 前面的元素的个数，就可以排列的逆序数。即
=) (21n p p p τ（1p 前面比1p 大的数的个数）+（2p 前面比2p 大的数的个数）+ ···
··· + （n p 前面比n p 大的数的个数）
)()()(21n p p p τττ+++= ；
同样，考虑比)1,,2,1( -=n i p i 小，且排在i p 后面的元素的个数，就可以排列的逆序数。即
=) (21n p p p τ（1p 后面比1p 小的数的个数）+（2p 后面比2p 小的数的个数）+ ···
··· + （1-n p 后面比1-n p 小的数的个数）。例4 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。
（1）5 3 2 1 4； （2）n (n –1) ···2 1； （3）(2k ) 1 (2k –1) 2 (2k –2) 3 (2k –3) ··· ( k +1) k 。 解：（1）5 3 2 1 4
0)5(=τ，1)3(=τ，2)2(=τ，3)1(=τ，1)4(=τ。
因此，713210)53214
(=++++=τ。此排列为奇排列。 （2）n (n –1) ···2 1
0)(=n τ，1)1(=-n τ，2)2(=-n τ，···，3)3(-=n τ，2)2(-=n τ，1)1(-=n τ。
因此，2
)
1()1()2(210]321)2)(1([-=-+-++++=--n n n n n n n τ。 当14 ,4+=k k n 时，排列为偶排列；
当34 ,24++=k k n 时，排列为奇排列。 （3）(2k ) 1 (2k –1) 2 (2k –2) 3 (2k –3) ··· ( k +1) k
0)2(=k τ， 1)1(=τ， 1)12(=-k τ，
2)2(=τ， 2)22(=-k τ，
······， ······，
1)1(-=-k k τ， 1)1(-=+k k τ， k k =)(τ。
因此，])1()22(2)12(1)2[(k k k k k +-- τk k +-++++=)]1(21[20
22
)
1(2k k k k =+-?
=。 当k 为偶数时，排列为偶排列； 当k 为奇数时，排列为奇排列。
例5 设n p p p 21 的逆序数为k ，问排列121 p p p p n n -的逆序数是多少？
解：若在排列n p p p 21 中，i p 后面比i p 小的数共有i k 个)1,,2,1(-=n i ，则在排列
121 p p p p n n -中，i p 前面的数共有i n -个，i p 前面比i p 大的数共有i k i n --)(个)1,,2,1(-=n i 。由已知有
k k k k n =+++-121 。 所以排列121 p p p p n n -的逆序数为
})]1({[])2[(])1[(121----++--+--n k n n k n k n k n n k k k n n n --=+++--=-2
)1()(2)1(121 。
三、小结
求排列n p p p 21的逆序数的方法：
（1）=) (21n p p p τ（1p 前面比1p 大的数的个数）+（2p 前面比2p 大的数的个数）+ ···
··· + （n p 前面比n p 大的数的个数）
)()()(21n p p p τττ+++= ；
（2）=) (21n p p p τ（1p 后面比1p 小的数的个数）+（2p 后面比2p 小的数的个数）+ ···
··· + （1-n p 后面比1-n p 小的数的个数）。
§ 3 n 阶行列式的定义
一、内容提要
由n 2个元素),,2,1,( n j i a ij =组成的记号
nn
n n n
n a a a a a a a a a D
21
2222111211
=
称为n 阶行列式。其值等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和，各项的符号是：当这一项中的n 个元素的行标排成标准排列后，若对应的列标构成的排列为偶数，则取正号；若对应的列标构成的排列为奇数，则取负号，即
∑-==
n
n n p p p np p p p p p nn
n n n
n
a a a a a a a a a a a a D
21212121)
(21
2222111211)1(τ
。
行列式简记为)(det ij a 。
一阶行列式为a a =。
n 阶行列式中，等式右端的表达式又称为行列式的展开式， 二、例题分析
例6 判别665642312314a a a a a a 和665143241532a a a a a a -是否为六阶行列式中的项。 分析：判别是否为n 阶行列式中的项，要考虑： （1）n 个元素是否位于不同行，不同列； （2）确定其符号。
解： 665642312314a a a a a a 不是六阶行列式中的项。 这是因为，56a 与66a 都位于第6列。
665143211532a a a a a a -是六阶行列式中的项。
首先，665143241532a a a a a a -中的6个元素位于不同行，不同列；再有，
665143322415665143241532a a a a a a a a a a a a -=-。
确定其符号：9)542316()(621==ττp p p ，因此，应带负号。
N 阶行列式的展开式是n !项的代数和，每项都是位于不同行不同列的n 个元素的乘积。因此，对于含零元素较多的行列式，可直接用定义计算。但对于一般性的行列式，常用后面将要学到的性质与定理进行简化计算。
对于含零元素较多的行列式，用定义计算时，只需求出所有非零项，并进行代数和即可。
例7 计算行列式 0
00400300200
1000=
D 。 解：这是一个4阶行列式。其展开式中项的一般形式为432143214321)()1(p p p p p p p p a a a a τ-。 若41≠p ，则011=p a ，从而043214321=p p p p a a a a 。所以，只有43243214p p p a a a a 才可能不为零。
同理，要使043243214≠p p p a a a a ，必须32=p ，23=p ，14=p 。 即行列式的展开式中不为零的项仅为41322314)4321()1(a a a a τ-。因此，
004
00300
2001000=
D 244321)1()1(641322314)4321(=????-=-=a a a a τ。 例8 计算行列式
1998
0000
00199700200
01000
=
D 。
解：这是一个1998阶行列式。
显然，在所有取自不同行不同列的1998个元素乘积199821199821p p p a a a 中，只有
01998 19981 19971996 21997 1≠a a a a
因此， 1998
0000
00199700200
01000
=
D
1998 19981 19971996 21997 1)1998 1 21997()1(a a a a τ-=
! 19981998199721)1(01996210=???-=++++ 。 例9 利用行列式定义，证明
01
222
122
21≠ 。
证：由行列式定义知其值是n !项的代数和，每项是不同行不同列的n 个元素的积。上述行列式中，除主对角元素乘积一项是奇数1外，其余各项（共n ! -1项）的每项中至少有一个2，故均是偶数。n ! –1个偶数之代数和仍是偶数。再和1相加，不可能是零。因此
01
222
122
21≠ 。 三、小结
1．行列式的实质是一种特定的算式，计算结果是一个数；
2．n 阶行列式的展开式是n !项的代数和，每项都是位于不同行不同列的n 个元素的乘积； 3．n np p p a a a 2121项前面的符号为)(21)1(n p p p τ-；
4．对角线法则不适用于四阶及四阶以上的行列式展开式； 5．几个常用行列式结果：
（1）
nn nn
n n a a a a a a a a a
221121
222111
=，
（2）
n n
λλλλλλ
212
1
=，
（3）
n n n n
λλλλλλ
212
)1(2
1
)1(--=
。
§ 4 对 换
一、内容提要
在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。
定理1 一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。
定理2 n 阶行列式也可定义为
∑-==
n
n n p p p n p p p p p p τnn
n n n
n
a a a )
(a a a a a a a a a D
21212121)
(21
22221112111。
二、小结
行列式的两种定义，
∑
-=
n
n n p p p np p p p p p a a a D 21212121)()1(τ
∑-=
n
n n p p p n p p p p p p τa a a )
( 21212121)
(1。
行列式更一般的定义为 ∑-=
n n q p q p q p t
a a a
D 2211)1(。
其中 )()(2121n n q q q p p p t ττ+=。
§ 5 行列式的性质
一、 内容提要 1．性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等，即T D D =。 性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。
以i r 表示行列式的第i 行，以i c 表示第i 列。
互换第i 行与第j 行，记作j i r r ?；互换第i 列与第j 列，记作j i c c ?。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则行列式为零。
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘以此行列式。
即 nn
n n in i i n nn
n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a 212111************ =，
或
nn
ni
n n
i n
i nn
ni
n n i n i
a a a a a a a a a k a ka a a ka a a ka a 12221
1111122211111 =。 第i 行乘以k ，记作k r i ?；第i 列乘以k ，记作k c i ?。
推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 第i 行提出公因子k ，记作k r i ÷；第i 列提出公因子k ，记作k c i ÷。 性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。
性质5 如果行列式的某一列（行）元素都是两数之和，例如第i 列的元素都是两数之和：
nn
nj nj
n n
j j
n
j j
a a a a a a a a a a a a D
'+'+'+=
12222111111， 则D 等于下列两个行列式之和
nn
nj n n
j n j nn nj
n n j n j
a a a a a a a a a a a a a a a a a a D
'''+=
122
211111122211111 。 如果第i 行的元素都是两数之和：
nn n n in
in i i i i n a a a a a a a a a a a a D
2
1
221
111211
'+'+'+=， 则D 等于下列两个行列式之和
nn
n n in i i n
nn n n in i i n
a a a a a a a a a a a a a a a a a a D
21
21
1121121
21
112
11 '''+=。 性质6 把行列式的某一列（行）各元素乘以同一数，然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。
例如，以数k 乘第i 列加到第j 列（记作j i kc c +）有
nn
nj
ni n n j
i n
j i a a a a a a a a a a a a D 12222111111=
nn
nj nj
ni n n
j
j i n j j i a a ka a a a a ka a a a a ka a a j i kc c
++++1222221111111
以数k 乘第i 行加到第j 行（记作j i kr r +）有
nn
n n jn j ji in i i n
a a a a a a a a a a a a D
21
221
11211=nn
n n jn
j j jn
in j i j i n a a a a a a ka a ka a ka a a a a j i kr r
2
1
21
2
21
111211 ++++。
2．常用结论：
如果 nn
n nk
n n k kk
k k
b b
c c b b c c a a a a D 1111111111110
=
， kk k k a a a a D 11111=， nn
n n
b b b b D 11112=。
则，21D D D = 常记为
B A B
*
A ?=0
。
二、例题分析
例10 计算上三角行列式（主对角线以下元素全为0）
nn
n n a a a a a a D
22211211=
解： 利用性质1，得
nn nn
n n
T a a a a a a a a a D D 22112122
1211
==
=。
例11 计算 9
87687655432
4321=
D 。 解 09
876128403
210432198
76
87655432
432113 125 2 =------=
--r r r r D 。
（第二、三行元素成比例）
例12 计算 3
323133222123
12111111111111y x y x y x y x y x y x y x y x y x D +++++++++=。
解：由性质5有 3
323133222123
12111332332223121111111111111111y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x D +++++++++++++=
右边第一个行列式中，第一列乘1-加到第2、3列；在第二个行列式的第一列中提出1y 得
33233322223121113323322
2312
1111111111y x y x x y x y x x y x y x x y y x y x y x y x y x y x D +++++++= 00011111
1111321133
22
11
32=+=+=x x x y x x x x x x y y 。 例13 计算 0
00000052
51
42413231
2524232221
1514131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =。
分析：首先，利用性质将行列式化为
B
*A 0
型，再利用B A B *A ?=0求出结果。
解：0
00000052
51
42413231
2524232221
1514131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =0
000000 1)(52
51
25242322211514131211
4241
3231
114
2 31 a a a a a a a a a a a a a a a a r r r r +-??
000
0042
41
32
31
25242315
1413
42
41
32
31
=?=?=
a a a a a a a a a a a a a a 。 三、小结
（1）行列式的六个性质、两个推论是计算行列式的理论保证，要尽快熟练掌握它们。 （2）B A B
*
A ?=0
。
§ 6 行列式按行（列）展开
一、内容提要
在n 阶行列式中，划去ij a 所在的第i 行和第j 列的元素，剩余的元素按原有次序构成的
1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M 。
ij j i ij M A +-=)(1称为ij a 的代数余子式。
定理3 n 阶行列式)det(ij a D =等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式
乘积之和，即 ),...,2,1(
...2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++=； 或 ),...,2,1( ...2211n j A a A a A a D nj nj j j j j =+++=。
推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素代数余子式乘积之和等于 零。即 )( 022111
j i A a A a A a A a
jn in j i j i n
k jk ik ≠=+++=∑= ， 或
)( 022111
j i A a A a A a A a
nj ni j i j i n k kj
ki ≠=+++=∑= 。
综合定理及推论，有展开式
??
?≠===∑
=j i j i D D A a ij n
k jk ik , 0 ,
1
δ 或 ??
?≠===∑
=j i j i D D A a ij n
k kj ki , 0 ,
1
δ 其中 ???≠==.
, 0,
, 1j i j i ij 当当δ
二、例题分析
在实际计算时，直接用定理展开行列式，通常并不能减少计算量，除非行列式中某一行（列）含有较多的0元素。因此，在具体计算时，我们总是先运用行列式的性质，将某一行（列）元素尽可能多地化为0，然后再利用定理，按该行（列）展开。
例14 计算行列式
4
32114322143
3214=
D 。 解：
432101431021410321
104321143221433214 4321 c c c c D +++=4
32114312141
321
110 10 1?
÷c 1
110
222011303211
101
4
131
2 ---?---r r r r r r 1
112221
13)1(11011
1 ----??+列展开按第
1
114000
041032
312 -?-+r r r r 1601
14
0)1(410 11 1 =--??+行展开按第. 下面通过例题介绍利用性质、定理计算行列式的几种常用方法。 1．化为上三角行列式法
利用性质，把行列式化为上三角行列式，是计算行列式的基本方法。 例15 计算行列式
2
421164214112111
-----=D
解： 350034200
5102111
0510
34203500
2
111
)(1(22
4214 1
31
2 2 -----
----?--+a r r r r r r r r D 选列）
化第
3
500
31400
0510
2
111
(232-----
-化第二列）r r 14
57000
314000
5102111(
145 34----
-化第三列）r r
5714
57
)14(11)1(=?
-???-= 在化为上三角行列式时，要从第一列开始，一列一列进行。在化第i 列时，利用性质2选择好ii a ，以便化ij a （i j >）为0时，尽量避免出现分数，减少计算量。
例16 计算 0
11012111031
4103=
D 解： 011012114103
1
031
21 -?r r D
1
1002201190103113
123 ---
--r r r r
110
22009110
3011
42 --?c c 2
00
011009
110
3
01123
43 2 --?-÷r r r = 4
观察行列式，抓住其特点，是快速准确计算行列式的第一保证。
例17 计算 3
11113111131
1113=
D 分析： 这个行列式有一个特点，各列4个数之和都是6。因此，把第2、3、4行都加到第一行，提出公因子6，然后再化简：
解： 3
111131111311111 6 3111
13111131
6
666
6 14321?÷+++r r r r r D
2
002000
0201111 6 1
4131
2?---r r r r r r = 48。 例18 计算 n
n a a a D +++=
11
1
11111121
，其中021≠n a a a 。
解：从第1行到第n 行，依次提出公因子n a a a , , ,21 ，得
n
n
n
n n a a a a a a a a a a a a D 111
111
11111122211121+
++
?
=
n
n n
n
i i n n
i a a a a a a a a a a i
n a
r r r r 1111
1111
111
11)
(22
21
211
11 1
21+
+????? ??
+?÷∑
∑==+
+++
1
00010111
11
1
21,3,21
1
????? ??
+
∑
==-
n
i i n a a a a n
i r a r i i ???
? ?
?
+
=∑
=n
i i n a a a a 1
2111 。 2．拆分法
根据行列式的特点，利用性质5将行列式进行拆分计算。
例19 证明：y
x z x z y
z y
x
b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++。 证：左边bz
ay by ax bx by ax bx az bz bx az bz ay by bz ay by ax az by ax bx az ay bx az bz ay ax +++++++++++++拆分
列
按第1
bz
ay by bx by ax bx bz bx
az bz by bz ay ax bx by ax az bz bx az ay by bz ay by az by ax bx ay bx az bz ax bz ay ax az by ax az ay bx az ay ax +++++++++++++++列拆分
各自按第
2
+++++ay
ax bx ax az bz az
ay by bz by az by bx ay bx bz ax ay by az ax bx ay az bz ax bz ax az by az ay bx ay ax ay ax az ax az ay az ay ax 列拆分
各自按第
3
bz
by bx by bx bz bx
bz by ay by bx ax bx bz az bz by bz ax bx by az bz bx ay by +++
bz by bx by bx bz bx bz by ay ax az ax az ay az ay ax +++++++=000000 z
y x
y x z x z y b y x
z
x z y
z y x a 33+= x z y y x z z y x b y x z
x z y
z y
x
a r r ?-?+?)1(33
3
12式：个行列对第 y
x z x z y z y x b y x z
x z y
z y x a r r ?-?+?233)1(3
22式：个行列
对第 右边=?+=y
x z
x z y
z
y x
b a )(33. 例20 计算行列式 n
x x x n x x x n x x x D n n n n +++++++++=
212121
222111。
解：按第1列拆分，
n x x n
x x n
x x n
x x x n x x x n x x x D n n n n n
n +++++++++++++=
2121212222211222111
n
n n
x x x x x x n
x n x n
x n k kc c n k c c k k
111222 2
21
12
1
),3,2(2
),3,2(1 11+=-=-个行列式：第个行列式：第
000=+=。
3．递推公式法
有时，根据行列式的特点，得到递推公式，计算出行列式。
例21 计算 2
1
121
12
1
121
12
=
n D
解： 按第一列展开，得
2
1
121
12
1
12
101)1(2211
?
-+=+-n n D D
将右端第二项的行列式按第一行展开，得
212---=n n n D D D
即 211----=-n n n n D D D D 由此递推得 211----=-n n n n D D D D
于是 211----=-n n n n D D D D 1231232=-=-==-=--D D D D n n 从而 111)1(1121+=-+==++=+=--n n D D D D n n n
4．数学归纳法
数学归纳法也是计算行列式的常用方法。 例22 证明行列式
b a b
a b a b
a b a ab b a ab b a D n n n ≠--=++++=++，1
1 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0
0 0 。
证：对阶数n 使用数学归纳法。
当1=n 时，b
a b a b a D --=+=2
21，故结论成立。
假设结论对1-≤n 的自然数都成立，下面要证对n 也成立。为此将n D 按第1列展开，
得
b
a a
b b a ab b
a b a ab b a b a D n ++-
+++?+= 1 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 )(
上式右端的第1个行列式为1-n D ，而第2个行列式按第1行展开其值为2-n abD ，所以有 21)(---+=n n n abD D b a D
b
a b a ab b a b a b a n n n n --?---?+=--1
1)(
b
a a
b b a b a b ba ab a n n n n n n -----+-=++11
b
a b a n n --=++11。
计算行列式要充分利用已知结果。
例23 计算行列式1
1
1
1)()1()()1(1
111
n a a a
n a a a n a a a D n n n n n n n ------=---+ 解：从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)
1(1)1(+=
++-+n n n n 次行交换，得 n
n n n n n n n n n a a a n a a a n a a a D )()1()()1(1111)
1(1112)1(1
-------=---++ 此行列式为范德蒙德行列式
∏≥>≥++++--+--=
1
12)
1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D
∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-?-?-=---=
1
12
1
)1(2
)1(1
12
)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i
∏≥>≥+-=
1
1)(j i n j i
计算行列式，还应多进行一题多解。
例24 证明：1
2
21
10
000010
00
01a x a a a a x
x x D n n n
n +---=--
n n n n a x a x a x ++++=--111 。
解法1：用数学归纳法证明
.,1
,22121
22命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-=
= 假设对于)1(-n 阶行列式命题成立.
即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D
:1列展开按第则n D
1
110
01
0001)1(1
1----+=+-x x a xD D n n n n
右边=+=-n n a xD 1
所以，对于n 阶行列式命题成立.
解法2：用递推法。 将n D 按第1列展开，得
1
11
123211 0 0 0
0 1
0 0 0 1 )1( 1
0 0 0 0
0 1 0
0 0 0 1 -+--------++---?=n n
n n n n n n x x a x a a a a a x x x x D
1-+=n n xD a 由此得递推公式： 1-+=n n n xD a D 。于是，
)(211---++=+=n n n n n n xD a x a xD a D
221--++=n n n D x xa a 33221---+++=n n n n D x a x xa a
11221D x a x xa a n n n n ---++++= )(11221x a x a x xa a n n n n +++++=--- n n n n n x a x a x xa a +++++=---11221 。
解法3：
x
a x x a a a a a a x x D n n n n
n n xc c +++------+-1212321 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 0 1 x 0 0 0 0 0 1 1
x
a b b b b n n n xc c xc c xc c n n n n +-------+++----11321 1
0 0 0 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 2
12312 .,,11111212122121n n n n n n n n n n x x a x a a b x x a x a a b x x a a b ++++=++++=++=-------- 其中，
1
0 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0
0 0 0 1 )1()(1111
1 -----?+++++--
n n n n n x x a x a a 列展开按第
n n n n x x a x a a ++++=--111 .
解法4：将行列式按第n 行展开也可以，读者自己试一试。 三、小结
行列式的计算方法灵活多样，技巧性强，前面所举例子的解法只是众多方法中的几种。读者可以想象并总结出另一些方法和技巧进行计算，并比较各种作法的繁简，逐步提高计算能力。
*补充 拉普拉斯（Laplace ）定理
§6中的按行（列）展开定理只是把行列式按某一行（列）展开，下面再把它推广到按k 行（k 列）展开。首先应把元素的余子式和代数余子式的概念加以推广。
定义 在n 阶行列式中，任取k 行)(21k i i i <<< 与k 列)(21k j j j <<< ，将这些行与列相交处的元素按原来相对位置构成的k 阶行列式
k
k k k k
k
j i j i j i j i j i j i j i j i j i a a a a a a a a a 212221212111, 称为该行列式的一个k 阶子式，记为N 。划去这些行和列后所剩下的元素依原次序构成的一个k n -阶子式，称为N 的余子式，记为M 。称M A k k j j i i ?-=+++++ 11)1(为N 的代数余子式。
例如，对四阶行列式 0
514
12011120
4531
=
D
线性代数超强总结 ()0A r A n A Ax A A οο??
√ 行列式的计算： ① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 (1)mn A A A A B B B B A A B B οο οοο * = = =* *=- ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. ③关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 (1) n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a ο οο ---* = =-K N N √ 逆矩阵的求法: ①1 A A A * -= ②1()()A E E A -????→M M 初等行变换 ③11a b d b c d c a ad bc --???? =????--???? T T T T T A B A C C D B D ?? ??=???????? ④1 2 11 11 2 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? O O 2 1 1 1 12 1 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ?????????? N N
线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解
（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A
线性代数知识点总结 第一章 行列式 1. n 阶行列式()() 12 1212 11121212221212 1= = -∑ n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式 () () 1112 11222211221122010 n t n n nn nn nn a a a a a D a a a a a a a = =-= 1 2 12 n n λλλλλλ=， () ()1 12 2 121n n n n λλλλλλ-=- 3.行列式的性质 定义 记 11121212221 2 n n n n nn a a a a a a D a a a =，11211 1222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = ，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行() ?i j r r 或列() ?i j c c ，行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。 性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111212222212 () ()()i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222221222212 12 i n i n i n i n n n ni nn n n ni nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+ ' 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，
线性代数公式 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 8. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；
行列式 1.为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展， 它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2.《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3.《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4.如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做 练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联 系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的 概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5.什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,…，n组成的一个有序数组。 6.什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123, n。 7.什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3 ,数4与1,数4与2 ,数5与3,数5与1 ,数5与2, 数3与1,数3与2都构成逆序。数4与5,数1与2不构成逆序。 & 什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312 的逆序数为8。 9.什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。
线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D '
3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩
√ 关于12,,,n e e e ???： ①称为 n 的标准基， n 中的自然基，单位坐标向量； ②12,,,n e e e ???线性无关； ③12,,,1n e e e ???=； ④tr()=E n ； ⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ???线性表示. √ 行列式的计算： ① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 (1)mn A A A A B B B B A A B B οο οοο * = = =* *=- ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. ③关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 (1) n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a ο οο ---* = =- √ 逆矩阵的求法: ①1 A A A * -= ②1()()A E E A -???? →初等行变换 ③11a b d b c d c a ad bc --???? =????--???? T T T T T A B A C C D B D ?? ??=???????? ④1 2 11 11 2 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? 2 1 1 1 12 1 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ??????????
⑤1 1111 2 21n n A A A A A A ----???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? 1 112 1 211 n n A A A A A A ----? ? ? ????? ? ???=???? ???? ?????? √ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A = √ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++ ++，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++ ++为A 的一个多项式. √ 设,,m n n s A B ??A 的列向量为12,,,n ααα???,B 的列向量为12,,,s βββ???，AB 的列向量为 12,, ,s r r r , 1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,) ,(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==???=?? ==++?? ???则：即 用中简 若则 单的一个提 即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘, 与分块对角阵相乘类似,即：11 11 22 22 ,kk kk A B A B A B A B οοο ο ?? ?? ? ??? ? ???==???????????? √ 矩阵方程的解法：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时, √ Ax ο=和Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）,则： ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系. √ 判断12,, ,s ηηη是0Ax =的基础解系的条件：
大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列)互换,行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列)对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列）,等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行（列)可加性 ⑤将行列式某一行(列）的k 倍加到另一行（列)上,值不变 行列式依行(列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j D D x j j ??== 、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解,则Ｄ等于零 特殊行列式: ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式：33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式
行列式 1．为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2．《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3．《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4．如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5．什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,… ,n 组成的一个有序数组。 6．什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123…n。 7．什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3，数4与1，数4与2，数5与3，数5与1，数5与2，数3与1，数3与2都构成逆序。数4与5，数1与2不构成逆序。 8．什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312的逆序数为8。 9．什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。 答：逆序数为奇数的排列叫奇排列；逆序数为偶数的排列叫偶排列。例如：排列45312为偶排列。 10．对换一个排列中的任意两个数，该排列的奇偶性有什么变化？【知识点】：排列的对换对排列的奇偶性的影响。 答：对换一个排列中的任意两个数，奇排列就变成偶排列，偶排列就变成奇排列。例如：偶排列45312对换4与3，则变成排列35412，它的逆序数为7，排列35412是奇排列。 11．任一个n阶排列与标准排列可以互变吗？【知识点】：n阶排列与标准排列的关系。 答：可经过一系列对换互变。且所做对换的次数与排列具有相同的奇偶性。例如：排列32541的逆序数是6，因而是偶排列，它经过2次对换：3与1对换后变为12543，再对换5
线性代数公式总结
()0A r A n A Ax A A οο??
③11a b d b c d c a ad bc --???? =????--???? T T T T T A B A C C D B D ?? ??=???????? ④1 2 11 11 2 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? 2 1 1 1 12 1 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ????????? ? ⑤1 11 11 2 21n n A A A A A A ----???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? 1 112 1 211 n n A A A A A A ----? ? ? ????? ? ???=??? ? ???? ????? ? √ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A = √ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++ ++，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++ ++为A 的一个多项式. √ 设,,m n n s A B ??A 的列向量为12,,,n ααα???,B 的列向量为12,,,s βββ???，AB 的列向量为 12,, ,s r r r , 1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,) ,(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==???=?? ==++?? ???则：即 用中简 若则 单的一个提 即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘, 与分块对角阵相乘类似,即：11 11 22 22 ,kk kk A B A B A B A B οοοο ?? ?? ? ??? ? ???==???????????? 11112222 kk kk A B A B AB A B ο ο ????? ?=????? ?
线性代数学习心得体会 篇一：学习线性代数的心得体会 学习线性代数的心得体会 线代课本的前言上就说：“在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛的数学学科了。”我们的线代教学的一个很大的问题就是对线性代数的应用涉及太少，课本上涉及最多的只能算解线性方程组了，但这只是线性代数很初级的应用。我自己对线性代数的应用了解的也不多。但是，线性代数在计算机数据结构、算法、密码学、对策论等等中都有着相当大的作用。 线性代数被不少同学称为“天书”，足见这门课给同学们造成的困难。在这门课的学习过程中，很多同学遇到了上课听不懂，一上课就想睡觉，公式定理理解不了，知道了知识但不会做题，记不住等问题。我认为，每门课程都是有章可循的，线性代也不例外，只要有正确的方法，再加上自己的努力，就可以学好它。 线代是一门比较费脑子的课，所以如果前一天晚上睡得太晚第二天早上的线代课就会变成“催眠课”。那么，就应该在第二天有线代课时晚上睡得早一点。如果你觉得上课跟不上老师的思路那么请预习。这个预习也有学问，预习时要“把更多的麻烦留给自己”，即遇到公式、定理、结论马上把证明部分盖住，自己试着证一下，可以不用写详细的过程，
想一下思路即可；还要多猜猜预习的部分会有什么公式、定理、结论；还要想一想预习的内容能应用到什么领域。当然，这对一些同学有困难，可以根据个人的实际情况适当调整，但要尽量多地自己思考。 一定要重视上课听讲，不能使线代的学习退化为自学。上课时干别的会受到老师讲课的影响，那为什么不利用好这一小时四十分钟呢？上课时，老师的一句话就可能使你豁然开朗，就可能改变你的学习方法甚至改变你的一生。上课时一定要“虚心”，即使老师讲的某个题自 己会做也要听一下老师的思路。 上完课后不少同学喜欢把上课的内容看一遍再做作业。实际上应该先试着做题，不会时看书后或做完后看书。这样，作业可以帮你回忆老师讲的内容，重要的是这些内容是自己回忆起来的，这样能记得更牢，而且可以通过作业发现自己哪些部分还没掌握好。作业尽量在上课的当天或第二天做，这样能减少遗忘给做作业造成的困难。做作业时遇到不会的题可以 问别人或参考同学的解答，但一定要真正理解别人的思路，绝对不能不弄清楚别人怎么做就照抄。适当多做些题对学习是有帮助的。。 线性代数的许多公式定理难理解，但一定要理解这些东西才能记得牢，理解不需要知道它的证明过程的每一步，只
线性代数总结归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
行列式 1．为何要学习《线性代数》 学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2．《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3．《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4．如何学习《线性代数》 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5．什么是一个n阶全排列【 知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,… ,n 组成的一个有序数组。 6．什么是标准排列【 知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123…n。 7．什么是n阶全排列的逆序【 知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3，数4与1，数4与2，数5与3，数5与1，数5与2，数3与1，数3与2都构成逆序。数4与5，数1与2不构成逆序。 8．什么是n阶排列的逆序数【 知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312的逆序数为8。 9．什么是奇排列和偶排列【
《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A| 3．矩阵的秩 （1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。 求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4．逆矩阵 （1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）； （2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）
《线性代数》知识点归纳整理诚毅 学生编 01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 - 02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 - 03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 - 04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 - 05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 - 06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 - 07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 - 08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 - 09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 - 10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 - 11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 - 12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 - 13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 - 14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 - 15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 - 16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 - 17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 - 18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 - 19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 - 20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 - 21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 - 22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 - 23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 - 24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 - 25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 - 26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 - 28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 - 29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 - 31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 12 - 32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 - 33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 12 -