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必修1 第三章函数的应用经典例题讲解

第三章函数的应用

1：函数的零点

【典例精析】

例题1 求下列函数的零点。

（1）y=32x 2-+x ；（2）y ＝（2

x －2）（2

x －3x ＋2）。

思路导航：判断函数零点与相应的方程根的关系，就是求与函数相对应的方程的根。答案：（1）①当x≥0时，y=x 2

+2x －3，x 2

+2x －3=0得x=+1或x=－3（舍） ②当x ＜0时，y=x 2

－2x －3，x 2－2x －3=0得x=－1或x=3（舍） ∴函数y=x 2

+2|x|－3的零点是－1，1。

（2）由（2x －2）（2

x －3x ＋2）＝0，得（x ＋2）（x －2）（x －1）（x －2）＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝1，x 4＝2。

∴函数y ＝（x 2

－2）（x 2

－3x ＋2）的零点为－2，2，1，2。

点评：函数的零点是一个实数，不是函数的图象与x 轴的交点，而是交点的横坐标。

例题2 方程|x 2－2x|=a 2+1 （a∈R +

）的解的个数是______________。

思路导航：根据a 为正数，得到a 2

+1＞1，然后作出y=|x 2

－2x|的图象如图所示，根据图象得到y=a 2

+1的图象与y=|x 2

－2x|的图象总有两个交点，得到方程有两解。

∵a∈R +

∴a 2

+1＞1。而y=|x 2

－2x|的图象如图，

∴y=|x 2

－2x|的图象与y=a 2

+1的图象总有两个交点。 ∴方程有两解。答案：2个

点评：考查学生灵活运用函数的图象与性质解决实际问题，会根据图象的交点的个数判断方程解的个数。做题时注意利用数形结合的思想方法。

例题3 若函数f （x ）＝ax ＋b 有一个零点为2，则g （x ）＝bx 2

－ax 的零点是（）

A. 0，2

B. 0，12

C. 0，－12

D. 2，－1

思路导航：由f （2）＝2a ＋b ＝0，得b ＝－2a ，∴g （x ）＝－2ax 2－ax ＝－ax （2x ＋1）。令g （x ）＝0，得x 1＝0，x 2＝－1

，故选C 。

答案：C

【总结提升】

1. 函数y =f （x ）的零点就是方程f （x ）=0的根，因此，求函数的零点问题通常可转化为求相应的方程的根的问题。

2. 函数与方程二者密不可分，二者可以相互转化，如函数解析式y ＝f （x ）可以看作方程y －f （x ）＝0，函数有意义则方程有解，方程有解，则函数有意义，函数与方程体现了

动与静、变量与常量的辩证统一。

函数零点的求法：（1）解方程f （x ）＝0，所得实数根就是f （x ）的零点；（2）画出函数y ＝f （x ）的图象，图象与x 轴交点的横坐标即为函数f （x ）的零点。 3. 函数零点与方程的根的关系

根据函数零点的定义可知：函数f （x ）的零点，就是方程f （x ）＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f （x ）＝0是否有实数根，有几个实数根。 4. 函数y=f （x ）的零点是函数图象与x 轴交点的横坐标，如果一个函数能通过变换化为两个函数之差的形式，则函数的零点就是这两个图象交点的横坐标，可以通过画出这两个函数的图象，观察图象的交点情况，对函数的零点作出判断，这种方法就是数形结合法。

2：二分法

【考点精讲】

1. 函数零点的存在性判断——二分法

如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f （a ）·f（b ）<0，那么，函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在x 0∈（a ，b ），使f （x 0）＝0，这个x 0也就是方程f （x ）＝0的根。

2. 逆定理：如果函数y=f （x ）在[a ，b]上的图象是连续不断的曲线，且x 0是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有f （a ）·f（b ）<0。如f （x ）=x 2

，在区间[－1，1]上有零点x=0，但f （－1）·f（1）>0。 3. 用二分法求函数零点的步骤：

已知函数y =f （x ）定义在区间D 上，求它在D 上的一个变号零点x 0的近似值x ，使它与零点的误差不超过正数ε，即使得|x －x 0|≤ε。

（1）在D 内取一个闭区间［a ，b ］ D ，使f （a ）与f （b ）异号，即f （a ）·f （b ）＜0。

令a 0=a ，b 0=b 。

（2）取区间［a 0，b 0］的中点，则此中点对应的横坐标为x 0=a 0+21（b 0－a 0）=2

（a 0+b 0）。

计算f （x 0）和f （a 0）。

判断：①如果f （x 0）=0，则x 0就是f （x ）的零点，计算终止；

②如果f （a 0）·f （x 0）＜0，则零点位于区间［a 0，x 0］内，令a 1=a 0，b 1=x 0； ③如果f （a 0）·f （x 0）＞0，则零点位于区间［x 0，b 0］内，令a 1=x 0，b 1=b 0。（3）取区间［a 1，b 1］的中点，则此中点对应的横坐标为

x 1=a 1+21（b 1－a 1）=21

（a 1+b 1）。

计算f （x 1）和f （a 1）。判断：①如果f （x 1）=0，则x 1就是f （x ）的零点，计算终止；

②如果f （a 1）·f （x 1）＜0，则零点位于区间［a 1，x 1］上，令a 2=a 1，b 2=x 1。 ③如果f （a 1）·f （x 1）＞0，则零点位于区间［x 1，b 1］上，令a 2=x 1，b 2=b 1。 ……

实施上述步骤，函数的零点总位于区间［a n ，b n ］上，当|a n －b n |＜2ε时，区间［a n ，

b n ］的中点x n =2

（a n +b n ）就是函数y =f （x ）的近似零点，计算终止。这时函数y =f （x ）的

近似零点与真正零点的误差不超过ε。

【典例精析】

例题1 对于函数f （x ）＝x 2

＋mx ＋n ，若f （a ）>0，f （b ）>0，则函数f （x ）在区间（a ，b ）内（）

A. 一定有零点

B. 一定没有零点

C. 可能有两个零点

D. 至多有一个零点

思路导航：若函数f （x ）的图象及给定的区间（a ，b ），如图（1）、图（2）所示，可知A 错；若如图（3）所示，可知B 错、D 错。故C 对。

答案：C

点评：结合二次函数的图象来判断给定区间根的情况。

例题2 用二分法研究函数f （x ）＝x 3

＋3x －1的零点时，经第一次计算得f （0）＜0，

f （0.5）＞0，可得其中一个零点x 0∈______，第二次应计算________，这时可判断0x ∈________。

思路导航：由题意知x 0∈（0，0.5），第二次计算应取x 1＝0.25，这时f （0.25）＝0.253

＋3×0.25－1＜0，故x 0∈（0.25，0.5）。

答案：（0，0.5） f （0.25）（0.25，0.5）

例题3 是否存在这样的实数a ，使函数f （x ）＝x 2

＋（3a －2）x ＋a －1在区间[－1，3]上与x 轴恒有一个零点，且只有一个零点。若存在，求出范围，若不存在，说明理由。思路导航：运用二分法可以求出a 的范围，但是要注意检验。

答案：∵Δ＝（3a －2）2－4（4－1）＝9a 2

－16a ＋8＝9? ????a －892＋89＞0，∴若实数a 满

足条件，则只需使f （－1）·f （3）≤0即可。

f （－1）·f （3）＝（1－3a ＋2＋a －1）·（9＋9a －6＋a －1）

＝4（1－a ）（5a ＋1）≤0。所以a ≤－1

或a ≥1。

检验：（1）当f （－1）＝0时，a ＝1。所以f （x ）＝x 2

＋x 。令f （x ）＝0，即x 2

＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1。

方程在[－1，3]上有两根，不合题意，故a ≠1。

（2）当f （3）＝0时，a ＝－15，此时f （x ）＝x 2

－135x －65

。

令f （x ）＝0，即x 2

－135x －65＝0，解之得x ＝－25

或x ＝3。

方程在[－1，3]上有两根，不合题意，故a ≠－1

。

综上所述，a ＜－1

5或a ＞1。

【总结提升】

本部分内容是高中数学的重难点，也是高考考查的重点，对于本部分内容的备考需注意以下两个方面：

一是准确理解函数零点的概念及其存在性定理，能通过特殊值的函数值判断函数零点所在的区间；二是熟记常见函数的图象，牢记图象的基本特征，灵活运用函数图象解决相关问题。高中阶段，研究函数零点的主要方法有：零点定理法、数形结合法。

使用二分法求方程的近似解要注意：

（i ）要使第一步中的区间[a ，b]长度尽量小；

（ii ）区间[a ，b]的长度与一分为二的次数满足关系式||)2

b a -。

3：函数零点的应用

【考点精讲】

二次函数零点分布：设)0(,)(2

>++=a c bx ax x f 以下研究a>0 的情况，a<0分析方法同理

（a ）二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的两个根21,x x 满足21x r x <

)0(,)(2≠++=a c bx ax x f 两个零点为21,x x 满足21x r x <<0)(

（b ）方程)0(,02

>=++a c bx ax 的两个根21,x x 满足r x x >>12?二次函数

)0(,)(2≠++=a c bx ax x f 两个零点21,x x 满足r x x >>12

???????>>->-=??0

)(2042r f r

a b

ac b

（c ）方程)0(,02

>=++a c bx ax 的两个根21,x x 满足q x x p <<<21时，

?????

??>><<>-=??0

)(0)(2-042q f p f q a b p ac b

（d ）二次方程)0(02

>=++a c bx ax 的两个根满足q x p x <<<21?函数

c bx ax x f ++=2)(的零点满足q x p x <<<21?

??>

（e ）二次方程)0(02

>=++a c bx ax 的两个根有且只有一个根在（p ，q ）内?函数

)0()(2>++=a c bx ax x f 的两个零点有且只有一个在区间（p ，q ）内0)()(

检验f （p ）=0，f （q ）=0并检验另一根在（p ，q ）内。

【典例精析】

例题1 已知关于x 的二次方程x 2

＋2mx ＋2m ＋1＝0。

（1）若方程有两根，其中一根在区间（－1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m 的范围；

（2）若方程两根均在区间（0，1）内，求m 的范围。

思路导航：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制。答案：（1）由条件，抛物线f （x ）＝x 2

＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间（－1，0）和（1，2）内，如图（1）所示，得

????

???>+=<+=>=-<+=0

56)2(,024)1(02)1(012)0(m f m f f m f ，

，?????

?????

-<∈-<.

65,2

1m ,,

1m R m m 即－56＜m ＜－1

。

（2）抛物线与x 轴交点均落在区间（0，1）内，如图（2）所示，

列不等式组????

???<-<≥?>>1

0,0,0)1(,0)0(m f f ?

?????

m ＞－1

，

m ＞－12，

m ≥1＋2或m ≤1－2，

－1＜m ＜0.

即－1

2＜m ≤1－2。

例题2 对实数a 和b ，定义运算“○×”：a ○

×b ＝????

a ，a －

b ≤1，b ，a －b ＞1.

设函数f （x ）＝（x

－2）○×（x －1），x ∈R 。若函数y ＝f （x ）－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的

取值范围是（）

A. （－1，1]∪（2，＋∞）

B. （－2，－1]∪（1，2]

C. （－∞，－2）∪（1，2]

D. [－2，－1] 思路导航：当（x 2

－2）－（x －1）≤1时，

－1≤x ≤2，所以f （x ）＝?

x 2

－2，－1≤x ≤2，

x －1，x ＜－1或x ＞2，

f （x ）的图象如图所示。

y ＝f （x ）－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，即方程f （x ）＝c 恰有两个解，由图象可知当c∈（－2，－1]∪（1，2]时满足条件。

答案：B

点评：转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合法求解。

例题3 已知关于x 的函数y=（m+6）x 2

+2（m-1）x+m+1恒有零点．（1）求m 的范围；

高中数学必修一《集合与函数的概念》经典例题

高中数学必修一第一章《集合与函数概念》综合测试题试题整理：周俞江一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题, 每小题5分，共60分）. 1.已知全集}5,4,3,2{},3,2,1{==B A ，则=B A I ( ) A. }{5,4,3,2,1 B.{}3,2,1 C.{}3,2 D.{}7,6,3 2. 若{{}|0,|12A x x B x x =<<=≤<，则A Y B=( ) A ． {}|0x x ≤ B ．{}|2x x ≥ C ．{0x ≤≤ D ．{}|02x x << 3 .在下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一函数的是（） A.x x y y ==,1 B ．1,112-=+?-=x y x x y C.55 ,x y x y == D ．2)(|,|x y x y == 4.函数x x x y +=的图象是（） 5.0≤f 不是映射的是A ．1:3f x y x ?? →= B ．1 :2 f x y x ??→= C ．1:4f x y x ??→= D ．1:6f x y x ??→= 6.函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是( )． A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 7.函数1)2(++=x k y 在实数集上是增函数，则k 的范围是（） A ．2-≥k B ．2-≤k C ．2->k D ．2-

9.有下面四个命题： ①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称； ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )．其中正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10.图中阴影部分所表示的集合是（） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 11.若函数))(12()(a x x x x f -+= 为奇函数，则=a ( ) A.21 B.32 C.43 D.1 12.已知函数x x x x f 22 11)11(+-=+-，则函数)(x f 的解析式可以是（） A.x x 21+ B.x x 212+- C.x x 212+ D.x x 21+- 13.二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是x ＝2，则有( )． A ．f (1)＜f (2)＜f (4) B ．f (2)＜f (1)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1) D ．f (4)＜f (2)＜f (1) 14.已知函数[](]?????∈--∈-=5,2,32,13)(,2x x x x f x 则方程1)(=x f 的解是（） A.2或2 B.2或3 C.2或4 D.±2或4 15.函数()f x 的定义域为),(b a ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x --<，则()f x 在),(b a 上是 A ．增函数 B ．减函数

幂函数经典例题

例1、下列结论中，正确的是( ) A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限 C．当幂指数α取1,3，1 2 时，幂函数y＝xα是增函数 D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数解析当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．答案C 例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x 1 5 (7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋ ∞)上为增函数，求实数t的值．分析关于幂函数y＝xα(α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设p q (|p|、|q|互质)，当q为偶数时，p必为奇数，y＝x p q 是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝ x p q 的奇偶性与p的值相对应．解∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0. 当t＝0时，f(x)＝x 7 5 是奇函数；当t＝－1时，f(x)＝x 2 5 是偶函数；当t＝1时，f(x)＝x 8 5 是偶函数，且 2 5 和 8 5 都大于0，在(0，＋∞)上为增函数．

故t ＝1且f (x )＝x 85或t ＝－1且f (x )＝x 2 5 . 点评如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件 t ∈Z 给予足够的重视．例3、如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( ) A ．-11 D ．n <－1，m >1 解析在(0,1)内取同一值x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0x 1 3，求x 的取值范围．错解由于x 2 ≥0，x 1 3∈R ，则由x 2>x 1 3 ，可得x ∈R . 错因分析上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y ＝x α 在 α>1和0<α<1两种情况下图象的分布．正解作出函数y=x2和y=3 1x 的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1. 例5、函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )

高一数学必修一函数经典题型复习

1集合题型1：集合的概念，集合的表示 1．下列各项中，不可以组成集合的是（） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 2．下列四个集合中，是空集的是（） A ．}33|{=+x x B ．},,|),{(2 2 R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2 ≤x x D ．},01|{2 R x x x x ∈=+- 3．下列表示图形中的阴影部分的是（） A ．()()A C B C B ．()()A B A C C ．()()A B B C D ．()A B C 4．下面有四个命题：（1）集合N 中最小的数是1；（2）若a -不属于N ，则a 属于N ；（3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；（4）x x 212 =+的解可表示为{ }1,1；其中正确命题的个数为（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个题型2：集合的运算例1．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =?，则m 的值为（ D ） A ．1 B ．1- C ．1或1- D ．1或1-或0 例2. 已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ?,求m 的取值范围。解：当121m m +>-，即2m <时，,B φ=满足B A ?，即2m <；当121m m +=-，即2m =时，{}3,B =满足B A ?，即2m =；当121m m +<-，即2m >时，由B A ?，得12 215m m +≥-??-≤? 即23m <≤； ∴3≤m 变式： 1．设2 2 2 {40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=,其中x R ∈, 如果A B B =，求实数a 的取值范围。 A B C

幂函数的概念及其性质测试题(含答案)

幂函数的概念及其性质一、单选题(共12道，每道8分) 1.下列命题正确的是( ) A.幂函数在第一象限都是增函数 B.幂函数的图象都经过点(0，0)和(1，1) C.若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象 2.下列函数中既是偶函数，又在(-∞，0)上是增函数的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用 3.若幂函数上是减函数，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性 4.当时，幂函数为减函数，在实数m的值是( ) A.2 B.﹣1 C.﹣1或2 D. 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性5.函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象

6.若是幂函数，且满足，则的值是( ) A. B. C.2 D.4 答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂函数的解析式及运算 7.已知幂函数在区间上是单调递增函数，且函数的图象关于y轴对称，则的值是( ) A.16 B.8 C.﹣16 D.﹣8 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象与性质 8.若，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性 9.已知，，下列不等式：①；②；③；

必修一函数的单调性专题讲解(经典)

第一章函数的基本性质之单调性一、基本知识 1．定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当 21x x <时，都有 ))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。重点 2．证明方法和步骤：（1）取值：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <；（2）作差：)()(21x f x f -；（3）变形：（如因式分解、配方等）；（4）定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或；（5）根据定义下结论。 3．常见函数的单调性时，在R 上是增函数；k<0时，在R 上是减函数（2），在（—∞，0），（0，+∞）上是增函数，（k<0时），在（—∞，0），（0，+∞）上是减函数，（3）二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ，当0>a 时函数)(x f 在对称轴a b x 2- =的左侧单调减小，右侧单调增加；当0