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量子力学基础习题
一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）
1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。 1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值
_______________。 1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数ψ1， ψ2， ψ3，…。正交性的数学表达式为 ，
归一性的表达式为 。 1106、│ψ (x 1， y 1， z 1， x 2， y 2， z 2)│2代表______________________。 1107、物理量xp y - yp x 的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为 m 的一个粒子在长为l 的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________， 最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时， 粒子出现在0 ─ l /2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长， 其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l 、宽为2l 的长方形势箱中运动， 则其本征函数集为____________，本征值谱为 _______________________________。
1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ211(x ，y ，z )=
_________________________；当粒子处于状态ψ
211
时，概率密度最大处坐标是
_______________________；若体系的能量为2247m a h ，其简并度是_______________。
1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E =2
2
43m a
h 的简并度是_____，E '=2
2827m a
h 的简并度是______________。
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1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ=
2
12
1m m m m +的一维谐振子，其势能为
V =kx 2/2，它的薛定谔方程是_____________________________。
1112、1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。欲使电子射线产生的衍射环纹与Cu 的K α线(波长为154 pm 的单色X 射线)产生的衍射环纹相同， 电子的能量应为___________________J 。
1113、对于波函数ψj 、ψj ，其归一性是指 ，正交性是指 。
1114、若算符F
?满足 或满足 , 则算符F ?为厄米算符。
1115、一个质量为m 的微观粒子在箱长为a 的一维势箱中运动时，体系的势能为 ，体系的零点能为 。
1116、质量为 m 的一个粒子在长为l 的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ； 1117、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ211(x ，y ，z )=
_________________________；当粒子处于状态ψ
211
时，概率密度最大处坐标是
_______________________；若体系的能量为2
247m a
h ，其简并度是_______________。 1118、对于立方箱中的粒子，考虑E < 15h 2/(8ml 2)的能量范围。在此范围内有 个态？在此范围内有 个能级？
1119、对氢原子 1s 态：
(1)
2ψ在 r 为_______________处有最高值；
(2) 径向分布函数 22
4ψr
π在 r 为____________处有极大值；
(3) 电子由 1s 态跃迁至 3d 态所需能量为_____________。
1120、对于立方势箱中的粒子，考虑出2
2
815m a
h E <的能量范围，在此范围内有 个能级？ 在此范围内有 个状态？
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二、选择填空题（选择正确的答案，填在后面的括号内）
1201、首先提出能量量子化假定的科学家是：---------------------------( ) (A) Einstein (B) Bohr (C) Schrodinger (D) Planck
1202、任一自由的实物粒子，其波长为λ，今欲求其能量，须用下列哪个公式---------------( )
(A) λc
h E = (B) 2
2
2λ
m h E = (C) 2) 25
.12
(λ
e E = (D) A ，B ，C 都可以
1203、下列哪些算符是线性算符----------------------------------------------------- ( ) (A)
dx
d
(B) ?2 (C) 用常数乘 (D)
1204、下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx
(C) e -ikx
(D) 2
e kx -
(1) 哪些是
dx
d
的本征函数；--------------------------------------------------------------- ( ) (2) 哪些是的22
dx d 本征函数；------------------------------------------------------------- ( )
(3) 哪些是22
dx
d 和dx d 的共同本征函数。----------------------------------------------- ( )
1205、线性算符R
?具有下列性质 R
?(U + V ) = R ?U +R ?V R ?(cV ) = c R ?V 式中c 为复函数，下列算符中哪些是线性算符？ -----------------------------------( )
(A) A
?U =λU ， λ=常数 (B) B
?U =U * (C) C
?U =U 2
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(D) D
?U = x
U d d (E) E
?U =1/U 1206、电子自旋存在的实验根据是：--------------------------------------------------------------- ( ) (A) 斯登--盖拉赫(Stern-Gerlach)实验 (B) 光电效应 (C) 红外光谱 (D) 光电子能谱 1207、一个在一维势箱中运动的粒子， (1) 其能量随着量子数n 的增大：------------------------ ( )
(A) 越来越小 (B) 越来越大 (C) 不变 (2) 其能级差 E n +1-E n 随着势箱长度的增大：-------------------( ) (A) 越来越小 (B) 越来越大 (C) 不变
1208、立方势箱中的粒子，具有E =2
2
812m a h 的状态的量子数。 n x n y n z 是--------- ( )
(A) 2 1 1 (B) 2 3 1 (C) 2 2 2 (D) 2 1 3 1209、处于状态ψ (x )=sin x a π的 一维势箱中的粒子，出现在x =4
a
处的概率为----- ( ) (A) P =ψ (
4a ) = sin(a π·4a ) = sin 4π = 22 (B) P =[ψ (
4a )]2= 2
1
(C) P = a
2
ψ (4a ) =
a
1
(D) P =[
a
2 ψ ( 4a )]2= a 1 (E) 题目提法不妥，所以以上四个答案都不对
1210、在一立方势箱中，2
2
47m l
h E ≤的能级数和状态数分别是(势箱宽度为l ，粒子质量为m )：-----------------------------------------------------------------( )
(A) 5，11 (B) 6，17 (C) 6，6 (D) 5，14 (E) 6，14 1211、关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ---------------------------（ ）
(A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比
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(C)光电流大小与入射光强度成正比
(D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大
1212、提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：----------------------------（）
(A) de Br?glie (B) A. Einstein
(C) W. Heisenberg (D) E. Schr?dinger
1213、微粒在间隔为1eV的二能级之间跃迁所产生的光谱线的波数v~应为：--------------------------------（）
(A) 4032 cm-1(B) 8065cm-1
(C) 16130cm-1(D) 2016cm-1
(1eV=1.602×10-19J)
1214、普朗克常数是自然界的一个基本常数，它的数值是：-------------------（）
(A) 6.02×10-23尔格(B) 6.625×10-30尔格·秒
(C) 6.626×10-34焦耳·秒(D) 1.38×10-16尔格·秒
1215、首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：-----------------（）
(A) 薛定谔(B) 狄拉克
(C) 海森堡(D) 波恩
1216、下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：-------------------（）(Ａ)电子自旋(保里原理)
(Ｂ)微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征
(Ｃ)描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的
(Ｄ)微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理
1217、描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：----------------------------------（）
(A) 由经典的驻波方程推得(B) 由光的电磁波方程推得
(C) 由经典的弦振动方程导出(D) 量子力学的一个基本假设
1218、一电子被1000V的电场所加速，打在靶上，若电子的动能可转化为光能，则相应的光波应落在什么区域？
（A）X光区（B）紫外区
（C）可见光区（D）红外区
1219、由戴维逊－革末的衍射实验，观察某金属单晶（晶面间距d为104pm）上反射，若一级衍射的布拉格角控制为45o，则此实验要用多大的加速电压来加速电子（单位：V）？精彩文档
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--- ( )
（A ）<10 （B ）25 （C ）70 （D ）150
1220、一维势箱的薛定谔方程求解结果所得的量子数n ，下面论述正确的是 ？
（A ）可取任意整数 （B ） 与势箱宽度一起决定节点数 （C ） 能量与n 2成正比例 （D ） 对应于可能的简并态 三、判断题（对判断给出的命题的对错，正确的题号后画√，错误的题号后画×） 1301、根据测不准原理，任一微观粒子的动量都不能精确测定，因而只能求其平均值。 1302、波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的。
1303、任何波函数ψ (x ， y ， z ， t )都能变量分离成ψ (x ， y ， z )与ψ (t )的乘积。 1304、ψ=cos x ， p x 有确定值， p 2x 没有确定值，只有平均值。
1305、一维势箱中的粒子，势箱长度 为l ， 基态时粒子出现在x =l /2处的概率密度最小。 1306、波函数本身是连续的，由它推求的体系力学量也是连续的。 1307、测不准关系式是判别经典力学是否适用的标准。
1308、光照射到金属表面时，金属中有光电子产生，且照射光的强度越大，电子逸出金属表面的动能越大。
1309、量子力学中力学量算符都是线性的、厄米的。
1310、在电子的衍射实验中采用单个电子穿过晶体粉末，在足够长的时间后，在屏上得到了衍射环纹，这说明单个电子也可以产生波。 四、简答题
1401、对一个运动速率v< mv v E v h h p mv 2 1 === = =νλ A B C D E 结果得出2 1 1= 的结论。问错在何处？ 说明理由。 1402、简述一个合格的波函数所应具有的条件？ 实用标准文案 精彩文档 1403、被束缚在0 1404、一维势箱中一粒子的波函数ψn (x )=(2/l )1/2sin(n πx /l )是下列哪些算符的本征函数，并求出相应的本征值。 （A ）x p ? （Ｂ） 2?x p （Ｃ） x ? （Ｄ）H ?= m h 2)2/(2π2 2 d d x 1405、说明下列各函数是H ?，M ?2， M ?z 三个算符中哪个的本征函数？ ψ 2pz ， ψ2px 和ψ2p1 1406、一维势箱中运动的一个粒子，其波函数为 a x n a πsin 2，a 为势箱的长度，试问当粒子处于n =1或n =2的状态时，在0 ～a /4区间发现粒子的概率是否一样大，若不一样， n 取几时更大一些，请通过计算说明。 1407、θθcos 3cos 53 -是否是算符)d d sin cos d d (?222 θ θθθF +-= 的本征函数，若是，本征值是多少？ 1408、下列休克尔分子轨道中哪个是归一化的？若不是归一化的，请给出归一化系数。（原子轨道 ???321,,是已归一化的） a. ()??2112 1+=ψ b. ()???321224 1 +-= ψ 1409、已知一函数f (x )=2e 2x ，问它是否是x p ?的本征函数？相应的本征值是多少？ 1410、有一粒子在边长为a 的一维势箱中运动。 (1)计算当n =2时，粒子出现在0≤x ≤a /4区域中的概率； (2)根据一维势箱的2 ψ图，说明0≤x ≤a/4区域中的概率。 五、证明题 1501、已知一维运动的薛定谔方程为: 实用标准文案 精彩文档 m h 228[π-2 2 d d x +V （x ）] ψ=E ψ ψ1和ψ2是属于同一本征值的本征函数， 证明: ψ 1 x d d 2ψ-ψ2x d d 1 ψ=常数 1502、试证明实函数Φ2 (φ)=(1/π)1/2cos2φ和Φ2’(φ)=(2/π)1/2sin2φcos φ都是Φ方程 [2 2 d d φ + 4] Φ (φ)=0 的解。 1503、证明函数x +i y ，x -i y 和z 都是角动量算符z M ?的本征函数，相应的本征值是多少？ 1504、已知有2n 个碳原子相互共轭的直链共轭烯烃的π分子轨道能量可近似用一维势阱的能级公式表示为 E k = 2 22 2) 12(8+n mr h k k =1，2，…，2n 其中，m 是电子质量，r 是相邻碳原子之间的距离，k 是能级序号。试证明它的电子光谱第一吸收带(即电子基态到第一激发态的激发跃迁)波长λ与n 成线性关系。假定一个粒子在台阶式势阱中运动，势阱宽度为l ，而此台阶位于l /2～l 之间。 1505、证明同一个厄米算符的、属于不同本征值的本征函数相互正交。 1506、证明厄米算符的本征值是实数。 1507、已知A ?和B ?是厄米算符，证明(A ?+B ?)和A ?2也是厄米算符。 1508、证明描述在一球面上运动的粒子（刚性转子）的波函数θψcos 212 1?? ? ??π3=是三维 空间中运动的自由粒子（势能V=0）的薛定谔方程的解，并求粒子的能量。 已知)]sin 1)(sin sin 1)(1[22 2 2222222 φθr θθθθr r r r r m ??+????+????-=? 。 1509、证明描述在一球面上运动的粒子（刚性转子）的波函数 φ θθψi 1e sin cos 21-?? ? ??2π15=是在三维空间中运动的自由粒子（势能V =0）的薛定谔方程 的解，并求粒子的能量。 实用标准文案 精彩文档 已知)]sin 1)(sin sin 1)(1[22 2 2222222 φ θr θθθθr r r r r m ??+????+????-=? 。 1510、证明波函数φ θθψi 2 1e sin cos 21-?? ? ??2π15=是角动量平方的本征函数，并求粒子的 角动量。已知角动量平方算符)sin 1sin cos (?2 222222φθθθθθM ??+??+??-= 。 六、计算题 1601、波长λ=400 nm 的光照射到金属铯上，计算金属铯所放出的光电子的速率。已知 铯的临阈波长为600 nm 。 1602、光电池阴极钾表面的功函数是2.26 eV 。当波长为350 nm 的光照到电池时，发射 的电子最大速率是多少？ (1 eV=1.602×10-19J ， 电子质量m e =9.109×10-31 kg) 1603、设体系处在状态ψ=c 1ψ 211+ c 2 ψ210中， 角动量M 2和M z 有无定值。其值为多少？ 若无，则求其平均值。 1604、函数ψ (x )= 2 a 2sin a x π - 3a 2 sin a x π2 是不是一维势箱中粒子的一种可能状 态？ 如果是， 其能量有没有确定值(本征值)？ 如有， 其值是多少？ 如果没有确定值， 其平均值是多少？ 1605、在长为l 的一维势箱中运动的粒子， 处于量子数为n 的状态， 求： (1) 在箱的左端1/4区域内找到粒子的概率； (2) n 为何值时， 上述概率最大？ (3) 当n →∞时， 此概率的极限是多少？ (4) (3)中说明了什么？ 1606、(1) 写出一维简谐振子的薛定谔方程； (2) 处于最低能量状态的简谐振子的波函数是 ψ0= (π 2α)1/4 exp[-α2x 2/2] 此处，α=(4π2k μ/h 2)1/4，试计算振子处在它的最低能级时的能量。 实用标准文案 精彩文档 (3) 波函数ψ在x 取什么值时有最大值？ 计算最大值处ψ2的数值。 1607、氢分子在一维势箱中运动，势箱长度l =100nm ，计算量子数为n 时的de Broglie 波 长以及n =1和n =2时氢分子在箱中49nm 到51nm 之间出现的概率，确定这两个状态的节面数、节面位置和概率密度最大处的位置。 1608、限制在一个平面中运动的两个质量分别为m 1和m 2的质点 ， 用长为R 的、没有质 量的棒连接着，构成一个刚性转子。 (1) 建立此转子的Schr?dinger 方程， 并求能量的本征值和归一化的本征函数； (2) 求该转子基态的角动量平均值。 已知角动量算符 M ?=M ?z =-i π2h φ ?? 。 1609、氢原子中，归一化波函数： （ 和 都是归一化的）所描述的状态，其能量平均值是（a ）R ；能量 出现的概率 是（b ）；角动量平均值是（c ） ；角动量 出现的概率是（d ）；角动量Z 分量的平均值是（e ） ；角动量Z 分量 出现的概率是（f ）。 1610、已知类氢离子 的某一状态波函数为： 则（a ）此状态的能量为； （b ）此状态的角动量的平方值； （c ）此状态角动量在Z 方向的分量为；（d ）此状态的 值分别为； (e)此状态角度分布的节面数为； 2125、多电子原子的一个光谱支项为 3D 2， 在此光谱支项所表征的状态中，原子的总轨 道角动量等于（a ）； 原子总自旋角动量等于（b ）；原子总角动量等于（c ）； 在磁场中 ， 此光谱支项分裂出（d ）个蔡曼 ( Zeeman ) 能级 。 2403、一个电子主量子数为 4， 这个电子的 l ， m ， m s 等量子数可取什么值？这个电子共有多少种可能的状态？ 实用标准文案 精彩文档 量子力学基础习题参考答案 1100、填填空题（在题中的空格处填上正确答案） 1101、E =h ν p =h /λ 1102、,mv h p h ==λ 小 1103、电子概率密度 1104、?x ·?p x ≥ π 2h 微观物体的坐标和动量不能同时测准, 其不确定度的乘积不小于π 2h 。 1105、(a) ∫ψ *i ψi d τ = 0, i ≠j (b) ∫ψ*i ψi d τ = 1 1106、电子1出现在x 1,y 1,z 1, 同时电子2出现在x 2, y 2, z 2处的概率密度 1107、-i · π2h (x y ?? - y x ??) 1108、(1)ψ = l 2sin l x n π n =1, 2, 3,… (2) E = 2228m l h n ; 2 2 8m l h (3) 1/2 (4) 增长 (5) ψ= l 2 sin l x n x πl 22 sin l y n y 2π E = 22 28m l h n x + 2 22) 2(8l m h n y 1109、(1)ψ 211(x ,y ,z ) = 3 8 a sin a π2 x sin a πy sin a π z (2)(a /4, a /2, a /2) (3a /4, a /2, a /2) (3)6 实用标准文案 精彩文档 1110、3, 4 1111、 [] ψψμπE x k h =+?- 2212822 1112、T = () λh m m p 22122==1.016×10-17 J 1113、(），j i d j i ==??1*τψψ（），j i d j i ≠=??0* τψψ 1114、（ττd F d F ψψ=ψψ??Λ Λ* * )(）（ττd F d F 2* 12*1 )(ψψ=ψψ??Λ Λ） 1115、零，2 28m a h 1116、(1) ψ = l 2sin l x n π n =1, 2, 3,… (2) E = 2228m l h n ; 2 2 8m l h 1117、 (1) ψ 211(x ,y ,z ) = 3 8a sin a π2 x sin a πy sin a π z (2) (a /4, a /2, a /2) (3a /4, a /2, a /2) (3) 6 1118、17，5 1119、(1) O 或核附近 (2) a 0 或 52.3 pm (3) 8×13.6/9 eV 1120、E = )(222z y x n n n ++ 2 2 8m a h 共有17个状态, 这些状态分属6个能级。 1200、选择填空题（选择正确的答案，填在后面的括号内） 1201、(D) 1202、（B ） 1203、(D) 1204、(1) B, C (2) A, B, C (3) B, C 1205、(A), (D) 实用标准文案 精彩文档 1206、(A) 1207、(1) B (2) A 1208、（C ） 1209、（E ） 1210、（B ） 1211、(C),(D) 1212、(A) 1213、（B ） 1214、(C) 1215、(C) 1216、(A) ,(B) 1217、(D) 1218、(A) 1219、(C) 1220、(C) 1300、判断题（对判断给出的命题的对错，正确的题号后画√，错误的题号后画×） 1301、× 1302、× 1303、× 1304、× 1305、× 1306、× 1307、× 1308、× 1309、√ 1310、× 1400、简答题 1401、A,B 两步都是对的, A 中v 是自由粒子的运动速率, 它不等于实物波的传播速率u , C 中用了λ= v /ν, 这就错了。 因为λ= u /ν。 又 D 中 E =h ν是粒子的总能量, E 中E = 2 1mv 2 仅为v < 1402、(1) 单值的。 (2) 连续的, 一级微商也连续。 实用标准文案 精彩文档 (3) 平方可积的, 即有限的。 1403、P = a a a 275.025.0?sin 2(a x π) d x = 0.5+ π 1 = 0.818 1404、(A).不是 (B).是,本征值为 n 2h 2/(4l 2) (C).不是 (D).是,本征值为 n 2h 2/(8ml 2) 1405、p p z 022= 是M z ?,M ?,H ?2 共同的本征函数 p x 2为p 12和p 12-的线性组合,是M ?,H ?2 共同 的本征函数 p 12 是M z ?,M ?,H ?2 共同的本征函数 1406、P =??π=???? ? ?π4022 4 0d sin 2d sin 2a/a/x a x n a x a x n a =2 sin 2141π π-n n n =1，P =πn 21 41- n =2，P =4 1 . n =2时，粒子出现在0—a /4区间概率更大些。 1407、 θθθ sin cos d d -= θθθc o s c o s d d 22 -= θθθθ2 3c o s s i n 3c o s d d -= θθθθθ c o s s i n 6c o s 3c o s d d 2 3322+-= ( ) =-θθF c o s 3c o s 5?3 ( ) θθθθθθcos 3cos 15cos 3cos sin 30cos 153232+-++-- =() θθθθcos 6cos sin 30cos 302 32++-- =() θθθθθθcos 6cos sin 30cos 30cos 30cos 302 3332+++--- =() θθcos 36cos 603 2+-- =12( ) θθcos 3cos 53 2- 是，本征值为122 1408、归一化条件：11 2=∑=n i i c 实用标准文案 精彩文档 A =∑=2 1 2i i c 2( 1)21 2=,a 是归一化的。 B 23 )42()41(2)(223 1 2=-+=∑=i i c ,b 不是归一化的。 归一化因子 32即61。 1409、x x x x f p 2e 2d d i )(? -= x 2e i 4 -= )(i 2x f -= )(i x f h π = f (x )是x p ?的本征函数，本征值为π i h 。 1410、x a x n a a d )sin 2( 240 π? （当n =2时） =??????ππ-044sin 882a a x a a a =4 182=?a a (2) 2ψ 1500、证明题 1501、11ψ2 12d d x ψ = 21ψ22 2d d x ψ ψ 1222d d x ψ - ψ2 2 1 2d d x ψ = 0 实用标准文案 精彩文档 x d d [ψ1x d d 2 ψ - ψ2x d d 1ψ] = 0 [ψ1x d d 2ψ - ψ2x d d 1 ψ] = 常数 1502、将 ()() φφ2cos /12 /12 πΦ=代入()φΦ方程 ()()()() ()()02c o s 42 c o s 42c o s 42s i n 22c o s 4/1/1/1/1/12 /12/12 /12 /12 /122=+-=+-= ??? ???+πππφφφ φφφ φφφ d d d d 说明 ()φΦ2 是()φΦ方程的解。 将()()φφφcos sin /22 /12 πΦ'=代入()φΦ方程 ()()()() () ()[]()0 cos sin 4cos sin 2cos sin 2cos sin 4cos sin 4/2/2/2sin cos /2/22 /12 /12 /12 22 /12 /12 2 =+--= +-=?? ? ?? ?+πππππφφφφφφφ φφφφφφφd d d d 说明()φΦ'2也是()φΦ方程的解。 1503、()()()[]()()()()()()[]iy x y iy x x i iy x y x i y h z x y h z M M +-+-=+--=π????π????π22?? 故x +i y M z ?本征函数,本征值为 π 2h ()()()[]()()()()()()[]iy x y iy x x i iy x y x i y h z x y h z M M ----=---=π ?? ?? π ?? ?? π 22?? 故x -i y 是M z ?,本征值为 π2h - ()()()()[]z z y z x i z y h z M ?==--=π ?? ?? π 002? 故z 是M z ?,本征值为 0 1504、第一吸收带是由HOMO 到LUMO 跃迁产生。 对本题HOMO k =n ; LUMO k =n +1; ()()[] ()()() 12822 8122 22282 12121++= =-+=?++n mr mr n mr h n h n h n n E E hc ?=λ 所以 ()()h n mrc h hc n mr E hc /1282 128+== = ?+?λ 即h mrc h mrcn /8/16+=λ 实用标准文案 精彩文档 1505、设u 1,u 2,...,u n ,...是算符A ?的分别属于本征值λ,,λ,λn 21.的本征函数，则有 ,?u u A m m m λ= ,?u u A n n n λ= () ****?m m m m m u λu λu A == 可得 τu u λτu A u n m n n m d d ?* * ? ?= ()τu u λτu u A n m m n m d d ?** ? ?= ,从上式可得 τu u λτu u λn m m n m n d d * *? ?= ()0d * =-? τu u λλn m m n λλm n ≠ 0d * =∴? τu u n m 1506、按厄米算符的定义,有()ud τu A ud τA u ??=??* * 同时下列本征方程成立:()* ** ??u λu A λu,u A == 代入上式,得: τu u λτu u λd d * **? ?= 由此可得 * λλ= 故λ必为实数。 1507、(1). ∫u * (B A ??+)v d τ=∫u *A ?v d τ+∫u *B ?v d τ =∫(A ?u )*v d τ+∫(B ?u )*v d τ =∫[(A ?u )*+(B ?u )*]v d τ =∫[(A ?u )+(B ?u )]*v d τ =∫[(B A ??+)]*v d τ 由此得证 (2). ∫u *A A ? ?v τd =∫u *A ?(A ?v )τd =∫(A ?u )*(A ?v )τd =∫(A ?u )*A ?v τd =∫(A A ??u )*v τd =∫( A ?2 u )* v τd 由此得证 1508、三维空间自由粒子的薛定谔方程 ψψE H =? 222??-=m H 当r 为常数，ψ与r,φ无关。 实用标准文案 精彩文档 ???? ????+??-=θθθθmr H sin cos 2?2222 θN θθθθmr H cos sin cos 2?2222??? ? ????+??-= ψ =()θθmr N cos cos 222 --- =ψ22 22cos mr θN mr = 2 2 m a E =∴ 当ψ与 φ无关，? ?? ? ????+??-=θθθθsin cos ?222 2 M 2?2=ψM 2=M 1509、三维空间自由粒子的薛定谔方程 ψψE H =? 2 22??- =m H 当r 为常数，ψ与r 无关, ???? ? ???+??+??-=222222 2s i n 1s i n c o s 2?φθθθθθmr H )e s i n c o s (??i φθθN H H -=ψ =??? ? ????+??+??-2222222sin 1sin cos 2φθθθθθmr N φθθi e sin cos - =2 22m r N -(ψ-φθθi e sin cos -+φφφ θθθθθθi i i 2 e sin cos e cos sin e sin cos -----) =222m r N φθθi e sin cos ??? ? ??++-θθθψ222sin 11sin cos 式中θθθ222sin 1 sin cos +-=1 =ψH ?m r N 262 N φθθi e sin cos =m r 262 ψ,2 226m r E =∴ 1510、φθθN φθθθθθM ψi 2222222e sin cos sin 1sin cos ?-??? ? ????+??+??-= =2 N -(ψ-φ θθi e sin cos -+ φ φφθ θθθθθi i i 3e sin cos e cos sin e sin cos -----) 实用标准文案 精彩文档 =2 N φ θθi e sin cos ??? ? ??++-θθθψ222sin 11sin cos 式中θ θθ2 22sin 1 sin cos +-=1 226? =ψM N φθθi e sin cos -=ψ26 ,26 为一常数，证毕。 6=M 1600、计算题 1601、1-241-9 --34 s kg m 10626.6s kg m 100.1106.626???=????==-λh p T = m p 22 = 31 23410 109.92)10626.6(--??? J = 2.410×10-17 J 1602、T = h ν- h ν0= λhc -0 λhc T = (1/2) mv 2 v = )1 1(20 λλ-m hc = 6.03×105 m ·s -1 1603、(1)ψ是M ?2属于同一本征值2(π 2h )2 的本征函数的线性组合, 所以，ψ是M ?2的本征函数, 其本征值亦为2( π 2h )2 (2)ψ是M ?z 属于本征值h 和0的本征函数的线性组合, 它不是M ?z 的本征函数, 其M z 无确定值, 其平均值为 2 .2121) 2/(c c h c +π 1604、(1). 该函数是一维箱中粒子的一种可能状态, 因 a 2sin a x π及a 2sin a x π2是方程 的解，其任意线性组合也是体系可能存在的状态。 (2). 其能量没有确定值, 因该状态函数不是能量算符的本征函数。 (3). 2 135m a h 1605、(1) ψn =l 2 sin l x n π P 1/4=∫4/0l 2 n ψd x =41 - πn 21sin 2 πn 实用标准文案 精彩文档 (2) n =3, P 1/4,max = 41 + π61 (3) lim ∞→n P 1/4 = lim ∞→n (4 1 - πn 21sin 2πn ) =41 (4) (3)说明随着粒子能量的增加, 粒子在箱内的分布趋于平均化。 1606、(1) [ - μ2 28πh 22 dx d + 21kx 2] ψ=E ψ (2) E = μα22 28πh = π4h μ K = 2 1 h ν (3) x =0时 ， dx d ψ= 0， 有最大值 ψ 0(0) = (π 2α)1/4 最大值处 x =0 ψ02 =(πα2)1/2 = π α 1607、E k m h p h 2= = λ 势箱中 ?? ? ??==l h n E m k E 22 28 故λ= 2l /n =(200/n )nm ()()[]()()π -π?π-=π==?? n n n dx l x n l dx p 98.0sin 02.1sin 02.0//212 51 9 51 49 2 sin ψ n =1 P 1=0.0400 n =2 P 2=0.0001 n =1时 无节面,概率密度最大在50nm 处。 n =2时 节面数=n -1=1,节面在50nm 处,概率密度最大在25nm 和75nm 处。 1608、(1) Schr?dinger 方程为 - I h 22 8π2 2d d φ φψ） （ = E ψ (φ) E = I h m 2228π, ψ (φ) =π21e im φ m =0,±1,±2,... (2) ?> = 0 1609、（a ） ； （b ） ； （c ） ； （d ）1 （e ） （f ）0 1610、（a ）－13.6eV ；（b ）0；（c ）0；（d ）2,0,0；(e)0 简述建立量子力学基本原理的思想方法 摘要：量子力学是大学物理专业的一门必修理论基础课程，它研究的对象是分子、原子和基本粒子。本文对建立量子力学基本原理的思想方法作一简单叙述，供学员在学习掌握量子力学的基本理论和方法时参考。 关键词：量子力学；力学量；电子；函数 作者简介 0引言 19世纪末，由于科学技术的发展，人们从宏观世界进入到微观领域，发现了一系列经典理论无法解释的现象，比较突出的是黑体辐射、光电效应和原子线光谱。普朗克于1900年引进量子概念后，上述问题才开始得到解决。爱凶斯坦提出了光具有微粒性，从而成功地解释了光电效应。 1量子力学 量子力学是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科，它主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。量子力学不仅是近代物理学的基础理论之一，而且在化学等有关学科和许多近代技术中也得到了广泛的应用。 2玻尔的两条假设 玻尔在前人工作的基础上提出了两条假设，成功地解释了氢原子光谱，但对稍微复杂的原予(如氦原子)就无能为力。直到1924年德布罗意提出了微观粒子具有波粒二象性之后才得到完整解释。 1924年，德布罗意在普朗克和爱因斯坦假设的基础上提出了微观粒子具有波粒二象性的假设，即德布罗意关系。1927年，戴维孙和革末将电子作用于镍单晶，得到了与x射线相同的衍射现象，从而圆满地说明了电子具有波动性。 2.1自由粒子的波动性和粒子性 它的运动是最简单的一种运动，它充分地反映了自由粒子的波动性和粒子性，将波(平面波)粒( p，E) 二象性统一在其中。如果粒子不是自由的，而是在一个变化的力场中运动，德布罗意波则不能描写。我们将用一个能够充分反映二象性特点的 结构化学基础习题和答案 01.量子力学基础知识 【1.1】将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长λ=670.8nm ，这是Li 原子由电子组态 (1s)2(2p)1→(1s)2(2s)1跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以及以k J ·mol -1 为单位的能量。 解：81 141 2.99810m s 4.46910s 670.8m c νλ--??===? 41 71 1 1.49110cm 670.810cm νλ --= = =?? 3414123-1 -16.62610J s 4.46910 6.602310mol 178.4kJ mol A E h N s ν--==??????=? 【1.2】 实验测定金属钠的光电效应数据如下： 波长λ/nm 312.5 365.0 404.7 546.1 光电子最大动能E k /10-19J 3.41 2.56 1.95 0.75 作“动能-频率”，从图的斜率和截距计算出Plank 常数(h)值、钠的脱出功(W)和临阈频率(ν 0)。 解：将各照射光波长换算成频率v ,并将各频率与对应的光电子的最大动能E k 列于下表： λ/nm 312.5 365.0 404.7 546.1 v /1014s －1 9.59 8.21 7.41 5.49 E k /10 －19 J 3.41 2.56 1.95 0.75 由表中数据作图，示于图1.2中 E k /10-19 J ν/1014g -1 图1.2 金属的 k E ν -图 由式 0k hv hv E =+ 推知 0k k E E h v v v ?= =-? 即Planck 常数等于k E v -图的斜率。选取两合适点，将k E 和v 值带入上式，即可求出h 。 例如： ()()1934141 2.70 1.0510 6.60108.5060010J h J s s ---?==?-? 图中直线与横坐标的交点所代表的v 即金属的临界频率0v ，由图可知， 141 0 4.3610v s -=?。因此，金属钠的脱出功为： 341410196.6010 4.36102.8810W hv J s s J ---==???=? 【1.3】金属钾的临阈频率为5.464×10-14s -1 ，如用它作为光电极的阴极当用波长为300nm 的紫外光照射该电池时，发射光电子的最大速度是多少？ 解：2 01 2hv hv mv =+ ()1 2 018 1 2 341419 312 2.998102 6.62610 5.46410300109.10910h v v m m s J s s m kg υ------??=? ??? ???????-??? ?????? =?????? ? 1 34 141 2 31512 6.62610 4.529109.109108.1210J s s kg m s ----??????=?????=? 【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长： （a ） 质量为10-10kg ，运动速度为0.01m ·s -1 的尘埃； （b ） 动能为0.1eV 的中子； （c ） 动能为300eV 的自由电子。 解：根据关系式： (1)3422101 6.62610J s 6.62610m 10kg 0.01m s h mv λ----??===??? 量子力学教案 主讲周宙安 《量子力学》课程主要教材及参考书 1、教材： 周世勋，《量子力学教程》，高教出版社，1979 2、主要参考书： [1] 钱伯初，《量子力学》，电子工业出版社，1993 [2] 曾谨言，《量子力学》卷I，第三版，科学出版社，2000 [3] 曾谨言，《量子力学导论》，科学出版社，2003 [4] 钱伯初，《量子力学基本原理及计算方法》，甘肃人民出版社，1984 [5] 咯兴林，《高等量子力学》，高教出版社，1999 [6] L. I.希夫，《量子力学》，人民教育出版社 [7] 钱伯初、曾谨言，《量子力学习题精选与剖析》，上、下册，第二版，科学出版社，1999 [8] 曾谨言、钱伯初，《量子力学专题分析（上）》，高教出版社，1990 [9] 曾谨言，《量子力学专题分析（下）》，高教出版社，1999 [10] P.A.M.Dirac,The Principles of Quantum Mechanics (4th edition), Oxford University Press (Clarendon),Oxford,England,1958；（《量子力学原理》，科学出版社中译本，1979） [11]https://www.doczj.com/doc/1412535089.html,ndau and E.M.Lifshitz, Quantum Mechanics (Nonrelativistic Theory) (2nd edition),Addison-Wesley,Reading,Mass,1965；（《非相对论量子力学》，人民教育出版社中译本，1980） 第一章绪论 量子力学的研究对象： 量子力学是研究微观粒子运动规律的一种基本理论。它是上个世纪二十年代在总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。它不仅在进到物理学中占有及其重要的位置，而且还被广泛地应用到化学、电子学、计算机、天体物理等其他资料。 §1.1经典物理学的困难 一、经典物理学是“最终理论”吗？ 十九世纪末期，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段。那时，一般物理现象都可以从相应的理论中得到说明： 机械运动（v< 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 结构化学试卷附答案Newly compiled on November 23, 2020 《结构化学》课程 A卷 专业班级：命题教师：审题教师： 学生姓名：学号：考试成绩： 一、判断题（在正确的后画“√”，错误的后面画“×”,10小题，每小题1分，共10分） 得分：分 1、自轭算符的本征值一定为实数。（） 2、根据测不准原理，任一微观粒子的动量都不能精确测定。（） 3、一维势箱中的粒子其能量是量子化的，并且存在零点能。（） 4、原子中全部电子电离能之和等于各电子所在原子轨道能总和的负值。（） 5、同核双原子分子中两个2p轨道组合总是产生型分子轨道。（） 6、具有未成对电子的分子是顺磁性分子，所以只有含奇数个电子的分子才是顺磁性 的。（） 7、在休克尔分子轨道法中不需要考虑?H 的具体形式。（） 8、既具有偶极矩，又具有旋光性的分子必属于C n点群。（） 9、含不对称 C 原子的分子具有旋光性。（） 10、分子的偶极距一定在分子的每一个对称元素上。（） 二、单项选择题（25小题，每小题1分，共25分）得分：分 1、关于光电效应，下列叙述正确的是：（） A 光电流大小与入射光子能量成正比 B 光电流大小与入射光子频率成正比 C 光电流大小与入射光强度没关系 D 入射光子能量越大，则光电子的动能越大 2、在一云雾室中运动的α粒子（He 的原子核）, 其 27416.8410,10m kg v m s --=?=?质量速度，室径210x m -=，此时可观测到它的运动 轨迹，这是由于下列何种原因： （ ） A 该粒子不是微观粒子 B 测量的仪器相当精密 C 该粒子的运动速度可测 D 云雾室的运动空间较大 3、对于"分子轨道"的定义，下列叙述中正确的是： ( ) A 分子中电子在空间运动的波函数 B 分子中单个电子空间运动的波函数 C 分子中单电子完全波函数(包括空间运动和自旋运动) D 原子轨道线性组合成的新轨道 4、若K d =?τψ2 ，利用下列哪个常数乘可以使之归一化 ( ) A ． K B ． K 2 C ．K /1 5、对算符而言，其本征函数的线性组合具有下列性质中的 ( ) A ．是该算符的本征函数 B ．不是该算符的本征函数 C ．不一定是该算符的本征函数 D ．与该算符毫无关系 6、下列函数是算符d /dx 的本征函数的是： （ ） A. e 2x B. cos(x) C. x D. sin(x 3) 7、处于状态sin()x a πψ= 的一维势箱中的粒子，其出现在x =2 a 处的概率密度为 ( ) A. 0.25ρ= B. 0.5ρ= C. 2/a ρ= D. ()1/2 2/a ρ= 8、He +在321ψ状态时，物理量有确定值的有 ( ) A ．能量 B ．能量和角动量及其沿磁场分量 C ．能量、角动量 D ．角动量及其沿磁场分量 结构化学复习题 一、选择填空题 第一章量子力学基础知识 1.实物微粒和光一样，既有性，又有性，这种性质称为性。 2.光的微粒性由实验证实，电子波动性由实验证实。 3.电子具有波动性，其波长与下列哪种电磁波同数量级？ （ A）X 射线（B）紫外线（C）可见光（D）红外线 4.电子自旋的假设是被下列何人的实验证明的？ （ A） Zeeman （ B） Gouy（C）Stark（D）Stern-Gerlach 5. 如果 f 和 g 是算符，则(f+g)(f-g)等于下列的哪一个？ (A)f 2-g 2；(B)f2-g2-fg+gf；(C)f2+g2；(D)(f-g)(f+g) 6.在能量的本征态下，下列哪种说法是正确的？ （ A）只有能量有确定值；（B）所有力学量都有确定值； （ C）动量一定有确定值；（D）几个力学量可同时有确定值； 7. 试将指数函数e±ix表示成三角函数的形式------ 8.微观粒子的任何一个状态都可以用 概率密度。 9.Planck常数h的值为下列的哪一个？ （ A） 1.38 × 10-30 J/s（B）1.38× 10-16J/s 10.一维势箱中粒子的零点能是 答案 : 1.略. 2.略. 3.A 4.D 5.B 6.D 7. 来描述；表示粒子出现的（C） 6.02 × 10-27J· s（D）6.62×10-34J· s 略8.略9.D10.略 第二章原子的结构性质 1. 用来表示核外某电子的运动状态的下列各组量子数（n, 1, m, m s）中，哪一组是合理的？ (A)2 ，1， -1,-1/2；(B)0 ， 0，0， 1/2 ；(C)3 ，1， 2， 1/2 ；(D)2 ， 1， 0， 0。 2.若氢原子中的电子处于主量子数n=100 的能级上，其能量是下列的哪一个： (A)13.6Ev ；(B)13.6/10000eV；(C)-13.6/100eV；(D)-13.6/10000eV； 3.氢原子的 p x状态，其磁量子数为下列的哪一个？ (A)m=+1；(B)m=-1；(C)|m|=1；(D)m=0； 4.若将 N 原子的基电子组态写成 1s 22s22p x22p y1违背了下列哪一条？ (A)Pauli 原理；（ B） Hund 规则；（C）对称性一致的原则；（ D）Bohr 理论 5.B 原子的基态为1s22s2p1, 其光谱项为下列的哪一个？ (A) 2 P；（B）1S；(C)2D；(D)3P； 6.p 2组态的光谱基项是下列的哪一个？ （ A）3F；（B）1D；（C）3P；（D）1S； 7.p 电子的角动量大小为下列的哪一个？ （ A） h/2 π；（ B） 31/2 h/4 π；（ C） 21/2 h/2 π；（ D） 2h/2 π； 量子力学习题答案 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ?） ，故： 2e E P /(2)=μ 69h /p h /hc /1.2410/0.7110m 0.71nm --λ====?=?= 1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为 J 102.07K 1K J 10381.12 3 2323123---?=????== kT E 于是有 一维谐振子处于22 /2 ()x x Ae αψ-=状态中，其中α为实常数，求： 1.归一化系数； 2.动能平均值。 （22 x e dx /∞-α-∞ = α?） 解：1.由归一化条件可知： 22 *2x (x)(x)dx A e dx1 A/1 ∞∞ -α -∞-∞ ψψ== =α= ?? 取相因子为零，则归一化系数1/21/4 A/ =απ 2. 2222 2222 2222 2222 22 2 *2x/2x/2 22 2x/2x/2 2 2x/22x/2 22 22x2x/2 22 242x2 T(x)T(x)dx A e(P/2)e dx d A e()e dx 2dx d A e(xe)dx 2dx A{xe(xe)dx} 2 A x e dx A 22 ∞∞ -α-α -∞-∞ ∞ -α-α -∞ ∞ -α-α -∞ ∞∞ -α-α -∞ -∞ ∞ -α -∞ =ψψ=μ =- μ =--α μ =--α--α μ =α= μμ ?? ? ? ? ? ＝（）＝＝ 22 2222 4x 2 2 24x x 2 22 222 24 2 1 ()xd(e) 2 1 A(){xe e dx} 22 1A A() 24 2 ∞ -α -∞ ∞∞ -α-α -∞ -∞ α- α =α--- μα ππαα α-- μμ α ? ? 若α，则该态为谐振子的基态，T 4 ω = 解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H定理是非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为： 22 22 d 1 H x 2dx2 =-+μω μ 它的基态能量 1 E 2 =ω选择为参量，则: 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 兰州化学化学化工学院 结构化学试卷及参考答案 2002级试卷A —————————————————————————————————————— 说明： 1. 试卷页号 5 , 答题前请核对. 2. 题目中的物理量采用惯用的符号，不再一一注明. 3. 可能有用的物理常数和词头： h Planck常数J·s=×10-123N=×10mol -31m=×10 电子质量kg e-34 0-9-12, n: 10 p : 10 词头：—————————————————————————————————————— 一．选择答案，以工整的字体填入题号前[ ]内。（25个小题，共50分） 注意：不要在题中打√号，以免因打√位置不确切而导致误判 [ ] 1. 在光电效应实验中，光电子动能与入射光的哪种物理量呈线形关系：A .波长 B. 频率 C. 振幅 [ ] 2. 在通常情况下，如果两个算符不可对易，意味着相应的两种物理量A．不能同时精确测定 B．可以同时精确测定 C．只有量纲不同的两种物理量才不能同时精确测定 Yθφ)图,[ ] 3. (θφ的变化A．即电子云角度分布图，反映电子云的角度部分随空间方位,θφ的变化,反映原子轨道的角度部分随空间方位即波函数角度分布图，B. C. 即原子轨道的界面图，代表原子轨道的形状和位相 [ ] 4. 为了写出原子光谱项，必须首先区分电子组态是由等价电子还是非等价电子形成的。试判断下列哪种组态是等价组态： 21111 C. 2p2s2s2p B. 1sA．-2-，何者具有最大的顺磁性 , OO , O[ ] 5. 对于222-2- C．O A． B．OO222[] 6. 苯胺虽然不是平面型分子，但-NH与苯环之间仍有一定程度的共轭。据2此判断 A.苯胺的碱性比氨弱 B.苯胺的碱性比氨强 C.苯胺的碱性与氨相同 -的分子轨道与N相似：] 7. 利用以下哪一原理，可以判定CO、CN[2 A．轨 09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为 2020年结构化学复习题及答案精编版 一、 填空题（每空1 分，共 30分） 试卷中可能用到的常数：电子质量（9.110×10-31kg ）, 真空光速（2.998×108m.s -1）, 电子电荷（-1.602×10-19C ）,Planck 常量（6.626×10-34J.s ）, Bohr 半径（5.29×10-11m ）, Bohr 磁子(9.274×10-24J.T -1), Avogadro 常数(6.022×1023mol -1) 1. 导致"量子"概念引入的三个著名实验分别是 黑体辐射___, ____光电效应____ 和___氢原子光谱_______. 2. 测不准关系_____?x ? ?p x ≥ ________________。 3. 氢原子光谱实验中，波尔提出原子存在于具有确定能量的（ 稳定状态（定 态） ），此时原子不辐射能量，从（ 一个定态（E 1） ）向（另一个定态（E 2））跃迁才发射或吸收能量；光电效应实验中入射光的频率越大，则（ 能量 ）越大。 4. 按照晶体内部结构的周期性，划分出一个个大小和形状完全一样的平行六面体，以代表晶体结构的基本重复单位，叫 晶胞 。 5. 方程中，a 称为力学量算符?Skip Record If...?的 本征值 。 6. 如 果某一微观体系有多种可能状态，则由它们线性组合所得的状态也是体系的可能状态，这叫做 态叠加 原理。 7. 将多电子原子中的其它所有电子对某一个电子的排斥作用看成是球对称的，是只与径向有关的力场，这就是 中心力场 近似。 8. 原子单位中，长度的单位是一个Bohr 半径，质量的单位是一个电子的静止质量，而能量的单位为 27.2 eV 。 9. He + 离子的薛定谔方程为____?Skip Record If...? ______ ___。 10. 钠的电子组态为1s 22s 22p 63s 1，写出光谱项__2S____，光谱支项____2S 0______。 11. 给出下列分子所属点群：吡啶____C 2v ___，BF 3___D 3h ___，NO 3-_____ D 3h ___，二茂铁____D 5d _________。 12. 在C 2+，NO ，H 2+，He 2+，等分子中，存在单电子σ键的是____ H 2+____，存在三电子σ键的是______ He 2+_____，存在单电子π键的是____ NO ____，存在三电子π键的是____ C 2+__________。 13. 用分子轨道表示方法写出下列分子基态时价电子组态，键级，磁性。 O 2的价电子组态___1σg 21σu 22σg 22σu 23σg 21πu 41πg 2_（[Be 2] 3σg 21πu 41πg 2）_键级__2___磁性__顺磁性___。 NO 的价电子组态____1σ22σ23σ24σ21π45σ22π（KK1σ22σ21π43σ22π）___键级 ____2.5_______磁性________顺磁性__________。 14. d z 2sp 3杂化轨道形成______三方双锥形____________几何构型。 d 2sp 3杂化轨道形成_________正八面体形 ___________几何构型。 15. 原子轨道线性组合成分子轨道的三个原则是___对称性一致（匹配）原则____，____最大重叠原则_____和___能量相近原则_____ 16. 事实证明Li 的2s 轨道能和H 的1s 轨道有效的组成分子轨道，说明原因（对称性一致（匹配）原则 ）、（ 最大重叠原则 ）、（ 能量相近原则 ）。 ψψa A =? 量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 '=???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 习题 1. CO 是一个极性较小的分子还是极性较大的分子？其偶极矩的方向如何？为什么？ 2. 下列AB型分子：N2，NO，O2，C2，F2，CN，CO，XeF中，哪几个是得电子变为AB–后比原来中性分子键能大？哪几个是失电子变为AB+ 后比原来中性分子键能大？ 3. 按分子轨道理论说明Cl2的键比Cl2+ 的键强还是弱？为什么？ 4. 下列分子中，键能比其正离子的键能小的是____________________ 。键能比其负离子的键能小的是________________________ 。 O2，NO，CN，C2，F2 5. 比较下列各对分子和离子的键能大小： N2，N2+( ) O2，O2+( ) OF，OF–( ) CF，CF+( ) Cl2，Cl2+( ) 6. 写出O2+，O2，O2–和O22–的键级、键长长短次序及磁性。 7. 按分子轨道理论写出NF，NF+ 和NF–基态时的电子组态，说明它们的键级、不成对电子数和磁性。 8. 判断NO 和CO 哪一个的第一电离能小，原因是什么？ 9. HF分子以何种键结合？写出这个键的完全波函数。 10.试用分子轨道理论讨论SO分子的电子结构，说明基态时有几个不成对电子。 11.下列AB型分子：N2，NO，O2，C2，F2，CN，CO，XeF中，哪几个是得电子变为AB–后比原来中性分子键能大？哪几个是失电子变为AB+ 后比原来中性分子键能大？ 12.OH分子于1964年在星际空间被发现。 （a）试按分子轨道理论只用O原子的2 p轨道和H原子的1 s轨道叠加，写出其电子组态。 （b）在哪个分子轨道中有不成对电子？ （c）此轨道是由O和H的原子轨道叠加形成，还是基本上定域于某个原子上？ （d）已知OH的第一电离能为13.2eV，HF的第一电离能为16.05eV，它们的差值几乎与O原子和F原子的第一电离能（15.8eV和18.6eV）的差值相同，为什么？ （e）写出它的基态光谱项。 13.试写出在价键理论中描述H2运动状态的、符合Pauli 原理的波函数，并区分其单态和三重态。 量子力学习题答案 2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论 （一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数 （二）的情形 令,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为 由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 E 0 x 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数 2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1） ∞∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 ∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） ∞∞ 左 中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 当，为任意整数， 则 当，为任意整数， 则 综合得 ∴ 当时，， 波函数 归一化后 当时，， 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左右 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 结构化学复习题及答案 一、 填空题（每空1 分，共 30分） 试卷中可能用到的常数：电子质量（9.110×10-31kg ）, 真空光速（2.998×108m.s -1）, 电子电荷（-1.602×10-19C ）,Planck 常量（6.626×10-34J.s ）, Bohr 半径（5.29×10-11m ）, Bohr 磁子(9.274×10-24J.T -1), Avogadro 常数(6.022×1023mol -1) 1. 导致"量子"概念引入的三个著名实验分别是 黑体辐射___, ____光电效应____ 和___氢原子光谱_______. 2. 测不准关系_____?x ? ?p x ≥ ________________。 3. 氢原子光谱实验中，波尔提出原子存在于具有确定能量的（ 稳定状态（定态） ），此时原子不辐射能量，从（ 一个定态（E 1） ）向（另一个定态（E 2））跃迁才发射或吸收能量；光电效应实验中入射光的频率越大，则（ 能量 ）越大。 4. 按照晶体内部结构的周期性，划分出一个个大小和形状完全一样的平行六面体，以代表晶体结构的基本重复单位，叫 晶胞 。 程中，a 称为力学量算符A ?的 本征值 。 5. 方6. 如果某一微观体系有多种可能状态，则由它们线性组合所得的状态也是体系的可能状态，这叫做 态叠加 原理。 7. 将多电子原子中的其它所有电子对某一个电子的排斥作用看成是球对称的，是只与径向有关的力场，这就是 中心力场 近似。 8. 原子单位中，长度的单位是一个Bohr 半径，质量的单位是一个电子的静止质量，而能量的单位为 27.2 eV 。 9. He + 离子的薛定谔方程为____ψψπεπE r e h =-?-)42μ8(0 2 222______ ___。 10. 钠的电子组态为1s 22s 22p 63s 1，写出光谱项__2S____，光谱支项____2S 0______。 11. 给出下列分子所属点群：吡啶____C 2v ___，BF 3___D 3h ___，NO 3-_____ D 3h ___，二茂铁____D 5d _________。 12. 在C 2+，NO ，H 2+，He 2+，等分子中，存在单电子σ键的是____ H 2+____，存在三电子σ键的是______ He 2+_____，存在单电子π键的是____ NO ____，存在三电子π键的是____ C 2+__________。 13. 用分子轨道表示方法写出下列分子基态时价电子组态，键级，磁性。 O 2的价电子组态___1σg 21σu 22σg 22σu 23σg 21πu 41πg 2_（[Be 2] 3σg 21πu 41πg 2）_键级__2___ ψψa A =? 习 题 1. 用VSEPR 理论简要说明下列分子和离子中价电子空间分布情况以及分子和离子的几何构型。 (1) AsH 3; (2)ClF 3; (3) SO 3; (4) SO 32-; (5) CH 3+ ; (6) CH 3- 2. 用VSEPR 理论推测下列分子或离子的形状。 (1) AlF 63-; (2) TaI 4-; (3) CaBr 4; (4) NO 3-; (5) NCO -; (6) ClNO 3. 指出下列每种分子的中心原子价轨道的杂化类型和分子构型。 (1) CS 2; (2) NO 2+ ; (3) SO 3; (4) BF 3; (5) CBr 4; (6) SiH 4; (7) MnO 4-; (8) SeF 6; (9) AlF 63-; (10) PF 4+ ; (11) IF 6+ ; (12) (CH 3)2SnF 2 4. 根据图示的各轨道的位向关系，遵循杂化原则求出dsp 2 等性杂化轨道的表达式。 5. 写出下列分子的休克尔行列式： CH CH 2 123 4 56781 2 34 6. 某富烯的久期行列式如下，试画出分子骨架，并给碳原子编号。 0100001100101100001100 001101001 x x x x x x 7. 用HMO 法计算烯丙基自由基的正离子和负离子的π能级和π分子轨道，讨论它们的稳定性，并与烯丙基自由基相比较。 8. 用HMO法讨论环丙烯基自由基C3H3·的离域π分子轨道并画出图形，观察轨道节面数目和分布特点；计算各碳原子的π电荷密度，键级和自由价，画出分子图。 9. 判断下列分子中的离域π键类型： (1) CO2 (2) BF3 (3) C6H6 (4) CH2=CH-CH=O (5) NO3－ (6) C6H5COO－ (7) O3 (8) C6H5NO2 (9) CH2＝CH－O－CH＝CH2 (10) CH2＝C＝CH2 10. 比较CO2, CO和丙酮中C—O键的相对长度，并说明理由。 11. 试分析下列分子中的成键情况，比较氯的活泼性并说明理由： CH3CH2Cl, CH2=CHCl, CH2=CH-CH2Cl, C6H5Cl, C6H5CH2Cl, (C6H5)2CHCl, (C6H5)3CCl 12. 苯胺的紫外可见光谱和苯差别很大，但其盐酸盐的光谱却和苯很接近，试解释此现象。 13. 试分析下列分子中的成键情况，比较其碱性的强弱，说明理由。 NH3, N(CH3)2, C6H5NH2, CH3CONH2 14. 用前线分子轨道理论乙烯环加成变为环丁烷的反应条件及轨道叠加情况。 15. 分别用前线分子轨道理论和分子轨道对称性守恒原理讨论己三烯衍生物的电环化反应 在加热或者光照的条件下的环合方式，以及产物的立体构型。 参考文献： 1. 周公度，段连运. 结构化学基础（第三版）. 北京：北京大学出版社，2002 2. 张季爽，申成. 基础结构化学（第二版）. 北京：科学出版社，2006 3. 李炳瑞.结构化学（多媒体版）.北京：高等教育出版社，2004 4. 林梦海，林银中. 结构化学. 北京：科学出版社，2004 5. 邓存，刘怡春. 结构化学基础（第二版）. 北京：高等教育出版社，1995 6.王荣顺. 结构化学（第二版）. 北京：高等教育出版社，2003 7. 夏少武. 简明结构化学教程（第二版）. 北京：化学工业出版社，2001 8. 麦松威，周公度，李伟基. 高等无机结构化学. 北京：北京大学出版社，2001 9. 潘道皑. 物质结构（第二版）. 北京：高等教育出版社，1989 10. 谢有畅，邵美成. 结构化学. 北京：高等教育出版社，1979 11. 周公度，段连运. 结构化学基础习题解析（第三版）. 北京：北京大学出版社，2002 12. 倪行，高剑南. 物质结构学习指导. 北京：科学出版社，1999 13. 夏树伟，夏少武. 简明结构化学学习指导. 北京：化学工业出版社，2004 14. 徐光宪，王祥云. 物质结构（第二版）. 北京：科学出版社， 1987 15. 周公度. 结构和物性：化学原理的应用（第二版）. 北京：高等教育出版社， 2000 16. 曹阳. 结构与材料. 北京：高等教育出版社， 2003 17. 江元生. 结构化学. 北京：高等教育出版社， 1997 18. 马树人. 结构化学. 北京：化学工业出版社， 2001 19. 孙墨珑. 结构化学. 哈尔滨：东北林业大学出版社， 2003简述建立量子力学基本原理的思想方法
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