§ 实数指数幂及其运算法则 导学案
目标要求：理解有理指数幂的含义，能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化；了解实数指数幂的意义,体会有理指数幂向无理指数幂逼近的过程.通过复习和练习,理解分数指数幂的意义和学会根式与分数指数幂之间的相互转化及有理指数幂运算性质的应用，培养学生的思维能力，注重学生数学思想的渗透。 重点：实数指数幂的概念及分数指数的运算性质。
难点：对非整数指数幂意义的了解，特别是对无理指数幂意义的了解。 学习过程
一、自主学习：
1．整数指数幂概念： n a
a a a =??
?个 )(*∈N n ； ()00a a =
≠； n a -=
()0,a n N *
≠∈.
2．整数指数幂的运算性质：（1）m
n
a a ?= (),m n Z ∈；
（2）()
n
m a
= (),m n Z ∈；（3）()n
ab = ()n Z ∈ 其中
m n a a ÷= ，n
a b ??
= ???
3．复习练习：
求（1）9的算术平方根，9的平方根； （2）8的立方根，-8的立方根.
问：什么叫a 的平方根？a 的立方根？
二、合作探究： 1．有理指数幂
问题1：将下列根式写成分数指数幂的形式：
2，32，3)2(，35，325，23)5(
补充说明：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
2．有理指数幂的运算法则
问题2：计算（1）2
32
1x x ?； （2）2
34)(a ； （3）5
3)(xy
2
12， 2
32， 2
32， 3
15， 3
25， 3
25
公式：)0(1>=
a a a n
n
),,,0(为既约分数且
n
m
N n m a a a n m n
m +∈>=
),,,0(1
1为既约分数且
n
m N n m a a a
a
n
m
n
m n
m +-
∈>=
=
问题2：
（1）2x ； （2）6
a ； （3）5
35
3y x
法则：（1）αa ·β
αβ+=a
a
),,0(Q a ∈>βα；
（2）αβ
β
αa
a =)( )
,,0(Q a ∈>βα
（3）α
α
αa a ab =)( ),0(Q a ∈>α。 三、精讲点拨
计算：（1）8
53
14
1a a a ??； （2）2
16
53
1-÷?a
a a （3）6
312
1)(-
y
x
（4）
3
2
y
x ；（5）)3
2(431
313
13
2
-
--
-÷b a b
a
四、当堂检测:
（1）2
3
a a ? ， （2）()
2
33x
， （3）3
3
a
a ，
（4）53a a ， （5）3
10-， （6）6
21-??
? ??-
（1）
)6
5
)(41(56
13
12
112
13
2
-----
y x y x y
x （2）
2
12
1
12m
m
m m +++--
五、课堂小结：
这节课我学会了：
※自我评价你完成本节学案的情况为（）A．很好B．较好C ．一般D．较差
§ 实数指数幂及其运算法则 导学案 目标要求：理解有理指数幂的含义，能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化；了解实数指数幂的意义,体会有理指数幂向无理指数幂逼近的过程.通过复习和练习,理解分数指数幂的意义和学会根式与分数指数幂之间的相互转化及有理指数幂运算性质的应用，培养学生的思维能力，注重学生数学思想的渗透。 重点：实数指数幂的概念及分数指数的运算性质。 难点：对非整数指数幂意义的了解，特别是对无理指数幂意义的了解。 学习过程 一、自主学习： 1．整数指数幂概念： n a a a a =?? ?个 )(*∈N n ； ()00a a = ≠； n a -= ()0,a n N * ≠∈. 2．整数指数幂的运算性质：（1）m n a a ?= (),m n Z ∈； （2）() n m a = (),m n Z ∈；（3）()n ab = ()n Z ∈ 其中 m n a a ÷= ，n a b ?? = ??? 3．复习练习： 求（1）9的算术平方根，9的平方根； （2）8的立方根，-8的立方根. 问：什么叫a 的平方根？a 的立方根？ 二、合作探究： 1．有理指数幂 问题1：将下列根式写成分数指数幂的形式： 2，32，3)2(，35，325，23)5( 补充说明：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。 2．有理指数幂的运算法则 问题2：计算（1）2 32 1x x ?； （2）2 34)(a ； （3）5 3)(xy 2 12， 2 32， 2 32， 3 15， 3 25， 3 25 公式：)0(1>= a a a n n ),,,0(为既约分数且 n m N n m a a a n m n m +∈>=
有理数指数幂教案 一、条件分析 1．学情分析 在上个单元中，学生学习了函数的概念、表示方法、单调性、奇偶性，对函数有了初步的认识，但是还远远不够，函数是个大家庭，需要我们继续深入学习已到达实际运用的目的。对于这个章节的内容，学生在初中已经学过，加之初数内容的补充，学生对这方面的知识掌握起来比较容易，难点在于对八个公式的记忆可能混淆，因此在学习本章节的内容时应多做练习巩固所学知识。 2.教材分析 本节内容由整数指数幂、n次根式、分数指数幂构成，这三个内容环环相扣，层层递进，所以，在学习这个章节的内容时，应注意知识的内在联系。 二、三维目标 知识与技能目标 A层： 1. 理解有理数指数幂的概念； 2. 识记正整数指数幂的运算法则； 3. 识记分数指数幂的运算法则； 4. 理解n次方根、n次算术根的概念。 B层： 1. 理解有理数指数幂的概念； 2. 识记正整数指数幂的运算法则； 3. 识记分数指数幂的运算法则。 C层： 1. 识记正整数指数幂的运算法则； 2. 识记分数指数幂的运算法则。 过程与方法目标 讲授法、练习法、游戏法。在学习有理数指数运算时通过竞答游戏激发学生学习兴趣，通过练习加深学生对所学知识的巩固。 情感态度和价值观目标 通过对有理数指数幂的探究，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过学习有理数指数幂的知识，让学生明白，对于问题的解决，我们可以采用多种方法，其中有效的方法是转化，把不熟悉的问题转化成我们所熟悉的问题就能轻松解决。 三、教学重点 有理数指数幂的运算法则 四、教学难点 n次方根与n次算术根的区别和联系 五、主要参考资料：
中等职业教育课程教材数学基础模块（上）、学生学习指导用书、教学参考书。 六、教学进程： 故事导入： 谣言的力量 某人听到一则谣言后一小时内传给两人，以后他没有再传给别人．而那两人同样在一小时内每人又分别传给另外的两人。如此下去，一昼夜能传遍一个千万人口的大城市吗？能？还是不能？请注意，一小时内，一个人只传给两个人，一昼夜只有24小时，一个千万人口的大城市能传遍吗？ 只凭直觉，是很难正确判断的。可靠的办法还是算一算： 第1个小时，传给2人； 第2个小时，传给22人，即4人； 第3个小时，传给32人，即8人； 第4个小时，传给42人，即16人； …… 第23个小时，传给23 2人，即8388608人； 第24个小时，传给24 2人，即16777216人。 24小时就是最后一小时，仅仅这最后一小时内，就传给16777216人。因此，如果符合理想条件，谣言在一昼夜内是能够传遍一个千万人口的大城市的．一小时内，一个人只传给两个人，一昼夜内谣言便传遍整个城市。可见，这种传谣速度是惊人的！ 像这种多个相同因式的乘积运算叫乘方，乘方的结果叫做幂。 a，a叫做底数，n叫做指数，n a读作a的n次幂。 如n个a相乘，表示为n 讲授新课： 1.整数指数幂 在七年级下册的时候，我们就学过有理数的乘方运算，接下来我们就来玩一个游戏，游戏名叫做找对象。 游戏：找对象 道具：有理数指数幂的运算法则纸片，共17张。 规则：一个同学拿着纸片，找另一张纸片，使它们组合成为一个幂运算公式。
幂的运算法则 1、同底数幂的乘法a a a n m n +=m ，即同底数幂相乘，底数不变，指数 相加。在考试过程中通常需要用其逆运算a a a n n m =+m ，即当在运算 中出现指数相加时，我们往往将其拆分成同底数幂相乘的形式。 2、同底数幂的除法a a a n m n -m =÷，即同底数幂相除，底数不变，指数 相减。在考试过程中通常需要用其逆运算a a a n n m ÷=-m ，即当在运算中出现指数相减时，我们往往将其拆分成同底数幂相除的形式。 3、幂的乘方a a mn m =)(n ，即当出现内、外指数（m 是内指数，n 是外指数）时，底数不变，指数相乘。在考试过程中通常需要用其逆运算)()(n m n a a a m mn ==，这时注意：具体用何种拆法要根据题目给出的是a m 还是a m 的形式。常在比较两个幂的大小等题目中出现。而在比较幂的大小类题目中，常用方法是转化为同底数幂或者同指数幂的形式。 如：（1）、化同指数比较。比较3275100与的大小，观察可以发现，底数2与3之间不存在乘方关系，因此，我们将其转化为同指数的幂进行比较，()1622225254251004===?，()2733325 25325753===?，因为27＞16，所以16272525＞，即2310075＞ （2）化同底数比较。比较934589与观察可以发现，底数9与3之间存 在着乘方关系即392=，因此，对于这样的题，我们将其转化为同底数幂进行比较，()33399045224545===?，而90＞89，∴338990＞即3989 45＞。 规律小结：在幂的大小比较中，底数之间存在乘方关系时，化为同底数幂，比较指数大小；底数之间不存在乘方关系时，化为同指数
指数运算法则 指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且不=1) ，函数图形下凹，a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单 调递减的函数。指数函数既不是奇函数也不是偶函数。要想使 得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得a的不同大小 影响函数图形的情况。 一、法则 在函数y=a^x中可以看到： （1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提 是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得 函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时a 等于0一般也不考虑。 （2）指数函数的值域为大于0的实数集合。 （3）函数图形都是下凹的。 （4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0， 则单调递减。 （5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无 穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y 轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y 轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平 直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 （6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。 （7）函数总是通过定点（0，1） （8）指数函数无界。 （9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
（10）当两个指数函数中的a互为倒数时，此函数图像是 偶函数。例1：下列函数在R上是增函数还是减函数？说明理由. ⑴y=4^x 因为4>1，所以y=4^x在R上是增函数；⑵ y=(1/4)^x 因为0<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是减函数1对 数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那 么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对 数的底数，N叫做真数. 由定义知：①负数和零没有对数; ②a>0且a≠1,N>0; ③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特 别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN. 2对数式与指数式的互化式子名称abN指 数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数) 3对数的运算性质如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)loga(M/N)=logaM-logaN. (3)logaM n=nlogaM (n∈R). 二、记忆口决 有理数的指数幂，运算法则要记住。 指数加减底不变，同底数幂相乘除。 指数相乘底不变，幂的乘方要清楚。 积商乘方原指数，换底乘方再乘除。 非零数的零次幂，常值为 1不糊涂。 负整数的指数幂，指数转正求倒数。 看到分数指数幂，想到底数必非负。 乘方指数是分子，根指数要当分母。 看到分数指数幂，想到底数必非负。
2.1.1指数与指数幂的运算练习题 1、有理数指数幂的分类 （1）正整数指数幂； （2）零指数幂； （3）负整数指数幂 （4）0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。 2、有理数指数幂的性质 （1） （2） （3） 知能点2：无理数指数幂 若＞0，是一个无理数，则表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用。 知能点3：根式 1、根式的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，叫做根式，叫做根指数，叫被开方数。 2、对于根式记号，要注意以下几点： （1），且； （2）当是奇数，则；当是偶数，则； （3）负数没有偶次方根； （4）零的任何次方根都是零。 3、我们规定： （1）； （2） 一、填空 1、用根式的形式表示下列各式 （1）= （2）= （3）= （4）= 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）= （2） （3）= ；（4）= ； （5）（6）（7） （8） 3、求下列各式的值 （1）= ；（2）= ；（3）= ； （4）= ；（5）= ；（6）= ； （7）= ；（8）= ；（9）= ； （10） 4.化简 （1）（2）
（3）（4）= （5）= （6）= （7）= （8）= 5.计算 （1）(2) （3）（4） 6.已知，求下列各式的值（1）= ；（2）= 7.若，则和用根式形式表示分别为和，和用分数指数幂形式表示分别为和。 8.使式子有意义的x的取值范围是_. 9.若，,则的值= . 10.已知，则的值为. 二.选择题. ，下列各式一定有意义的是（） A. B. C. D. ，下列各式一定有意义的是（） A. B. C. D. 下列各式计算正确的是（） A. B. C. D. 4、若，且为整数，则下列各式中正确的是（） A、B、C、D、 5、下列运算结果中，正确的是（） A．B．C．D． 6.下列各式中成立的是（） A．B．C．D． 7.下列各式成立的是（） A. B. C. D.
百度文库 - 让每个人平等地提升自我 初三数学练习（整合班） 班级 姓名 一、选择题 3 有意义，则 x 的取值范围是（ 1. 若 1 2x 4 ） 1 1 A 、 x B 、 x 2 2 2. 下列式子中，正确的是（ A 、 00 1 1 B 、11 1 1 C 、 x D 、 x 2 2 ） C 、 3a 2 1 5 3 2 D 、x xx 3a 2 3. x 2 4 3 ，那么 x 等于（ ） 已知 A 、 8 B 、 1 C 、 3 4 3 8 4 D 、 22 4. 若 6 4 x 2 有意义，则 x 的取值范围是（ ） A 、 x 2 B 、 x 2 C 、 2 x 2 D 、 x 2或 x 2 5．下列等式中，不正确的是（ ） a 1 A 、3 ( 3)3 3 B 、6( 5)12 25 C 、6 ( 5)6 5 D 、 a 6 ( a 0) 3 a 6. 下列式子中，正确的是（ ） 1 1 A 、[(2 2 3)2(2 2 3)2]2 1 B 、 3 9 33 1 1 C 、 (27a 3 ) 3 0.3a 1 9a 2 D 、12( 3) 4 ( 3) 3 二、 填空题 2 1 1. 计算31 2 2 4 2 所得的结果是 ．2.计算 2 2 所得的结果为 3 x 2 x 2 成立的条件是 ； 4.若 4x 2 2x ，则 x 的取值范围是 ． x 1 x 1 5．化简： 6 4a 2 12ab 9b 2 3 a 3b 的结果是 2 6. 数 a 3 555 , b 4 444 , c 5 333 的大小关系是 1
数学 科学案 序号 高一 年级 班 教师 学生 课题：分数指数幂第一课时 学习目标：理解分数指数幂的概念；掌握有理数指数幂的运算性质，并能初步运用性质进行化简或求值 学习重点：分数指数幂概念的理解；运用有理数指数幂性质进行化简求值. 学习难点：分数指数幂；有理数指数幂性质的灵活应用. 学习过程 探究一：负整数指数幂、分数指数幂的意义 （一）规定： （1）负整数指数幂的意义：n a -= (0≠a ,)(* N n ∈; （2）分数指数幂的意义： n m a = ；=-n m a (1,,,0*>∈>n N n m a ). 探究二：有理指数幂的运算性质： （1）=s r a a ；（2）()=s r a ；（3）()=r ab 。（Q r s b a ∈>,,0,） （二）基础知识过关自测 1.下列各式中正确的是（ ） Ａ．1)1(0-=- Ｂ．1)1(1 -=-- Ｃ．22 313a a =- Ｄ．)0(3 16 2 <= y y y . 2．若式子)214 3(x --有意义，则ｘ的取值范围是（ ） A ．X ∈Ｒ B ．X ≠ 21 C ．X ＞21 D ．X ＜2 1 X 3.用根式的形式表示下列各式： （1）2 1a = ；（2）2 35- = ；（3）4 3a = ； 4.用分数指数幂的形式表示下列各式。 （1）)0(32>x x ； （2）)()(24n m n m >-； （3） 3a a 5.求值：（1） 2 125- ； （2） 5 21-?? ? ??； （3） 3 2278??? ?? . 例1、计算：5.021 2 0)01.0()416(2)532(-?+--； 变式1 计算 ：83 2-+3 24 38338116- - ?? ? ????? ? ?? 例2、计算：21 3321 212 31)4()3(5 6---÷b a b a b a . 变式2 计算 ：(1)???? ??-÷???? ??-???? ??656131212132362b a b a b a ; (2)8 83 41 ??? ? ??-n m .
高中数学有理数指数幂的化简求值 1. 若a =(2+√3)?1，b =(2?√3)?1 ，则(a +1)?2+(b +1)?2的值是（ ） A.1 B.1 4 C.√22 D.2 3 2. 计算：(12) ?1 +823 +(2019)0=（ ） A.6 B.7 C.8 D.3 2 3. 在(?12)?1 ，2 ?12 ，(12 )?1 2 ，2?1中，最大的数是（ ） A.(?12 )?1 B.2?12 C.(12)?1 2 D.2?1 4. 化简 (2a ?3b ?2 3 )?(?3a ?1 b )÷(4a ?4b ?5 3)(a,b >0)得( ) A.?3 2 b 2 B. 3 2 b 2 C. ?32 b 73 D. 3 2 b 73 5. lg √10005 ?823 =________ . 6. 计算： (2√2)23 ×0.1?1?lg 2?lg 5=________． 7. （成都二诊）已知a =213 ,b =(1 2)23 ，则log 2(ab )=________． 8. 比较大小： (1)(√3+√2)2 ________6+2√6； (2)(√3?√2)2 ________(√6?1)2 ； (3) √6?√5 ________ √5?2 ； (4)(a ?3)(a +5) ________(a ?2)(a +4)； (5)当a >b >0时，log 12 a ________log 12 b ． 9. 解答下列问题：
(1)计算：log 34×log 49+21+log 23 ?(338 ) ?2 3 +5×0.06413 ； (2)已知2a =10,b =log 510．求1a + 1ab + 1b 2 的值． 10. 计算下列各式的值． (Ⅰ)0.02713 +(916 )1 2+(2?π)0； (Ⅱ)lg 100?log 94?log 43?3log 32． 11. 化简或计算下列各题： （1）(61 4)1 2 ?(?0.9)0?(33 8)23 +1.5?2+[(√23 )4 ]34 ； （2）已知sin (3π+α)=2sin (3 2π+α)，求 sin α?4cos α5sin α+2cos α ． 12. 化简或计算下列各题： （1）(61 4)1 2 ?(?0.9)0?(33 8)23 +1.5?2+[(√23 )4 ]34 ； （2）已知sin (3π+α)=2sin (3 2π+α)，求 sin α?4cos α5sin α+2cos α ． 13. 化简求值： （1）0.0081 ? 14 ?(169 ) 0.5 +(ln 2)0. （2） lg 4+lg 25+log 3√93 ?e ln2. 14. 已知函数f(x)=a x (a >0，且a ≠1)的图象过点(2,1 4). (1)求f(3)的值； (2)计算4a +a ?2 ?(√3?1)0 . 15. 计算：
指数与指数幂的运算 A 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： 1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质 (1)理解n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算； (2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化； (3)能利用有理指数运算性质简化根式运算. 2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集； 3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力； 4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质． 学习策略： 学习实数指数幂及其运算时，应熟练掌握基本技能：运算能力、处理数据能力以及运用科学计算器的能力． 二、学习与应用 （1 ）零指数幂：a 0= （a 0） “凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记． 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
（2）负整数指数幂：a-p= （a0, p是数） （3）一般地，如果一个数x的等于a，即a x= 2，那么，这个数x就叫做a的平方根。也叫做二次方根．一个正数有个平方根，它们是互为；0只有个平方根，它是；负数平方根． （4）一般地，如果一个数的等于a，这个数就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 要点一：整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念 ( )* .................................... n a n Z =∈； () ...................................... a a =； ................................... (0,) n a a n Z* -=∈． 2．运算法则 （1）m n a a?=； （2）()n m a=； （3）() ............................ m n a m n a a =>≠ ，； （4）()m ab=． 要点二：根式的概念和运算法则 1．n次方根的定义： 若x n=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根． n为奇数时，正数y的奇次方根有个，是数，记为n y；负数y的 奇次方根有个，是数，记为n y；零的奇次方根为，记为 要点梳理——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听 课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源 ID：#10160#391630
实数指数幂及运算 课前预习案 【课前自学】 一 、 整数指数 1、正整指数幂的运算法则 （1）m n a a = ，（2）()m n a = ，（3）m n a a = ，（4）()m ab = 。 2、对于零指数幂和负整数指数幂，规定：0___(0)a a =≠， ____(0,)n a a n N -+=≠∈。 二、 分数指数幂 1．n 次方根的概念 . 2．n 次算术根的概念 . 3．根式的概念 . 4．正分数指数幂的定义 1 n a = ； m n a = . 5．负分数指数幂运算法则： m n a -= . 6．有理指数幂运算法则：（设a>0,b>0，,αβ是任意有理数） a a αβ= ；()a αβ= ；()a b α= 自学检测(C 级) =-0)1(______ ; =-3)x 2(_______; 3)21(--=_______ ; =-223 )y x (_____ 课内探究案 例:化简下列各式
（1 （2 （3） )0(322>a a a a ； （4）232520432()()()a b a b a b --?÷； （5）12231111362515()()46x y x y x y ----- （6）111222m m m m --+++. 当堂检测： 1. (C 级)化简44)a 1(a -+的结果是( ) A. 1 B. 2a-1 C. 1或2a-1 D. 0 2.(C 级) 用分数指数幂表示下列各式：
32x =_________；31a =_________；43)(b a +=_________； 322n m +=_________；32y x =_________. 3. (C 级) 计算： 21)49 64(- =________ 3227=________；________= 41 10000； 课后拓展案 1.(C 级)计算： (1) 21 6531 -÷a a a (2) )32(431313132----÷ b a b a (3) (4). 6433)1258(b a 2. (C 级)计算：（1）3163)278(-- b a ； （2）632x x x x （3）22 121)(b a -； （4）302 32)()32()2(--?÷a b a b a b . 3.(B 级)k 2)1k 2()1k 2(222---+-+-等于（ ）
3.1.1有理数指数幂及其运算 教学目的：（1）掌握根式的概念； （2）规定分数指数幂的意义； （3）学会根式与分数指数幂之间的相互转化； （4）理解有理指数幂的含义及其运算性质； （5）了解无理数指数幂的意义 教学重点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂 的运算性质 教学难点：根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂． 教学过程： 一、引入课题 1． 以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性 2． 由实例引入，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性； 3． 复习初中整数指数幂的运算性质； n n n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===?+)()( 4． 初中根式的概念； 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根； 二、新课教学 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根（n th root ），其中n >1，且n ∈N *． 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示． 式子n a 叫做根式（radical ），这里n 叫做根指数（radical exponent ），a 叫做被开方数（radicand ）． 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）． 由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ． 思考：（课本P 58探究问题）n n a =a 一定成立吗？．（学生活动） 结论：当n 是奇数时，a a n n =
课题名称 4.1 实数指数幂授课班级 13机电 1授课时间 课题序号授课课时第到授课形式启发、类比 使用教具课件 1. 识记 n 次方根的概念，能区分奇次方根、偶次方根和n 次根算式根。 教学目的 2. 能描述分数指数幂的定义，会进行根式与分数指数幂的互化。 3.识记有理数指数幂的运算性质，会进行简单的有理数指数幂的运算。 教学重点有理数指数幂的运算、实数指数幂的综合运算 教学难点有理数指数幂的运算、实数指数幂的综合运算 更新、补 充、删减无 内容 课外作业1． P 96 习题。 实数指数幂 授课主要 思考交流例题课堂小结概念 内容或板 书设计 问题解决练习 教学后记
教学过程师生活动设计意主要教学内容及步骤 图等 一、复入： 二、新： 探究（本 90 ）引学生回初中 1．概念学的平方根、立方根的 一般地，如果 x n a( n N , 且 n1) ,称x a桂梅概念，启学生思考 当指数分取 4,5 ，?，的 n 次方根。 x 的名称确定，例如： 指数分取奇数和偶数 底数的异同。 当n 奇数，正数的n 次方根是一个正数，数的n 次方根是一个数。， a 的 n 次方根只有一个，作n a 。 例如： 当 n 偶数，正数 a 的 n 次方根有两个，它 互相反数，作±n a的形式。 数没有偶次方根。 0 的任何次方根都是0. 正数 a 的正的 n 次方根叫做 a 的 n 次算式根。 作n a 。 当n a 有意，把n a 叫做根式，其中n叫做根 指数，a 叫做被开方数。 性： （1）(n a ) n(,且 n 1) a n N （2）当 n 奇数，(n a)n a ；
指数与指数幂的运算 【学习目标】 1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质 (1)理解n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算； (2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化； (3)能利用有理指数运算性质简化根式运算. 2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集； 3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力； 4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质． 【要点梳理】 要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念 () ()) ,0(1 010* Z*n a a a a a Z n a a a a n n a n n ∈≠=≠=∈???=- 个 2．运算法则 （1）n m n m a a a +=?； （2）() mn n m a a =； （3）()0≠>=-a n m a a a n m n m ，； （4）()m m m b a ab =. 要点二、根式的概念和运算法则 1．n 次方根的定义： 若x n =y(n ∈N * ，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根. n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为 n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ； n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为n y ±；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为00n =. 2．两个等式 （1）当1n >且* n N ∈时，() n n a a =； （2）?? ?=) (||)(,为偶数为奇数n a n a a n n
指数与指数幂的运算练习题 1、有理数指数幂的分类 （1）正整数指数幂()n n a a a a a n N *=????∈个 ； （2）零指数幂)0(10≠=a a ； （3）负整数指数幂()10,n n a a n N a -* = ≠∈ （4）0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。 2、有理数指数幂的性质 （1）()0,,m n m n a a a a m n Q ==>∈ （2）()()0,,n m mn a a a m n Q =>∈ （3）() ()0,0,m m m ab a b a b m Q =>>∈ 知能点2：无理数指数幂 若a ＞0，P 是一个无理数，则p a 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用。 知能点3：根式 1、根式的定义：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中( )* ∈>N n n ,1， n a 叫做根式， n 叫做根指数，a 叫被开方数。 2，要注意以下几点： （1）n N ∈，且1n >； （2）当n 是奇数，则a a n n =；当n 是偶数，则???<-≥==0 0a a a a a a n n ； （3）负数没有偶次方根； （4）零的任何次方根都是零。 3、我们规定： （1）)0,,,1m n a a m n N n * =>∈>； （2）)10,,,1m n m n a a m n N n a -*= = >∈> 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）5 1a = （2）3 4 a = （3）35 a -= （4）32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1） 3 4y x = （2） )0(2>= m m m （3）85 - ?? = （4= （5= ； （6）a a a = ； （7） =?a a 2 （8）=?323a a （9）=a a （10） =35 6 q p 3、求下列各式的值 （1）2 38= ；（2）12 100- = ； （3）3 1()4 -= ；（4）3 416()81-= （5）3 227= ；（6）23)4936(= ；（7）2 3)4 25(-= ；（8）23 25= （9）12 2 [(]- = （10）(1 2 2 1?????? = （11）=3 264 4.化简
第三章 基本初等函数 第1节 有理指数幂及其运算 【学习目标】 1.理解分数指数幂的概念. 2.掌握有理指数幂的运算性质. 3.会对根式、分数指数幂进行互化. 【学习重点】 1.分数指数幂的概念. 2.分数指数幂的运算性质. 【学习难点】 对分数指数幂概念的理解 引入课题 1． 复习初中整数指数幂的运算性质； ________ )(_______)(_______ ===?n n m n m ab a a a 2． 初中根式的概念； 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根； 新课教学 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个 ，负数的n 次方根是一个 ．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示．其中 ___________叫做根式，___________叫做根指数，___________叫做被开方数． 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）．
由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ． 思考： n n a =a 一定成立吗？ 结论：当n 是奇数时，a a n n = 当n 是偶数时，???<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 思考：n a =一定成立吗？ 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(11 *>∈>==-n N n m a a a a n m n m n m ⑴分数指数幂是根式的另一种表示形式； ⑵根式与分数指数幂可以进行互化. ⑶“a>0”为什么？ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 4． 无理指数幂 一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα >a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 【讲解例题】
初三数学练习（整合班） 班级 姓名 一、选择题 1. 若()4 321x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A 、21≠ x B 、21>x C 、21
7. 若()256 261x x x -+-=，则x 的值是 8. 数1 1 14 6 8 111,,235a b c - --?????? === ? ? ??????? 的大小关系是 9. 化简0,0)a b >>= 10. 化为分数指数幂的形式是 . 11.若()212 2232 []a b a b ab ---==则= . 三、 解答题 1． 求下列各式的值 （1）2 122])23()23[(-+ （2）5 .021 20)01.0()4 12()30(sin )532(-??+-- （3）() ()( ) .322 510002.08330 1 2 13 2-+--+? ? ? ??--- - （4）[] .01.016 )2()8 7 ()064.0(2 175 .03 43 03 1-++-+---- - （502) -
指数运算法则 指数函数指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且不=1) ，要想使得x能够 取整个实数集合为定义域，则只有使得如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。 在函数y=a^x中可以看到： （1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0 且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时a等于0一般也不考虑。 （2）指数函数的值域为大于0的实数集合。 （3）函数图形都是下凹的。 （4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递 减的。 （5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程 中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调 递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 （6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。 （7）函数总是通过（0，1）这点 （8）显然指数函数无界。 （9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 （10）当两个指数函数中的a互为倒数时，此函数图像是偶函数。例1：下列函数在R上是增函数还是减函数？说明理由. ⑴y=4^x 因为4>1， 所以y=4^x在R上是增函数；⑵y=(1/4)^x 因为0<1/4<1,所以y=(1/4)^x 在R上是减函数1对数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即 ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数 的底数，N叫做真数. 由定义知：①负数和零没有对数; ②a>0且a≠1,N>0; ③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特别地，以10为底的对数叫常 用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数 叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN. 2对数式与指数式的互化式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数) 3对数的运算性质如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaMN=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM (n∈R).
3.1.1有理指数幂及其运算 【课题】有理指数幂及其运算 【教学目标】： （1）能用数学符号正确表示分数指数幂的意义; （2）明确分数指数幂的引入使指数概念由整数指数扩充到有理指数; （3）能用数学符号正确表示有理指数幂的三条运算性质; （4）能根据幂的运算性质正确地进行分数指数幂和根式的运算; （5）培养学生猜想归纳的能力和转化能力. 【教学重点】分数指数幂和根式的运算 【教学难点】分数指数幂的意义 【教学过程设计】
练习与测试 一、计算 1) 计算____4 2 1=- 2) 计算_________)()2(3 2 =--x x 二、用分数指数幂表示根式 3) __________)(4 3=+b a 4) __________3 2 =y x 三、化简 5）______2 16 53 1=÷?-a a a
6）_____________332 3=?y x x y 1) _____________________()()(6 1)53 12 22 1 33=--ab b a b a 2) )6 5)(41(561 31 21 12 13 2--- --y x y x y x 四、3)设34 2=x ，则x x x x --++2 22233的值为（ ） 33. A 133. -B 1332.-C 13 3 4.-D 五、已知2 12 1 ,βα是方程01632 =+-x x 的两个实数根，求βα+值. 六、 设a ，b ，c 均为不等于1的正数，且01 11,=++==z y x c b a z y x ，求a ，b ，c 的值。 参考答案 一、教学概念引入 1、练习8a ,55b a ,6a ,2a ,猜想 25 3--=a a ,2-a = 21a 归纳n a 1,1 2、观察：n a 1，4 15，3 1)5(-，5，-5，5，-5猜想归纳：a,???<-≥=0 ,0 ,||a a a a a ,n m a 3、总结 有理指数幂意义(a 的取值) = -n a n a 1 (0>a ) =n a 1n a =n a 1n a )0(≥a =n m a n m a )0(≥a = n m a _ n m a 1 (0>a ) 运算律(0>a ,βα,为实数)