,
函数单调性练习题
1. (1)已知函数f(x)=x 2
+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a
的取值范围是 .
(2)已知函数f(x)=x 2+2(a-1)x+2的递减区间是(-∞,4],则实数a 的取值范围是 .
(3)已知x ∈[0,1],则函数 的最大值为_______最小值为_________
2.讨论函数f(x)=
2
1x
ax
- (a≠0)在区间(-1,1)内的单调性. 解:设-1<x 1<x 2<1,则f(x 1)-f(x 2)=2111x ax --2
2
2
1x ax -=)1)(1()1)((22212121x x x x x x a --+- /
∵x 1,x 2∈(-1,1),且x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,1+x 1x 2>0,(1-x 21)(1-x 22)>0 于是,当a >0时,f(x 1)<f(x 2);当a <0时,f(x
1)>f(x 2).
故当a >0时,函数在(-1,1)上是增函数;当a <0时,函数在(-1,1)上为减函数.
3.判断函数f (x )=-x 3
+1在(-∞,0)上是增函数还是减函数,并证明你的结论;如果x ∈(0,+∞),函数f (x )是增函数还是减函数
、
4. 已知:f (x )是定义在[-1,1]上的增函数,且f (x -1) -1)求x 的取值范围. ~ 5.设y=f (x )的单增区间是(2,6),求函数y=f (2-x )的单调区间. | x x y --+=122上 在 又 — ) , (- ) , ( 而 )上是增函数, } , ( 在 则由已知得 解:令 ) 0 , :( 2 ) ( 0 4 6 ( 2 2 ) ( 6 2 ) ( ) , 2 ) ( 【 ; x x x t x x x : t t t f x x t 6.函数21 )(++= x ax x f 在区间(-2,+∞)上是增函数,那么a 的取值范围是( ) ^ A.210< 1>a <-1或a>1 >-2 解:f (x )= ax +1x +2=a (x +2)+1-2a x +2=1-2a x +2 +a . 任取x 1,x 2∈(-2,+∞),且x 1 x 2+2 = (1-2a )(x 2-x 1) (x 1+2)(x 2+2) . ∵函数f (x )=ax +1 x +2 在区间(-2,+∞)上为增函数,∴f (x 1)-f (x 2)<0. ∵x 2-x 1>0,x 1+2>0,x 2+2>0,∴1-2a <0,a >12. 即实数a 的取值范围是? ?? ??12,+∞. 7.已知函数f (x )=? ???? x 2 +4x ,x ≥0, 4x -x 2 ,x <0.若f (2-a 2 )>f (a ),则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,-1)∪(2,+∞) B .(-1,2) C .(-2,1) D .(-∞,-2)∪(1,+∞) ~ 解析:f (x )=? ???? x 2 +4x =(x +2)2 -4,x ≥0, 4x -x 2=-(x -2)2 +4,x <0,由f (x )的图象可知f (x )在(-∞,+∞)上 是单调递增函数,由f (2-a 2 )>f (a )得2-a 2 >a ,即a 2 +a -2<0,解得-2 8.已知f (x )在其定义域R + 上为增函数,f (2)=1,f (xy )=f (x )+f (y ),解不等式f (x )+f (x -2) ≤3 … 9.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f()2 1 x x =f(x 1)-f(x 2),且当x >1时,f(x)<0. (1)求f(1)的值; (2)判断f(x )的单调性; (3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2. ) ,的单减区间是(-04)2(x f -∴3)2()4()8(2)2()2()4()()()(=+=∴=+=∴+=f f f f f f y f x f xy f 解:)2()2()(2x x f x f x f -=-+又) 8()2(2f x x f ≤-由题意有?????≤->->∴8 20 20R )(2x x x x x f 上的增函数为+ (] 42,解得∈x 】 (1)f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。 (2)当0 < x < y 时,y/x > 1,所以f(y) - f(x) = f(y/x) < 0 。故f 单调减。 (3)f(3) = -1,f(3) = f(9/3) = f(9) - f(3),f(9) = -2而 f (|x |)<-2 = f(9),且f 单调减,所以| x | > 9 x >9或x <-9 — 10.函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x >0时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是R 上的增函数; (2)若f(4)=5,解不等式f(3m 2 -m-2)<3. (1)设x1,x2∈R ,且x1<x2, 则x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1. f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1) - =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-1>0. ∴f (x2)>f(x1).即f(x)是R 上的增函数. (2)∵f (4)=f (2+2)=f (2)+f (2)-1=5,∴f (2)=3,∴原不等式可化为f(3m2-m-2)<f(2), ∵f(x)是R 上的增函数,∴3m2-m-2<2, 解得-1<m < ,故解集为 . / 11.设f (x )的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)是递增的,)()()(y f x f y x f -= (1)求证:f (1)=0,f (xy )=f (x )+f (y ); (2)设f (2)=1,解不等式2)3 1 ( )(≤--x f x f 。 (1)证明:)()()(y f x f y x f -=,令x=y=1,则有:f (1)=f (1)-f (1)=0, )()()]()1([)()1 ()()1()(y f x f y f f x f y f x f y x f xy f +=--=-==。 (2)解:∵)]3()1([)()3 1 ( )(---=--x f f x f x f x f )3()3()(2x x f x f x f -=-+=, 34? ?? ?? -34,1 ∵2=2×1=2f (2)=f (2)+f (2)=f (4), ∴2)3 1 ( )(≤--x f x f 等价于:)4()3(2f x x f ≤-①, ( 且x>0,x-3>0[由f (x )定义域为(0,+∞)可得 ∵03)3(2 >-=-x x x x ,4>0,又f (x )在(0,+∞)上为增函数, ∴①41432 ≤≤-?≤-?x x x 。又x>3,∴原不等式解集为:{x|3 12.已知函数f (x )= 3-ax a -1 (a ≠1). (1)若a >0,则f (x )的定义域是________; (2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数,则实数a 的取值范围是________. 解析: " (1)当a >0且a ≠1时,由3-ax ≥0得x ≤3a ,即此时函数f (x )的定义域是? ?? ??-∞,3a ; (2)当a -1>0,即a >1时,要使f (x )在(0,1]上是减函数,则需3-a ×1≥0,此时1 当a -1<0,即a <1时,要使f (x )在(0,1]上是减函数,则需-a >0,此时a <0. 综上所述,所求实数a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3]. 13. 定义在R 上的函数()y f x =,(0)0f ≠,当0x >时,()1f x >,且对任意的a b R ∈、 ,有()()()f a b f a f b +=?. (1)求(0)f 的值;(2)求证:对任意的x R ∈,恒有()0f x >;(3)若2 ()(2)1f x f x x ?->,求x 的取值范围. 解:(1)解:令0a b ==,则2 (0)(0).f f = 又(0)0f ≠,(0)1f =. (2)证明:当0x <时,0x ->,∴()1f x -> ∵(0)()()1f f x f x =?-=,∴ 1 ()0() f x f x = >- 又0x ≥时, ()10f x ≥> ∴对任意的x R ∈,恒有()0f x >. (3)解:设12x x <,则210x x ->. ∴21()1f x x ->. 又1()0 f x > ∴ 1212111211()()()[()]()()()f x f x f x f x x x f x f x x f x -=--+=--? =121()[1()]0f x f x x --< ∴ 12()()f x f x <.∴ ()f x 是R 上的增函数. 由2 ()(2)1f x f x x ?->,(0)1 f =得 2 (3)(0)f x x f ->.∴ 2 30x x ->,∴03x <<∴所求的x 的取值范围为(0,3) 14.已知函数f (x )对于任意x ,y ∈R ,总有f (x )+f (y )=f (x +y ),且当x >0时,f (x )<0, f (1)=-23 . (1)求证:f (x )在R 上是减函数; (2)求f (x )在[-3,3]上的最大值和最小值. (1)解法一:∵函数f (x )对于任意x ,y ∈R 总有f (x )+f (y )=f (x +y ), ∴令x =y =0,得f (0)=0.再令y =-x ,得f (-x )=-f (x ). 在R 上任取x 1>x 2,则x 1-x 2>0,f (x 1)-f (x 2)=f (x 1)+f (-x 2)=f (x 1-x 2). 又∵x >0时,f (x )<0,而x 1-x 2>0,∴f (x 1-x 2)<0,即f (x 1) 解法二:设x 1>x 2,则f (x 1)-f (x 2)=f (x 1-x 2+x 2)-f (x 2)=f (x 1-x 2)+f (x 2)-f (x 2)=f (x 1-x 2). 又∵x >0时,f (x )<0,而x 1-x 2>0,∴f (x 1-x 2)<0,即f (x 1) (2)∵f (x )在R 上是减函数,∴f (x )在[-3,3]上也是减函数,∴f (x )在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f (-3)与f (3).而f (3)=3f (1)=-2,f (-3)=-f (3)=2.∴f (x )在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2. 复合函数单调性的判断))((x g f y = 以上规律还可总结为:“同向得增,异向得减”或“同增异减”. 1求函数y=2 1log (4x-x 2)的单调区间. 2、 求函数()2 31x y =的单调性及最值 3.在区间(-∞,0)上为增函数的是 A. ) (log 21x y --= B.x x y -=1 C.y =-(x +1)2 D.y =1+x 2 3、求函数)12(log )(2 1+=x x f 的单调区间. 4、(1)函数3422)(-+-=x x x f 的递增区间为___________; (2)函数)34(log )(2 2 1-+-=x x x f 的递减区间为_________ 5、设函数)(x f 是减函数,且0)(>x f ,下列函数中为增函数的是 ( ) (A ))(1 x f y -= (B ))(2x f y = (C ))(log 2 1x f y = (D )2 )]([x f y = 7、下列函数中,在区间]0,(-∞上是增函数的是 ( ) (A )842+-=x x y (B ))(log 21x y -=(C )1 2+- =x y (D )x y -=1 20.函数 342-+-=x x y 的单调增区间是 A.[1,3] B.[2,3] C.[1,2] D.(-∞,2] 21.函数y= 在区间[4,5]上的最大值是_______,最小值是_______。 21.若函数f (x )在R 上是减函数,那么f (2x -x 2 )的单调增区间是 A.(-∞,1] B.[-1,+∞) C.(-∞,-1] D.[1,+∞) 31.函数y =log a 2(x 2 -2x -3)当x <-1时为增函数,则a 的取值范围是 A.a >1 B.-11或a <-1 例7.若f(x)=log a (3-ax)在[0,1]上是减函数,则a 的取值范围是_______。 例6.已知函数f(x)= (x 2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是减函数,则实数a 的取值范围是_____ 例6.已知函数f(x)= (x 2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是减函数,则实数a 的取值范围是_______。 分析如下: 令u=x 2-ax+3a ,y= u 。 因为y= u 在(0,+∞)上是减函数 ∴ f(x)= (x 2-ax+3a)在[2,+∞)上是减函数 u=x 2-ax+3a 在[2,+∞)上是增函数,且对任意x∈[2,+∞),都有u >0。 函数的单调性练习题 一 选择题: 1. 函数f (x )=x 2+2x-3的递增区间为 ( ) A .(-∞,-3] B .[-3,1] C .(-∞,-1] D .[-1,+∞) 2. 如果函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a 的取值范围是( ) A.[-3,+∞) B.(-∞,-3] C.(-∞,5] D.[3,+∞) 3. 函数111 y x =-- ( ) A .在(-1,+∞)内是单调递增 B .在(-1,+∞)内是单调递减 C .在(1,+∞)内是单调递减 D .在(1,+∞)内是单调递增 4. 如果函数()f x kx b =+在R 上单调递减,则( ) A. 0k > B. 0k < C. 0b > D. 0b < 5. 在区间(,0)-∞上为增函数的是( ) A .2y x =- B .2y x = C .||y x = D .2y x =- 6. 函数2()2f x x x =-的最大值是( ). A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 7. 函数y x =+ ). A. 0 B. 2 C. 4 D. 二 填空题: 8. 函数f (x )=2x 2一mx+3,在(一∞,一1)上是减函数,在[一1,+∞)上是增函数,则m=_______。 9.已知()x f 是定义在()2,2-上的减函数,并且()()0211>---m f m f ,则实数m 的取值范围______________。 三 解答题: 10. 利用单调函数的定义证明:函数)2,0(2)(在区间x x x f + =上是减函数. 11.已知定义在区间(0,+∞)上的函数()x f 满足()()2121x f x f x x f -=???? ??,且当1>x 时 ()0 专题:函数单调性、奇偶性、对称性、周期性 一、函数的单调性 1.单调函数与严格单调函数 设 f(x) 为定义在I上的函数,若对任何 x1 , x2I ,当 x1x2时,总有 (ⅰ ) f (x1) f ( x2) ,则称f (x)为I上的增函数,特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递增函数。 (ⅱ ) f (x1) f ( x2) ,则称f (x)为I上的减函数,特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递减函数。 2.函数单调的充要条件 ★若 f (x) 为区间I上的单调递增函数,x1、 x2为区间内两任意值,那么有: f (x1) f ( x2)或 x1x20(x1x2)[ f (x1) f (x2)] 0 ★若 f (x) 为区间I上的单调递减函数,x1、 x2为区间内两任意值,那么有: f (x1) x1 3.函数单调性的判断(证明 ) (1)作差法 (定义法 ) (2)作商法 4复合函数的单调性的判定f ( x2)或x 2 )[ f (x1)f (x2)] 0 x20(x1 对于函数 y f (u) 和 u g(x) ,如果函数u g( x) 在区间 (a, b) 上具有单调性,当x a, b 时 u m,n,且函数 y f (u)在区间 (m, n) 上也具有单调性,则复合函数y f ( g( x)) 在区间a,b具有单调性。 5.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断 对于两个单调函数 f (x) 和 g( x) ,若它们的定义域分别为I 和 J ,且 I J: (1)当f (x)和g (x)具有相同的增减性时,函数F1 (x) f (x) g( x) 、 F2 (x) f ( x)g(x) 的增减性与 f ( x)(或g( x) )相同, F3 ( x) f (x) g( x) 、 F4 (x)f (x) ( g(x) 0)的增减性不能确定;g( x) (2)当f (x)和g (x)具有相异的增减性时,我们假设 f ( x) 为增函数, g ( x) 为减函数,那么: ① F1 (x) f (x)g( x) 、 F2 (x) f ( x) g( x) 的增减性不能确定; ② F3 ( x) f ( x)g(x) 、 F4 ( x)f ( x) (g( x)0) 为增函数, F5 (x) g( x) ( f ( x)0) 为减函数。 g (x) f (x) 二、函数的奇偶性 1.奇偶性的定义 如果对于函数 f ( x) 的定义域内的任意一个x ,都有 f ( x) f ( x) ,则称函数 f (x) 为偶函数;如果对于函数 f (x) 的定义域内的任 函数单调性的判定方法 1.判断具体函数单调性的方法 对于给出具体解析式的函数,由函数单调性的定义出发,本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种: 1.1 定义法 首先我们给出单调函数的定义。一般地,设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、 D x ∈2,当21x x <时,总有 (1))()(21x f x f ≤,则称f 为D 上的增函数,特别当成立严格不等)()(21x f x f <时,称f 为D 上的严格增函数; (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数,特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时,称f 为D 上的严格减函数。 给出函数单调性的定义,我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数 )(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤: (1)设元,任取1x ,D x ∈2且21x x <; (2)作差)()(21x f x f -; (3)变形(普遍是因式分解和配方); (4)断号(即判断)()(21x f x f -差与0的大小); (5)定论(即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性)。 例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。 证明:设1x ,),(2+∞-∞∈x ,且21x x <,则 ).)(()()()(212 221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=- 由于04 3)2(2 2221212221>++ =++x x x x x x x ,012>-x x 则0))(()()(212 2211221>++-=-x x x x x x x f x f ,即)()(21x f x f >,所以)(x f 在() +∞∞-,上是减函数。 例2.用定义证明函数x k x x f + =)()0(>k 在),0(+∞上的单调性。 证明:设1x 、),0(2+∞∈x ,且21x x <,则 )()()()(221121x k x x k x x f x f +-+ =-)()(2 121x k x k x x -+-= )( )(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((2 12121x x k x x x x --=, 又210x x <<所以021<-x x ,021>x x , 当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ?0)()(21≥-x f x f ,此时函数)(x f 为减函数; 当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ?0)()(21<-x f x f ,此时函数)(x f 为增函数。 综上函数x k x x f + =)()0(>k 在区间],0(k 内为减函数;在区间),(+∞k 内为增函数。 此题函数)(x f 是一种特殊函数(对号函数),用定义法证明时通常需要进行因式分解,由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的,因此要分段讨论。 用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当 21x x <时,容易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数。在解决问题时,定义法是最直 接的方法,也是我们首先考虑的方法,虽说这种方法思路比较清晰,但通常过程比较繁琐。 1.2 函数性质法 函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我 高中数学函数的单调性与导数测试题(附答 案) 选修2-21.3.1函数的单调性与导数 一、选择题 1.设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),则f(x)为R上增函数的充要条件是() A.b2-4ac0 B.b0,c0 C.b=0,c D.b2-3ac0 [答案] D [解析]∵a0,f(x)为增函数, f(x)=3ax2+2bx+c0恒成立, =(2b)2-43ac=4b2-12ac0,b2-3ac0. 2.(2009广东文,8)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是() A.(-,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+) [答案] D [解析]考查导数的简单应用. f(x)=(x-3)ex+(x-3)(ex)=(x-2)ex, 令f(x)0,解得x2,故选D. 3.已知函数y=f(x)(xR)上任一点(x0,f(x0))处的切线斜率k =(x0-2)(x0+1)2,则该函数的单调递减区间为() A.[-1,+) B.(-,2] C.(-,-1)和(1,2) D.[2,+) [答案] B [解析]令k0得x02,由导数的几何意义可知,函数的单调减区间为(-,2]. 4.已知函数y=xf(x)的图象如图(1)所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是() [答案] C [解析]当01时xf(x)0 f(x)0,故y=f(x)在(0,1)上为减函数 当x1时xf(x)0,f(x)0,故y=f(x)在(1,+)上为增函数,因此否定A、B、D故选C. 5.函数y=xsinx+cosx,x(-)的单调增区间是() A.-,-2和0,2 B.-2,0和0,2 C.-,-2, D.-2,0和 [答案] A [解析]y=xcosx,当-x2时, cosx0,y=xcosx0, 当02时,cosx0,y=xcosx0. 6.下列命题成立的是() A.若f(x)在(a,b)内是增函数,则对任何x(a,b),都有f(x)0复合函数单调性的判断
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