一、奇数与偶数：
奇数＋偶数＝奇数 奇数＋奇数＝偶数 奇数－偶数＝奇数 奇数－奇数＝偶数 应用：巧填数阵图 二、约数与倍数：
1．最大公约数
数学符号( )
①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。 例如：2313711=??，22252237=??， 所以(231,252)3721=?=；
②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘。
例如：21812
396
32
，所以(12,18)236=?=；
③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。那么，最后一个除数就是所求的最大公约数。(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)。 例如：求600和1515的最大公约数：151********÷= ；6003151285÷= ；315285130÷= ；28530915÷= ；301520÷= ；所以：1515和600的最大公约数是15。 2．最小公倍数
数学符号：[ ] ①分解质因数的方法；
例如：2313711=??，22252237=??， 所以：[]22231,252237112772=???= ②短除法求最小公倍数；
例如：21812
396
32
，所以[]18,12233236=???=；
3．重要性质：两个数的乘积等于它们的最大公约数乘以最小公倍数
4．求约数的个数：一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数
的指数(次数)加1后所得的乘积。
数论问题基础拓展——质数、约数、倍数
如：1400严格分解质因数之后为32257??，所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身) 口诀：指数加1联乘
5．求约数的和：一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。如： 33210002357=???，所以21000所有约数的和为2323(1222)(13)(1555)(17)74880++++++++=
质数与合数：
1．一个数除了1和它本身，没有其他约数的正整数叫质数(也叫做素数)。 一个数除了1和它本身，还有其他约数的正整数叫合数。 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。
常用的100以内的质数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9。 考点：
⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点。
⑵除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9。这也是很多题解题思路，需要大家注意。 2．质因数与分解质因数
质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数。
分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例如：30235=??。其中2，3，5叫做30的质因数。又如21222323=??=?，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式。分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征。
第十一届“中环杯”小学生思维能力训练活动五 年级选拔赛)从1至13中选出12个自然数填入3×4的方格中，使每横行四数之和相等，每竖列三数之和也相等(横行的和没有必要和竖列的和相等)
考点分析：数阵图。
1+2+3+------+12+13=91现在从中选出12个自然数填入34 的方格中，使每横行四个数之和相等，每竖行三个数之和也相等，那么这12个数之和应该既是4的倍数、也是3的倍数，所以只能是91减7=84。 横行的和为84除以3=28 ，竖行的和为84除以4=21 ，下面给出一种填法：
13 10 1 4 2 3 11 12 6 8 9 15 拓展： 如果四个两位质数a ，b ，c ，d 两两不同，并且满足，等式a+b=c+d ．那么， (1)a+b 的最小可能值是多少? (2)a+b 的最大可能值是多少?
例1
【分析与解】两位的质数有11，13，17，19，23，29，3l ，37，41，43，47，53，59，6l ，
67，71，73，79，83，89，97．
可得出，最小为11+19=13+17=30，最大为97+71=89+79=168． 所以满足条件的a+b 最小可能值为30，最大可能值为168．
4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油。每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8，9，10，11，12，13。已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油？
每个瓶称三次，故四个瓶子总重量为（8+9+10+11+12+13）/3=21 21是奇数故空瓶重量之和与油重量之和一奇一偶 而2是偶质数，故空瓶重量和为2，油重量和为19
每个空瓶0.5，故最重两瓶（即重13的两瓶）有13-0.5*2=12 拓展：在555555的约数中，最大的三位数是多少?
【分析与解】555555=5×111×1001
=3×5×7×11×13×37 显然其最大的三位数约数为777．
(第八届“聪明小机灵”小学数学邀请赛五年级试题)若六位数ababab 恰有32个正约数，小于
50
的
这
样
的
两
位
数
ab
有( )个。
有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米。已知操场跑道周长为400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后，三个
例4
例3
例2
人可以首次相聚？
甲400/80=5分钟走一圈，乙400/120=10/3分钟走一圈，丙400/70=40/7分钟走一圈。取三者最小公倍数可得40分钟相聚
拓展：
从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形．按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米?
【分析与解】从长2002毫米、宽847毫米的长方形纸板上首先可剪下边长为847毫米的正方形，这样的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商．而余数恰好是剩下的长方形的宽，于是有：2002÷847=2……308，847÷308=2……231，308÷231=1……77．231÷77=3．
不难得知，最后剪去的正方形边长为77毫米．
例五：(2008第四届“IMC国际数学邀请赛”(新加坡)六年级复赛)如图，A、B、C是三个顺次咬和的齿轮，当A转4圈时，B恰好转3圈：当B转4圈时，C恰好转5圈，则A、B、C的齿数的最小数分别是多少？
A:B=3:4=15:20
B:C=5:4=20:16
A:B:C=15:20:16
这三个齿轮的齿数的最小值分别是15, 20, 16
例6
1232005
除以10所得的余数是多少？
++++
1232005
因为每个大于10的数都可以变成10+，所以被10除还是后面+的部分被10除的余数，
1永远都是1，所以从1-2005总共有201个尾数为1的，余数为1
2的多少次方我们看一下，2，4，8，16，32...，每四个一轮回，而前四个之和也是能被10整除，所以余数为2005中共有201个，余数为2
3也是一样的道理，余3
4.则是两个一轮回，所以余数为4
5-9全部一样，至于10的倍数则是想都不需要想的
所以余数为1+2+3+4=10
换句话说，总和可以被10整除
测试题
温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！
1．将一个数的所有约数两两求和分别是4，6，8，10，12，16，18，20，22，24，26，28，36，38，40，42，50，56，106，108，110，112，120，126，140，这个数是( )？
A．100
B．105
C．90
D．85
解析：最小因数是1，
4-1 = 3必有因数3
根据最大因数本身，和次大因数=本身的1/3，可知，此数本身=
140 ÷(1+3)×3 = 105
2．大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米．由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60个脚印。圆形花圃的周长是( )。
A．2200
B．2160
C．2300
D．2400
解析：54和72的最小公倍数是216，
小明每步长54厘米，每经过216厘米，小明会留下216÷54＝4个脚印
爸爸每步长72厘米，每经过216厘米，爸爸会留下216÷72＝3个脚印
且每经过216厘米，小明和爸爸会有一个脚印重合，则每经过216厘米，雪地上小明和爸爸共留下4+3-1＝6个脚印，那么
60÷6＝10个216厘米，60个脚印就需要小明和爸爸走10个216厘米
所以路长是216×10＝2160厘米=21.6米。
3．在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分成12等份，第三种刻度线把木棍分成15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成( )段？
A．30
B．25
C．28
D．26
解：10，12，15的最小公倍数是60，
设木棍60厘米，60÷10=6（厘米），60÷12=5（厘米），60÷15=4（厘米），
10等分的为第一种刻度线，共10﹣1=9（条），
12等分的为第二种刻度线，共12﹣1=11（条），
15等分的为第三种刻度线，过15﹣1=14（条），
第一种与第二种刻度线重合的条数：6和5的最小公倍数是30，60÷30﹣1=2﹣1=1（条），
第一种与第三种刻度线重合的条数：6和4的最小公倍数是12，60÷12﹣1=5﹣1=4（条），
第二种与第三种刻度线重合的条数：5和4的最小公倍数是20，60÷20﹣1=3﹣1=2（条），
三种刻度线重合的没有，6、5和4的最小公倍数是60，
因此，共有刻度线9+11+14﹣1﹣4﹣2=27（条），木棍总共被锯成27+1=28（段）；
答：木棍总共被锯成28段。
4．(第七届中环杯五年级复赛填空题第3题)121122123124200420052006
???????
的乘积的末尾有( )个零？
A．472
B．478
C．473
D．471
解析：121×122×123×124×……×2004×2005×2006的乘积的末尾有（472 ）个零分析思路：
1）末尾连续有多少个零，决定于这些数中含有多少个因子（10）
2）因为含因子2的数量大于因子5的数量，所以，只需讨论有多少个因子5
3）含因子5的数有：(2006-121+1)/5=377余1 即有377个
含因子25的数有：(2006-121+1)/25=75余11 即有75个
含因子125的数有：(2006-121+1)/125=15余11 即有15个
含因子625的数有：(2006-121+1)/625=3余11 即有3个
4）除以上考虑外，1000和2000这两个数字相乘时再各多出1个0，此时多出2个0
5) 所以，121到2006个数字中，共含有377+75+15+3+2=472个因子
所以121×122×123×124×……×2004×2005×2006的乘积的末尾有（472 ）个零
提问者评价
谢谢!
5．(“迎春杯”数学竞赛)3个质数的倒数之和是1661
1986
，则这3个质数之和为( )?
A．335
B．270
C．359
D．336
解析：三个质数的倒数之和是1986分之1661，则三个质数的积必为1986，而1986＝2＊3＊331，因此三个质数为2、3、331，它们的和为336。
6．如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为回文数。如年份数1991，具有如下两个性质：①1991是一个回文数。②1991可以分解成一个两位质数回文数和一个三位质数回文数的积。在1000年到2000年之间的一千年中，除了1991
外，具有性质①和②的年份数，有( )？
A．1111
B．1411
C．1001，1111，1221，1331，1441，1551，1661，1771，1881 D．1111，1441，1661
1001 1111 1221 1331 1441 1551 1661 1771 1881 1991
实验思考题参考答案 实验Fe(OH)3胶体的制备、破坏、分离 1.常压过滤时滤纸为什么要撕去一角？答：使滤纸紧贴玻璃漏斗，有利于排出滤纸与玻璃漏斗之间气泡，形成液柱。 2.抽滤时剪好的滤纸润湿后略大于布氏漏斗的内径、或剪的不圆周边凸出部分贴在布氏漏斗内壁上，对抽滤有何影响？为什么？答：会造成漏虑。滤纸大于布氏漏斗内径会造成滤纸折叠，不能紧贴布氏漏斗。 3.抽滤时，转移溶液之前为什么要先稍微抽气，而不能在转移溶液以后才开始 抽气？答：使滤纸紧贴布氏漏斗，以免造成漏虑。 4. 沉淀物未能铺满布氏漏斗底部、滤饼出现裂缝、沉淀层疏松不实，对抽干效果有什么影响？为什么？如何使沉淀抽得更干爽？答：固液分离效果不好；漏气使压差变小；用药勺铺平、压实沉淀物再抽滤。 由胆矾精制五水硫酸铜 1.结晶与重结晶分离提纯物质的根据是什么？如果被提纯物质是NaCl 而不是CuSO4·5H2O，实验操作上有何区别？ 答：根据物质溶解度随温度变化不同。NaCl 的溶解度随温度变化很小不能用重结晶的办法提纯，要用化学方法除杂提纯。 2.结晶与重结晶有何联系和区别？实验操作上有何不同？为什么？ 答：均是利用溶解度随温度变化提纯物质；结晶浓缩度较高（过饱和溶液），重结晶浓缩度较低（饱和溶液），且可以进行多次重结晶。结晶一般浓缩到过饱和溶液，有晶膜或晶体析出，冷却结晶；重结晶是在近沸状态下形成饱和溶液，冷却结晶，不允许浓缩。
3.水浴浓缩速度较慢，开始时可以搅拌加速蒸发，但临近结晶时能否这样做？ 答：搅拌为了加快水分蒸发；对于利用晶膜形成控制浓缩程度，在邻近结晶时不能搅拌。否则无法形成晶膜。 4.如果室温较低，你准备采用什么措施使热过滤能顺利进行？答：预热漏斗、 分批过滤、保温未过滤溶液。 5.浓缩和重结晶过程为何要加入少量H2SO4？答：防止防止Fe3+水解。 粗盐提纯 1.为什么说重结晶法不能提纯得到符合药用要求的氯化钠？为什么蒸发浓缩时 氯化钠溶液不能蒸干？ 答：NaCl 的溶解度随温度变化很小不能用重结晶的办法提纯，药用氯化钠不仅要达到纯度要求，还要符合药用要求。不能浓缩至干NaCl 溶液，是为了除去KCl。 2.用化学法除去SO42-、Mg2+ 、Ca2+的先后顺序是否可以倒置过来？为什么？ 答：不能，除杂要求为除去杂质引入的离子必须在后续的除杂过程中除去，先除去Mg2+ 、Ca2+后除SO42-，无法除去Ba2+。 3.用什么方法可以除去粗盐中不溶性杂质和可溶性杂质？依据是什么？ 答：不溶性杂质用过滤方法；可溶性杂质用化学方法除杂。依据：溶度积。 醋酸解离度和电离常数测定 1.不同浓度的HAc 溶液的溶解度α是否相同？为什么？用测定数据说明弱电解质解离度随浓度变化的关系。 答：不同，因K a,θ AH 。c↑,α↓。 c 2.测定不同浓度的HAc 溶液的pH 值时，为什么按由稀到浓的顺序？答：平衡块，减小由于润洗不到位而带来的误差。
几何学基础简介 Lex Li 几何原本简介 古希腊大数学家欧几里德是与他的巨著——《几何原本》一起名垂千古的。这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里德最有价值的一部著作。欧几里德把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学。而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作。 作为基础的五条公理和公设 五条公理 1.等于同量的量彼此相等； 2.等量加等量，其和相等； 3.等量减等量，其差相等； 4.彼此能重合的物体是全等的； 5.整体大于部分。 五条公设 1.过两点能作且只能作一直线； 2.线段(有限直线)可以无限地延长； 3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆； 4.凡是直角都相等； 5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。 《几何原本》的主要内容 欧几里得的《几何原本》共有十三卷。 目录 第一卷几何基础 第二卷几何与代数 第三卷圆与角 第四卷圆与正多边形 第五卷比例
第六卷相似 第七卷数论（一） 第八卷数论（二） 第九卷数论（三） 第十卷无理量 第十一卷立体几何 第十二卷立体的测量 第十三卷建正多面体 各卷简介 第一卷：几何基础。重点内容有三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件，第一卷最后两个命题是毕达哥拉斯定理的正逆定理； 第二卷：几何与代数。讲如何把三角形变成等积的正方形；其中12、13命题相当于余弦定理。 第三卷：本卷阐述圆，弦，切线，割线，圆心角，圆周角的一些定理。 第四卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质； 第五卷：讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论,被认为是"最重要的数学杰作之一" 第六卷：讲相似多边形理论，并以此阐述了比例的性质。 第五、第七、第八、第九、第十卷：讲述比例和算术的理论；第十卷是篇幅最大的一卷，主要讨论无理量（与给定的量不可通约的量），其中第一命题是极限思想的雏形。 第十一卷、十二、十三卷：最后讲述立体几何的内容. 从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书。 《几何原本》的意义和影响 在几何学发展的历史中，欧几里得的《几何原本》起了重大的历史作用。这种作用归结到一点，就是提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构的问题。在他写的《几何原本》中，就是用逻辑的链子由此及彼的展开全部几何学，这项工作，前人未曾作到。《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。 论证方法上的影响 关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。所谓分析法就是先假设所要求的已经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明的步骤；综合法是从以前证明过的事实开始，逐步的导出要证明的事项；归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。
《机构测绘、分析及设计》实验思考题参考答案 1．一个正确的“机构运动简图”应能说明哪些内容？ 机构运动简图应着重表达机构各构件间的相对运动关系，应包括原动件的运动规律、机构中所有构件和运动副的类型、数目及其相对位置(即转动副的中心位置、移动副的中心线位置和高副接触点的位置)，而与构件的外形、断面尺寸、组成构件的零件数目及其固联方式和运动副的具体结构无关。因此绘制机构运动简图可以撇开构件的复杂外形和运动副的具体构造，用简单的线条和规定的符号代表构件和运动副，并按比例定出各运动副的相对位置。 2．根据所装配的曲柄滑块机构，分析此机构中曲柄存在条件是什么？连杆长度与机构传力性能之间有什么关联？ 曲柄滑块机构中曲柄存在条件是： L AB +e<=L BC 连杆长度越长则机构传力性能越好，因为连杆越长则压力角越小。 3．牛头刨六杆机构中滑杆的行程长度如何调整？调整曲柄长度 4．曲柄滑块机构、曲柄摇块机构、摆动导杆机构之间的演化关系如何？举例说明机构演化的方法有哪些？ 铰链四杆机构可以通过四种方式演化出其它形式的四杆机构。即①取不同构件为机架；②转动副变移动副；③杆状构件与块状构件互换；④销钉扩大。 曲柄滑块机构曲柄摇块机构摆动导杆机构
曲柄滑块机构、曲柄摇块机构、摆动导杆机构之间通过取不同构件为机架来演化。 对心曲柄滑块机构偏心轮滑块机构 牛头刨六杆机构正弦机 构曲柄摇杆机构 《平面机构特性分析》实验思考题参考答案 1、铰链四杆机构（L1=50 mm，L2=100 mm，L3=80 mm）中，通过改变机架长度可得到何种机构？ 设四杆机构中机架L4<=50，L4=L min，则由曲柄存在条件：最短杆与最长杆的长度之和必须小于或等于其余二杆的长度之和(L max+L min<=L2+L3)可得： 100＋L4<=50＋80 即0
有机实验 熔点的测定 1.什么是熔点距？ 答：一个纯化物从开始溶化（始熔）至完全溶化（全熔）的温度范围叫熔点距） 2.如果没有把样品研磨得很细，对装样有何影响？对测定的熔点数据可靠否？ 答：使的样品装样不结实，有空隙，样品传热慢，也不均匀，对测定的数据不可靠 3.在熔点测定时，接近熔点时升温的速度为什么不能太快？ 答：升高的太快使得读数困难，造成误差 4.为什么不能用测过一次熔点的有机物再作第二次测定？ 答：测过的有机物分子的晶体结构有可能改变了，则它的熔点也会有所改变，所以不能用做第二次测量 5加热的快慢为什么影响熔点，什么情况下可以快点，什么情况下慢一点？ 答：温度升高太快使得读数不准确，在温度离熔点较远是可快点加热，温度接近熔点时慢点加热 6.如何鉴定两种熔点相同的晶体物质是否为同一物质？ 答：取两样物质混合起来，测其熔点，如果跟两种物质的熔点很相近就是同一物质，如果熔点比文献值降低很多且熔点距增大，则是两种物质 蒸馏与沸点的测定 1.什么叫蒸馏？利用蒸馏可将沸点相差多少的物质分开？ 答：蒸馏就是将液体物质加热到沸腾变成蒸汽，又将蒸汽冷凝到液体这两个过程的联合作 2.在蒸馏过程中为何要加入沸石？如加热后发觉未加沸石应如何补加？为什么？ 答：在蒸馏过程中加沸石作用是防止加热时的暴沸现象 加热后发觉未加沸石应使沸腾的液体冷却到沸点以下后才能加止暴沸剂 因为当液体在沸腾时投入止暴沸剂，将会引起猛烈的暴沸，液体易冲出瓶口，若是易燃的液体将会引起火灾 3.蒸馏操作在有机实验中常用于哪四方面？ 答：蒸馏一般用于以下四方面： [1]分离液体混合物，仅对混合物中各成分的沸点有较大差别时才能达到的分离[2]测定化合物的沸点[3]提纯，除去不挥发的杂质[4]回收溶剂，或蒸出部分溶剂以浓缩溶液） 4.蒸馏装置由哪三个部分组成？ 答：加热气化部分、冷凝部分、接收部分 5.冷凝管有哪几种类型？分别适应于哪些条件下使用？ 答：冷凝管有直形冷凝管、空气冷凝管、球形冷凝管和蛇行冷凝管 蒸汽在冷凝管中冷凝成为液体，液体的沸点高于130℃的用空气冷凝管，低于130℃时用直形冷凝管球形冷凝管一般用于回流反应即有机化合物的合成装置中因其冷凝面积较大，冷凝效果较好；液体沸点很低时，可用蛇行冷凝管刺形分馏柱用于分馏操作中，即用于沸点差别不太大的液体混合物的分离操作中 6.蒸馏装置中温度计水银球的位置应在何处？ 答：使水银球的上缘恰好位于蒸馏烧瓶支管接口的下缘，使它们在同一个水平线上 7.向冷凝管通水是由下向上，反过来效果怎样？把橡皮管套进冷凝管时怎样才能防止折断其侧管？ 答：水无法充满冷凝管，冷却不充分，,冷凝管的内管可能炸裂。用水湿润橡皮管和侧管。
初等数论简介 绪言：在各种数学竞赛中大量出现数论题，题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。 1． 请看下面的例子： （1） 证明：对于同样的整数x 和y ，表达式2x+3y 和9x+5y 能同时被整除。(1894年首届匈牙利 数学竞 赛第一题) （2） ①设n Z ∈，证明213 1n -是168的倍数。 ②具有什么性质的自然数n ，能使123n ++++ 能整除123n ??? ？（1956年上海首届数学竞赛第一题） （3） 证明：3 231 122 n n n + +-对于任何正整数n 都是整数，且用3除时余2。（1956年北京、天津市首届数学竞赛第一题） （4） 证明：对任何自然数n ，分数 214 143 n n ++不可约简。（1956年首届国际数学奥林匹克竞赛第一题） （5） 令(,,,)a b g 和[,,,]a b g 分别表示正整数,,,a b g 的最大公因数和最小公倍数，试证： [][][][]()()()() 2 2 ,,,,,,,,,,a b c a b c a b b c c a a b b c c a =??（1972年美国首届奥林匹克数学竞赛第一题） 这些例子说明历来数论题在命题者心目中首当其冲。 2.再看以下统计数字： （1）世界上历史最悠久的匈牙利数学竞赛，从1894~1974年的222个试题中，数论题有41题，占18.5%。 （2）世界上规模最大、规格最高的IMO （国际数学奥林匹克竞赛）的前20届120道试题中有数论13题，占10.8% 。 这说明：数论题在命题者心目中总是占有一定的分量。如果将有一定“数论味”的计数型题目统计在内，那么比例还会高很多。 3.请看近年来国内外重大竞赛中出现的数论题： (1)方程323652x x x y y ++=-+的整数解(,)x y 的个数是（ ） A 、 0 B 、1 C 、3 D 、无穷多 （2007全国初中联赛5） （2）已知,a b 都是正整数，试问关于x 的方程()2 1 02 x abx a b -++=是否有两个整数解？ 如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。 （2007全国初中联赛12）
《基础化学实验1》思考题参考解答 一、化学实验基本知识和仪器洗涤 1.本实验中洗涤了什么玻璃仪器？简述玻璃仪器的洗涤方法及被洗净的标准？ 本实验中洗涤了烧杯和锥形瓶。玻璃仪器粘附的水溶性污物先用自来水冲洗，再用毛刷沾取去污粉刷洗，用自来水冲洗干净后，再用蒸馏水润洗2～3次即可。玻璃仪器上若粘附油性污物，在用水冲洗后，加入洗液浸泡一段时间，倒净洗液，再用自来水冲洗和蒸馏水润洗。 已洗净的玻璃仪器内外壁可以被水完全湿润，形成均匀的水膜，不挂水珠。 2.试用下列玻璃仪器时：锥形瓶、容量瓶、烧杯、量筒、碱式滴定管、试剂瓶、漏斗、吸量管、称量瓶和圆底烧瓶，哪些玻璃仪器在清洗干净后还需要用待装溶液洗涤的？ 上述玻璃仪器中，清洗干净后的碱式滴定管和吸量管还需用待装溶液洗涤。 3.用25mL量筒、25mL滴定管和25mL移液管移取最大刻度溶液的体积读数应如何记录？ 用25mL量筒移取最大刻度溶液的体积应记录为25.0mL，用25mL滴定管和25mL移液管移取最大刻度溶液的体积应记录为25.00mL。 4.实验预习是确保实验内容顺利完成的重要环节，在实验前要作好哪些准备工作？ 充分进行实验前的预习准备是做好实验、避免实验事故和提高实验效果的重要保证，为此在实验前应尽可能深入和全面地预习，除了应理解实验目的和要求、实验原理、实验所用试剂规格、用量、计算所需的常数和有关物质的物理、化学性质及实验操作步骤外，还应清楚实验中应该出现的实验现象、避免发生实验事故的注意事项、影响实验结果的操作关键、所用仪器的准备要求和基本操作方法等内容，才能使整个实验过程能有条不紊的依次完成。
二、物质的称量 1. 什么是直接称量法和差减称量法？什么情况下用减量称量法称量？ 直接称量法是先称出空容器的质量，再按规范操作将试样逐一加入至所需质量。差减称量法又称减量法，先准确称量样品和称量瓶总质量，然后按规范操作将所需样品“轻敲”入锥形瓶（或烧杯）中，再次准确称量该样品和称量瓶总质量，两次称得的质量之差即为该锥形瓶（或烧杯）中试样的质量。当待称量物是易吸水、易氧化、易吸收CO2等物质，并需称出多份该试样时，宜选用差减称量法。 2.在取放称量瓶时，为什么只能用纸带带动？ 在分析天平上采用差减法称取试样质量时，需两次称取称量瓶+试样的质量，在称量瓶内的试样没有撒出的情况下，称量瓶的质量是否准确、稳定就直接影响到被称出试样的质量的准确性。在称量时，若用手直接拿取称量瓶，手上带有的水分及其分泌物就会沾附到称量瓶上，就有可能改变称量瓶的质量，为此需用洁净的纸带带动称量瓶，因此所用的纸带必须保持干燥洁净，万不能当做数据记录纸使用，也不宜随手乱放。 3.用减量法称取试样，若称量瓶内的试样吸湿，将对称量结果造成什么误差？若试样倾倒入烧杯内以后再吸湿，对称量是否有影响？ 装在称量瓶内的吸湿试样再称量过程中由于吸湿，实际称出的试样质量低于标示质量，这个称量结果既不是系统误差，又不是偶然误差，属于称量失误。如已称出的试样在烧杯内吸湿，尽管试样质量在增大，但实际试样质量没有改变。 《实验化学》中的思考题 1.本次实验用的天平可读到小数点后几位（以g为单位）？ 万分之一天平，可读到小数点后第4位。 2. 当试样（硼砂）从称量瓶转移到烧杯中时，切勿让试样撒出，否则如用来标定HCl 浓度，将造成分析结果偏高还是偏低？ 如试样撒出，则读数质量比实际质量偏大，所以用来标定HCl浓度，将造成分析结果偏高。
欧几里得算法 欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个正整数a，b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理： 定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (a>b 且a mod b 不为0) 证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b 假设d是a,b的一个公约数，则有 d|a,d|b，而r = a - kb，因此d|r 因此d也是（b,a mod b）的公约数 因此（a,b）和（b,a mod b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证欧几里得算法模板 int gcd(int n,int m) { int t,r; if(n
实验指导书思考题及答案 实验1.1 示波器的使用 实验预习 阅读本实验内容，了解示波器的工作原理、性能及面板上常用的各主要旋钮、按键的作用和调节方法。试填写表1-3的选项内容。 填空：当用示波器观测信号，已知信号频率为1KHz，峰-峰值为1V，则应将Y 轴衰减选择 0.2V /格的档位，扫描时间选择 0.2ms /格的档位。（要求：波形Y 轴显示占5格，X 轴显示一个周期占5格） 实验总结 1、说明示波器Y 轴校零的方法，以及作用。 答：Y 轴校零，把耦合方式放“GND”，调整输入通道的垂直“POSITION ”旋钮，将零基准线调到合适的位置。 Y 轴校零作用：确定信号零的位置，能看出波形相对于零是高还是低。 2、示波器上的信号测试线（同轴电缆）上黑夹子和红夹子在测试信号时能否互换使用： 1）可以（ ）； 2）不可以（ √√）。 在用示波器观测波形时，一般情况下黑夹子接被测电路何处： 表1-3 选定示波器正确的操作方法选定示波器正确的操作方法（（正确的在方框内画√，错误的在方框内画×） 显示情况 操作方法 显示出的波形亮度低 调整聚焦调节旋钮（╳）； 调整辉度调节旋钮（√） 显示出的波形线条粗 调整聚焦调节旋钮（√）； 调整辉度调节旋钮（╳） 显示出的波形不稳定 （波形在X 轴方向移动） 调整触发电平旋钮（√）； 调整水平位移旋钮（╳） 显示出的波形幅值太小 调整垂直衰减旋钮（√）； 调整垂直位移旋钮（╳） 显示出的波形X 轴太密 调整扫描时间旋钮（√）； 调整垂直衰减旋钮（╳）
1）接被测信号“地”（ √√ ）； 2）悬空不接（ ）； 3）接电路任意地方（ ）。 （（在正确的答案后画√√） 3、用示波器测“CAL”的波形时，说明Y 轴输入耦合方式选“DC” 挡与“AC”挡观测时，波形有什么不同？为什么不同？ 答：波形样子相同，但垂直方向上有位移。 原因： 1、示波器的“CAL”有1V 的直流分量。 2、选“DC”档：波形的交、直流分量都能显示。 选“AC”档：输入信号要经过电容滤波，因此只能显示交流分量，无直流分量。 4、示波器使用注意事项。 （1）要确定Y 轴零电平的位置，此位置是作图时时间轴的位置。 （2）当波形不能停下来，一直在水平方向移动时，先检查触发源与输入信号的通道是不是一致，再细调触发电平“LEVEL ”旋钮。 （3）扫描时间旋钮扫描时间旋钮的挡位要和信号的周期信号的周期信号的周期匹配，垂直衰减旋钮垂直衰减旋钮的挡位要和信号的幅度信号的幅度信号的幅度匹配。 实验1.2 数字扫频信号发生器的使用 实验总结实验总结 1、用示波器观测信号发生器输出的波形时，两仪器测试线的连接方式如下： 1）必须红夹子和红夹子连，黑夹子和黑夹子连。（ √√ ） 2）可任意相连。（ ） （（在正确的答案后画√√） 2、在输出不同信号时，信号发生器信号发生器信号发生器的幅度是指的幅度是指的幅度是指以以下几种下几种：： （在正确的答案后画√√） 1）正弦交流电压：1）有效值（√√ ）、2）峰值（ ） 2）方波电压：1）峰-峰值（ ）、2）峰值（ √√ ）
“4-6 初等数论初步”简介 北京师范大学胡永建 初等数论是研究整数的性质和不定方程（组）的整数解的一门学问，它与几何学是最古老的两个数学分支。初等数论中至今仍有许多没有解决的问题，如哥德巴赫（Goldbach）问题，孪生素数猜想，奇完全数的存在性问题等，它们对人类智慧产生了极大挑战。人们在解决一些初等数论问题的过程中所作的贡献，对数论乃至整个数学的发展起了重要的推动作用，产生了一些直接与数学有关的新的重要数学分支。初等数论在计算机科学和信息工程中有许多重大的实际应用。在本专题中，同学们将通过具体的问题，学习初等数论的一些基本知识，如有关整数和整除的知识，用辗转相除法求解一次同余方程（组）和简单的一次不定方程等，初等数论中蕴含的一些思想方法，以及我国古代数学在初等数论的研究方面取得的一些重要成就。 一、内容与课程学习目标 本专题的学习初等数论的一些基本知识，具体包括：整数的整除、同余与同余方程、一次不定方程和数论在密码中的应用四部分内容。通过本专题的学习，要引导学生：1．通过实例，认识带余除法，理解同余和剩余类的概念及意义，探索剩余类的运算性质（加法和乘法），并且理解它的实际意义。体会剩余类运算与传统数的运算的异同（会出现零因子）。 2．理解整除、因数和素数的概念，了解确定素数的方法,如埃拉托斯特尼（Eratoshenes）筛法，知道素数有无穷多个。 3．了解十进制表示的整数的整除判别法，探索整数能被3，9，11，7等整除的判别法。会检查整数加法、乘法运算错误的一种方法,如弃九验算法。 4．通过实例，探索利用辗转相除法求两个整数的最大公约数的方法，理解互素的概念，并能用辗转相除法证明：若a能整除bc，且a,b互素，则a能整除c。探索公因数和公倍数的性质。了解算术基本定理。 5．通过实例，理解一次不定方程的模型，利用辗转相除法求解简单的一次不定方程。并尝试写出算法的程序框图，在条件允许的情况下上机实现。 6．通过实例（如物不知其数问题），理解一次同余方程组的模型。 7．理解大衍求一术和孙子定理的证明。 8．理解费马小定理（当m是素数时，a m-1≡1(mod m)）和欧拉定理（aφ(m)≡1(mod m),其中φ(m)是1，2，…，m-1中与m互素的数的个数）及其证明。 9．了解数论在密码中的应用——公开密钥。 二、内容安排 本专题共安排了四讲，其中最后一讲“数论在密码中的应用”可根据教学时间的实际情况机动安排，可由教师讲授，也可作为学生课后的阅读材料。本专题教学时间约需18课时，具体分配如下（仅供参考）： 第一讲整数的整除约5课时 一、整除的概念和性质约2课时 二、最大公因数与最小公倍数约2课时
生化实验讲义思考题参考答案 实验一淀粉的提取和水解 1、实验材料的选择依据是什么？ 答：生化实验的材料选择原则是含量高、来源丰富、制备工艺简单、成本低。从科研工作的角度选材，还应当注意具体的情况，如植物的季节性、地理位置和生长环境等，动物材料要注意其年龄、性别、营养状况、遗传素质和生理状态等，微生物材料要注意菌种的代数和培养基成分的差异等。 2、材料的破碎方法有哪些？ 答：(1) 机械的方法：包括研磨法、组织捣碎法； (2) 物理法：包括冻融法、超声波处理法、压榨法、冷然交替法等； (3) 化学与生物化学方法：包括溶胀法、酶解法、有机溶剂处理法等。 实验二总糖与还原糖的测定 1、碱性铜试剂法测定还原糖是直接滴定还是间接滴定？两种滴定方法各有何优缺点？ 答: 我们采用的是碱性铜试剂法中的间接法测定还原糖的含量。间接法的优点是操作简便、反应条件温和，缺点是在生成单质碘和转移反应产物的过程中容易引入误差；直接法的优点是反应原理直观易懂，缺点是操作较复杂，条件剧烈，不易控制。 实验五粗脂肪的定量测定─索氏提取法 （1）本实验制备得到的是粗脂肪，若要制备单一组分的脂类成分，可用什么方法进一步处理？ 答：硅胶柱层析，高效液相色谱，气相色谱等。 （2）本实验样品制备时烘干为什么要避免过热? 答：防止脂质被氧化。 实验六蛋白质等电点测定 1、在等电点时蛋白质溶解度为什么最低？ 请结合你的实验结果和蛋白质的胶体性质加以说明。
蛋白质是两性电解质，在等电点时分子所带净电荷为零，分子间因碰撞而聚沉倾向增加，溶液的粘度、渗透压减到最低，溶解度最低。结果中pH约为4.9时，溶液最浑浊，达到等电点。 答： 2、在分离蛋白质的时候，等电点有何实际应用价值？ 答: 在等电点时，蛋白质分子与分子间因碰撞而引起聚沉的倾向增加，所以处于等电点的蛋白质最容易沉淀。在分离蛋白质的时候，可以根据待分离的蛋白质的等电点，有目的地调节溶液的pH使该蛋白质沉淀下来，从而与其他处于溶液状态的杂质蛋白质分离。 实验七氨基酸的分离鉴定－纸层析法 1、如何用纸层析对氨基酸进行定性和定量的测定？ 答: 将标准的已知氨基酸与待测的未知氨基酸在同一张层析纸上进行纸层析，显色后根据斑点的Rf值，就可以对氨基酸进行初步的定性，因为同一个物质在同一条件下有相同的Rf 值；将点样的未知氨基酸溶液和标准氨基酸溶液的体积恒定，根据显色后的氨基酸斑点的面积与点样的氨基酸质量成正比的原理，通过计算斑点的面积可以对氨基酸溶液进行定量测定。 3、纸层析、柱层析、薄层层析、高效液相层析各有什么特点？ 答:
实验一燃烧热的测定 1.在本实验中，哪些是系统？哪些是环境？系统和环境间有无热交换？这些热交换对实验结果有何影响？如何校正？ 提示：盛水桶内部物质及空间为系统，除盛水桶内部物质及空间的热量计其余部分为环境，系统和环境之间有热交换，热交换的存在会影响燃烧热测定的准确值，可通过雷诺校正曲线校正来减小其影响。 2.固体样品为什么要压成片状？萘和苯甲酸的用量是如何确定的？ 提示：压成片状有利于样品充分燃烧；萘和苯甲酸的用量太少测定误差较大，量太多不能充分燃烧，可根据氧弹的体积和内部氧的压力确定来样品的最大用量。 3.试分析样品燃不着、燃不尽的原因有哪些? 提示：压片太紧、燃烧丝陷入药片内会造成燃不着；压片太松、氧气不足会造成燃不尽。 4.试分析测量中影响实验结果的主要因素有哪些?本实验成功的关键因素是什么? 提示：能否保证样品充分燃烧、系统和环境间的热交换是影响本实验结果的主要因素。本实验成功的关键：药品的量合适，压片松紧合适，雷诺温度校正。 5.使用氧气钢瓶和氧气减压器时要注意哪些事项？ 提示：阅读《物理化学实验》教材P217-220 实验二凝固点降低法测定相对分子质量 1.什么原因可能造成过冷太甚？若过冷太甚，所测溶液凝固点偏低还是偏高？由此所得萘的相对分子质量偏低还是偏高？说明原因。 答：寒剂温度过低会造成过冷太甚。若过冷太甚，则所测溶液凝固点偏低。根据公式和可知由于溶液凝固点偏低，?T f偏大，由此所得萘的相对分子质量偏低。 2.寒剂温度过高或过低有什么不好？ 答：寒剂温度过高一方面不会出现过冷现象，也就不能产生大量细小晶体析出的这个实验现象，会导致实验失败，另一方面会使实验的整个时间延长，不利于实验的顺利完成；而寒剂温度过低则会造成过冷太甚，影响萘的相对分子质量的测定，具体见思考题1答案。 3.加入溶剂中的溶质量应如何确定?加入量过多或过少将会有何影响？ 答：溶质的加入量应该根据它在溶剂中的溶解度来确定，因为凝固点降低是稀溶液的依数性，所以应当保证溶质的量既能使溶液的凝固点降低值不是太小，容易测定，又要保证是稀溶液这个前提。如果加入量过多，一方面会导致凝固点下降过多，不利于溶液凝固点的测定，另一方面有可能超出了稀溶液的范围而不具有依数性。过少则会使凝固点下降不明显，也不易测定并且实验误差增大。
2002 题二最大公约数与最小公倍数问题（20分） [问题描述] 输入二个正整数x0,y0（2≤x0<100000,2≤y0≤1000000）,求出满足下列条件的P，Q的个数： 条件：1. P,Q是正整数 2. 要求P,Q以x0为最大公约数，以y0为最小公倍数。 试求：满足条件的所有可能的两个正整数的个数。 [样例] 输入：x0=3 y0=60 输出：4 说明：（不用输出）此时的 P Q 分别为： 3 60 15 12 12 15 60 3 所以：满足条件的所有可能的两个正整数的个数共4种。 2012 1.质因数分解 (prime.cpp/c/pas) 【问题描述】 已知正整数n是两个不同的质数的乘积，试求出较大的那个质数。 【输入】 输入文件名为prime.in。 输入只有一行，包含一个正整数n。 【输出】 输出文件名为prime.out。 输出只有一行，包含一个正整数p，即较大的那个质数。 【输入输出样例】 prime.in prime.out 21 7 【数据范围】 对于60%的数据，6 ≤ n ≤ 1000。 对于100%的数据，6 ≤ n ≤ 2*109。
2007年 4.Hanoi双塔问题 hanoi.pas/c/cpp 【问题描述】 给定A,B,C三根足够长的细柱，在A柱上放有2n个中间有空的圆盘，共有n个不同的尺寸，每个尺寸都有两个相同的圆盘，注意这两个圆盘是不加区分的(下图为n=3的情形）。现要将这些国盘移到C柱上，在移动过程中可放在B柱上暂存。要求: (1)每次只能移动一个圆盘； (2) A、B、C三根细柱上的圆盘都要保持上小下大的顺序； 任务:设An为2n个圆盘完成上述任务所需的最少移动次数，对于输入的n，输出An。 【输入】 输入文件hanoi.in为一个正整数n，表示在A柱上放有2n个圆盘。 【输出】 输出文件hanoi.out仅一行，包含一个正整数，为完成上述任务所需的最少移动次数An。 【限制】 对于50%的数据， 1<=n<=25 对于100% 数据， 1<=n<=200 【提示】 设法建立An与An-1的递推关系式。
分析实验实验报告思考题 答案 This manuscript was revised on November 28, 2020
实验一、NaOH和HCl标准溶液的配制及比较滴定 和NaOH标准溶液能否用直接配制法配制为什么 答：由于NaOH固体易吸收空气中的CO2和水分，浓HCl的浓度不确定，固配制HCl和NaOH标准溶液时不能用直接法。 2.配制酸碱标准溶液时，为什么用量筒量取HCl，用台秤称取NaOH（S）、而不用吸量管和分析天平 答：因吸量管用于标准量取需不同体积的量器，分析天平是用于准确称取一定量的精密衡量仪器。而HCl的浓度不定， NaOH易吸收CO2和水分，所以只需要用量筒量取，用台秤称取NaOH即可。 3.标准溶液装入滴定管之前，为什么要用该溶液润洗滴定管2～3次而锥形瓶是否也需用该溶液润洗或烘干，为什么 答：为了避免装入后的标准溶液被稀释，所以应用该标准溶液润洗滴管2～3次。而锥形瓶中有水也不会影响被测物质量的变化，所以锥形瓶不需先用标准溶液润洗或烘干。 4.滴定至临近终点时加入半滴的操作是怎样进行的 答：加入半滴的操作是:将酸式滴定管的旋塞稍稍转动或碱式滴定管的乳胶管稍微松动，使半滴溶液悬于管口，将锥形瓶内壁与管口接触，使液滴流出，并用洗瓶以纯水冲下。 实验二、NaOH溶液的配制及食用白醋总酸度的测定 1.如何计算称取基准物邻苯二甲酸氢钾或Na2CO3的质量范围称得太多或太少对标定有何影响 答：在滴定分析中，为了减少滴定管的读数误差，一般消耗标准溶液的体积应在20—25ml之间，称取基准物的大约质量应由下式求得： 如果基准物质称得太多，所配制的标准溶液较浓，则由一滴或半滴过量所造成的误差就较大。称取基准物质的量也不能太少，因为每一份基准物质都要经过二次称量，如果每次有±的误差，则每份就可能有±的误差。因此，称取基准物质的量不应少于，这样才能使称量的相对误差大于1‰。 2.溶解基准物质时加入20～30ml水，是用量筒量取，还是用移液管移取为什么 答：因为这时所加的水只是溶解基准物质，而不会影响基准物质的量。因此加入的水不需要非常准确。所以可以用量筒量取。 3.如果基准物未烘干，将使标准溶液浓度的标定结果偏高还是偏低 答：如果基准物质未烘干，将使标准溶液浓度的标定结果偏高。 4.用NaOH标准溶液标定HCl溶液浓度时，以酚酞作指示剂，用NaOH滴定HCl，若NaOH 溶液因贮存不当吸收了CO2，问对测定结果有何影响 答：用NaOH标准溶液标定HCl溶液浓度时，以酚酞作为指示剂，用NaOH滴定HCl，若NaOH溶液因贮存不当吸收了CO2，而形成Na2CO3，使NaOH溶液浓度降低，在滴定过程中虽然其中的Na2CO3按一定量的关系与HCl定量反应，但终点酚酞变色时还有一部分NaHCO3末反应，所以使测定结果偏高。 5.如果NaOH溶液吸收了空气中的CO2,对食用白醋总酸度的测定有何影响、为什么、 答：NaOH吸收了空气中的CO2，使标准溶液中的氢氧化钠浓度变小，用来滴定未知醋酸的浓度，会使测得的浓度偏大 6.本实验中为什么选用酚酞做指示剂其选择原则是什么根据选择原则选用其他指示剂可以吗如果可以请举例说明。
课程简介：全国高中数学联赛是中国高中数学学科的最高等级的数学竞赛，其地位远高于各省自行组织的数学竞赛。在这项竞赛中取得优异成绩的全国约90名学生有资格参加由中国数学会主办的“中国数学奥林匹克（CMO）暨全国中学生数学冬令营”。优胜者可以自动获得各重点大学的保送资格。各省赛区一等奖前6名可参加中国数学奥林匹克，获得进入国家集训队的机会。中小学教育网重磅推出“全国高中数学联赛”辅导课程，无论是有意向参加竞赛的初学者，还是已入围二试的竞赛选手，都有适合的课程提供。本套课程由中国数学奥林匹克高级教练熊斌、人大附中数学教师李秋生等名师主讲，轻松突破你的数学极限！ 课程招生简章：https://www.doczj.com/doc/1d4366538.html,/webhtml/project/liansaigz.shtml 选课中心地址： https://www.doczj.com/doc/1d4366538.html,/selectcourse/commonCourse.shtm?courseeduid=170037#_170037_ 第一章数论专题 我们把未知数的个数多于方程的个数,且其解受到某种限制的方程,叫做不定方程.通常主要研究不定方程的正整数解、整数解、有理数解等. 不定方程问题的常见类型是： （1）求不定方程的解； （2）判定不定方程是否有解； （3）确定不定方程解的数量（有限还是无限）. 不定方程问题的常用解法是： （1）代数分析与恒等变形法，如因式分解、配方、换元等； （2）估计范围法，利用不等式放缩等方法,确定出方程中某些变量的取值范围,进而求整解； （3）同余法，即恰当选取模m,对方程两边做同余分析,以缩小变量的范围或发现性质,从而得出整解或判定无解； （4）构造法，构造出符合要求的特解,或构造一个求解的递推式,证明方程有无穷多解； （5）无穷递降法，无穷递降法是一种用反证法表现的特殊形式的归纳法,由Fermat创立并运用它证明了方程x4+y4=z4没有非零整解.从此,无穷递降作为一种重要的数学思想方法广为流传应用,并在平面几何、图论及组合中经常用到它. 引例：求所有正整数对（x,y）满足x y=y x-y.
1 四氯化三铅组成的测定思考题： 1、能否加其他酸如硫酸或盐酸使四氧化三铅分解？为甚么？答：不可以。盐酸会与四氧化三铅反应，盐酸被四氧化三铅中的二氧化铅氧化成氯气。硫酸会与二价铅离子反应生成硫酸铅沉淀，与二氧化铅分离不出来。故盐酸和硫酸均不可以（不能。用硝酸分解四氧化三铅中的二价铅与硝酸反应生成易溶于水的硝酸铅，从而使二价铅和二氧化铅分离。若使用硫酸或者盐酸的话，生成的硫酸铅和氯化铅均难溶于水，不利于二价铅和二氧化铅的分离） 2、二氧化铅氧化碘离子需要在酸性介质中进行，能否加硝酸或盐酸以代替醋酸？为什么？ 答：醋酸作为缓冲溶液调节溶液的PH值，使溶液环境保持PH=5~6若用强酸代替，随着反 应的进行，溶液的PH值变化大，不利于二氧化铅氧化碘离子这一反应。另外硝酸会氧化碘离子变为碘单质，影响硫代硫酸钠的滴定量。而四氧化三铅中的二氧化铅氧化盐酸，消耗二氧化铅的量。（不能。硝酸具有强氧化性，也会将碘离子氧化为碘单质，使实验结果偏大；盐酸中的Cl- 具有还原性，易被强氧化剂二氧化铅氧化，消耗一定量的二氧化铅，使实验结果偏小。） 操作题： 1、氧化铅的含量测定中开始加入二甲酚橙指示剂与六亚甲基思胺时，溶液的颜色发生什么变化？当用EDTA商定时，溶液的颜色又发生什么变化？ 答：加入二甲酚橙指示剂后溶液从黄色变为橙色。加入六亚甲基思胺时溶液由橙色变为紫红色。用EDTA滴定时，溶液由紫红色变为亮黄色。 3、在二氧化铅含量测定中，为什么要加入0.8g 固体碘化钾？溶液有什么变化？答：加入0.8g 固体碘化钾是要使二氧化铅全部被还原与溶解。此时溶液呈透明棕色。 4、在二氧化铅含量测定中，为什么不一开始加入1mL 2% 淀粉液，而是到硫代硫酸钠滴定溶液至淡黄色才加入？ 答：淀粉与碘单质络合生成蓝色物质。若一开始就加入淀粉溶液，淀粉则会络合较多的碘单质，则硫代硫酸钠与碘单质反应的量就少。到溶液至淡黄色才加入淀粉溶液，此时的碘单质几乎和硫代硫酸钠反应完全，使得碘单质与淀粉反应量较少，减少误差。 （淀粉对碘单质有吸附、包裹作用，使滴定终点拖后，造成实验误差） 一种钴（川）配合物的制备思考题： 1、将氯化钴加入氯化铵与浓氨水的混合溶液中，可发生什么反应，生成何种配合物？答：发生络合反应，生成氯化六氨合钴（H）Co2+ + NH3 +Cl- -- [Co（NH3）5 Cl]+ / [Co（NH3）6]2+ / [Co（NH3）5H2O]2+2 、上述实验中加入过氧化氢起何作用，如不用过氧化氢还可以用那些物质，用这些物质有什么不好？上述实验加浓盐酸的作用是什么？ 答：过氧化氢起氧化作用。如不用过氧化氢可以用高锰酸钾溶液，或者重铬酸钾，但是用这些氧化剂会引入杂质，高锰酸钾会引入二价锰离子，重铬酸钾会引入铬离子。而过氧化氢过量时，微热即可分解为氧气和水，没有引入杂质。 （①过氧化氢起氧化作用；②可用硝酸、重铬酸钾、高氯酸钾；用这些物质会引入杂质离子， 不利于配合物组分分拆。） 浓盐酸的作用：确保制备的配合物没有水作为配体，另外，盐酸可以抑制产品溶解，提高产品的产率 3、要使本实验制备的产品产率高，你认为那些步骤是比较关键？为什么？答：关键的步骤：分批次加入 2.0g 氯化钴粉末，边加边摇动，加完后继续摇动使溶液成棕色稀浆。保证二价钴变为氯化六氨合钴（H）。（①三价Co制备过程当中，分数次加入 2.0g 氯 化钴粉末和边加边HCl 边摇
姓名：严志达性别：男出生年月：1917－1999 籍贯：江苏省南通学历：就读于张骞创建的通州师范学校（全中国最早的少数新学校之一），于1949年获法国国家博士学位 职务：949—1952年任法国国家科学中心助理研究员。1952—1985年任南开大学数学系教授。1985年开始任南开数学研究所教授。1993年当选中国科学院院士。 数学家严志达长期从事李（Lie）群、李代数以及微分几何领域的研究，在特殊李群的拓扑，实半单李代数的分类理论等方面获重要成果。在把微分几何理论应用于研究齿轮啮合问题方面颇有建树。 姓名：陆家羲性别：男出生年月：1935-1983 籍贯：上海学历：1961年毕业分配到包头钢铁学院担任助教 数学家陆家羲长期从事组合数学研究。1961年完成《柯克曼四元组系列》论文，后专攻“斯坦纳系列”，创造出独特的引入素数因子的递推构造方法，完成总题目为《不相交的斯坦纳三元系大集》等七篇论文，解决了国际上组合设计理论研究中多年未解决的难题。1984年被追认为特级教师。 1987年被追授国家自然科学一等奖。§1。震动世界的科研成果 姓名：苏家驹性别：男出生年月：1899-1980 籍贯：湖北学历：一九二四年毕业于武昌高等师范学校数学系。 数学家苏家驹潜心数学研究，一九二九年，他在上海《学艺》七卷上发表了《代数式的五次方程之解法》，华罗庚发现此文在一个十二阶段的行列式中有计算差错，便写出《苏家驹之代数解法不能成立的理由》的论文，于一九三O年发表于上海《科学》杂志，论文引起了清华大学熊庆来教授的重视，华罗庚即被荐入清华园，后来成为举世闻名的数学家，苏家驹的文章起了特殊人梯的作用。 姓名：王菊珍性别：女 姓名：张鸣镛性别：男出生年月：1926—1986 籍贯：浙江温州人学历：1948年浙大数学系毕业职务：1948年，大学毕业后，即被母校——浙江大学数学系选拔为助教。 数学家张鸣镛担任浙江大学数学系助教期间，在苏、陈两位教授的指导下，取得令人瞩目的成果。1950年，他阐述芬氏空间子空间平均曲率的几何定义的论文问世，成为当时这方面问题的唯一文献。1955年，他在函数学论方面的一项研究成果，被命名为“张鸣镛常数”，并列入教育部审定的函数论教学大纲。他研究多函数解析，研究成果受到国际数学界的重视。他在多重调和势位，多重调和张量等理论方面的系列成果，受到在罗马尼亚召开的世界数学会议高度评价。他的论文《凸区域一个遮盖定理》一文用德文发表后，美国《数学评论》立即摘要转刊。他还写出了函数势位论方面的第一本讲义。德国著名GMN丛书第101卷引用的中国数学家的六篇论文中，有两篇是张鸣镛的。二十世纪50年代中期厦大数学系的辉煌与他紧密相关。