4.1 扩展的卡尔曼滤波方程
前面讲的Kalman滤波要求系统状态方程和观测方程都是线性的。然而，许多工程系统往往不能用简单的线性系统来描述。例如，导弹控制问题，测轨问题和惯性导航问题的系统状态方程往往不是线性的。因此，有必要研究非线性滤波问题。对于非线性模型的滤波问题，理论上还没有严格的滤波公式。一般情况下，都是将非线性方程线性化，而后，利用线性系统Kalman滤波基本方程。这一节我们就给出非线性系统的Kalman滤波问题的处理方法。
为了方便描述，下面仅限于讨论下列情况的非线性模型
k
k
x
k
k
=
k
+(3.2.8.1)
Φ
+
Γ
x+
x
),1
(
]
)
w
[
(
)
(k
(
)1
),
(
k
k
v
=
+k
k
+
z(3.2.8.2)
h
x
),1
]1
(
)1
(
[
+
(+
)1
+
式中，1)(?∈n R k x 是状态向量，1)(?∈m R k z 是观测向量，
)(k w 和)(k v 是噪声；1?∈Φn R 是k k x ),(的非线性函数，具有一阶连续导数；1?∈m R h 是1),1(++k k x 的非线性函数，具有一阶连续导数。)(k w 和)(k v 都是均值为零的白噪声序列，其统计特性如下
{}{}0)(,0)(==k v E k w E ，{}kj T k Q j w k w E δ)()()(=，{}
kj T k R j v k v E δ)()()(=
另外，已知初始条件，即)0(x 的统计特性。
下面仅介绍推广的Kalman 滤波方法，即围绕滤波值)|(?k k x
的线性化滤波方法，这种方法是先将非线性模型线性化，而后应用线性系统的Kalman 滤波基本公式。 由系统状态方程(3.2.8.1)可得
)(]),|(?[)]|(?)([)),|(?()1()|(?)(k w k k k x k k x
k x x
k k k x
k x k k x
k x Γ+-?Φ
?+Φ≈+= (2.3.8.3)
),1()|(?)(k k x
k k x
k x +Φ=?Φ
?= (2.3.8.4)
)()|(?]),|(?[)|(?)(k f k k x
x
k k k x
k k x
k x =?Φ
?-Φ= (2.3.8.5) 则状态方程为
)()(]),|(?[)(),1()1(k f k w k k k x
k x k k k x +Γ++Φ=+ (3.2.8.6) 初始值为{}000?m x E x
==。 同基本Kalman 滤波模型相比，在已知求得前一步滤波值)|(?k k x 的条件下，状态方
程(3.2.8.6)中增加了非随机的外作用项)(k f 。
把观测方程的][?h 围绕)|1(?k k x
+进行泰勒展开，略去二次以上项，可得 )1()]|1(?)1([]1),|1(?[)1()|1(?)1(+++-+??+++=++=+k v k k x
k x x
h
k k k x
h k z k k x
k x (3.2.8.7) 令
)1()|1(?)1(+=??+=+k C x
h
k k x
k x
)1(]1),|1(?[)|1(?)|1(?)1(+=++++??-
+=+k y k k k x h k k x
x
h k k x
k x 则观测方程为
)1()1()1()1()1(++++++=+k v k y k x k C k z (3.2.8.8)
应用Kalman 滤波基本方程可得
)]|1(?)1()1()1()[1()|1(?)1|1(?k k x k C k y k z k K k k x k k x
++-+-++++=++ (3.2.8.9) 即
]}1),|1(?[)1(){[1()|1(?)1|1(?++-++++=++k k k x h k z k K k k x k k x
(3.2.8.10) 式中
)()|(?),1()|1(?k f k k x k k A k k x
++=+ (3.2.8.11) 即
]),|(?[)|1(?k k k x k k x
Φ=+
1)]1()1()|1()1()[1()|1()1(-+++++++=+k R k C k k P k C k C k k P k K T T (3.2.8.12)
方程(3.2.8.13)称为估计误差方差阵的递推方程
),1()(),1(),1()|(),1()|1(k k k Q k k k k A k k P k k A k k P T T +Γ+Γ+++=+ (3.2.8.13)
)|1()]1()1([)1|1(k k P k C k K I k k P +++-=++ (3.2.8.14)
式中滤波值和滤波误差方差阵的初始值为
{}00)0(?m x E x
==， {}
T m x m x E P ])0(][)0([000--= (3.2.8.15) 推广的Kalman 滤波的优点是不必预先计算标称轨道。注意推广的Kalman 滤波只要
在滤波误差)|(?)()|(~k k x k x k k x -=及一步预测误差)|1(?)1()|1(~k k x
k x k k x +-+=+较小时才适用。
4.2 强跟踪滤波基本理论
本小节引入自1990年以来发展起来的一个有强跟踪滤波器理论[2-3]。
考虑如下一大类非线性系统的状态估计问题
)()())(),(,()1(k w k k k k k Γ+=+x u f x (3.2.9.1)
)1())1(,1()1(++++=+k v k k k x h z (3.2.9.2)
其中，整数k ≥0为离散时间变量，1)(?∈n R k x 为状态向量，1)(?∈l R k u 为输入向量，
1)(?∈p R k z 为输出向量。 非线性函数111:???→?n n l R R R f , 11:??→p n R R h 具有关于状态的
一阶连续偏导数。q n R ?∈Γ为已知的矩阵。系统噪声1)(?∈p R k w 和测量噪声1)(?∈p R k v 匀是高斯白噪声，并具有如下的统计特性
0)}({,0)}({==k v E k w E (3.2.9.3) j k T k j w k w E ,)()}()({δQ = (3.2.9.4)
j k T k j v k v E ,)()}()({δR = (3.2.9.5) 0)}()({=j v k E T w (3.2.9.6) 其中, Q ()k 为对称的非负定阵, R ()k 为对称正定阵。
初始状态x ()0为高斯分布的随机向量，且满足统计特性
0)}0({x x =E (3.2.9.7)
000}])0(][)0({[P x x x x =--T E (3.2.9.8) 并且有x ()0与)(),(k v k w 统计独立。
系统(3.2.9.1)-(3.2.9.2)的状态估计问题可以首先选择在3.2.7节引入的扩展Kalman
滤波器(Extended Kalman Filter —— EKF)进行解决
) 1 +k ( ) 1 +k ( + )k | 1 +k ( ?= ) 1 +k | 1 +k ( ?γK x x
(3.2.9.9) 其中，) 1 ( ? | k k + x
为状态的一步预报值。
)) ( ?, ) ( , ( = )k | 1 +k ( ?k | k k u k f x x
(3.2.9.10) 增益阵
1
)]1())|1(?,1()|1())|1(?,1())[|1(?,1()|1()1(-+++++?+++++=+k k k k k k k k k k k k k k k T
T R x
H P x H x
H P K (3.2.9.11)
预报误差协方差阵
)()()())|(?),(,()|())|(?),(,()|1(k k k k k k k k k k k k k k k T T ΓΓ+=+Q x u F P x
u F P (3.2.9.12) 状态估计误差协方差阵
)|1())]|1(?,1()1([)1|1(k k k k k k I k k ++++-=++P x
H K P (3.2.9.13) 残差序列
))|1(?,1()1()1(?)1()1(k k k k k y
k y k ++-+=+-+=+γx h y (3.2.9.14) 式(3.2.9.11)中
)|1(?)1())
1(,1())|1(?,1(k k k k k k k k H +=+?++?=++x x x
x h x
(3.2.9.15)
式(3.2.9.12)中
)|(?)())
(),(,())|(?),(,(k k k k k k k k k u k F x x x
x u f x
==?? (3.2.9.16) 式(3.2.9.9)—(3.2.9.16)就是著名的扩展Kalman 滤波器的递推公式。此时输出残差
序列的协方差阵为
)1())|1(?,1()|1())|1(?,1()]1()1([)1(0++++?+++≈++=+k k k k k k k k k k k E k T
T R x
H P x
H V γγ (3.2.9.17)
当系统模型(3.2.9.1)-(3.2.9.2)具有足够的精度，并且滤波器的初始值 (|),(|)x 0000P 选
择得当时，上述的EKF 可以给出比较准确的状态估计值 (|)x
k k ++11。 然而，通常的情况是，系统模型(3.2.9.1)-(3.2.9.2)具有模型不确定性，即此模型与
其所描述的非线性系统不能完全匹配，造成模型不确定性的主要原因有：
1)模型简化。对于比较复杂的系统，若要精确描述其行为，通常需要较高维数的状态变量，甚至无穷维的变量。这对系统状态的重构造成了极大不便。因此，通常人们都要使用模型简化的办法，使用较少的状态变量来描述系统的主要特征，忽略掉实际系统某些较不重要的因素。也就是存在所谓的未建模动态。这些未建模动态在某些特殊条件下有可能被激发起来，造成模型与实际系统之间较大的不匹配[2-3]。
2) 噪声统计特性不准确。即所建模型的噪声统计特性与实际过程噪声的统计特性有较大差异。所建模型噪声的统计特性一般过于理想。实际系统在运行过程中，可能会受到强电磁干扰等随机因素的影响，造成实际系统的统计特性发生较大的变动。
3) 对实际系统初始状态的统计特性建模不准。
4) 实际系统的参数发生变动。由于实际系统部件老化、损坏等原因，使得系统的参数发生变动(缓变或突变)，造成原模型与实际系统不匹配。
一个很遗憾的事实是，EKF 关于模型不确定性的鲁棒性很差，造成EKF 会出现
状态估计不准，甚至发散等现象[2-3]。
此外，EKF 在系统达到平稳状态时，将丧失对突变状态的跟踪能力。这是EKF
类滤波器(包括卡尔曼滤波器在内)的另一大缺陷。造成这种情况的主要原因是，当系统达平稳状态时，EKF 的增益阵K k ()+1将趋于极小值。这时，若系统状态发生突变，预报残差γ()k +1将随之增大。然而，此时的增益阵K k ()+1仍将保持为极小值，K k ()+1不会随γ()k +1的增大而相应地增大。因此，由式(3.2.9.9)
) 1 +k ( ) 1 +k ( + )k | 1 +k ( ?= ) 1 +k | 1 +k ( ?γK x x
(3.2.9.9) 得知，EKF 将丧失对突变状态的跟踪能力。从这个意义上可以认为，EKF 类滤波器是一种开环滤波器，因为这类滤波器的增益阵K k ()+1不会随滤波效果自适应地进行调整，以始终保持对系统状态的准确跟踪能力。这一现象对定常线性随机系统将更加直观一些。此时，只需用通常的Kalman 滤波器(KF)进行状态估计。而KF 的增益
阵可以根据线性系统的参数(A,B,C)离线计算出来，然后存储在计算机中在线应用。这时，如果系统状态发生突变，滤波器的增益阵当然不会随之变动，因此，KF也就丧失了对突变状态的跟综能力。所以说, KF也是一种开环滤波器。
为了克服EKF存在的上述缺陷，迫切需要有一种性能更加优越的滤波器。为此，人们提出如下强跟踪滤波器的新概念。
定义3.2.9.1
称一个滤波器为强跟踪滤波器(Strong Tracking Filter，STF)，若它与通常的滤波器相比，具有以下优良的特性：
1）较强的关于模型不确定性的鲁棒性。
2）极强的关于突变状态的跟踪能力。甚至在系统达平稳状态时，仍保持对缓变状态与突变状态的跟踪能力。
3）适中的计算复杂性。
显然，特性1）和2) 就是为了克服EKF的上述两大缺陷而提出来的。特性3) 是
为了使得STF 便于实时应用。
关于系统(3.2.9.1)-(3.2.9.2)的一类强跟踪滤波器应具有如下的一般结构
(|) (|)()()x
x K k k k k k k ++=++++11111γ (3.2.9.18) 其中
) ) (?) ( (1? k |k x , k k , u | k ) = f ( k + x (3.2.9.19) ))|1(?,1()1()1(k k k k k ++-+=+γx
h y (3.2.9.20) 现在面临的难点就是要在线确定时变增益阵K k ()+1，使得此滤波器具有强跟踪滤
波器的所有特性。为此，提出一个正交性原理。
正交性原理
使得滤波器(3.2.9.18)为强跟踪滤波器的一个充分条件是在线选择一个适当的时变
增益阵K k ()+1，使得
1) {}min )]1|1(?)1()][1|1(?)1([=++-+++-+T k k k k k k E x x x
x (3.2.9.21) 2) {} ,2,1;,2,1,0,0)1()1(===+++j k k j k E T γγ (3.2.9.22) 其中，条件2) 要求不同时刻的残差序列处处保持相互正交，这也是正交性原理这一名称的由来．条件1)实际上就是原来的EKF 的性能指标．
说明此正交性原理的一个浅显的例子是，早已证明，当模型与实际系统完全匹配
时，Kalman 滤波器(KF)的输出残差序列是不自相关的高斯白噪声序列, 因此，式(3.2.9.22)是满足的。而式(3.2.9.21)就是KF 的性能指标，因此当然也是满足的。
当由于模型不确定性的影响，造成滤波器的状态估计值偏离系统的状态时，必然
会在输出残差序列的均值与幅值上表现出来。这时，若我们在线调整增益阵K k ()+1, 强迫(3.2.9.22)式仍然成立，使得残差序列仍然保持相互正交，则可以强迫强跟踪滤波
器保持对实际系统状态的跟踪。这也是＂强跟踪滤波器＂一词的由来。
此正交性原理具有很强的物理意义。它说明当存在模型的不确定性时，应在线调整增益阵K k()
+1，使得输出残差始终具有类似高斯白噪声的性质。这也表明已经将输出残差中的一切有效信息提取出来。
当不存在模型的不确定性时，强跟踪滤波器正常运行，式(3.2.9.22)已自然满足，不起调节作用。此时的强跟踪滤波器就退化为通常的基于性能指标(3.2.9.21)的EKF。
注释3.2.9.1
此正交性原理的核心是式(3.2.9.22)
2) {}
γ(3.2.9.22) +j
+
+
=
k
E Tγ
k
j
k
)
,2,1,0
;
,2,1
=
,0
)1
1
(=
(
当用其它的性能指标取代式(3.2.9.21)后，就可以得到另外一些变形的类似的正交性原理．因此，当在原有的滤波器上附加上条件(3.2.9.22)后，就可以改造原来的滤波器，使其具有强跟踪滤波器的性质．
注释3.2.9.2
对非线性系统，实际应用此正交性原理时，式(3.2.9.21)与(3.2.9.22)很难精确满足。
这时,只需使其近似满足即可，以减少计算量，保持强跟踪滤波器具有良好的实时性。
3.2.9.3 一种带次优渐消因子的扩展卡尔曼滤波器(SFEKF)
为了使得滤波器具有强跟踪滤波器的优良性能，一个自然的想法是采用时变的渐
消因子对过去的数据渐消，减弱老数据对当前滤波值的影响。这可以通过实时调整状态预报误差的协方差阵以及相应的增益阵来达到。为此，我们修改上面的EKF 中的公式(3.2.9.2.12)为：
P F u x
P F u x Q (|)()(,(), (|))(|)(,(), (|))()()(),
k k k k k k k k k k k k k k k k T T
+=++11λΓΓ (3.2.9.3.1)
其中，λ()k +≥11为时变的渐消因子。(3.2.9.2.9)— (3.2.9.2.11)式, (3.2.9.3.1)式,
(3.2.9.2.13)—(3.2.9.2.17)式构成了一种带次优渐消因子的扩展卡尔曼滤波器，简记为：SFEKF(Suboptimal Fading Extended Kalman Filter), 参见[17,18]。我们之所以称其为次优渐消因子，是因为我们通常采用次优的算法来求取λ()k +1, 以提高算法的实时性。 3.2.9.1 一个有用的定理
现在的目标是应用上一节的正交性原理来确定时变次优渐消因子λ()k +1, 进而也
就确定了时变增益阵K k ()+1。首先，我们给出一个有用的定理。 定理3.2.9.1
令：ε()() (|)k k k k ?x x
-, 其中， (|)x k k 为由上面的SFEKF 得到的状态估计值。若O k O k [()][()]εε2
<<成立，对 ,2,1=j ，就有下式成立：
{}
)]
1()1())|1(?,1()|1())[1||1(?),1(,1())]1|2(?,2()2())[2|2(?),2(,2())]1|(?,()())[|(?),(,())|1(?,1()1()1(0++-+++++++?++++-++++-++++-++++?+++++≈+++k k k k k k k k k k k k k k k I k k k k j k j k j k j k I j k j k j k j k j k j k j k k j k E T T V K x H P x
u F x H K x
u F x H K x
u F x
H γγ )]1()1())|1(?,1()|1())[1||1(?),1(,1(]))1|(?,()())[|(?),(,())|1(?,1(02
++-+++++++?
-++++-++++?+++++=∏=k k k k k k k k k k k l k l k l k l k I l k l k l k l k j k j k j k T j
l V K x H P x
u F x H K x u F x
H (3.2.9.3.2)
证明： 略 因此，有
{}
0)1()1())|1(?,1()|1(0
)1()1(0=++-+++?
=+++k k k k k k k k j k E T T V K x
H P γγ
3.2.9.2 次优渐消因子的确定
根据正交性原理，为了使SFEKF 具有强跟踪滤波器的性质，在每一采样时刻，
应在线确定其增益阵K ()k +1，强迫使式(3.2.9.2.22)保持成立[17,18]，即
{}0)1()1(=+++k j k E T γγ (3.2.9.3.13)
由定理3.2.9.1与(3.2.9.3.13)式得知，当在线选择适当的时变增益阵K ()k +1, 使得
P H x
K V (|)(, (|))()()k k k k k k k T +++-++≡1111100 (3.2.9.3.14) 时，则正交性原理的(3.2.9.2.22)式必然成立。为此，可以令
W P H x
K V ()(|)(, (|))()()k k k k k k k k T ++++-++1111110? (3.2.9.3.15) 并定义
g k W k ij j m
i n
(())()λ+=+==∑∑11211, (3.2.9.3.16)
其中，()W ()()k W k ij +=+11。
由此可知，(3.2.9.3.14)的符合程度可以通过求解下面的性能指标来衡量：
m i n (())()
λλk g k ++11 (3.2.9.3.17) 由性能指标(3.2.9.3.17)求解λ()k +1可采用任何一元无约束非线性规划方法，在这
里我们首先给出一种梯度方法。 算法3.2.9.1 梯度方法
次优渐消因子可由下面的迭代公式得到[19]： λλ??λ?λ()
()
()()
()()(())
()
,,,,;,,l l l l k k g k k l k ++=+-++==1111101212 (3.2.9.3.18)
初始值：λλλ()()(),()()00111=+=k k .
式(3.2.9.3.18)中，?>0为迭代步长，此参数的选择需要一定的技巧，以使
g k l ()
(())λ+1 快速衰减．其中，l 为迭代步数．(3.2.9.3.18)式中的?λ?λg k k l l ()()
(())
()
++11可由下
用Multisim实现非线性电路的仿真与设计 ————分段线性电阻电路 摘要 非线性电阻电路在工程科学中有广泛的应用，其设计方法也多种多样，本文首先通过最基本的线性电阻，二极管，电流源，直流电压源，直流电压源四种元器件设计凹凸电阻，然后以凹凸电阻作为基本的积木块，通过串联分解法与并联分解法的综合分析设计出符合要求的非线性的分段线性电路，并在Multisim 10.0上实现仿真。 关键词 非线性，分段线性，凹电阻，凸电阻 -------------------------------------------------------------- 1 引言 非线性是自然界中普遍存在的自然现象，正是非线性现象才构成了变化莫测的世界。自然界在相当多的情况下，非线性现象却起着很大的作用。非线性动力学的研究涉及非常广泛的科学范围，从电子学到物理学，从气象学到生态学，从数学到经济学等。大多数的电子电路与系统本身是非线性的，若仅考虑线性特性则有很大的局限性，尤其它将阻碍对非线性系统特性的研究，而这种非线性系统的复杂性在信息的传输、编码、存储、安全等方面具有很大的优势。今天，世界各国有关研究非线性的组织已经意识到开发非线性动力系统的潜力，欧洲、美国、日本的科学家们也
正进行1些相关非线性的意义重大的项目研究。而分段线性电路系统则是非线性系统中最简单的一种情况，本文介绍了如何通过凹凸电阻的串联分解法和并联分解法设计出符合要求的分段线性电阻电路，并在Multisim 10.0实现仿真。 2 用Multisim 10.0设计如图1，图2的非线性电阻电路。 （图1）（图2） 2.1 凹电阻，凸电阻的实现。 ①凹电阻。当两个或两个以上元件串联时，电路的伏安特性图是各元件伏安特性图的电压之和。图3为一凹电阻，其对应的伏安特性曲线为图4所示。
非线性系统分析习题
第2章 2-1 电路如题图2-1所示，若11tanh 2u i =，2 23 22i i +=ψ，33ln u q =，试讨论对下列各组 变量：（1）2i 和3u ；（2）2i 和3q ；（3）2ψ和3u ；（4）2ψ和3q ；是否存在标准形式的状态方程？若存在，请导出该状态方程。 题图 2-1 2i 和3u 存在标准状态方程 323 3212222))2(tan (231 dt u i dt du u i u i i di s =--+=- 2-2 题图2-2所示电路，非线性电阻的特性为：2 2223R R R u u i -=，试导出电路的状态方程。 题图 2-2 L C C L C C L C L s C i L R u L u L dt di u u C i C du i C i C du 2212 222221 111 1)3(11dt 1 1dt --=--=-= 2-3 试确定下列函数是否满足全局Lipschitz 条件 （1）2 211212()[2]T f x x x x x x =--可能不满足 （2）2 2 2 112()[]x x T f x x e x e --=满足
2-4 Van der pol 方程可以用状态方程描述为 122 2112(1)x x x x x x ε=??=-+-? 试证明，任取初始条件1020x x ，，对于某些充分小的δ，状态方程在[0]δ上有唯一解。 2-5 考虑标量微分方程 0tan(()),(0)x x t x x == 试证明微分方程对于任意0x ，在区间[0,)∞上具有唯一解。 2-6 已知非线性系统的状态方程为 ? ?????????-----=???? ??????-t te x x x x x t dt dx dt dx 22212131 213tanh 43 试判断该状态方程是否有唯一解。 当00,0t t t ≥>时有唯一解 2-7 试求下列电路状态方程的平衡点。 （1）???????+-=-=dxy by dt dy cxy ax dt dx （0，0） （2）???????+-=++-=222 2y x y x dt dy y x x y dt dx （0，0） （3）???????-==3x x dt dy y dt dx （0，0）；（1，0）；（-1，0） （4）???????-==1sin 2x dt dy y dt dx ,2,1,0) ,1();k 1±±=-k k ππ，（ （5）???????+-=-=+3 1dy by dt dy e dt dx y x (0,0)；0,0d b )d b ,d b (); d b ,d b (≠>- -d
非线性电路中的混沌现象实验指导及操作说明书 北航实验物理中心 2013-03-09 教师提示：混沌实验简单，模块化操作，但内容较多，需要课前认真预习。
5.2 非线性电路中的混沌现象 二十多年来混沌一直是举世瞩目的前沿课题和研究热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，有序与无序的统一，确定性与随机性的统一，大大拓宽了人们的视野，加深了对客观世界的认识。许多人认为混沌的发现是继上世纪相对论与量子力学以来的第三次物理学革命。目前混沌控制与同步的研究成果已被用来解决秘密通讯、改善和提高激光器性能以及控制人类心律不齐等问题。 混沌（chaos）作为一个科学概念，是指一个确定性系统中出现的类似随机的过程。理论和实验都证实，即使是最简单的非线性系统也能产生十分复杂的行为特性，可以概括一大类非线性系统的演化特性。混沌现象出现在非线性电路中是极为普遍的现象，本实验设计一种简单的非线性电路，通过改变电路中的参数可以观察到倍周期分岔、阵发混沌和奇导吸引子等现象。实验要求对非线性电路的电阻进行伏安特性的测量，以此研究混沌现象产生的原因，并通过对出现倍周期分岔时实验电路中参数的测定，实现对费根鲍姆常数的测量，认识倍周期分岔及该现象的普适常数 费根鲍姆（Feigenbaum）常数、奇异吸引子、阵发混沌等非线性系统的共同形态和特征。此外，通过电感的测量和混沌现象的观察，还可以巩固对串联谐振电路的认识和示波器的使用。 5.2.1 实验要求 1．实验重点 ①了解和认识混沌现象及其产生的机理；初步了解倍周期分岔、阵发混沌和奇异吸引子等现象。 ②掌握用串联谐振电路测量电感的方法。 ③了解非线性电阻的特性，并掌握一种测量非线性电阻伏安特性的方法。熟悉基本热学仪器的使用，认识热波、加强对波动理论的理解。 ④通过粗测费根鲍姆常数，加深对非线性系统步入混沌的通有特性的认识。了解用计算机实现实验系统控制和数据记录处理的特点。 2．预习要点 （1）用振幅法和相位法测电感 ①按已知的数据信息（L～20mh，r～10Ω，C0见现场测试盒提供的数据）估算电路的共振频率f。 ②串联电路的电感测量盒如图5.2-7所示。J1和J2是两个Q9插座，请考虑测共振频率时应如何连线？你期望会看到什么现象？ ③考虑如何用振幅法和相位法测量共振频率并由此算得电感量？当激励频率小于、等于和大于电路的共振频率时，电流和激励源信号之间的相位有什么关系？
数字电路研究型课题 课题：基于三极管的输入伏安特性曲线和输出伏安特性曲线，浅谈非线性电路理论和线性电路理论、数字电路和模拟电路 关键字：三极管数字电路模拟电路线性非线性 摘要：本文以三极管的特性为切入点，联系模拟电路与数字电路，浅谈了线性电路和非线性电路理论 正文： 一、三极管的组成结构： 三极管由三层半导体组成，有三个区、三个极、两个结结构图如图1 发射区发射极发射结 三个区集电区三个极集电极两个结 基区基区集电极 三极管在工作时一定要加上适当的直流偏置电压才能起放大作用。 图1 三极管结构 二、三极管的伏安特性曲线 输入特性曲线: I b=f(U be)?U ce=C B是输入电极，C是输出电极，E是公共电极。
I 是输入电流，U be是输入电压，加在B、E两电极之间。 b I 是输出电流，U ce是输出电压，从C、E两电极取出。 C 1. U ce=0V时，发射极与集电极短路，发射结与集电结均正偏，实际上是两个二极管并联的正向特性曲线。 2. 当U ce≥1V时，U cb= U ce- U be>0，集电结已进入反偏状态，开始收集载流子，且基区复合减少，I C / I B增大，特性曲线将向右稍微移动一些。但U ce再增加时，曲线右移很不明显。通常只画一条。 图2 输入特性曲线 输出特性曲线 I C=f(U ce)?I b=C 可以分为三个区域: 饱和区: (1) I C受U ce显著控制的区域，该区域U ce的数值较小，一般U ce＜0.7V(硅管)。发射结正偏，集电结正偏 (2) U ces=0.3V左右 截止区：——I b=0的曲线的下方的区域 I =0 I c=I ceo b NPN：U be￡0.5V,管子就处于截止态 通常该区：发射结反偏，集电结反偏。
非线性电路理论报告 蔡氏混沌电路分析 摘要 混沌是非线性系统中的常见现象。本文对产生混沌现象的最简单三阶自治电路-蔡氏电
路进行了研究，建立了数学模型，并根据建立的数学模型对其进行了仿真分析，仿真结果表明在一定的条件下该电路能够出现混沌双涡卷吸引子。 关键词：蔡氏电路；双涡卷混沌吸引子 1.引言 混沌是自然界客观存在的一种运动形式，混沌系统具有对初值特别敏感的特性。混沌信号具有随机信号的许多性质，然而混沌信号是确定性信号。由于混沌信号介于随机信号与一般确定性信号的特殊性而具有较高的应用价值，对混沌的研究已经从单纯的物理和数学上的理论研究走向了各种应用研究。目前，混沌成为控制、测量、保密通信、雷达及信号处理等诸多领域的研究热点。在电路与系统领域，由于蔡氏电路的提出，对混沌理论及其应用的研究也变得十分活跃。蔡氏混沌电路是一个物理结构及数学模型都相对简单的混沌系统，然而它也是一个典型的混沌电路，对蔡氏电路的研究有助于理解混沌的演化过程及其了解混沌相关特性。由于混沌动力学系统的复杂性，绝大多数混沌动力学系统难以用已知的函数表示其通解，所以通过数值计算对混沌行为的时空演化进行描述是研究混沌的一种重要方法。MATLAB软件是以矩阵计算为基础的数值计算、模型仿真的优秀数学工具。借助MATLAB 软件强大的数值计算及仿真能力，使得对许多复杂的混沌系统的研究变得相对容易和直观。 本文首先对蔡氏电路及MATLAB仿真工具进行了介绍，然后应用MATL AB软件对蔡氏混沌电路进行了仿真研究。 2. 蔡氏电路仿真 图1 蔡氏对偶电路图2 Rn的伏安特性曲线 蔡氏电路是一种物理结构和数学模型简单的混沌系统，该混沌系统也常被用来进行混沌理论及应用方面的研究。该电路使用三个储能元件和一个分段线性电阻，电路如图1所示。可以把电路分为线性部分和非线性部分。其中线性部分包括：电阻R0、两个电感L1和L2和电容C；非线性部分只有一个分段线性电阻Rn,其伏安特性如图2所示。流过L1的电流为i1，流过L2的电流为i2，C上的电压为Uc。对于图1，列出电路的状态方程如下
非线性电路理论的发展趋势微波有源电路的设计和研制一直是微波技术研究领域中的主要工作,人们已在设计和研制各种微波有源电路的过程中积累了丰富的经验,并提出了不少成功的方法二,一仁.但是,直到八十年代初,大部分研究工作和设计方法采用的都是线性电路理论.而实 际上,有源器件都存在非线性,传统的线性电路理论难以满足分析和设计现代微波有源 电路的要求.微波有源器件的非线性一方面要影响整个系统的性能,而另一方面,有些电路如变频器和振荡器等又必须利用器件的非线性才能实现.虽然基于线性假设的小信号线性分析方法可以近似处理部分弱非线性电路(如放大器等),但不能处理振荡器、变频器等强非线性电路,也不能分析放大器的交调特性.现代微波有源电路的设计应采用非 线性电路理论困.一般来说,分析和设计微波有源非线性电路要比分析和设计无源线性 电路复杂得多,必须借助计算机辅助技术才能实现.自八十年代初以来,微波有源电路的非线性理论及其机辅分析和设计技术的研究已逐渐成为微波技术研究领域中的热 门,IEEE微波年会、欧洲微波会议和亚太微波会议等每次都有专题介绍这方面的研究工作。 电路理论是重要的基础理论，是研究电路的基本规律及其计算方法的学科。非线性电路理论长期以来一直是电路理论的一个重要分支，因为一切实际电路严格说来都是非线性的。然而，由于非线性电路理论的研究较线性理论的研究困难得多，其原因在于: (1)非线性电路要涉及求解非线性代数方程和非线性微分方程; (2)非线性电路不遵循叠加原理，现有的分析线性电路的方法不能直接用于分析非线性电路; (3)非线性元器件的种类和用途繁多，很难找到一个普适性的模型和方法。因此，在很长的一段时间内非线性电路理论进展缓慢。 尽管如此，世界各国的电路学者对非线性电路的研究兴趣仍然是与日俱增的。这是因为非线性电路在理论与实践上都具有十分重要的意义。实际上，许多现代电工技术，就其基本概念来说，都是以非线性的理论作为基础的。例如在通信系统中，调制、检波、混频、振荡等环节都是依靠非线性器件而工作的，甚至连“线性放大”也是依靠非线性器件来实现的，为此，人们设计了许多非线性器件以实现上述种种目的。还有一类问题，其中的非线性虽然不是有意设计出来的，但它是一种客观存在。在这种情况下，许多非线性现象用传统的电路理论已经无法解释，忽视非线性的传统做法再也不能适应新技术迅速发展的形势。因此，非线性电路的基础理论急需发展，以驾驭这些不同于线性电路的客观规律，避其所害，用其所利。 近年来，随着新型器件的不断出现、微电子与集成电路技术的发展，以及电子计算机在电子系统设计领域中的应用，非线性电路理论越来越显示出它的重要性，并日益受到重视。非线性电路理论与分析已经是信号、电路与系统专业的一门重要课程。在过去的三十多年时间里，世界上有许多学者在非线性电路理论的研究工作中作了大量的开创性工作，取得了丰硕的成果。可以预见在今后相当长的时期内，这将仍是一个活跃的科研领域。 非线性电路的研究现状 非线性电路的研究几乎是与线性电路平行的，并已经提出了许多具体方法。如:幂级数法，描述函数法，谐波平衡法，Volterra级数分析法等。但总的来说，由于非线性电路本身所包含的现象十分复杂，这些方法都有其局限性，不能成为分析和设计非线性
1、电路与系统主要研究什么？ 电路与系统学科研究电路与系统的理论、分析、测试、设计和物理实现。它是信息与通信工程和电子科学与技术这两个学科之间的桥梁，又是信号与信息处理、通信、控制、计算机乃至电力、电子等诸方面研究和开发的理论与技术基础。因为电路与系统学科的有力支持，才使得利用现代电子科学技术和最新元器件实现复杂、高性能的各种信息和通信网络与系统成为现实。 信息与通讯产业的高速发展以及微电子器件集成规模的迅速增大，使得电子电路与系统走向数字化、集成化、多维化。电路与系统学科理论逐步由经典向现代过渡，同时和信息与通讯工程、计算机科学与技术、生物电子学等学科交叠，相互渗透，形成一系列的边缘、交叉学科，如新的微处理器设计、各种软、硬件数字信号处理系统设计、人工神经网络及其硬件实现等。 学科研究范围根据国内需要及本学科在国际发展趋势，具体研究方向可归纳为：电路与系统理论，语、声和图像处理技术，数字信号处理专用电路设计，网络与滤波器理论及技术，VLSI 电路与系统设计，信息与通讯系统和网络的设计，电路与系统CAD及设计自动化，功率电子学，非线性电路与系统，自动测试系统与故障论断，优化理论及人工神经网络应用，智能信息处理与识别。 培养目标：研究生应掌握数字、模拟、线性和非线性电路与系统的理论与技术，信号处理理论及技术，电路与系统的计算机辅助设计，现代信息与通信网络的理论与技术；在本研究方向有系统和深入的专门知识和实验技术；较熟练掌握一门外国语，具备独立从事科学研究工作能力，具备成为学术带头人或课题负责人的素质；能胜任在科研单位、生产部门或高等院校从事有关方面的研究、科技开发、教学和管理工作。 主要研究方向 现代电路理论及其应用 DSP与信号实时编码技术 嵌入式系统 非线性电路与系统 生物医学图像处理 智能数字信号处理技术 信息网络与编码技术 2、电路与系统院校推荐 一流的：清华北邮北航东南上交大哈工西电成电以及中科院的电子所 二流的：一些知名的重点大学，比如西安交大，华科。大连理工，中山，厦门大学，吉林大学，以及中科院非北京的研究所，还有电子科技集团下属的研究所 三流的：具有电路与系统硕士点没有博士点的一般院校 3、电路与系统专业排名（全国前18位）
非线性混沌电路实验 引言： 长期以来，物理学用两类体系描述物质世界：以经典力学为核心的完全确定论描述一幅完全确定的物质及其运动图象，过去、现在和未来都按照确定的方式稳定而有序地运行；统计物理和量子力学的创立，提示了大量微观粒子运动的随机性，它们遵循统计规律，因为大多数的复杂系统是随机和无序的，只能用概率论方法得到某些统计结果．确定论和随机性是相互独立的两套体系，分别在各自领域里成功地描述过世界．混沌的英文意思是混乱的，无序的．由于长久以来世界各地的物理学家都在探求自然的秩序，而面对无秩序的现象如大气、骚动的海洋、野生动物数目的突然增减及心脏跳动和脑部的变化，却都显得相当无知．这些大自然中不规则的部份，既不连续且无规律，在科学上一直是个谜．但是在七十年代，美国和欧洲有少数的科学家开始穿越混乱来开辟一条出路．包括数学家、物理学家、生物学家及化学家等等，所有的人都在找寻各种不规则间的共相．混沌的研究表明，一个完全确定的系统，即使非常简单，由于自身的非线性作用、同样具有内在的随机性．绝大多数非线性动力学系统，既有周期运动，又有混沌运动，而混沌既不是具有周期性和对称性的有序，又不是绝对的无序，而是可用奇怪吸引子来描述的复杂的有序，混沌是非周期的有序性．本实验将借助非线性电阻，从实验上对这一现象进行一番探索．混沌（Chaos）研究是20 世纪物理学的重大事件．混沌研究最先起源于Lorenz研究天气预报时用到的三个动力学方程．后来的研究表明，无论是复杂系统，如气象系统、太阳系，还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆因存在着内在随机性而出现类似无轨，但实际是非周期有序运动，即混沌现象．现在混沌研究涉及的领域包括数学、物理学、生物学、化学、天文学、经济学及工程技术的众多学科，并对这些学科的发展产生了深远影响．混沌包含的物理内容非常广泛，研究这些内容更需要比较深入的数学理论，如微分动力学理论、拓扑学、分形几何学等等．目前混沌的研究重点已转向多维动力学系统中的混沌、量子及时空混沌、混沌的同步及控制等方面。 实验仪器： THQH-1型混沌电路实验仪，双踪示波器，6V钾电池，电阻 实验目的： 1．实验研究Chua’s电路，分析其电路特性和产生周期与非周期振荡的条件； 2．分析RLC电路中混沌现象的基本特性和混沌产生的方法； 3．对所观察到的奇怪吸引子的各种图像进行探讨和说明； 4．测量有源非线性电路的负阻特性。 实验原理： Chua’s电率原理图如图1所示，电路中电感L和电容C1并联构成一个振荡电路。非线性元件电阻R,其特性为分段线性，且呈现负阻特性，其伏安特性如图2所示。耦合电阻R0呈现正电阻特性，它将振荡电路和非线性电阻R和电容C2组成的电路耦合起来并且消耗能量，以防由于非线性电路的负阻效应使电路中的电压电流不断增大。
电路与系统专业考研院校排名 某些专业的全国排名 电路与系统专业考研院校排名电路与系统学科研究电路与系统的理论、分析、测试、设计和物理实现。它是信息与通信工程和电子科学与技术这两个学科之间的桥梁，又是信号与信息处理、通信、控制、计算机乃至电力、电子等诸方面研究和开发的理论与技术基础。因为电路与系统学科的有力支持，才使得利用现代电子科学技术和最新元器件实现复杂、高性能的各种信息和通信网络与系统成为现实。信息与通讯产业的高速发展以及微电子器件集成规模的迅速增大，使得电子电路与系统走向数字化、集成化、多维化。电路与系统学科理论逐步由经典向现代过渡，同时和信息与通讯工程、计算机科学与技术、生物电子学等学科交叠，相互渗透，形成一系列的边缘、交叉学科，如新的微处理器设计、各种软、硬件数字信号处理系统设计、人工神经网络及其硬件实现等。学科研究范围根据国内需要及本学科在国际发展趋势，具体研究方向可归纳为：电路与系统理论，语、声和图像处理技术，数字信号处理专用电路设计，网络与滤波器理论及技术，VLSI 电路与系统设计，信息与通讯系统和网络的设计，电路与系统CAD 及设计自动化，功率电子学，非线性电路与系统，自动测试系统与故障论断，优化理论及人工神经网络应用，智能信息处理与识别。电路与系统排名学校名称等级排名学校名称等级排名学校名称等级1 西安电子科技大学A+ 7 清华大学A 13 杭州电子科技大学A 2 电子科技大学A+ 8 上海交通大学A 14 华南理工大学A 3 复旦大学A+ 9 西北工业大学A 15 安徽大学 A 4 北京邮电大学A+ 10 浙江大学A 16 北京工业大学A 5 东南大学A 11 西安交通大 学A 17 太原理工大学A 6 中国科学技术大学A 12 南京大学A 18 重庆大学A B+等(27 个)：吉林大学、湖南大学、燕山大学、华中科技大学、厦门大学、上海大学、华南师范大学、同济大学、北京航空航天大学、天津大学、大连理工大学、北京大学、重庆邮电大学、北方工业大学、北京理工大学、武汉理工大学、山东科技大学、宁波大学、南京理工大学、南京邮电大学、华中师范大学、桂林电子科技大学、山东大学、宁夏大学、北京交通大学、兰州大学、广东工业大学B 等(27 个)：东北大学、四川大学、大连海事大学、武汉大学、西安科技大学、东华理工大学、中山大学、南京航空航天大学、安徽理工大学、深圳大学、广西师范大学、兰州交通大学、湖南师范大学、西北师范大学、西安理工大学、东北师范大学、西北大学、郑州大学、中南大学、合肥工业大学、华北电力大学、河北科技大学、长沙理工大学、西南科技大学、贵州大学、河海大学、中国矿业大学C 等(19 个)：名单略