2010年数学建模赛区A题一等奖论文6

储油罐的变位识别与罐容表标定的计算方法

摘 要

本文针对储油罐的变位识别与罐容表标定的计算方法问题，运用二重积分法和最小二乘法建立了储油罐的变位识别与罐容表标定的计算模型，分别对三种不同变位情况推导出的油位计所测油位高度与实际罐容量的数学模型，运用matlab 软件编程得出合理的结论，最终对模型的结果做出了误差分析。

针对问题一要求依据图4及附表1建立积分数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。我们作图分析出实验储油罐出现纵向倾斜时存在三种不同的可能情况，即储油罐中储油量较少、储油量一般、储油量较多的情况。针对于每种情况我们都利用了高等数学求容积的知识，以倾斜变位后油位计所测实际油位高度为积分变量，进行两次积分运算，运用MATLAB 软件推导出了所测油位高度与实际罐容量的关系式。并且给出了罐体倾斜变位后油位高度间隔为1cm 的罐容标定值（见表1），最后我们对倾斜变位前后的罐容标定值残差进行分析，得到样本方差为，这充分说明残差波动不大。我们得出结论：罐体倾斜变位后，在同一油位条件下倾斜变位后罐容量比变位前罐容量少。

o 14.4103878.2?×L 243针对问题二要求对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。我们根据实际储油罐的特殊构造将实际储油罐分为三部分，左、右球冠状体与中间的圆柱体。运用积分的知识，按照实际储油罐的纵向变位后油位的三种不同情况。利用MATLAB

编程进行两次积分求得仅纵向变位时油量与油位、倾斜角α的容积表达式。

然后我们通过作图分析油罐体的变位情况，将双向变位后的油位与仅纵向变位时的油位建立关系表达式h 0h βcos )5.1(5.10

h h ??=，从而得到双向变位油量与油位、倾斜角α、偏转角β

的容积表达式。利用附件二的数据，采用最小二乘法来确定倾斜角α、偏转角β的值，

用matlab 软件求出、时总的平均相对误差达到最小，其最小值为0.0594。

由此得到双向变位后油量与油位的容积表达式V ，从而确定了双向变位后的罐容表(见表2)。

03.3=α04=β本文主要应用MATLAB 软件对相关的模型进行编程求解，计算方便、快捷、准确，整篇文章采取图文并茂的效果。文章最后根据所建立的模型用附件2中的实际检测数据进行了误差分析，结果可靠，使得模型具有现实意义。

关键词：罐容表标定；积分求解；最小二乘法；MATLAB；误差分析

§1 问题的重述

一、背景知识

1．油罐使用概况

通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

2．出现问题原因

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。

3.所用油罐介绍

我们实际所用的储油罐，其主体为圆柱体，两端为对称的球冠体。为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，我们利用小椭圆型储油罐作为实验储油罐进行实验，其结构为两端平头的椭圆柱体。 二、相关数据

1．实际储油罐：

图1：储油罐正面示意图

图2：储油罐纵向倾斜变位后示意图 图3：储油罐截面示意图

附表2：实际储油罐的检测数据 2．实验储油罐：

图4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图

附表1:油罐为变位及纵向倾斜时的实验数据 o 41三、要解决的问题

1. 依据图4及附表1建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

2. 依据图1、2、3建立实际储油罐罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数纵向倾斜角度α和横向偏转角度β之间的一般关系。利用附件2，根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。再利用附件2来分析检验模型的正确性与方法的可靠性。

§2 问题分析

本题是变位后储油罐的变位识别与罐容表标定的问题，我们需以油位计所测油位高度与实际罐容量的关系为中心进行研究。要求解所测油位高度与实际罐容量的关系式，我们以测得高度为变量进行两次积分，用所测高度表示实际油量，并根据表达式给出罐

容表。

对于问题一，实验储油罐是椭圆柱体，我们可根据倾斜后的情况进行积分求体积。但考虑到油量的不同会造成油罐端口纵截面与侧面纵截面上燃油面积的不同，我们需分情况进行讨论。给出新的罐容表后与原来的相比较研究变位影响，并与实际数据进行比较分析误差。

对于问题二，实际储油罐主体部分是圆柱体，两端为对称的球冠体。在倾斜变位后，我们不仅需要计算计算圆柱体中的体积还要积分计算球冠体中的燃油体积。实际储油罐的变位很复杂，我们需要研究纵向变位与横向变位的关系，结合两者给出实际储油罐变位后所测油位高度、βα、与体积的关系式，通过大量数据求解误差最小的βα、值，给出罐容表，与实际数据比较分析误差，检验模型的可行性。

§3 模型假设

1.油罐变位后露出地面的部分变化不大，即人们不能直接通过观察油罐裸露部分的变化来判断变位情况；

2.油罐里没有其他杂质；

3.在测量实际数据时，储油罐在出油进油的过程中无燃油的耗损；

4.在计算时，将油位探针是为一条没有体积的直线，油浮子我们视为一点。

5.所有数据均为原始数据，来源真实可靠。

§4 符号说明

符号

意义

0h 表示油罐无变位时的燃油高度

h 表示油罐变位后油位计所测的油位高度 x h 表示油罐任一纵截面上的油位高度

)

h (x S 表示柱体端口纵截面上的面积

1h 表示柱体右端口纵截面上的液面高度 2h 表示柱体左端口纵截面上的液面高度 V 表示储油罐变位后的体积

1V 表示实际储油罐左球冠体所含燃油体积 2V 表示柱体内燃油体积

3V 表示实际储油罐右球冠体所含燃油体积 α 表示储油罐纵向变位角度 β 表示储油罐横向变位角度

§5 模型的建立与求解

一、问题一的分析与求解： （一）问题分析：

问题一要求我们建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，我们需要确立罐体

变位后所测油位高度与实际罐容量新的关系式。考虑到当油罐内油量不同时，其所测油位高度与实际罐容量对应关系可能不同，于是我们分三种不同情况进行求解。我们可以通过二次积分来求体积。依据新的关系表达式制定油位高度间隔为1cm 的新罐容表，与原来相同规格的罐容表进行对比，研究其影响。 （二）模型建立 模型Ⅰ积分模型 1、模型分析： ①实验油罐无变位时：

实验油罐在无变位前的侧面纵截面示意图如图1（a）所示：

(a)

图1实验油罐无变位前的纵截面示意图

设油罐中油位高度为，分析可知油罐纵截面图1（a）上燃油的面积是的函数，设其为，设油罐的长度为,则无变位前油罐的罐容量为。

0h S 0h )(0h S 45.2)(45.20h S V =为求在两端纵截面上建立直角坐标系如图5-1（b）所示。

)(0h S 实验油罐为椭圆柱体则纵截面为椭圆，有22

2222,1y b a x b

y a x ?==+，其中

。利用积分求解过程如下：

m .b ,m .a 60890==)(0

h S dy

y b b a dy x h S b h b b h b ∫∫?????==0022

022)(

利用MATLAB 软件编程（见附录1）求解得：

8387.0)1667.1arcsin(534.03025178.030252967.0)(002

002

000+?++??+?=h h h h h h h S 无变位时实验油罐的体积为：

].)h .arcsin(.h h .h h h .[.V 8387016671534030251780302529670452002

002

00+?++??+?=②实验油罐纵向变位时：

当燃油面为椭圆柱体的对角面时，纵向倾斜角约为，而在实际生活中是不会出现如此大的倾斜变位，且题目给出的纵向倾斜角为，故这种情况不考虑；因实验储油罐的高度为，当油位高于时，燃油即从探针处溢出，则所测最大高度为。分析倾斜变位后可能会出现以下三种情况：

o 26o 1.4m 2.1m 2.1m 2.1

(a)(b)

(c)

图

2储油罐倾斜变位后的可能图

三种情况的临界面如下图

D E

图3储油罐不同状况的临界图

如图3为临界面，线段的长度为所测的临界高度,DH FG 、AC 、AB ααtan ..AC ,tan .AB 4021052?==

则临界情况为：当αtan .h 0520≤≤时，出现图2中（a）的情况，当

ααtan 4.02.1tan 05.2?≤

通常情况下，加油站的储油量都处于一般水平，则我们以图2中的情况（2）研究重点，只编程求解出情况(2)的关系式。 2、模型的建立

①当ααtan ..h tan .4021052?≤<时

在罐体倾斜变位后的侧面纵截面上建立直角坐标系如图所示：

图4倾斜变位后侧面纵截面图

油罐倾斜后油位计所测的油位高度不再是实际高度，且油罐内各处高度不同，各个

端口纵截面上燃油的面积也不同。我们以无变位的计算方法为基础建立模型求解倾斜变位后油位高度与罐容量的关系式。

设发生倾斜变位后实验油罐的油位计所测油位高度为，油罐任一纵截面上的油位高度为，其截面在h x h x 轴上的坐标为x 。

从图可知，

o 144524*********.,tan .h h ,tan )x .(h h ,tan .h h x =+=?+=?=αααα

又纵截面燃油的面积的计算同罐体无变位时的算法，则：

dy y b b a h S b h b

x x ∫???=2

22

)(

实验油罐纵向倾斜后体积公式为：

dx h S V x ∫

=45

.20

)(

代入相关数据，利用MATLAB 软件编程（见附录2）求解得：

h )245.1667h .1(448arcsin .7400h 17.796h .597h 103487.0V 24????×?=?8624

.0)245.1667h .1(563arcsin .5400h 17.796h .597102605.024+?+??×+?2

323)

400h 17.796h .597(10??×?91021031022.0101661.0h 101112.0102234.0×?×+×?×??-3

100.2511-055.2+×8396.057h .2825h h 101395.0400h 17.796h .59720h

94.14arctan 232++?×+??+??

5518.08396.057h .2825h 107968.0)9522.0667h .1(255arcsin .424?++?×????

7

72832

32

102333.0h 107937.0h 106947.0108938.0)8396.057h .2825h (×+×+±?×+++??

8396

.057h .2825h 5h 857.2arctan

102511.0)9522.0667h .1(448harcsin .72

3++?+?×+?+?

给出所测油位高度在]tan 4.02.1tan 05.2[αα?，内的，罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值表如下：

表1：纵向倾斜后罐容量标定值表 纵向倾斜后罐容量标定值表 油位(cm) 油量(L) 油位(cm) 油量(L)

油位(cm) 油量(L) 41 1005 62 1885.4 83 2787.5 42 1044.6 63 1928.8 84 2829.1 43 1084.6 64 1972.2 85 2870.3 44 1124.9 65 2015.6 86 2911.4 45 1165.4 66 2059.1 87 2952.2 46 1206.3 67 2102.5 88 2992.7 47 1247.4 68 2146 89 3032.9 48 1288.7 69 2189.4 90 3072.8 49 1330.3 70 2232.8 91 3112.4 50 1372 71 2276.1 92 3151.6 51 1414 72 2319.4 93 3190.5 52 1456.2 73 2362.6 94 3229 53 1498.5 74 2405.7 95 3267.1 54 1541 75 2448.7 96 3304.8 55 1583.7 76 2491.6 97 3342.1 56 1626.5 77 2534.3 98 3378.9 57 1669.4 78 2576.9 99 3415.3 58 1712.4 79 2619.4 100 3451.2 59 1755.5 80 2661.7 101 3486.5 60 1798.8 81 2703.9 61

1842

82

2745.8

②当αtan .h 0520≤≤时

体积计算方法如情况①，先求出椭圆柱体端口纵截面上的面积，再在)(x h S x 轴上进行积分。其侧面图如下：

图5(a)情况的侧面示意图

dy y b a h S x h h h h b h b x x x ∫???=?=+=22

222)(,tan ,tan 4.0αα

则体积为：dx h S V h

x )(4.0tan 0

∫

=α

③当34021≤

如图所示，燃油体积可分为两部分，一部分为椭圆柱体体积，楔形体积。如图可知1v 2v αtan 05.2,2.112?==h h h 。

对于，端口横截面面积为，1v π26.0αtan 3h m ?=， α

tan 34.0h

n ??=，则

)tan 34.0(6.021απh

v ??=

对于，同第①种情况的算法，2v αtan 3,2)(22

x h dy y b b a h S x b h b

x x ?=?=∫??

dx h S v h x ∫

?+

=α

tan 305.20

2)(，

dx h S h v v V h

x ∫?++??=+=αα

πtan 305.202

21)()tan 34.0(6.0 二、问题二的分析与求解 (一)问题分析

⑴纵向变位：

实际储油罐的主体为圆柱体，两端为对称的球冠体。倾斜变位后，油罐的左右球罐体中燃油的分布不再对称，圆柱体部分类似于实验储油罐倾斜时的情况。我们将实际储油罐的体积V 分解为三部分：左球冠体内燃油体积，圆柱体内燃油体积，右球冠体内燃油体积。

1V 2V 3V 问题一中燃油水平面不可能为椭圆柱体的对角面，油位探针所测油位最大值为，同理此问题中燃油水平面不可能为圆柱体的对角面，且最大所测油位高度为。倾斜变位后可能会出现以下三种情况：

m 2.1m 3(a)

(b)

(c)

图7 实际储油罐倾斜变位的各种情况图

当αtan h 60≤≤时，倾斜如图7中（a）；当ααtan h tan 236?≤<时，倾斜如图7中（b），当323≤

储油罐发生横向变位时，利用几何知识较易求出变位后所测的油位与无变位时高度的关系式。 （二）模型建立： 模型Ⅱ最小二乘法模型 ⑴倾斜变位：

①当ααtan h tan 236?≤<时， 首先，求解圆柱体的体积：

倾斜变位后圆柱体侧面纵截面图如下：

图8 实际储油罐圆柱体侧面截面图

圆柱体体积的计算可以同问题一中小椭圆柱体的算法，设发生倾斜变位后实际油罐的油位计所测油位高度为，油罐从端口截任一高度为的截面上燃油面积为,其截面在h x h )(x h S x 轴上的坐标为x 。

由图8可知αααtan 8,tan )8(,tan 61211+=?+=?=h h x h h h h x 实际油罐为圆柱体则端口截面为圆，

图9 圆柱体端口截面图有22222y r x ,r y x ?==+，其中m .r 51=。

利用积分求解过程如下：

)(x h S dy y dy x h S x x h h x ∫

∫

?????==5

.15

.1225

.15

.15.122)(

实际油罐纵向变位后体积公式为：

dx h S V x ∫=8

2)(

利用MATLAB 软件编程（见附录3）求得：

α

αααααααααααπαααααααααtan /)tan )tan h sin(a h )tan h sin(a ))(tan h tan tan h h ()tan h sin(a ))(tan h tan tan h h (tan tan )tan h sin(a h )tan h sin(a )tan h h )(tan hA ()tan h

sin(a )tan h h )(tan tan h ((V 13

4

3210813432542

3

43648134328121436454216143

2

324143

25418336218143

281183361254241222223

2221

222?+??+?

?++??+?++?+

+????++?+++???+???

++?+?+???=其次，求左右球冠体的体积：

左右球冠体截面示意图如图所示：

图10 球冠体侧面示意图

通过分析可知我们可以采用近似法来近似求两个球冠体内燃油的体积，左球冠体内燃油体积近似为部分体积，右球冠体内燃油的体积近似为EDO 部分体积。

ACO 对于左球冠体设任意高度的横截面面积为，则

y h )(y h S ∫=2

1)(h y y dh h S V 设球冠体所在的球的球心为，球的半径为1O O O 111、、A O B O R ，横截面所在圆的圆心为,半径为2O A O 2r ， 根据图形可以列出以下式子：

???????+=??=??==?+α

tan h h )R (r a ).h (R r R )R (.y 2151151222222

圆柱体端口纵截面上燃油面积同椭圆柱体的算法：

dy y r dy x h S r

a

r r

a

r y ∫

∫

???==2222)(

将带入，用MATLAB 编程（见附录4）进行求解得左球冠体体积:

)(y h S 1V 1V )tan 2(128

25)tan 2(43)tan 2(61231απαπαπ+++++?=h h h V

同理可得右球冠体的体积为：

3V )tan 6(12825)tan 6(4

3)tan 6(61233απαπαπ?+?+??=h h h V

倾斜变位后油罐内的体积321V V V V ++=

)tan 2(12825)tan 2(43)tan 2(61)

tan 2(12825)tan 2(43)tan 2(61tan /)tan )1tan 34

32sin(108)1tan 3432sin(5423

)

)(tan 43tan 6tan 4(8)13tan 432sin(8121))(tan 43tan 6tan 4(54tan 216tan )1tan 43

2

sin(324)1tan 432sin(54)tan 183)(tan 362

1(8)1tan 43

2sin(81)tan 183)(tan 36tan 12(54(2412323222223

2

221

22απαπαπαπαπαπα

ααααααααα

ααπααααααααα+++++?+++++?+?+??+??++??+?++?++????++?+++???+???++?

+?+???=h h h h h h h a h h a h h h h a h h h h a h

h a h h hA h

a h h h V ②当αtan 60≤≤h 时，

右球冠体的高度：则， ,003=V 左球冠体高度αtan 22+=h h

左球冠体体积的计算同情况①，同理

??????

?+=??=??==?+α

tan h h )R (r a )

.h (R r R )R (.y 2151151222222 dy y r dy x h S r

a

r r

a

r y ∫

∫

???==2222)(

求出体积

∫=2

01)(h y y dh h S V

中间部分的体积：∫

+

=α

tan 20

2)(h y dx h S V ，ααtan tan 2x h h x ?+=

则体积为

21V V V +=③ 当3tan 23≤

右球冠体，∫=?+=?+=1021)(,3tan 6tan tan 36(h y y dh h S V h h

h ααα

左球冠体，

∫∫

=?=??????

?=??=??==?+?30

122222222)(2)(3)1()5.1()1(5.1y

y r a

r y Y dh h S V dy y r h S h R r a h R r R R

中间部分：

αααπα

tan tan 32([3,)(tan 32(5.18tan 3222h x h dx h S h V x h x ????=+??

=∫??

则 321V V V V ++=(2)、横向变位：

图11 横向变位的端口截面图

设无变位前的油位高度为，横向变位后所测高度为，横向偏移角为0h h β。如图油罐的横向变位如钟摆运动，又因罐体为圆柱体，则横向变位后油位和无变位前的相同为

0h 。

横向变位后有关系式：β

cos h ..h 0

5151??

= （3）、综合纵向和横向变动：

设为发生了纵向变位和横向变位后的测量值，发生横向变位前的测量高度可用变动前的高

度表示为：

h '

h 0βcos )5.1(5.1'

0?+=h h

将代入纵向变位后体积公式，便可得到在(b)情况下实际测量值h 与罐容量的关系。

'

0h V=-1/6*pi*((1.5-(1.5-H)*cosd(b))+2*(tand(a)))^3+3/4*pi*((1.5-(1.5-H)*cosd(b))+2*(tan d(a)))^2+25/128*pi*((1.5-(1.5-H)*cosd(b))+2*(tand(a)))+

-1/6*pi*((1.5-(1.5-H)*cosd(b))-6*(tand(a)))^3+3/4*pi*((1.5-(1.5-H)*cosd(b))-6*(tand(a)))^2+25/128*pi*((1.5-(1.5-H)*cosd(b))-6*(tand(a)))+

-1/24*(54*(12*(1.5-(1.5-H)*cosd(b))*(tand(a))-36*(tand(a))^2-(1.5-(1.5-H)*cosd(b))^2+3*(1.5-(1.5-H)*cosd(b))-18*(tand(a)))^(1/2)+81*asin(-2/3*(1.5-(1.5-H)*cosd(b))+4*(tand (a))+1)-8*(12*(1.5-(1.5-H)*cosd(b))*(tand(a))-36*(tand(a))^2-(1.5-(1.5-H)*cosd(b))^2+3*(1.5-(1.5-H)*cosd(b))-18*(tand(a)))^(3/2)-54*asin(-2/3*(1.5-(1.5-H)*cosd(b))+4*(tand(a))+1)*(1.5-(1.5-H)*cosd(b))+324*asin(-2/3*(1.5-(1.5-H)*cosd(b))+4*(tand(a))+1)*(tand (a))-216*pi*(tand(a))-54*(-(1.5-(1.5-H)*cosd(b))^2-4*(1.5-(1.5-H)*cosd(b))*(tand(a))+6*(tand(a))+3*(1.5-(1.5-H)*cosd(b))-4*(tand(a))^2)^(1/2)+81*asin(2/3*(1.5-(1.5-H)*cosd(b))+4/3*(tand(a))-1)+8*(-(1.5-(1.5-H)*cosd(b))^2-4*(1.5-(1.5-H)*cosd(b))*(tand(a))+6*(tand(a))+3*(1.5-(1.5-H)*cosd(b))-4*(tand(a))^2)^(3/2)-54*asin(2/3*(1.5-(1.5-H)*cosd(b))+4/3*(tand(a))-1)*(1.5-(1.5-H)*cosd(b))-108*asin(2/3*(1.5-(1.5-H)*cosd(b))+4/3*(tand(a ))-1)*(tand(a)))/(tand(a))

其中，若只发生纵向变位则，若只发生横向变位则。 o 0=βo 0=α（4）最小二乘法求解：

我们求出罐内储油量与油位高度及变位参数纵向倾斜角度α和横向偏转角度β之间的一般关系式。则储油量表达式可表示为：),,(βαh f V =。当βα,的值确定时，h 与V 呈一一对应关系。此时V 表示的是对应于所测油位高度的罐内储油量的理论值。

在附表2中，每一个所测油位高度均有一罐内储油量与之相对应，此时的为实际值。

i h i V i V 当油位高度为，理论值与实际值存在一定误差为

i h i i i |),,h (f V |εβα=?，

当最小时，则我们所求的理论值就越接近实际值，我们认为此时对应的∑=603

1i i εβα,值

就为符合事实的最优解。

由于在实际生活中，在实际中，储油罐的变位角度βα,的值不会很大，我们令]4,1.0[ ∈βα，，我们以0.1为间隔取βα,的值，将附表2中的603条记录循环代入误差公式,求最小时对应的∑=603

1i i εβα,值。

利用MATLAB 编程（见附录5）求得：

o o 433==βα,.给出倾斜变位如图7中图(2)情况下，所测油位高度在ααtan h tan 236?≤<范围内罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值

表2 综合变位后实际罐容量标定值表

变位后实际罐容量标定值表 油位(cm) 油量(L) 油位(cm) 油量(L) 40 3883.9 170 39879 50 5739.9 180 43059 60 7855.9 190 46207 70 10188 200 49306 80 12705 210 52338 90 15377 220 55286 100 18183 230 58128 110 21099 240 60845 120 24107 250 63412 130 27188 260 65805 140 30322 270 67993 150 33494 280 69936

160

36685

§6 误差分析

模型I ：

图12 无变位与倾斜变位罐容量标定值比较图

由图我们可以观察到，倾斜变位平均比无变位对应的每刻度线减少了243，由此，

对此243，我们可以有以下三种解释:

L L

①倾斜变位

由于油罐本身受地基的严重影响，导致油罐上下倾斜，导致所测结果没有实际的油量那么大。 ②油罐厚壁

由于油罐本身的厚度，导致发生倾斜变位后的油位比实际更小。 ③油垢因素

由于油罐位于地下，安装于地面将导致以后在相当长一段时间内不能移动，而且会在使用一段相当长时间后方可以清楚油垢，这就导致油垢积累过多，使油罐装的油量并没有所测那么大。 综上三个因素，我们油罐倾斜变位后实际油量与所测油量对应每刻度存在一定的差值是可靠的。 模型Ⅱ

由于油罐偏差角度不会很大比较小，假设纵向偏差角小于。为了简化运算对球冠体液面与球冠体直平面不垂直时，看成垂直来合理近似计算两球冠体的体积如图13所示，考虑最大误差的范围。具体计算方法如下：分别对左右球冠体讨论，由于左球冠体多算了一部分体积，但右球冠体少考虑了一定的体积从而造成计算误差。左球冠体近似计算会造成计算值比实际值小，右球冠体会使得计算值比实际值偏大。综合考虑时，总最大误差小于任何其中一个球冠体的最大误差。

°5

E A

图13 球冠体侧面截面图

两球冠体对应最大误差可类似计算，因而现只需考虑左球冠体误差范围，右球冠体类似考虑：忽略的部分在垂直球冠体的截面的面积都小于图中面积，因而忽略的冠体一部分的体积小于一系列截面上的直角三角形的累积得到的立体的体积。确定面沿 方向积分得到的立体对应的体积，可以用割补法，ABC A 为球冠体的截面直线段边界的中点，F AB 垂直AE 求图中切面为原立体的体积可变为求由切片处截面为ABC AEFB 的立体

体积：2.4625.1225tan 625

.1625

.022≈?°∫dy y 左球冠体多算的体积不超过，同理可知右球罐体低于，综合考虑时总误差必须小于，而由附录2所给的数据知油罐体的内油的体积都大于，从而可计算相对误差小于，在允许的范围内，假设合理。

l 2.4l 5000%1

§7 模型的评价与推广

一、模型的优点

1．在模型求解过程中绘制相应图形，图文并茂，易于理解。

2．本文建立的模型与实际紧密联系，充分考虑储油罐内油位的不同情况，进行多种情况分析，从而使模型更贴近实际，通用性强；

3．本文模型求解均通过MATLAB软件编程，模型求解结果准确性较高；

二、模型的缺点

1.模型Ⅱ中采取近似的求解方法，致使误差较大；

2.模型求解过程中，对小数均进行精度为四的处理，造成一定误差。

三、模型的推广

本题积分球体积法可推广到其它容器体积的求解，且我们所建立的模型充分考虑事实情况，非常贴近生活，适合于各加油站对罐容表的制定与修正。

参考文献

[1] 杨桂元,黄己立.数学建模[M].合肥:中国科技大学出版社，2008.8;

[2] 刘来福等.数学模型与数学建模[M].北京：北京师范大学出版社，1997；

[3] 沈继红.数学建模[M].哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，1996；

[4] 李天胜.数学模型应用实例[M].合肥：合肥工业大学出版社，2007

附录

附录1：求未变位时截面面积

clc,clear

syms h y

digits(4)

t='sqrt(0.6^2-y^2)';

s=vpa(2*(0.89/0.6)*int(t,y,-0.6,h-0.6))

%问题2的左球冠截面积

syms r y R

p=2*(sqrt(r^2-y^2));

int(p,y)

%倾斜变位时用积分求截面的面积

clc,clear

syms h y

digits(4)

t='sqrt(0.6^2-y^2)';

s=vpa(2*(0.89/0.6)*int(t,y,-0.6,h-0.6))

附录2:求未变位时积分体积

%倾斜变位时用积分求体积

clc,clear

syms h x

digits(4)

s='.2967*(-25.*(h+(0.4-x)*tand(a))^2+30.*(h+(0.4-x)*tand(a)))^(1/2)*(h+(0.4-x)*tand(a))-.1780*(-25.*(h+(0.4-x)*tand(a))^2+30.*(h+(0.4-x)*tand(a)))^(1/2)+.5340*asin(1.667*(h+(0.4-x)*tand(a))-1.)+.8387';

v=vpa(int(s,x,0,2.45))

%问题2总体积表达式

s yms H a

%H为纵向变位与横向变位同时有时系统所测油位

%h为仅有纵向变位时系统所测油位

%h=1.5-(1.5-H)*cosd(B);

%r=sqrt(1.625^2-(h-1.5)^2);

%A=tand(a);

%V1=2.*r^2*(r-.6250)*(h+2.*A)-.6667*r^3*(h+2.*A)+.1628*h+.3255*A;

%V3=2.*r^2*(r-.6250)*(h-6.*A)-.6667*r^3*(h-6.*A)+.1628*h-.9766*A;

%V2=682.7*A^3-341.3*(h+2.*A)*A^2-72.*A+64.*(h+2.*A)^2*A+36.*h+36.-5.333*(h+2.*A)^3;

%V=V1+V2+V3

solve('13.59321=(2.*(sqrt(1.625^2-((1.5-(1.5-0.80811)*cosd(B))-1.5)^2))^2*((sqrt(1.625^2-((1.5-(1.5-0.80811)* cosd(B))-1.5)^2))-.6250)*((1.5-(1.5-0.80811)*cosd(B))+2.*(tand(a)))-.6667*(sqrt(1.625^2-((1.5-(1.5-0.80811)*c osd(B))-1.5)^2))^3*((1.5-(1.5-0.80811)*cosd(B))+2.*(tand(a)))+.1628*(1.5-(1.5-0.80811)*cosd(B))+.3255*(tan d(a)))+( 682.7*(tand(a))^3-341.3*((1.5-(1.5-0.80811)*cosd(B))+2.*(tand(a)))*(tand(a))^2-72.*(tand(a))+64.*((1

.5-(1.5-0.80811)*cosd(B))+2.*(tand(a)))^2*(tand(a))+36.*(1.5-(1.5-0.80811)*cosd(B))+36.-5.333*((1.5-(1.5-0.8

0811)*cosd(B))+2.*(tand(a)))^3)+( 2.* (sqrt(1.625^2-((1.5-(1.5-0.80811)*cosd(B))-1.5)^2))^2*((sqrt(1.625^2-((1.5-(1.5-0.80811)*cosd(B))-1.5)^2))-.62

50)*((1.5-(1.5-0.80811)*cosd(B))-6.*(tand(a)))-.6667*(sqrt(1.625^2-((1.5-(1.5-0.80811)*cosd(B))-1.5)^2))^3*((

1.5-(1.5-0.80811)*cosd(B))-6.*(tand(a)))+.1628*(1.5-(1.5-0.80811)*cosd(B))-.9766*(tand(a)))','5.03626=(

2.*(sq

rt(1.625^2-((1.5-(1.5-0.41398)*cosd(B))-1.5)^2))^2*((sqrt(1.625^2-((1.5-(1.5-0.41398)*cosd(B))-1.5)^2))-.6250

)*((1.5-(1.5-0.41398)*cosd(B))+2.*(tand(a)))-.6667*(sqrt(1.625^2-((1.5-(1.5-0.41398)*cosd(B))-1.5)^2))^3*((1.

5-(1.5-0.41398)*cosd(B))+2.*(tand(a)))+.1628*(1.5-(1.5-0.41398)*cosd(B))+.3255*(tand(a)))+( 682.7*(tand(a))

^3-341.3*((1.5-(1.5-0.41398)*cosd(B))+2.*(tand(a)))*(tand(a))^2-72.*(tand(a))+64.*((1.5-(1.5-0.41398)*cosd(

B))+2.*(tand(a)))^2*(tand(a))+36.*(1.5-(1.5-0.41398)*cosd(B))+36.-5.333*((1.5-(1.5-0.41398)*cosd(B))+2.*(ta

nd(a)))^3)+( 2.*

(sqrt(1.625^2-((1.5-(1.5-0.41398)*cosd(B))-1.5)^2))^2*((sqrt(1.625^2-((1.5-(1.5-0.41398)*cosd(B))-1.5)^2))-.6

250)*((1.5-(1.5-0.41398)*cosd(B))-6.*(tand(a)))-.6667*(sqrt(1.625^2-((1.5-(1.5-0.41398)*cosd(B))-1.5)^2))^3*

((1.5-(1.5-0.41398)*cosd(B))-6.*(tand(a)))+.1628*(1.5-(1.5-0.41398)*cosd(B))-.9766*(tand(a)))')

V

附录3：求

2

%问题2的左球体积

syms A h x

p=(-h^2-4*h*A+2*h*A*x+3*h-4*A^2+4*A^2*x+6*A-A^2*x^2-3*A*x)^(1/2)*h+2*(-h^2-4*h*A+2*h*A*x+3

*h-4*A^2+4*A^2*x+6*A-A^2*x^2-3*A*x)^(1/2)*A-(-h^2-4*h*A+2*h*A*x+3*h-4*A^2+4*A^2*x+6*A-A^2

*x^2-3*A*x)^(1/2)*A*x-3/2*(-h^2-4*h*A+2*h*A*x+3*h-4*A^2+4*A^2*x+6*A-A^2*x^2-3*A*x)^(1/2)-9/4*

asin(-2/3*h-4/3*A+2/3*A*x+1)+9/8*pi;

int(p,x,0,8)

%A=tand(a) a为纵向倾斜角

V

附录4：求

1

%问题2的左球体积

syms y A h x

p=pi/2*(1.625^2-(y-1.5)^2);

int(p,y,0,h+2*A)

%A=tand(a) a为纵向倾斜角

%r=sqrt(1.625^2-(y-1.5)^2)

附录5：最小二乘法求α、β

A=[2632.23 60448.88

2624.30 60311.43

2620.67 60248.03

2610.29 60065.11

2606.61 59999.69

2599.59 59874.06

2587.60 59657.02

2582.05 59555.51

2579.57 59509.94

2575.44 59433.77

2569.46 59322.85

2564.12 59223.17

2559.83 59142.66

2548.47 58927.69

2539.63 58758.61 2528.01 58534.01 2521.63 58409.58 2510.23 58185.31 2508.17 58144.52 2500.07 57983.36 2490.06 57782.53 2485.73 57695.08 2474.40 57464.67 2464.77 57267.02 2454.51 57054.65 2446.77 56893.24 2436.85 56684.86 2431.55 56572.86 2427.32 56483.12 2422.20 56374.11 2414.35 56206.14 2404.05 55984.22 2399.15 55878.05 2393.12 55746.87 2382.50 55514.45 2374.35 55334.90 2362.44 55070.68 2358.40 54980.57 2348.13 54750.40 2339.37 54552.85 2334.88 54451.17 2328.13 54297.75 2322.14 54161.06 2314.14 53977.71 2304.14 53747.27 2301.09 53676.72 2290.87 53439.37 2280.46 53196.16 2274.92 53066.14 2268.61 52917.56 2260.89 52735.08 2251.88 52521.14 2242.46 52296.37 2232.88 52066.65 2226.99 51924.85 2220.70 51772.96 2209.13 51492.32 2201.40 51303.95 2190.91 51047.20

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题评阅要点

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题评阅要点 [说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。 (1) 如图1，设P的坐标为(x, y) (x≥ 0，y≥ 0)，共用管道的费用为非共用管道的k倍，模型可归结为 2 2 2 2) ( ) ( ) ( ) , ( min y b x c y a x ky y x f- + - + - + + = 图1 只需考虑2 1< ≤k的情形。对上述二元费用函数求最小值可得（不妨假设b a≤） (a) 当) ( 42 a b k k c- - ≤时，) ,0( *a P=，ka c a b f+ + - =2 2 m in ) (； (b) 当) ( 4 ) ( 42 2 a b k k c a b k k + - < < - - 时， ? ? ? ? ? ? - - + + - - =) 4 ( 2 1 , 2 ) ( 2 4 2 2 *c k k b a c b a k k P， ()c k k b a f2 m in 4 ) ( 2 1 - + + =； (c) 当) ( 42 a b k k c+ - ≥时，)0, ( * b a ac P + =，2 2 m in ) (c b a f+ + =。 对共用管道费用与非共用管道费用相同的情形只需在上式中令k = 1。 本小题的评阅应注意模型的正确性，结果推导的合理性及结果的完整性。 (2) 对于出现城乡差别的复杂情况，模型将做以下变更： (a) 首先考虑城区拆迁和工程补偿等附加费用。根据三家评估公司的资质，用加权平均的方法得出费用的估计值。注意：公司一的权值应大于公司二和公司三的权值，公司二和公司三的权值应相等。 (b) 假设管线布置在城乡结合处的点为Q，Q到铁路线的距离为z（参见图2）。

数学建模国家一等奖优秀论文

２01４高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。 我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为,我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。 我们参赛选择的题号是(从Ａ/B/C/Ｄ中选择一项填写)：B 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）: 所属学校（请填写完整的全名)： 参赛队员(打印并签名) :1. 2． 3．

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名): ?（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致,只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。) 日期： 20１4 年 9 月15日 赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号）:

２０14高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用）：

2013全国数学建模大赛a题优秀论文

车道被占用对城市道路通行能力的影响 摘要 随着城市化进程加快，城市车辆数的增加，致使道路的占用现象日益严重，同时也导致了更多交通事故的发生。而交通事故发生过程中，路边停车、占道施工、交通流密增大等因素直接导致车道被占用，进而影响了城市道路的通行能力。本文在视频提供的背景下通过数据采集，利用数据插值拟合、差异对比、车流波动理论等对这一影响进行了分析，具体如下： 针对问题一，首先根据视频1中交通事故前后道路通行情况的变化过程运用物理观察测量类比法、数学控制变量法提取描述变量（如事故横断面处的车流量、车流速度以及车流密度）的数据，从而通过研究各变量的变化，来分析其对通行能力的影响。而视频1中有一些时间断层，我们可根据现有的数据先用统计回归对各变量数据插值后再进行拟合，拟合过程中利用残差计算值的大小来选择较好的模型来反应各变量与事故持续时间的关系，进而更好地说明事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力的变化过程。 针对问题二：沿用问题一中的方法，对视频2中影响通行能力的各个变量进行数据采集，同样使用matlab对时间断层处进行插值拟合处理，再将所得到的的变化图像与题一中各变量的变化趋势进行对比分析，其中考虑到两视频的时间段与两视频的事故时长不同，从而采用多种对比方式（如以事故发生前、中、后三时段比较差值、以事故相同持续时间进行对比、以整个事故时间段按比例分配时间进行对比）来更好地说明这一差异。由于小区口的位置不同、时间段是否处于车流高峰期以及1、2、3道车流比例不同等因素的影响，采用不同的数据采集方式使采集的变量数据的实用性更强，从而最后得到视频1中的道路被占用影响程度高于视频2中的影响程度，再者从差异图像的变化波动中得到验证，使其合理性更强。 针对问题三：运用问题1、2中三个变量与持续时间的关系作为纽带，再根据附件5中的信号相位确定出车流量的测量周期为一分钟，测量出上游车流量随时间的变化情况，而事故横断面实际通行能力与持续时间的关系已在1、2问中由拟合得到，所以再根据波动理论预测道路异常下车辆长度模型的结论，结合采集数据得到的函数关系建立数学模型，最后得出事故发生后，车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间以及路段上游车流量这三者之间的关系式。 针对问题四：在问题3建立的模型下，利用问题4中提供的变量数据推导出其它相关变量值，然后代入模型，估算出时间长度，以此检验模型的操作性及可靠性。 关键词：通行能力车流波动理论车流量车流速度车流密度

2004年中国大学生数学建模竞赛C题 饮酒驾车问题

2004年全国大学生数学建模竞赛C题及建模论文 C题饮酒驾车 据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。 针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。 大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？ 请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题： 1.对大李碰到的情况做出解释； 2.在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答： 1）酒是在很短时间内喝的； 2）酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。 3.怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。 4.根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？ 5.根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。 参考数据 1.人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。 2.体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下： 0.250.50.751 1.52 2.53 3.54 4.55 时间(小 时) 酒精含量306875828277686858515041时间(小 678910111213141516 时) 酒精含量3835282518151210774

2013年全国研究生数学建模竞赛A题

2013年（第十届）全国研究生数学建模竞赛A题 变循环发动机部件法建模及优化 由飞机/发动机设计原理可知，对于持续高马赫数飞行任务，需要高单位推力的涡喷循环，反之，如果任务强调低马赫数和长航程，就需要低耗油率的涡扇循环。双涵道变循环发动机可以同时具备高速时的大推力与低速时的低油耗。变循环发动机的内在性能优势，受到了各航空强国的重视，是目前航空发动机的重要研究方向。 1 变循环发动机的构`造及基本原理 1.1 基本构造 双涵道变循环发动机的基本构造见图1、图2，其主要部件有：进气道、风扇、副外涵道、CDFS涵道、核心驱动风扇级（CDFS）、主外涵道、前混合器、高压压气机、主燃烧室、高压涡轮、低压涡轮、后混合器、加力燃烧室、尾喷管。双涵道模式下，选择活门和后混合器（后VABI）全部打开；单涵道模式下，选择活 前混合器主外涵道主燃烧室加力燃烧室

图2 双涵道变循环发动机结构示意图 图中数字序号表示发动机各截面参数的下脚标 各部件之间的联系如图3所示，变循环发动机为双转子发动机，风扇与低压涡轮相连，CDFS、高压压气机与高压涡轮相连，如图3下方褐色的线所示。蓝色的线表示有部件之间的气体流动连接（图3中高压压气机后不经主燃烧室的分流气流为冷却气流，在本题中忽略不计）。 图3 变循环发动机工作原理图 1.2工作原理 变循环发动机有两种工作模式，分别为涡喷模式和涡扇模式。 发动机在亚音速巡航的低功率工作状态，风扇后的模式转换活门因为副外涵与风扇后的压差打开，使更多空气进入副外涵，同时前混合器面积开大，打开后混合器，增大涵道比，降低油耗，此时为发动机的涡扇模式。 发动机在超音速巡航、加速、爬升状态时，前混合器面积关小，副外涵压力增大，选择活门关闭，迫使绝大部分气体进入核心机，产生高的推力，此时为发

数学建模C题

2015年第十二届五一数学建模联赛 承诺书 我们仔细阅读了五一数学建模联赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、 网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其它公 开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引 用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞 赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。 我们授权五一数学建模联赛赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号为（从A/B/C中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为： 参赛组别（研究生或本科或专科）：本科 所属学校（请填写完整的全名） 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 日期： 2015 年 5 月 3 日获奖证书邮寄地址邮政编码：

收件人姓名：联系电话： 2015年第十二届五一数学建模联赛 编号专用页 竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）： 裁剪线裁剪线裁剪线竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）： 参赛队伍的参赛号码：（请各参赛队提前填写好）： 2015年第十二届五一数学建模联赛 题目“二孩政策”问题 摘要 本文针对于生态文明建设的评价问题，选取了评价生态建设文明的具有代表性的几个指标，并且通过建立城市生态文明建设指标预测模型，来判断地区生态文明建设程度。 对于第一问，针对我国现有的生态文明建设的评价指标问题，我们首先查阅了全国在省级生态文明建设评价方面较为权威的北京林业大学生态文明研究中心公布的中国省级生态文明建设评价报告，以及其他具体于各地区省市的生态文明建设的论文，在此基础上，列举出来了6大类，18个较为重要的评价指标。 对于第二问，我们首先根据罗列出的指标中的重要程度以及数据获取的可行性和权威性和反映大类指标程度选择了单位GDP能耗、单位GDP水耗和单位GDP 废水、废气排放量、绿化覆盖率、人均公共图书藏书量。然后通过熵值法确定了

全国数模竞赛优秀论文

一、基础知识 1.1 常见数学函数 如：输入x=[-4.85 -2.3 -0.2 1.3 4.56 6.75]，则： ceil(x)= -4 -2 0 2 5 7 fix(x) = -4 -2 0 1 4 6 floor(x) = -5 -3 -1 1 4 6 round(x) = -5 -2 0 1 5 7 1.2 系统的在线帮助 1 help 命令： 1.当不知系统有何帮助内容时，可直接输入help以寻求帮助: >>help（回车） 2.当想了解某一主题的内容时，如输入： >> help syntax（了解Matlab的语法规定） 3.当想了解某一具体的函数或命令的帮助信息时，如输入： >> help sqrt （了解函数sqrt的相关信息）

2 lookfor命令 现需要完成某一具体操作，不知有何命令或函数可以完成，如输入： >> lookfor line （查找与直线、线性问题有关的函数） 1.3 常量与变量 系统的变量命名规则：变量名区分字母大小写；变量名必须以字母打头，其后可以是任意字母，数字，或下划线的组合。此外，系统内部预先定义了几个有特殊意 1 数值型向量（矩阵）的输入 1．任何矩阵（向量），可以直接按行方式 ．．．输入每个元素：同一行中的元素用逗号（，）或者用空格符来分隔；行与行之间用分号（；）分隔。所有元素处于一方括号（[ ]）内； 例1： >> Time = [11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10] >> X_Data = [2.32 3.43；4.37 5.98] 2 上面函数的具体用法，可以用帮助命令help得到。如：meshgrid(x,y) 输入x=[1 2 3 4]; y=[1 0 5]; [X,Y]=meshgrid(x, y)，则 X = Y =

2013年全国大学生数学建模竞赛A题

车道被占用对城市道路通行能力的影响 摘要 在城市道路常会发生交通异常事件，导致车道被占用，事发地段的通行能力也会因此受到影响。当交通需求大于事发断剩余通行能力时，车辆排队，产生延误，行程时间增加，交通流量发生变化。根据这些特点，我们以城市道路基本路段发生交通事故为例，主要分析了交通事故发生后道路的通行能力的变化，以及不同时间段事故点及其上下游路段交通流量的变化，用于以后进一步突发事件下交通流的预测。 针对问题一，根据道路通行能力的定义，考虑到车身大小不同，我们把所有车辆进行标准化。运用统计估算模型对视频一的车辆进行分段统计，得出未发生事故前道路通行能力2555(辆/h )。因为车辆所占车道未达到数学理论计算要求，所以我们利用修正过后城市干道通行能力的数学计算模型，计算出交通事故发生至撤离期间的理论通行能力为1356（辆/h ），进而与实际数据对比，得出相对误差。 针对问题二，我们基于问题一的模型，以及附件三数据分析所得，不同车道的通行流量比例不同，对视频二的车辆各项数据的分段统计分析，得到道路实际通行能力。再根据修正的理论数学计算模型，得出理论通行能力。得到的结果与问题一的结果相比较，得出结论：在同一横断面上的实际通行能力与交通事故所占车道的车流量呈负相关性。 针对问题三，我们运用了两种模型，一种结合层次分析与线性回归模型，得到理想化的函数关系式。基于层次分析模型，我们将进行问题分解，把车辆长度作为目标层，其他三个量作为准则层。通过查阅资料对各因素进行打分，计算出事故持续时间、车道通行能力、上游车流量对车辆排队长度的权重。层次分析模型得到各个指标对目标层的影响关系的大小，然后我们用线性回归模型求出各指标与目标层的具体的函数关系式为130.0430.09263.623y x x =-+-。第二，我们运用车流波动相关理论，得到理论模型，继而得出它们之间的关系。 针对问题四，我们首先考虑的是上游来车在红绿灯下的时间间断问题，所以把来车的情况作周期性分析，假设来车是间隔相同的时间连续的到来，求出一个周期能通过的最大车流量数。然后运用等待制排队模型，当累计车辆排队长度到达上游路口后，可以通过排队论计算出时间15min 。 关键词：通行能力 统计估算 层次分析 非线性回归方程 SPSS 软件 排队论 车流波动 一、问题重述

美国大学生数学建模竞赛优秀论文翻译

优化和评价的收费亭的数量 景区简介 由於公路出来的第一千九百三十，至今发展十分迅速在全世界逐渐成为骨架的运输系统，以其高速度，承载能力大，运输成本低，具有吸引力的旅游方便，减少交通堵塞。以下的快速传播的公路，相应的管理收费站设置支付和公路条件的改善公路和收费广场。 然而，随着越来越多的人口密度和产业基地，公路如花园州公园大道的经验严重交通挤塞收费广场在高峰时间。事实上，这是共同经历长时间的延误甚至在非赶这两小时收费广场。 在进入收费广场的车流量，球迷的较大的收费亭的数量，而当离开收费广场，川流不息的车辆需挤缩到的车道数的数量相等的车道收费广场前。因此，当交通繁忙时，拥堵现象发生在从收费广场。当交通非常拥挤，阻塞也会在进入收费广场因为所需要的时间为每个车辆付通行费。 因此，这是可取的，以尽量减少车辆烦恼限制数额收费广场引起的交通混乱。良好的设计，这些系统可以产生重大影响的有效利用的基础设施，并有助于提高居民的生活水平。通常，一个更大的收费亭的数量提供的数量比进入收费广场的道路。 事实上，高速公路收费广场和停车场出入口广场构成了一个独特的类型的运输系统，需要具体分析时，试图了解他们的工作和他们之间的互动与其他巷道组成部分。一方面，这些设施是一个最有效的手段收集用户收费或者停车服务或对道路，桥梁，隧道。另一方面，收费广场产生不利影响的吞吐量或设施的服务能力。收费广场的不利影响是特别明显时，通常是重交通。 其目标模式是保证收费广场可以处理交通流没有任何问题。车辆安全通行费广场也是一个重要的问题，如无障碍的收费广场。封锁交通流应尽量避免。 模型的目标是确定最优的收费亭的数量的基础上进行合理的优化准则。 主要原因是拥挤的

2003年数学建模A题

2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“对论文格式的统一要求”） A题 SARS的传播 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： （1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。 （2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。

（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。 （4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。 附件1： SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测 2003年5月8日 在病例数比较多的地区，用数理模型作分析有一定意义。前几天，XXX老师用解析公式分析了北京SARS疫情前期的走势。在此基础上，我们加入了每个病人可以传染他人的期限（由于被严格隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化，然后先分析香港和广东的情况以获得比较合理的参数，最后初步预测北京的疫情走势。希望这种分析能对认识疫情，安排后续的工作生活有帮助。 1 模型与参数 假定初始时刻的病例数为N0，平均每病人每天可传染K个人（K

数学建模2010c题答案

输油管布置的优化模型 摘要 本文建立了关于布置输油管管线费用最省的优化模型，针对问题，我结合实际情况做出了合理的简化假设，利用lingo 软件，最终对问题进行了求解。 对于第一问我利用费马点的相关知识，结合图形的相关性质把本题分成三个部分， 分别为 )l b a ≤ - 、)l a b ≥+ 和 ))b a l a b -<<+这三种情况时最短管线的 铺设方案。设()a b <且非共用管线的费用为每千米t 万元，共用管线的费用是是非共用管线的k 倍即为kt 万元(1k 2≤<)。用费马点的论述得出三种最短的铺设路线，画出图像1—3列式子得出其费用结果。 对于问题二，首先把所给的条件即三个公司的鉴定的赔偿费用赋予权值，按甲级的占40%，乙级的每个占30%得出大概要陪的费用为得出要陪的费用 () 0.40210.30240.302021.4w =?+?+?=万元/千米 接着把a = 5，b = 8，c = 15，l = 20 把数据带入判定式中得到 ) )853 5820-=+=<< 适用第一题中的第三种情况得到图5用Lingo 计算得坐标E(1.701345,1.852664),车站设在F(1.701345,0)，得到最少的费用为282.1934万元。 最后对于问题三，建立在问题二的模型上，赋予各段管线相印的费用送A 厂成品油的每千米5.6万元，输送B 厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，得到 min 5.6 6.027.47.2P y =? 用Lingo 计算得 6.7354770.13767691 7.276818x y y =?? =??=? 得到最后结果为 min 251.4633P =万元 关键词 Lingo 费马点 费用 权值

2014年数学建模国家一等奖优秀论文设计

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参 赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等） 与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或 其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文 引用处和参考文献中明确列出。 我们重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违 反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3.

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2014 年 9 月 15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

2013年数学建模A题概念解释--通行能力

实际通行能力 由于道路、交通和管制条件以及服务水平不同，通行能力分为：基本（理论）通行能力，可能（实际）通行能力和设计（规划）通行能力。 理论通行能力是理想的道路与交通条件下的通行能力。 以理论通行能力为基础，考虑到实际的地形、道路和交通状况，确定其修正系数，再以此修正系数乘以前述的理论通行能力，即得实际道路、交通在一定环境条件下的可能通行能力。 公式（参《路网环境下高速公路交通事故影响传播分析与控制》）： 单向车行道的可能通行能力Qx=CB*N*fw*fHV*fp Qx是单向车行道可能通行能力，即在具体条件下，采用四级服务水平时所能通过的最大交通量veh/h。 CB是基本（理论）通行能力。 N是单向车行道的车道数。 fw是车道宽度和侧向净宽对通行能力的修正系数。 fHV是大型车对通行能力的修正系数，计算公式是：fHV=1/[1+ PHV（EHV-1）]，EHV 是大型车换算成小客车的车辆换算系数；PHV是大型车交通量占总交通量的百分比。 fp驾驶员条件对通行能力的修正系数，一般在0.9~1之间 基本通行能力 基本通行能力【basic traffic capacity】指的是在理想的道路和交通条件下，单位时间一个车道或一条道路某一路段通过小客车最大数，是计算各种通行能力的基础。 通行能力 通行能力【traffic capacity】指的是在一定的道路和交通条件下，道路上某一路段单位时间内通过某一断面的最大车辆数。可分为基本通行能力、可能通行能力和设计通行能力三种。

计算公式为：CAP=s1*λ1+s2*λ2+....+sn*λn（s为饱和流量，λ为绿信比） 全红时间越长，通行能力越小 周期时长一定的情况下，相位数越多，通行能力越大 它是指道路上某一地点、某一车道或某断面处，单位时间内可能通过的最大的交通实体(车辆或行人)数，亦称道路容量、交通容量或简称容量。一般以辆/h、人/h表示。车辆多指小汽车，当有其它车辆混入时，均采用等效通行能力的当量小客车单位 道路通行能力与交通量不尽相同，交通量是指道路在某一定时段内实际通过的车辆数。一般道路的交通量均小于道路的通行能力，当道路上的交通量比其通行能力小得多时，则司机驾车行进时操作的自由度就越大，既可以随意变更车速，转移车道，还可以方便地实现超车。当交通量等于或接近于道路通行能力时，车辆行驶的自由度就逐渐降低，一般只能以同一速度循序行进，如稍有意外，就会发生降速、拥挤，甚至阻滞。当交通量超过通行能力时，车辆就会出现拥挤，甚至堵塞。因此，道路通行能力同河流的过水能力一样，是道路在一定条件下所能通过的车辆的极限数值，条件不同，要求不同，其通行能力也就不同。故通行能力是一个变数

2010年全国大学生数学建模C题优秀论文

论文来源:无忧数模网 输油管的布置 摘要 “输油管的布置”数学建模的目的是设计最优化的路线，建立一条费用最省的输油管线路，但是不同于普遍的最短路径问题，该题需要考虑多种情况，例如，城区和郊区费用的不同，采用共用管线和非公用管线价格的不同等等。我们基于最短路径模型，对于题目实际情况进行研究和分析，对三个问题都设计了合适的数学模型做出了相应的解答和处理。 问题一：此问只需考虑两个加油站和铁路之间位置的关系，根据位置的不同设计相应的模型，我们基于光的传播原理，设计了一种改进的最短路径模型，在不考虑共用管线价格差异的情况下，只考虑如何设计最短的路线，因此只需一个未知变量便可以列出最短路径函数；在考虑到共用管线价格差异的情况下，则需要建立2个未知变量，如果带入已知常量，可以解出变量的值。 问题二：此问给出了两个加油站的具体位置，并且增加了城区和郊区的特殊情况，我们进一步改进数学模型，将输油管路线横跨两个不同的区域考虑为光在两种不同介质中传播的情况，输油管在城区和郊区的铺设将不会是直线方式，我们将其考虑为光在不同介质中传播发生了折射。在郊区的路线依然可以采用问题一的改进最短路径模型，基于该模型，我们只需设计2个变量就可以列出最低费用函数，利用Matlab和VC++ 都可以解出最小值，并且我们经过多次验证和求解，将路径精度控制到米，费用精度控制到元。 问题三：该问的解答方法和问题二类似，但是由于A管线、B管线、共用管线三者的价格均不一样，我们利用问题二中设计的数学模型，以铁路为横坐标，城郊交汇为纵坐标建立坐标轴，增加了一个变量，建立了最低费用函数，并且利用VC++解出了最低费用和路径坐标。 关键字：改进的最短路径光的传播 Matlab 数学模型

2019数学建模国赛a题答案

中国大学生数学建模竞赛： 全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。2018年，来自全国34个省/市/区(包括香港、澳门和台湾)及美国和新加坡的1449所院校/校区、42128个队（本科38573队、专科3555队）、超过12万名大学生报名参加本项竞赛。 赛事设置： 竞赛宗旨 创新意识团队精神重在参与公平竞争。 指导原则 指导原则：扩大受益面，保证公平性，推动教学改革，提高竞赛质量，扩大国际交流，促进科学研究。 规模与数据 全国大学生数学建模竞赛是全国高校规模最大的课外科技活动之一。该竞赛每年9月（一般在上旬某个周末的星期五至下周星期一共3天，72小时）举行，竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业（但竞赛分本科、专科两组，本科组竞赛所有大学生均可参加，专科组竞赛只有专科生（包括高职、高专生）可以参加）。同学可以向该校教务部门咨询，如有必要也可直接与全国竞赛组委会或各省（市、自治区）赛区组委会联系。 全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞

赛。2014年，来自全国33个省/市/自治区(包括香港和澳门特区)及新加坡、美国的1338所院校、25347个队（其中本科组22233队、专科组3114队）、7万多名大学生报名参加本项竞赛。 比赛时间 2017年比赛时间是9月14号20:00到9月17号24:00，总共76小时，采取通讯方式比赛，比赛地点在各个高校。比赛时间全国统一的，不可以与老师交流，可以在互联网查阅资料。 同学们在比赛期间应该注意安排时间，以免出现时间不够用的情况。 组委名单 注：第五届专家组任期两年（2010-2011）。2011年底任期届满后，组委会对专家组进行了调整，并决定此后不再对外公布专家组成员名单。 第五届组委会成员名单（2010-2013）及下属专家组成员名单 第四届组委会成员名单及下属专家组成员名单 第一、二、三届组委第一、二、三届组委会成员名单及下属专家组成员名单引各赛区组委会各赛区联系方式列表引 [注1] 各赛区联系人请注意：若本赛区联系e-mail地址发生变化，请通知全国组委会进行修改。 [注2] 全国已成立赛区的有28个省、市、自治区，国内尚未成立赛区的区域组成联合赛区，其他（境外参赛学生）组成国际赛区，共30个赛区。

数学建模期末考试2018A试的题目与答案.doc

. . 华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2012-2013学年第 二 学期 考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、(满分12分) 一人摆渡希望用一条船将一只狼.一只羊.一篮白菜从河岸一边带到河岸对面.由于船的限制.一次只能带一样东西过河.绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起.怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分 别记为i = 1.2.3.4.当i 在此岸时记x i = 1.否则为0；此岸的状态下用s =（x 1.x 2.x 3.x 4）表示。该问题中决策为乘船方案.记为d = (u 1, u 2 , u 3, u 4).当i 在船上时记u i = 1.否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊.然后回来.带狼过河.然后把羊带回来.放下羊.带白菜过去.然后再回来把羊带过去。 或: 人先带羊过河.然后自己回来.带白菜过去.放下白菜.带着羊回来.然后放下羊.把狼带过去.最后再回转来.带羊过去。 （12分）

2011年全国数学建模大赛A题获奖论文

城市表层土壤重金属污染分析 摘要 本文旨在对城市土壤地质环境的重金属污染状况进行分析，建立模型对金属污染物的分布特点、污染程度、传播特征以及污染源的确定进行有效的描述、评价和定位。 对于重金属空间分布问题，首先基于克里金插值法，应用Surfer 8软件对各数据点的分布情况进行模拟，得到了直观的重金属污染空间分布图形；随后，分别用内梅罗综合污染指数以及模糊评价标准和模型对城区内不同区域重金属的污染程度进行了评判。 对于金属污染的主要原因分析问题，基于因子分析法、问题一的结果和对各个金属污染物的来源分析等因素，判断出金属污染的主要原因有：工业生产、汽车尾气排放、石油加工并推测该区域是镍矿富集区。随后讨论了污染源之间的相互关系和不同金属的污染贡献率。 针对污染源位置确定问题，我们建立了两个模型：模型一以流程图的形式出现，基于污染传播的一般规律建立模型，求取污染源范围，模型作用更倾向于确定污染源的位置；模型二基于最小二乘法原理，建立了拟合二次曲面方程，在有效确定污染源的同时也反映了其传播特征，模型更加清楚，理论性也更强。 在研究城市地质环境的演变模式问题中，我们对针对污染源位置确定问题所建模型的优缺点进行了评价，同时建立了考虑了时间，地域环境和传播媒介的污染物传播模型，从而反映了地质的演变。 综上所述，本文模型的特点是从简单的模型建立起，强更准确的数学模型发展，逐步达到目标期望。 关键词：重金属污染，克里金插值最小二乘法因子分析流程图

一、问题重述 1.1问题背景 随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。评价和研究城市土壤重金属污染程度，讨论土壤中重金属的空间分布，研究城市土壤重金属污染特征、污染来源以及在环境中迁移、转化机理，并对城市环境污染治理和城市进一步的发展规划提出科学建议，不仅有利于城市生态环境良性发展，有利于人类与自然和谐，也有利于人类社会 健康和城市可持续发展[1] 。按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。 现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS 记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。 1.2 目标任务 (1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。 (2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。 (3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。 (4) 分析所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，分析还应收集的信息，并进一步探索怎样利用收集的信息建立模型及解决问题。 二、 模型假设 1）忽略地下矿源对污染物浓度的影响； 2）认为海拔对污染物的分布较小，故只在少数模型中讨论其作用； 3）认为题目中的采样方式是科学的，能够客观反映污染源的分布。 三、 符号说明 3.1第一问中的符号说明 i p ——污染物i 的环境污染指数 i C ——污染物i 的实测值 i S ——污染物i 的背景值 m ax (/)i i C S ——土壤污染指数的最大值 (/)i i avg C S ——土壤污染指数的平均值

车道被占用对城市道路通行能力的影响-2013年全国大学生数学建模竞赛A题

1 车道被占用对城市道路通行能力的影响 摘要 在城市道路中通常会发生交通异常事件，导致车道被占用，事发地段的通行能力也会因此受到影响。当交通需求大于事发断剩余通行能力时，车辆排队，产生延误，行程时间增加，交通流量发生变化。根据这些特点，我们以城市道路基本路段发生交通事故为例，主要分析了交通事故发生后道路的通行能力的变化，以及不同时间段内事故点及其上下游路段交通流量的变化，用于以后进一步突发事件下交通流的预测。 针对问题一，根据道路通行能力的定义，考虑到车身大小不同，我们把所有车辆进行标准化。运用统计估算模型对视频一的车辆进行分段统计，得出未发生事故前道路通行能力2555(辆/h )。因为车辆所占车道未达到数学理论计算要求，所以我们利用修正过后城市干道通行能力的数学计算模型，计算出交通事故发生至撤离期间的理论通行能力为1356（辆/h ），进而与实际数据对比，得出相对误差。 针对问题二，我们基于问题一的模型，以及附件三数据分析所得，不同车道的通行流量比例不同，对视频二的车辆各项数据的分段统计分析，得到道路实际通行能力。再根据修正的理论数学计算模型，得出理论通行能力。得到的结果与问题一的结果相比较，得出结论：在同一横断面上的实际通行能力与交通事故所占车道的车流量呈负相关性。 针对问题三，我们运用了两种模型，一种结合层次分析与线性回归模型，得到理想化的函数关系式。基于层次分析模型，我们将进行问题分解，把车辆长度作为目标层，其他三个量作为准则层。通过查阅资料对各因素进行打分，计算出事故持续时间、车道通行能力、上游车流量对车辆排队长度的权重。层次分析模型得到各个指标对目标层的影响关系的大小，然后我们用线性回归模型求出各指标与目标层的具体的函数关系式为 130.0430.09263.623y x x =-+-。第二，我们运用车流波动相关理论，得到理论模型，继而得出它们之间的关系。 针对问题四，我们首先考虑的是上游来车在红绿灯下的时间间断问题，所以把来车的情况作周期性分析，假设来车是间隔相同的时间连续的到来，求出一个周期内能通过的最大车流量数。然后运用等待制排队模型，当累计车辆排队长度到达上游路口后，可以通过排队论计算出时间15min 。 关键词：通行能力 统计估算 层次分析 非线性回归方程 SPSS 软件 排队论 车流波动

数学建模C题优秀论文 (2)

承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期： 2010 年 9 月 10 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

输油管的布置 摘要 “输油管的布置”数学建模的目的是设计最优化的路线，建立一条费用最省的输油管线路，但是不同于普遍的最短路径问题，该题需要考虑多种情况，例如，城区和郊区费用的不同，采用共用管线和非公用管线价格的不同等等。我们基于最短路径模型，对于题目实际情况进行研究和分析，对三个问题都设计了合适的数学模型做出了相应的解答和处理。 问题一：此问只需考虑两个加油站和铁路之间位置的关系，根据位置的不同设计相应的模型，我们基于光的传播原理，设计了一种改进的最短路径模型，在不考虑共用管线价格差异的情况下，只考虑如何设计最短的路线，因此只需一个未知变量便可以列出最短路径函数；在考虑到共用管线价格差异的情况下，则需要建立2个未知变量，如果带入已知常量，可以解出变量的值。 问题二：此问给出了两个加油站的具体位置，并且增加了城区和郊区的特殊情况，我们进一步改进数学模型，将输油管路线横跨两个不同的区域考虑为光在两种不同介质中传播的情况，输油管在城区和郊区的铺设将不会是直线方式，我们将其考虑为光在不同介质中传播发生了折射。在郊区的路线依然可以采用问题一的改进最短路径模型，基于该模型，我们只需设计2个变量就可以列出最低费用函数，利用Matlab和VC++ 都可以解出最小值，并且我们经过多次验证和求解，将路径精度控制到米，费用精度控制到元。 问题三：该问的解答方法和问题二类似，但是由于A管线、B管线、共用管线三者的价格均不一样，我们利用问题二中设计的数学模型，以铁路为横坐标，城郊交汇为纵坐标建立坐标轴，增加了一个变量，建立了最低费用函数，并且利用VC++解出了最低费用和路径坐标。 关键字：改进的最短路径光的传播 Matlab 数学模型

数学建模大赛优秀论文

论文评阅要点 一、主要标准： 1、假设的合理性； 2、建模的创造性； 3、文字表达的清晰性； 4、结果的正确性。 二、论文组成概要： 1、题目 2、摘要 3、问题重述 4、模型假设与符号 5、分析建立模型 6、模型求解 7、模型检验与推广 8、参考文献与附录 三、参考给分步骤（10分制） 1、摘要部分（论文的方法、结果、表达饿清晰度）。。。。。。。。。。。。。。3分 2、假设部分（合理性与创造性）。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分 3、数学模型（创造性与完整性）。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分 4、解题方法与结果（创造性与正确性）。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分 5、模型的优缺点与推广（合理性）。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分 四、评阅方法 1、每位教师把卷号、分数及主要理由记录在白纸上，以便专人统计； 2、每份论文至少要三位教师评阅过，选出获奖论文的2倍数量，对分歧大的试卷讨论给分； 3、对入选论文至少要六位教师评阅过。按分数高低排序； 4、对一、二等奖的论文要求写出30字左右的评语，与论文一起在网上发表。 五、评阅时间：5月21日（星期六）

C 题：最佳广告费用及其效应 摘要：本文从经济经验上着眼，首先用回归建立了基本模型，从预期上描述了售价变化与预期销售量的关系和广告费变化与销售量增长因子的关系。其次从基本模型出发，我们构造出预期时间利润最大模型，得到了利润在预期的条件下获得最大利润116610元时的最佳广告费用33082元和售价5.9113元。 一 问题的分析与假设 （1）销售量的变化虽然是离散的，但对于大量的销售而言，可设销售量的变化随售价的增加而线性递减。 （2）销售增长因子虽然也是离散的，但当广告费逐渐增加时，可设销售增长因子也是连续变化的。 （3）要使预期利润达到最大，买进的彩漆应为模型理论上的预期最大利润时的销售量相等。 二 模型的基本假设与符号说明 （一）基本假设 1. 假设彩漆的预期销售量不受市场影响。 2. 彩漆在预期时间内不变质，并且价格在预期内不波动。 （二）符号说明 x ：售价（元）； y ：预期销售量（千桶）； ： *y 回归拟合预期销售量（千桶）； y ：预期销售量的均值（千桶）； x ：售价的平均值（元） ； 0A ：x 与y 的回归常数； 1A ：x 与y 的回归系数； ε ：x 与y 的随机变量； k ：销售增长因子； m ：广告费（万元）； 0B ：k 与m 的非线性回归系数； 1B ：k 与m 的非线性回归系数； 2B ：k 与m 的非线性回归常数； η ：k 与m 的随机变量； Z ：预期利润（元）。 三 模型的建立 （一）售价与预期销售量的模型。 根据条件（表1）描出散点图，假设售价与预期销售量为线性关系，得基本模型 ε++=x A A 10y 假定9组预期值),,(i i y x i=1,2,…,9；符合模型