数理逻辑智能
人们一直把数理逻辑智能看成是智能的核心，学者们也认为这种智能是人类认知能力的重要部分。有关数理逻辑智能，大多数人都认为数理逻辑智能就是一种加减乘除的能力。这是一种计算的能力，但是，数理逻辑智能所包含的远远不止这些。数理逻辑智能包括：事物分类、复杂问题简单化、计算、假设和证明等具体操作能力；逻辑类型、逻辑关系、陈述句和命题、函数等抽象思维能力。
数理逻辑智能是所有科目和学习的基础，它和语言智能一起组成了学业型智能，在学校里受到绝对的重视。在学校里，数理逻辑智能高的孩子学习成绩通常都很好。人们也都大都喜欢这些孩子。他们的领悟能力特别强，凡事一点就通。教给他们从1数到10，他们就能独自摸索数到99，然后教给他们数100，他们就可以一直地数下去。有时我们会听到人家说：“这孩子挺聪明的，就是不好好学，要不然成绩早就上去了。”其实这样的孩子也可以说是数理逻辑智能高的孩子，相比“有点笨，但是很用功”的孩子，这类孩子未来的成功几率会更高。因为他们只要稍微用功学习，成绩就能大幅度提高。当别的孩子都花很多时间背公式的时候，逻辑智能高的孩子不会死记硬背，他们会在理解原理的基础上，熟练地运用公式，就算遇到难题也能通过举一反三、自我摸索找出答案。
现在很多家长都头疼孩子不会写作文，一篇文章能在哪儿写上半天的工夫。然后拿过来一看，这句子读着这个别扭，还哪都不挨哪。家长们也许都觉得这是孩子语文没有学好的原因。家长们的想法是对的，但这不是根本的。孩子们不会写作文，究其原因两条：缺乏切身的体验；数理逻辑智能差。这家长说了，你这第一条我还能接受，可是这写作文跟数理逻辑有什么关系啊！当然有，而且关系还是深层次的。孩子的作文写不好，一是没有素材，二是不会组织语言。不会组织语言、说话毫无逻辑、颠三倒四，正是孩子逻辑能力差的一个表现。孩子在描述一个物体或一件事情的时候，不知该如何去说，不知道先说什么，后说什么。抓不着重点。而对于逻辑能力强的孩子来说，他在写作文或说话之前，会先想好了这个话应该怎么说，要完成一个作文题目，需要具备哪些内容，每一段内容又该怎么安排。所以说数理逻辑智能高的孩子不仅仅在理科科目上成绩很好，在文科科目上也很优秀。
数理逻辑智能高的人解决逻辑性问题比普通人要快得多，而且由于善于推理，往往会采用科学的方法来解决具体问题。比如我们出去逛街，买东西的时候突然发现钱包不见了。一般人呢可能就慌了，“哎呀，我钱包哪去了啊？刚才买东西的时候还在呢！”然后急的大脑一片空白什么也想不起来。但是数理逻辑智能高的人，当他意识到钱包丢了的时候，他首先会把需要挂失的卡之类的东西先做挂失，把损失减到最低。然后他就开始回想：我刚刚去了哪几个地方，在这几个地方我都干了些什么，在哪个地方我最有可能把钱包给丢了。然后依次回去找。体现了他们比普通人更有理性。不但如此，他们对数字也很敏感，很快就能记住电话号码。
此外，数理逻辑智能高的孩子做事相当有条理，不仅在学习上，在日常生活中，他们的条理性也表现得非常突出。我朋友的小孩，就是数理逻辑智能高的孩子。他今年上小学三年级，早上从来不需要大人叫他起床。他自己有个时间表，早上6:40—6:50起床，穿衣服；6:50—7:10洗漱，上厕所；7:10—7:20吃早饭，然后出门上学。晚上放学回来，作业先写什么，后写什么，也都不用他们家大人操心，很快就能做完，而且质量很高。他的衣橱里的衣服摆的很整齐，书架上的书也是分类放的，玩具全部放在一个箱子里，整个屋子特别干净，根本不像是小男孩的卧室。
该笔记适用于任何版本的数理逻辑！ 绪论 一、数理逻辑研究什么？ ★研究前提和结论的可推导性关系，它是由命题的逻辑形式而非内容所决定的 二、数理逻辑如何研究？ ★形式语言 第一章预备知识 第一节集合 一、集合 1、集合的内涵和外延（所有元素的共同性质/构成集合的所有元素） 2、有序偶和笛卡儿集 二、关系 1、概念：集合S上的n元关系R 2、特殊情况：集合S上的一元关系R（集合S上的性质R） 三、函数（映射） 1、概念：函数（集合＋有序偶＋性质）、定义域dom（f）、值域ran（f） 2、概念：f（x）（函数f在x处的值） 3、概念：f：S－>T（函数f是由S到T的映射）、满射、一一映射 四、等价 1、概念：关系R是集合S上的等价关系（自反＋对称＋传递） 2、概念：元素x的R等价类 3、性质：R等价类对集合S的一个划分（两两不相交，且并为S） 五、基数 1、概念：S～T（两个集合S和T是等势的） 2、概念：集合S的基数|S|（集合中的元素个数） 3、概念：可数无限集
第二节归纳定义和归纳证明 一、归纳定义 1、集合的归纳定义 ⑴、直接生成某些元素 ⑵、给出运算，将其作用在已有元素上，以产生新的元素 ⑶、只有这样才是集合中的元素，除此之外，再也没有了 2、典例：自然数集N的两个归纳定义 二、归纳证明 1、归纳定理：设R是一个性质，如果 ⑴、R（0） ⑵、对于任何n∈N，如果R（n），则R（n’） 那么，对于任何n∈N，都有R（n） 2、概念：归纳基础、归纳步骤（包括归纳变元和归纳假设）、归纳命题、归纳证明 3、概念：串值归纳法及其变形 三、递归定义 1、递归定义（在归纳定义的集合上，定义函数） 在自然数集N上定义一个这样的函数f：g，h是N上的已知函数 f（0）＝g（0） f（n’）＝h（f（n）） 2、递归定义原理（这样的函数是存在而且唯一的）
一、选择题 1、永真式的否定是（2） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 2、设P ：2×2=5，Q ：雪是黑的，R ：2×4=8，S ：太阳从东方升起，则下列真命题为(1) (1)R Q P ∧→ (2)S P R ∧→ (3)R Q S ∧→ (4) )()(S Q R P ∧∨∧。 3、设P ：我听课，Q ：我看小说，则命题R “我不能一边听课，一边看小说”的符号化为⑵ ⑴ P Q → ⑵Q P ?→(3) Q P →? ⑷ P Q ?→?()P Q ?∧ 提示：()R P Q P Q ??∧?→? 4、下列表达式错误的有⑷ ⑴()P P Q P ∨∧? ⑵()P P Q P ∧∨? ⑶()P P Q P Q ∨?∧?∨ ⑷()P P Q P Q ∧?∨?∨ 5、下列表达式正确的有⑷ ⑴ P P Q ?∧ ⑵ P Q P ?∨ ⑶ ()Q P Q ???→⑷Q Q P ??→?)( 6、下列联接词运算不可交换的是(3) ⑴∧ ⑵∨ (3)→ ⑷ ? 6、设D ：全总个体域，F （x ）：x 是花，M(x) ：x 是人，H(x,y)：x 喜欢y ，则命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为⑷ ⑴(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→ ⑵(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→ (3) (()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→ ⑷(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→ 7、设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是老师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些 老 师”的逻辑符号化为⑵ ⑴)),()((y x A x L x →? ⑵))),()(()((y x A y J y x L x ∧?→? (3) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧?? ⑷)),()()((y x A y J x L y x →∧?? 8、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中的 x 是⑶ ⑴自由变元 ⑵约束变元 ⑶既是自由变元又是约束变元 ⑷既不是自由变元又不是约束变元 9、下列表达式错误的有⑴ ⑴(()())()()x A x B x xA x xB x ?∨??∨? ⑵(()())()()x A x B x xA x xB x ?∧??∧? (3) (()())()()x A x B x xA x xB x ?∧??∧? ⑷(()())()()x A x B x xA x xB x ?∨??∨?
数理逻辑在实际中的应用 摘要：数理逻辑是离散数学课程中研究推理的逻辑科学，它为确定一个给出的论证是否有效提供各种法则，在计算机科学里用来检验程序的正确性也可以验证定理和推论，在计算机控制中的组合逻辑设计中也有举足轻重的地位。本文将用一些实际中的一些例子来说明数理逻辑在解决实际问题中的作用。 关键词：离散数学数理逻辑推理与证明计算机科学 一、数理逻辑在计算机科学中的应用 1. 为计算机硬件系统的设计提供依据 数理逻辑部分在计算机硬件设计中的应用尤为突出，数字逻辑作为计算机科学的一个重要理论，在很大程度上起源于数理逻辑中的布尔运算。计算机的各种运算是通过数字逻辑技术实现的，而代数和布尔代数是数字逻辑的理论基础，布尔代数在形式演算方面虽然使用r 代数的方法，但其内容的实质仍然是逻辑。范式正是基于布尔运算和真值表给出一个典型的公式。 下面以计算机科学中比较典型的开关电路的设计为实例说明数理逻辑中布尔代数和范式的应用。整个开关电路从功能上可以看作是一个开关，把电路接通的状态记为1(即结果为真)，把电路断开的状态记为0(即结果为假)，开关电路中的开关也要么处于接通状态，要么处于断开状态，这两种状态也可以用一值布尔代数来描述，对应的函数为布尔函数，也叫线路的布尔表达式。接通条件相同的线路称为等效线路，找等效线路的口的是化简线路，使线路中包含的节点尽可能地少。利用布尔代数可设计一些其有指定的节点线路，数学上既是按给定的真值表构造相应的布尔表达式，理论上涉及到的是范式理论，但形式上并不难构造。 例：银行的金库装有自动报警装置，仅当总经理室的一个人工控制开关合上时，它才能动作。当这个人工开关合上时，那么当金库的门被撬或者当工作人员未切断监视器电源并且通向金库的通道上有人，就要发出警报。试设计这个控制电路。 解： 设P:人工开关合上。Q：金库的门被撬 R：工作人员尚未切断监视器电源。 S：通向金库的通道有人。 F：自动报警装置报警。 则有 故控制线路如下图 2.数理逻辑在计算机人工智能的作用。 人工智能是以计算数学，图灵机为理论基础，对问题进行推理和求解，让机器完成智能事情的科学，现在人工智能的研究已经发展到了创造出各种实用的专家系统阶段》在人工智能领域的研究中，逻辑推理是人工智能研究中最持久的领域之一。逻辑是所有数学推理的基础，
第二篇集合与关系 集合论是现代各科数学的基础，它是德国数学家康托（Geog Cantor, 1845～1918）于1874年创立的，1876～1883年康托一系列有关集合论的文章，对任意元的集合进行了深入的探讨，提出了关于基数、序数和良序集等理论，奠定了集合论深厚的基础，19世纪90年代后逐渐为数学家们采用，成为分析数学、代数和几何的有力工具。 随着集合论的发展，以及它与数学哲学密切联系所作的讨论，在1900年前后出现了各种悖论，使集合的发展一度陷入僵滞的局面。1904～1908年，策墨罗（Zermelo）列出了第一个集合论的公理系统，它的公理，使数学哲学中产生的一些矛盾基本上得到了统一，在此基础上以后就逐渐形成了公理化集合论和抽象集合论，使该学科成为在数学中发展最为迅速的一个分支。 现在，集合论已经成为内容充实、实用广泛的一门学科，在近代数学中占据重要地位，它的观点已渗透到古典分析、泛函、概率、函数论、信息论、排队论等现代数学各个分支，正在影响着整个数学科学。集合论在计算机科学中也具有十分广泛的应用，计算机科学领域中的大多数基本概念和理论几乎均采用集合论的有关术语来描述和论证，成为计算机科学工作者必不可少的基础知识。集合论可作为数学学科的通用语言，一切必要的数据结构都可以利用集合这个原始数据结构而构造出来，计算机科学家或许也可以利用这种方法。 本篇介绍集合论的基础知识，主要内容包括集合及其运算、性质、序偶、关系、映射、函数、基数等。 第2-1章集合及其运算 §2-1-1 集合的概念及其表示 一、集合的概念 “集合”是集合论中的一个原始的概念，因此它不能被精确地定义出来。一般地说，把具有某种共同性质的许多事物，汇集成一个整体，就形成一个集合。构成这个集合的每一个事物称为这个集合的一个成员（或一个元素），构成集合的这些成员可以是具体东西，也可以是抽象东西。例如：教室内的桌椅；图书馆的藏书；全国的高等学校；自然数的全体；程序设计语言C的基本字符的全体等均分别构成一个集合。通常用大写的英文字母表示集合的名称；用小写的英文字母表示元素。若元素a属于集合A记作
语言与逻辑浅谈 语言与逻辑是一个很大的题目，足以写一本书。本文目的只是想谈谈人们在日常生活所说的「逻辑」究竟是指甚么，以及逻辑与语言的关系。 甚么是逻辑？ 在日常语言中，「逻辑」有时被用作「定律」或「常理」的同义词。例如，在语句「你说张三昨天死了，但这不合逻辑，因为他今早还有上学」中，所谓「不合逻辑」是指违反常理。另外又如在语句「这本科幻小说说某星球的温度比绝对零度还低，这是不合逻辑的」中，所谓「不合逻辑」是指违反物理定律。以上两例中所指的逻辑究竟是否等同于逻辑学中所指的逻辑呢？ 要回答上述问题，首先要了解逻辑学究竟是研究甚么的？一般而言，逻辑学就是研究正确思维方式的学科。由于推理是人类思维中极重要的一部分，因此逻辑学中很大一部分的内容是研究正确的推理方式。推理的一般格式是给定某些前提(Premises)，然后根据这些前提推导出某些结论(Conclusion)。所谓「正确的推理方式」就是运用一些已被证实为正确的推理规则从前提一步一步推出结论。例如，根据前提「如果张三掉下海，他会淹死」和「张三掉下海」可以推出「张三会淹死」，可是却不能从「如果张三掉下海，他会淹死」和「张三淹死」推出「张三掉下海」，因为张三可能是在河中或泳池中淹死的。
逻辑学所研究的不是个别的推理，而是一般的「推理模式」，而这些推理模式可以用符号表示。例如上段的「张三淹死」正确推理便可以表示为：给定前提「如果p，则q」和「p」，可以推出「q」(注1)，此推理称为「肯定前件式」(Modus Ponens)。反之，从「如果p，则q」和「q」却不可以推出「p」。在上述正确推理模式中的p和q可以代表任何「命题」(Proposition)(亦作Statement，相当于语言学中的「陈述句」)，即如果把p和q 换为任何命题，该推理仍是正确的，而不管p和q这两个命题是否真实或是否有意义。例如，假设p代表「太阳从东边升起」，q代表「一加一等于三」，那么以下推理虽然看似荒谬，但从逻辑上看去却是正确的：根据前提「如果太阳从东边升起，则一加一等于三」和「太阳从东边升起」，可以推出「一加一等于三」。 请注意上段的推理之所以会推出「一加一等于三」这个错误结论，乃在于它的其中一个前提-「如果太阳从东边升起，则一加一等于三」是错误的，而不是整个推理模式有错误。因此逻辑学所关心的是整个推理模式的正确性，而不是个别前提的正确性。逻辑学只能保证从正确的前提出发可以推出正确的结论，至于前提正确与否，并不属于逻辑学的研究范围，而须根据其它学科或常识作出判断。 由此可见，逻辑学所指的正确推理方式是纯粹从形式方面考虑的，而不考虑其实质内容，实质内容是其它学科的研究范围。这一点有点跟
一阶逻辑等值式与置换规则 1．设个体域D={a,b,c}，消去下列各式的量词： (1) x y(F(x)∧G(y)) (2) x y(F(x)∨G(y)) (3) xF(x)→yG(y) (4) x(F(x,y)→yG(y)) 2．设个体域D={1,2}，请给出两种不同的解释I1和I2，使得下面公式在I1下都是真命题，而在I2下都是假命题。 (1) x(F(x)→G(x)) (2) x(F(x)∧G(x)) 3．给定解释I如下： (a) 个体域D={3,4}。 (b) (x)为(3)=4，(4)=3。 (c) (x,y)为(3,3)=(4,4)=0，(3,4)=(4,3)=1。 试求下列公式在I下的真值： (1) x yF(x,y) (2) x yF(x,y) (3) x y(F(x,y)→F(f(x),f(y))) 4．构造下面推理的证明： (1) 前提：x(F(x)→(G(a)∧R(x)))，xF(x)
结论：x(F(x)∧R(x)) (2) 前提：x(F(x)∨G(x))，┐xG(x) 结论：xF(x) (3) 前提：x(F(x)∨G(x))，x(┐G(x)∨┐R(x))，xR(x) 结论：xF(x) 5．证明下面推理： (1) 每个有理数都是实数，有的有理数是整数，因此有的实数是整数。 (2) 有理数、无理数都是实数，虚数不是实数，因此虚数既不是有理数、也不 是无理数。 (3) 不存在能表示成分数的无理数，有理数都能表示成分数，因此有理数都不 是无理数。
答案 1. (1) x y(F(x)∧G(y)) xF(x)∧yG(y) (F(a)∧F(b))∧F(c))∧(G(a)∨G(b)∨G(c)) (2) x y(F(x)∨G(y)) xF(x)∨yG(y) (F(a)∧F(b)∧F(c))∨(G(a)∧G(b)∧G(c)) (3) xF(x)→yG(y) (F(a)∧F(b)∧F(c))→(G(a)∧G(b)∧G(c)) (4) x(F(x,y)→yG(y)) xF(x,y)→yG(y) (F(a,y)∨F(b,y)∨F(c,y))→(G(a)∨G(b)∨G(c)) 2.(1) I1: F(x):x≤2,G(x):x≤3 F(1),F(2),G(1),G(2)均为真，所以 x(F(x)→G(x)) (F(1)→G(1)∧(F(2)→G(2))为真。 I2: F(x)同I1,G(x):x≤0 则F(1),F(2)均为真，而G(1),G(2)均为假， x(F(x)→G(x))为假。 (2)留给读者自己做。 3. (1) x yF(x,y)
浅谈数理逻辑在计算机科学中的应用 文章整理编辑---论文文库工作室（QQ1548927986） 摘要：数理逻辑是离散数学课程中研究推理的逻辑学科，它为确定一个给出的论证是否有效提供各种法则和技巧，在计算机科学里用来检验程序的正确性，也可以验证定理和推论，同时在计算机模型、计算机程序设计语言、计算机硬件系统等方面有着重要作用。研究数理逻辑在计算机科学领域中的应用，必须从研究数理逻辑的符号化开始讨论、加以分析、验证结论。 关键词：数理逻辑；命题逻辑；一阶逻辑；推理理论 离散数学是现代数学的重要分支，是研究离散量的结构及相互关系的学科，它在计算机理论研究及软、硬件开发的各个领域都有着广泛的应用。其内容大致包含数理逻辑、集合论、代数结构、组合数学、图论和初等数论6部分，这6部分从不同的角度出发，研究各种离散量之间数与形的关系。本文主要研究数理逻辑部分在计算机科学领域中的应用。 1.为计算机的可计算性研究提供依据 数理逻辑分为命题逻辑和一阶逻辑两部分，命题逻辑是一阶逻辑的特例。在研究某些推理问题时，一阶逻辑比命题逻辑更准确。数理逻辑中的可计算谓词和计算模型中的可计算函数是等价的,互相可以转化，计算可以用函数演算来表达，也可以用逻辑系统来表达。 某些自然语言的论证看上去很简单，直接就可以得出结论，但是通过数理逻辑中的两种符号化表达的结果却截然不同，让人们很难理解，这就为计算机的可计算性研究埋下伏笔。下面举一个简单例子加以说明。 例1 凡是偶数都能被2整除。6是偶数，所以6能被2整除。 可见，一个复杂的命题或者公式可以利用符号的形式来说明含义，来判断正确性，这使得计算机科学中的通过复杂文字验证的推理过程变得简单、明了了。 2.为计算机硬件系统的设计提供依据 数理逻辑部分在计算机硬件设计中的应用尤为突出，数字逻辑作为计算机科学的一个重要理论，在很大程度上起源于数理逻辑中的布尔运算。计算机的各种运算是通过数字逻辑技术实现的，而代数和布尔代数是数字逻辑的理论基础，布尔代数在形式演算方面虽然使用了代数的方法，但其内容的实质仍然是逻辑。范式正是基于布尔运算和真值表给出的一个典型公式。 下面以计算机科学中比较典型的开关电路的设计为实例说明数理逻辑中布尔代数和范式的应用。整个开关电路从功能上可以看做是一个开关，把电路接通的状态记为1（即结果为真），把电路断开的状态记为0（即结果为假），开关电路中的开关也要么处于接通状态，要么处于断开状态，这两种状态也可以用二值布尔代数来描述，对应的函数为布尔函数，也叫线路的布尔表达式。接通条件相同的线路称为等效线路，找等效线路的目的是化简线路，使线路中包含的节点尽可能地少。利用布尔代数可设计一些具有指定的节点线路，数学上既是按给定的真值表构造相应的布尔表达式，理论上涉及到的是范式理论，但形式上并不难构造。 例2 关于选派参赛选手，赵，钱，孙三人的意见分别是：赵：如果不选派甲，那么不选派乙。钱：如果不选派乙，那么选派甲；孙：要么选甲，要么选乙。以下诸项中，同时满足赵，钱，孙三人意见的方案是什么？ 解答：把赵，钱，孙三个人的意见看做三条不同的线路，对三条线路化简得到接通状态
作业答案：数理逻辑部分 P14：习题一 1、下列句子中，哪些是命题？在是命题的句子中，哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？ （3 答：简单命题，真命题。 （9）吸烟请到吸烟室去！ 答：不是命题。 （12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。 答：复合命题，假命题。 14、讲下列命题符号化。 （6）王强与刘威都学过法语。 答：:p 王强学过法语；:q 刘威学过法语。 符号化为：p q ∧ （10）除非天下大雨，他就乘班车上班。 答：:p 天下大雨；:q 他乘班车上班。 符号化为：p q → （13）“2或4是素数，这是不对的”是不对的。 答：:p 2是素数；:q 4是素数。 符号化为：(())p q ??∨ 15、设:p 2+3=5. :q 大熊猫产在中国。 :r 太阳从西方升起。 求下列复合命题的真值。 （2）(())r p q p →∧?? （4）()(())p q r p q r ∧∧???∨?→ 解答： p 真值为1；q 真值为1；r 真值为0. （2）p q ∧真值为1；()r p q →∧真值为1；p ?真值为0； 所以(())r p q p →∧??真值为0. （4）p q r ∧∧?真值为1，p q ?∨?真值为0，()p q r ?∨?→真值为1； 所以()(())p q r p q r ∧∧???∨?→真值为1.
19、用真值表判断下列公式的类型。 （4）()()p q q p →→?→? 所以为重言式。 （7） 所以为可满足式。
P36:习题二 3、用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出其成真赋值。 （1）()p q q ?∧→ 解答： ()(())(()) ()10 p q q p q q p q q p q q ?∧→???∧∨???∨?∨???∨?∨??? 所以为永假式。 （2）(())()p p q p r →∨∨→ 解答： (())()(())()()()1()1 p p q p r p p q p r p p q p r p r →∨∨→??∨∨∨?∨??∨∨∨?∨?∨?∨? 所以因为永真式。 （3）()()p q p r ∨→∧ 解答： ()() ()()()() p q p r p q p r p q p r ∨→∧??∨∨∧??∧?∨∧ 为可满足式。 真值表为
数理逻辑智能 人们一直把数理逻辑智能看成是智能的核心，学者们也认为这种智能是人类认知能力的重要部分。有关数理逻辑智能，大多数人都认为数理逻辑智能就是一种加减乘除的能力。这是一种计算的能力，但是，数理逻辑智能所包含的远远不止这些。数理逻辑智能包括：事物分类、复杂问题简单化、计算、假设和证明等具体操作能力；逻辑类型、逻辑关系、陈述句和命题、函数等抽象思维能力。 数理逻辑智能是所有科目和学习的基础，它和语言智能一起组成了学业型智能，在学校里受到绝对的重视。在学校里，数理逻辑智能高的孩子学习成绩通常都很好。人们也都大都喜欢这些孩子。他们的领悟能力特别强，凡事一点就通。教给他们从1数到10，他们就能独自摸索数到99，然后教给他们数100，他们就可以一直地数下去。有时我们会听到人家说：“这孩子挺聪明的，就是不好好学，要不然成绩早就上去了。”其实这样的孩子也可以说是数理逻辑智能高的孩子，相比“有点笨，但是很用功”的孩子，这类孩子未来的成功几率会更高。因为他们只要稍微用功学习，成绩就能大幅度提高。当别的孩子都花很多时间背公式的时候，逻辑智能高的孩子不会死记硬背，他们会在理解原理的基础上，熟练地运用公式，就算遇到难题也能通过举一反三、自我摸索找出答案。 现在很多家长都头疼孩子不会写作文，一篇文章能在哪儿写上半天的工夫。然后拿过来一看，这句子读着这个别扭，还哪都不挨哪。家长们也许都觉得这是孩子语文没有学好的原因。家长们的想法是对的，但这不是根本的。孩子们不会写作文，究其原因两条：缺乏切身的体验；数理逻辑智能差。这家长说了，你这第一条我还能接受，可是这写作文跟数理逻辑有什么关系啊！当然有，而且关系还是深层次的。孩子的作文写不好，一是没有素材，二是不会组织语言。不会组织语言、说话毫无逻辑、颠三倒四，正是孩子逻辑能力差的一个表现。孩子在描述一个物体或一件事情的时候，不知该如何去说，不知道先说什么，后说什么。抓不着重点。而对于逻辑能力强的孩子来说，他在写作文或说话之前，会先想好了这个话应该怎么说，要完成一个作文题目，需要具备哪些内容，每一段内容又该怎么安排。所以说数理逻辑智能高的孩子不仅仅在理科科目上成绩很好，在文科科目上也很优秀。 数理逻辑智能高的人解决逻辑性问题比普通人要快得多，而且由于善于推理，往往会采用科学的方法来解决具体问题。比如我们出去逛街，买东西的时候突然发现钱包不见了。一般人呢可能就慌了，“哎呀，我钱包哪去了啊？刚才买东西的时候还在呢！”然后急的大脑一片空白什么也想不起来。但是数理逻辑智能高的人，当他意识到钱包丢了的时候，他首先会把需要挂失的卡之类的东西先做挂失，把损失减到最低。然后他就开始回想：我刚刚去了哪几个地方，在这几个地方我都干了些什么，在哪个地方我最有可能把钱包给丢了。然后依次回去找。体现了他们比普通人更有理性。不但如此，他们对数字也很敏感，很快就能记住电话号码。 此外，数理逻辑智能高的孩子做事相当有条理，不仅在学习上，在日常生活中，他们的条理性也表现得非常突出。我朋友的小孩，就是数理逻辑智能高的孩子。他今年上小学三年级，早上从来不需要大人叫他起床。他自己有个时间表，早上6:40—6:50起床，穿衣服；6:50—7:10洗漱，上厕所；7:10—7:20吃早饭，然后出门上学。晚上放学回来，作业先写什么，后写什么，也都不用他们家大人操心，很快就能做完，而且质量很高。他的衣橱里的衣服摆的很整齐，书架上的书也是分类放的，玩具全部放在一个箱子里，整个屋子特别干净，根本不像是小男孩的卧室。
数理逻辑的心得 数理逻辑：是计算机科学的基础，应熟练掌握将现实生活中的条件化成逻辑公式，并能做适当的推理，这对程序设计等课程是极有用处的。是大四接触到的，现简单介绍一下数理逻辑的发展史，算是一点感悟吧 1数理逻辑的发展前期 ·前史时期——古典形式逻辑时期：亚里斯多德的直言三段论理论 ·初创时期——逻辑代数时期（17世纪末） ·资本主义生产力大发展，自然科学取得了长足的进步，数学在认识自然、发展技术方面起到了相当重要的作用。 ·人们希望使用数学的方法来研究思维，把思维过程转换为数学的计算。 ·莱布尼兹(Leibniz, 1646~1716)完善三段论，提出了建立数理逻辑或者说理性演算的思想： ·提出将推理的正确性化归于计算，这种演算能使人们的推理不依赖于对推理过程中的命题的含义内容的思考，将推理的规则变为演算的规则。 ·使用一种符号语言来代替自然语言对演算进行描述，将符号的形式和其含义分开。使得演算从很大程度上取决与符号的组合规律，而与其含义无关。 ·布尔(G. Boole, 1815~1864)代数：将有关数学运算的研究的代数系统推广到逻辑领域，布尔代数既是一种代数系统，也是一种逻辑演算。 数理逻辑的奠基时期 ·弗雷格(G. Frege, 1848~1925)：《概念语言——一种按算术的公式语言构成的纯思维公式语言》(1879)的出版标志着数理逻辑的基础部分——命题演算和谓词演算的正式建立。 ·皮亚诺(Giuseppe Peano, 1858~1932)：《用一种新的方法陈述的算术原理》(1889)提出了自然数算术的一个公理系统。 ·罗素(Bertrand Russell, 1872~1970)：《数学原理》(与怀特黑合著，1910, 1912, 1913)从命题演算和谓词演算开始，然后通过一元和二元命题函项定义了类和关系的概念，建立了抽象的类演算和关系演算。由此出发，在类型论的基础上用连续定义和证明的方式引出了数学（主要是算术）中的主要概念和定理。 ·逻辑演算的发展：甘岑(G. Gentzen)的自然推理系统(Natural Deduction System)，逻辑演算的元理论：公理的独立性、一致性、完全性等。 ·各种各样的非经典逻辑的发展：路易斯(Lewis, 1883~1964)的模态逻辑，实质蕴涵怪论和严格蕴涵、相干逻辑等，卢卡西维茨的多值逻辑等。 集合论的悖论使得人们觉得数学产生了第三次危机，提出了数学的基础到底是什么这样的问题。 ·罗素等的逻辑主义：数学的基础是逻辑，倡导一切数学可从逻辑符号推出，《数学原理》一书是他们这一思想的体现。为解决悖论产生了逻辑类型论。 ·布劳维尔(Brouwer, 1881~1966)的直觉主义：数学是心灵的构造，只承认可构造的数学，强调构造的能行性，与计算机科学有重要的联系。坚持潜无穷，强调排中律不能用于无穷集合。海丁(Heyting)的直觉主义逻辑。 ·希尔伯特(D. Hilbert)的形式主义：公理化方法与形式化方法，元数学和证明论，提倡将逻辑演算和数学证明本身形式化，把用普通的语言传达的内容上的数学科学变为用数学符号和逻辑符号按一定法则排列的一堆公式。为了消除悖论，要数学建立在公理化基础上，将
逻辑推理（一） 专题简析： 逻辑推理题不涉及数据，也没有几何图形，只涉及一些相互关联的条件。它依据逻辑汇率，从一定的前提出发，通过一系列的推理来获取某种结论。 解决这类问题常用的方法有：直接法、假设法、排除法、图解法和列表法等。 逻辑推理问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析关键所在，找到突破口，进行合情合理的推理，最后作出正确的判断。 推理的过程中往往需要交替运用“排除法”和“反正法”。要善于借助表格，把已知条件和推出的中间结论及时填入表格内。填表时，对正确的（或不正确的）结果要及时注上“√”（或“×”），也可以分别用“1”或“0”代替，以免引起遗忘或混乱，从而影响推理的速度。 推理的过程，必须要有充足的理由或重复内的根据，并常常伴随着论证、推理，论证的才能不是天生的，而是在不断的实践活动中逐渐锻炼、培养出来的。 例题1： 星期一早晨，王老师走进教室，发现教室里的坏桌凳都修好了。传达室人员告诉他：这是班里四个住校学生中的一个做的好事。于是，王老师把许兵、李平、刘成、张明这四个住校学生找来了解。 （1）许兵说：桌凳不是我修的。 （2）李平说：桌凳是张明修的。 （3）刘成说：桌凳是李平修的。 （4）张明说：我没有修过桌凳。 后经了解，四人中只有一个人说的是真话。请问：桌凳是谁修的？ 根据“两个互相否定的思想不能同真”可知：（2）、（4）不能同真，必有一假。 假设（2）说真话，则（4）为假话，即张明修过桌凳。 又根据题目条件了：只有1人说的是真话：可退知：（1）和（3）都是假话。由（1）说的可退出：桌凳是许兵修的。这样，许兵和张明都修过桌凳，这与题中“四个人中只有一个人说的是真话”相矛盾。 因此，开头假设不成立，所以，（2）李平说的为假话。由此可退知（4）张明说了真话，则许兵、刘成说了假话。所以桌凳是许兵修的。 练习1： 1、小华、小红、小明三人中，有一人在数学竞赛中得了奖。老师问他们谁是获奖者，小华说是小红，小红说不是我，小明也说不是我。如果他们当中只有一人说了真话。那么，谁是获奖者？ 2、一位警察，抓获4个盗窃嫌疑犯A、B、C、D，他们的供词如下： A说：“不是我偷的”。 B说：“是A偷的”。 C说：“不是我”。 D说：“是B偷的”。 他们4人中只有一人说的是真话。你知道谁是小偷吗？ 3、有500人聚会，其中至少有一人说假话，这500人里任意两个人总有一个说真话。说真话的有多少人？说假话的有多少人？ 例题2： 虹桥小学举行科技知识竞赛，同学们对一贯刻苦学习、爱好读书的四名学生的成绩作了
浅谈如何培养小学生的数学逻辑思维能力孔子说：“学而不思则罔，思而不学则殆”。根据三十年的数学教学研究和对学生后续发 展的持续跟踪调查，我发现在小学阶段着重培养学生的数学思维能力，对学生一生的发展起着举足轻重的作用，能使学生受益一生。因此，在小学阶段，教师应重点培养学生的数学逻辑思维能力。 一、巧用疑问，激发学生的学习兴趣 美国教育家布鲁纳说：“学习的最好刺激，乃是对所学材料的兴趣。”能使学生一上课就兴趣盎然是教学成功的关键所在。在教学设计时，教师应根据教材内容、结合生活实际，选取身边鲜活的材料作为例子导入新课，以吸引学生的眼球。同时，教师要注重采用灵活多样的方式，创设问题情境，激发学生的探究欲望，培养其探究能力。 悬念能激发学生的思维和想象能力。如教能被8整除的特征时，先让学生说出一个多位数，可能是8的倍数，也可能不是8的倍数，教师再添上一个数字，使所得到的数是8的倍数。每个学生都绞尽脑汁，瞪大眼睛，眼里流露出新奇：“这里面有什么奥秒？”学生怀着迫切的求知欲和探究欲进入了新的学习状态，效果一定会非常好。 二、积极互动，培养学生的合作能力 数学是一种多边活动，它提倡教师与学生之间、学生与学生之间的多边互动。只有师生关系和谐，才能产生高水平的课堂互动。苏霍姆林斯基说：“要以对人的方式对待孩子，要善于发现他们心中能响应我们召唤的那一隅。”教师不能高高在上、指手画脚，应蹲下身子、走进学生，成为学生心灵的真正合作者，参与到学生的学习过程中去，与学生一起实践、一起探讨、一起提升。 三、联系生活实际，培养应用能力 著名数学家华罗庚说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不有数学。”然而在以往的教学中，教师只注重数学知识的传授，很少注重数学知识和学生实际生活的有机联系，使学生感受不到数学的趣味和作用。因此，在教学过程中，教师要创设一些生活情景、提供一些现实的学习材料，把书本知识与学生的日常生活联系起来，使学生感受到数学来自生活、并不抽象。在教学周长和面积部分的过程中，有些学生往往忽略周长和面积的单位这一问题，例如学生们容易出错的经典判断题：边长为4的正方形面积和周长相等。有些学生在对这一题进行思考时仅仅思考了它的运算过程，感官上看到结果一样，都是16，而忽略了它的单位长度和面积的区别。对待这一问题解决最直观的方法，可以运用动手课，让学生亲自动手体会周长和面积的概念，感受到周长的结果要用长度单位、面积的结果要用面积单位，周长和面积这两个概念没有可比性。 总之，我们必须教孩子在做数学中学习数学，在创造思维中学习数学，培养孩子们的数学逻辑思维能力。
“离散数学”数理逻辑部分考核试题答案 --------------------------- ★----------------------------- 一、命题逻辑基本知识（5分） 1、将下列命题符号化（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。共2分） （0）小刘既不怕吃苦，又爱钻研。 解：—p ∧q ,其中，P :小刘怕吃苦；q :小刘爱钻研。 （1）只有不怕敌人，才能战胜敌人。 解：q→-p ,其中，P :怕敌人；q :战胜敌人。 （2）只要别人有困难，老张就帮助别人，除非困难已经解决了。 解：—r→（P→P）,其中，P:别人有困难；q :老张帮助别人；r:困难解决了。 （3）小王与小张是亲戚。 解：p，其中，P:小王与小张是亲戚。 2、判断下列公式的类型（总共5题，完成的题号为学号尾数取5的余，完成1题。共1分） （0）A ：（-（p^q）_；（（P -q）（.p^q））） r （1）B : （P 一9一；P））（r q） （2）C: （P -r）＞（q r） （3）E : p-;（P q r） （4）F ：—（q-；r） r------------------------------------------------------------------------ 解：用真值表判断，A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式，E为重言式，F为矛盾式。 3、判断推理是否正确（总共2题，完成的题号为学号尾数取.2的余，完成1题。共2分） （0）设y=2∣x∣，X为实数。推理如下：如y在x=0处可导，则y在x=0处连续。发现y在x=0处连续，所以，y在x=0处可导。 解：设y=2|x|，X为实数。令P: y在x=0处可导，q：y在x=0处连续。由此，P为假，q为真。本题推理符号化为：（p—；q） q—；P。由P、q的真值，计算推理公式真值为假，由此，本题推理不正确。 （1）若2和3都是素数，则6是奇数。2是素数，3也是素数。所以，5或6是奇数。 解：令P:2是素数，q:3是素数，r:5是奇数，S:6是奇数。由此，p=1，q=1，r=1，S=O。本题推理符号化为：（（P q）→ S） P q）→ （r S）。计算推理公式真值为真，由此，本题推理正确。 二、命题逻辑等值演算(5分) 1、用等值演算法求下列公式的主析取范式或主合取范式(总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完 成1题。共2分) (0)求公式p→ ((q ∧r) ∧(P ∨(―q ∧-r)))的主析取范式。 解：p→((q ∧r) ∧(P ∨(—q ∧-「)))：= 一p∨(q ∧r∧P) ∨(q ∧r ∧一q ∧—r)二一P ∨(q ∧r∧P) ∨0 二(P ∧q∧r) ∨= (一p∧1 ∧1) ∨(q ∧r∧P) 二(—p ∧(q ∨-q) ∧(r ∨-r)) ∨(q ∧r∧P) U (~p ∧(q ∨-q) ∧(r ∨一r)) ∨m7 二(一P ∧—q ∧ F ∨ (一P ∧—q ∧r) ∨ (一P ∧q ∧_r) ∨ (一P ∧q ∧r) ∨m7 m0 ∨m1 ∨m2 ∨m3 ∨m7. (1)求公式一(一(P → q)) ∨(—q → 一P)的主合取范式。 解：一(一(P → q)) (—q →-p)二(P → q) (P →q) U (P → q)
數理邏輯與集合論作業二 1. 解：該題應該理解為此列表中每一句都是形如“i: 在這個列表中，恰有i條語句為假”的形式。 a)思路：考慮這100句裡可能有幾句為真。是否可能沒有一句為真？是否可能 祗有一句為真，是哪一句？是否可能多餘等於兩句為真？ b)思路：“至少i+1句為假”蘊含“至少i句為假”，若第i句為真，則1…… i-1句都為真，所以第 100, 99, 98, ……句都為假，一直到第50句為真 c) 思路同上，但是…… 2. 解答：如果我說右邊的路通往遺跡你將回答“是”，對嗎？ 3.
解答： ))))a q p b p q c q p d q p →∧→?→? 4. 也就是上述描述是否自相矛盾？ 5. 解答： 条件符号化 ::::(1)(2)(C G)(3)(G W)G W (4)G W G W S C G W S C G W S C C G W C C S C S →?∧=?∨???∧?=∨→?????男管家廚師園丁雜役假設為真，則由（2）得：再由（1）得：但無法判定的真假 假設為假，則由（3）得：再由（4）得：由（1）得：綜上所述：和說了假話，，的話真假未知 6. 四个朋友被认定为非法进入某计算机系统的嫌疑人。他们已对调查员作了陈述。
艾丽斯说“卡罗斯干的” 约翰说“我没幹。” 卡罗斯说“戴安娜干的。” 戴安娜说“卡罗斯说是我幹的，他说谎。” a）如果调查员知道四个嫌疑人中恰有一人说真话，那么准幹的？解释你的推理。 b）如果调查员知道恰有一人说谎，谁干的？解释你的推理。 解：前提符號化為 （1）A: C （2）J: ? J （3）C: D （4）D: ? (C: D) a) 祗有一句話為真，而（3）（4）有且僅有一句為真，分別討論（3）（4）為真的情況。 b）分析步驟同上。 7. 用真值表證明德摩根律和吸收律。 解答略 8. 使用等值演算證明下列命題公式為永真式（不得用真值表） 解答： a
离散数学 期中课程设计作业 班级：10级计算机 组员：杨鑫 学号：09
数理逻辑怎样用于实际的应用 我们现在在学离散数学,对于离散数学中的数理逻辑这一部分存在很多盲点,那么这看似高深莫测的数理逻辑在实际生活中有着怎样的用处呢,下面让我们来讨论一下. 我们先看数理逻辑的定义:数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。它既是数学的一个分支，也是逻辑学的一个分支。是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科。其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。虽然名称中有逻辑两字，但并不属于单纯逻辑学范畴。数理逻辑是用数学的方法来研究推理的形式结构和推理规律的数学学科，它与数学的其他分支，计算机科学，人工智能，语言学等学科有密切的联系，并且日益显示出它的主要作用和更加广泛的应用前景. 数理逻辑中的逻辑运算又称布尔运算，它是用数学的方法解决或研究逻辑问题，即用离散的符号“1”和“0”表示逻辑中的“真”和“假”再加上一套与之相关的“与”、“或”、“非”为运算基础的逻辑运算规则解决实际逻辑问题的方法，从而实现复杂逻辑运算到简单的数值计算的转化。下面我们就逻辑运算在电路设计中的运用加以探讨： 某公司王某欲搬入新房，搬迁前需要完成电路的设计安装，由于该房深处闹市，四周楼房林立，严重影响了客厅的采光，于是王某想设计一个电路，要求客厅四盏灯由一个开关控制，开关按下一次亮一盏灯，再按一下亮两盏，以此类推，直到按下第五次时所有灯熄灭。假设四个灯依次为A、B、C、D，灯亮为1，灯灭为0，开关有脉冲输入为1，否则为0，则根据题意可得真值表（如图１）： 设第ｎ号灯的上一状态为Nｎ，第ｎ＋１号灯现在在的状态为Nｎ＋１，脉冲输入状态为M，则有： Nｎ＋１=Nｎ∧M（N0与M的且运算） 其中Ｎｎ＝ＮＡ∧ＮＢ．．．∧Ｎｎ－１ 灯亮的条件为（A∧┐B∧┐C∧┐D）∨（A∧B∧┐C∧┐D）∨（A∧B∧C∧┐D）∨（A∧B∧C∧D） 如Ｂ灯亮的条件是Ａ灯亮并且有脉冲输入，C灯亮的条件是ＡＢ都亮并且有脉冲输入。该电路功能由一个与门电路和一个计数触发器连接即可完成，当开关第5次输入后计数器输出信号置0，灯全部关闭，此时设备全部复位。如图２。
江西科技师范学院学年论文 浅谈现代数学基础的三大学派 郭秋平 （数学与应用数学（2）班20081428） 指导老师：王亚辉 摘要本文简单介绍了现代数学基础的三大学派产生的背景，导致各学派失败的原因及其对现代数学发展所做出的贡献。 关键字：逻辑派；直觉派；形式公理派 一、引言 从20世纪初到30年代左右，由于集合悖论的发现，使许多数学家卷入了一场大辩论之中。他们看到这次数学危机动摇了数学大厦的根基，因此必须对数学基础进行严密的考察。原来还不十分明显的意见分歧成为学派之争，相应于数学是什么这个问题的答案，数学基础从它诞生开始便分成了三大哲学流派，这就是以罗素为代表的逻辑派，它强调逻辑而排斥直觉，主张逻辑是整个数学的唯一基础；以布劳威尔为代表的直觉派，它强调直觉而排斥逻辑，主张直觉才是数学的唯一基础；以希尔伯特为代表的形式公理派，认为逻辑具有先验的真理性以及数学整个地具有逻辑的特征，它主张通过逻辑的相容性即无矛盾性来维护数学的数学的真理性和合法性。三派之间的热烈辩论成为现代数学史上著名的数学基础大论战。他们从各自的哲学观点出发，对悖论引起的数学危机，从概念的准确性、提法的严密性、推理的合理性等方面一一加以审查，对数学的本质、数学对象的存在性、数学的真理性以及与数学有关的逻辑问题等进行哲学思考。 二、逻辑派 逻辑主义学派主张把数学还原于逻辑，试图在逻辑的基础上建立全部数学。在他们看来，数学不过是逻辑的自然展延，数学可以从逻辑推导出来，数学概念可以通过显定义而从逻辑概念推导出来，数学定理可以通过纯粹的逻辑演绎法而从逻辑公理推导出来，因此数学即逻辑。 逻辑主义学派的先驱是德国的戴德金和弗雷格，戴德金在集合的概念定义自然数时，便主张把数学还原于逻辑，这就是：从少量的逻辑概念出发，去定义出全部的数学概念；从少量的逻辑命题出发，去演绎出全部的数学理论。 （一）逻辑派的产生 逻辑派的思想萌芽，可追溯到莱布尼茨，但他本人并没有做具体的工作。弗雷格在研究算术公理化时发现，所有的算数概念都可以借助于逻辑概念来定义，所有的算术法则也都可以借助于逻辑法则来证明，从而弗雷格逐渐形成了数学还原为逻辑的观点。他的研究成果发表在《算数基础》和《算数的基本定理》中。罗素在吸引前人成果的基础上，采用了皮亚诺的自然数公理系统来作为自己的基础研究的出发点，于1903年完成了他的《数学的原理》，第一次系统的介绍自己
2006年的考题 一、A={a,b,c},B={X|a∈X且X?A},求B-A, B-{A}, ∪B, ∩B。 二、A={1,2,3,5,9},R是A上的关系且R={