1 / 9下载文档可编辑
1.已知自由空间中均匀平面波磁场强度瞬时值为：
()
)]
43(cos[31
,,z x t-e t z x H +=πωπ
y ?? A/m ，求①该平面波角频率ω、频率f 、波长
②电场、磁场
强度复矢量③瞬时坡印廷矢量、平均坡印廷矢量。
解：① z
x z k y k
x k z y
x
ππ43+=++；π
3=x
k
，
0=y
k ，π4=z
k
；
)
/(5)4()3(2222
2m rad k k k k z y x πππ=+=++=；
λ
π
2=
k ， )(4.02m k
==πλ
c
v f ==λ（因是自由空间），
)(105.74
.010388
Hz c
f ?=?=
=
λ
；
)/(101528s rad f ?==ππω
② )/(31),()
43(m A e z x z x j y
+-=ππ
；
)
/()243254331120),(),(),()
43()43(m V e
e k z x z x z x z x j z x z x z x j y n +-+--=+??=?
=?=ππππ
πππηη（③ ()[])/()43(cos 2432),,(m V z x t e e t z x E z
x
+--=πω
())]
43(cos[31
,,z x t-e t z x H +=πωπ
y ??（A/m ）
()
[]()
[])/()43(cos 322431)]
43(cos[31
)43(cos 243222m W z x t z x t-e z x t H z x z x +-+=+?+--=?=πωπ
πωπ
πωy ?()
)
43(2432),z x j z x e z x +--=π，
)43(31),(z x j y e
e z x H +-=ππ
()
()
)/(322461312432Re 21Re 212*
)43()43(*
m W e e z x z x j y z x j z x av
+=?????????????????-=??? ???=+-+-π
πππ
2.横截面为矩形的无限长接
地金属导体槽，上部有电位为 的金属盖板；导体槽的侧壁与盖板间有非常小的间隙以保证相互绝缘。试求此导体槽内的电位分布。
解: 导体槽在z 方向为无限长，槽内电位满足直角坐标系中的二维拉普拉斯方程。
由于槽内电位00
x φ
==和0
x a
φ
==，则其
通
解
形式为
00001
(,)()()(sin cos )(sinh cosh )
(3)
n
n
n
n n n n n n x y A x B C y D A k x B
k x C k y D k y φ∞
==+++
++∑(0,)0(0)
y y b φ=≤<代入上式，得
0001
0()(sinh cosh )
n n n n n n B C y D B C k y D k y ∞
==+++∑为使上式对y 在0b →内成立，则
0(0,1,2,)
n B n ==L 则
0001
(,)()sin (sinh cosh )
n n n n n n n x y A x C y D A k x C k y D k y φ∞
==+++∑(,)0
(0)a y y b φ=≤<代入上式，
得 0001
0()sin (sinh cosh )
n n n n n n n A a C y D A k a C k y D k y ∞==+++∑为使上式对y 在0b →内成立，则0
0A = sin 0
(1,2,)
n n
A k a n ==L 其
中n
A 不能为零，否则0φ≡,故有
sin 0n k a =
得
(1,2,)
n n k n a
π
=
=L 则
1
(,)sin
(sinh cosh )n n n n n x n y n y x y A C D a a a
πππφ∞==+∑
(,0)0
(0)
x x a φ=≤≤代入上式，得
1
0sin
n n n n x A D a
π∞
==∑ 为使上式对x 在0a →内成立，且0n
A ≠则
0(1,2,)n D n ==L
则1
(,)sin sinh n n n x n y x y A a a
ππφ∞
='=∑
其中n
n
n
A A C '=；
(,)(0)
x b U x a φ=≤≤代入上式，得
)
0(0
),0(b y y <≤=?)0(0),(b y y a <≤=?)0(0)0,(a x x ≤≤=?)
0(),(0
a x U
b x ≤≤=?0
2
=??
2 / 9下载文档可编辑
01
sin sinh n
n n x n b U A a a
ππ∞
='=∑
为确定常数n
A '，将 在区间
(0,)
a 上按sin n x a π????
?
?
展开为傅里叶级数，即0
1
sin
n
n n x U f
a
π∞==∑ 002sin a n n x
f U dx a a
π=
?041,3,5,0
2,4,6,U n n n π?=?=??=?L L
sinh n n
f A n b a π'=041,3,5,sinh 02,4,6,U n n b n a n ππ?
=??
=??=??
L L 导体槽内电位函数为
1,3,41
(,)sin sinh sinh n U n x n y
x y n b a a n a
ππφππ
∞
==
∑
L
4．已知空气中均匀平面波电场强度的复数表示为
()z j 0e E t ,z β-=x e E ??，
由z<0区域垂直
入射于z>=0区域的理想介质中，已知该理想介质εr = 4，μ≈μ0，求①反射波的电场
强度、磁场强度；②透射波电场强度、磁场强度。③z<0区域合成波的电场强度、磁场强度并说明其性质。
解：① z j x i e E e E β-=0，
z j y
z j x z i e E e E ββηη--=?=
00
1
1ηη=，20
0002
η
εηεεμη
===
r
r ，
3
12
2
00
1212-
=+-=+-=ηηηηηηη
ηΓ，
3
22
2220
00
122=+?=+=ηηη
ηηητ z j x z
j x r e E e E ββ003
1
-==Γ
z
j y z j x z r z r e E e E ββπηη36031)(1
)(1
0000=??
?
??-?-=?-=② βεεμω
β2002==r
z j x z
jk x t e E e
E βτ2003
2
2--==
z
j y z j x z t z t e E e E ββπηη2020229032)(1
)(1
--=??
?
???=?=③
0100133j z j z j z j z x x x E E e E e e e e E e e ββββ--??=-=-??
??
u r r r r 0021122cos 33333j z j z j z j z x x e E e e e e E e z βββββ---????
=--=-????
????r r 000
111203601203j z j z j z j z y y y
E E E H e e e e e e e ββββπππ
--??
=+=+????
u u r r r r 0
21122sin 12033312033j z j z j z j z y y E
E e e e e e e j z βββββπ
π---????=-+=+??????
??
r r 行驻波，驻波系数
23
1131111=-+
=-+=ΓΓ
S
5．已知空气中均匀平面波电场强度的复矢量表示为
()z j e E z β-=0x i ，垂直入射于
z=0
的理想导体板上，求①反射波电场强度、磁场强度复矢量；②导体板上的感应电流密度；③真空中合成电场强度的瞬时值表示式并说明合成波特性。
解：①()z j e E z β-=0x
i
e
E ，
z j y
z j x z i e E e E ββηη--=?=
00
1
z j x z j x r e E e E ββ00)1(-=-=
()
z
j y
z j x z r z r e E e E ββπ
ηη120)(1
)(1
000
=-?-=
?-=
②
3 / 9下载文档可编辑
z
E j e E e E x z j x z j x r i βββsin 20001-=-=+=-z E
e e E e e E e H H H y z j y z j y
r i βπ
ππββcos 601201200001=+=+=-()
π
π60600
00
1
E
e E e e H e J x y
z z n s =?-=?==
③
1100(,)Re 2sin cos 22sin sin j t x x E z t E e e E z t e E z t
ωπβωβω????==- ????
?=u r u r r r
合成电磁波为驻波。
6.电场中有一半径为a 的圆
柱体，已知圆柱体内、
外的电位函数为：
??
?
?
?≥-=<=a
a A a ρφρρ?ρ?cos )(0
22
1
求①圆柱体内、外的电场强
度；②柱表面电荷密度。
（提示：柱坐标
z
u
e u e u e u z
??+??+??=?ρρρφρρφρ ）
解：①圆柱体内的电场强度为
011=-?=?
圆柱体外的电场强度为
φ
ρφρ?φρ?ρ??φρφρsin 1cos 122
2222222???
?
??-+???? ??+-=????
????+??+??-=-?=a A a A z e e e z ρρρ
②柱表面电荷密度为
()
()
φερρρρcos 22
01
2A a
a
n S -=?=-?===
7.海水的电导率σ=4S/m ，相对介电常数 81=r
ε
。设海水中
电场大小为t cos E E m ω=，求频率f=1MHz 时，①海水中的传导电流密度J; ②海水中的位移电流密度J D 。
解：①t E E J m ωσcos 4==
②
t
E t E E D m m r ωεωεεεcos 81cos 00===09681sin 1
81102110sin 1.458sin 36D m m m D
J E t t E t E t
εωωπωωπ-?=
=-?=-?????=-
在理想介质 (1,25.2r r ==με)中均匀平面波电场强度瞬时
值为：())t-kz cos(40t ,z ωx e E ?
?=。
已知该平面波频率为10GHz ，求：①该平面波的传播方向、角频率、波长、波数k ；②电
场强度复矢量；③磁场强度瞬时值；④平均能流密度矢量
v S a ?。
解：① 传播方向：+z ；
)
/(102101022109s rad f ?=??==πππω8
80010225
.21031
1
?=?=
=
=
=
=r
r
c
v f εεεμμε
λ)(02.010
101029
8
m f v =??==λ
)/(10002
.022m rad k ππ
λ
π
==
=
。
② )/(40)(m V e e z E jkz x -= ③
)(8025
.2120000Ωππ
εηεεμεμη=====
r r
，
140()()801(/)
2jkz z y jkz y H z e E z e e
e e A m ηππ
--=?==u u r r u
r r r )/()cos(21
),(m A kz t e t z H y
-=ωπ
④
*
*2111Re Re 4022210(/)
jkz jkz av x y z S E H e e e e e W m ππ
--??????=?=??? ???????????=u r u r u u r r r r
4 / 9下载文档可编辑
1．已知矢量2z 2y 2
x
z e xy e x
e A ?
??
?++=，
则A ???=z xy x 222++， A ?
??=2y z 。 注：
z
xy x z
A y A x A z
y x 222++=??+??+??=??
222)(y x xy xy y e A y e z z y
y y =????????
2．矢量B A ?
?、垂直的条件为
0=?。
3．理想介质的电导率为0=σ，理想导体的电导率为∞→σ，欧姆定理的微分形式为σ=。 4．静电场中电场强度E ?
和电位φ的关系为?-?=，此关系的理论依据为0=??；若已知电位22
z 3x y
2+=?，
在点（1,1,1）处电场强度=E ?
()6
42z y x
++-。
注
：
(
)z
xy y z y x z y x z y x 6422
++-=???
? ????+??+??-=-?=????5．恒定磁场中磁感应强度B ?
和矢量磁位A ?
的关系为
??=；此关系的理论依据为
=??。
6．通过求解电位微分方程可获知静电场的分布特性。静电场电位泊松方程为ερ?/2
-=?，
电位拉普拉斯方程为02
=??。
7．若电磁场两种媒质分界面上无自由电荷与表面电流，其
D E ?
?、边界条件为：()
021=-?n 和
(
)02
1=-?n ；H B ?
?、边界条件为：
()021=-?n 和()
021=-?n 。
8．空气与介质)4(2
r =ε
的分界面
为z=0的平面，已知空气中的
电场强度为4e 2e e E z
y
x
1
????++=,则介
质中的电场强度
=
2E ?
12z y x e e e ?
??++。
注：因电场的切向分量连续，
故有z
z
y
x
E e e e E 22
2????++=，
又电位移矢量的法向分量连续，即
1422200=?=?z z r E E εεε
所以122
z y x e e e ?
??++=。
9. 有一磁导率为 μ 半径为
a 的无限长导磁圆柱，其轴线
处有无限长的线电流 I ，柱外是空气（μ0 ），则柱内半径为
1ρ处磁感应强度1B ?
=1
2πρμφI
；
柱外半径为2ρ处磁感应强度
2B ?
=2
02πρμφI 。
10．已知恒定磁场磁感应强度
为z 4e my e x e B z
y
x
????++=,则常数m=
-5 。
注:因为0=??+
??+
??=??z
B y
B x
B
B z
y x
，所
以5041-=?=++m m 。
11．半径为a 的孤立导体球，在空气中的电容为C 0=a 0
4πε；
若其置于空气与介质（ε1 ）之间，球心位于分界面上，其等效电容为C 1=()a 10
2εεπ+。
解：（1）0
24επQ
r E
r
=
?，2
04r
Q E
r
πε=
，
a
Q dr E U a
r 04πε=
=?∞
，a U
Q C 0
4πε
==
（2）
Q
r D r D r r =+222122ππ，
5 / 9下载文档可编辑
1
20
1εεr
r
D D =
，()2
10012r Q D
r
εεπε+=
，()2
10122r Q
D r εεπε+=
，()2
10212r Q
E E r r εεπ+=
=，a
Q
dr E U a
r )(2101εεπ+=
=?∞
，
a U
Q
C )(210εεπ+==
12．已知导体材料磁导率为μ，以该材料制成的长直导线单位长度的内自感为
π
μ
8。
13．空间有两个载流线圈，相互 平行 放置时，互感最大；相互 垂直 放置时，互感最小。
14．两夹角为n
πα=(n 为整数)
的导体平面间有一个点电荷q ，则其镜像电荷个数为 （2n-1） 。
15．空间电场强度和电位移分
别为D E ??、，则电场能量密度
w e =?2
1。
16．空气中的电场强度
)2cos(20kz t e E x -=π?
? ，
则空间位移电流密度
D
J ?=
()kz t e x --ππε2sin 400。
注
：
[]
)2sin(40)2cos(2000kz t kz t t
t D x x D --=-??
=??=
ππεπε（A/m 2）。
17．在无源区内，电场强度E
?的波动方程为022
=+?
E k E c 。
18．频率为300MHz 的均匀平面波在空气中传播，其波阻抗为)(120Ωπ，波的传播速度为
)
/100.3(8s m c ?≈，波长为 1m ，相位常数为)/(2m rad π；
当其进入对于理想介质(εr = 4，μ≈μ0)，在该介质中的波阻抗为)(60Ωπ，传播速度为)/(105.18s m ?，波长为 0.5m ，相位常数为)/(4m rad π
。
注：有关关系式为
波阻抗ε
μη=
（Ω），相速
度με
1
=
v （m/s ），v f =λ，λ
π
2=k （rad/m ）
空气或真空中，
)(1200Ωπη=，)/(1038s m c v ?≈=。
19．已知平面波电场为
z
j y x i e e j e (E E β--=)0ρ
ρρ，其极化方式
为 右旋圆极化波 。
注：因为传播方向为z +方向，
且ym
xm
E E
=，0=x φ，2
πφ
-
=y
，
02
<-
=-=π
φφφx y ?，故为右旋圆
极化波。
21．海水的电导率σ=4S/m，相对介电常数81=r ε。对于f=1GHz 的电场，海水相当于
一般导体 。
解：因为
181
72
8110361101242990<=?????==-π
πεεπσωεσr f 所以现在应视为一般导体。
22．导电媒质中，电磁波的相
速随频率变化的现象称为 色散 。
23． 频率为f 的均匀平面波在良导体（参数为εμσ、、）
6 / 9下载文档可编辑
中传播，其衰减常数α=
μσ
πf ，本征阻抗相位为
4/π，趋肤深度δ=
μσ
πf 1
。 24．均匀平面波从介质1向介
质2垂直入射，反射系数Γ
和透射系数τ 的关系为
τ
=+Γ1。
25．均匀平面波从空气向
,25.2μμε==r 的理想介质表面
垂直入射，反射系数Γ= -0.2 ，在空气中合成波为 行驻波 ，驻波比S= 1.5 。
解
：
π
ηη12001==，π
π
εηεμη8025
.212020222====r ，
2
.01
21
2-=+-=
ηηηηΓ，行驻波，
5
.111=-+=
Γ
ΓS
26．均匀平面波从理想介质向理想导体表面垂直入射，反射
系数Γ= -1 ，介质空间合
成电磁波为 驻波 。
27．均匀平面波从理想介质1
向理想介质2斜入射，其入射角为θi , 反射角为θr , 折
射角为θt ，两区的相位常数分别为k 1、k 2，反射定律为
i r θθ=，折射定律为t i k k θθsin sin 21=。
28．均匀平面波从稠密媒质
(ε1)向稀疏媒质(ε2)以大于
等于=
c
θ
1
2arcsin
εε斜入射，在分界
面产生全反射，该角称为 临界角 ；平行极化波以
=
b θ1
2
arctan
εε斜入射，在分界面
产生全透射，该角称为 布儒斯特角 。
29．TEM 波的中文名称为 横电磁波 。
30．电偶极子是指 几何长度远小于波长的载有等幅同相电流的线元 ，电偶极子的远区场是指 1>>kr 或λ>>r 。
1．
导电媒质和理想导体形成的边界，电流线为何总是垂直于边界？
答：在两种不同导电媒质交界面两侧的边界条件为
()
021=-?n ，()
021=-?n ，即
n
n J J 21=，t t
E E
21=，因此
2
1
2211221121////tan tan σσσσθθ===n n n t n t J J E E E E
显然，当∞
→1
σ
时，可推得
02→θ，
即电流线垂直于边界。 2．写出恒定磁场中的安培环路定律并说明：磁场是否为保守场？
答：恒定磁场中的安培环路定律为???=?S
C
d d ，由斯托克
斯
定
理
可得
????=???=?S
S
C
S d J S d H l d H ，因此
=??不恒为零，故不是保守场。
《电磁场与电磁波》试卷1 一. 填空题（每空2分,共40分） 1．矢量场的环流量有两种特性：一是环流量为0，表明这个矢量场 无漩涡流动 。另一个是环流量不为0，表明矢量场的 流体沿着闭合回做漩涡流动 。 2．带电导体内静电场值为 0 ，从电位的角度来说，导体是一个 等电位体 ，电荷分布在导体的 表面 。 3．分离变量法是一种重要的求解微分方程的方法，这种方法要求待求的偏微分方程的解可以表示为 3个 函数的乘积，而且每个函数仅是 一个 坐标的函数，这样可以把偏微分方程化为 常微分方程 来求解。 4．求解边值问题时的边界条件分为3类，第一类为 整个边界上的电位函数为已知 ，这种条件成为狄利克莱条件。第二类为已知 整个边界上的电位法向导数 ，成为诺伊曼条件。第三类条件为 部分边界上的电位为已知，另一部分边界上电位法向导数已知 ，称为混合边界条件。在每种边界条件下，方程的解是 唯一的 。 5．无界的介质空间中场的基本变量B 和H 是 连续可导的 ，当遇到不同介质的分 界面时，B 和H 经过分解面时要发生 突变 ，用公式表示就是 12()0n B B ?-=，12()s n H H J ?-=。 6．亥姆霍兹定理可以对Maxwell 方程做一个简单的解释：矢量场的 旋度 ，和 散度 都表示矢量场的源，Maxwell 方程表明了 电磁场 和它们的 源 之间的关系。 二．简述和计算题（60分） 1．简述均匀导波系统上传播的电磁波的模式。（10分） 答：（1）在电磁波传播方向上没有电场和磁场分量，即电场和磁场完全在横平面内，这种模式的电磁波称为横电磁波，简称TEM 波。 （2）在电磁波传播方向上有电场和但没有磁场分量，即磁场在横平面内，这种模式的电磁波称为横磁波，简称TM 波。因为它只有纵向电场分量，又成为电波或E 波。 （3）在电磁波传播方向上有磁场但没有电场分量，即电场在横平面内，这种模式的电磁波称为横电波，简称TE 波。因为它只有纵向磁场分量，又成为磁波或M 波。 从Maxwell 方程和边界条件求解得到的场型分布都可以用一个或几个上述模式的适当幅相组合来表征。 2．写出时变电磁场的几种场参量的边界条件。（12分） 解：H 的边界条件 12()s n H H J ?-= E 的边界条件
《电磁场与电磁波》试题（4） 一、填空题（每小题 1 分，共 10 分） 1．矢量 的大小为 。 2．由相对于观察者静止的，且其电量不随时间变化的电荷所产生的电场称为 。 3．若电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹是直线，则波称为 。 4．从矢量场的整体而言，无散场的 不能处处为零。 5．在无源区域中，变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场，使电磁场以 的形式传 播出去，即电磁波。 6．随时间变化的电磁场称为 场。 7．从场角度来讲，电流是电流密度矢量场的 。 8．一个微小电流环，设其半径为、电流为，则磁偶极矩矢量的大小为 。 9．电介质中的束缚电荷在外加 作用下，完全脱离分子的内部束缚力时，我们把这种 现象称为击穿。 10．法拉第电磁感应定律的微分形式为 。 二、简述题 （每小题 5分，共 20 分） 11．简述恒定磁场的性质，并写出其两个基本方程。 12．试写出在理想导体表面电位所满足的边界条件。 13．试简述静电平衡状态下带电导体的性质。 14．什么是色散？色散将对信号产生什么影响？ 三、计算题 （每小题10 分，共30分） 15．标量场，在点 处 （1）求出其梯度的大小 （2）求梯度的方向 16．矢量 ， ，求 （1） （2） 17．矢量场的表达式为 （1）求矢量场的散度。 （2）在点处计算矢量场的大小。 z y x e e e A ???++=? a I ()z e y x z y x +=32,,ψ()0,1,1-P y x e e A ?2?+=? z x e e B ?3?-=? B A ? ??B A ??+A ? 2?4?y e x e A y x -=? A ? ()1,1A ?
. 1 麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+?u v u u v u v ,B E t ???=-?u v u v ,0B ?=u v g ,D ρ?=u v g 2静电场的基本方程积分形式为： 0C E dl =? u v u u v g ? S D ds ρ =?u v u u v g ? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为： 3.00n S n n n S e e e e J ρ??=??=???=???=?D B E H r r r r r r r r r 4线性且各向同性媒质的本构关系方程是： 4.D E ε=u v u v ,B H μ=u v u u v ,J E σ=u v u v 5电流连续性方程的微分形式为： 5. J t ρ??=- ?r g 6电位满足的泊松方程为 2ρ?ε?=- ； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。 12??= 1212n n εεεε??=?? 7应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理 论依据是: 唯一性定理。 8.电场强度E ?的单位是V/m ，电位移D ? 的单位是C/m2 。 9．静电场的两个基本方程的微分形式为 0E ??= ρ?=g D ； 10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A u v ，并令 B A =??u v u v 的依据是（ 0B ?=u v g ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ? ” 的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ )ln( 1 a a D C -= πε ）。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω=r r 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?==-?r r r 其振幅值为：3 04510.dm r m m J E E ωεε-==? 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510.dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S u u v u u v g ?S d q =?得2 4q D r π= 24D e e u u v v v r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e u u v u u v v r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r u u v u u v v u u v g g g r a a a q q U d d d r a πεπε∞∞∞====??? 导体球的电容04q C a U πε==
1.麦克斯韦的物理意义：根据亥姆霍兹定理，矢量场的旋度和散度都表示矢量场的源。麦克斯韦方程表明了电磁场和它们的源之间的全部关系：除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。 1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。 2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为,,0,D B H J E B D t t ρ????=+ ??=-??=??=??，(3分)（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁 场也是电场的源。 1.简述集总参数电路和分布参数电路的区别： 2.答：总参数电路和分布参数电路的区别主要有二：（1）集总参数电路上传输的信号的波长远大于传输线的几何尺寸；而分布参数电路上传输的信号的波长和传输线的几何尺寸可以比拟。（2）集总参数电路的传输线上各点电压（或电流）的大小与相位可近似认为相同，无分布参数效应；而分布参数电路的传输线上各点电压（或电流）的大小与相位均不相同，呈现出电路参数的分布效应。 1.写出求解静电场边值问题常用的三类边界条件。 2.答：实际边值问题的边界条件可以分为三类：第一类是整个边界上的电位已知，称为“狄利克莱”边界条件；第二类是已知边界上的电位法向导数，称为“诺依曼”边界条件；第三类是一部分边界上电位已知，而另一部分上的电位法向导数已知，称为混合边界条件。 1.简述色散效应和趋肤效应。 2.答：在导电媒质中，电磁波的传播速度（相速）随频率改变的现象，称为色散效应。在良导体中电磁波只存在于导体表面的现象称为趋肤效应。 1.在无界的理想媒质中传播的均匀平面波有何特性？在导电媒质中传播的均匀平面波有何特性？ 2. 在无界的理想媒质中传播的均匀平面波的特点如下：电场、磁场的振幅不随传播距离增加而衰减，幅度相差一个实数因子η（理想媒质的本征阻抗）；时间相位相同；在空间相互垂直，与传播方向呈右手螺旋关系，为TEM 波。 在导电媒质中传播的均匀平面波的特点如下：电磁场的振幅随传播距离增加而呈指数规律衰减；电、磁场不同相，电场相位超前于磁场相位；在空间相互垂直，与传播方向呈右手螺旋关系，为色散的TEM 啵。 1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。 2. 时变场的一般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。 (或矢量式2n D σ=、20n E ?=、 2s n H J ?=、20n B =) 1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。 2. 答矢量位,0B A A =????=；动态矢量位A E t ??=-?- ?或A E t ??+=-??。库仑规范与洛仑兹规范的作用都 是限制A 的散度，从而使A 的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。 1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义 2. s A ds φ=??? 是矢量A 穿过闭合曲面S 的通量或发散量。若Ф> 0，流出S 面的通量大于流入的通量，即通 量由S 面内向外扩散，说明S 面内有正源若Ф< 0，则流入S 面的通量大于流出的通量，即通量向S 面内汇集，说明S 面内有负源。若Ф=0，则流入S 面的通量等于流出的通量，说明S 面内无源。 1. 证明位置矢量 x y z r e x e y e z =++ 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。 2. 证明在直角坐标系里计算 ，则有 ()()x y z x y z r r e e e e x e y e z x y z ? ? ?????=++?++ ?????? 3x y z x y z ???= ++=??? 若在球坐标系里计算，则 23 22 11()()()3r r r r r r r r r ????===??由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。 1. 在直角坐标系证明0A ????= 2.
《电磁场与电磁波》试题1 一、填空题(每小题1分,共10分) 1.在均匀各向同性线性媒质中,设媒质的导磁率为μ ,则磁感应强度B 与磁场H 满足的方程 为: 。 2.设线性各向同性的均匀媒质中,02=?φ称为 方程。 3.时变电磁场中,数学表达式H E S ?=称为 。 4.在理想导体的表面, 的切向分量等于零。 5.矢量场 )(r A 穿过闭合曲面S 的通量的表达式为: 。 6.电磁波从一种媒质入射到理想 表面时,电磁波将发生全反射。 7.静电场就是无旋场,故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。 8.如果两个不等于零的矢量的 等于零,则此两个矢量必然相互垂直。 9.对平面电磁波而言,其电场、磁场与波的传播方向三者符合 关系。 10.由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场,恒定磁场就是无散场,因此,它可用 函数的旋度来表示。 二、简述题 (每小题5分,共20分) 11.已知麦克斯韦第二方程为 t B E ??-=?? ,试说明其物理意义,并写出方程的积分形式。 12.试简述唯一性定理,并说明其意义。 13.什么就是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 14.写出位移电流的表达式,它的提出有何意义？ 三、计算题 (每小题10分,共30分) 15.按要求完成下列题目 (1)判断矢量函数y x e xz e y B ??2+-= 就是否就是某区域的磁通量密度？
(2)如果就是,求相应的电流分布。 16.矢量z y x e e e A ?3??2-+= ,z y x e e e B ??3?5--= ,求 (1)B A + (2)B A ? 17.在无源的自由空间中,电场强度复矢量的表达式为 ()jkz y x e E e E e E --=004?3? （1） 试写出其时间表达式; （2） 说明电磁波的传播方向; 四、应用题 (每小题10分,共30分) 18.均匀带电导体球,半径为a ,带电量为Q 。试求 （1） 球内任一点的电场强度 （2） 球外任一点的电位移矢量。 19.设无限长直导线与矩形回路共面,(如图1所示), (1)判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向(在图中标出); (2)设矩形回路的法向为穿出纸面,求通过矩形回路中的磁通量。 20.如图2所示的导体槽,底部保持电位为 0U ,其余两面电位为零, （1） 写出电位满足的方程; （2） 求槽内的电位分布 图1
电磁场与电磁波例题详解
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
第1章 矢量分析 例1.1 求标量场z y x -+=2)(φ通过点M (1, 0, 1)的等值面方程。 解：点M 的坐标是1,0,1000===z y x ，则该点的标量场值为 0)(0200=-+=z y x φ。其等值面方程为 ： 0)(2=-+=z y x φ 或 2)(y x z += 例1.2 求矢量场222zy a y x a xy a A z y x ++=的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为 ： z y dz y x dy xy dx 222== 从而有 ???????==z y dz xy dx y x dy xy dx 2222 解之即得矢量方程???=-=2 2 21c y x x c z ，c 1和c 2是积分常数。 例1.3 求函数xyz z xy -+=22?在点（1，1，2）处沿方向角 3 ,4 ,3 π γπ βπ α= = = 的方向导数。 解：由于 1) 2,1,1(2) 2,1,1(-=-=??==M M yz y x ?, 02) 2,1,1() 2,1,1(=-=??==M M xz xy y ?, 32) 2,1,1() 2,1,1(=-=??==M M xy z z ?, 2 1cos ,22cos ,21cos === γβα 所以
1cos cos cos =??+??+??= ??γ?β?α??z y x l M 例1.4 求函数xyz =?在点)2,1,5(处沿着点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向导数。 解：点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向矢量为 1734)219()14()59(z y x z y x a a a a a a l ++=-+-+-= 其单位矢量 3147 31433144cos cos cos z y x z y x a a a a a a l ++=++=γβα 5, 10, 2) 2,1,5()2,1,5()2,1,5() 2,1,5() 2,1,5() 2,1,5(==??==??==??xy z xz y yz x ? ?? 所求方向导数 314 123 cos cos cos = ??=??+??+??=?? l z y x l M ?γ?β?α?? 例1.5 已知z y x xy z y x 62332222--++++=?，求在点)0,0,0(和点)1,1,1( 处的梯度。 解：由于)66()24()32(-+-++++=?z a x y a y x a z y x ? 所以 623) 0,0,0(z y x a a a ---=?? ，36) 1,1,1(y x a a +=?? 例1.6 运用散度定理计算下列积分： ??++-+=S z y x S d z y xy a z y x a xz a I )]2()([2322 S 是0=z 和2 2 22y x a z --=所围成的半球区域的外表面。 解：设：)2()(2322z y xy a z y x a xz a A z y x ++-+= 则由散度定理???=??τ τs S d A d A 可得
第一章 一、矢量代数 A ?B =AB cos θ A B ?= AB e AB sin θ A ?(B ?C ) = B ?(C ?A ) = C ?(A ?B ) ()()()C A C C A B C B A ?-?=?? 二、三种正交坐标系 1. 直角坐标系 矢量线元x y z =++l e e e d x y z 矢量面元=++S e e e x y z d dxdy dzdx dxdy 体积元d V = dx dy dz 单位矢量的关系?=e e e x y z ?=e e e y z x ?=e e e z x y 2. 圆柱形坐标系 矢量线元=++l e e e z d d d dz ρ?ρρ?l 矢量面元=+e e z dS d dz d d ρρ?ρρ? 体积元dz d d dV ?ρρ= 单位矢量的关系?=??=e e e e e =e e e e z z z ρ??ρ ρ? 3. 球坐标系 矢量线元d l = e r d r + e θ r d θ + e ? r sin θ d ? 矢量面元d S = e r r 2sin θ d θ d ? 体积元 ?θθd d r r dV sin 2= 单位矢量的关系?=??=e e e e e =e e e e r r r θ? θ??θ 三、矢量场的散度和旋度 1. 通量与散度 =?? A S S d Φ 0 lim ?→?=??=??A S A A S v d div v 2. 环流量与旋度 =??A l l d Γ max n rot =lim ?→???A l A e l S d S 3. 计算公式 ????= ++????A y x z A A A x y z 11()z A A A z ?ρρρρρ?????= ++????A 22111()(s i n )s i n s i n ????= ++????A r A r A A r r r r ? θ θθθθ? x y z ? ????= ???e e e A x y z x y z A A A 1z z z A A A ρ?ρ?ρρ?ρ? ?? ??= ???e e e A
一、选择题 1、以下关于时变电磁场的叙述中，正确的是（ ） A 、电场是无旋场 B 、电场和磁场相互激发 C 、电场与磁场无关 2、区域V 全部用非导电媒质填充，当此区域中的电磁场能量减少时，一定是（ ） A 、能量流出了区域 B 、能量在区域中被消耗 C 、电磁场做了功 D 、同时选择A 、C 3、两个载流线圈之间存在互感，对互感没有影响的的是（ ） A 、线圈的尺寸 B 、两个线圈的相对位置 C 、线圈上的电流 D 、空间介质 4、导电介质中的恒定电场E 满足（ ） A 、0??=E B 、0??=E C 、??=E J 5、用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（ ） A 、镜像电荷是否对称 B 、电位方程和边界条件不改变 C 、同时选择A 和B 6、在静电场中，电场强度表达式为3(32)()y x z cy ε=+--+x y z E e e e ，试确定常数 ε的值是（ ） A 、ε=2 B 、ε=3 C 、ε=4 7、若矢量A 为磁感应强度B 的磁矢位，则下列表达式正确的是（ ） A 、=?B A B 、=??B A C 、=??B A D 、2=?B A 8、空气（介电常数10εε=）与电介质（介电常数204εε=）的分界面是0z =平面， 若已知空气中的电场强度124= +x z E e e 。则电介质中的电场强度应为（ ） A 、1216=+x z E e e B 、184=+x z E e e C 、12=+x z E e e 9、理想介质中的均匀平面波解是（ ） A 、TM 波 B 、TEM 波 C 、TE 波 10、以下关于导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是（ ） A 、不再是平面波 B 、电场和磁场不同相 C 、振幅不变 D 、以T E 波的形式传播 二、填空 1、一个半径为α的导体球作为电极深埋地下，土壤的电导率为 σ，略去地面的影响，则电极的接地电阻R = 2、 内外半径分别为a 、b 的无限长空心圆柱中均匀的分布着轴向电流I ，设空间离轴距离为()r r a <的某点处，B= 3、 自由空间中，某移动天线发射的电磁波的磁场强度
《电磁场与电磁波》试题2 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的介电常数为ε，则电位移矢量D 和电场E 满足的 方程为： 。 2．设线性各向同性的均匀媒质中电位为φ，媒质的介电常数为ε，电荷体密度为V ρ，电位所满足的方程为 。 3．时变电磁场中，坡印廷矢量的数学表达式为 。 4．在理想导体的表面，电场强度的 分量等于零。 5．表达式()S d r A S ??称为矢量场)(r A 穿过闭合曲面S 的 。 6．电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，电磁波将发生 。 7．静电场是保守场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。 8．如果两个不等于零的矢量的点积等于零，则此两个矢量必然相互 。 9．对横电磁波而言，在波的传播方向上电场、磁场分量为 。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是 场，因此，它可用磁矢位函数的旋度来表示。 二、简述题 （每小题5分，共20分） 11．试简述磁通连续性原理，并写出其数学表达式。 12．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 13．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微 分形式。 14．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？ 三、计算题 （每小题10分，共30分） 15．矢量函数z x e yz e yx A ??2 +-= ，试求 （1）A ?? （2）A ?? 16．矢量z x e e A ?2?2-= ，y x e e B ??-= ，求 （1）B A - （2）求出两矢量的夹角
17．方程2 2 2 ),,(z y x z y x u ++=给出一球族，求 （1）求该标量场的梯度； （2）求出通过点()0,2,1处的单位法向矢量。 四、应用题 （每小题10分，共30分） 18．放在坐标原点的点电荷在空间任一点r 处产生的电场强度表达式为 r e r q E ?42 0πε= （1）求出电力线方程；（2）画出电力线。 19．设点电荷位于金属直角劈上方，如图1所示，求 （1） 画出镜像电荷所在的位置 （2） 直角劈任意一点),,(z y x 处的电位表达式 20．设时变电磁场的电场强度和磁场强度分别为： )cos(0e t E E φω-= )cos(0m t H H φω-= （1） 写出电场强度和磁场强度的复数表达式 （2） 证明其坡印廷矢量的平均值为：) cos(2100m e av H E S φφ-?= 五、综合题 （10分） 21．设沿z +方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图2所示，该电磁波电场 只有x 分量即 z j x e E e E β-=0? (1) 求出反射波电场的表达式； (2) 求出区域1 媒质的波阻抗。 图1
《电磁场与电磁波》知识点及参考答案 第1章 矢量分析 1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所 产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。 2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无旋场，由散度源所 产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。 3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是： 散度（高斯）定理：S V FdV F dS ??=?? ?和 斯托克斯定理： s C F dS F dl ???=??? 。 4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。（ √ ） 5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（ √ ） 6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（ √ ） 7、梯度的方向是等值面的切线方向。（ × ） 8、标量场梯度的旋度恒等于0。（ √ ） 9、习题, 。
第2章 电磁场的基本规律 （电场部分） 1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。 2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。 3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是： V V s D dS dV Q ρ?==? ?和 0l E dl ?=?。 4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ??=和0E ??=。 5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。 6、在两种媒质分界面的两侧，电场→ E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→ B 的法向分量 B 1n －B 2n ＝0。 7、在介电常数为 的均匀各向同性介质中，电位函数为 22 11522 x y z ?= +-,则电场强度E =5x y z xe ye e --+。 8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。 9、电荷只能在分子或原子范围内作微小位移的物质称为( D )。 A.导体 B.固体 C.液体 D.电介质 10、相同的场源条件下，真空中的电场强度是电介质中的( C )倍。 A.ε0εr B. 1/ε0εr C. εr D. 1/εr 11、导体电容的大小( C )。 A.与导体的电势有关 B.与导体所带电荷有关 C.与导体的电势无关 D.与导体间电位差有关 12、z ＞0半空间中为ε=2ε0的电介质，z ＜0半空间中为空气，在介质表面无自由电荷分布。
电磁场与电磁波复习 第一部分 知识点归纳 第一章 矢量分析 1、三种常用的坐标系 （1）直角坐标系 微分线元：dz a dy a dx a R d z y x → → → → ++= 面积元：?????===dxdy dS dxdz dS dydz dS z y x ，体积元：dxdydz d =τ （2）柱坐标系 长度元：?????===dz dl rd dl dr dl z r ??，面积元??? ??======rdrdz dl dl dS drdz dl dl dS dz rd dl dl dS z z z r z r ????，体积元：dz rdrd d ?τ= （3）球坐标系 长度元：?????===?θθ?θd r dl rd dl dr dl r sin ，面积元：??? ??======θ ?θ? θθθ??θθ?rdrd dl dl dS drd r dl dl dS d d r dl dl dS r r r sin sin 2，体积元： ?θθτd drd r d sin 2= 2、三种坐标系的坐标变量之间的关系 （1）直角坐标系与柱坐标系的关系 ?? ? ? ? ??==+=?????===z z x y y x r z z r y r x arctan ,sin cos 2 2??? （2）直角坐标系与球坐标系的关系 ? ?? ? ?? ??? =++=++=?????===z y z y x z z y x r r z r y r x arctan arccos ,cos sin sin cos sin 2 22 2 22?θθ?θ?θ （3）柱坐标系与球坐标系的关系 ?? ? ? ???=+=+=?????===??θθ??θ2 2 '2 2''arccos ,cos sin z r z z r r r z r r 3、梯度
《电磁场与电磁波》试题（8） 一、填空题（每小题 1 分，共 10 分） 1．已知电荷体密度为，其运动速度为，则电流密度的表达式为：。 2．设线性各向同性的均匀媒质中电位为，媒质的介电常数为，电荷体密度为零，电位 所满足的方程为。 3．时变电磁场中，平均坡印廷矢量的表达式为。 4．时变电磁场中，变化的电场可以产生。 5．位移电流的表达式为。 6．两相距很近的等值异性的点电荷称为。 7．恒定磁场是场，故磁感应强度沿任一闭合曲面的积分等于零。 8．如果两个不等于零的矢量的叉积等于零，则此两个矢量必然相互。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的三者符合右手螺旋关系。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是连续的场，因此，它可用磁矢位函数 的来表示。 二、简述题（每小题 5分，共 20 分） 11．已知麦克斯韦第一方程为，试说明其物理意义，并写出方 程的微分形式。 12．什么是横电磁波？ 13．从宏观的角度讲电荷是连续分布的。试讨论电荷的三种分布形式，并写出其数学表达式。 14．设任一矢量场为，写出其穿过闭合曲线C 的环量表达式，并讨论之。 三、计算题（每小题5 分，共30分） 15．矢量 和 ，求 （1）它们之间的夹角； （2）矢量在上的分量。 16．矢量场在球坐标系中表示为， （1）写出直角坐标中的表达式； （2）在点 处求出矢量场的大小。 17．某矢量场 ，求 （1）矢量场的旋度； ρv φ ε??????? ????+=?S C S d t D J l d H )(r A 4?3?2?z y x e e e A -+= x e B ?= A B r e E r ?= )2,2,1(x e y e A y x ??+=
1 / 9下载文档可编辑 1.已知自由空间中均匀平面波磁场强度瞬时值为： () )] 43(cos[31 ,,z x t-e t z x H +=πωπ y ?? A/m ，求①该平面波角频率ω、频率f 、波长 ②电场、磁场 强度复矢量③瞬时坡印廷矢量、平均坡印廷矢量。 解：① z x z k y k x k z y x ππ43+=++；π 3=x k ， 0=y k ，π4=z k ； ) /(5)4()3(2222 2m rad k k k k z y x πππ=+=++=； λ π 2= k ， )(4.02m k ==πλ c v f ==λ（因是自由空间）， )(105.74 .010388 Hz c f ?=?= = λ ； )/(101528s rad f ?==ππω ② )/(31),() 43(m A e z x z x j y +-=ππ ； ) /()243254331120),(),(),() 43()43(m V e e k z x z x z x z x j z x z x z x j y n +-+--=+??=? =?=ππππ πππηη（③ ()[])/()43(cos 2432),,(m V z x t e e t z x E z x +--=πω ())] 43(cos[31 ,,z x t-e t z x H +=πωπ y ??（A/m ） () []() [])/()43(cos 322431)] 43(cos[31 )43(cos 243222m W z x t z x t-e z x t H z x z x +-+=+?+--=?=πωπ πωπ πωy ?() ) 43(2432),z x j z x e z x +--=π， )43(31),(z x j y e e z x H +-=ππ () () )/(322461312432Re 21Re 212* )43()43(* m W e e z x z x j y z x j z x av +=?????????????????-=??? ???=+-+-π πππ 2.横截面为矩形的无限长接 地金属导体槽，上部有电位为 的金属盖板；导体槽的侧壁与盖板间有非常小的间隙以保证相互绝缘。试求此导体槽内的电位分布。 解: 导体槽在z 方向为无限长，槽内电位满足直角坐标系中的二维拉普拉斯方程。 由于槽内电位00 x φ ==和0 x a φ ==，则其 通 解 形式为 00001 (,)()()(sin cos )(sinh cosh ) (3) n n n n n n n n n x y A x B C y D A k x B k x C k y D k y φ∞ ==+++ ++∑(0,)0(0) y y b φ=≤<代入上式，得 0001 0()(sinh cosh ) n n n n n n B C y D B C k y D k y ∞ ==+++∑为使上式对y 在0b →内成立，则 0(0,1,2,) n B n ==L 则 0001 (,)()sin (sinh cosh ) n n n n n n n x y A x C y D A k x C k y D k y φ∞ ==+++∑(,)0 (0)a y y b φ=≤<代入上式， 得 0001 0()sin (sinh cosh ) n n n n n n n A a C y D A k a C k y D k y ∞==+++∑为使上式对y 在0b →内成立，则0 0A = sin 0 (1,2,) n n A k a n ==L 其 中n A 不能为零，否则0φ≡,故有 sin 0n k a = 得 (1,2,) n n k n a π = =L 则 1 (,)sin (sinh cosh )n n n n n x n y n y x y A C D a a a πππφ∞==+∑ (,0)0 (0) x x a φ=≤≤代入上式，得 1 0sin n n n n x A D a π∞ ==∑ 为使上式对x 在0a →内成立，且0n A ≠则 0(1,2,)n D n ==L 则1 (,)sin sinh n n n x n y x y A a a ππφ∞ ='=∑ 其中n n n A A C '=； (,)(0) x b U x a φ=≤≤代入上式，得 ) 0(0 ),0(b y y <≤=?)0(0),(b y y a <≤=?)0(0)0,(a x x ≤≤=?) 0(),(0 a x U b x ≤≤=?0 2 =??
电磁场与电磁波复习题 一、填空题 1、矢量的通量物理含义是矢量穿过曲面的矢量线总数，散度的物理意义矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。散度与通量的关系是矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。 2、 散度 在直角坐标系的表达式 z A y A x A z y x A A ?? ????++=??= div ； 散度在圆柱坐 标系下的表达 ； 3、矢量函数的环量定义矢量A 沿空间有向闭合曲线C 的线积分， 旋度的定义 过点P 作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当S 点P 时,存在极限环量密度。 二者的关系 n dS dC e A ?=rot ； 旋度的物理意义点P 的旋度的大小是该点环量密度的最大值；点P 的旋度的方向是该点最 大环量密度的方向。
4.矢量的旋度在直角坐标系下的表达式 。 5、梯度的物理意义标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数。 梯度的大小为该点标量函数?的最大变化率，即该点最 大方向导数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向等值面、方向导数与梯度的关系是梯度的大小为该点标量函数?的最大变化率，即该点最 大方向导数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.； 6、用方向余弦cos ,cos ,cos αβγ写出直角坐标系中单位矢量l e 的表达 式 ； 7、直角坐标系下方向导数 u l ??的数学表达式是cos cos cos l αβγ????????ｕｕｕｕ＝＋＋ｘｙｚ ，梯度的表达式x y z G e e e grad x y z φφφφφ???=++=?=???； 8、亥姆霍兹定理的表述在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定，说明的问题是矢量场的散度应满足的关系及旋度应满足的关系决定了矢量场的基本性质。
电磁场与电磁波期末考试知识点要求 矢量分析和场论基础 1、理解标量场与矢量场的概念； 场是描述物理量在空间区域的分布和变化规律的函数。 2、理解矢量场的散度和旋度、标量场的梯度的概念，熟练掌握散度、旋度和梯度的计算公式和方法（限直角坐标系）。 梯度：x y z u u u u x y z ????= ++???e e e ， 物理意义：梯度的方向是标量u 随空间坐标变化最快的方向； 梯度的大小：表示标量u 的空间变化率的最大值。 y x z A A A x y z ?????=++???A 散度：单位空间体积中的的通量源，有时也简称为源通量密度， 高斯定理： () () V S dV d ??=???? ??A A S ò， x y z y y x x z z x y z x y z A A A A A A x y z y z z x x y A A A ??????????? ??????= =-+-+- ? ? ????????????????e e e A e e e 旋度：其数值为某点的环流量面密度的最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向。 斯托克斯定理： () () S L d d ???=??? ?A S A l ? 数学恒等式：()0u ???=，()0????=A 3、理解亥姆霍兹定理的重要意义： 若矢量场 A 在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一地确定，并且矢量场 A 可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和。u =??-?A F
静电场和恒定磁场 1、 理解静电场与电位的关系，Q P u d =??E l ，()()u =-?E r r 2、 理解静电场的通量和散度的意义， d d d 0V S V S V ρ??=???=?????D S E l ?? ，0V ρ??=?? ??=?D E 静电场是有散无旋场，电荷分布是静电场的散度源。 3、 理解静电场边值问题的唯一性定理，能用平面镜像法解简单问题； 唯一性定理表明：对任意的静电场，当电荷分布和求解区域边界上的边界条件确定时，空间区域的场分布就唯一地确定的 镜像法：利用唯一性定理解静电场的间接方法。关键在于在求解区域之外寻找虚拟电荷，使求解区域内的实际电荷与虚拟电荷共同产生的场满足实际边界上复杂的电荷分布或电位边界条件，又能满足求解区域内的微分方程。 点电荷对无限大接地导体平板的镜像： 当两半无限大相交导体平面之间的夹角为α时，n =3600/α，n 为整数，则需镜像电荷数为n -1. 4、 理解恒定磁场的环量和旋度的意义， 0L d d I ??=?? ?=??????S B S H l òò , 0 V ??=?? ??=? B H J 表明磁场是无散有旋场，电流是激发磁场的旋涡源。 5、 理解矢量磁位的意义，并能根据矢量磁位计算磁场。 B=?×A ，（库仑规范：0??=A ） XY 平面 X )
1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。 2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为,,0,D B H J E B D t t ρ????=+ ??=-??=??=??，(3分)（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。 1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。 2. 时变场的一般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。 (或矢量式2n D σ=、20n E ?=、 2s n H J ?=、20n B =) 1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。 2. 答矢量位,0B A A =????=；动态矢量位A E t ??=-?- ?或A E t ??+ =-??。库仑规范与洛仑兹规范的作用都是限制A 的散度，从而使A 的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。 1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义 2. s A ds φ= ??? 是矢量A 穿过闭合曲面S 的通量或发散量。若Ф> 0，流出S 面的通量大于流入的 通量，即通量由S 面内向外扩散，说明S 面内有正源若Ф< 0，则流入S 面的通量大于流出的通量，即通量向S 面内汇集，说明S 面内有负源。若Ф=0，则流入S 面的通量等于流出的通量，说明S 面内无源。 1. 证明位置矢量x y z r e x e y e z =++ 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。 2. 证明在直角坐标系里计算 ，则有 ()()x y z x y z r r e e e e x e y e z x y z ?? ?????=++?++ ?????? 3x y z x y z ???= ++=??? 若在球坐标系里计算，则 23 2211()()()3r r r r r r r r r ????= ==??由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。
电磁场与电磁波 补充习题 1 若z y x a a a A -+=23，z y x a a a B 32+-=,求： 1 B A +；2 B A ?；3 B A ?；4 A 和B 所构成平面的单位法线；5 A 和B 之间较 小的夹角；6 B 在A 上的标投影和矢投影 2 证明矢量场z y x a xy a xz a yz E ++=是无散的，也是无旋的。 3 若z y x f 23=，求f ?，求在)5,3,2(P 的f 2?。 5 假设0