均值不等式的使用
一、公式的意义和使用条件:
1、 a 2+b 2≥2ab ,a ∈R ,b ∈R ,当a=b 时取“=”。 逆运用公式:ab ≤
a 2+
b 22
,a ∈R ,b ∈R ,当a=b 时取“=”。
例:求y=sin x cos x的最大值。[1
2] (使用三角函数和均值不等式两种解法) 结论:积为常数时,平方和有最小值;平方和为常数时,积有最大值。
2、 a+b ≥2√ab , a ∈R +,b ∈R +, 当a=b 时取“=”。[带同学们分析两个公式的使用差别] 逆运用公式:ab ≤(
a +
b 2
)2
, a ∈R +,b ∈R +, 当a=b 时取“=”。
例:求y=x(5-x)的最大值。[254
]
例:设a ,b ,c 都是正数,求证:bc a +ac b +ab
c ≥a +b +c.
证明 ∵a ,b ,c 都是正数,∴bc a ,ca b ,ab
c 都是正数.
∴
bc a +ca b ≥2c ,当且仅当a =b 时等号成立,ca b +ab
c
≥2a ,当且仅当b =c 时等号成立, ab c +bc a ≥2b ,当且仅当a =c 时等号成立.三式相加,得2(bc a +ca b +ab
c )≥2(a +b +c), 即
bc a +ca b +ab
c ≥a +b +c.当且仅当a =b =c 时等号成立. 3、
a 2+
b 22≥(
a +
b 2
)2
a ∈R ,
b ∈R ,当a =b 时取“=”[可通过求差比较法得到], 化简后:a 2
+b 2
≥
(a +b )2
2
逆运用公式:a+b ≤2√a 2+b 2 注:直接建立和与平方和的运算关系 例:已知√x +√y =1,求x +y 的最小值。
解法一:(√x +√y)2
=x +y +2√xy ? x +y =1-2√xy 所以求x +y 的最小值,只需当√xy取最大时即可。
√x +√y ≥2√√xy 2√√xy ≤1?√xy ≤14,此时x +y 的最小值为12,当x=y=1
4取=。 解法二:x +y ≥
(√x +√y)
2
2
=12, 当x=y=1
4取=。
例:已知:a >0,b >0,b +b =1,求证:√a +1
2+√b +1
2≤2 解法一:(√a +1
2+√b +1
2)2
=a+b+1+2√(a +1
2)(b +1
2)=2+2√ab +3
4
求√a +12+√b +1
2的最大值,则需满足ab 最大即可.
a+b ≥2√ab ,?ab ≤14?(√a +12+√b +12)2
≤4?√a +12+√b +1
2≤2 解法二:直接利用公式。
注意:①公式中的字母可以是一个字母、数字或者式子;
②公式中的字母取值围 ③取“=”条件是否满足
例:[意义考察]下列函数中,最小值为2的是:( D )
A 、y=x + 1
x B y=log x + 1
log x (1 C y=sin x + 2sin x (0 2 ) D y=3x +3?x 例:如果0 12a +b 2,Q =12(log 12a +log 12b ),M =12log 1 2 (a +b ),那么P ,Q ,M 的大小顺序是 ( B ) A .P >Q >M B .Q >P >M C .Q >M >P D .M >Q >P 解析 因为P =log 12a +b 2,Q =12(log 12a +log 12b ),M =12log 1 2(a +b ), 所以只需比较a +b 2,ab ,a +b 的大小,显然a +b 2>ab .又因为a +b 2a +b 2 4 ,也就 是a +b 4<1),所以a +b >a +b 2 >ab ,而对数函数当底数大于0且小于1时为减函数,故Q >P >M . 注意:①若公式中的字母是负数,处理方式是提负号;若公式中的字母是可正可负,处理方式是分正负讨论。 例:y=x-2 +4 x ?2 , x <2,求y 的取值围。 例:y=tan x + 12tan x , 求y 的取值围。 ②当取=条件无法满足,或者求取值围时,可借助对勾函数的单调性。 补充:对勾函数y=x+a x 的单调性,并指明优点是即可以求最大值也能求最小值,而均值不等式的局限性在于只能求某一最值 例:y=sin x + 2sin x (0 2 ) ,求y 的取值围。 例:y=3x+12x ,其中4≤x ≤9,求值域。 例:y=sin x + 1 2sin x , 求值域。 二、公式使用中的配常数问题 [分式配凑]例:已知x <5 4 ,求函数y =4x ?2+1 4x ?5的 最大值。(答案为1) 例:求函数y=x 2 x ?1 的值域。 例:x >3,求y= 2x 2+x x ?3 值域。 例:设x,y,z 均为正实数,满足x-2y+3z=0,则y 2 xz 最小值为(3) 解:y= x +3z 2 代入,原式=14 ( XZ + 9z x +6)≥3(体现消元思路) [根式配凑]例:求函数y=2的最小值。 解:y= 2= 2=√x 2+2+ ≥4 当√x 2+2= √即x=±√2时,取等号。 [条件性配凑] 例:若x >0且x 2+ y 22 =1,则x √1+y 2的最大值为( ) 解:原式=√2 2 √2x √1+y 2≤ √22 2x 2+1+y 22=3√24 ,当√√1+y 2即x=√32 , y 2=1 2 取=。 例:x >0,y >0, x+2y=2,求3xy 的最大值() 解:3xy =3 2x 2y ≤32( x +2y 2 )2=3 2 ,当x=2y=1时取等号。 注:多次使用增值不等式的条件:同向且取=条件能同时满足。 例:已知a 2+b 2=1,x 2+y 2=4,求ax+by 的最大值 错解:ax ≤ a 2x 22 ,by ≤ b 2++y 2 2?ax+by ≤ a 2+ b 2+x 2+y 22 =5 2,取=条件无法满足。 正解;ax=12(2a ?x ) ≤4a 2x 22 ,by=1 2(2b ?y ) ≤ b 2++y 2 2 ?ax+by ≤ 4a 2+4b 2+x 2+y 2 2 =4 当x=2a且y=2b时取等号。 三、 数字代换及等式代换 例:已知a >0,b >0,且1 a +1 b =1,求a+b 的最小值。(4) 分析:两种思路解一下。 例:已知a >0,b >0,c >0,a+2b+3c=6求证:a +6a + b +3b + c +2c ≥12 证明: a +6a + b +3b + c +2c =3+6a +3b +2 c 6 a +3 b +2 c =1 6(a +2b +3c )(6 a +3 b +2 c )=1 6(18+3a b +12b a + 18c a + 2a c + 9c b +4b c )≥9 当a=2,b=1,c=2 3时,取等号。 例:已知:x >0,b >0,且x+y=1,求3x +4 y 的最小值。 解:3x +4y =(3x +4y )(x+y )=7+3y x + 4x y ≥7+4√3 当3y x =4x y ,联立x+y=1?x=2√?3,y =4?2√等号成立。 例:已知a >0,b >0,a +b =2,则y =1a +4 b 的最小值是(c). A.72 B .4 C.9 2 D .5 例:(2012·)若正数x ,y 满足x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值是 (c ) A.245 B.28 5 C .5 D .6 解析 ∵x >0,y >0,由x +3y =5xy 得15? ?? ?? 1y +3x =1. ∴3x +4y =15(3x +4y )? ????1y +3x =15? ????3x y +4+9+12y x =135+15? ????3x y +12y x ≥135+15×23x y ·12y x =5(当且仅当x =2y 时取等号),∴3x +4y 的最小值为5. 例:函数y =log a (x +3)-1 (a >0,且a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx +ny +1=0上,其中m , n 均大于0,则1m +2 n 的最小值为 ( C ) A .2 B .4 C .8 D .16 解析 点A (-2,-1),所以2m +n =1. 所以1m +2n =(2m +n )? ?? ??1m +2n =4+n m +4m n ≥8,当且仅当n =2m ,即m =14,n =12时等号成 例:已知m 、n 、s 、t ∈R + ,m +n =2,m s +n t =9,其中m 、n 是常数,且s +t 的最小值是49 ,满足条件的点 (m ,n )是圆(x -2)2+(y -2)2 =4中一弦的中点,则此弦所在的直线方程为__________.答案 x +y -2=0 解析 因(s +t )? ?? ??m s +n t =m +n +tm s +sn t ≥m +n +2mn ,所以m +n +2mn =4, 从而mn =1,得m =n =1,即点(1,1),而已知圆的圆心为(2,2),所求弦的斜率为-1, 从而此弦的方程为x +y -2=0. 例:已知不等式(x +y )? ?? ??1x +a y ≥9对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( 4 ) 类型二变等式为不等式 例:若正数x、y满足x+y+3=xy,求xy的最小值。(9) 解:x+y≥2√xy; ∴3+2√xy≤xy,略 例:已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是( 4 ) 例:若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是18 例:设x、y均为正数,且1 2+x +1 2+y =1 3 ,求xy的最小值。 解:1 2+x +1 2+y =1 3 , 同乘以(2+x)(2+y) ? xy=x+y+8,同理xy的最小值为16。 1.设a >0,b >0,若3是3a 与3b 的等比中项,则1a +1b 的最小值为( ) A .8 B .4 C .1 D.14 2.(2011·月考)已知不等式(x +y )? ?? ??1x +a y ≥9对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( ) A .2 B .4 C .6 D .8 3.已知a >0,b >0,则1a +1 b +2ab 的最小值是( ) A .2 B .2 2 C .4 D .5 4.一批货物随17列货车从A 市以a km/h 的速度匀速直达B 市,已知两地铁路线长400 km ,为了安全,两列车之间的距离不得小于? ?? ??a 202 km ,那么这批货物全部运到B 市,最快需要( ) A .6 h B .8 h C .10 h D .12 h 5.(2011·月考)设x ,y 满足约束条件???? ? 3x -y -6≤0x -y +2≥0 x ≥0,y ≥0,若目标函数z =ax +by (a >0,b >0)的最大值为 12,则2a +3 b 的最小值为( ) A. 256 B.83 C.11 3 D .4 二、填空题(每小题4分,共12分) 6.(2010·)若正实数x ,y 满足2x +y +6=xy ,则xy 的最小值是________. 7.(2011·)在平面直角坐标系xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数f (x )=2 x 的图象交于P ,Q 两点,则线 段PQ 长的最小值是________. 8.已知f (x )=32x -(k +1)3x +2,当x ∈R 时,f (x )恒为正值,则k 的取值围为__________________.