欧几里得算法
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个正整数a，b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (a>b 且a mod b 不为0)
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a,d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d也是（b,a mod b）的公约数
因此（a,b）和（b,a mod b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证欧几里得算法模板
int gcd(int n,int m)
{
int t,r;
if(n { t=n; n=m; m=t; } while((r=n%m)>0) { n=m; m=r; } return m; } 题目：HDU 1108 HDU 1576 扩展欧几里得 定理 对于不完全为0 的非负整数a，b，gcd（a，b）表示a，b 的最大公约数，必然存在整 数对x，y ，使得gcd（a，b）=ax+by。 求解x，y的方法的理解 设a>b。 1，显然当b=0，gcd（a，b）=a。此时x=1，y=0； 2，ab!=0 时 设ax1+by1=gcd(a,b); bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b); 根据朴素的欧几里德原理有gcd(a,b)=gcd(b,a mod b); 则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2; 即:ax1+by1=bx2+(a-[a/b]*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2; 根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-[a/b]*y2; 这样我们就得到了求解x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于x2，y2. 上面的思想是以递归定义的，因为gcd 不断的递归求解一定会有个时候b=0，所以递归可以 扩展欧几里得代码 int ext_gcd( int a, int b, int& x, int& y ) { int t, ret; if( b==0 ) { x = 1, y = 0; return a; } ret = ext_gcd( b, a%b, x, y ); t = x, x = y, y = t-a/b*y; return ret; } 中国剩余定理 中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国剩余定理。简介 数学公式 （中国剩余定理CRT）设m1,m2,...,mk是两两互素的正整数，即gcd(mi,mj) =1,i≠j,i,j = 1,2,...,k 则同余方程组： x≡b1 （mod m1） x≡b2 （mod m2） ... x≡bk （mod mk) 模[m1,m2,...,mk]有唯一解，即在[m1,m2,...,mk]的意义下，存在唯一的x，满足： x≡bi mod [m1,m2,...,mk],i = 1,2,...,k 结论 设m1, …, mk是两两既约的正整数。那么，对任意整数a1, …, ak，一次同余方程组： x ≡ aj(mod mj)，1≤j≤k (3) 必有解，且解数为1。事实上，同余方程组(3)的解是： x ≡ M1M1-1a1 + … + MkMk-1ak(mod m)，(4) 这里，m = m1…mk，m = mjMj(1?j?k)，以及Mj-1是满足： MjMj-1 ≡ 1(mod mj)，1≤j≤k (5) 的一个整数（即Mj是对模mj的逆）。 中国剩余定理(同余方程组)小结 中国余数定理: 设n=n1*n2...nk, 其中因子两两互质.有: a-----(a1,a2,...,ak), 其中ai = a mod ni, 则a和(a1,a2,...,ak)关系是一一对应的.就是说可以由a求出(a1,a2,...,ak), 也可以由(a1,a2,...,ak)求出a 推论1: 对于a=ai (mod ni) 的同余方程,有唯一解 下面说说由(a1, a2, ..., ak)求a的方法: 定义mi = n1*n2*...nk / ni; ci = mi(mf mod ni); 其中mi*mf mod ni = 1; 则a = (a1*c1+a2*c2+...+ak*ck) (mod n) (注:由此等式可求a%n, 当n很大时) 中国剩余定理关键是mf的求法,如果理解了扩展欧几里得ax+by=d, 就可以想到: mi*mf mod ni = 1 => mi*mf+ni*y=1; 代码 /求解模线性方程组(中国剩余定理) // x ≡ b[0] (mod m[0]) // x ≡ b[1] (mod m[1]) // ... // x ≡ b[k-1] (mod m[k-1]) //要求m[i]>0,m[i]与m[j]互质,解的范围1..n,n=m[0]*m[1]*...*m[k-1] int modular_linear_system( int b[], int m[], int k ) { int d, x, y, a=0, M, n=1, i; for( i=0; i n *= m[i]; for( i=0; i { M = n/m[i]; d = ext_gcd( m[i], M, x, y ); a = (a+y*M*b[i])%n; } return (a+n)%n; } ?题目：HDU 3579 HDU 1573 数论基础知识 小学数论问题，起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数 1.能整除：整除，因数与倍数，奇数与偶数，质数与合数，公因数与公倍数，分解质因数等； 2.不能整除：余数，余数的性质与计算（余数），同余问题（除数），物不知数问题（被除数）。 一、因数与倍数 1、因数与倍数 （1）定义： 定义1：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。 定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c，或者c÷a＝b，那么称a、b是c的因数，c是a、b 的倍数。 注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可。（a、b是因数，c是倍数） 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 （2）一个数的因数的特点： ①最小的因数是1，第二小的因数一定是质数； ②最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数÷第二小的因数 （3）完全平方数的因数特征： ①完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。 ②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次； ③1000以内的完全平方数的个数是31个，2000以内的完全平方数的个数是44个，3000以内的完 全平方数的个数是54个。（312=961，442=1936，542=2916） 2、数的整除（数的倍数） （1）定义： 定义1：一般地，三个整数a、b、c，且b≠0，如有a÷b＝c，则我们就说，a能被b整除，或b能整除a，或a能整除以b。 定义2：如果一个整数a，除以一个整数b（b≠0），得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。（a≥b） （2）整除的性质： 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。 如果a能被b整除，c是整数，那么a×c也能被b整除。 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 （3）一些常见数的整除特征（倍数特征）： ①末位判别法 2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。 4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。 8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。 ②截断求和法（从右开始截） 9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和 99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和 999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和 ③截断求差法（从右开始截） 11的倍数特征：一位截断求差 101的倍数特征：两位截断求差 1001（及其因数7、11、13、77、91、143）的倍数特征：三位截断求差 小学数论基础知识 数论基础知识 一质数和合数 （1）一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 （2）自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。 任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。 （3）最小的质数是2 ，2是唯一的偶质数，其他质数都为奇数； 最小的合数是4。 （4）质数是一个数，是含有两个约数的自然数。 互质数是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（３和５），可能是一个质数和一个合数（３和４），可能是两个合数（４和９）或1与另一个自然数。 （５）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 （６）１００以内的质数有２５个： ２、３、５、７、 １１、１３、１７、１９、 ２３、２９、３１、３７、 ４１、４３、４７、 ５３、５９、 ６１、６７、 ７１、７３、７９、 ８３、８９、 ９７ 二整除性 （１）概念 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作b a。 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 （２）性质 性质1：（整除的加减性）如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。 也就是说，被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。 性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a. 即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。 性质3：（整除的互质可积性）如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b 与c的积能整除a。 第四章社会学基础知识 第一节社会学的对象与功能 一、社会学的研究对象 社会学的研究对象之观点一（参考郑杭生《社会学概论新修》）： 1．社会学的定义与研究对象 社会学是关于社会良性运行和协调发展的条件和机制的综合性具体社会科学。将这个定义代表的观点浓缩，称为“社会运行论”。由此定义，可以将“社会良性运行和协调发展的条件和机制”看做是社会学的独特研究对象。 2．社会运行的条件和机制作为社会学研究对象的历史时代根据 社会学在19世纪三四十年代产生，决定性的因素是时代实践的要求。因此，揭示社会学独特对象的根本途径，就是要说明这个决定社会学产生的时代需要。要说明决定社会学产生的时代需要，离不开说明西欧资本主义代替封建主义所引起的社会变化，说明英国产业革命和法国政治大革命所带来的社会后果。正是这些社会变化和社会后果，突出了现代社会运行和发展的问题，即如何实现良性运行和协调发展、避免恶性运行和畸形发展的问题。 3．社会运行的条件和机制作为社会学研究对象的现实社会根据 （1）社会运行和发展的类型 社会的运行和发展大体可以分为三种类型：良性运行和协调发展、中性运行和模糊发展、 恶性运行和畸形发展。 ①社会的良性运行和协调发展，指特定社会的经济、政治、思想文化和社会生活四大系统之间以及各系统内不同部分、不同层次之间的相互促进，而社会障碍、失调等因素被控制在最低限度和最小范围之内。 ②社会的中性运行和模糊发展，指社会运行有障碍，发展不甚平衡，包含较多较明显的不协调因素。 ③社会的恶性运行和畸形发展，指社会运行发生严重障碍、离轨、失控。 （2）现实依据 社会主义从根本上、总体上是能够良性运行和协调发展的。不仅宏观上如此，微观上也是如此。因为社会主义经济是以生产资料公有制为基础的，它与生产的社会化是一致的。这正是社会主义优越于资本主义的地方。 推进和维持我国社会主义社会的良性运行和协调发展，关系到每个人的切身、长远、根本利益，关系到社会主义制度的优越性的发挥。但是，我国社会的良性运行和协调发展不会自动地、自然而然地到来。这就要求研究我国社会良性运行和协调发展的条件和机制，并努力创造这种条件，按照这种机制去尽力加以争取。 4．社会运行的条件和机制作为社会学研究对象的中国特色 社会运行论的中国特色主要表现在以下几方面： （1）它与中国历史上的学术传统密切相关。社会运行的研究在一定程度上受到中国学术传统长期以来看待社会历史的角度的影响，即注重考察社会的治乱兴衰。 （2）它与新中国成立以来的现实社会运行密切相关。社会运行论是在对新中国成立以来社会运行状况，特别是对“文化大革命”期间恶性运行状况的反思，再加上严复的具有中 数论基础知识 一质数和合数 （1）一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 （2）自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。 任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。 （3）最小的质数是2 ，2是唯一的偶质数，其他质数都为奇数； 最小的合数是4。 （4）质数是一个数，是含有两个约数的自然数。 互质数是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（３和５），可能是一个质数和一个合数（３和４），可能是两个合数（４和９）或1与另一个自然数。 （５）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 （６）１００以内的质数有２５个： ２、３、５、７、 １１、１３、１７、１９、 ２３、２９、３１、３７、 ４１、４３、４７、 ５３、５９、 ６１、６７、 ７１、７３、７９、 ８３、８９、 ９７ 二整除性 （１）概念 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b 不能整除a），记作b a。 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 （２）性质 性质1：（整除的加减性）如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c 整除。 即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。 也就是说，被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。 性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a. 即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。 性质3：（整除的互质可积性）如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。 即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。 奥数数论基础知识 一质数和合数 （1）一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 （2）自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。 任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。（3）最小的质数是2 ，2是唯一的偶质数，其他质数都为奇数； 最小的合数是4。 （4）质数是一个数，是含有两个约数的自然数。 互质数是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（３和５），可能是一个质数和一个合数（３和４），可能是两个合数（４和９）或1与 另一个自然数。 （５）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 （６）１００以内的质数有２５个：２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７． 二整除性 （１）概念 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作b a。 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 （２）性质 性质1：（整除的加减性）如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。 也就是说，被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。 性质2：如果b与c的积能整除a，那么b 与c都能整除a. 即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。性质3：（整除的互质可积性）如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。 1群、环、域概念 A1：加法的封闭性：如果a 和b 属于G ，则a+ｂ也属于G A2：加法结合律：对G 中的任意元素a,b,ｃ,ａ＋(b+c)=（a ＋ｂ)+c A3:加法单位元:G 中存在一个元素0，使得对于G 中的任意元素ａ，有a+０=０+a A4:加法逆元:对于Ｇ中的任意元素a ，G 中一定存在一个元素a,使得 ? a+（-a)＝（－a)＋a ＝０ Ａ5：加法交换律:对于Ｇ中的任意元素a 和b ，有a+b=ｂ+a M1:乘法的封闭性:如果a 和b 属于Ｇ,则ａｂ也属于G M2:乘法结合律：对于G 中的任意元素a,b,ｃ有ａ(bc)＝(ab ）c M3：乘法分配了:对于Ｇ中的任意元素a,b,ｃ,有a(b ＋c)＝ab+ac 和(a ＋ｂ)ｃ=ac+ｂc M4：乘法交换律：对于G 中的任意元素a ，b 有a ｂ＝ba M5:乘法单位元:对于G 中的任意元素a,在Ｇ中存在一个元素１，使得a1=１a ＝ａ M6:无零因子:对于G 中的元素ａ,b,若ab=0，则必有a=0或ｂ=0 M7：乘法逆元：如果a 属于G ，且a 不为０,则G 中存在一个元素1-a ，使得 111==--a a aa 满足A1--－A ４称为群 满足A1--－Ａ5称为可交换群 满足Ａ1-－-M ３称为环 满足A1---M ４称为可交换换 满足A １---Ｍ６称为整环 满足A1－－-M ７称为域 2循环群：如果群中的每一个元素都是一个固定元素)(G a a ∈的幂k a （k 为整数), 则称群G 是循环群。我们认为元素a 生成了群G ，或者说ａ是群G 的 生成元。 循环群总是交换群 3模运算 )mod ()mod (n b n a =则称整数ａ和b 是模n 同余的，可以表示为：)(mod n b a ≡ 若b 整除ａ。则用符号：a |b 表示。其性质可表示如下： ①如果a|1,那么a=-1或1。 ②如果ａ｜ｂ,且b|a ，那么a=b 或ａ=-b 法学类推荐书目 一、民商法学类 1、王泽鉴：《民法学说与判例研究》（八卷）中国政法大学出版社2005年版 2、梅仲协：《民法要义》中国政法大学出版社2004年版 3、周枏：《罗马法原论》（上、下册）商务印书馆1994年版 4、王利明：《民法总则》中国法制出版社2006年版 5、王利明：《民法总论》中国人民大学出版社2009年版 6、王利明：《民法典体系研究》中国人民大学出版社2008年版 7、董安生：《民事法律行为》中国人民大学出版社2002年版 8、谢怀拭：《外国民商法精要》(增补版) 法律出版社2006年版 9、【德】罗伯特·霍恩、海因·科茨、汉斯·莱塞：《德国民商法导论》中国大百科全书出版社1996年版 10、《拿破仑民法典》商务印书馆 11、王利明：《物权法论》（修订二版）中国政法大学出版社2008年版 12、王轶：《物权变动论》中国人民大学出版社2001年版 13、王利明：《违约责任论》（修订本）中国政法大学出版社2000年版 14、【美】科宾：《科宾论合同》（上、下册）中国大百科全书出版社1997年版 15、张新宝：《侵权责任法原理》中国人民大学出版社2005年版 16、任先行、周林彬：《比较商法导论》北京大学出版社2000年版 17、克雷斯蒂安?冯?巴尔：《欧洲比较侵权行为法》，张新宝等译，法律出版社2004年版 二、知识产权法类 1、【美】威廉·兰德斯、理查德·波斯纳：《知识产权法的经济结构》北京大学出版社2005年版 2、刘春田：《知识产权法》中国人民大学出版社2007年版 3、【匈】菲彻尔：《版权法与因特网》中国大百科全书出版社2008年版 4、彭学龙：《商标法的符号学分析》法律出版社2007年版 5、尹新天：《专利权的保护》（第2版）知识产权出版社2005年版 6、孔祥俊：《商标与反不正当竞争法原理和判例》，法律出版社2009年版 7、吴汉东：《知识产权基本问题研究》，中国人民大学出版社2009年版 8、郑成思：《知识产权论》，法律出版社2003年版 9、曹新明《中国知识产权法典化研究》，中国政法大学出版社2005年版 10、李琛《论知识产权的体系化》，北京大学出版社2005年版 11、冯晓青著《知识产权法哲学》中国人民公安大学出版社2003年版 三、刑法学类 （刑法哲学部分） 1、（意）贝卡利亚：《论犯罪与刑罚》，中国大百科全书出版社。 2、[美]胡萨克：《刑法哲学》，中国人民公安大学出版社。 3、（日）西原春夫：《刑法的根基与哲学》，上海三联出版社。 4、陈兴良：《刑法哲学》，中国政法大学出版社。 5、陈兴良：《刑法的人性基础》，中国方正出版社。 6、韩忠谟：《刑法原理》，中国政法大学出版社。 7、陈兴良：《刑法的价值构造》，中国人民大学出版社。 第34讲数论基础知识应用 【培训提示】 1. 运用整数本身的基本特性分析解答简单的整数问题。 2.运用枚举方法和归纳方法的技巧。 数论是研究整数性质的一个数学分支。虽然数论问题看似简明，但是要解释清楚，并且证明它却是困难的；又因为整数以及相关的一些数学知识正是小学数学学习的重点，所以在各级各类的数学竞赛中，数论问题占有相当大的比重。 小学数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整数性、带余除法、奇偶性、质数与合数、约束与倍数、整数的分解与分析等。分析解答数论问题，常常需要采取一些特殊的方法和技巧，本讲着重学习研讨用枚举法和归纳法分析解答数论问题的方法和技巧。 【培训示例】 例1 用三位数abc中的三个数字还可以组成五个三位数，如果这五个三位数加起 来的和是3194，那么三位数abc是是多少？（a、b、c都是不等于0的整数） 例2 从自然数1,2,3...2005中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？ 例3 将自然数N接写在任意一个自然数的右面得到一个新数。如果所得到的新数正好能被N 整除，那么N就称为“魔术数”。问小于2005的自然数中有多少个魔术数？ 例4 有三张扑克牌，牌面数字都在10以内。把这三张牌洗好后，分别法给甲、乙、丙三人，每人都把自己的牌的数字记下后再重新洗牌、发牌、记数，这样反复几次后，三人各自记录的数字的和顺次为13,15,23。问：这三张牌的数字分别是多少？ 例5 有一摞卡片共100张，如果将上面的第一张去掉，把下一张卡片放在这摞卡片的最下面；在把上面的第一张（即原来这摞卡片的第三张）去掉，把下一张卡片（即原来这摞卡片的第四张）放在这摞卡片的最下面。反复这样做，知道手中只剩下一张卡片，那么最后剩下的这张卡片是原来这摞卡片的第几张？ 例6 若要用天平秤出1克、2克、3克...40克这些不同的整数克重量，至少要用多少个砝码？这些砝码的重量分别是多少克？ 数论基础知识 小学数论问题,起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数 1.能整除：整除,因数与倍数,奇数与偶数,质数与合数,公因数与公倍数,分解质因数等； 2.不能整除：余数,余数的性质与计算（余数）,同余问题（除数）,物不知数问题（被除数）。 一、因数与倍数 1、因数与倍数 （1）定义： 定义1：若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的因数。 定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c,或者c÷a＝b,那么称a、b是c的因数,c是a、b 的倍数。 注意：倍数与因数是相互依存关系,缺一不可。（a、b是因数,c是倍数） 一个数的因数个数是有限的,最小的因数是1,最大的因数是它本身。 一个数的倍数个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。 （2）一个数的因数的特点： ①最小的因数是1,第二小的因数一定是质数； ②最大的因数是它本身,第二大的因数是：原数÷第二小的因数 （3）完全平方数的因数特征： ①完全平方数的因数个数是奇数个,有奇数个因数的数是完全平方数。 ②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次； ③1000以内的完全平方数的个数是31个,2000以内的完全平方数的个数是44个,3000以内的完 全平方数的个数是54个。（312=961,442=1936,542=2916） 2、数的整除（数的倍数） （1）定义： 定义1：一般地,三个整数a、b、c,且b≠0,如有a÷b＝c,则我们就说,a能被b整除,或b能整除a,或a能整除以b。 定义2：如果一个整数a,除以一个整数b（b≠0）,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b 整除或b能整除a,记作b|a。（a≥b） （2）整除的性质： 如果a、b能被c整除,那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。 如果a能被b整除,c是整数,那么a×c也能被b整除。 如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。 如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 （3）一些常见数的整除特征（倍数特征）： ①末位判别法 2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。 4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。 8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。 ②截断求和法（从右开始截） 9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和 99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和 999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和 ③截断求差法（从右开始截） 11的倍数特征：一位截断求差 101的倍数特征：两位截断求差 . 1.社会化：即人的社会化，就是指一个从出生，从不知不识的生物个体的人，经过不断的学习知识、技能和社会规范，培养和提高自己的社会需要，发展自己社会性，把自己一体化到躯体中去，从而使社会不断延续和发展下去的基本过程 2.初级社会群体：也叫首属社会群体，是由面对面的交往而形成的，具有亲密的成员关系的社会群体。它反映了人们最简单，最初步的社会关系。 3.社区发展：也称社区发展工作，是社会工作者介入有问题的社区，通过启发和教育，协助社区居民组织起来，发挥社区合作精神、动员社区内外资源、有计划的解决社区问题，促进社区经济和社会进步的过程。 4.规则系统：社会制度都包含着一整套活动规则即规范系统，用以规定在这个制度笼罩下的人们之间的社会相互关系（地位与角色，权利与义务等）以及人们各自的行为模式。 5.社会学：是从变动着的社会系统整体出发，通过人们的社会关系和社会行为，研究社会的结构、功能、发生、发展规律的一门综合性的社会科学。 6.城市社区：是指在一定地域范围内、以工商业或其他非农业为主要经济活动的一定规模的人口组成的生活共同体。它是与农村社区不同的另一类人类居住空间和生活组织形成。 7.社会解组：是社会各组成部分之间联系微弱或不协调，社会行为规范对社会成员失去的约束，从而社会的组织程度低，乃至处于无组织状态的现象。它是与社会整合相对应的概念。 8.越轨行为：也称违规行为，它是个体或群体违反其所应遵守的社会行为规范的行为。越轨行为是针对具体条件下的既定的社会行为规范而言的，它是对社会或群体所期望的角色行为的偏离。 9.家庭结构：是指家庭成员的组合形式及其相互作用所形成的关系状态。它包括家庭由多少成员组成，由哪些成员组成和按照哪种关系模式组成。 10.人文区位学：又称人文生态学，是指借用生物进化论原理，研究社区环境的空间格局及相互依赖关系的学说，是由美国芝加哥学派提出来的，其注重研究不同人群在地域空间上的居住与活动分布，分析他们之间的相互关系。 11.“第三次浪潮”：社会学家、未来学家托夫勒认为人类从农业革命文明，进入工业革命文明，又进入新技术、新材料开发的文明时期，他称该时期为“第三次浪潮”。也有人称之为“第四次产业革命”. 12.心理上的断乳：是心理学家对人的青年期的一种比喻说法，也叫“第二次诞生”。生理上的断乳是指改变婴儿生活习惯，是一次生理危机，而青年走入社会也是 欧几里得算法 欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个正整数a，b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理： 定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (a>b 且a mod b 不为0) 证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b 假设d是a,b的一个公约数，则有 d|a,d|b，而r = a - kb，因此d|r 因此d也是（b,a mod b）的公约数 因此（a,b）和（b,a mod b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证欧几里得算法模板 int gcd(int n,int m) { int t,r; if(n 社会学入门书籍推荐 曹锦清教授推荐推荐书目： 勒庞《乌合之众》 卢梭《社会契约论》 孟德斯鸠《论法的精神》 洛克《君主论》 熊彼特《资本主义、社会主义、与民主》 尼采《权利意志论》《查拉图斯特拉如是说》 米切尔斯《寡头统治》 英斯卡《统治阶级论》 凡勃伦《有闲阶级论》 陆学艺《当代中国社会阶层研究报告》 恩格斯《家庭、私有制、国家起源》 王小强《赌博经济》 泰勒《原始文化》 马克思《共产党宣言》《路易·波拿巴雾月十八》《法兰西内战》《政治经济学批判导论》 梅因《古代法》 科塞《社会学思想名家》 斯塔里斯·阿里斯《全球通史（下）》精读三遍 个人推荐书目： 一、现代以后的理论：现代以后的理论当然是理论综述类的东西 二、经验研究：经验研究也有些编的好的集子 具体书目： 社会变迁 （美）瓦戈/ 2007-04-01 / 北京大学出版社/ 40.0 / 平装/ 王晓黎 社会网分析讲义 罗家德/ 2005-04-01 / 社会科学文献出版社/ 29.0 / 平装 金翼 林耀华/ 2000-4-1 / 三联书店/ 12.00 / 平装 华北的小农经济与社会变迁 黄宗智/ 2000-06-01 / 中华书局/ 25.00 / 平装 西方文化要义 王曾才/ 2006-8-1 / 江苏教育出版社/ 24.8 / 平装 信任论 郑也夫/ 2006-5-1 / 中国广播电视出版社/ 20.0 / 平装 与社会学同游——人文主义的视角 [美]彼得.伯格/著/ 2008.06 / 北京大学出版社/ 24.00 / 平装/ 何道宽/译 社会性别研究导论——两性不平等的社会机制分析 佟新/ 2005-7-1 / 北京大学出版社/ 26.0 / 平装 当代社会学理论及其古典根源——社会学经典教材译丛 （美）乔治·瑞泽尔/ 2005-6-1 / 北京大学出版社/ 32.0 / 平装/ 杨淑娇 西方作为他者 王铭铭/ 2007年10月/ 世界图书出版公司/ 论中国“西方学”的谱系与意义/ 26.0 / 平装 1. 倍数规律 末位系：2的倍数规律是末位数是偶数（即末位数是2的倍数），5的倍数规律是末位数是0或5（也即末位数是5的倍数）；4的倍数规律是末两位数是4的倍数（例如：28是4的倍数，则128、1128、23574335435328都是4的倍数），同样，25的倍数规律也是末两位是25的倍数；8的倍数规律是末三位是8的倍数，125的倍数规律是末三位是125的倍数。 练习：23400是上面提到的哪些数的倍数？（提示：0是任何数的倍数。） 数位和系：3或9的倍数规律是各个数位相加之和是3或9的倍数（例如：1+2+3=6是3的倍数但不是9的倍数，则123、321、213等等都是3的倍数而不是9的倍数；3+6=9既是3的倍数也是9的倍数，所以36、63也既是3的倍数也是9的倍数。） 练习：[ ]里能填哪些数可以使12[ ]34是3的倍数？9的倍数呢？ 数位差系：11的倍数规律是从后往前数奇数位上的数之和减去偶数位上的数之和是11的倍数。（若不够减则可通过加上11的倍数使其够减。）例：231，从后往前数，第1位是1，第2位3，第3位是2，所以奇数位的和是1+2=3，偶数位的和是3，所以奇数位和减偶数位和等于3-3=0是11的倍数，因此231就是11的倍数。6160，奇数位和等于1+0=1，偶数位和等于6+6=12，奇数位和减偶数位和不够减，但加上一个11以后就够减了，变成了1+11-12=0是11的倍数，所以6160是11的倍数。 7、11、13的倍数有个公共的规律，即将末3位与之前断开，形成两个新的数之差是7、11、13的倍数。例如：1012，把末三位断开后刚好变成了1与014（也就是12），于是这两数的差是11，因此是13的倍数，因此1014就是13的倍数。 练习：判断下列各数是不是7、11或13的倍数。 1131、25795、34177、12345 2. 分解质因数 把一个整数拆成成若干个质数（质数即只有1和本身作为因数的大于一的整数，如2、3、5、7……）相乘的形式。例：“1002255=???”就叫做把100分解质因数，而不能是1002105=??，因为10还可以进一步分解为25?。 练习：把下列各数分解质因数。 36= 24= 81= 96= 3. 质因数与整除的关系 例：12223=??，则12的倍数分解质因数后都得包含至少两个2和一个3（看上道题36和24的分解结果。）；12的因数分解质因数以后则必须包含了两个2和一个3之内，比如623=?、422=?、2、3都包含在12分解质因数的“组成”里。 练习：例如上面告诉的方法，以及36分解质因数的结果（上道题），写出36所有的因数。 必看的10本法律入门书籍 必看的10本法律入门书籍 1、《西窗法雨》 推荐指数：★★★★★ 本书以亲切家常、平和幽默的手法漫谈西方法律文化，对似乎是信手拈来的法律现象材料进行点拨评说，说的是西方法律文化现象，却时时启蒙着中国人的法律意识和法治观念，不着痕迹地调动着读者的思维，去思考中国的问题。 2、《历史深处的忧虑》 推荐指数：★★★★★ 作者以信件的形式讲述美国现实生活中的故事。生动地介绍了美国法律、政治制度的思想原则，建立与发展过程，操作方式，历史价值以及为实行这套制度已付了的和将要付出的代价。 3、《政法笔记》 推荐指数：★★★★ 文稿来自于冯象先生在《读书》开的专栏文字，以文学的笔意，言说政法领域的大小故事，从孔夫子名誉权、鲁迅肖像权、婚前财产公证、取名用生僻字、性贿赂、人体写真到版权、美国大选涉及方方面面的话题，称得上汉语法学随笔的巅峰之作。 4、《刑法的私塾》 推荐指数：★★★★ 本书为近几年张明楷老师与学生周末刑法讨论会的内容实录合集。书中采用对话体的形式，原汁原味地真实回放刑法讨论会的现场。所选案例，多数是经常困扰刑事司法领域人士的疑难案例，对于司法实践的法律人士也有很大的参考价值。(推荐 书单,提升阅读技能,欢迎常到荐书堂来看看~) 5、《博登海默法理学》 推荐指数：★★★★ 本书是美国法学家博登海默于1940年出版的《法理学》第一版。作者在第一版表达了更鲜明的立场、更犀利的观点和更自洽的思路，与后两版教科书式的叙述风格明显不同。 6、《论法的精神》 推荐指数：★★★★ 本书是法国著名启蒙思想家孟德斯鸠关于法律和政治思想的里程碑式的名著，在历史上产生了深远影响。 7、《洞穴奇案》 推荐指数：★★★★ 五名洞穴探险人受困山洞，无法在短期内获救。为了维生以待救援，大家约定抽签吃掉其中一人，牺牲他以救活其余四人。借助这个假想公案，实际上反映了20世纪各个流派的法哲学思想，本书既是法哲学专业领域寓言式的经典文献，又是大学跨学科通识教育的理想读本。 8、《波斯人信札》 推荐指数：★★★ 作者以书信的形式，通过波斯人之口，用一种陌生化的眼光来重新审视欧洲文化;不但带领读者领略了18世纪巴黎生活的画卷，更在潜移默化中推行了启蒙思想的教化。 9、《最好的辩护》 推荐指数：★★★ 作者艾伦德肖维茨是美国哈佛大学著名法学教授、作家， 一、人类学——《人类简史》 《人类简史:从动物到上帝》是以色列新锐历史学家的一部重磅作品。从十万 年前有生命迹象开始到21世纪资本、科技交织的人类发展史。十万年前，地球上至少有六个人种，为何今天却只剩下了我们自己?我们曾经只是非洲角落一个毫不起眼的族群，对地球上生态的影响力和萤火虫、猩猩或者水母相差无几。为何我们能登上生物链的顶端，最终成为地球的主宰? 这是一本宏观历史进程研究的社会科学启蒙书籍，没有专业的晦涩而是通俗易懂。一个个有趣的故事和问题把人类文明发展的变迁串联在了一起。 他并未深入地探讨学术，而是仅提供了一些猜想和推测，以极其广阔的思路打开读者的大脑。 正如一位评论家说：“读完这本书，有一种跟着人类一同走过十万年的感觉！” 二、社会学——《社会学的邀请》 社会学不仅是个名词，更是个动词。它不是我们拥有的东西，而是我们要去做的东西。我们对个人主义模型的过于信赖及对社会力量的低估，代表了对自由图景的歪曲认识。对于自我与社会之间的关系及差异性后果的正确评价，可以让我们作出更加明智的选择，更好地塑造未来。它为"我们为什么会照我们所想的那样去想"和"我们为什么会照我们所做的那样去做"提供了答案。社会学不应该只局限于大学课堂之中，也不应该只属于专业人士。可以说，我们人人都是社会学家，许多工作都在等着我们一起去完成，包括创建希望社会学。 了解社会学可以促使我们洞悉行为产生的原因。这虽然是一本社会学入门读物，但其中包含了丰富的社会学内涵和想象力， 一、我们为什么会按照我们想的那样去做呢？ 二、我们为什么会按照我们做的那样去做呢？ 这两个问题，在社会学的研究中，他的包容性会更加的宽广，而本书中也提到了这两个问题的解答方案。 正如书名所述，这本书仅仅是社会学对你的“邀请”，启发你对社会学的兴趣。如果你不想看晦涩难懂的专业书籍，那这本书就是你最好的伙伴。 三、心理学——《社会心理学》 本书是美国优秀的社会心理学教材，三位编写者在专业研究领域都有卓绝的成就，并且都在教学第一线有超过20年的教学经验，被耶鲁大学、哈佛大学等美国700多所大学采用作为教材。 行程问题 基本行程问题平均速度火车过桥流水行船接送问题电梯行程 数论问题 奇偶分析数的整除约数倍数进位制余数问题完全平方数 几何问题 小学几何五大模型勾股定理与弦图巧求周长立体图形的体积 计数问题 加法原理乘法原理容斥原理排列组合枚举法归纳法 应用题 鸡兔同笼问题年龄问题盈亏问题牛吃草问题工程问题浓度问题 计算问题 分数列项与整数列项繁分数的计算数学计算公式换元法找规律 其他 数阵图与数字谜操作与策略抽屉原理逻辑推理不定方程染色问题 小学六年级奥数基础知识——数论一 一质数和合数 （1）一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 （2）自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。 任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。 （3）最小的质数是2 ，2是唯一的偶质数，其他质数都为奇数； 最小的合数是4。 （4）质数是一个数，是含有两个约数的自然数。 互质 是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（３和５），可能是一个质数和一个合数（３和４），可能是两个合数（４和９）或1与另一个自然数。 （５）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 （６）１００以内的质数有２５个：２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７． 注意：两个质数中差为1的只有3-2 ；除2外，任何两个质数的差都是偶数。 二整除性 （１）概念 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得 1.社会角色： 由社会地位所决定的社会期望和个体的行为模式之间的统一。 1）社会角色与社会地位密切相关； 2）角色是一种社会的客官期待； 3）角色是一种个人的主管表演。 2.继续社会化： 一个人在完成基本社会化之后，为适应社会环境，继续学习社会知识，价值观念，行为规范的过程，是一种成年期的社会化。 3.群体领袖： 社会群体中提供了这样一种职位，使某部分人能对另一部分人实施权利，称这部分人为群体领袖。 4.家庭暴力： 指家庭成员之间，以压制对方或发泄敌对情绪为目的，直接或间接的身体接触，包括推揉拉扯殴打残害等方式，分为理性暴力和非理性暴力两重性。 5.角色丛： 围绕主要社会地位而存在的诸多社会角色的集合。为了说明一个人在社会生活中角色行为的多样性，社会学家用角色丛这个词来描绘与行动者的各个身份相联系的所有角色的集合。 6.再社会化： 有意放弃原已习得的价值观念和行为规范，重新学习和接受新的价值观念和行为规范。 1)强制性（监狱，劳动改造等）2）非强制性（改革开放后，新兵入伍，移民国外） 7.差序格局： 中国社会是一个以关系为本位的社会，人们的社会关系是以个人为中心逐渐推出去的，整个社会就是私人关系构成的网络，费孝通成此为差序格局。 8.同辈群体： 由一些年龄，兴趣爱好，行为规范，价值观念类似的人组成的，非正式初级群体。不一定是亲密的朋友。 9.角色失调： 人们扮演角色并不是一帆风顺的，可能会出现矛盾，障碍，甚至失败。 1）角色冲突2）角色紧张3）角色中断4）角色失败 10.社会互动： 社会成员，针对他人采取的行动，或对他人的行动做出反应的过程。 11.社会群体： 社会成员之间按照一定的社会关系组成的，彼此有共同行为模式的共同体。 12.社会行动： 行动者为实现一定目标，而采取手段，并对客观情境条件加以控制和利用，并遵循一定规范的行动。 13.群体凝聚力： 又称群体内聚力，是社会群体的特征之一。是指群体对其成员，群体成员彼此之间的吸引力。这种吸引力达到一定程度时就可以说这个群体是具有凝聚力的群体。群体凝聚力不仅反应在群体的团结，还可能出现对其他群体的排斥倾向。 意义：是维系群体存在的基础；保持群体的整体性，协调性，统一性；控制群体成员，使其有自信心和安全感。 14.趣缘群体： 与地缘，血缘群体一样，是群体的一种类型。形成的原因是有共同的兴趣爱好。因此群 第一节 整数的p 进位制及其应用 正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。 基础知识 给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m --，则此数可以简记为：021a a a A m m --=（其中01≠-m a ）。 由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1-m 次多项式，即 012 21 11010 10 a a a a A m m m m +?++?+?=---- ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{-=∈m i a i 且 01≠-m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m --=。在我们的日常 生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m --=，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。 为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示： 012 21 1a p a p a p a A m m m m +?++?+?=---- ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{-=-∈m i p a i 且 01≠-m a 。而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 --=。 第二节 整数的性质及其应用（1） 基础知识 整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。 1．整除的概念及其性质 在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。 定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 记作b a 。 由整除的定义，容易推出以下性质： (1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)； 第一节整数的p进位制及其应用 正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。 基础知识 给定一个m位的正整数A，其各位上的数字分别记为，则此数可以简记为：（其中）。 由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A可以表示成10的次多项式，即，其中 且，像这种10的多项式表示的数常常简记为。在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。 为了具备一般性，我们给出正整数A的p进制表示： ，其中且。而仍然为十进制数字，简记为。 第二节整数的性质及其应用（1） 基础知识 整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。 1．整除的概念及其性质 在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。 定义：设是给定的数，，若存在整数，使得则称整除，记作，并称是的一个约数(因子)，称是的一个倍数，如果不存在上述，则称不能整除记作。小学奥数数论专题知识总结
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