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导数复习提纲

导数复习摘要

（一）主要知识及主要方法：一导数的概念 Ⅰ.导数的定义

导数的原始定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→?x 时，y ?与x ?的比x

y ??(也叫函

数的平均变化率)有极限即x

y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0

x x →处的导数，记作0

x x y =，即x

x f x x f x f x ?-?+=→?)

()(lim

)(000

定义式中，设x x x ?+=0，则0x x x -=?，当x ?趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成

00000

()()

()lim

lim

x o

x x f x x f x f x f x f x x

x x ?→→+?--'==?-.

导函数的定义：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，

简称导数。也可记作y '，即()f x '＝y '＝x

x f x x f x

y x x ?-?+=??→?→?)

()(lim

lim 0

函数)(x f y =在0x 处的导数0

x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0

x 处的函数值，即0

x x y ='

＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0()f x '

可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导。可导与连续的关系：如果函数)(x f y =在点0x 处可导，那么函数)(x f y =在点0x 处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件. Ⅱ.导数的实际意义：导数的几何意义：

导数/0()f x 是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 故

0()f x 是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率

因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲

线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-注意：“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点. 导数的物理意义：

导数是物体变速直线运动的瞬时速度，也叫做瞬时变化率。

⑴利用定义求函数)(x f y =的导数主要有三个步骤：

ⅰ求函数的改变量()(x f x x f y -?+=?

ⅱ求平均变化率

y =

ⅲ取极限，得导数/y ＝()f x '=x

y x ??→?0

lim

⑵利用导数的实际意义解题

主要有两种：求切线方程和瞬时速度（考试重点为求切线方程）。利用导数求切线：切点→导数→斜率→倾斜角注意：ⅰ所给点是切点吗？

ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线？

二导数的运算

Ⅰ.常见函数的导数

1．0='C 2 1

)(-='n n nx x

3．x x e e =')( a a a x

x ln )(='

5．1(ln )x x

x e x

x a

ln 1log

1)(log =

7．x x cos )(sin =' x x sin )(cos -=' Ⅱ.导数的四则运算

1．和差：()u v u v '''±=±

2．积： v u v u uv '+'=')(

3．商： 2)(v

v u v u v u '

-'=' Ⅲ.复合函数的导数：

设函数()u x ?=在点x 处有导数()x u x ?'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ?=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或(())()()x f x f u x ??'='?'

复合函数的求导法则：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数即：

[]()()()f g x f g g x '''=?

三导数的应用

Ⅰ.利用导数判断函数单调性及求解单调区间

导数和函数单调性的关系：一般的，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内有f '(x)>0, 那么f(x)为这个区间内的增函数, 对应区间为增区间；如果在这个区间内有

f '(x)<0，那么

f(x)为这个区间内的减函数，对应区间为减区间。

利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤： ①确定)(x f 的定义域； ②计算导数)(/x f ； ③求出0)(/=x f 的根；

④用0)(/=x f 的根将)(x f 的定义域分成若干个区间列表考察这若干个区间内)(/x f 的符号，进而确定)(x f 的单调区间： )(0)(x f x f ?>'对应增区间；)(0)(x f x f ?<'对应减区间； Ⅱ.利用导数求解函数极值与最值。

极值与最值的定义：（包含两点）

极大值:一般地，设函数y=f(x)在点0x x =附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有)(x f ＜f(0x )，就说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值，记作y 极大值，点（)(,00x f x ）是极大值点

极小值：一般地，设函数y=f(x)在点0x x =附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有)(x f ＞f(0x ),就说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值，记作y 极小值，点（)(,00x f x ）是极小值点

函数的最大值和最小值：

在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。

极值的性质：

极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小

并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小

函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值。

函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最

小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点

判别)(0x f 是极大、极小值的方法:：

若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，

0x 两侧满足“左负右正”

，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值利用导数求极值的步骤：（极值定义包含两点） ⅰ确定定义区间，求导数)(x f '； ⅱ求方程0)(='x f 的根； ⅲ列表得极值点； ⅳ求出极值

利用导数求函数的最值步骤: ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；

⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值

Ⅲ.利用导数求解证明不等式的主要方法：

ⅰ构造函数：将不等式()()t x g x ≥左右两边的多项式移到一边，构造出一个新的函数()()()f x t x g x =-； ⅱ求极值得证不等式：通过对()f x 求导，根据()f x '的大小和导数的性质，结合已知条件进行求解或证明。

（二）例题选举：例1．()1已知000

(2)()

lim

13x f x x f x x

→--=△△△，求0()

f x '

()2设函数()f x 在点0x 处可导，求000

()()

lim

2h f x h f x h h

→+--

()3（07届高三皖南八校联考）已知2

()2(2)

f x x xf =

+'，则(2)f '=

例2．求下列函数的导数：

()

1()

1sin y x =+； ()2

y =

()3ln y =； ()411

e y e +=

-；

()

52sin 23y x π?

?=+ ??

?； ()6ln x y e x =? ()7sin 1cos x y x =

+； ()832x x x y e e =?-+

例3.（1）利用导数求和S n =1+2x+3x 2+…+nx n －1(x ≠0,n ∈N *

)

（2）利用导数求和S n =C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n

n ,(n ∈N *)

例4．（1）（08全国Ⅰ文）曲线y =x 3－2x +4在点(1,3)处的切线的倾斜角为（）

.A 30°

.B 45°

.C 60°

.D 12°

（2）（07全国Ⅱ文）已知曲线2

y =

的一条切线的斜率为12

，则切点的横坐标为（）

.A 1

.B 2 .C 3 .D 4

（3）（06全国Ⅱ文）过点()1,0-作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为（）

.A 220x y ++= .B 330

x y -+= .C 10x y ++= .D 10x y -+=

（4）求过点()1,1P 且与曲线3y x =相切的直线方程：

例5.（08全国Ⅰ文）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）

例6．()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是

练习：已知函数13

1)(2

+-=

x x x f

（1）求函数()x f 的单调区间；（2）求 ()上在]3,0[x f 的最值；

例8.已知函数ax x 2)x (f 3+=与c bx )x (g 2+=的图象都过点P )0,2( 且在点P 处有相同的切线.

(1) 求实数c ,b ,a 的值;

(2) 设函数)x (g )x (f )x (F +=, 求)x (F 的单调区间, 并指出)x (F 在该区间上的单调性.

例9.设

，点P （，0）是函数

的图象的一个公共点，两函数的图

象在点P 处有相同的切线. （1）用表示a ，b ，c ；（2）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围.

练习：已知a≥ 0 ，函数f(x) =（ 2x -2ax ）x e 当X 为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；（2）设 f(x)在[ -1，1]上是单调函数，求a 的取值范围.

例10.（07浙江）设3

()3

f x =

，对任意实数t ，记2

32()3

t g x t x t =-

．

（I ）求函数8()()y f x g x =-的单调区间；

（II ）求证：当0x >时，()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立；

练习：(07安徽)设a ≥0，f (x )=x －1－ln 2 x ＋2a ln x （x >0）.

（Ⅰ）令F （x ）＝xf ＇（x ），讨论F （x ）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当x >1时，恒有x >ln 2x －2a ln x ＋1.

例7.（全国2卷理）已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；

（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<

练习：设a 为实数,函数.a x x x )x (f 23+--= (1) 求)x (f 的极值.

(2) 当a 在什么范围内取值时, 曲线x )x (f y 与=轴仅有一个交点。

2020年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练

a - a (- ),( , +∞) 单调递增，在 (- （ 2020 年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练【题型归纳】题型一含参数的分类讨论例1 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 12 x ，导函数为 f '( x) ，（1）求函数 f ( x ) 的单调区间；（2）若 f '(1)= -6, 求函数f ( x ) 在[—1，3]上的最大值和最小值。【答案】略【解析】（I ） f '( x ) = 3ax 2 - 12 = 3(ax 2 - 4) ，（下面要解不等式 3(ax 2 - 4) > 0 ，到了分类讨论的时机，分类标准是零）当 a ≤ 0时, f '( x ) < 0, f ( x )在(-∞, +∞) 单调递减；当 a > 0时,当x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化如下表： x (-∞, - 2 ) 2 2 2 , ) a a 2 a ( 2 a , +∞) f '( x ) + 0 — + f ( x ) 极大值极小值此时， f ( x )在(-∞, - 2 2 6 a 2 2 , ) 单调递减； a a （II ）由 f '(1) = 3a -12 = -6, 得a = 2. 由（I ）知， f ( x )在(-1, 2) 单调递减 ,在( 2 ,3)单调递增。【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底【思维点拨】分类讨论的难度是两个， 1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理，由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。题型二已知单调性求参数取值范围问题例 1 已知函数 f ( x) = 1 3 x 3 + x 2 + ax - 5 ，若函数在[1,+∞) 上是单调增函数，求 a 的取值范围

导数经典专题整理版

导数在研究函数中的应用知识点一、导数的几何意义函数()y f x =在0x x =处导数()0f x '是曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的，即_______________;相应地，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线方程是例1.(1)曲线x e x y +=sin 在点)1,0(处的切线方程为（） A.033=+-y x B.022=+-y x C.012=+-y x D.013=+-y x （2）若曲线x x y ln =上点P 处的切线平行于直线012=+-y x ，则点P 的坐标是（） A.),(e e B.)2ln 2,2( C.)0,1( D.),0(e 【变式】（1）曲线21x y xe x =++在点)1,0(处的切线方程为（） A.13+=x y B.12+=x y C.13-=x y D.12-=x y （2）若曲线x ax y ln 2-=在点),1(a 处的切线平行于x 轴，则a 的值为（） A.1 B.2 C.21 D.2 1- 知识点二、导数与函数的单调性（1）如果函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内，使得'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内为且该区间为函数)(x f 的单调_______区间； (2)如果函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内，使得'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内为，且该区间为函数)(x f 的单调_______区间.

例1.（1）函数x e x x f )3()(2-=的单调递增区间为（） A.)0,(-∞ B.),0(+∞ C.)1,3(- D.),1()3,(+∞--∞和（2）函数x x y ln 2 12-=的单调递减区间为（） A.(]1,1- B.(]1,0 C.[)+∞,1 D.),0(+∞ 例2.求下列函数的单调区间，并画出函数)(x f y =的大致图像. （1）3)(x x f = （2）x x x f 3)(3+= (3)1331)(23+--=x x x x f （4）x x x x f 33 1)(23++-= 知识点三、导数与函数的极值函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内,若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数)(x f '异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是（熟练掌握求函数极值的步骤以及一些注意点）例1.（1）求函数133 1)(23+--=x x x x f 的极值（2）求函数x x x f ln 2)(2-=的极值

(完整版)导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

导数及其应用【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。【知识梳理】一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。（2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）；（2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。二、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，

高考数学导数题型归纳(_好)

导数题型归纳请同学们高度重视：首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)(' =x f 得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数， 4323()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=-- 2 ()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”，则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330g m g m <-? ?<--

高中数学导数典型例题精讲

高中数学导数典型例题精讲 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】

导数经典例题精讲导数知识点导数是一种特殊的极限几个常用极限：（1）1 lim 0n n →∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）；（2）0 0lim x x x x →=，00 11lim x x x x →=. 两个重要的极限：（1）0sin lim 1x x x →=；（2）1lim 1x x e x →∞?? += ??? (e=…). 函数极限的四则运算法则：若0 lim ()x x f x a →=，0 lim ()x x g x b →=，则 (1)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????；(2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;(3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则：若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞ ?=?(3)()lim 0n n n a a b b b →∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?( c 是常数) )(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商） 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数）.(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.x x sin )(cos -=' (4) x x 1)(ln ='；e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 导数的运算法则（1）' ' ' ()u v u v ±=±.（2）' ' ' ()uv u v uv =+.（3）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=. 【例题解析】考点1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.

高考数学导数题型归纳(文科)-

文科导数题型归纳高度重视：首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量；２变更主元;3根分布；４判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴（重视单调区间) 与定义域的关系（２）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。最后,在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0，=0,<0) 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元)； (请同学们参看2０10省统测2）例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上,()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数,432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；（2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数” ，则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3］上恒成立解法一:从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330 g m g m <-? ?<--

导数典型例题.doc

导数典型例题导数作为考试内容的考查力度逐年增大 .考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最(极)值等等，考查的题型有客观题(选择题、填空题) 、主观题(解答题)、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题【例1】函数f(x)=x(x-1) (x-2)…(x-100)在x= 0处的导数值为 2 A.0 B.100 C.200 D.100 ! 解法一 “(0、_ .. f (° tx) _f(o) .. .-xC-x-DO-2V'^-100)-0 解法 f (0)_叽 L _叽 - _ ||m (A x-1)( △ x-2)…(△ x-100)_ (-1) (-2)-( - 100) =100 ! ???选 D. .x _0 解法二设 f(x)_a 101x 101 + a 100X 100+ …+ a 1X+a 0,则 f z (0)_ 而 a 1_ (-1)(-2 ) - (- 100) _100 ! . ???选 D. 点评解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解 111 【例2】已知函数f(x)_ c ； c ^x ? — C ；X 2亠■亠— C ；X k 亠■亠一

(完整版)函数与导数经典例题(含答案)

函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈．（Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点．【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。（Ⅰ）解：当1t =时，3 2 2 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- （Ⅱ）解：2 2 ()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2 t x t x =-=或因为0t ≠，以下分两种情况讨论：（1）若0,,2 t t t x <<-则当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x ,2t ? ?-∞ ?? ? ,2t t ?? - ??? (),t -+∞ ()f x ' + - + ()f x 所以，()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。（2）若0,2 t t t >-< 则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x (),t -∞ ,2t t ??- ?? ? ,2t ?? +∞ ??? ()f x ' + - + ()f x

(完整word版)高考导数题型归纳

高考压轴题：导数题型及解题方法（自己总结供参考）一．切线问题题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。例已知函数f （x ）=x 3﹣3x ．（1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ）（2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、（提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。（答案：m 的范围是()2,3--）练习 1. 已知曲线x x y 33 -= （1）求过点（1，-3）与曲线x x y 33-=相切的直线方程。答案：（03=+y x 或027415=--y x ）（2）证明：过点（-2,5）与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。 2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切，求a 的值. （答案：1）题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。（)(,22x f x ）；

高中数学导数题型总结

导数经典例题剖析考点一：求导公式。例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是。考点二：导数的几何意义。例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是。考点三：导数的几何意义的应用。例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。考点四：函数的单调性。例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值围。例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2 ()f x c <成立，求c 的取值围。点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。

例7. 已知a 为实数，()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。解析：（1）()a x ax x x f 442 3 +--=，∴ ()423'2 --=ax x x f 。（2）()04231'=-+=-a f ，2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ，即()()0143=+-x x ，解得1-=x 或3 4 =x ，则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ，275034-=??? ??f 。所以，()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ，最小值为()2 9 1= -f 。答案：（1）()423'2 --=ax x x f ；（2）最大值为275034- =?? ? ??f ，最小值为()2 91=-f 。点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值，要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值，然后与()a f 和()b f 进行比较，从而得出函数的最大最小值。考点七：导数的综合性问题。例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。（1）求a ，b ，c 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。

高中数学导数典型例题

高中数学导数典型例题题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。（1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值；（3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 2. 已知).(323 2)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当41||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 题型二：利用导数解决恒成立的问题例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈ 有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．

例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2g x f x '= ．（1）证明：当t <时，()g x 在R 上是增函数；（2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ，上是减函数；（3）证明： 3()2 f x ≥．例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值（2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围题型三：利用导数研究方程的根例4：已知函数a x ax x f 313)(23-+-=. （Ｉ）讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）若曲线()f x 上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实数a 的取值范围.

2019《导数》题型全归纳

2019届高三理科数学《导数》题型全归纳学校:___________姓名：___________班级：___________ 一、导数概念 29．函数，若满足，则__________．二、导数计算（初等函数的导数、运算法则、简单复合函数求导） 1．下列式子不正确的是( ) A． B． C． D． 2．函数的导数为（） A． B． C． D． 3．已知函数，则（） A． B． C． D． 33．已知函数，为的导函数，则的值为______． 34．已知，则__________．三、导数几何意义（有关切线方程） 31．若曲线在点处的切线方程为_________. 30．若曲线在点处的切线与曲线相切，则的值是_________. 32．已知,过点作函数图像的切线,则切线方程为__________. 4．已知曲线f(x)=lnx+在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为，则a的值为（）A． 1 B．﹣4 C．﹣ D．﹣1 1

5．若曲线y=在点P处的切线斜率为﹣4，则点P的坐标是（） A．（，2） B．（，2）或（﹣，﹣2） C．（﹣，﹣2） D．（，﹣2） 6．若直线与曲线相切于点,则( ) A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 7．如果曲线在点处的切线垂直于直线，那么点的坐标为（）A． B． C． D． 8．直线分别与曲线交于，则的最小值为（） A． 3 B． 2 C． D．四、导数应用（一）导数应用之求函数单调区间问题 9．函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为( ) A． (0,1) B． (0，＋∞) C． (1，＋∞) D． (－∞，0)∪(1，＋∞) 10．函数f(x)＝2x2－ln x的单调递减区间是( ) A． B．和 C． D．和 11．的单调增区间是 A． B． C． D． 12．函数在区间上( ) A．是减函数 B．是增函数 C．有极小值 D．有极大值 13．已知函数在区间[1，2]上单调递增，则a的取值范围是

导数大题经典练习及答案.pdf

导数大题专题训练 1．已知f(x)＝xlnx－ax，g(x)＝－x2－2， (Ⅰ)对一切x∈（0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； (Ⅱ)当a＝－1时，求函数f(x)在[m，m＋3](m＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＋1＞成立． 2、已知函数.（Ⅰ）若曲线y=f (x)在点P（1，f (1)）处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f (x)的单调区间；（Ⅱ）若对于都有 f (x)＞2(a―1)成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g (x)=f (x)+x―b（b∈R）.当a=1时，函数g (x)在区间[e―1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围. 3．设函数 f (x)=lnx+(x－a)2，a∈R.（Ⅰ）若a=0，求函数 f (x)在[1，e]上的最小值；（Ⅱ）若函数 f (x)在上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围；（Ⅲ）求函数 f (x)的极值点. 4、已知函数. (Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；(Ⅱ)求的单调区间；(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的

取值范围. 5、已知函数 (Ⅰ)若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋2垂直，求函数y＝f(x)的单调区间； (Ⅱ)若对于任意成立，试求a的取值范围； (Ⅲ)记g(x)＝f(x)＋x－b(b∈R).当a＝1时，函数g(x)在区间上有两个零点，求实数b的取值范围． 6、已知函数． (1)若函数在区间(其中)上存在极值，求实数a的取值范围； (2)如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 1.解：(Ⅰ)对一切恒成立，即恒成立.也就是在恒成立；令，则，在上，在上，因此，在处取极小值，也是最小值，即，所以. (Ⅱ)当，，由得. ①当时，在上，在上

高中数学函数与导数常考题型整理归纳

高中数学函数与导数常考题型整理归纳题型一:利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a . 若a ≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈? ?? ??0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈? ?? ??1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，所以f (x )在? ????0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在? ????0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ? ????1a ＝ln 1a ＋a ? ?? ??1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ??1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性. (2)由函数的性质求参数的取值范围，通常根据函数的性质得到参数的不等式，再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则可以直接解不等式得参数的取值范围；若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时，如求解ln a ＋a －1<0，则需要构造函数来解.

导数常见题型与解题方法总结

导数题型总结 1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元 3、根分布 4、判别式法-----结合图像分析 5、二次函数区间最值求法-----（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)('=x f 得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；第三种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）。例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数， 4323()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=- - 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”，则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <

导数经典例题1

经典例题导讲 [例1]已知2)2cos 1(x y +=,则='y . 错因：复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:)2cos 1(2sin 2x x y +-='. 正解：设2u y =,x u 2cos 1+=,则)2()2sin (2)2cos 1(2'?-?='+=''='x x u x u u y y x u x )2cos 1(2sin 42)2sin (2x x x u +-=?-?=∴)2cos 1(2sin 4x x y +-='. [例2]已知函数???????>+≤+=)1)(1(2 1)1)(1(2 1)(2 x x x x x f 判断f(x)在x=1处是否可导？错解：1)1(,1) 11(2 1]1)1[(2 1 lim 2 2 ='∴=?+- +?+→?f x x x 。分析：分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 . 解： 1) 11(2 1]1)1[(2 1 lim lim 2 2 =?+- +?+=??- - →?→?x x x y x x ∴ f(x)在x=1处不可导. 注：+→?0x ，指x ?逐渐减小趋近于0；-→?0x ，指x ?逐渐增大趋近于0。点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 000 ，△x →0，包括△x →0＋，与△x →0－，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数. [例3]求322+=x y 在点)5,1(P 和)9,2(Q 处的切线方程。错因：直接将P ，Q 看作曲线上的点用导数求解。分析：点P 在函数的曲线上，因此过点P 的切线的斜率就是y '在1=x 处的函数值；点Q 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．解：4.4,3212= ' ∴='∴+==x y x y x y 即过点P 的切线的斜率为4，故切线为：14+=x y ．

高中数学导数经典题型解题技巧(运用方法)

高中数学导数经典题型解题技巧（运用方法）高中数学导数及其应用是高中数学考试的必考容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中·期末还是会考·高考，都是高中数学的必考容之一。因此，针对这两各部分的容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们有更多·更好·更快的方法解决高中数学问题。好了，下面就来讲解常用逻辑用语的经典解题技巧。第一·认识导数概念和几何意义 1.导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景。（2）理解导数的几何意义。 2．导数的运算

（1）能根据导数定义求函数的导数。（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。（3）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数。 3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。 4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题 5．定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。（2）了解微积分基本定理的含义。总结：先搞清楚导数概念以及几何意义，才能更好地运用其解题技巧！ 231(),,,,,y C C y x y x y x y y x ======为常数()f ax b +

第二·导数运用和解题方法一、利用导数研究曲线的切线考情聚焦：1．利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。 2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。解题技巧：1．导数的几何意义函数在处的导数的几何意义是：曲线在点处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数对时间的导()y f x =()y f x =0x ()f x '()y f x =00(,())P x f x ()s t t

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