整数指数幂的运算法则 教学目标：1、通过探索掌握整数指数幂的运算法则。 2、会熟练进行整数指数幂的运算。 3、让学生感受从特殊到一般的数学研究的一个重要方法。 重 点：整数指数幂的运算法则的推导和应用。 难 点：整数指数幂的运算法则的理解。 过 程： (一)课前检测 正整数指数幂运算法则： =?n m a a =n m a ）（ =?n b a ）（ =n m a a =n b a ）（ (二)新课预习 1、自主探究： 1）、阅读教材P41~42 2）、尝试完成下列练习，检查自学效果： 1、下列运算正确的是： A:632a a a =? B: 532a a --=）（ C:22-a 412a --= D: 222a 3a a --=- 2、设a ≠0，b ≠0，计算下列各式： =?-25a a =-3-2a ）（ =-4-12b a b a ）（ =-33b 2a ）（ 3、计算下列各式： 23222x 3y x y -- 22 222 x 2()xy y x y --+- = = = = 3)、完成课后练习。 （三）、成果呈现 1）、抽查各小组预习答案，并请学生代表小组展示。 2）、其它小组质疑、辩论、点评。 3）、全班归纳总结本节知识。 （四）：练习巩固：
A 1、计算 =?-38x x =--332y x ）（ =-3-24ab a ）（ =?-382-2）（ =÷-2 35ab 2b -a ）（ =-+--2224x 4x 4x ）（ B 2、若27 13x =，则x= 3、一个分式含有x 的负整数指数幂，且当x=2时，分式没有意义，请你写出一个这样的分式 。 C 4、已知01132=++x x ，求1-+x x 与2 2-+x x 的值。 6、小结： 整数指数幂的运算法则： =?n m a a =n m a ）（ =?n b a ）（ =n m a a =n b a ）（ 错题更正：
§ 实数指数幂及其运算法则 导学案 目标要求：理解有理指数幂的含义，能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化；了解实数指数幂的意义,体会有理指数幂向无理指数幂逼近的过程.通过复习和练习,理解分数指数幂的意义和学会根式与分数指数幂之间的相互转化及有理指数幂运算性质的应用，培养学生的思维能力，注重学生数学思想的渗透。 重点：实数指数幂的概念及分数指数的运算性质。 难点：对非整数指数幂意义的了解，特别是对无理指数幂意义的了解。 学习过程 一、自主学习： 1．整数指数幂概念： n a a a a =?? ?个 )(*∈N n ； ()00a a = ≠； n a -= ()0,a n N * ≠∈. 2．整数指数幂的运算性质：（1）m n a a ?= (),m n Z ∈； （2）() n m a = (),m n Z ∈；（3）()n ab = ()n Z ∈ 其中 m n a a ÷= ，n a b ?? = ??? 3．复习练习： 求（1）9的算术平方根，9的平方根； （2）8的立方根，-8的立方根. 问：什么叫a 的平方根？a 的立方根？ 二、合作探究： 1．有理指数幂 问题1：将下列根式写成分数指数幂的形式： 2，32，3)2(，35，325，23)5( 补充说明：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。 2．有理指数幂的运算法则 问题2：计算（1）2 32 1x x ?； （2）2 34)(a ； （3）5 3)(xy 2 12， 2 32， 2 32， 3 15， 3 25， 3 25 公式：)0(1>= a a a n n ),,,0(为既约分数且 n m N n m a a a n m n m +∈>=
幂的运算法则 1、同底数幂的乘法a a a n m n +=m ，即同底数幂相乘，底数不变，指数 相加。在考试过程中通常需要用其逆运算a a a n n m =+m ，即当在运算 中出现指数相加时，我们往往将其拆分成同底数幂相乘的形式。 2、同底数幂的除法a a a n m n -m =÷，即同底数幂相除，底数不变，指数 相减。在考试过程中通常需要用其逆运算a a a n n m ÷=-m ，即当在运算中出现指数相减时，我们往往将其拆分成同底数幂相除的形式。 3、幂的乘方a a mn m =)(n ，即当出现内、外指数（m 是内指数，n 是外指数）时，底数不变，指数相乘。在考试过程中通常需要用其逆运算)()(n m n a a a m mn ==，这时注意：具体用何种拆法要根据题目给出的是a m 还是a m 的形式。常在比较两个幂的大小等题目中出现。而在比较幂的大小类题目中，常用方法是转化为同底数幂或者同指数幂的形式。 如：（1）、化同指数比较。比较3275100与的大小，观察可以发现，底数2与3之间不存在乘方关系，因此，我们将其转化为同指数的幂进行比较，()1622225254251004===?，()2733325 25325753===?，因为27＞16，所以16272525＞，即2310075＞ （2）化同底数比较。比较934589与观察可以发现，底数9与3之间存 在着乘方关系即392=，因此，对于这样的题，我们将其转化为同底数幂进行比较，()33399045224545===?，而90＞89，∴338990＞即3989 45＞。 规律小结：在幂的大小比较中，底数之间存在乘方关系时，化为同底数幂，比较指数大小；底数之间不存在乘方关系时，化为同指数
一、解答题（共30小题） 1、（2010?漳州）计算：（﹣2）0+（﹣1）2010﹣（） ﹣ 考点：负整数指数幂；有理数的乘方；零指数幂。 专题：计算题。 分析：本题涉及零指数幂、乘方、负整数指数幂三个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 解答：解：原式=1+1﹣2 =0． 故答案为0． 点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、乘方等考点的运算． 2、（2010?西宁）计算：（）﹣ ﹣（﹣） 考点：负整数指数幂；有理数的乘方；零指数幂。 专题：计算题。 分析：此题涉及到负整数指数幂、零指数幂、乘方三个知识点，在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得结果． 解答：解：原式=2﹣1+（）（3分） =2﹣1+1（5分） =2．（7分） 点评：本题考查实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、乘方等考点的运算． 3、（2010?邵阳）计算：（）﹣ ﹣ 考点：负整数指数幂。 专题：计算题。 分析：根据负整数指数幂、倒数、立方根的知识点进行解答，一个数的负指数次幂等于这个数的正指数次幂的倒数；互为倒数的两个数的积为1；8的立方根是2． 解答：解：原式=3﹣1+2=4．故答案为4． 点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、立方根、倒数的知识点． 4、（2009?重庆）计算：|﹣2|+（）﹣1×（π﹣）0﹣+（﹣1）2． 考点：负整数指数幂；绝对值；有理数的乘方；算术平方根；零指数幂。 专题：计算题。 分析：根据绝对值、负整数指数幂、零指数幂、算术平方根、有理数的乘方等知识点进行解答．
指数运算法则 指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且不=1) ，函数图形下凹，a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单 调递减的函数。指数函数既不是奇函数也不是偶函数。要想使 得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得a的不同大小 影响函数图形的情况。 一、法则 在函数y=a^x中可以看到： （1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提 是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得 函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时a 等于0一般也不考虑。 （2）指数函数的值域为大于0的实数集合。 （3）函数图形都是下凹的。 （4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0， 则单调递减。 （5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无 穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y 轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y 轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平 直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 （6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。 （7）函数总是通过定点（0，1） （8）指数函数无界。 （9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
（10）当两个指数函数中的a互为倒数时，此函数图像是 偶函数。例1：下列函数在R上是增函数还是减函数？说明理由. ⑴y=4^x 因为4>1，所以y=4^x在R上是增函数；⑵ y=(1/4)^x 因为0<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是减函数1对 数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那 么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对 数的底数，N叫做真数. 由定义知：①负数和零没有对数; ②a>0且a≠1,N>0; ③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特 别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN. 2对数式与指数式的互化式子名称abN指 数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数) 3对数的运算性质如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)loga(M/N)=logaM-logaN. (3)logaM n=nlogaM (n∈R). 二、记忆口决 有理数的指数幂，运算法则要记住。 指数加减底不变，同底数幂相乘除。 指数相乘底不变，幂的乘方要清楚。 积商乘方原指数，换底乘方再乘除。 非零数的零次幂，常值为 1不糊涂。 负整数的指数幂，指数转正求倒数。 看到分数指数幂，想到底数必非负。 乘方指数是分子，根指数要当分母。 看到分数指数幂，想到底数必非负。
指数与指数幂的运算 A 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： 1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质 (1)理解n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算； (2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化； (3)能利用有理指数运算性质简化根式运算. 2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集； 3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力； 4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质． 学习策略： 学习实数指数幂及其运算时，应熟练掌握基本技能：运算能力、处理数据能力以及运用科学计算器的能力． 二、学习与应用 （1 ）零指数幂：a 0= （a 0） “凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记． 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
（2）负整数指数幂：a-p= （a0, p是数） （3）一般地，如果一个数x的等于a，即a x= 2，那么，这个数x就叫做a的平方根。也叫做二次方根．一个正数有个平方根，它们是互为；0只有个平方根，它是；负数平方根． （4）一般地，如果一个数的等于a，这个数就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 要点一：整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念 ( )* .................................... n a n Z =∈； () ...................................... a a =； ................................... (0,) n a a n Z* -=∈． 2．运算法则 （1）m n a a?=； （2）()n m a=； （3）() ............................ m n a m n a a =>≠ ，； （4）()m ab=． 要点二：根式的概念和运算法则 1．n次方根的定义： 若x n=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根． n为奇数时，正数y的奇次方根有个，是数，记为n y；负数y的 奇次方根有个，是数，记为n y；零的奇次方根为，记为 要点梳理——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听 课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源 ID：#10160#391630
实数指数幂及运算 课前预习案 【课前自学】 一 、 整数指数 1、正整指数幂的运算法则 （1）m n a a = ，（2）()m n a = ，（3）m n a a = ，（4）()m ab = 。 2、对于零指数幂和负整数指数幂，规定：0___(0)a a =≠， ____(0,)n a a n N -+=≠∈。 二、 分数指数幂 1．n 次方根的概念 . 2．n 次算术根的概念 . 3．根式的概念 . 4．正分数指数幂的定义 1 n a = ； m n a = . 5．负分数指数幂运算法则： m n a -= . 6．有理指数幂运算法则：（设a>0,b>0，,αβ是任意有理数） a a αβ= ；()a αβ= ；()a b α= 自学检测(C 级) =-0)1(______ ; =-3)x 2(_______; 3)21(--=_______ ; =-223 )y x (_____ 课内探究案 例:化简下列各式
（1 （2 （3） )0(322>a a a a ； （4）232520432()()()a b a b a b --?÷； （5）12231111362515()()46x y x y x y ----- （6）111222m m m m --+++. 当堂检测： 1. (C 级)化简44)a 1(a -+的结果是( ) A. 1 B. 2a-1 C. 1或2a-1 D. 0 2.(C 级) 用分数指数幂表示下列各式：
32x =_________；31a =_________；43)(b a +=_________； 322n m +=_________；32y x =_________. 3. (C 级) 计算： 21)49 64(- =________ 3227=________；________= 41 10000； 课后拓展案 1.(C 级)计算： (1) 21 6531 -÷a a a (2) )32(431313132----÷ b a b a (3) (4). 6433)1258(b a 2. (C 级)计算：（1）3163)278(-- b a ； （2）632x x x x （3）22 121)(b a -； （4）302 32)()32()2(--?÷a b a b a b . 3.(B 级)k 2)1k 2()1k 2(222---+-+-等于（ ）
整式除法 知识点1：同底数幂的除法 法则：a m ÷a n =a m-n (a ≠0，m,n 都是正整数，且m>n) 规定：a 0=1(a ≠0) 学习运算法则时注意： A ：因为零不能作除数，所以底数不能为0； B ：底数可以是单项式，也可以是多项式； C ：多个同底数幂相除，应按顺序求解 配套练习 1.计算：a 7÷a=__________; (ab)12÷(ab)4=______; (a+b)10÷(a+b)5=_________ X 7÷x 2=___________; (a-b)12÷(a-b)4=_______________ 2.计算：（a-b ）11÷(b-a)10+(-a-b)5÷(a+b)4 （a-b ）15÷(a-b)5÷(b-a)8 (-a 11)3÷(-a)17÷(-a 3)2÷a 8 (-a 16)2÷(-a 15) ÷(-a 3)2÷a 8 3.变式练习： 已知2m =7,2n =5,求4m-n 的值。 4.计算()()354105319.02121230 2-÷??? ???-+??? ???----÷; (x-y)12÷(y-x)11+(-x-y)3÷(x+y)2 知识点2：单项式，多项式除以单项式 用单项式或多项式除双被除数的单项式，再把所得的结果相加 5. a 3x 4÷4 3a 2x________; 45a 5b 3÷(-9a 2b)________; (-2x 4y 2)3÷(-2x 3y 3)2_________; 6. x m+n ×(-2x m y n ) ÷(3x m y n ) 27x 5y 3z ÷(-9x 2y) (-2a 2y 2)3÷(-3ay 2)3 7. (9a 3b 2-12a 2b+3ab) ÷(-3ab) (-0.25a 3b 2- 21a 4b 3+31a 3b) ÷(-0.5a 3b) [(a+b)5-(a+b)3] ÷(a+b)3 [(a+b)(a-b)-(a-b)2] ÷(a-b) 8 先化简再求值[(2b-a)(3a+2b)-(a+2b)2] ÷(- 21a),其中a=2, b=9713
指数与指数幂的运算 【学习目标】 1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质 (1)理解n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算； (2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化； (3)能利用有理指数运算性质简化根式运算. 2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集； 3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力； 4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质． 【要点梳理】 要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念 () ()) ,0(1 010* Z*n a a a a a Z n a a a a n n a n n ∈≠=≠=∈???=- 个 2．运算法则 （1）n m n m a a a +=?； （2）() mn n m a a =； （3）()0≠>=-a n m a a a n m n m ，； （4）()m m m b a ab =. 要点二、根式的概念和运算法则 1．n 次方根的定义： 若x n =y(n ∈N * ，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根. n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为 n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ； n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为n y ±；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为00n =. 2．两个等式 （1）当1n >且* n N ∈时，() n n a a =； （2）?? ?=) (||)(,为偶数为奇数n a n a a n n
指数运算法则 指数函数指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且不=1) ，要想使得x能够 取整个实数集合为定义域，则只有使得如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。 在函数y=a^x中可以看到： （1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0 且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时a等于0一般也不考虑。 （2）指数函数的值域为大于0的实数集合。 （3）函数图形都是下凹的。 （4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递 减的。 （5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程 中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调 递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 （6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。 （7）函数总是通过（0，1）这点 （8）显然指数函数无界。 （9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 （10）当两个指数函数中的a互为倒数时，此函数图像是偶函数。例1：下列函数在R上是增函数还是减函数？说明理由. ⑴y=4^x 因为4>1， 所以y=4^x在R上是增函数；⑵y=(1/4)^x 因为0<1/4<1,所以y=(1/4)^x 在R上是减函数1对数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即 ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数 的底数，N叫做真数. 由定义知：①负数和零没有对数; ②a>0且a≠1,N>0; ③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特别地，以10为底的对数叫常 用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数 叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN. 2对数式与指数式的互化式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数) 3对数的运算性质如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaMN=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM (n∈R).
11.4 多项式乘多项式 教学目标 【知识与能力】 通过数字游戏的自主探究，猜想零指数幂和负整数指数幂的意义，并尝试验证其规定的合理性。 【过程与方法】 掌握零指数幂和负整数指数幂在实际问题中的应用。 【情感态度价值观】 在经历猜想—验证的探究活动中发展推理能力，并能够流利地表达自己的观点。 教学重点。 教学重难点 【教学重点】 对零指数幂和负整数幂的意义的猜想和验证过程。 【教学难点】 零指数幂和负整数指数幂的意义在实际问题中的应用以及它们的逆用。 课前准备 无 教学过程 学法指导：猜想——验证——应用 学生课前知识储备：（设计意图：通过复习让学生更好的用旧知识的迁移推导新知识） 用符号语言表达“同底数幂的除法法则”：———————————— 文字表述：———————————— 法则的使用条件：———————————— 理由：———————————— 情境导入：（以生动形象的动点问题导入新课，激发学生探求欲。） 数字游戏：（投影）一动点P按照“跳中点”的规则，从数轴上的数字16处出发，第一次跳到数字8处，第二次跳到4处，第三次跳到2处，按照此规律，你能依次说出其跳动到的其他数字吗？你能用2的幂的形式来表达这些数字吗？ 课内探究活动设计： 验证猜想：（老师与学生一起完成） 1.根据除法运算方法直接计算： 23÷23= （）÷（）=（） 2.根据同底数幂的除法运算性质计算： 23÷23=2（） = 2（） 结论： 20=（） 类比零指数幂的验证过程自主验证负整数指数幂的意义：（学生自主完成，“一帮一”小队分工、合作、交流、汇报） （1） 23÷24 （2） 22÷25
指数与指数幂的运算 导入新课 思路1.碳14测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后,即会停止吸收碳14,其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量,便可推断其年代(半衰期:经过一定的时间,变为原来的一半).引出本节课题:指数与指数幂的运算之分数指数幂. 思路 2.同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)整数指数幂的运算性质是什么？ (2)观察以下式子,并总结出规律：a ＞0, ①5 10 a =3 52)(a =a 2 =a 5 10; ②8a =2 4)(a =a 4=a 2 8; ③4 12 a =443)(a =a 3 =a 412; ④210a =2 2 5)(a =a 5 =a 2 10. (3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗？ 4 35,357,57a ,n m x (x>0,m,n ∈N *,且n>1). (4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？ (5)你能推广到一般的情形吗？ 活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把具体推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励提示. 讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：a n =a·a·a·…·a,a 0=1(a≠0);00无意义; a -n = n a 1 (a≠0);a m ·a n =a m+n ;(a m )n =a mn ;(a n )m =a mn ;(ab)n =a n b n . (2)①a 2是a 10的5次方根；②a 4是a 8的2次方根；③a 3是a 12的4次方根；④a 5是a 10的2次方根.实质上①5 10 a =a 5 10,②8 a =a 2 8,③412 a =a 4 12,④210 a =a 2 10结果的a 的指数是2,4,3,5 分别写成了 510,28,412,5 10,形式上变了,本质没变. 根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）.
指数与指数幂的运算 导学案 Revised on November 25, 2020
指数函数 指数与指数幂的运算 ? 课时目标：理解分数指数幂与无理指数幂的意义，会用幂的运算法则进行有关运算.分数指数幂的运算是考查 的重点，要领会运用分数指数幂与根式的相互转化解题.了解所有实数指数幂的意义. ? 基础预探、复习回顾 1、指数幂的概念： ①n a 叫做a 的幂，a 叫做幂的____，n 叫做幂的______. 2、有理指数幂的运算法则： ①m n a a =_______；②()n m a =________； ③m n a a =________； ④()m ab =_________；⑤n a a a a ???==个 __________________.. 3、阅读课本P 49页填空： (1)a 的n 次方根的定义：_________________________________________________. (2)a 的n 次方根的性质： ◆ a 的n 次方根的分类（1,n n N +>∈） 当n 为偶数时，若0a >，则a 的偶次方根有______，它们互为______，分别表示为____、____可以合并写成_______； 若0a <时，负数的偶次方根在实数范围内不存在. 当n 为奇数时，正数的奇次方根是一个_______，负数的奇次方根是一个_______，都表示为_________； 当0a =时，a 的n 次方根为0，记作_______， ◆ 正数a 的n 次算术根 正数a 的正的______叫做a 的n 次算术根. （3叫做根式，______叫做指数式；______叫做被开方数。 （4）开方的定义：求a 的n 次方根的运算称为开方运算。
17.3.2 零次幂和负整数指数幂 教学目标 1 通过探索掌握零次幂和负整数指数幂的意义。 2 会熟练进行零次幂和负整数指数幂的运算。 3 会用科学计数法表示绝对值较少的数。 4 让学生感受从特殊到一般是数学研究的一个重要方法。 教学重点、难点 重点：零次幂和负整数指数幂的公式推导和应用，科学计数法表示绝对值绝对值较少的数。 难点：零次幂和负整数指数幂的理解 教学过程 一 创设情境，导入新课 1 同底数的幂相除的法则是什么？用式子怎样表示？用语言怎样叙述？ 2 这这个公式中，要求m>n,如果m=n,m
（1）从特殊出发：填空： 思考：这两个式子的意义是否一样，结果应有什么关系？因此：， 同样： 由此你发现了什么规律？ 一个非零的数的零次幂等于1. （2）推广到一般： 一方面：，另一方面： 启发我们规定： 试试看：填空： ， 。 2 负整数指数幂的意义。 （1）从特殊出发：填空： ， （2）思考：的意义相同吗？因此他们的结果应该有什么关系呢？（） 同样：， （3）推广到一般： 2 2223333 ÷、2 22023=3333÷=4 44041010101010=÷=0 (0)m m m m a a a a a -÷==≠11111m m m m a a a a ?===?0 1(0)a a =≠0 2=3??? ???，02=_,010_,=0=__(x 0)x ≠()03_,π-=()0 21_x +=3 35_-____55_,55555 =÷==223___33=_,33=333-÷=447__-___710__,1010101010 =÷==2 2333333 ÷与-113=3 -2-323115=10=510，?n a -=()00110,n n n n n a a a a a a n a --==÷=÷= ≠是正整数
6·6零指数幂与负整数指数幂（二） 学习目标： 1、理解：负整数指数幂的意义 2、负整数指数幂的运算性质 一、自主预习课本P97-99内容，独立完成课后练习1、2与小组同学讨论课后练习题。 二、回顾P97—P99，思考一下问题 1、①底数幂相乘a m ·a n = （0≠a ） ②同底数幂相乘a m ÷a n = （0≠a ，m>n ） ③当m=n 时，a m ÷a n =a 0=1特别（0≠a ） 2、当0≠a a 0=1，a 1=a ，a 2=a ·a ，……，a n =a ·a ·a ……a a -1, a -2应该表示什么呢 3、由分数计算 23÷25=2233532122222=?= 102÷106=4422621011010101010=?= 同底数幂除法 23÷25=22-5=2-2 102÷106=102-6=10-4 应当规定2-2=221 10-4=410 1 一般地a -n =n a 1（0≠a ，n 是正整数） 这就是说，任何不等于零的数的-n （n 为正整数）次幂，等于这个数n 次幂的倒数，零的负整数指数幂没有意义。 4、思考：0≠a ，那么a 的任意整数次幂都有意义吗？ 5、计算2-3、（-1）-3、（0.2）-0.2
三、巩固练习 1、4-2= 2、（-2）-3= 3、（-2 3）-2= 4、x 5÷x 7= 5、a 5÷a -3= 6、已知x+x -1=a ，求x 2+x -2的值 四、学习小结：（回顾一下这一节所学的内容） 五、达标检测： 1、（-3）-3 2、2 )3(1-- 3、2)3 2(-- 4、（23-1）-3 5、a 5·a 2÷a 6 6、若（x-3）0-2（3x-6）-2有意义，那么x 的取值范围 A 、x>3 B 、x<2 C 、3≠x 或2≠x D 、3≠x 且2≠x 7、已知a+a -1=3求a 2+a -2的值 六、布置作业 教学反思
3.1 指数与指数函数 3.1.1 实数指数幂及其运算 [学习目标] 1.理解有理指数幂的含义，会用幂的运算法则进行有关运算.2.了解实数指数幂的意义 . [知识链接] 1.4的平方根为±2，8的立方根为 2. 2.23·22＝32，(22)2＝16，(2·3)2＝36，25 23 ＝4. [预习导引] 1.基本概念 整数指数 n 次方根 分数指数 a n ＝ a 0＝1(a ≠0) a －n ＝1 a n (a ≠0) 如果存在实数x ，使得x n ＝a (a ∈R ，n ＞1且n ∈N ＋)，则x 叫做a 的n 次方根，n a 叫做把a 开n 次方，称作开方运算. 1n a ＝n a ； n m a ＝n a m ； -m n a ＝ 1n a m (a >0，n ，m ∈N ＋) (1)(n a )n ＝a (n ＞1且n ∈N ＋)； (2)n a n ＝????? a (n 为奇数且n ＞1，n ∈N ＋)，|a | (n 为偶数且n ＞1，n ∈N ＋). 3.有理指数幂的运算法则 若a >0，b >0，则有任意有理数α，β有如下运算法则： (1)a αa β＝a α＋ β；
(2)(a α)β＝a α·β ； (3)(ab )α＝a α·b α. 解决学生疑难点 要点一 根式的运算 例1 求下列各式的值： (1) 3 (－2)3；(2) 4 (－3)2；(3) 8 (3－π)8； (4) x 2－2x ＋1－ x 2＋6x ＋9，x ∈(－3,3) 解 (1) 3 (－2)3＝－2. (2) 4(－3)2＝4 32＝ 3. (3) 8 (3－π)8＝|3－π|＝π－3. (4)原式＝ (x －1)2－ (x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|， 当－3＜x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2. 当1＜x ＜3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4. 因此，原式＝? ???? －2x －2，－3＜x ≤1， －4，1＜x ＜3. 规律方法 1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值. 2.开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论. 跟踪演练1 化简下列各式： (1) 5 (－2)5；(2) 4 (－10)4；(3) 4(a －b )4. 解 (1) 5 (－2)5＝－2. (2) 4(－10)4＝|－10|＝10. (3) 4 (a －b )4＝|a －b |＝? ?? ?? a － b (a ≥b )，b －a (a ＜b ).
指数与指数幂的运算 备课人：余巍巍 【学习目标】理解指数的含义及指数幂的运算. 【自主梳理】叫做根式 n叫做根指数，叫做被开方数. 【重点领悟】 根式的性质:(1)当n为奇数时，，（）；(2)当n为偶数时，，（）； ，（）. 注意：当n为偶数时，包含两个隐含条件①；②. 【探究提升】 ?分数指数幂：； ?0指数幂：，； ?负指数幂：，. 【学法引领】 幂运算法则： （1），；
（2），；（3）. 【巩固训练】 1．化简下列各式： (1) 6 3－π6＝______________； (2) 5 a10＝______________.
5．设a≥0，化简：3 a6＝____________ ，由此推广可得： p a mp＝________(m，n，p∈N*)． 6．若8＜x<12，则x－82＋x－122＝7．设a，b∈R，下列各式总能成立的是() A．(6 a－ 6 b)6＝a－b B.8 a2＋b28＝a2＋b2 C.4 a4－ 4 b4＝a－b D.10 a＋b10＝a＋b
10．已知0<2x－1<3，化简1－4x＋4x2＋2|x－2|.
【知识网络】 ?根式的定义： 叫做根式 n叫做根指数，叫做被开方数. ?根式的性质： ?当n为奇数时，，（）； ?当n为偶数时，，（）； ，（）. 注意：当n为偶数时，包含两个隐含条件①；②. 1.根式与指数幂的转化：
?分数指数幂：； ?0指数幂：，； ?负指数幂：，. 4.幂运算法则： （1），； （2），； （3）. 【学习反思】 1．进行指数幂运算时，要将指数化为正指数，还要善于利用幂的运算法则．2．注意根式运算与有理数指数幂的相互转化． 3．利用指数幂的运算性质进行化简变化时，要注意次序． 4．含有绝对值或偶次方根的运算，必要时需要分类讨论.
实数指数幂及运算法则 一、教学目标 知识目标：1、掌握实数指数幂的运算法则； 2、会用实数指数幂运算法则进行化简； 3、能运用实数指数幂的运算法则及分数指数幂和根式之间的互化进行计算； 能力目标：1、培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力； 2、培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神； 3、培养学生用事物之间普遍联系的观点看问题； 二、教学重点、难点 1、重点 实数指数幂的运算法则及应用 2、难点 运用实数指数幂的运算法则及分数指数幂和根式之间的互化进行计算 三．学法与教具： 1．学法：讲授法、讨论法. 2．教具：投影仪 四、教学过程 1、温知 （1）0 a =1（非零数的零次方等于1） 1 n n a a -= （一个非零数的负指数幂等于它的正指数幂的倒数） （2m n a （根式与分数指数幂的互化） 练：将下列各根式写成分数指数幂的形式：（1 ； （2 将下列各分数指数幂写成根式的形式：（1）3 2 3； （2）25 8 - 2、新课 ? ，即1 2 3?12 3=1122 3 +； 4 =9，即14 2(3)=2 3=142 3 ?； …… 猜想：有理数指数幂的运算法则与整数指数幂的运算法则完全相同． 可以证明对有理数指数幂，原整数指数幂的运算法则保持不变，即 （1）r s r s a a a +=（a>0,r,s ∈Q ）; 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. (2) ()r s rs a a =（a>0,r,s ∈Q ）; 幂的乘方，底数不变，指数相乘. (3) ()r r r ab a b =（a>0,b>0,r ∈Q ）;
积的乘方，等于把积的各个因式分别乘方. 显然，整数指数幂的运算法则是有理数指数幂运算法则的特殊情况. 3、知识巩固 例１求下列各式的值： （1） 2 3 8；（2） 3 4 81 16 ?? ? ?? ；（3） 3 4 16-；（4）3 ? ? ? 解：分析先将根式转化为分数指数幂，在计算会更简便快捷. （1） 2 3 8= 2 33 (2)= 2 3 3 2?=22=4； （2） 3 4 81 16 ?? ? ?? = 3 44 3 2 ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? = 3 4 4 3 2 ? ?? ? ?? = 3 3 2 ?? ? ?? = 27 8 ； （3） 3 4 16-= 3 44 (2)-= 3 4() 4 2?-=3 2-= 1 8 ； （4）3 ? ? ?（4）13? 1 2 3? 1 3 3? 1 6 3= 111 1 236 3+++=23=9. 练一练求值： （1） 1 2 0.01；（2） 1 2 32-；（3） 1 2 64 121 - ?? ? ?? ；（4） 2 3 27. 解：（1） 1 2 0.01=() 1 22 0.1 ?? ??= 1 2 2 0.1?=0.1； （2） 1 5 32-= 1 55 (2)-= 1 5() 5 2?-=1 2-= 1 2 ； （3） 1 2 64 121 - ?? ? ?? = 1 22 8 11 - ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? = 1 2() 2 8 11 ?- ?? ? ?? = 1 8 11 - ?? ? ?? = 11 8 ； （4） 2 3 27= 2 33 (3)= 2 3 3 3?=23=9. 例2计算下列各式(a>0,b>0): （1 ；（2） 2 1 3 3 2 15(3) a b a b- ÷. 解：分析系数与系数做运算；同底的幂按法则进行运算；不同底的幂不进行运算. （1 ） a = 2 1 3 a a-= 2 1 3 a-= 1 3 a-；
幂的运算、指数运算：同底数幂的乘除法，幂的乘方， 积的乘方，零指数幂，负指数幂 【知识要点梳理】 1．同底数幂的运算：=?n m a a _______ ； =÷n m a a _______ （0a ≠） 同底数幂的运算性质推广：________=??p n m a a a ；_________=?p n m a a a 2．幂的乘方：__________)(=n m a 多重乘方：[]p n m a )(=__________ 3. 积的乘方:________)(_;__________)(==n n abc ab 4. 负指数幂：=-p a __________ 任何不等于0的数的p -次幂（p 是正整数），等于这 个数的p 次幂的倒数.而10-、3 0-都是无意义的， 当0>a 时，p a -的值一定是正的； 当0
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