【常考题】八年级数学下期中试题带答案
一、选择题
1.如右图,点A的坐标为(0,1),点B是x轴正半轴上的一动点,以AB为边作等腰直角△ABC,使∠BAC=90°,如果点B的横坐标为x,点C的纵坐标为y,那么表示y与x 的函数关系的图像大致是()
A .
B .
C .
D .
2.已知,如图,长方形ABCD中,AB=5cm,AD=25cm,将此长方形折叠,使点D与点B 重合,折痕为EF,则△ABE的面积为()
A.35cm2B.30cm2C.60cm2D.75cm2
3.已知函数
()()
()()
2
2
113
{
513
x x
y
x x
--≤
=
-->
,则使y=k成立的x值恰好有三个,则k的值为()
A.0 B.1 C.2 D.3
4.周末小丽从家里出发骑单车去公园,因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道,所以小丽骑得特别放松.途中,她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水,耽误了一段时间后继续骑行,愉快地到了公园.图中描述了小丽路上的情景,下列说法中错误的是()
A .小丽从家到达公园共用时间20分钟
B .公园离小丽家的距离为2000米
C .小丽在便利店时间为15分钟
D .便利店离小丽家的距离为1000米
5.下列说法正确的有几个( )①对角线互相平分的四边形是平行四边形;②对角线互相垂直的四边形是菱形;③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形;④对角线相等的平行四边形是矩形. A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
6.如图,在矩形ABCD 中,E ,F 分别是边AB ,CD 上的点,AE=CF ,连接EF ,BF ,EF 与对角线AC 交于点O ,且BE=BF ,∠BEF=2∠BAC ,FC=2,则AB 的长为( )
A .83
B .8
C .43
D .6
7.如图,函数y=2x 和y=ax+4的图象相交于A(m ,3),则不等式2x ax+4<的解集为( )
A .3x 2
>
B .x 3>
C .3x 2
<
D .x 3<
8.如图,矩形纸片ABCD ,3AB =,点E 在BC 上,且AE EC =.若将纸片沿AE 折叠,点B 恰好落在AC 上,则矩形ABCD 的面积是( )
A .12
B .3
C .3
D .15
9.如图,已知圆柱底面的周长为4dm ,圆柱的高为2dm ,在圆柱的侧面上,过点A 和点
C 嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最小为( )
A .42dm
B .22dm
C .25dm
D .45dm
10.下列各组数据中,不可以构成直角三角形的是( )
A .7,24,25
B .2223,4,5
C .
53,1,44
D .1.5,2,2.5
11.若x < 0,则2
x x
x
-的结果是( )
A .0
B .-2
C .0或-2
D .2
12.甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米,先到终点的人原地休息.已知甲先出发4分钟,在整个步行过程中,甲、乙两人的距离y (米)与甲出发的时间t (分)之间的关系如图所示,下列结论: ①甲步行的速度为60米/分; ②乙走完全程用了32分钟; ③乙用16分钟追上甲;
④乙到达终点时,甲离终点还有300米 其中正确的结论有( )
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
二、填空题
13.函数26
y x =
+的自变量x 的取值范围是_________. 14.在矩形ABCD 中,点E 为AD 的中点,点F 是BC 上的一点,连接EF 和DF ,若AB=4,BC=8,EF=25,则DF 的长为___________.
15.如图,在△ABC 中,AB =6,AC =10,点D ,E ,F 分别是AB ,BC ,AC 的中点,则四边形ADEF 的周长为_____.
16.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多出1m,当它把绳子的下端拉开旗杆4m后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为________
17.已知实数m、n满足
22
112
1
n n
m
n
-+-+
=
+
,则m+n=__.
18.一根旗杆在离地面4.5 m的地方折断,旗杆顶端落在离旗杆底部6 m外,则旗杆折断前的高度是________.
19.在△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=2,则AB边上的中线CD=______.
20.矩形两条对角线的夹角为60°,矩形的较短的一边为5,则矩形的对角线的长是
_____.
三、解答题
21.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点O关于直线CD的对称点为E,连接DE,CE.
(1)求证:四边形ODEC为菱形;
(2)连接OE,若BC=22,求OE的长.
22.邻边不相等的平行四边形纸片,剪去一个菱形,余下一个四边形,称为第一次操作;在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形,又余下一个四边形,称为第二次操作;……依此类推,若第n次操作余下的四边形是菱形,则称原平行四边形为n阶准菱形.如图1,平行四边形ABCD中,若AB=1,BC=2,则平行四边形ABCD为1阶准菱形.
(1)判断与推理:
①邻边长分别为2和3的平行四边形是_________阶准菱形;
②为了剪去一个菱形,进行如下操作:如图2,把平行四边形ABCD沿BE折叠(点E在AD上),使点A落在BC边上的点F,得到四边形ABFE,请证明四边形ABFE是菱形;
(2)操作与计算:
已知平行四边形ABCD的邻边长分别为l,a(a>1),且是3阶准菱形,请画出平行四边形ABCD及裁剪线的示意图,并在图形下方写出a的值.
23.如图1,ABC V 是等腰直角三角形,90A ∠=?,4cm BC =,点P 在ABC V 的边上沿路径B A C →→移动,过点P 作PD BC ⊥于点D ,设cm BD x =,BDP △的面积为2
cm y (当点P 与点B 或点C 重合时,y 的值为0).
琪琪根据学习函数的经验,对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是琪琪的探究过程,请补充完整:
(1)自变量x 的取值范围是______________________; (2)通过取点、画图、测量,得到了x 与y 的几组值,如下表: x /cm
12
1
32
2
52 3
72
4
y /2cm 0
18
m
98
2
158
32
n 0
请直接写出m = ,n = ;
(3)在图2所示的平面直角坐标系xoy 中,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图像;并结合画出的函数图像,解决问题:当BDP △的面积为12cm 时,请直接写出BD 的长度(数值保留一位小数).
(4)根据上述探究过程,试写出BDP △的面积为y 2cm 与BD 的长度x cm 之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
24.某市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛,对他们进行了六次测试,测试成绩如下表(单位:环):
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 甲 10 9 8 8 10 9 乙
10
10
8
10
7
9
根据表格中的数据,可计算出甲、乙两人的平均成绩都是9环.
(1)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差;
(2)根据数据分析的知识,你认为选______名队员参赛.
25.已知:如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=BC=2,CD=3,AD=1,求
∠DAB的度数.
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一、选择题
1.A
解析:A
【解析】
【分析】
先做出合适的辅助线,再证明△ADC和△AOB的关系,即可建立y与x的函数关系,从而确定函数图像.
【详解】
解:由题意可得:OB=x,OA=1,∠AOB=90°,∠BAC=90°,AB=AC,点C的纵坐标是y,
作AD∥x轴,作CD⊥AD于点D,如图所示:
∴∠DAO+∠AOD=180°,
∴∠DAO=90°,
∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°,
∴∠OAB=∠DAC,
在△OAB和△DAC中,
∠AOB=∠ADC,∠OAB=∠DAC,AB=AC
∴△OAB≌△DAC(AAS),
∴OB=CD,
∴CD=x,
∵点C到x轴的距离为y,点D到x轴的距离等于点A到x的距离1,
∴y=x+1(x>0).
故选A.
【点睛】
本题考查动点问题的函数图象,明确题意、建立相应的函数关系式是解答本题的关键.2.B
解析:B
【解析】
【分析】
根据折叠的条件可得:BE=DE,在直角△ABE中,利用勾股定理就可以求解.
【详解】
将此长方形折叠,使点B与点D重合,∴BE=ED.
∵AD=25=AE+DE=AE+BE,∴BE=25﹣AE,根据勾股定理可知:AB2+AE2=BE2.
解得:AE=12,∴△ABE的面积为5×12÷2=30.
故选B.
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用.掌握勾股定理是解题的关键.
3.D
解析:D
【解析】
【分析】
【详解】
解:如图:
利用顶点式及取值范围,可画出函数图象会发现:当x=3时,y=k成立的x值恰好有三个.故选:D.
4.C
解析:C
【解析】
解:A.小丽从家到达公园共用时间20分钟,正确;
B.公园离小丽家的距离为2000米,正确;
C.小丽在便利店时间为15﹣10=5分钟,错误;
D.便利店离小丽家的距离为1000米,正确.
故选C.
5.C
解析:C
【解析】
【分析】
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形;对角线互相平分且垂直的四边形是菱形;对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形;对角线互相平分且相等的四边形是矩形进行分析即可.
【详解】
(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形,说法正确;
(2)对角线互相垂直的四边形是菱形,说法错误;
(3)对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形,说法正确;
(4)对角线相等的平行四边形是矩形,说法正确.
正确的个数有3个,
故选C.
【点睛】
此题主要考查了命题与定理,关键是掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定方法.6.D
解析:D
【解析】
【分析】
连接OB,根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF,再根据矩形的性质可得
OA=OB,根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO,再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°,即∠BAC=30°,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC,再利用勾股定理列式计算即可求出AB.
【详解】
解:如图,连接OB,
∵BE=BF,OE=OF,
∴BO⊥EF,
∴在Rt△BEO中,∠BEF+∠ABO=90°,
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知:OA=OB=OC,
∴∠BAC=∠ABO,
又∵∠BEF=2∠BAC,
即2∠BAC+∠BAC=90°,
解得∠BAC=30°,
∴∠FCA=30°,
∴∠FBC=30°,
∵FC=2,
∴
∴,
∴6,
故选D.
【点睛】
本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形三线合一的性质,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半,综合题,但难度不大,(2)作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键.
7.C
解析:C
【解析】
【分析】
【详解】
解:∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3),
∴3=2m,解得m=3
2
.
∴点A的坐标是(3
2
,3).
∵当
3
x
2
<时,y=2x的图象在y=ax+4的图象的下方,
∴不等式2x<ax+4的解集为
3
x
2 <.
故选C.
8.C
解析:C
【解析】
【分析】
证明30
BAE EAC ACE
????,求出BC即可解决问题.
【详解】
解:Q四边形ABCD是矩形,
∴∠=?,
90
B
Q,
EA=EC
∴∠=∠,
EAC ECA
Q,
EAC BAE
??
又∵将纸片沿AE折叠,点B恰好落在AC上,
\????,
BAE EAC ACE
30
Q,
AB=
3
BC AB
\==,
333
∴矩形ABCD的面积是33393
g.
AB BC=?
故选:C.
【点睛】
本题考查矩形的性质,翻折变换,直角三角形30°角性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
9.A
解析:A
【解析】
【分析】
要求丝线的长,需将圆柱的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果,在求线段长时,根据勾股定理计算即可.
【详解】
解:如图,把圆柱的侧面展开,得到矩形,
则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度,
Q圆柱底面的周长为4dm,圆柱高为2dm,
BC BC dm
\=,2
=?,
AB dm
2
222
\=+=+=,
22448
AC
\=,
AC dm
22
∴这圈金属丝的周长最小为242
=.
AC dm
故选:A.
【点睛】
本题考查了平面展开-最短路径问题,圆柱的侧面展开图是一个矩形,此矩形的长等于圆柱底面周长,高等于圆柱的高,本题就是把圆柱的侧面展开成矩形,“化曲面为平面”,用
勾股定理解决.
10.B
解析:B 【解析】 【分析】
由勾股定理的逆定理,只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可. 【详解】
解:A 、72+242=625=252,故是直角三角形,不符合题意;
B 、222222(3)(4)81256337(5)+=+=≠,故不是直角三角形,符合题意;
C 、12+(
34)2=
2516
=(5
4)2,故是直角三角形,不符合题意; D 、1.52+22=6.25=2.52,故是直角三角形,不符合题意; 故选:B . 【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.
11.D
解析:D 【解析】
∵x < 0x x =-,
∴x x
=()22x x x x x x x x ---===.
故选D.
12.A
解析:A 【解析】
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确,从而可以解答本题.
【详解】由图可得,
甲步行的速度为:240÷
4=60米/分,故①正确, 乙走完全程用的时间为:2400÷(16×60÷12)=30(分钟),故②错误, 乙追上甲用的时间为:16﹣4=12(分钟),故③错误,
乙到达终点时,甲离终点距离是:2400﹣(4+30)×60=360米,故④错误, 故选A .
【点睛】本题考查了函数图象,弄清题意,读懂图象,从中找到必要的信息是解题的关键.
二、填空题 13.x >-
3【解析】【分析】根据被开方数大于等于0分母不等于0列式计算即可得解【详解】解:由题意得2x+6>0解得x>-3故答案为x>-
3【点睛】本题考查了函数自变量的范围一般从三个方面考虑:(1)当函
解析:x>-3.
【解析】
【分析】
根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解.
【详解】
解:由题意得,2x+6>0,
解得x>-3.
故答案为x>-3.
【点睛】
本题考查了函数自变量的范围,一般从三个方面考虑:(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.
14.或【解析】【分析】分两种情况考虑①当BF>CF时②当BF<CF时然后过F作FG⊥AD于G根据勾股定理进行求解【详解】①如图所示当BF>CF时过F 作FG⊥AD于G则GF=4Rt△EFG中又∵E是AD的
解析:25或213
【解析】
【分析】
分两种情况考虑,①当BF>CF时,②当BF<CF时,然后过F作FG⊥AD于G,根据勾股定理进行求解.
【详解】
①如图所示,当BF>CF时,过F作FG⊥AD于G,则GF=4,
Rt△EFG中,()22
EG=-=,
2542
又∵E是AD的中点,AD=BC=8,
∴DE=4,
∴DG=4﹣2=2,
∴Rt△DFG中,22
4225
DF=+=;
②如图所示,当BF<CF时,过F作FG⊥AD于G,则GF=4,
Rt△EFG中,()22
2542
EG=-=,
又∵E是AD的中点,AD=BC=8,
∴DE=4,
∴DG=4+2=6,
∴Rt△DFG中,22
46213
DF=+=,
故答案为:25或213.
【点睛】
本题考查矩形的性质,勾股定理,学会运用分类讨论的思想与巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键.
15.16【解析】【分析】首先证明四边形ADEF是平行四边形根据三角形中位线定理求出DEEF即可解决问题【详解】解:
∵BD=ADBE=EC∴DE=AC=5DE∥AC∵CF=FACE=BE∴EF=AB=3E
解析:16
【解析】
【分析】
首先证明四边形ADEF是平行四边形,根据三角形中位线定理求出DE、EF即可解决问题.
【详解】
解:∵BD=AD,BE=EC,
∴DE=1
2
AC=5,DE∥AC,
∵CF=FA,CE=BE,
∴EF=1
2
AB=3,EF∥AB,
∴四边形ADEF是平行四边形,
∴四边形ADEF的周长=2(DE+EF)=16,
故答案为16.
【点睛】
本题考查三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识,熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键.
16.【解析】【分析】根据题意画出示意图利用勾股定理可求出旗杆的高【详解】解:如图所示:设旗杆米则米在中即解得:旗杆的高为75米故答案为:75
【点睛】本题考查了勾股定理的应用解答本题的关键是画出示意图熟练 解析:7.5m
【解析】 【分析】
根据题意画出示意图,利用勾股定理可求出旗杆的高. 【详解】 解:如图所示:
设旗杆AB x =米,则(1)AC x =+米,
在Rt ABC ?中,222AC AB BC =+,即222
(1)4x x +=+,
解得:7.5x =.
∴旗杆的高为7.5米
故答案为:7.5. 【点睛】
本题考查了勾股定理的应用,解答本题的关键是画出示意图,熟练运用勾股定理.
17.2【解析】【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出n 的值进而求出m 的值然后代入求解即可得【详解】∵∴解得将代入得:则故答案为:2【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件利用二次根式有意义的条件求出参数
解析:2 【解析】 【分析】
直接利用二次根式有意义的条件得出n 的值,进而求出m 的值,然后代入求解即可得. 【详解】
∵22112
n n m -+-+=∴22
101010n n n ?-≥?-≥??+≠?
解得1n =
将1n =代入得:221111112
1
m --==+
则112m n +=+= 故答案为:2.
本题考查了二次根式有意义的条件,利用二次根式有意义的条件求出参数的值是常考知识点,需重点掌握.
18.12米【解析】【分析】【详解】解:如图所示AC=6米BC=45米由勾股定理得AB==75(米)故旗杆折断前高为:45+75=12(米)故答案为:12米
解析:12米
【解析】
【分析】
【详解】
解:如图所示,AC=6米,BC=4.5米,
由勾股定理得,AB= 22
4.56
+ =7.5(米).
故旗杆折断前高为:4.5+7.5=12(米).
故答案为:12米.
19.【解析】【分析】先运用勾股定理求出斜边AB然后再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可【详解】解:由勾股定理得
AB∵∠C=90°CD为AB边上的中线∴CD=AB=故答案为【点睛】本题考查的5
【解析】
【分析】
先运用勾股定理求出斜边AB,然后再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.
【详解】
解:由勾股定理得,22
125
+=
∵∠C=90°,CD为AB边上的中线,
∴CD=1
2
55.
【点睛】
本题考查的是勾股定理和直角三角形的性质,掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解答本题的关键.
20.10【解析】【分析】首先根据题意画出图形然后再根据矩形两条对角线的夹角为60°证得△AOB是等边三角形即可解答本题【详解】解:如图:∵四边形ABCD是矩形∴OA=ACOB=BDAC=BD∴OA=OB
【解析】
【分析】
首先根据题意画出图形,然后再根据矩形两条对角线的夹角为60°,证得△AOB是等边三角形,即可解答本题.
【详解】
解:如图:∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=1
2
AC,OB=
1
2
BD,AC=BD
∴OA=OB,
∵∠A0B=60°,
∴△AOB是等边三角形,
∴OA=OB=AB=5,
∴AC=2OA=10,即矩形对角线的长为10.
故答案为:10.
【点睛】
本题考查了矩形的性质以及等边三角形的判定与性质,弄清题意、画出图形是解答本题的关键.
三、解答题
21.(1)详见解析;(2)22
【解析】
【分析】
(1)利用矩形性质可得OD=OC,再借助对称性可得OD=DE=EC=CO,从而证明了四边形ODEC为菱形;
(2)证明四边形OBCE为平行四边形,即可得到2.
【详解】
(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,OC=1
2
AC,OB=OD=
1
2
BD,
∴OD=OC.
∵点O关于直线CD的对称点为E,∴OD=ED,OC=EC.
∴OD=DE=EC=CO.
∴四边形ODEC为菱形;
(2)连接OE.如图,
由(1)知四边形ODEC为菱形,
∴CE∥OD且CE=OD.
又∵OB=OD,
∴CE∥BO且CE=BO.
∴四边形OBCE为平行四边形.
∴22
OE BC
==.
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质,菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质,熟知特殊四边形的判定和性质是解题的关键.
22.(1)①2;②证明见解析;(2)作图见解析,a的值分别是:a1=4,a2=5
2
,a3=
5
3
,
a4=4
3
.
【解析】
【分析】
(1)①根据邻边长分别为2和3的平行四边形经过两次操作,即可得出所剩四边形是菱形,即可得出答案;
②根据平行四边形的性质得出AE∥BF,进而得出AE=BF,即可得出答案;
(2)利用3阶准菱形的定义,即可得出答案;根据a=6b+r,b=5r,用r表示出各边长,进而利用图形得出?ABCD是几阶准菱形.
【详解】
解:(1)①邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形;
故答案为:2;
②如图2,由BE是四边形ABFE的对称轴,即知∠ABE=∠FBE,且AB=BF,EA=EF,又因为AE∥BF,所以∠AEB=∠FBE,从而有∠AEB=∠ABE,因此AB=AE,据此可知
AB=AE=EF=BF,故四边形ABFE为菱形;
(2)如图,必为a>3,且a=4;
如图,必为2 如图,必为 3 2 a-1+ 1 (1)1 2 a-=,解得a= 5 3 ;