一、已知下列递推式：
C(n) = 1若n =1
= 2C （n/2） + n – 1 若n ≥ 2
请由定理1 导出C(n)的非递归表达式并指出其渐进复杂性。
定理1：设a,c 为非负整数，b,d,x 为非负常数，并对于某个非负整数k, 令n=c k , 则以下递推式
f(n) =d 若 n=1
=af(n/c)+bn x 若 n>=2
的解是
f(n)= bn x log c n + dn x 若 a=c x f(n)= x x x
a x x
n c a bc n c a bc d c ???
? ??--???? ??-+log 若 a ≠c x 解：令F(n) = C(n) – 1
则 F(n) = 0 n=1
F(n) = 2C(n/2) + n – 2 n>=2
= 2[F(n/2) + 1] + n – 2
= 2F(n/2) + n
利用定理1，其中：
d=0,a=2,c=2,b=1,x=1,并且a=c x
所以 F(n) = nlog 2n
所以 C(n) = F(n) + 1 = nlog 2n + 1
C(n)的渐进复杂性是O(nlog 2n)
二、由于Prim 算法和Kruskal 算法设计思路的不同，导致了其对不同问题实例的效率对比关系的不同。请简要论述：
1、如何将两种算法集成，以适应问题的不同实例输入；
2、你如何评价这一集成的意义？
答：
1、Prim 算法基于顶点进行搜索，所以适合顶点少边多的情况。
Kruskal 从边集合中进行搜索，所以适合边少的情况。
根据输入的图中的顶点和边的情况，边少的选用kruskal 算法，顶点少的选用prim 算法
2、没有一个算法是万能的，没有一个算法是对所有情况都适合的。这一集成体现了针对具体问题选用最适合的方法，即具体问题具体分析的哲学思想。
三、分析以下生成排列算法的正确性和时间效率：
HeapPermute (n )
//实现生成排列的Heap 算法
//输入：一个正正整数n 和一个全局数组A [1..n ]
//输出：A 中元素的全排列
if n = 1
write A
else
for i ←1 to n do
HeapPermute (n -1)
if n is odd
swap A[1]and A[n]
else swap A[i]and A[n]
解：
n=1时，输出a1
n=2时，输出a1a2，a2a1
n=3时，
(1)第一次循环i=1时，HeapPermute(2)将a1a2做完全排列输出，记为
[a1a2]a3，并将A变为a2a1a3，并交换1,3位，得a3a1a2
(2)第二次循环i=2时，HeapPermute(2)输出[a3a1]a2，并将A变为a1a3a2，
交换1,3位，得a2a3a1
(3)第三次循环i=3时，HeapPermute(2)输出[a2a3]a1，并将A变为a3a2a1，
交换1,3位，得a1a2a3，即全部输出完毕后数组A回到初始顺序。
n=4时，
(1)i=1时，HeapPermute(3)输出[a1a2a3]a4，并且a1a2a3顺序不变，交换
1,4位，得a4a2a3a1
(2)i=2时，HeapPermute(3)输出[a4a2a3]a1，并且a4a2a3顺序不变，交换
2,4位，得a4a1a3a2
(3)i=3时，HeapPermute(3)输出[a4a1a3]a2，并且a4a1a3顺序不变，交换
3,4位，得a4a1a2a3
(4)i=4时，HeapPermute(3)输出[a4a1a2]a3，并且a4a1a2顺序不变，交换
4,4位，得a4a1a2a3，即全部输出完毕后数组A循环右移一位。
由以上分析可得出结论：
当n为偶数时，HeapPermute(n)输出全排列后数组元素循环右移一位。
当n为奇数时，HeapPermute(n)输出全排列后数组元素顺序保持不变。
所以由归纳法证明如下：
(1)i=1时，显然成立。
(2)i=k为偶数时，假设输出的是全排列，则i=k+1(奇数)时，k+1次循环中，
每次前k个元素做全排列输出后循环右移一位，所以对换swap A[1]and A[n]可以保证每次将前k个元素中的一个换到k+1的位置，所以k+1次循环后输出的是A[1…k+1]的全排列。
(3)i=k为奇数时，假设输出的是全排列,则i=k+1(偶数)时，k+1次循环中，
每次前k个元素做全排列输出后顺序保持不变，所以对换swap A[i]and A[n]可以保证每次将前k个元素中的一个换到k+1的位置，所以k+1次循环后输出的是A[1…k+1]的全排列。
证毕。
时间复杂度递推公式为T(n) = 1 n=1
= n[ T(n-1)+2 ] n>1
化简得T(n) = n! + O(n n-1)
所以时间复杂度为O(n!) + O(n n-1)
四、对于求n 个实数构成的数组中最小元素的位置问题，写出你设计的具有减治思想算法的伪代码，确定其时间效率，并与该问题的蛮力算法相比较。
解：
(1)算法思想：将n分为[n/2]，n-[n/2]([]表示向下取整)两部分，分别找
出其中的最小元及其位置，比较这两个元素的大小，得出总的最小元素的位置。
(2)伪代码：
(x,i) = FindLeastElement(a,b)
//从数组A[a…b]中找出最小元x，及其位置i
//输入：全局实数数组A[1…n]，搜索起始位置a,结束位置b
//输出：最小元素x及其位置i
if a==b
return（A[a],a）
else
(x1,i) = FindLeastElement(1,[n/2]);
(x2,j) = FindLeastElement([n/2]+1,n);
if x1 return (x1,i) else return (x2,j) (3)算法复杂度递推公式：F(n) = 1 n=1 = 2F(n/2) n>1 化简：F(n) = 2F(n/2) + 1 = 2[2F(n/22)+1] + 1 = 22F(n/22) + 2 + 1 … = 2k F(2k/2k) + 1 + 2 + … + 2k-1 ( n=2k) = 2n-1 所以复杂度为O(2n-1) 蛮力法的复杂度为O(n)，所以此方法还没有蛮力法效率高，因为减治后会增加比较次数。 五、请给出约瑟夫斯问题的非递推公式J（n），并证明之。其中，n 为最初总人数，J(n) 为最后幸存者的最初编号。 解：已知幸存者号码的递推公式：J(1) = 1; J(2k) = 2J(k) – 1; n=2k J(2k+1) = 2J(k) + 1; n=2k+1 幸存者号码非递推公式：设n = 2m + b，J(n) = 2*b+1 (0<=b<2m，m>=0) 证明(数学归纳法)： (1)i=1时，m=0，b=0，J(1)=2*b+1=1，成立。 (2)i>1时， 当i为偶数时，设k = i/2时成立，即k = 2m + b，则J(k) = 2b+1， 此时，i = 2k = 2m+1 + 2b J(i) = J(2k) = 2J(k) – 1 = 2(2b+1) – 1 = 4b + 1 = 2(2b) + 1， 即k=i时成立。 当i为奇数时，设k = (i-1)/2时成立，即k = 2m + b，则J(k) = 2b+1， 此时，i = 2k + 1 = 2m+1 + 2b+1 J(i)= J(2k+1) = 2J(k)+1 = 2(2b+1)+1 = 4b+3 = 2(2b+1)+1，即k=i时成立。 证毕。 大型飞机高级人才培养班 航空工程全日制工程硕士研究生培养方案 一、适用类别或领域 航空工程（085232） 二、培养目标 材料工程、电子与通信工程、控制工程、航空工程领域全日制工程硕士 (以下简称航空工程等领域全日制工程硕士)是与以上各工程领域任职资格相联系的专业学位，主要为国民经济和国防建设等领域培养应用型、复合型高层次工程技术和工程管理人才。大飞机班旨在探索一条“以国家大型项目人才需求为索引，培养具有献身精神、团结协作精神、开拓创新精神的设计型和复合型人才”的研究生培养新模式，是北航研究生培养体系的一部分。 航空工程等领域全日制工程硕士培养的基本要求是： 1、坚持党的基本路线，热爱祖国、遵纪守法、品行端正、诚实守信、身心健康，具有良好的科研道德和敬业精神。 2、在本领域掌握坚实的基础理论和系统的专门知识，有较宽的知识面和较强的自立能力，具有大飞机设计、制造、运营、管理等领域需求的创造能力和工程实践能力。 3、掌握一门外国语。 三、培养模式及学习年限 1．航空工程等领域全日制工程硕士研究生培养实行导师负责制，或以导师为主的指导小组制，负责制订硕士研究生个人培养计划，选课、组织开题报告、论文中期检查、指导科学研究和学位论文，并与中国商飞、第一飞机设计研究院、西飞公司等航空企业联合培养，实行导师组指导。 2．硕士研究生一般用1学年完成课程学习，课程学习实行学分制，具体学习、考核及管理工作执行《北京航空航天大学研究生院关于研究生课程学习管理规定》。 3．专业实习是全日制工程硕士研究生培养中的重要环节，全日制工程硕士研究生在学期间，应保证不少于0.5年的工程实践。 4．学位论文选题应来源于航空工程等领域工程技术背景。鼓励实行双导师制，其中第一导师为校内导师，校外导师应是与本工程领域相关的专家，也可以根据学生的论文 991数据结构与C语言程序设计考试大纲（2013版）2013年《数据结构与C语言程序设计》考试内容包括“数据结构”与“C语言程序设计”两 门课程的内容，各占比例50%，试卷满分为150分。 《数据结构》部分 指定参考书：《数据结构教程（第二版）》唐发根编著北京航空航天大学出版社 一、概述 1．数据的逻辑结构与存储结构的基本概念； 2．算法的定义、基本性质以及算法分析的基本概念，包括采用大 形式表示时间复杂度和空间复杂度。 二、线性表 1．线性关系、线性表的定义，线性表的基本操作； 2．线性表的顺序存储结构与链式存储结构(包括单(向)链表、循环链表和双向链表)的构造原理； 3．在以上两种存储结构的基础上对线性表实施的基本操作，包括顺序表的插入与删除、链表的建立、插入与删除、查找等操作对应的算法设计(含递归算法的设计)。 三、堆栈与队列 1．堆栈与队列的基本概念与基本操作； 2．堆栈与队列的顺序存储结构与链式存储结构的构造原理； 3．在不同存储结构的基础上对堆栈与队列实施插入与删除等基本操作的算法设计； 4．堆栈和队列在解决实际问题中应用。 四、树与二叉树 1．树与二叉树的基本概念，基本特征、名词术语； 2．完全二叉树与满二叉树的基本概念，二叉树的基本性质； 3．二叉树与树、树林之间的转换； 4．二叉树的顺序存储结构与二叉链表存储结构； 5．二叉树的前序遍历、中序遍历、后序遍历和按层次遍历，以及在二叉链表基础上各种遍历算法(重点为非递归算法)的设计与应用； 6．二叉排序树的基本概念、建立(插入)、查找与平均查找长度ASL的计算； 7．哈夫曼(Huffman)树的基本概念，哈夫曼树的构造与带权路径长度(WPL)的计算。 五、图 1．图的基本概念、名词术语； 2．图的邻接矩阵存储方法和邻接表(含逆邻接表)存储方法的构造原理及特点； 3．图的深度优先搜索与广度优先搜索； 4．最小(代价)生成树、最短路径、AOV网与拓扑排序以及AOE网与关键路径的基本概念与求解过程。 六、文件及查找 1．顺序查找法以及平均查找长度(ASL)的计算； 2．折半查找法以及平均查找长度(ASL)的计算，包括查找过程对应的“判定树”的构造； 3．B-树和B+树的基本概念，B-树的插入与查找； 4．散列(Hash)表的构造、散列函数的构造，散列冲突的基本概念、处理散列冲突的基本方法以 北航2008年961计算机专业综合考试大纲 一、考试组成 961计算机专业综合共包括四门课程的内容：计算机组成原理、数据结构、操作系统、数理逻辑，分别占40分、40分、40分、30分。 二、计算机组成原理 参考书：《计算机组成原理》，高等教育出版社，唐朔飞编著 1．存储系统 ① 主存储器：存储单元电路及其工作原理、存储芯片结构及其工作原理、DRAM的刷新原理和刷新 方式、存储器的扩展方法。 ② 高速缓冲存储器：Cache的基本结构和工作原理、Cache的地址映射方式、Cache的替换策略。 ③ 辅助存储器：磁盘存储器的结构、访问特征和性能参数计算。 2．指令系统 ① 指令格式：机器指令的一般格式以及指令字中各字段的作用和特点。 ② 寻址方式：常见寻址方式的有效地址计算方法、寻址范围、作用和特点。 ③ 指令系统的设计：指令格式设计的相关因素及基本方法、扩展操作码技术。 3．CPU ① CPU的功能和结构：CPU的基本功能、内部结构、数据通路、控制信号。 ② 控制单元的功能：指令周期、多级时序系统、控制方式、指令执行过程的微操作流程分析。 ③ 控制单元的设计：微程序控制器的结构和工作原理、微指令的格式和编码方式、微程序设计。 4．输入输出技术 ① 总线：总线的分类、总线的判优（仲裁）控制方式、总线的通信控制方式。 ② I/O控制方式：中断响应与中断处理、DMA方式的工作原理。 三、数据结构 参考书：《数据结构教程》（第二版），唐发根编著，北京航空航天大学出版社（第3次印刷） 1．线性表 ① 线性关系，线性表的定义，线性表的基本操作； ② 线性表的顺序存储结构与链式存储结构（单链表、循环链表和双向链表）的构造原理； ③ 在以上两种存储结构的基础上对线性表实施的基本操作对应的算法设计。 2．堆栈与队列 ① 堆栈与队列的基本概念，基本操作； ② 堆栈与队列的顺序存储结构与链式存储结构的构造原理； ③ 在以上两种存储结构的基础上对堆栈与队列实施插入与删除等基本操作的算法设计。 一、已知下列递推式： C(n) = 1若n =1 = 2C （n/2） + n – 1 若n ≥ 2 请由定理1 导出C(n)的非递归表达式并指出其渐进复杂性。 定理1：设a,c 为非负整数，b,d,x 为非负常数，并对于某个非负整数k, 令n=c k , 则以下递推式 f(n) =d 若 n=1 =af(n/c)+bn x 若 n>=2 的解是 f(n)= bn x log c n + dn x 若 a=c x f(n)= x x x a x x n c a bc n c a bc d c ??? ? ??--???? ??-+log 若 a ≠c x 解：令F(n) = C(n) – 1 则 F(n) = 0 n=1 F(n) = 2C(n/2) + n – 2 n>=2 = 2[F(n/2) + 1] + n – 2 = 2F(n/2) + n 利用定理1，其中： d=0,a=2,c=2,b=1,x=1,并且a=c x 所以 F(n) = nlog 2n 所以 C(n) = F(n) + 1 = nlog 2n + 1 C(n)的渐进复杂性是O(nlog 2n) 二、由于Prim 算法和Kruskal 算法设计思路的不同，导致了其对不同问题实例的效率对比关系的不同。请简要论述： 1、如何将两种算法集成，以适应问题的不同实例输入； 2、你如何评价这一集成的意义？ 答： 1、Prim 算法基于顶点进行搜索，所以适合顶点少边多的情况。 Kruskal 从边集合中进行搜索，所以适合边少的情况。 根据输入的图中的顶点和边的情况，边少的选用kruskal 算法，顶点少的选用prim 算法 2、没有一个算法是万能的，没有一个算法是对所有情况都适合的。这一集成体现了针对具体问题选用最适合的方法，即具体问题具体分析的哲学思想。 三、分析以下生成排列算法的正确性和时间效率： HeapPermute (n ) //实现生成排列的Heap 算法 //输入：一个正正整数n 和一个全局数组A [1..n ] //输出：A 中元素的全排列 if n = 1 write A else for i ←1 to n do HeapPermute (n -1) 2011 年硕士研究生入学考试 “数据结构与C语言程序设计”(科目代码:991)试题与答案 一、单项选择题(本题共20分，每小题各2分) 1．下列关于线性表的存储结构的叙述中，错误的是。 A．线性表的顺序存储结构中隐式地存储了数据元素之间的逻辑关系 B．线性表的顺序存储结构一定需要占用一片地址连续的存储空间 C．线性表的链式存储结构通过指针来反映数据元素之间的逻辑关系 D．线性表的链式存储结构占用的存储空间一定不连续 2．若front 和rear 分别表示链接队列的队头指针与队尾指针，则向队列中插入一个由p 指的新元素的过程是依次执行。 A．rear=p; front=p; B．front=p; rear=p; C．rear->link=p; rear=p; D．front->link=p; rear=p; 3．下列关于二叉树的叙述中，正确的是。 A．二叉树的度可以小于2 B．二叉树的度等于2 C．二叉树中至少有一个结点的度为2 D．二叉树中每一个结点的度都为2 4．若某二叉树有40个叶结点，则该二叉树的结点总数最少是。 A．78 B．79 C．80 D．81 5．若采用邻接矩阵存储一个有向图，且邻接矩阵主对角线以下元素均为0，则该有向图的拓扑序列。 A．存在且惟一B．存在但可能不惟一 C．不存在D．无法确定 6．下面关于AOE 网的叙述中，正确的是。 A．AOE 网是一个带权的连通图 B．AOE 网是一个带权的强连通图 C．AOE 网是一个带权的无回路的连通图 D．AOE 网是一个带权且无回路的有向图 7．下列关于线性表查找方法的叙述中，错误的是。 A．顺序查找法适合于采用顺序存储结构和链式存储结构的线性表的查找 B．对于相同元素，顺序查找法一定能够查找到表中首次出现的元素 C．对于相同元素，折半查找法一定能够查找到表中首次出现的元素 D．对于相同元素，折半查找法不一定能够查找到表中首次出现的元素 8．在二叉排序树中进行查找的平均时间效率主要与下列因素之一有关，该因素是。A．二叉排序树的深度B．二叉排序树中结点的个数的多少 C．被查找结点的度D．二叉排序树的存储结构 9．下列4 种排序方法中，每一趟排序结束时不一定能够确定一个元素排序最终位置的是。 A．插入排序B．快速排序 C．堆积(Heap)排序D．二路归并排序 2 10．下列4 种排序方法中，当待排序的序列中元素初始时已经按值有序，排序所花费的 一：判断题 1、一个正确的算法，对于每个合法输入，都会在有限的时间内输出一个满足要求的结果。（对） 2、NP完全问题比其他所有NP问题都要难。（错） 3、回溯法用深度优先法或广度优先法搜索状态空间树。（错，仅深度优先） 4、在动态规划中，各个阶段所确定的策略就构成一个策略序列，通常称为一个决策。（错） 5、P类和NP类问题的关系用P?NP来表示是错误的。（错） 6、若近似算法A求解某极小化问题一实例的解为Sa，且已知该问题的最优解为Sa/3，则该近似算法的性能比为3。（错） 7、通常来说，算法的最坏情况的时间复杂行比平均情况的时间复杂性容易计算。（对） 8、若P2多项式时间转化为(polynomial transforms to)P1，则P2至少与P1一样难。（错） 9、快速排序算法的平均时间复杂度是O(nlogn)，使用随机化快速排序算法可以将平均时间复杂度降得更低。（错） 10、基于比较的寻找数组A[1,…,n]中最大元素的问题下届是Ω(n/3)。（错） 11、O(f(n))+O(g(n))=O(min{f(n),g(n)})（错） 12、若f(n)=Ω(g(n))，g(n)=Ω(h(n))，则f(n)=Ω(h(n))（对） 13、若f(n)=O(g(n))，则g(n)=Ω(f(n))（对） 14、贪婪技术所做的每一步选择所产生的部分解，不一定是可行性的。（错） 15、LasVegas算法只要给出解就是正确的。（对） 16、一个完全多项式近似方案是一个近似方案{Aε}，其中每一个算法Aε在输入实例I的规模的多项式时间内运行。（错） 二：简答 1、二叉查找树属于减治策略的三个变种中的哪一个的应用？什么情况下二叉查找树表现出最差的效率？此时的查找和插入算法的复杂性如何？ 答：减治策略有3个主要的变种，包括减常量、减常数因子和减可变规模。(1) 二叉查找树属于减可变规模变种的应用。(2) 当先后插入的关键字有序时，构成的二叉查找树蜕变为单支树，树的深度等于n，此时二叉查找树表现出最差的效率，(3) 查找和插入算法的时间效率都属于Θ(n)。 2、何谓伪多项式算法？如何将一Monte Carlo算法转化为Las Vegas算法？ 答：若一个数值算法的时间复杂度可以表示为输入数值N的多项式，但其运行时间与输入数值N的二进制位数呈指数增长关系，则称其时间复杂度为伪多项式时间。 Las Vegas算法不会得到不正确的解。一旦用拉斯维加斯算法找到一个解，这个解就一定是正确解。但有时用拉斯维加斯算法找不到解。 Monte Carlo算法每次都能得到问题的解，但不保证所得解的准确性 转化：可以在Monte Carlo算法给出的解上加一个验证算法，如果正确就得到解，如果错误就不能生成问题的解，这样Monte Carlo算法便转化为了Las Vegas算法。 3、构造AVL树和2-3树的主要目的是什么？它们各自有什么样的查找和插入的效率？ 答：(1)当先后插入的关键字有序时，构成的二叉查找树蜕变为单支树，树的深度等于n，此时二叉查找树表现出最差的效率，为了解决这一问题，可以构造AVL树或2-3树，使树的深度减小。一棵AVL树要求它的每个节点的左右子树的高度差不能超过1。2-3树和2-3-4树允许一棵查找树的单个节点不止包含一个元素。(2) AVL树在最差情况下，查找和插入操作的效率属于Θ(lgn)。2-3树无论在最差还是平均情况下，查找和插入的效率都属于Θ(log n)。 4、写出0/1背包问题的一个多项式等价(Polynomial Equivalent)的判定问题，并说明为什么它们是多项式等价的。 答：0/1背包问题：从M件物品中，取出若干件放在空间为W的背包里，给出一个能获得最大价值的方案。每件物品的体积为W1，W2……Wn，与之相对应的价值为P1,P2……Pn。+ 1、GPA算法 网上流传着各种各样的算法，但是需要强调的是，美国人知道中国的大部分学校不用GPA，因此相当多的学校在网申系统里明确指出，不允许将自己的成绩换算成美国的GPA，比如Caltech，Princeton，Stanford等，这一栏留着不填即可。有的学校则要求按照我们的评定成绩规则填写，北航是用百分制的平均分，那么我们可以填写在保研是用的大学前三年的必修课平均成绩，到时候教务会算好。还有很多的学校没做要求，就按照北航的GPA算法计算。 其实自己填写的GPA只是一个参考，可以写在简历里辅助申请，对方学校会按照他们的标准重新计算。可能具体的教授还会拿出你的某些重要的课程评估你的GPA，因此其实研究哪种算法算的更高没有意义，之所以这么说还有一点原因就是北航的学生在算GPA时必须严格按照自己学校的GPA算法计算。 2、北航的GPA算法 在开成绩单时，学校不给算GPA，但是在成绩单上有GPA的算法，那么在计算GPA是就应该按照这个算法来计算，不可以采用其他的算法。当然也没规定一定严格按照这个算法，但是既然写在了官方的成绩单上，就应该这么算，要不然会有作弊之嫌。 2.1、具体算法如下：85～100/A：4； 70～84/B：3； 60～69/C：2； 不及格/F：0； 按照通过与不通过评分的，算法如下： 通过/P： 3.3； 不通过/F：0； 例如，有三门课，学分分别为1、2、3，得分分别为86、76和通过，那么这三门课的GPA 就是（4×1+3×2+3.3×3）/（1+2+3）=3.32 总体来讲，北航的GPA算法还是很有优势的。 2.2、计算GPA的课程范围： 全部课程，包括所有的必修，任何形式的选修，只要是出现在成绩单上的都要算，大学前三年学过的所有课程都会出现在成绩单上。不要试图去修改成绩，北航也不允许去掉更不允许修改成绩。 991“数据结构与C语言程序设计”考试大纲（2017版） 2017年“数据结构与C语言程序设计”考试内容包括“数据结构”与“C语言程序设计”两门课程的内容，各占比例50%。试卷满分为150分。 “数据结构”部分 一、概述 1．数据的逻辑结构与存储结构的基本概念； 2．算法的定义、基本性质以及算法分析的基本概念，包括采用大O形式表示时间复杂度和空间复杂度。 二、线性表 1．线性关系、线性表的定义，线性表的基本操作； 2．线性表的顺序存储结构与链式存储结构(包括单(向)链表、循环链表和双向链表)的构造原理； 3．在以上两种存储结构的基础上对线性表实施的基本操作，包括顺序表的插入与删除、链表的建立、插入与删除、查找等操作对应的算法设计(含递归算法的设计)。 三、数组 1．一维数组和二维数组的存储； 2．矩阵的压缩存储的基本概念； 3．对称矩阵、对角矩阵以及三角矩阵的压缩存储。 四、堆栈与队列 1．堆栈与队列的基本概念与基本操作； 2．堆栈与队列的顺序存储结构与链式存储结构的构造原理； 3．在不同存储结构的基础上对堆栈与队列实施插入与删除等基本操作的算法设计； 4. 循环队列的基本概念； 5．堆栈和队列在解决实际问题中应用。 五、树与二叉树 1．树与二叉树的基本概念，基本特征、名词术语； 2．完全二叉树与满二叉树的基本概念，二叉树的基本性质及其应用； 3．二叉树的顺序存储结构与二叉链表存储结的基本原理； 4．二叉树的前序遍历、中序遍历、后序遍历和按层次遍历，重点是二叉树在以二叉链表作为存储结构基础上各种遍历算法(包括非递归算法)的设计与应用； 5．二叉排序树的基本概念、建立(插入)、查找以及平均查找长度ASL的计算。 六、图 1．图的基本概念、名词术语； 2．图的邻接矩阵存储方法和邻接表(含逆邻接表)存储方法的构造原理及特点； 3．图的深度优先搜索与广度优先搜索； 4．最小(代价)生成树、最短路径、AOV网与拓扑排序以及AOE网与关键路径的基本概念与求 解过程。 七、文件及查找 1．顺序查找法以及平均查找长度(ASL)的计算； 2．折半查找法以及平均查找长度(ASL)的计算，包括查找过程对应的“判定树”的构造； 3．B-树和B+树的基本概念，B-树的插入与查找； 4．散列(Hash)表的构造、散列函数的构造，散列冲突的基本概念、处理散列冲突的基本方法以及散列表的查找和平均查找长度的计算。 八、内排序 1．排序的基本概念，各种内排序方法的基本原理和特点，包括排序过程中进行的元素之间的比较次数，排序总趟数、排序稳定性以及时间复杂度与空间复杂度计算； 2．插入排序法(含折半插入排序法)； 3．选择排序法； 4．(起)泡排序法； 5．谢尔(Shell)排序法； 6．快速排序法； 7．堆积(Heap)排序法，包括堆积的定义与构造； 8．二路归并排序法。 “C语言程序设计”部分 2015. 机试两道题矩阵+字符串（60+40），后来我在论坛中看到往年机试也是这样的形式，连题型都相同。 1.矩阵 输入 开始数字和矩阵大小如1 3 输出 1 2 5 4 3 6 9 8 7 2.字符串替换，这是个比较常见的题了 将原始字符串中所有应替换字符串替换为目标字符串 2014. 第一题，阶乘数。 输入一个正整数，输出时，先输出这个数本身，跟着一个逗号，再输出这个数的各位数字的阶乘和，等号， 阶乘和的计算结果，并判断阶乘和是否等于原数，如果相等输出Yes，否则输出N o。题目说明输入的正整数 以及其各位阶乘和都不会超出int型的表示范围。 输入样例1： 145 输出样例1： 145,1!+4!+5!=145 Yes 输入样例2： 1400 输出样例2： 1400,1!+4!+0!+0!=27 No 第二题，五子棋。 输入一个19*19的矩阵，只包含数字0、1、2，表示两人下五子棋的棋牌状态，1、2分别表示两人的棋子，0表示空格。 要求判断当前状态下是否有人获胜（横向、竖向或者斜线方向连成5个同色棋子）。题目说明输入样例保证每条线上至多 只有连续5个同色棋子，并且保证至多只有1人获胜。如果有人获胜，输出获胜者（1或2）加一个冒号，接着输出获胜的 五连珠的第一个棋子的坐标，从上到下从左到右序号最小的为第一个，序号从1开始编号。如果无人获胜，输出no。 2011. 2013. 1. 给定两个元素个数不超过20的整数数组a和b，要求将a和b合并成一个新数组。合并规则：如果一个元素在两个数组中同时出现，则需在合并后的数组中去掉该元素；对于只在一个数组中重复出现的元素，合并后只保留一个。合并后按照从小到大的顺序将新数组输出（测试数据保证不会出现合并后无数据的情况）。 一、已知下列递推式： C(n) = 1 若n =1 = 2C （n/2） + n – 1 若n ≥ 2 请由定理1 导出C(n)的非递归表达式并指出其渐进复杂性。 定理1：设a,c 为非负整数，b,d,x 为非负常数，并对于某个非负整数k, 令n=c k , 则以下递推式 f(n) =d 若 n=1 =af(n/c)+bn x 若 n>=2 的解是 f(n)= bn x log c n + dn x 若 a=c x f(n)= x x x a x x n c a bc n c a bc d c ???? ??--???? ??-+log 若 a ≠c x 解：令F(n) = C(n) – 1 则 F(n) = 0 n=1 F(n) = 2C(n/2) + n – 2 n>=2 = 2[F(n/2) + 1] + n – 2 = 2F(n/2) + n 利用定理1，其中： d=0,a=2,c=2,b=1,x=1,并且a=c x 所以 F(n) = nlog 2n 所以 C(n) = F(n) + 1 = nlog 2n + 1 C(n)的渐进复杂性是O(nlog 2n) 二、由于Prim 算法和Kruskal 算法设计思路的不同，导致了其对不同问题实例的效率对比关系的不同。请简要论述： 1、如何将两种算法集成，以适应问题的不同实例输入； 2、你如何评价这一集成的意义？ 答： 1、Prim 算法基于顶点进行搜索，所以适合顶点少边多的情况。 Kruskal 从边集合中进行搜索，所以适合边少的情况。 根据输入的图中的顶点和边的情况，边少的选用kruskal 算法，顶点少的选用prim 算法 2、没有一个算法是万能的，没有一个算法是对所有情况都适合的。这一集成体现了针对具体问题选用最适合的方法，即具体问题具体分析的哲学思想。 三、分析以下生成排列算法的正确性和时间效率： HeapPermute (n ) //实现生成排列的Heap 算法 二、计算机组成原理部分的考试大纲（60分） <一>、整体要求 (一)理解单处理器计算机系统中各部件的内部工作原理、组成结构以及相互连接方式， 具有完整的计算机系统的整机概念； (二)理解计算机系统层次化结构概念，掌握以MIPS为代表的RISC指令集体系结构的 基本知识，能对MIPS汇编程序设计语言的相关问题进行分析； (三)理解计算机存储系统的层次化结构，掌握层次化存储系统的设计、分析和性能计算； (四)能根据指令语义进行单周期、多周期或流水线MIPS处理器的数据通路及其控制器 的分析和简单设计； (五)理解并掌握输入输出系统的基本知识。 <二>、知识要点 (一)、计算机系统概述 （1）计算机系统的基本组成与层次结构 （2）计算机系统的性能指标：吞吐量、响应时间、带宽、延迟；CPU时钟周期、主频、CPI、CPU执行时间；MIPS、MFLOPS、GFLOPS、TFLOPS、PFLOPS。 (二)、数据的表示和运算 （1）数制与编码 （2）定点数和浮点数的表示和运算 （3）算术逻辑单元ALU 串行加法器和并行加法器 算术逻辑单元ALU的功能和结构 (三)、存储器层次结构 （1）存储器的层次化结构 （2）主存储器与CPU的连接 （3）高速缓冲存储器(Cache) Cache的基本工作原理 Cache和主存之间的映射方式 Cache中主存块的替换算法与写策略 多层次Cache性能计算 （4）虚拟存储器 虚拟存储器的基本概念 页式虚拟存储器 TLB(快表) (四)、MIPS指令系统及汇编语言 （1）指令系统的基本知识（指令格式、寻址方式） （2）MIPS汇编语言 (五)、MIPS处理器 （1）CPU的功能和基本结构 （2）单周期、多周期MIPS处理器数据通路的功能和基本结构 （3）硬布线控制器的功能和工作原理 单周期处理器控制器 多周期处理器控制器 （4）指令流水线 指令流水线的基本概念 2019北航计算机考研专业课961考研大纲 一、考试组成 961计算机基础综合共包括三门课程的内容：计算机组成原理、操作系统、计算机网络技术，分别占60分，50分、40分。所有课程均不指定参考书。 二、计算机组成原理部分的考试大纲（60分） <一>、整体要求 (一).理解单处理器计算机系统中各部件的内部工作原理、组成结构以及相互连接方式，具有完整的计算机系统的整机概念； (二).理解计算机系统层次化结构概念，掌握以MIPS为代表的RISC 指令集体系结构的基本知识，能对MIPS汇编程序设计语言的相关问题进行分析； (三).理解计算机存储系统的层次化结构，掌握层次化存储系统的设计、分析和性能计算； (四).能根据指令语义进行单周期、多周期或流水线MIPS处理器的数据通路及其控制器的分析和简单设计； (五).理解并掌握输入输出系统的基本知识。 <二>、知识要点 (一)、计算机系统概述 （1）计算机系统的基本组成与层次结构 （2）计算机系统的性能指标：吞吐量、响应时间、带宽、延迟；CP U时钟周期、主频、CPI、CPU执行时间；MIPS、MFLOPS、GFLOPS、T FLOPS、PFLOPS。 (二)、数据的表示和运算 （1）数制与编码 （2）定点数和浮点数的表示和运算 （3）算术逻辑单元ALU l串行加法器和并行加法器 l算术逻辑单元ALU的功能和结构 (三)、存储器层次结构 （1）存储器的层次化结构 （2）主存储器与CPU的连接 （3）高速缓冲存储器(Cache) lCache的基本工作原理 lCach和主存之间的映射方式 lCache中主存块的替换算法与写策略 l多层次Cache性能计算 （4）虚拟存储器 l虚拟存储器的基本概念 l页式虚拟存储器 lTLB(快表) (四)、MIPS指令系统及汇编语言 一、解： 设第k月的需求量为Nk(k=1,2,3,4) 状态变量Xk：第k月初的库存量，X1=X5=0，0≤Xk≤Nk+…+N4 决策变量Uk：第k月的生产量，max{0，Nk-Xk}≤Uk≤min{6，Nk+…+N4 - Xk} 状态转移方程：X k+1 = Uk + Xk – Nk 第k月的成本Vk = 0.5*(Xk - Nk) Uk=0 3 + Uk + 0.5*(Uk + Xk - Nk) Uk≠0 设F k(Xk)是由第k月初的库存量Xk开始到第4月份结束这段时间的最优成本则F k(Xk) = min{Vk + F k+1(X k+1)} 1≤k≤4 = min{ 3 + Uk + 0.5*(Uk + Xk - Nk) + F k+1(Uk + Xk - Nk) } Uk≠0 min{ 0.5*(Xk - Nk) + F k+1(Xk - Nk) } Uk=0 F5(X5)=0 四个月内的最优成本为F1(X1)=F1(0) 详细计算步骤如下： （1）k=4时 4 （2）k=3时 （3）k=2时 （4）k=1时 由以上计算可得，4个月的总最优成本为F1(0) = 20.5(千元) 二、解： 1、变量设定 阶段k：已遍历过k个结点，k=1,2…6,7。 K=1表示刚从V1出发，k=7表示已回到起点V1 状态变量Xk=(i，Sk)：已遍历k个结点，当前位于i结点，还未遍历的结点集合 为Sk。则X1=(1，{2,3,4,5,6})，X6=(i，Φ)，X7=(1，Φ) 决策变量Uk=(i，j)：已遍历k个结点，当前位于i结点，下一个结点选择j。 状态转移方程：X k+1 = T(Xk，Uk) = (j，Sk-{j}) 第k阶段的指标函数Vk = D[i,j]。 最优指标函数Fk(Xk) = Fk(i，Sk)：已遍历k个结点，当前从i结点出发，访问Sk 中的结点一次且仅一次，最后返回起点V1的最短距离。则Fk(i，Sk) = min{ D[i,j] + F k+1(j，Sk-{j}) } 1≤k≤6 F7(X7) = F7(1，Φ) = 0 2、分析： （1）k=6时，F6(i，Φ) = min{D[i,1] + F7(X7)} = D[i,1] i=2,3,4,5,6 用分支定界算法求以下问题： 某公司于乙城市的销售点急需一批成品，该公司成品生产基地在甲城市。甲城市与乙城市之间共有 n 座城市，互 相以公路连通。甲城市、乙城市以及其它各城市之间的公路连通情况及每段公路的长度由矩阵 M1 给出。每段公路均 由地方政府收取不同额度的养路费等费用，具体数额由矩阵 M2 给出。 请给出在需付养路费总额不超过 1500 的情况下，该公司货车运送其产品从甲城市到乙城市的最短运送路线。 具体数据参见文件： m1.txt: 各城市之间的公路连通情况及每段公路的长度矩阵 (有向图 ); 甲城市为城市 Num.1 ，乙城市为城市 Num.50 。 m2.txt: 每段公路收取的费用矩阵(非对称) 。 思想： 利用 Floyd 算法的基本方法求解。 程序实现流程说明： 1. 将m1.txt 和m2.txt 的数据读入两个50 X 50的数组。 2. 用 Floyd 算法求出所有点对之间的最短路径长度和最小费用。 3. 建立一个堆栈，初始化该堆栈。 4. 取出栈顶的结点，检查它的相邻的所有结点，确定下一个当前最优路径上的结点，被扩展的结点依次 加入堆栈中。在检查的过程中，如果发现超出最短路径长度或者最小费用，则进行”剪枝” ，然后回溯。 5. 找到一个解后，保存改解，然后重复步骤 4。 6. 重复步骤 4、5，直到堆栈为空，当前保存的解即为最优解。 时间复杂度分析： 3 Floyd 算法的时间复杂度为0( N ), N 为所有城市的个数。 该算法的时间复杂度等于DFS 的时间复杂度，即O(N+E)o 其中，E 为所有城市构成的有向连通图的边的 总数。但是因为采用了剪枝，会使实际运行情况的比较次数远小于 求解结果： 算法所得结果： 甲乙之间最短路线长度是：464 最短路线收取的费用是：1448 最短路径是 ： 1 3 8 11 15 21 23 26 3 2 37 39 45 47 50 C 源代码(注意把 m1.txt 与 m2.txt 放到与源代码相同的目录下， #include 991“数据结构与C语言程序设计”考试大纲（2020版）2020年“数据结构与C语言程序设计”考试内容包括“数据结构”与“C语言程序设计”两 门课程的内容，各占比例50%。试卷满分为150分。 “数据结构”部分 一、概述 1．数据的逻辑结构与存储结构的基本概念； 2．算法的定义、基本性质以及算法分析的基本概念，包括采用大 形式表示时间复杂度和空间复杂度。 二、线性表 1．线性关系、线性表的定义，线性表的基本操作； 2．线性表的顺序存储结构与链式存储结构(包括单(向)链表、循环链表和双向链表)的构造原理； 3．在以上两种存储结构的基础上对线性表实施的基本操作，包括顺序表的插入与删除、链表的建立、插入与删除、查找等操作对应的算法设计(含递归算法的设计)。 三、数组 1．一维数组和二维数组的存储； 2．矩阵的压缩存储的基本概念； 3．对称矩阵、对角矩阵以及三角矩阵的压缩存储。 四、堆栈与队列 1．堆栈与队列的基本概念与基本操作； 2．堆栈与队列的顺序存储结构与链式存储结构的构造原理； 3．在不同存储结构的基础上对堆栈与队列实施插入与删除等基本操作的算法设计； 4．堆栈和队列在解决实际问题中应用。 五、树与二叉树 1．树与二叉树的基本概念，基本特征、名词术语； 2．完全二叉树与满二叉树的基本概念，二叉树的基本性质及其应用； 3．二叉树的顺序存储结构与二叉链表存储结的基本原理； 4．二叉树的前序遍历、中序遍历、后序遍历和按层次遍历，重点是二叉树在以二叉链表作为存储结构基础上各种遍历算法(包括非递归算法)的设计与应用； 5．二叉排序树的基本概念、建立(插入)、查找以及平均查找长度ASL的计算。 六、图 1．图的基本概念、名词术语； 2．图的邻接矩阵存储方法和邻接表(含逆邻接表)存储方法的构造原理及特点； 3．图的深度优先搜索与广度优先搜索； 4．最小(代价)生成树、最短路径、AOV网与拓扑排序的基本概念。 七、文件及查找 1．顺序查找法以及平均查找长度(ASL)的计算； 2．折半查找法以及平均查找长度(ASL)的计算，包括查找过程对应的“判定树”的构造； 3．散列(Hash)表的构造、散列函数的构造，散列冲突的基本概念、处理散列冲突的基本方法以及散列表的查找和平均查找长度的计算。 八、内排序 1．排序的基本概念，各种内排序方法的基本原理和特点，包括排序过程中进行的元素之间的 971机械工程专业综合考试大纲（2010版） 一、考试组成 971机械工程专业综合试卷共分四部分： 1）理论力学（动力学）； 2）机械原理； 3）机械设计； 4）自动控制原理。 各部分满分均为50分。 其中1）、2）部分为必答部分；3）、4）部分为选答部分，考生二选一作答。 二、理论力学（动力学）部分的考试大纲 （一）参考教材 1．《动力学》（第2版）1-7章谢传锋主编，高等教育出版社 （二）主要内容及基本要求 1. 质点动力学 ⑴质点运动学（在直角坐标系和自然轴系下描述、点的复合运动） ⑵质点动力学方程（在惯性系和非惯性系中表示）、 ⑶点的复合运动 初步掌握上述内容的概念、分析的基本方法和思路。 2. 质点系动力学 ⑴动量定理 ⑵变质量质点动力学基本方程 ⑶对定点和动点的动量矩定理 ⑷动能定理 掌握上述内容的定理、基本方程，特别是各种问题的分析方法。 3. 刚体动力学I、动静法 ⑴刚体平面运动的运动学和动力学 ⑵达朗贝尔原理（惯性力的简化、动静法、动平衡与静平衡） 4. 刚体动力学II、拉格朗日方程 ⑴拉格朗日方程 ⑵动力学普遍方程 ⑶动力学II（刚体的定点运动与一般运动的运动学与动力学） 5. 振动基础 ⑴单自由度系统的振动 在掌握必要的基础知识外，重点是能够有建立力学、数学模型及提出问题和分析解决问题的能力，掌握定性分析和定量分析的方法。 三、机械原理部分的考试大纲 （一）参考教材 1．机械设计基础（下册）第17—24章吴瑞祥等主编，北京航空航天大学出版社 2. ?机械原理教程?，申永胜主编，清华大学出版社 （二）考试内容及基本要求 本考试内容的章节是依据参考教材[1]编制的，参考教材[2]的内容与此基本相同，只是章节编号有所差异。 第17章机构的组成和结构 17.1 机构的组成 17.2 机构运动简图及其绘制 17.3 构件的自由度与运动副的约束 17.4 平面运动链的自由度及其计算及自由度计算时应注意的事项 用分支定界算法求以下问题： 某公司于乙城市的销售点急需一批成品，该公司成品生产基地在甲城市。甲城市与乙城市之间共有n 座城市，互 相以公路连通。甲城市、乙城市以及其它各城市之间的公路连通情况及每段公路的长度由矩阵M1 给出。每段公路均 由地方政府收取不同额度的养路费等费用，具体数额由矩阵M2 给出。 请给出在需付养路费总额不超过1500 的情况下，该公司货车运送其产品从甲城市到乙城市的最短运送路线。 具体数据参见文件： m1.txt: 各城市之间的公路连通情况及每段公路的长度矩阵(有向图); 甲城市为城市Num.1，乙城市为城市Num.50。 m2.txt: 每段公路收取的费用矩阵（非对称）。 思想：利用Floyd算法的基本方法求解。 程序实现流程说明： 1.将m1.txt和m 2.txt的数据读入两个50×50的数组。 2.用Floyd算法求出所有点对之间的最短路径长度和最小费用。 3.建立一个堆栈，初始化该堆栈。 4.取出栈顶的结点，检查它的相邻的所有结点，确定下一个当前最优路径上的结点，被扩展的结点依次 加入堆栈中。在检查的过程中，如果发现超出最短路径长度或者最小费用，则进行”剪枝”，然后回溯。 5.找到一个解后，保存改解，然后重复步骤4。 6.重复步骤4、5，直到堆栈为空，当前保存的解即为最优解。 时间复杂度分析： Floyd算法的时间复杂度为3 () O N，N为所有城市的个数。 该算法的时间复杂度等于DFS的时间复杂度，即O(N+E)。其中，E为所有城市构成的有向连通图的边的 总数。但是因为采用了剪枝，会使实际运行情况的比较次数远小于E。 求解结果： 算法所得结果: 甲乙之间最短路线长度是:464 最短路线收取的费用是:1448 最短路径是: 1 3 8 11 15 21 23 26 3 2 37 39 45 47 50 C源代码（注意把m1.txt与m2.txt放到与源代码相同的目录下，下面代码可直接复制运行）： #include 971机械工程专业综合考试大纲（2012版） 一、考试组成 971机械工程专业综合试卷共分四部分：1）理论力学（动力学）；2）机械原理；3）机械设计；4）自动控制原理，各部分满分均为50分。1）、2）部分为必答部分，3）、4）部分为选答部分，考生二选一作答。 二、理论力学（动力学）部分的考试大纲 （一）参考教材 1．《动力学》（第2版）1-7章谢传锋主编，高等教育出版社 （二）主要内容及基本要求 1. 质点动力学 ⑴质点运动学（在直角坐标系和自然轴系下描述、点的复合运动） ⑵质点动力学方程（在惯性系和非惯性系中表示）、 ⑶点的复合运动 初步掌握上述内容的概念、分析的基本方法和思路。 2. 质点系动力学 ⑴动量定理 ⑵变质量质点动力学基本方程 ⑶对定点和动点的动量矩定理 ⑷动能定理 掌握上述内容的定理、基本方程，特别是各种问题的分析方法。 3. 刚体动力学I、动静法 ⑴刚体平面运动的运动学和动力学 ⑵达朗贝尔原理（惯性力的简化、动静法、动平衡与静平衡） 4. 刚体动力学II、拉格朗日方程 ⑴拉格朗日方程 ⑵动力学普遍方程 ⑶动力学II（刚体的定点运动与一般运动的运动学与动力学） 5. 振动基础 ⑴单自由度系统的振动 在掌握必要的基础知识外，重点是能够有建立力学、数学模型及提出问题和分析解决问题的能力，掌握定性分析和定量分析的方法。 三、机械原理部分的考试大纲 （一）参考教材 1．《机械原理》，郭卫东，科学出版社，2010 2.《机械原理教学辅导与习题解答》，郭卫东，科学出版社，2010 （二）考试内容及基本要求 本考试内容的章节是依据参考教材[1]编制的，参考教材[2]作为[1]的辅助教材，给出了基本要求、重点与难点内容、典型例题和、常见错误和习题解答，对相关内容的掌握有帮助作用。考试内容只涵盖书中的第1－5，9章内容，其它讲解可以不学习。 第1章机构的组成原理 1.1 机构的组成及机构运动简图 北航计算机考研经验谈 关于成绩 先报一下成绩吧，我10年考上北航计算机的，数学128，政治76，英语53，专业课114.总分371.貌似没算错哈~~ 关于考研 考研前确定态度，一种认真对待考研的态度，他很重要，因为没有这种态度是很难坚持到最后的。考研过程中要勤奋，再笨，没关系，勤奋着点就行了。要踏实，一步一步来，慢一点没有关系，但是该 学的要学会。 给自己定一个目标，这个目标一定要高，如果目标给自己定的不高的话，自己就没有学习的动力了。目标定好了，就需要我们朝着目标坚持不懈的努力，还是那句话，要勤奋，要踏实。考研的过程其实会很枯燥，每天除了学习，就是吃饭，睡觉，但是考研需要一种毅力，需要一些勇气，在坚持的过程中还会有这样那样的事情干扰自己，我们也需要排除干扰，一些影响考研的事情也要去放弃。 我的时间安排： 从大三下学期开始复习数学，每天上自习六个小时，非常固定，每周给自己一天时间休息。其中大概五六月份开始复习专业课，那个时侯每天学习时间将近10个小时，以后一直了下去。从10月份开始复习政治，每天3到4个小时复习时间。 关于数学： 考研数学非常重视基础，题做不完，但是题型的有限的。因此在复习数学的时候要注意重视教材，多看几遍教材，把教材上的公式，公式的推到都弄明白。在做题的时候避免陷入题海战术，多做题是应该的，但是光做题，不知道总结复习的时候就复习偏了。推荐的辅导书是：李永乐的复习全书，陈文灯的复习全书也可以看一下，其中里面讲求解微分方程讲的特别好，可以给自己节省很多的时间。还有李永乐的全真模拟经典400题非常值得推荐，大家认真做，做完了总结，能给自 己提升很大的自信。 关于英语： 考研英语句型难，光会了单词也不能看懂。因此，建议大家在把单词这个基础打扎实之后，认认真真的练习练习考研翻译，它对于大家理解阅读理解很有帮助。另外一定要注意的是，英语的复习一定不能间断，我开始英语复习的还是不错的，但是因为间断了一段时间，英语全日制工程硕士研究生培养方案-北航研究生院-北京航空航天大学
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