将军饮马模型(终稿)
将军饮马模型
一、背景知识：
【传说】
早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．
【问题原型】将军饮马造桥选址费马点
【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；
三角形两边三边关系；轴对称；平移；
【解题思路】找对称点，实现折转直
二、将军饮马问题常见模型
1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小
例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.
作法：连接AB，与直线l的交点Q，
Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，
PA+PB最小，且最小值等于AB.
原理：两点之间线段最短。
证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，
在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取﹦)
例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小.
关键：找对称点
作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC.
原理：两点之间，线段最短
证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，
在⊿PAC中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ重合时取﹦)
2.两动一定型
例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．
作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM 交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．
原理：两点之间，线段最短
例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．
作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’ B’，与OM 交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．
原理：两点之间，线段最短
3.两定两动型最值
例5：已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d （动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.
提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移
作法一：将点A向右平移长度d得到点A’，作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移长度d，得到点M。
作法二：作点A关于直线l的对称点A1，将点A1向右平移长度d得到点A2，连接A2 B，交直线l于点Q，将点Q向左平移长度d，得到点Q。
原理：两点之间，线段最短，最小值为A’’B+MN
例6：（造桥选址）将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为30米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？
例6：直线l1∥l2，在直线l1上找一个点C，直线l2上找一个点D，使得CD⊥l2,且AC＋BD＋CD最短．
作法：将点A沿CD方向向下平移CD长度d至点A’，连接A’B，交l2于点D，过点D作DC⊥l2于点C，连接AC．则桥CD即为所求．此时最小值为A’B+CD
原理：两点之间，线段最短，
4.垂线段最短型
例7：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC 最短．
原理：垂线段最短
点A是定点，OM，ON是定线，
点B、点C是OM、ON上要找的点，是动点．
作法：作点A关于OM的对称点A’，过点A’作A’C⊥ON，
交OM于点B，B、C即为所求。
初中数学解题模型专题讲解 专题10 “将军饮马”模型详解与拓展 平面几何中涉及最值问题的相关定理或公理有：① 线段公理：两点之间，线段最短. 并由此得到三角形三边关系； ② 垂线段的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短. 在一些“线段和最值”的问题中，通过翻折运动，把一些线段进行转化即可应用 ①、② 的基本图形，并求得最值，这类问题一般被称之为“将军饮马”问题。 问题提出： 唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交 河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题． 如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A 点出发，走到河边饮马后再到B 点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 模型提炼： 模型模型【【1】一定直线、异侧两定点 直线l 和l 的异侧两点A、B，在直线l 上求作一点P，使PA+PB 最小
解答：根据“两点之间，线段距离最短”，所以联结AB 交直线l 于点P，点P 即为所求点 模型模型【【2】一定直线、同侧两定点 直线l 和l 的同侧两点A、B，在直线l 上求作一点P，使PA+PB 最小 解答： 第一步：画点A 关于直线l 的对称点A'（根据“翻折运 动”的相关性质，点A、A'到对称轴上任意点距离相等， 如图所示，AP=A'P，即把一定直线同侧两定点问题转化为 一定直线异侧两定点问题） 第二步：联结A'B 交直线l 于点Q，根据“两点之间，线段距离最短”，此时“A'Q+QB”最短即“AQ+QB”最短 模型模型【【3】一定直线、一定点一动点 已知直线l 和定点A，在直线k 上找一点B （点A、B 在直线l 同侧）， 在直线l 上找点P，使得AP+PB 最小 解答： 第一步：画点A 关于直线l 的对称点A' 第二步：过点A'做A'B⊥k 于点B 且交直线l 于点P，根据“从直线 外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短”，可知A'P+PB 最小即AP+PB 最小
将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小 4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的 周长最小。 5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小 6. .如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小
D B C A A N 二、常见题目 Part1、三角形 1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE = 2，求EM+EC 的最小值 2．如图，在锐角△ABC 中，AB = 42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____． 3．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的值最小，则这个最小值
M B D A D A Part2、正方形 1．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为_________。 即在直线AC 上求一点N ，使DN+MN 最小 2．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23 B ．2 6 C ．3 D ． 6 3．在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）. 4．如图，四边形ABCD 是正方形， AB = 10cm ，E 为边BC 的中点，P 为BD 上的一个动点，求PC+PE 的最小值；
将军饮马模型(终稿)
将军饮马模型 一、背景知识： 【传说】 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今． 【问题原型】将军饮马造桥选址费马点 【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短； 三角形两边三边关系；轴对称；平移； 【解题思路】找对称点，实现折转直 二、将军饮马问题常见模型 1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小 例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小. 作法：连接AB，与直线l的交点Q， Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处， PA+PB最小，且最小值等于AB. 原理：两点之间线段最短。 证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点， 在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取﹦)
例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小. 关键：找对称点 作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC. 原理：两点之间，线段最短 证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点， 在⊿PAC中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ重合时取﹦) 2.两动一定型 例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短． 作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM 交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求． 原理：两点之间，线段最短
将军饮马模型 一、背景知识： 【传说】 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今． 【问题原型】将军饮马造桥选址费马点 【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短； 三角形两边三边关系；轴对称；平移； 【解题思路】找对称点，实现折转直 二、将军饮马问题常见模型 1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小 例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB 最小. 作法：连接AB，与直线l的交点Q， Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处， PA+PB最小，且最小值等于AB. 原理：两点之间线段最短。 证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点， 在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取﹦)
例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小. 关键：找对称点 作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC. 原理：两点之间，线段最短 证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点， 在⊿PAC中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ重合时取﹦) 2.两动一定型 例3：在∠MON的部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短． 作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM 交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．
将军饮马模型 将军饮马模型 一、背景知识： 【传说】 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营 A 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营 B 开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“ 将军饮马”的问题便流传至今． 【问题原型】将军饮马造桥选址费马点 【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短； 三角形两边三边关系；轴对称；平移； 【解题思路】找对称点，实现折转直 二、将军饮马问题常见模型 1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小 例1：在定直线l上找一个动点 P，使动点 P 到两个定点 A 与 B 的距离之和最小，即 PA+PB 最小 . 作法：连接 AB ，与直线l 的交点Q， Q 即为所要寻找的点，即当动点P 跑到了点 Q 处， PA+PB 最小，且最小值等于AB. 原理：两点之间线段最短。 证明：连接 AB ，与直线l 的交点Q，P为直线 l 上任意一点， 在⊿ PAB 中，由三角形三边关系可知：AP+PB ≧ AB( 当且仅当 PQ 重合时取﹦ )
例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB 的和最小 . 关键：找对称点 作法：作定点 B 关于定直线l的对称点 C，连接 AC ，与直线 l 的交点 Q 即为所要寻找的点，即 当动点 P 跑到了点 Q 处， PA+PB 和最小，且最小值等于 AC. 原理：两点之间，线段最短 证明：连接 AC ，与直线l 的交点Q，P为直线 l 上任意一点， 在⊿ PAC 中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧ AC( 当且仅当 PQ 重合时取﹦ ) 2.两动一定型 例3：在∠ MON 的内部有一点 A ，在 OM 上找一点 B ，在 ON 上找一点 C，使得△ BAC 周长最短． 作法：作点 A 关于 OM 的对称点 A’，作点 A 关于 ON 的对称点 A’’，连接 A’ A ’’，与 OM 交于点 B，与 ON 交于点 C，连接 AB ， AC ，△ ABC 即为所求． 原理：两点之间，线段最短
将军饮马问题 问题概述 路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题 方法原理 1.两点之间，线段最短； 2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等； 4.垂线段最短. 基本模型 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P′，连接AP′、BP′， 在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA′，要使PA+PB最小，则 需PA′+PB值最小，从而转化为模型1.
3. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两 点到l的距离不相等） 要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大 解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求； 理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P′， 连接AP′、BP′，由三角形的三边关系知︱P′A-P′B︱ 第 1 页 共 10 页 将军饮马的六种常见模型 将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1.如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。 2.如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。 3.如图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使△P AB 的周长最小 4.如图，点P ，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使四边形P AQB 的 周长最小。 5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小 6. .如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小 二、常见题目 Part1、三角形 1．如图，在等边△ABC中，AB= 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，AE=2，求EM+EC 的最小值 解：∵点C关于直线AD的对称点是点B， ∴连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小， 过点B作BH⊥AC于点H， 则EH = AH–AE = 3–2 = 1， BH = 22 BC CH -=22 63 -=33 在直角△BHE中，BE = 22 BH EH - =22 (33)1 +=27 2．如图，在锐角△ABC中，AB =42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____． 解：作点B关于AD的对称点B'，过点B'作B'E⊥AB于点E，交AD于点F，则线段B'E长就是BM ＋ＭＮ的最小值在等腰Rt△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 4 第 2 页共10 页 一、背景知识：【传说】．一天，一海伦早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．应该怎样走开会，出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B将军每天从军营A这个从此以后，才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．”的问题便流传至今．被称为“将军饮马造桥选址费马点【问题原型】将军饮马【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；轴对称；平移；三角形两边三边关系； 【解题思路】找对称点，实现折转直二、将军饮马问题常见模型两定点到一动点的距离和最小1.两定一动型：l，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB例1：在定直线上找一个动点P最小. l的交点Q，AB，与直线作法：连接Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处， PA+PB最小，且最小值等于AB. 原理：两点之间线段最短。 ll为P证明：上任意一点，直线连接AB，与直线的交点Q，在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取﹦) l：2例A与的距离之和最小，B在定直线P上找一个动点P，使动点到两个定点 .即PA+PB的和最小 关键：找对称点l即为所要寻找的点，的交点Q，连接AC作法：作定点B关于定直线，与直线的对称点Cl和最小，且最小值等于AC.Q处，PA+PB即当动点P跑到了点原理：两点之间，线段最短ll为：P证明，与直线直线的交点Q，上任意一点，连接AC)PQ重合时取﹦中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当在⊿PAC 2.两动一定型 例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短． 将军饮马的六种常见模型 将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。 2.如图，直线l和l同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。 3.如图，点P是∠MON内一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△P AB的周长最小 4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形P AQB的周长最小。 5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小 6. .如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小 二、常见题目 Part 1、三角形 1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，AE =2，求EM +EC 的最小值 解： ∵点C 关于直线AD 的对称点是点B ， ∴连接BE ，交AD 于点M ，则ME +MD 最小， 过点B 作BH ⊥AC 于点H ， 则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1， BH =22BC CH -=2263-=33 在直角△BHE 中，BE =22BH EH - =22(33)1+=27 2．如图，在锐角△ABC 中，AB =42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点， 则BM +MN 的最小值是____． 解：作点B 关于AD 的对称点B '，过点B '作B 'E ⊥AB 于点E ，交AD 于点F ，则线段B 'E 长就是BM ＋ＭＮ的最小值在等腰Rt △AEB '中，根据勾股定理得到，B 'E = 4 “将军饮马”模型详解与拓展 平面几何中涉及最值问题的相关定理或公理有：① 线段公理：两点之间，线段最短. 并由此得到三角形三边关系；② 垂线段的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短. 在一些“线段和最值”的问题中，通过翻折运动，把一些线段进行转化即可应用①、② 的基本图形，并求得最值，这类问题一般被称之为“将军饮马”问题。 问题提出： 唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题． 如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿 营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 模型提炼： 模型【1】一定直线、异侧两定点 直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小 解答：根据“两点之间，线段距离最短”，所以联结AB交直 线l于点P，点P即为所求点 模型【2】一定直线、同侧两定点 直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小 解答： 第一步：画点A关于直线l的对称点A'（根据“翻折运动”的 相关性质，点A、A'到对称轴上任意点距离相等，如图所示， AP=A'P，即把一定直线同侧两定点问题转化为一定直线异侧两 定点问题） 第二步：联结A'B交直线l于点Q，根据“两点之间，线段距离 最短”，此时“A'Q+QB”最短即“AQ+QB”最短 模型【3】一定直线、一定点一动点 已知直线l和定点A，在直线k上找一点B（点A、B在直线l同侧），在直线l上找点P， 使得AP+PB最小 解答： 第一步：画点A关于直线l的对称点A' 第二步：过点A'做A'B⊥k于点B且交直线l于点P，根据“从直线 外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短”，可知A'P+PB 最小即AP+PB最小 模型【4】一定点、两定直线 点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B，使△PAB的周长最小 解答： 策略：两次翻折 第一步：分别画点P关于直线OM、ON的对称点P1、P2 第二步：联结P1P2，交OM、ON于点A、点B （根据“翻折运动”的相关性质，AP=AP1，BP=BP2；根据“两点之间， 线段距离最短”可知此时AP1+BP2+AB最短即△ABP周长最短） 拓展 如果两定点、两定直线呢？ “如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点 A，B。使四边形PAQB的周长最小” 问题升级： 问题：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，试求作△DEF的最小值 最值系列之——将军饮马 一、什么是将军饮马？ 【问题引入】 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 【问题描述】 如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？ A B 将军 军营 河 【问题简化】 如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？ 【问题分析】 这个问题的难点在于P A+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【问题解决】 作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB 当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 【思路概述】 作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段． 二、将军饮马模型系列 【一定两动之点点】 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． B B 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小． 【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________． P O B A M N 【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M． 中考数学：'将军饮马'所有模型及变式——终极篇 以微课堂 初中精品微课，数学奥林匹克国家一级教练执教。 一、模型展现 (1)直线型 模型1：在直线l上求作点P，使PA＋PB最小． 原理：两点之间，线段最短．PA＋PB最小值即为AB长． 模型2：在直线l上求作点P，使PA＋PB最小． 原理：和最小，同侧转异侧．两点之间，线段最短． 模型3：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最大． 原理：两边之差小于第三边，|PA－PB|最大值即为AB长． 模型4：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最大． 原理：差最大，异侧转同侧．两边之差小于第三边． 变式：在直线l上求作点P，使l平分∠APB，与此作法相同． 模型5：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最小． 原理：|PA－PB|最小为0，中垂线上的点到线段两端的距离相等． (2)角型 模型6：在OA，OB上求作点M，N，使△PMN周长最小． 原理：作两次对称，两点之间，线段最短． 模型7：在OA，OB上求作点M，N，使四边形PQMN周长最小． 原理：P，Q分别作对称，两点之间，线段最短． 模型8：在OA，OB上求作点M，N， (1)使PM＋MN最小． (2)使PN＋MN最小． 原理：先连哪个点，就先做关于那个点所在射线的对称点．垂线段最短． 模型9：P，Q为OA，OB的定点，在OA，OB上求作点M，N，使PN＋NM ＋MQ最小． 原理：两点之间，线段最短，PN＋NM＋MQ最小值即为P’Q’的长． (3)平移型 模型10：在直线l上求作点M，N，使MN＝a，且AM＋MN＋NB最小． 原理：将l上的MN转化到B’B．(问题情境：将军从军营A出发，去河边l饮马，饮马完在河边牵马散步a米，回军营B．可以转化为饮完马，直接去军营B，在到达之前散步．) 模型11(造桥选址)： 直线l1∥l2，在l1上求作点M，在l2上求作点N，使MN⊥l1，且AM＋MN ＋NB最小． 原理： 将MN转化为AA’．(可以理解为在A处先走过桥的路，再直达点B．) 二、典型例题 【最新整理，下载后即可编辑】 将军饮马模型 一、背景知识： 【传说】 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今． 【问题原型】将军饮马造桥选址费马点 【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短； 三角形两边三边关系；轴对称；平移； 【解题思路】找对称点，实现折转直 二、将军饮马问题常见模型 1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小 例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B 的距离之和最小，即PA+PB最小. 作法：连接AB，与直线l的交点Q， Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处， PA+PB最小，且最小值等于AB. 原理：两点之间线段最短。 证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点， 在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ 重合时取﹦) 例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B 的距离之和最小， 即PA+PB的和最小. 关键：找对称点 作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l 的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB 和最小，且最小值等于AC. 原理：两点之间，线段最短 证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在⊿PA C中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ 重合时取﹦) 2.两动一定型 平移型“将军饮马”问题解法大全 如下图，大家都熟悉求两条线段和最短的“将军饮马”模型，就是通过对称把同侧两定点转化为异侧两定点，再利用两点之间线段最短，找到我们要得的动点，进而求出最短距离。 在直线l上找一动点P,使得PA+PB之和最短，就是我们熟知的“将军饮马”模型，即（“两定一动型”----两个定点+一个动点）。 如果本题拓展为在直线l上找两个动点P、Q（PQ两动点间距离为定值），使得AP+PQ+BQ的距离之和最短，又该如何处理呢（“两动一定型”） 法一：先对称后平移 作定点A关于动点所在直线（河）的对称点A',将点A'沿直线平移PQ的长度得A”,连接A”B,则交直线（河）于点Q,将点Q沿直.最短AP+PQ+BQ即此时P,个长度得点PQ线反向平移 思路：作对称（同侧变异侧）---对称点平移定长线段（“一定两动”化“两定一动”）---连接两定点---动点反向平移定长线段---连接所得点. 法二：先平移后对称 将点A沿直线平移PQ的长度得A',作定点A'关于动点所在直线（河）的对称点A”,连接A”B,则交直线（河）于点Q,将点Q沿直线反向平移PQ个长度得点P,即此时AP+PQ+BQ最短. 思路：定点平移定长线段（“一定两动”化“两定一动”）----作对称（同侧变异侧）----连接两定点---动点反向平移定长线段---连接所得点. 作图模型：对称+平移+连接+反向平移+连接 简析：典型的“平移型将军饮马问题”（要将“一定两动”转变为“两定一动”问题即转化为“饮马问题”）.具体思路均是构造定点关于动点所在直线（河）的对称点. 反思：“平移型将军饮马”问题，需通过平移定线段转化为“将军饮马”问题来解决.具体思路可“先对称后平移”，也可“先平移后对称”.通过平移将一定点变为两定点，再将同侧定点通过对称转变为异侧定点，连接原定点和对称点即可得最短距离. (思路：定点沿河平移定长，作出对称点，连接异侧两定点) 1.两定一动型: 两定点到一动点的例1:在定直线 I 上找一个动点P,使动点P 到两个定点A 与B 的距离之和最小，即 PA+PB 最小. 作法：连 接AB 与直线I 的交点Q, Q 即为所要寻找的点，即当动点 P 跑到了点Q 处, PA+PB 最小，且最小值等于 AB. 将军饮马模型 一、背景知识： 【传说】 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者， 名叫海伦?一天，一 位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题. 将军每天从军营 A 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营 B 开会，应该怎样走 才能使路程最短？这个问题的答案并不难， 据说海伦略加思索就解决了它. 从此以后，这个 被称为“将军饮马”的问题便流传至今. 【问题原型】将军饮马 造桥选址 费马点 【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短； 三角形两边三边关系； 轴对称；平移; 【解题思路】找对称点，实现折转直 、将军饮马问题常见模型 原理：两点之间线段最短。 证明：连接AB,与直线I 的交点Q P 为直线I 上任意一点， 在"PAB 中，由三角形三边关系可知： AP+P 匡AB （当且仅当PQ 重合时取=） 例2：在定直线l上找一个动点P,使动点P 到两个定点A与B的距离之和最小, A f C,连接AC,与直线I的交点Q即为所要寻找的点, 即PA+PB的和最小. 关键：找对称点 作法：作定点B关于定直线I的对称点即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于 AC. 原理：两点之间，线段最短 证明：连接AC,与直线I的交点Q P为直线I上任意一点， 在"PAC中，由三角形三边关系可知：AP+P& AC（当且仅当PQ重合时取=） 2.两动一定型 将军饮马问题 路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题 1.两点之间，线段最短； 2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等； 4.垂线段最短. 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P′，连接AP′、BP′， 在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA′，要使PA+PB最小，则 需PA′+PB值最小，从而转化为模型1. 3. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两 点到l的距离不相等） 要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大 解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求； 理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P′， 连接AP′、BP′，由三角形的三边关系知︱P′A-P′B︱ 将军饮马模型 Revised as of 23 November 2020 将军饮马问题 将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军饮马问题，然后利用轴对称解题。 1.将军饮马故事 “将军饮马”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题”原题：如图，一位将军，从A地出发，骑马到河边给马饮水，然后再到B地，问怎样选择饮水的地点，才能使所走的路程最短 A B 模型一：一条定直线，同侧两定点 在直线l的同侧有两点A,B,在L上求一点P，使得PA+PB值最小。 一般做法：作点 A（B）关于直线的对称点，连接 A’B，A’B 与直线交点即为所求点。A’B即为最短距离。 理由：A ’为 A 的对称点，所以无论 P 在直线任何位置都能得到 AP=A ’P 。所以 PA+PB=PA ’+PB 。这样问题就化成了求 A ’到 B 的最短距离，直接相连就可以了。 例一：某供电部门准备在输电主干线L 上连接一个分支线路，分支点为M ，同时向新落成的A 、B 两个居民小区送电。已知两个居民小区A 、B 分别到主干线的距离AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米。 （1）如果居民小区A 、B 位于主干线L 的两旁，如图（1）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短最短线路的长度是多少千米 （2）如果居民小区A 、B 位于主干线L 的同旁，如图（2）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短此时分支点M 与A1的距离是多少千米 模型二：一条定直线，一定点，一动点 如图，已知直线L 和定点A ，在直线K 上找一点M ，在直线L 上找一点P ，使得AP+PB 值最小。 A B B A A ’ B ’ A ’ B ’ L L 将军饮马模型 欧阳家百（2021.03.07） 一、布景知识： 【传说】 早在古罗马时代，传说亚历山年夜城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天参军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才干使路程最短？这个问题的谜底其实不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今． 【问题原型】将军饮马造桥选址费马点 【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短； 三角形两边三边关系；轴对称；平移； 【解题思路】找对称点，实现折转直 二、将军饮马问题罕见模型 1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小 例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小. 作法：连接AB，与直线l的交点Q， Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处， PA+PB最小，且最小值即是AB. 原理：两点之间线段最短。 证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点， 在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ 重合时取﹦) 例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小， 即PA+PB的和最小. 关键：找对称点 作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值即是AC. 原理：两点之间，线段最短 证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点， 在⊿PAC中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ 重合时取﹦) 2.两动一定型 例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短． 作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求． 原理：两点之间，线段最短 例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON 上找一点D，使得四边形ABCD周长最短． 2020年中考数冲刺难点突破将军饮马与最值问题 专题一将军饮马中两定一动模型与最值问题 【专题说明】 这类问题的解法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧，转化为两点之间线段最短问题。 1、如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】 在中，，AD是的中线，可得点B和点D关于直线AD对称，连结CE，交AD于点P，此时最小，为EC的长，故选B. 【答案】10 【详解】 解：如图： 连接DE 交AC 于点P ，此时PD ＝PB ， PB +PE ＝PD +PE ＝DE 为其最小值， ∵四边形ABCD 为正方形，且BE ＝2，AB ＝8， ∵∵DAB ＝90°，AD ＝AB ＝8，AE ＝AB -BE ＝6， 在Rt∵ADE 中，根据勾股定理，得 DE ＝22AD AE + ＝2286+ ＝10． ∵PB +PE 的最小值为10． 故答案为10． 3、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边BC 交x 轴于点D ，AD x ⊥轴，反比例函数(0)k y x x =>的图象经过点A ，点D 的坐标为(3,0)，AB BD =． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P 为y 轴上一动点，当PA PB +的值最小时，求出点P 的坐标． 912 （2）过点B 作BE AD ⊥垂足为E ， ∵90B =o ∠，AB BD =，BE AD ⊥ ∵1322 AE ED AD ===， ∵39322OD BE +=+ =， ∵93(,)22B ， 则点B 关于y 轴的对称点193(,)22 B -，直线1AB 与y 轴的交点就是所求点P ，此时PA PB +最小， 设直线AB 1的关系式为y kx b =+，将 (3,3)A ,193(,)22B - ，代入得， 33932 2k b k +=???-+=?? 解得：15k =，125b =， ∵直线1AB 的关系式为11255 y x =+， 当0x =时，125 y =， ∵点12(0,)5 P 答：点P 的坐标为12(0, )5． 点C ，点D 是该抛物线的顶点． 将军饮马问题问题概述路径最短、线段和最小、线段差最大、周 长最小等一系列最值问题方法原理 2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；1.两点之间，线段最短；.垂线段最短 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等； 4.基本模型 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 , 即为所求，点PP解：连接AB交直线l于点 PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P′，连接AP′、BP′， 在△ABP'中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA′，要使PA+PB最小，则 需PA′+PB值最小，从而转化为模型1. 3. 两的同侧（A、B已知：如图，定点A、B分布在定直线l 的距离不相等）点到l︱的值最大P，使PA-PB︱要求：在直线l上找一点 P，点P即为所求；解：连接BA并延长，交直线l于点 的一点P′，︱=AB，在l上任取异于点P此时︱理由：PA-PB ︱ 初中几何模型—将军饮马模型分析让我们先来了解“将军饮马”这个故事。 古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军A从出发到河边饮马，然后再到B地军营视察，显然有许多走法．问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题。 下面我们来看看数学家是怎样解决的。海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题。 根据公理：连接两点的所有线中，线段最短。 若A、B在河流的异侧，直接连接AB，AB与l的交点即为所求。 若A、B在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解。 将军饮海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线，现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即 1 2 轴对称思想。 轴对称的两个图形有如下性质： ①关于某条直线对称的两个图形是全等形； ②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相 交，那么交点在对称轴上。 将军饮马的数学问题，考察的知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、 三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、 四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现， 而且大多以压轴题的形式出现． 模型1：直线与两定点 模型作法结论 l B A 当两定点A、B在直线l异侧时，在直线 l上找一点P，使P A＋PB最小． l P A B 连接AB交直线l于点P，点P 即为所求作的点． P A＋PB的最小值为AB l A B 当两定点A、B在直线l同侧时，在直线 l上找一点P，使得P A＋PB最小． l P B' A B 作点B关于直线l的对称点B'， P A＋PB的最小值为AB'将军饮马的六种模型
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