弹塑性力学
第四章 弹性力学的基本方程与解法
一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件
对于在空间占有体积域V 的线弹性体在外加恒定载荷和固定几何约束条件下引起
的小变形问题，若以, ,
u εσ作为求解变量，则可以建立如下偏微分方程边值问题： 几何方程
()1,,2ij i j j i u u ε=
+ ()12?+?u u ε= (1a)
广义胡克定律 ij ijkl kl E σε= :E σ=ε
(1b)
平衡方程 ,0ij j i f σ+= ??+=f 0σ V
?∈x (1c)
以上方程均要求在域内各点均满足。
边界条件 u u i i = ?∈x S ui (2a)
n t j ji i σ= ?∈x S ti
(2b)对于适定问题，即不仅要求保证解存在唯一，而且有较好的稳定性。当载荷或边界条件给定值有微小摄动时，应能保证问题解的变化也是微小的。对于边界条件的提法就有严格的要求。即要求：
S S S S S ui ti ui ti U I ==?
(2c)
对于各向同性材料，其广义胡克定律可具体写成 σλεδεij kk ij ij G =+2 ()tr 2G λ+I σ=εε (3a)
()11ij ij kk ij E ενσνσδ??=+??? ()()1tr E
νν=????I ε1+σ?σ (3b)以上就域内方程来说，一共是对于u ,,σ ε的15个独立分量u i ij ij ,, σε的15个方程。对于边界条件来说，三维问题每点有三个边界条件，而且是在三个正交方向上每个方向有一个边界条件，这个边界条件或者给定位移、或者给定面力。这三个正交
第四章 弹性力学的基本方程与解法
方向可以是整体笛卡儿坐标系的三个方向，也可以是边界自然坐标系的三个方向（即法向和两个切向）。从更一般来说，除去给定位移或面力外，还有另一种线性的边界条件
t K u c i ij j i +=
(4)
这是一种弹性约束条件。用这个条件可以取代给定位移或给定面力的条件。 对于包含两种不同材料粘结面的弹性理论问题，则在边界条件之外还要在粘结面上提出连续条件，包括位移连续条件和面力连续条件
u u n t t n i i i ij j j i ij 12111
222===?=?, σσ (5)
对于弹性体内人为划分的界面，其界面连续条件也是(5)式。界面每点的边界条件数目等于一般边界每点边界条件数目的两倍。
对于线性弹性力学问题，若仅以σ ε,为求解变量，先不求弹性体的位移场，则可建立如下的偏微分方程边值问题：
应变协调方程
0=?××?ε
广义胡克定律 ij ijkl kl E σε= :E σ=ε
(6b)
平衡方程 ,0ij j i f σ+= ??+=f 0σ V
?∈x (6c)
边界条件 n t j ji i σ= S ∈?x (7)
由于位移不是基本求解变量，因此对于一般情况的位移边界条件难以处理，对于复连通域还要附加积分形式的位移单值条件。这种形式的微分提法一般用于求解单连通域给定面力边界条件的情况。
二、线性弹性理论的几个一般原理
z 叠加原理
考虑同一弹性体的两组载荷情况
f t u f t
u i i i ij ij i i i ij ij
()()()()()
()()()()(),,,,,,1111122222 ??εσεσ 若两组载荷同时作用
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f f f t t t i i i i i i =+=+()()()()1212
则
u u u i i i ij ij ij ij ij ij =+=+=+()()()()()()121212 εεεσσσ
由于线弹性、小变形问题的变形和载荷满足线性偏微分方程与线性边界条件，因此从数学上叠加原理易证。
例如，对于静定问题，若
σσσ
σij j i ij j i j ij i j ij i f f V
n t n t S ()()()()()()()(),,1122112200+=+=?∈==?∈ x x
则 ()()σσσσij ij j i i j ij ij i i f
f V n t t S ()()()()()()()
()
,121212120+++=?∈+=+?∈ x x
实际上，任何线性问题都满足类似的叠加原理。同时，对于线弹性小变形问题，当所有载荷按某一比例增加或减小时，变形状态各量也都以同样比例增大或减小。
叠加原理有一个重要的应用：非齐次方程解等于非齐次方程的任一特解和相应齐次方程解之和。对于弹性力学问题，通常非齐次项是载荷项，它在空间的分布比较简单（例如重力、离心力等），因此非齐次方程的特解比较容易求得，整个求解问题就主要归结为求解齐次方程解的问题。
任何非线性问题，叠加原理就不再成立。因此，叠加原理是线性问题所特有的性质。
z 解的唯一性定理
因为物理上对弹性体施加载荷就会产生变形，数学上已经证明对于线弹性问题的适定提法解一定是存在的。本课程的重点不在数学弹性理论，因此对于解的存在性就不加证明了。
对于解的唯一性，即Kirchhoff 唯一性定理的证明可用反证法。 假如在一组载荷f t i i , 作用下产生了两组变形状态
u u i ij ij i ij ij ()()()()()(),,;,,111222 εσεσ
则利用叠加原理可知
第四章 弹性力学的基本方程与解法
u u u i i i ij ij ij ij ij ij =?=?=?()()()()()(),,121212 εεεσσσ
将满足齐次方程，其中包括
σσij j j ij ti i ui
V
n S u S ,=?∈=?∈=?∈000 x x x
由此根据
0,=????????j ij
W ?ε? 可得 u W V u W V u W V u n S u V W V i ij V j i ij V j i j ij V i ij j S i j ij V V ??ε??ε??εσσ????????=???????????????
?=?=∫∫∫∫∫∫,,,,d d d
=d d d 20
由于线弹性问题中应变能处处正定，因此上式要求
W V =?∈0 x
即两解之差只能是σεij ij ==00, 的无变形状态。
由上可见，在证明中用到了线性方程解的叠加原理和应变能的正定性。对于非线性问题，一般说来解并不唯一。对于无足够几何约束的问题位移解可以相差刚体位移。
解的唯一性是逆解和半逆解法的基础，对于非线性问题一般不能采用逆解和半逆解法。
z 圣维南原理
由作用在物体局部表面上的自平衡力系所引起的变形，在远离其作用区的地方可忽略不计。该原理又称局部作用原理。
若把作用在物体局部表面上的外力，用另一组与它静力等效的力系来代替，则这种等效处理对物体内部应力应变状态的影响将随远离该局部作用区的距离增加而迅速衰减。称静力等效原理。例如对于细长梁的端部条件，当研究远离端部区域的变形状态时，可以在端部用静力等效原理。（注意：对于短粗梁、或在端部附近，不能滥用静力等效原理）
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对于三维实心体，影响区的大小与自平衡力系作用区尺寸同量级。
例外：对于薄壁杆件、薄板、薄壳等薄壁结构，当载荷影响区内结构的最小几何尺寸小于载荷作用区的线性尺寸时圣维南原理不再适用。图4.1所示为N. J. Hoff给出的受扭杆件的算例。在右边固支端处杆端面的自由翘曲被约束，因而引起了自平衡的正应力，原来的自由扭转应力状态（在截面上仅有剪应力，而无正应力）受到干扰。此图表明，干扰的影响范围与杆截面的形状有关。图中横轴是沿杆长的无量纲坐标，表示各截面的位置。纵轴是各截面上最大正应力与端面处的最大正应力之比。曲线表明，对于实心的矩形截面杆，正如圣维南原理指出的那样，干扰很快衰减，影响深度与杆截面尺寸同量级；但对于槽形薄壁杆则干扰谝及整个杆长，圣维南原理不再适用。
图4.1 Hoff扭杆算例结果
三、线性弹性理论的基本解法
前面列出了线性弹性理论的基本方程，在域内要满足对于15个未知量的15个方程。这些方程类型并不相同，平衡方程和几何方程是一阶偏微分方程，广义胡克定律是线性代数方程。在数学上直接求解对于多组变量的类型不同的方程组是不方便的，
第四章 弹性力学的基本方程与解法
在求解之前需要对方程加以处理，以便建立对于单一变量的偏微分方程边值问题。
根据处理方法的不同，弹性理论的基本解法可分为：位移解法，应力解法和应力函数解法。
z 位移解法
对于弹性理论问题以位移作为基本未知量，在基本方程中如下消去应变和应力，可以得到位移基本方程。通过求解位移基本方程首先求得位移，然后再按要求确定变形状态其它变量的解法，称为弹性理论的位移解法。
由平衡方程出发
0,=+i j ij f σ
代入应力应变关系，再代入几何方程，
()(),2,0
,2,0
,,(,,),0
kk ij j ij j i kk i ij j i k k i i j j i j i G f G f u G u u f λεδελεελ++=?++=?+++= 最终可得
() ,,0 j ji i jj i G u Gu f V λ+++=?∈x (8)
或用整体符号写成
()λ+???+???+=?∈G G V u u f 0x
此方程称为Lamé-Navier 方程，即用位移表示的平衡方程。
作为位移基本方程，除在域内给出上列Navier 方程外，边界条件也都用位移表示
()() ,, ui
i i i j ji i
ti j kk ji i j j i i u u S t n t n G u u t S σλεδ=?∈==???++=?∈??
x u x (9)
其中，对于适定问题还应满足： S S S S S ui ti ui ti U I ==?
对于无体力情况，Navier 方程可写成
(),,0i i jj G Gu λθ++=
将各项再对坐标求导一次，可得
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()(),,,0
,,0,0
i i jj i ii i jji ii G Gu G Gu λθλθθ??++=???++=?=
由此可见，在无体力情况下，体积应变θ为调和函数。
由于平均应力和体积变形之间满足线性的物理关系，可以写出：
Σ===σσθii K 330
因此，在无体力情况下平均应力也是调和函数。 不难证明，在无体力情况下位移分量u i 、应变分量εij 、应力分量σij 均为双调和函数。上述结论还可推广到常体力情况也同样适用。
z 应力解法
当用应力作为基本未知量求解时，域内必须满足的方程有平衡方程、应力应变关系、以及应变协调方程。经过处理可以得到单一的一组偏微分方程。 首先可以将应力应变关系()11ij ij kk ij E
ενσνσδ??=+???代入应变协调方程 ,0mki njl ij kl e e ε=
可以导出Beltrami-Michell 方程，即用应力表示的协调方程
1,,,,,
11ij kk kk ij k k ij i j j i f f f V νσσδνν+=????∈+?x (10)
在推导过程中用到平衡方程的导数形式等，但没有用过平衡方程本身。在采用应力解法时必须把平衡方程和上述Beltrami 方程联立求解。而边界条件主要采用给定面力的边界条件。
当以应力作为基本未知量求解时，其定解问题为：
1,,,,,
11,0 ij kk kk ij k k ij i j j i ji j i t
j ji i f f f f V n t S νσσδνν
σσ+=???+?+=?∈=?∈x x (11)
对于给定位移的边界还要满足用应力表示的位移边界条件。但是对于一般形式的给定位移边界条件用应力表示比较复杂，因为应力要经过积分才能得到位移。因此应力解法主要用于给定面力边界条件的情况。对于有一段边界线给定位移的平面问题，用应力表示的位移边界条件的物理意义是保持该段边界曲线的形状不变（长度、曲率
第四章 弹性力学的基本方程与解法
均不变），再在由应力求位移时以约束刚体位移的方式将该段边界线固定于刚性边界，就能保证满足位移边界条件。
对于复连通域的问题，为了保证应变协调，除满足微分形式的应变协调方程外，还要满足积分形式的位移单值条件。在这些用位移表示的位移单值条件中，将应变用应力表示，就得到应力解法中的用应力表示的位移单值条件。
z 应力函数解法 前面应力解法所建立的定解问题要把平衡方程和用应力表示的协调方程联立，而没有象位移解法那样化为单一的偏微分方程组，这在数学求解上带来一些不便。
在讨论应变协调条件时曾经提到，若定义不协调量
,mn mki njl ij kl L e e L =?
则成立如下的Bianchi 恒等式：
,0mn n L ≡
该式在形式上和无体力情况的平衡方程,0ji j
σ=是相同的，因此，通过应力和不协调
量的类比可见，若将应力张量表示为 ,mn mki njl ij kl e e σΦ=? (12)
其中ij Φ为应力函数张量，也是二阶对称张量，则对于任意的二阶可导的应力函数所确定的应力张量必定自动满足无体力情况的平衡方程。
如果以应力函数作为基本未知量来求解，则其定解微分方程是用应力函数表示的协调方程，对于无体力情况可以写成
1,,0
1mki njl ij klpp pki pjl ij klmn e e e e V ΦΦν+=?∈+x
这种应力函数称为Finci 应力函数，由于它是对称张量，共有6个不同的分量。
当以应力函数作为基本未知量求解时，除在域内应满足上述4阶偏微分方程外，还要满足用应力函数表示的边界条件。这些边界条件可以将应力用应力函数表示的关系式代入以应力表示的边界条件来导出。
前面曾经提到，6个应变协调方程并不是完全独立的：例如，如果保证在边界邻近的回线上6个不协调量均为零，而整个域内各点满足不协调量张量的三个对角分量或非对角分量为零，就能证明其它3个分量也都为零。因此用应力函数表示的协调方程也并不完全独立，它不能确定出6个完全独立的应力函数。对于三维问题可以选择其中的3个作为应力函数，来建立定解问题。
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一种选择是选取3个对角分量
111222333122331 0
ΦχΦχΦχΦΦΦ====== (13)
称为Maxwell 应力函数。
另一种选择是选取3个非对角分量 231312123112233 0
ΦψΦψΦψΦΦΦ====== (14)称为Morera 应力函数。 实际上由于种种原因，对于一般问题的应力函数解法应用得远没有位移解法广泛。例如在有限元法中广泛应用的主要是位移元，因为它适用于各种复杂边界条件的情况，而且方程的阶次较低，基本未知量的物理意义明确。
但是，对于几类特殊问题，应力函数解法也得到了广泛的应用，其中包括平面应力问题（采用Airy 应力函数）和柱形杆扭转问题（采用Prandtl 应力函数）。
对于Airy 应力函数，实际只采用一个非零应力函数分量，当所研究的平面垂直于3x 轴时，令()3312, x x Φφ=，则有
112222111212132333 0σφσφσφσσσ======，，－， (15)
对于Prandtl 应力函数，实际只采用两个非零应力函数分量，且二者之间不完全独立，当所研究的柱形杆轴线沿着3x 轴时，令()()2311231212,, ,
,, x x x x ΦφΦφ==?，则有
13223111223312 0σφσφσσσσ==?====，， (16)
这两种特殊的应力函数均可看作是Maxwell 应力函数和Morera 应力函数的特例，它们还将在本章的第四节和下章分别作详细介绍。
四、逆解法、半逆解法和弹性力学的若干简单问题
z 逆解法
由于对于线性弹性力学适定问题已经证明，其解不仅存在，而且唯一。而对实际的线弹性小变形问题，在给定位移约束条件下，当作用一定的载荷时，就会产生一定的变形状态。也就是说，实际线弹性小变形问题的解是存在、唯一的。如果建立的数学模型解不存在或不唯一，就是没有对实际问题作正确的数学描述。
对于存在唯一解的偏微分方程边值问题，只要证明某解满足所有的方程和相应的
第四章 弹性力学的基本方程与解法
边界条件，该解就是问题的唯一解。因此，在弹性力学中对于一些较简单的问题，根据简单的分析，或观测的结果，可以先推测问题的解，然后来证明该解满足所有的方程和边界条件。这种解法称为逆解法。
例如对于任意复杂形状的弹性体，如果沿整个边界受到均匀的法向面力载荷的作用
p =?t n
则整个弹性体处于均匀变形状态，各点的应力状态均为
ij ij p σδ=?
又如：在材料力学中得到的对于等截面直杆单向均匀拉伸的解，等截面圆轴在两端扭矩作用下扭转的解，以及等截面直梁在两端弯矩作用下纯弯的解，均可证明它们满足弹性力学的全部基本方程，并精确满足除加载的端部之外的其余所有边界条件。如果端部载荷也按照所得应力解的截面分布施加给定面力条件，并适当限制刚体位移，则上述材料力学解也就是弹性力学的精确解。
如果杆、圆轴或梁足够长，那么即使端部施加的载荷和上述精确解并不一致，但根据圣维南原理可知，在离端部足够远处，上述材料力学解仍有足够的精度。但对整个解来说，它不再是弹性力学问题的精确解，而只是近似解。在工程实际中，所要求的是满足工程精度的解，究竟是精确解或近似解并不十分重要。
对于梁的一般弯曲问题，在材料力学解中忽略了横向剪切变形，但是通过平衡关系还是有横向剪力。这样的解是不能满足弹性力学的基本方程的，因此不是弹性力学的解。但是，只要梁的长细比足够大，比如大于10，材料力学的解就能满足工程设计分析的要求。即使在计算力学高度发展的今天，对于满足材料力学适用范围的梁、杆、轴，在分析计算之中还是通常采用一维的模型，材料力学模型或在此基础上的修正模型。如果对这些问题采用三维模型，只能反映分析者“杀鸡用牛刀”。对实际问题作合理的简化是运用力学理论方法的最重要的基本功之一。
z 半逆解法
能够猜测到弹性力学解的问题毕竟是很有限的，因此实际分析中经常采用的方法是：根据分析或观测假设问题解的数学形式，代入基本方程后可将原来的方程作不同程度的简化。例如，把三维问题简化为二维问题，或甚至一维问题，即把三维域上的偏微分方程边值问题化为二维域上的偏微分方程问题，或化为一维的常微分方程问题。这种方法称为半逆解法。
如果没有材料力学解的知识，那么根据平截面假设，直接可由弹性力学得到等直杆单向拉伸或直梁纯弯问题的常微分方程进行求解；由截面刚性转动假设也可得到等
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截面圆轴扭转问题的常微分方程进行求解。
还有一些问题也可简化为一维问题：例如求无限地层在自重作用下产生的地应力；求侧面受到无摩擦几何约束的柱形体两端受均匀压力所引起的变形和应力，…等。此类问题均可归入弹性力学的简单问题。
需要注意的是这种简化假设总有一定的适用范围。例如对于圆轴所做的截面刚性转动假设就不能用于非圆截面的柱形杆。
五、半逆解法实例之一：柱形杆扭转问题
1) 柱形杆自由扭转
柱形杆的自由扭转问题就是如图 4.2所示的柱形体仅在两端扭矩作用下产生的扭转变形。显然，为了保持整体平衡，作用在两端的扭矩必定大小相等、方向相反。
图4.2 柱形杆的自由扭转
按照材料力学圆轴扭转的截面刚性转动假设，在扭转时截面保持平面，如果这一假设对于非圆截面柱形杆扭转也能适用，那么两根截面形状不同、材料相同的柱形杆，只要截面的极惯性矩相等，就有相同的抗扭刚度。实验表明，这种推广是不正确的，用泡沫塑料做成的柱形杆用手一扭就能发现：原来的平截面在扭转过程中不再保持平面，而会产生翘曲变形。而且实验表明两个极惯性矩相等、但形状不同的柱形杆在同样扭矩作用下产生的扭转角是不同的，甚至能相差很多。
假如采用与圆轴扭转同样的假设，在非圆截面上的剪应力分布将如图 4.3所示，在截面边界点处的剪应力方向将沿与边界相交的虚线圆的切线方向，而不是沿着边界线的切线方向。根据剪应力互等定理，在柱形杆的侧表面必须作用有剪力，但这是和实际情况不符的。
第四章 弹性力学的基本方程与解法
图4.3 按圆轴扭转假设得到的剪应力方向
为了克服上述存在问题，可将上述假设稍加修正：任意截面柱形杆在自由扭转时各截面在面内发生刚性转动、同时在轴向产生相应的翘曲变形，以满足侧表面自由的边界条件；上述刚性转动角是轴向坐标的线性函数，而各截面的翘曲变形是相同的。用数学公式表达，即
() , x y z u yz u xz
u w x y θθθ=?== (17)
其中(), w x y 称为翘曲函数，它只是截面内坐标y x ,的函数。
根据假设，和圆轴扭转一样，在xy 截面内的应变分量均为零，z 轴向的正应变也为零。于是非零的应变分量只有横向剪应变
????????+??==????
?????==x y w y x w zy yz zx xz θγγθγγ (18)
利用广义胡克定律可以求得相应的非零应力分量，即横向剪应力
xz zx yz zx w G y x w G x y ττθττθ???==??
???????==+????? (19)
由于和圆轴扭转相比引进了翘曲位移，因此可通过翘曲满足侧表面无外力作用的条件
0=+=y zy x zx t n n t ττ
(20)
即在边界各点 y x xn yn n w ?=?? (21)
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图4.4 微元平衡示意图
根据图4.4所示微元的平衡可以列出一个平衡方程
0=??+??y
x yz xz ττ (22)
将(19)式代入此式，即得用翘曲函数表示的平衡方程 222220w w w x y ???=+=?? (23)
此方程在截面域Ω上的任意点均应满足，为了定解还要有相应的边界条件，即上面的
(21)式。这样建立的是调和方程的第二边值问题，在限定截面上一点，例如其重心，位移为零的条件下可以将翘曲函数解出。而限定位移点的改变只改变轴向刚体位移，对于整个应力场没有影响。一旦求出翘曲函数，就可按(18)式求出应变，按(19)式求出应力。
由应力还可求得作用在横截面上的剪应力产生的扭矩
()22T
d d zy zx T x y w w G x y x y y x GI ΩΩττΩθΩθ=?????=?++??????
=∫∫
(24)其中T GI 为柱形杆的抗扭刚度，T I 为截面抗扭常数。对于圆轴的特例，0w ≡，T I 即
退化为截面的极惯性矩k I 。 对于任意截面的柱形杆，由截面几何可以确定截面抗扭常数，计及材料的剪切模量，即得杆的抗扭刚度。在两端作用的扭矩T 的作用下，杆的单位长度扭转角为
第四章 弹性力学的基本方程与解法
T T GI θ= (25)
由上述几何方程(18)还可导出应变分量之间必定满足的条件
θεε?=?????x
y yz xz (26)也就是变形协调方程。代入广义胡克定律还可以得到用应力表示的变形协调方程 θττG x
y yz xz 2?=????? (27)
由此式与平衡方程(22)联立，再考虑到边界条件(20)，就可定解。 由于两个不同类型的偏微分方程联立不便于求解，通常引进如下的应力函数()y x ,φ，使平衡方程对任意的()y x ,φ均能自动满足：
x y zy yz zx xz ???==??==φττφττ , (28)
将此式代入(27)式，即得用应力函数表示的变形协调方程
θφφφG y x 222222?=??+??=? (29)
代入(20)式即得相应的边界条件
0d d ==?????s n x n y y x φφφ (30)
即在每条边界线上，各点的φ为常值。对于单连通域，即实心杆的情况，可改写为
0φ=
(31)(29)式与(30)或(31)式就能将应力函数定解。解出应力函数之后，利用(28)式即可求得截
面上的应力分布。进一步还可求得扭矩 ()()d d 2d d zy zx x y T x y x y x y n x n y ΩΩΩΓ
ττΩφφΩφΩφΓ=?????=?+?????
?=?+∫∫∫∫
(32)对于单连通域，由此还可得到
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T 2
d GI ΩφΩθ=∫ (33)
由此式，考虑到边界条件(31)式，可见：柱形杆的抗扭刚度就等于在边界取零值的应力函数在截面域上积分的两倍除以θ。
由于方程(29)和如下受侧向压力p 作用的薄膜挠度方程可以比拟
22222z z p z x y S ???=+=??? (34)
式中z 为薄膜挠度，S 为作用于边界每单位长度的均匀拉力。普朗特曾提出用薄膜比拟的实验方法来确定柱形杆的抗扭刚度,
T 4d GS GI z p ΩΩ=∫ (35)
如今虽然已有更加简便的数值方法来确定任意复杂截面杆的抗扭刚度，薄膜比拟的思想对于定性想象杆的抗扭刚度还是很有帮助。
2) 扭转问题解例
对于一些截面形状规则的柱形杆扭转问题不难用扭转应力函数法求得解析解。首先根据截面形状假设能满足边界条件(31)的应力函数φ，然后将应力函数代入方程(29)定出其中的待定常数，即可得解。
z 椭圆截面杆
图4.5 椭圆截面杆
其截面如图4.5所示，边界线方程为
22
2210x y a b
+?=
设扭转应力函数为
第四章 弹性力学的基本方程与解法
22221x y m a b φ??=+?????
边界条件(31)式即自然满足，由方程(29)可定出常数m ()
22
22a b m G a b θ=?+
于是 ()()22333322 a b T a b T G a b G a b πθθπ+=
=+ 应力函数为 22
221T x y ab a b φπ??=?+?????
相应的应力分量为 b
a Tx a
b Ty zy zx 332 2πτπτ=?= 最大剪应力发生在椭圆短轴的两端，其绝对值为 22max ab T πτ=
z
等边三角形截面杆
图4.6 等边三角形截面杆
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其截面如图4.6所示，边界线方程为
03
1 0323 0323=+=?+=??a x a y x a y x 设扭转应力函数为 ??????+???????+????????=a x a y x a y x m 31 323323φ
可以解得 ()()?????????+?=2232227232121a xy x a y x G θφ
沿x 轴0=zx τ，非零应力分量为
???????=23223 x ax a G zy θτ 最大剪应力发生在各边的中点，其绝对值为
max 2G a θτ=
截面抗扭刚度为 4T P GI =
即仅为同样极惯性矩圆杆抗扭刚度的0.6倍。
z
窄矩形截面杆
图4.7 薄壁截面薄膜比拟
如图4.7所示，由于截面窄长，用薄膜比拟法由薄膜方程求解时可近似地假设挠度z 仅为宽度方向坐标1x 的函数，于是由(34)式积分可得
第四章 弹性力学的基本方程与解法
d d z p x x S
=? 考虑到边界条件()20z t ±=，可解得 2
224p t z x S ??=?????
由此可求得 33T max 23 33lt lt T T G GI G lt
θτ=== 除上述几个简单例题外，表3.1还列出了一些常用杆件的抗扭刚度和最大剪应力。
3) 薄壁杆件的扭转问题
图4.8 几种典型的薄壁截面型材
在研究图4.8所示角钢、槽钢、工字钢等轧制杆件，和其他开口薄壁杆件的自由扭转时，可利用上述窄矩形截面杆件的公式，得
33T 33 33i i i i i
i i i i l t T G T G GI l t G l t θθ===∑∑∑ (36)
对于截面第i 段的边界剪应力可写出为
33i i i j j
j Tt G t l t τθ==∑ (37)
对于图4.9所示的薄壁管，应用薄膜比拟的概念，并考虑到管壁很薄，可近似地假设薄膜挠度沿壁厚方向的导数为常数，即剪应力沿壁厚方向不变，其数值为
2Sh G p τθδ= (38)
研究生学位课弹塑性力学电子讲义 姚振汉
其中h 为内孔边界的挠度值，δ为管的壁厚。
图4.9 薄壁管及开口薄壁管截面
由于管壁很薄，将作用在截面上的剪应力τδ近似地集中作用到管壁截面的中心线，由(38)式可见q τδ=为常量，称为剪流。由作用与管壁截面中心线的剪流可以求得扭矩
d d 2T q s q s q ρρΩ===∫∫v v
(39)
其中ρ为中心线各点的矢径，Ω为中心线所包围的面积。由此可得 2T
τΩδ= (40)
此外，若考虑沿截面中心线的剪应力的线积分，即
()d d zx x zy y s t t s ττ
τ=+∫∫v v 此式中12, t t 为截面中心线切线矢量的方向余弦，这个积分称为剪应力环量。将前面的
(19)式代入，可得 d 2s G τθΩ=∫v
于是对于薄壁管最终可得如下公式 d 4T
s G θΩδ2=∫v (41)
T 4d G GI s Ωδ
2
=∫v (42)对于薄壁圆管，2d 2, s R R πΩπδδ==∫v ，由此可得其抗扭刚度为
3T 2GI G R πδ=
若将其开一条小缝变成开口截面，则按(36)式可得
第四章 弹性力学的基本方程与解法
3T 23
G R GI πδ= 二者抗扭刚度之比为23R δ??????。例如，当10R δ=时，闭口圆管的抗扭刚度比相应的开口圆管大300倍。
第四章习题
1. 对于所熟悉的工程领域，列出3个静力分析问题的简单实例，并写出所有的边界条
件。
2. 试证明（a ）等直杆单向拉伸的材料力学解，（b ）等截面圆轴自由扭转的材料力学
解，（c ）等截面矩形截面梁平面纯弯曲的材料力学解，当端面载荷分布与截面内力分布规律一致时，也就是弹性力学问题的解。
3. 一圆柱形弹性体，弹性常数为, E ν，置于压力为p 的高压容器中，试求其重心点
的应力状态。
4. 视为半无限体的地层，质量密度为ρ，弹性常数为, E ν，试求由自重引起的离地
表深度为h 处一点的应力状态。
5. 受扭实心杆件的位移分量为, ,
0u zy v zx w θθ=?==，试论证该杆件的横截面为圆形。
6. 试比较边长为2a 的正方形截面杆与面积和正方形相等的圆截面柱形杆，受同样大
小扭矩作用时所产生的最大剪应力及抗扭刚度。
1、五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？ 答：连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可以看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 完全弹性假定：引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应力成正比的含义，亦即二者成线性的关系，符合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。 均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化 各向同性假定：所谓“各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的。进一步地说，就是物体的弹性常数也不随方向而变化。 小变形假定：我们研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将他们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性微分方程。 在上述假定下，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理。 2、试分析简支梁受均布荷载时，平面截面假设是否成立？ 解：弹性力学解答和材料力学解答的差别，是由于各自解法不同。简言之，弹性力学的解法，是严格考虑区域内的平衡微分方程，几何方程和物理方程，以及边界上的边界条件而求解的，因而得出的解答是比较精确的。而在材料力学中没有严格考虑上述条件，因而得出的是近似解答。例如，材料力学中引用了平面假设而简化了几何关系，但这个假设对一般的梁是近似的。所以，严格来说，不成立。 3、为什么在主要边界（占边界绝大部分）上必须满足精确的应力边界条件，教材中式（2-15），而在次要边界（占边界很小部分）上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替教材中式（2-15），将会发生什么问题？ 解：弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要边界条件完全得到满足，往往遇到很大的困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个应力边界条件来代替精确的边界条件。教材中式（2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答具有的近似性。 4、在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假定？这些方程的适用条件是什么？ 答：1、在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假定是：物体的连续性，小变形和均匀性。在两种平面问题中，平衡微分方程和几何方程都适用。2、在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：物体的连续性，完全弹性，均匀性，小变形和各向同性，即物体为小变形的理想弹性体。在两种平面问题中的物理方程不一样，如果将平面应力问题的物理方程中的E换为换为，就得到平面应变问题的物理方程。 5、简述材料力学和弹性力学在研究对象、研究方法方面的异同点。 在研究对象方面，材料力学基本上只研究杆状构件，也就是长度远大于高度和宽度的构件；而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外，还对非杆状结构，例如板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。在研究方法方面，材料力学研究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外，大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大简化了数学推演，但是，得出的解答往往是近似的。弹性力学研究杆状构件，一般都不必引用那些假定，因而得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。另一份答案：弹力研究方法：在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立平衡微分方程、几何方程和物理方程；在边界s上考虑受力或约束条件，并在边界条件下求解上述方程，得出较精确的解答。 在研究内容方面：材料力学研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题；结构力学在
弹性力学复习资料 一、简答题 1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系在应用这些方程时，应注意些什么问题 答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。 平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。 平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。 2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题试作简要说明。 答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和
混合边界问题。 位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。 应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。 混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。 3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定试将它们写出。如何确定它们的正负号 答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：x 、y 、z 、xy 、yz 、、zx 。正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。 4．在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定什么是“理想弹性体”试举例说明。 答：答：在推导弹性力学基本方程时，采用了以下基本假定： （1）假定物体是连续的。 （2）假定物体是完全弹性的。 （3）假定物体是均匀的。 （4）假定物体是各向同性的。 （5）假定位移和变形是微小的。 符合（1）~（4）条假定的物体称为“理想弹性体”。一般混凝土构件、一般土质地基可近似视为“理想弹性体”。 5．什么叫平面应力问题什么叫平面应变问题各举一个工程中的实例。 答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的 面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。如工程中的深梁以及平板坝的平板 支墩就属于此类。 平面应变问题是指很长的柱型体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长 度变化的面力，同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化，即内在因素和外来作 用都不沿长度而变化。 6．在弹性力学里分析问题，要从几方面考虑各方面反映的是那些变量间的关系 答：在弹性力学利分析问题，要从3方面来考虑：静力学方面、几何学方面、物理学方面。 平面问题的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量之间的关系也就是平面问 题的平衡微分方程。平面问题的几何学方面主要考虑的是形变分量与位移分量之间的 关系，也就是平面问题中的几何方程。平面问题的物理学方面主要反映的是形变分量与应力分量之 间的关系，也就是平面问题中的物理方程。 7．按照边界条件的不同，弹性力学平面问题分为那几类试作简要说明 答：按照边界条件的不同，弹性力学平面问题可分为两类： （1）平面应力问题 ： 很薄的等厚度板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力。这一类问题可以简化为平面应力问题。例如深梁在横向力作用下的受力分析问题。在该种问题中只存在 yx xy y x ττσσ=、、三个应力分量。 （2）平面应变问题 ： 很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，而且体力
第一章绪论 1-1弹性力学的内容 1-2弹性力学中的几个基本概念 1-3弹性力学中的基本假定 习题 第二章平面问题的基本理论 2-1平面应力问题与平面应变问题 2-2平衡微分方程 2-3平面问题中一点的应力状态 2-4几何方程刚体位移 2-5物理方程 2-6边界条件 2-7圣维南原理及其应用 2-8按位移求解平面问题 2-9按应力求解平面问题相容方程 2-10常体力情况下的简化应力函数 习题 第三章平面问题的直角坐标解答 3-1逆解法与半逆解法多项式解答 .3-2矩形梁的纯弯曲 3-3位移分量的求出 3-4简支梁受均布荷载 3-5楔形体受重力和液体压力 习题 第四章平面问题的极坐标解答 4-1极坐标中的平衡微分方程 4-2极坐标中的几何方程及物理方程 4-3极坐标中的应力函数与相容方程 4-4应力分量的坐标变换式 4-5轴对称应力和相应的位移 4-6圆环或圆筒受均布压力 4-7压力隧洞 4-8圆孔的孔口应力集中 4-9半平面体在边界上受集中力 4-10半平面体在边界上受分布力 习题 要求：了解弹性力学的基本概念，发展历史与基本假设，理解两类平面问题的解法，掌握三大方程的建立，边界的确定，有限单元法在解弹性力学问题的应用，了解空间问题的求解的方法。
第1章绪论 1.1 岩石与岩体（二者的区别） 1.2 岩体力学的研究任务与内容（岩体的力学特征） 1.3 岩体力学的研究方法 1.4 岩体力学在其他学科中的地位 1.5 岩体力学的发展简史 基本要求：了解岩石力学、岩体力学定义及其它们的联系和区别；理解岩石力学的发展、研究对象和研究方法；了解岩石力学研究现状及热点问题。 重点与难点：岩石力学的定义、任务、研究方法。 第2章岩石的基本物理力学性质 2.1 岩石的基本物理力学性质 2.2 岩石的强度特性 2.3 岩石的变形特性 2.4 岩石的强度理论 基本要求：掌握岩石的成分、结构及其力学性质；了解岩石的变形特征和流变性；理解岩石的各种强度及其测定方法。 重点与难点：岩石的物理指标、强度与变形特征。 第3章岩石动力学基础 3.1 岩石的波动特性 3.2 影响岩体波速的因素 3.3 岩体的其他动力学特性 基本要求：理解岩石的波动特性，了解影响岩体波速的因素，了解岩体的其他动力学特性。重点与难点：岩石的动力学特性。 第4章岩体的基本力学性能 4.1 岩体结构面的分析 4.2 结构面的变形特性 4.3 结构面的力学效应 4.4 碎块岩体的破坏 4.5岩体的应力－应变分析 基本要求：理解岩石和岩体的区别，了解结构面的相关性质，了解岩体的变形特征和强度测定方法，理解岩体的破坏条件及应力-应变分析。 重点与难点：理解岩体的相关特性。
双曲线专题复习讲义 考点1双曲线的定义及标准方程 题型1:运用双曲线的定义 题型1求离心率或离心率的范围 2 2 ［例3］已知双曲线X y 每 1,（a 0,b 0）的左，右 焦 a b 点分别为F 1,F 2，点P 在双曲线的右支上，且 端点，若该椭圆的长轴长为 4，则△ AF 1F 2面积的最大值 为 ___ . 4.过点（-6 , 3）且和双曲线x 2 -2y 2 =2有相同的渐近线 的双曲线方程为 _________________ 。 | PF 1 | 4|PF 2 |，则此双曲线的离心率 e 的最大值为_. 【新题导练】 双曲线 x2 64 y2 36 =1上一点P 到双曲线右焦点的距离是4,那么点P 到左准线的距离是 题型2与渐近线有关的问题 在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化 解题过程.同时要熟练掌握以下三方面内容： （1）已知双曲线方 程, 求它的渐近线；（2）求已知渐近线的双曲线的方程； （3）渐近线 的 b 、f c2 — a2 /c2. ---------- 斜率与离心率的关系，如 k =a —a2—1= . e2—1. 【新题导练】 2 1. 设P 为双曲线X 2 - 1上的一点F 1、F 2是该双曲 12 线的两个焦点，若|PF 1|： |PF 2|=3 : 2,则厶PF 1F 2的面 积为 （ ） A. 6、3 B. 12 C. 12 .3 D. 24 2 2 2. 如图2所示，F 为双曲线C : — — 1的左焦点， 9 16 双曲线C 上的点P 与P 7 i i 1,2,3关于y 轴对称， ［例4］若双曲 线 2 X ~2 a 2 莒 1（a 0,b 0）的焦点到 渐 b 2 近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 7 . 【新题导 练】 2 双曲线— 4 2 y_ 9 1的渐近线方程 是 A. 2 x B. 3 C. D.2 则 RF P 2F P 3F F 4F F ^F P 6F 的值是（） 8.焦点为（0, 6），且与双曲线 1有相同的渐近线 A . 9 B. 16 C. 18 D. 27 题型2求双曲线的标准方程 2 ［例2 ］已知双曲线C 与双曲线— 16 2 —=1有公共焦点, 4 的双曲线方程是 2 A .— 12 2 y 24 2 1B .— 12 2 x 24 ) 2 C . 乂 24 2 x 12 2 D .— 24 2 乂 1 12 双曲线专题练习 且过点（3 ...2，2）.求双曲线C 的方程. 【新题导练】 3.已知双曲线的渐近线方程是 y 2，焦点在坐标轴上 且焦距是10，则此双曲线的方程为 __________________ ; 4?以抛物线y 2 8 -. 3x 的焦点F 为右焦点，且两条渐近 线 是x J3y 0的双曲线方程为 _________________________ . 考点2双曲线的几何性质 一、填空题 2 1 .椭圆工 9 k= 。 2 1与双曲线丄 k 仝1的焦点相同，则 3 2 2.双曲线丄 9 2 鼻1的渐近线为 4 3 ?已知 戸、F 2为椭圆的两个焦点， A 为它的短轴的一个 5.过原点与双曲线 1交于两点的直线斜 率 2 2 5.已知双曲线—' m n 1的一条渐近线方程 为 的取值范围是 6、若双曲线8kx 2 ky 2 8的一个焦点是 0, 3),则 k C . 5 1 或2 D.不存在 2
2．Elasticity of Solids References J.H.Weiner ，Statistical mechanics of elasticity, Wiley, 1981 Green & Zerna ，Theoretical elasticity, 1968 Ashby & Jones ，Engineering materials 2.1 Definition of Elasticity Elasticity σ F Figure 2.1 An elastic response. An elastic response of the material can be abstracted mathematically as ()X F ,T σ= (2.1) where σ denotes the stress tensor, T the response function that depends only on the current values of the deformation gradient X x F ??=, with X denoting the material coordinates of a point while x the spatial coordinates. If the material is homogeneous within the domain under consideration, the explicit dependence on X in (2.1) can be eliminated. Several remarks can be made to the definition in (2.1): (1) In the claim of ()()X t X, F ,T σ=, one pins down an elastic response as the one prtrayed by the current status of deformation, and henceforth irrelevant to the
1-3 五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？ 答：1、连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可以看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 2、完全弹性假定：引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应 力成正比的含义，亦即二者成线性的关系，符合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。 3、均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是 相同的。因此，反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化。 4、各向同性假定：所谓“各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是 相同的。进一步地说，就是物体的弹性常数也不随方向而变化。 5、小变形假定：我们研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的 改变而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将他们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性微分方程。 在上述假定下，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理。
2-1 已知薄板有下列形变关系：式中A,B,C,D皆为常数，试检查在形变过程中是否符合连续条件，若满足并列出应力分量表达式。 解： 1、相容条件： 将形变分量带入形变协调方程（相容方程）
其中 所以满足相容方程，符合连续性条件。 2、在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量为 3、平衡微分方程
其中 若满足平衡微分方程，必须有
分析：用形变分量表示的应力分量，满足了相容方程和平衡微分方程条件，若要求出常数A,B,C,D还需应力边界条件。 例2-2 如图所示为一矩形截面水坝， 其右侧面受静水压力（水的密度为ρ）， 顶部受集中力P作用。试写出水坝的应 力边界条件。 解： 根据在边界上应力与面力的关系 左侧面：
《弹性力学》课程教学大纲 课程英文名称：Theory of Elasticity 课程编号：193990360 课程类别：专业课 课程性质：必修课 学分： 3 学时： 48（其中：讲课学时48：实验学时：0 上机学时： 0） 适用专业：工程力学本科专业 开课部门：土木工程与建筑学院 一、课程教学目的和课程性质 本课程属于工程力学专业必修课。该课程是在理论力学和材料力学的基础上，进一步学习弹性力学的基本概念、基本原理和基本方法，了解线弹性体简单经典问题的计算方法和基本解答，分析各种结构物或构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法，提高分析与计算能力，为学习有关专业课程打好初步的弹性力学基础。 本课程教学目的主要目的：培养学生的逻辑思维能力；培养学生估计和评价弹性固体中应力和应变的分布规律及计算结果的能力；培养学生用弹性力学方法研究和解决实际工程中力学问题的能力；使学生掌握分析一般工程结构在外力作用下的变形、内力分布与承载能力的方法，以及为进一步研究工程结构的强度、刚度、稳定性等力学问题打下基础，并着重在基础理论和实践应用两方面进行科研能力的培养。 二、本课程与相关课程的关系 先修课程：《高等数学》、《理论力学》、《材料力学》 后续课程：《土力学》、《岩石力学》、《塑性力学》等 三、课程的主要内容及基本要求 第1单元绪论（ 2 学时） [知识点] 弹性力学的研究内容和研究方法；弹性力学中的一些基本概念；弹性力学中的基本假设条件；弹性力学与其它学科的关系；弹性力学的学习方法。 [重点] 弹性力学的研究内容和研究方法；弹性力学的基本假设；弹性体、弹性变形、应力、应变、位移与变形、面力、体力的概念。
基于弹性力学理论和有限元法分析应力集中问题的讨论 材料在外形急剧变化的部位，局部应力可以超出名义应力的数倍，对于脆性材料局部过早开始破坏，从而，削弱了构件的强度，降低了构件的承载能力。因此在工程實际中，为了确保构件的安全使用，必须科学合理的分析计算应力集中现象，以便找寻到更好的避免措施。本文首先基于弹性力学理论分析带孔无限宽板的应力分布情况，将对象的受力转化成数学表达，结论应证了应力集中的几个特性。 标签：应力集中系数；有限元分析；无限宽板；弹性力学；Inventor运用；ANSYS 1、应力集中 1.1弹性力学中概念，指物体形状、材料性质不均匀导致的局部应力急剧增高的现象。 1.2应力集中系数 最大局部应力与名义应力的比值称为理论应力集中系数ɑ。可以明确地反应应力集中的程度。 最大局部应力σmax可根据弹性力学理论、有限元法计算得到，也可由实验方法测得；名义应力σn是假设构件的应力集中因素（如孔、缺口、沟槽等）不存在，构件截面上的应力。 2、孔周应力在理想状态下的弹性力学理论分析 2.1定义受单向均匀拉伸荷载的无限宽平板，孔径2α圆孔，建立如图一理想模型。 由于结构的对称性，仅分析图一上半段1/4部分x轴正向的状态： 1）圆孔右顶点单元，即当θ=0，r=α时，代入式（2）解算得σy=3σ； 2）距孔0.2倍孔半径外，即当θ=0，r=1.2α时，代入式（2）解算得σy=2.071σ； 3）距孔1倍孔半径外，即当θ=0，r=2α时，代入式（2）解算得σy=1.221σ； 4）距孔1.5倍孔半径外，即当θ=0，r=2.5α时，代入式（2）解算得σy=1.122σ； 5）距孔2倍孔半径外，即当θ=0，r=3α时，代入式（2）解算得σy=1.074σ；
双曲线及其标准方程 【学习目标】 1．知识与技能： 从具体情境中抽象出双曲线的模型；掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形；能正确推导双曲线的标准方程． 2．过程与方法： 学生亲自动手尝试画图、发现双曲线的形成过程进而归纳出双曲线的定义、图象和标准方程． 3．情感态度与价值观： 了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用． 【要点梳理】 要点一：双曲线的定义 把平面内到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于12F F ）的点的集合叫作双曲线． 定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 要点诠释： 1． 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：常数=1212PF PF F F -<，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2． 若常数分别满足以下约束条件，则动点的轨迹各不相同： 若 常数=1212PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支； 若 常数=2112PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支． 若 常数=1212PF PF F F -=，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）； 若 常数=1212PF PF F F ->，则动点轨迹不存在； 若 常数=12=0PF PF -，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 要点二：双曲线的标准方程
1．双曲线的标准方程 2．标准方程的推导 如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分为4步：建系、设点、列式、化简． （1）建系 取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系． （2）设点 设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)． （3）列式 设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a． 由定义可知，双曲线就是集合：P={M||M F1|-|M F2||=2a}={M|M F1|-|M F2|=±2a}． ∵2222 12 ||(),||(), MF x c y MF x c y ++=-+ ∴2222 ()()2 x c y x c y a ++-+=± (4)化简 将这个方程移项，得 当焦点在x轴上时， 22 22 1 x y a b -=(0,0) a b >>，其中222 c a b =+； 当焦点在y轴上时， 22 22 1 y x a b -=(0,0) a b >>，其中222 c a b =+
HOMEWORK OF THEORETICAL ELASTICITY 1. DATE: 2001-9-20 1. 设地震震中距你居住的地方直线距离为l ，地层的弹性常数ν,E 和密度ρ均为已知。假 设你在纵波到达0t 秒后惊醒。问你在横波到达之前还有多少时间跑到安全地区试根据Km 200=l ，GPa 20=E ，3.0=ν，36g/m 100.2?=ρ，s 30=t 来进行具体估算。 2. 假定体积不可压缩，位移112(，)u x x 与212(，)u x x 很小，30u ≡。在一定区域内已 知22 12 11(1) ()u x a bx cx =-++，其中a ，b ，c 为常数，且120ε=，求212(，)u x x 。 3. 给定位移分量 21123()u cx x x =+，22213()u cx x x =+，23312()u cx x x =+，此处c 为一个很小的常数。求 应变分量ij ε及旋转分量ij Q 。 4. 证明 ,1 122 i ijk jk ijk k j e Q e u ω== 其中i ω为转动矢量。 5. 设位移场为22131232123()()u a x x e a x x e ax x e =-++-，其中a 为远小于1的常数。确定在 (0，2，1)P -点的小应变张量分量，转动张量分量和转知矢量分量。 6. 试分析以下应变状态能否存在。 （1）22111 22()k x x x ε=+，2 2223kx x ε=，330ε=，121232kx x x γ=，23310γγ== （2）22111 2()k x x ε=+，2222kx x ε=，330ε=，12122kx x γ=，23310γγ== （3）21112ax a ε=，22212ax x ε=，3312ax x ε=，120γ=，22332ax bx γ=+，22 3112ax bx γ=+ 其中，，k a b 为远小于1的常数。 2. DATE: 2001-9-17 1. 证明对坐标变换?? ? ?????????-=? ??? ??2121cos sin sin cos x x x x αααα ，33x x =，无论α为何值均有
弹塑性力学 第四章 弹性力学的基本方程与解法 一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件 对于在空间占有体积域V 的线弹性体在外加恒定载荷和固定几何约束条件下引起 的小变形问题，若以, , u εσ作为求解变量，则可以建立如下偏微分方程边值问题： 几何方程 ()1,,2ij i j j i u u ε= + ()12?+?u u ε= (1a) 广义胡克定律 ij ijkl kl E σε= :E σ=ε (1b) 平衡方程 ,0ij j i f σ+= ??+=f 0σ V ?∈x (1c) 以上方程均要求在域内各点均满足。 边界条件 u u i i = ?∈x S ui (2a) n t j ji i σ= ?∈x S ti (2b)对于适定问题，即不仅要求保证解存在唯一，而且有较好的稳定性。当载荷或边界条件给定值有微小摄动时，应能保证问题解的变化也是微小的。对于边界条件的提法就有严格的要求。即要求： S S S S S ui ti ui ti U I ==? (2c) 对于各向同性材料，其广义胡克定律可具体写成 σλεδεij kk ij ij G =+2 ()tr 2G λ+I σ=εε (3a) ()11ij ij kk ij E ενσνσδ??=+??? ()()1tr E νν=????I ε1+σ?σ (3b)以上就域内方程来说，一共是对于u ,,σ ε的15个独立分量u i ij ij ,, σε的15个方程。对于边界条件来说，三维问题每点有三个边界条件，而且是在三个正交方向上每个方向有一个边界条件，这个边界条件或者给定位移、或者给定面力。这三个正交
第一部分 双曲线相关知识点讲解 一．双曲线的定义及双曲线的标准方程： 1 双曲线定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨 迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中 |1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 二．双曲线的外部： (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 三.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ， 焦点在y 轴上）. 四．双曲线的简单几何性质 22 a x －22b y =1（a ＞0，b ＞0） ⑴围：|x |≥a ，y ∈R
第三章弹性理论 姓名班级学号考试时间：20分钟 一、单项选择题 1、点弹性和弧弹性之间（）关系 A、有 B、没有 C、不确定 2、冰棒的需求价格弹性（）药品的需求价格弹性 A、大于 B、小于 C、等于 D、大于或等于 3、供给弹性（）点弹性和弧弹性的区分 A、有 B、没有 C、不确定 4、垂直的需求曲线是（）弹性 A、完全有 B、富有 C、完全无 5、水平的供给曲线是（）弹性 A、完全有 B、富有 C、完全无 6、一种商品价格下降，另外一种商品需求上升，则两种商品之间是（）关系 A、互补品 B、替代品 C、正常品 D、劣品 7、在长期中，供给曲线更（）弹性 A、缺乏 B、富有 C、不确定 D、依商品而定 8、容易被替代的商品，其需求弹性（） A、大 B、小 C、不确定 二、多项选择题 1、弹性一般分为（）弹性 A、供给 B、需求 C、价格 D、收入 2、利用价格需求弹性可以区分出（） A、生活必须品 B、奢侈品 C、经济商品 D、免费物品 三、简答题 1、影响商品需求价格弹性的因素 2、需求价格弹性的五种情况
答案 一．单项选择题 2. A 二．多项选择题 三．简答题 1. 影响商品需求价格弹性的因素 (1). 必需品与奢侈品 一般地说，奢侈品需求对价格是有弹性的，而必需品则是缺乏弹性的。 (2). 相近替代品的可获得性 一般来说，相近替代品越多的商品越富有弹性。替代品多，消费者从这种商品转向购买其他商品较为容易，对商品价格更敏感（如，香烟）。 (3). 商品所划定范畴的大小 一般来说，如果某产品存在着很接近的替代品的数量愈多，其需求价格弹性愈大。 (4). 时间的长短 计算某种商品价格弹性系数所考虑的时间愈长，其系数会愈大。当某一商品价格上升时，消费者需要一段时间去寻找可以接受的替代品，因此，短期内对该商品的需求量变化不大，而长期内消费者更可能转向其他替代品，因此，该提价商品的需求量变化会更加明显些。 2. 需求价格弹性的五种情况 (1). 当e=0时，需求对价格是完全无弹性的，即需求量与价格无关。则需求曲线为一条垂直于x轴的直线。如，垄断价格；婚丧用品，特效药等接近于完全无弹性。 (2). 当e=1时，需求对价格为单位弹性，即价格变化的百分比与需求量变化的百分比相等。 (3). 当e=∞时，需求对价格是完全有弹性，即需求曲线为一条垂直于P轴的直线。如，银行以某一固定的价格收购黄金；实行保护价的农产品。 (4). 当e>1时，需求对价格富有弹性，即需求变化的幅度大于价格变化的幅度。如，奢侈品。 (5). 当e<1时，需求队价格缺乏弹性，即需求变化的幅度小于价格变化的幅度。如，生活必需品。
弹性力学有限元大作业 一、模型信息： 已知：材料为铝合金。E=71GPa ，v=0.3. 矩形平板的几何参数：板长为480mm ，宽为360mm ，厚度为2mm ；图形如下图； 加肋平板： 二、matlab 编程实现 1、程序相关说明： 计算使用的软件为：matlab2010a 主函数：main.m 主要计算部分 子函数：Grids.m 生成网格，节点数为：+1*+1I J （）（） 、单元数： 2**I J AssembleK.m 将单元刚度矩阵组装成总刚度矩阵（叠加方法） GenerateB.m 生成单元格e B 矩阵 GenerateS.m 生成单元格e S 矩阵 GenerateK.m 生成单元刚度矩阵 2、网格划分： 利用Grid.m 子函数，取2020I J ==、，即可以得到网格如下： 节点数为：441个，单元格数：800个
3、计算过程及结果 （1）、网格划分：通过Grid.m ，生成节点数为：441个、单元格数：800个的网格 （2）、生成总刚度矩阵K ：通过GenerateK.m 、AssembleK.m 生成总刚度矩阵 采用常应变三角单元，e e u N a =,易得=e e B LN 由平面应力问题，可以确定2101011002E D νννν?? ?? ? ?=??-?? -???? 即e e S DB = 单元刚度矩阵为：e eT e K AtB DB = 总刚度矩阵为：eT e e e K G K G = ∑ （3）、求解过程： 系统平衡方程为：Ka P = 将方程进一步划分为：E EF E E E T F F EF F K K d f r d f K K +?????? =? ????? ???? ?? 通过已知边界条件（位移、载荷），确定E E F d f f 、、 ，从而将K 矩阵划分为四个模 块：E EF T EF F K K K K ?????? 1 () E E E E F F E T F F F EF E r K d K d f d K f K d -=+-=-支反力：部分位移： 即整体位移向量为：E F d a d ?? =???? 整体力边界条件为：E E F f r P f +?? =? ???
双曲线专题复习讲义 ★知识梳理★ 1. 双曲线的定义 （1）第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, P 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, P 的轨迹不存在; 当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线 （2）双曲线的第二义 平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (1>e )的点的轨迹为双曲线 与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程为：)0(22 22≠=-λλb y a x 与双曲线122 22=-b y a x 共轭的双曲线为22221y x b a -= 等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e .； ★重难点突破★ 1.注意定义中“陷阱” 问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为 点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支 12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116 92 2>=- x y x 2.注意焦点的位置
问题2：双曲线的渐近线为x y 2 3 ± =，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时， 23=a b ，213=e ；当焦点在y 轴上时，2 3 =b a ，313=e ★热点考点题型探析★ 考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义 [例1 ] 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同 时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上) 【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的． [解析]如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020） 设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线 122 22=-b y a x 上， 依题意得a=680, c=1020， 用y=－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|, 答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处. 【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型” 【新题导练】 1.设P 为双曲线112 2 2 =-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ） A ．36 B ．12 C ．312 D ．24 解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ① 又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF 为21F PF ∴直角三角形，
双曲线 一、知识点讲解 （1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：a PF PF 2|||| 21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。 ||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹； （2）双曲线的标准方程、图象及几何性质： 中心在原点，焦点在x 轴上 中心在原点，焦点在 y 轴上 标准方程 )0,0(122 22>>=-b a b y a x )0,0(12 2 22>>=-b a b x a y 图 形 顶 点 )0,(),0,(21a A a A - ),0(),,0(21a B a B - 对称轴 x 轴，y 轴；虚轴为b 2，实轴为a 2 焦 点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F - 焦 距 )0(2||21>=c c F F 222 b a c += 离心率 )1(>= e a c e （离心率越大，开口越大） 渐近线 x a b y ± = x b a y ± = 通 径 22b a （3）双曲线的渐近线： ①求双曲线12 2 22=-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222=-b y a x ，因式分解得到0x y a b ±=。 ②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-22 2 2b y a x ； （4）等轴双曲线为222 t y x =-，其离心率为2 （4）常用结论：（1）双曲线)0,0(1222 2 >>=-b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两点，则2ABF ?的周长= x O F 1 P B 2 B 1 F 2 x O F 1 F 2 P y A 2 A 1 y
弹性力学与有限元分析复习题及其答案 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1 MT -2 。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ， =2σ0MPa ，=1α6135'ο。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ， =2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ， =2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。 19、在有限单元法中，单元的形函数N i 在i 结点N i =1；在其他结点N i =0及∑N i =1。 20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。