反证法
一、教学目标：
1.知识与技能：
(1)了解间接证明的一种基本方法──反证法；
(2)了解反证法的思考过程与特点,会用反证法证明数学问题.
2.过程与方法:
通过学生动手及简单实例,让学生充分体会反证法的数学思想,并学会简单应用.
3.情感态度与价值观
通过反证法的学习,让学生形成逆向思维的模式,体验数学方法的多样性。提高学生推导、推理能力及思考问题和解决问题的能力，并在合作探究中找到一种解决生活生产实际问题的新方法。
二.教学重点：
了解反证法的思考过程与特点..
三.教学难点：
正确理解、运用反证法.
四.教学方法：
多媒体辅助教学；小组合作探究，多元活动.
教学过程：
一、课前复习与思考：
（1）请学生复习旧知，为本节课夯实基础：
直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推理证明结论的真实性。
常用的直接证明方法：综合法与分析法。
综合法的思路是由因导果；分析法的思路是执果索因。
（2）让学生思考间接证明是什么？它有哪些方法？（初中所学）
间接证明：不是从正面证明命题的真实性，而是证明命题的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到证明的目的。
反证法就是一种常用的间接证明方法。
二、探究新知
【新课导引】
多媒体课件显示9个白色球.上课时要求学生将9个球分别染成红色或绿色.让学生注意观察现象.
提问学生，让学生由感性认识上升到理性认识：
同学们请看，这9个球无论如何染色，至少有5个球是同色的.你能用数学中的什么方法来证明这个结论吗？
【学生自主合作探究】
学生阅读完教材后，小组合作探究以下问题：
1、什么是反证法？
2、反证法的证题步骤有哪几步？
3、什么样的命题适合用反证法来证明？
4、反证法的应用关键在于什么？
【学生展示、交流】
（1）反证法概念
反证法：假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。
（2）反证法的一般步骤：
a、反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）；
b、归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
c、下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。
（3）应用反证法的情形：
①直接证明困难;
②需分成很多类进行讨论．
③结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” ---类命题；
④结论为“唯一”类命题；
（4）关键在于归缪矛盾：
a、与已知条件矛盾；
b、与公理、定理、定义矛盾；
c、自相矛盾。
【教师归纳评价并强调】：
同学们对反证法的学习已经有了一些认识，而反证法引出矛盾没有固定的模式，需要认真观察、分析，洞察矛盾。
三、教师点拨
【教师引导学生完成】：
a，求证：2能整除a.
例1、已知a是整数，2能整除2
证明： 假设命题的结论不成立，即“2不能整除a ”。
因为a 是整数，故a 是奇数，a 可表示为2m+1（m 为整数），则
1)22(2144)12(2222++=++=+=m m m m m a ，即2a 是奇数。
所以，2不能整除2a 。这与已知“2能整除2
a ”相矛盾。于是，“2不能整除a ”这个假设错误，故2能整除a.
例2、在同一平面内，两条直线a ，b 都和直线c 垂直。求证：a 与b 平行。
证明：假设命题的结论不成立，即“直线a 与b 相交”。设直线a ，b 的交点为M ，a ，
c 的交点为P ，b ，c 的交点为Q ，如图所示，则00>∠PMQ 。 这样MPQ △的内角和PQM MPQ PMQ ∠+∠+∠=
0001809090>++∠=PMQ 。
这与定理“三角形的内角和等于0
180”相矛盾，这说明假设是错误的。所以直线a 与b 不相交，即a 与b 平行。
例3、求证：2是无理数。
【教师从例题分析中小结反证法相关知识，提高学生的解题能力】： 反证法的方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.
四、学生练习及检测,教师评价
1、一定是锐角。是直角，则中，若证明：在B C ABC ∠∠∆
2、 【课堂回顾】
同学们，本节课前有关小球染色的问题应该可以找到答案了，那就是用反证法来证明.你能证明了吗？
是无理数。
求证：3
请同学们课后积极思考与实践.
五、课后思考:
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎.则C必定是在撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C话为真
那么A话为假且B话为假;
由A话为假, 知B话为真. 这与B话为假矛盾.
那么假设C没有撒谎不成立;
则C必定是在撒谎.
六、布置作业：
课本67页习题3-4：（3）、（4）
附：
【板书】
反证法
一、概念：四、反证法适用于：
二、步骤：五、应用举例：
三、归谬矛盾：六、小结：
反证法 一、教学目标： 1.知识与技能： (1)了解间接证明的一种基本方法──反证法； (2)了解反证法的思考过程与特点,会用反证法证明数学问题. 2.过程与方法: 通过学生动手及简单实例,让学生充分体会反证法的数学思想,并学会简单应用. 3.情感态度与价值观 通过反证法的学习,让学生形成逆向思维的模式,体验数学方法的多样性。提高学生推导、推理能力及思考问题和解决问题的能力，并在合作探究中找到一种解决生活生产实际问题的新方法。 二.教学重点： 了解反证法的思考过程与特点.. 三.教学难点： 正确理解、运用反证法. 四.教学方法： 多媒体辅助教学；小组合作探究，多元活动. 教学过程： 一、课前复习与思考： （1）请学生复习旧知，为本节课夯实基础： 直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推理证明结论的真实性。 常用的直接证明方法：综合法与分析法。 综合法的思路是由因导果；分析法的思路是执果索因。 （2）让学生思考间接证明是什么？它有哪些方法？（初中所学） 间接证明：不是从正面证明命题的真实性，而是证明命题的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到证明的目的。 反证法就是一种常用的间接证明方法。 二、探究新知 【新课导引】 多媒体课件显示9个白色球.上课时要求学生将9个球分别染成红色或绿色.让学生注意观察现象. 提问学生，让学生由感性认识上升到理性认识：
同学们请看，这9个球无论如何染色，至少有5个球是同色的.你能用数学中的什么方法来证明这个结论吗？ 【学生自主合作探究】 学生阅读完教材后，小组合作探究以下问题： 1、什么是反证法？ 2、反证法的证题步骤有哪几步？ 3、什么样的命题适合用反证法来证明？ 4、反证法的应用关键在于什么？ 【学生展示、交流】 （1）反证法概念 反证法：假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。 （2）反证法的一般步骤： a、反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）； b、归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾； c、下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。 （3）应用反证法的情形： ①直接证明困难; ②需分成很多类进行讨论． ③结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” ---类命题； ④结论为“唯一”类命题； （4）关键在于归缪矛盾： a、与已知条件矛盾； b、与公理、定理、定义矛盾； c、自相矛盾。 【教师归纳评价并强调】： 同学们对反证法的学习已经有了一些认识，而反证法引出矛盾没有固定的模式，需要认真观察、分析，洞察矛盾。 三、教师点拨 【教师引导学生完成】： a，求证：2能整除a. 例1、已知a是整数，2能整除2
第1课时 综合法和分析法 [核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材P 36～P 41的内容，回答下列问题． (1)阅读教材P 36“已知a ，b >0，求证a (b 2 ＋c 2 )＋b (c 2 ＋a 2 )≥4abc ”的证明过程，思考下列问题： ①该题的条件和结论各是什么？ 提示：条件：a ，b >0；结论：a (b 2 ＋c 2 )＋b (c 2 ＋a 2 )≥4abc . ②本题的证明过程是从“已知条件”出发，还是从“要证明的结论”出发？即证明该题的顺序是什么？ 提示：本题是从已知条件a ，b >0出发，借助基本不等式证明待证结论的． (2)阅读教材中证明基本不等式“ a ＋b 2 ≥ab (a >0，b >0)”的过程，回答下列问题： ①该证明过程是从“条件”还是从“结论”开始证明的？ 提示：从结论开始证明的． ②该证明过程是综合法吗？ 提示：不是． ③该证明过程的实质是寻找使结论成立的什么条件？ 提示：充分条件． 2．归纳总结，核心必记 (1)综合法 ①综合法的定义 利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． ②综合法的框图表示 P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q (P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论) (2)分析法 ①分析法的定义
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明的方法叫做分析法． ②分析法的框图表示 Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→ 得到一个明显 成立的条件 [问题思考] (1)综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ 提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”． (2)综合法与分析法有什么区别？ 提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因． (3)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1c －1≥8. 证明过程如下： ∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1. ∴1a －1＝b ＋c a ＞0，1b －1＝a ＋c b ＞0，1c －1＝a ＋b c ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴不等式成立． 这种证明方法是综合法还是分析法？ 提示：综合法． [课前反思] (1)综合法的定义是什么？如何用框图表示综合法？ ； (2)分析法的定义是什么？如何用框图表示分析法？ .
2018-2019学年高中数学第二章推理与证明2.2.2 反证法习题新人教A 版选修2-2 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第二章推理与证明2.2.2 反证法习题新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学第二章推理与证明2.2.2 反证法习题新人教A版选修2-2的全部内容。
第一章 2。2 2。2。2 反证法 A 级 基础巩固 一、选择题 1．设a 、b 、c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ,b ＋错误!，c ＋错误!（ C ) A ．都不大于－2 B ．都不小于－2 C ．至少有一个不大于－2 D ．至少有一个不小于－2 [解析］ 假设都大于－2，则a ＋错误!＋b ＋错误!＋c ＋错误!>－6, 但(a ＋1b )＋（b ＋错误!）＋（c ＋错误!) ＝（a ＋错误!)＋（b ＋错误!)＋（c ＋错误!)≤－2＋(－2）＋（－2）＝－6，矛盾． 2．(2018·湖北期中）已知a ，b ，c ∈(0,＋∞)，则下列三个数a ＋4b ,b ＋错误!,c ＋错误!（ D ） A ．都大于6 B ．至少有一个不大于6 C ．都小于6 D ．至少有一个不小于6 [解析] 设a ＋错误!，b ＋错误!，c ＋错误!都小于6， 则a ＋4b ＋b ＋9c ＋c ＋16a ＜18， 利用基本不等式可得a ＋错误!＋b ＋错误!＋c ＋错误!≥2错误!＋2错误!＋2错误!＝8＋4＋6＝18, 这与假设所得结论矛盾，故假设不成立， 故下列三个数a ＋错误!，b ＋错误!，c ＋错误!至少有一个不小于6， 故选D ． 3．（2017·青岛高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．"乙说:“甲、丙都未获奖．"丙说:“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是（ C )
用反证法解题的几种类型 在解题中，题目未指明用什么方法，便面临选择直接证法还是间接证法更好，甚至有些命题必须用反证法才能证明，如何掌握反证法的使用场合呢？一般来说，以下几种命题类型宜用反证法。 1“至多、至少”型命题[2] 通过反设结论，改变原来的限制条件，然后归谬、推理、找出矛盾。 例6、设1111x y z x y z ++=++=，求证：x ,y ,z 中至少有一个等于１。 证明：假设x ,y ,z 中没有一个等于１，则1x -≠0，10y -≠, 10z -≠。 因而 (1)(1)(1)0x y z ---≠， 即 ()()10xyz xy yz xz x y z -+++++-≠ (*) 因为 1111x y z ++=， 所以 xy yz xz xyz ++=, 代入(*)式，有 10x y z ++-≠。 这和已知1x y z ++=相矛盾，故,,x y z 中至少有一个等于１。 2唯一型命题 以否定唯一性为条件，得出反面结论、再用枚举法逐一否定各个反面结论，从而肯定结论。 例7、求证：两条直线相交只有一个交点。 证明：假设两条直线l 1,l 2相交有两个交点（设为A 、B 两点），则过A 、B 两点有两条不同
直线l 1, l 2，这与“两点确定一条直线”（公理）相矛盾,故假设不成立，所以两条直线相交只有一个交点。 3无限型命题 待证命题的结论是无限的，结论涉及的对象无法一一列出，这些命题结论的反面事项是 有限的、肯定的，这时宜用反证法。 例8、证明方程510x x +=的正根是无理数。 证明：当0x >时，函数510y x x =+-单调上升；又当 1.5x =时，510y x x =+-0<；当 1.6x =时，510y x x =+-0>。所以方程510x x +=的正根是在1.5与1.6之间，设正根是有理数q p (,p q 是互质的自然数),则(q p )5+q p =10，即54510p pq q +=，445()10p p q q +=，由于,p q 是自然数，所以44p q +为整数，则5 10q p 是整数。又因为,p q 互质，所以,p q 只有公因数１，上式说明p 只能是10的因数，但是p 取1，2，5，10的既约分数时，q p 都不会在1.5与1.6之间，因此假设不成立，故原命题正确。 4肯定型命题[3] 以“必然”为结论的命题，通过肯定结论给出命题，将原来的肯定命题转化为否定命题，再利用该否定命题找出矛盾。 例9、已知,,a b c 均为正整数，且满足222a b c +=,又a 为质数，求证：b 与c 两数必为一 奇一偶。 证明：假设b 和c 同为奇数或同为偶数，由222a b c +=,得2()()c b c b a +-=,根据奇偶数 性质知c b +和c b -同为偶数，则2 a 必为偶数，a 也为偶数，但a 是质数，所以a =2，即有()()4c b c b +-=,所以 ⎩⎨⎧=-=+22b c b c 或⎩ ⎨⎧=-=+14b c b c ， 可得 ⎩⎨⎧==20c b 或⎪⎩ ⎪⎨⎧== 2523c b ，
2.2.2 反证法 一、教学目标 1．核心素养 培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力 2．学习目标 （1）理解反证法的概念 （2）体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤 （3）会用反证法证明简单的命题 3．学习重点 对反证法的概念和三个步骤的理解与掌握． 4．学习难点 理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据． 二、教学设计 （一）课前设计 【学习过程】 1．预习任务 任务1 预习教材P42—P43，思考：什么是反证法？你以前学过反证法吗？ 任务2 反证法证明问题的步骤是什么？值得注意的问题哪些？ 2．预习自测 1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（） ①结论相反的判断，即假设 ②原命题的条件 ③公理、定理、定义等 ④原结论 A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③
答案：C 【知识点：三角形内角和的性质，命题的否定，反证法】 由反证法的定义可知应选C． 2．如果两个实数之和为正数，则这两个数（） A．一个是正数，一个是负数 B．两个都是正数 C．两个都是非负数 D．至少有一个是正数 答案：D 3．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为（）A．a<0，b<0，c>0 B．a≤0，b>0，c>0 C．a，b，c不全是正数 D．abc<0 答案：C 4．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是（） A．有一个解 B．有两个解 C．至少有两个解 D．至少有三个解 答案：D （二）课堂设计 1．知识回顾 著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．” 王戎的论述运用了什么推理思想？ 王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与“多李”产生矛盾．所以假设不成立,李为苦李． 2．问题探究
2.2.2反证法 教学建议 1.教材分析 本节主要内容是反证法的概念及应用反证法进行证明的一般步骤,通过学习本节内容,对培养学生的逆向思维是非常有利的,反证法是间接证明的一种基本方法. 重点:了解反证法的含义及思维过程和特点,并能简单应用. 难点:应用反证法解决问题. 2.主要问题及教学建议 (1)方法的选择. 建议教师要求学生总结何时采用反证法证明更好. 当问题涉及否定性,唯一性,至多,至少等字眼或问题很显然从正面无法下手时可以考虑反证法. (2)证明过程中的问题. 建议教师注意展示学生的证明过程,有针对性地改正以下错误现象:不会反设或反设不全面,反设后不会应用反设(若不用反设就不是反证法了),对推出矛盾没有预见性或推不出矛盾,引导学生 学会制造矛盾. 备选习题 1. 如图,设SA,SB是圆锥SO的两条母线,O是底面圆的圆心,C是SB上一点.求证:AC与平面SOB不垂直. 证明:如图,连接AB,OB,假设AC⊥平面SOB. ∵直线SO在平面SOB内, ∴AC⊥SO. ∵SO⊥底面圆O, ∴SO⊥AB. 又AB∩AC=A, ∴SO⊥平面ABC, ∴平面ABC∥底面圆O. 这显然与AB⊂底面圆O矛盾, ∴假设不成立. 故AC与平面SOB不垂直. 2.设{a n}是公比为q的等比数列,S n是它的前n项和. (1)求证:数列{S n}不是等比数列; (2)数列{S n}是等差数列吗?为什么? (1)证明:反证法:假设{S n}是等比数列,则=S1S3, 即(1+q)2=a1·a1(1+q+q2). ∵a1≠0, ∴(1+q)2=1+q+q2,即q=0,与q≠0矛盾, ∴{S n}不是等比数列. (2)解:当q=1时,{S n}是等差数列.
§2.2.2反证法 一、教学目标： 1、知识与技能： 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解 反证法的思考过程、特点。 2、过程与方法: 培养学生的辨析能力和分析问题、解决问题的能力； 3、情感、态度与价值观： 通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 二、教学重点： 了解反证法的思考过程、特点 三、教学难点： 反证法的思考过程、特点 四、教学过程: （一）导入新课： 1、复习综合法和分析法的思考过程和特点。 2、反证法 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。 在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法。 3、思考：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现象吗？ 学生尝试用直接证明的方法解释。 采用反正法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上． （二）推进新课 1、反证法的特点： 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 2、例题讲解： 例1、已知直线,a b 和平面α，如果,a b αα⊄⊂，且||a b ，求证||a α。 证明：因为||a b , 所以经过直线a , b 确定一个平面β。 因为a α⊄，而a β⊂， 所以 α与β是两个不同的平面． 因为b α⊂，且b β⊂， 所以b αβ=.
[课时达标检测] 一、选择题 1．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是() A．假设三内角都不大于60° B．假设三内角都大于60° C．假设三内角至少有一个大于60° D．假设三内角至多有两个大于60° 解析：选B“至少有一个”即“全部中最少有一个”． 2．用反证法证明：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为() A．a，b，c都是偶数 B．a，b，c都是奇数 C．a，b，c中至少有两个偶数 D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数 解析：选D自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．” 3．用反证法证明命题“如果a＞b，那么3 a＞ 3 b”时，假设的内容应是() A.3 a＝ 3 b成立 B. 3 a＜ 3 b成立 C.3 a＝ 3 b或 3 a＜ 3 b成立 D. 3 a＝ 3 b且 3 a＜ 3 b成立 解析：选C“大于”的否定为“小于或等于”． 4．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2， (2)已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1，以下结论正确的是() A．(1)与(2)的假设都错误 B．(1)与(2)的假设都正确 C．(1)的假设正确；(2)的假设错误 D．(1)的假设错误；(2)的假设正确 解析：选D(1)的假设应为p＋q＞2；(2)的假设正确． 5．已知数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n＝an＋2，b n＝bn＋1(a，b是常数)，且a＞b，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有() A．0个B．1个
．反证法 预习课本～，思考并完成下列问题 ()反证法的定义是什么？有什么特点？ ()利用反证法证题的关键是什么？步骤是什么？ [新知初探] 反证法的定义及证题的关键 [点睛]对反证法概念的理解()反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二 个否定是指“逻辑推理结果否定”． ()反证法属“间接解题方法”． ．“反证法”和“证逆否命题”的区别与联系()联系：通过证明逆否命题成立来证明原命题成立和通过反证法说明原命题成立属于 间接证明，都是很好的证明方法．()区别：证明逆否命题实际上就是从结论的反面出发，推出条件的反面成立．而反证 法一般是假设结论的反面成立，然后通过推理导出矛盾． [小试身手] ．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) ()反证法属于间接证明问题的方法．( ) ()反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．( ) ()反证法的实质是否定结论导出矛盾．( ) 答案：()√()×()√．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( )
①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论 ．①②．①②④ ．②③ ．①②③ 答案： ．如果两个实数之和为正数，则这两个数( ) ．一个是正数，一个是负数 ．两个都是正数 ．至少有一个正数 ．两个都是负数 答案： ．用反证法证明“如果＞，那么＞”，假设的内容应是． 答案：≤ ! 错误 用反证法证明否定性命题 [典例]已知三个正数，，成等比数列，但不成等差数列．求证：，，不成等差数列． [证明]假设，，成等差数列，则＋＝， 即＋＋＝. ∵，，成等比数列，∴＝，即＝， ∴＋＋＝，∴(－)＝，即＝. 从而＝＝，与，，不成等差数列矛盾， 故，，不成等差数列． ．用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法． ．用反证法证明数学命题的步骤
2.2.2 反证法 自主预习·探新知 情景引入 从前，某国王一贯自我标榜不仅是至高无上的权威，而且更是一个“大慈大悲”的救世主，他在处决犯人之前，要恩赐一个机会，叫他们去抽生死签，如果抽到“活”字，就可幸免一死．有一次，一个囚犯即将处决，他的冤家买通狱吏，把两张纸都写上“死”．不料有人把此消息透漏给犯人，可犯人闻后却高兴地说“啊！我可死里逃生了”．国王宣布抽签后，犯人抽出一张签，二话不说便吞入腹中，这下在场的人慌了手脚，因为谁也搞不清楚犯人吞下的是“死”还是“活”，只听国王大声呵斥：“混蛋，你们只要看一下剩下的那张纸签就是了．”显然剩下的是“死”签，由此反证犯人吞下的是“活”签，聪明的犯人死里逃生，就是巧用了本节课要学习的方法——反证法． 新知导学 1．反证法的定义 一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出__矛盾__，因此说明假设__错误__，从而证明了原命题__成立__，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法． 2．反证法证题的原理 (1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”． (2)用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确． 预习自测 1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( C ) ①原结论的相反判断，即假设②原命题的结论
③公理、定理、定义等④原命题的条件 A．①④B．①②③ C．①③④D．②③ [解析] 由反证法的规则可知①③④都可作为条件使用，故应选C． 2．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个偶数”正确的反设为( D ) A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c都是偶数 C．a、b、c中至少有两个偶数 D．a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数 [解析] “自然数a、b、c中恰有一个偶数”即a、b、c中有两奇一偶，故其反面应为都是奇数或两偶一奇或都是偶数，故选D． 3．如果两个实数之和为正数，则这两个数( C ) A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数 C．至少有一个正数D．两个都是负数 [解析] 假设两个数分别为x1、x2，且x1≤0，x2≤0，则x1＋x2≤0，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C． 4．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是__存在一个三角形，其外角至多有一个钝角__. [解析] 全称命题的否定形式为特称命题，而“至少有两个”的否定形式为“至多有一个”．故该命题的否定为“存在一个三角形，其外角至多有一个钝角”． 互动探究·攻重难 互动探究解疑 命题方向❶用反证法证明否(肯)定性命题 典例1 (1)(2019·武汉高二检测)用反证法证明命题“如果a>b，那么a3>b3”时，假设的内容是( C ) A．a3＝b3B．a3 [教学设计•高中数学] 《反证法》教学设计 姓名：赵钊 学校：西安市铁一中学 区县：碑林区 ： 地址：友谊东路12021 邮编：710054 《反证法》教学设计 陕西省西安市铁一中学赵钊 第一部分：教学内容解析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书选修2-2》（人教A版）第一章《推理与证明》的第3节《反证法》“逻辑推理能力”是高中数学核心素养中非常重要的一个环节，也是人们学习和生活中，经常使用的思维方式。推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用 第二部分：学生学情诊断 学生在初中已经接触过反证法，但是不够系统和详细。也已经在选修2-1《逻辑与推理》环节接触过命题的真假、逆否命题。但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的，所以本节课要引导学生联系已学过的教学实例学习新内容进行教学。 由于所教学生基础较好，但是数学思维相对欠缺，对于反证法证明简单命题问题不大，但由于对数论基础知识不是特别专长、对生活中的逻辑学生对数的了解不多，研究不够，所以例1能顺利解决，但是例2例3，解决起来还是会出现一定困难。 第三部分：教学目标设置 1知识与能力：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。 2过程与方法：通过直观感知—观察—操作确认的认识方法培养学生观察、探究、发现的能力和逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。 3情感、态度、价值观：通过体验数学活动，渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机。 核心素养：逻辑推理能力 第四部分：重点难点分析 重点：1、理解反证法的概念。 2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤。 3、用反证法证明简单的命题。 难点：1、理解反设、归谬、结论过程中，哪些条件是假设，那些条件是结论。 第二十二教时 教材：反证法 目的：要求学生初步学会反证法的步骤，并能用以证明一些命题。 过程： 一、提出问题：初中平几中有一个命题： “过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆”。 二、如何证明： 1，（教师给出如下方法） 证：先假设可以作一个⊙O 过A 、B 、C 三点， 则O 在AB 的中垂线l 上，O 又在B C 的中垂线m 上， 即O 是l 与m 的交点。 但∵A 、B 、C 共线，∴l ∥m (矛盾) ∴过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作图。 2．指出这种证明方法是“反证法”。 定义：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫反 证法。 即：欲证p 则q ，证：p 且非q （反证法） 3，反证法的步骤：1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。 2）从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾。 3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 4，反证法：1）反设（即假设） p 则q （原命题） 反设p 且非q 。 2）可能出现三种情况： ①导出非p 为真——与题设矛盾。 ②导出q 为真——与反设中“非q “矛盾。 ③导出一个恒假命题——与公理、定理矛盾。 三、例一（P 32例3） 用反证法证明：如果a >b >0，那么b a >。 证一（直接证法）()()b a b a b a -+= -， ∵a >b >0,∴a - b >0即()()0>-+b a b a ,∴ 0>-b a ∴b a > 证二（反证法）假设a 不大于b ，则b a b a =<或 ∵a >0,b >0,∴b a a a b a ⋅<⋅⇒<① 或 b b b a ⋅<⋅ ② 由①、②（传递性）知：b b a a ⋅<⋅ 即 a < b （与题设矛盾） 同样，若b a b a =⇒=（与题设矛盾） ∴b a >． 例二、（P 32--33例4）用反证法证明圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。 证明：反设AB 、CD 被P 平分 ∵P 不是圆心，连结O P 则由垂径定理： O P ⊥AB ，O P ⊥CD 则过P 有两条直线与O P 垂直（矛盾） ∴弦AB ，CD 不被P 平分 例三、用反证法证明：2不是有理数。 证：假设2是有理数，则不妨设n m = 2（m ,n 为互质正整数） 从而：2)(2 =n m ，222n m =，可见m 是偶数。 设m =2p （p 是正整数），则 22242p m n ==，可见n 是偶数。 这样，m .,n 就不是互质的正整数（矛盾）。∴n m =2不可能 ∴2不是有理数。 四、小结：反证法定义、步骤、注意点 五、作业：P 33练习 P 34习题1．7 5 及《课课练》P 33例二。 中国书法艺术说课教案 今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。 一、教材分析： 教材：反证法 目的：要求学生初步学会反证法的步骤，并能用以证明一些命题。 过程： 一、提出问题：初中平几中有一个命题： “过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”。 二、如何证明： 1，（教师给出如下方法） 证：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点， 则O在AB的中垂线l上，O又在B C的中垂线m上， 即O是l与m的交点。 但∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾) ∴过在同一直线上的三点A、B、C不能作图。 2．指出这种证明方法是“反证法”。 定义：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫反证法。 即：欲证p则q，证：p且非q（反证法） 3，反证法的步骤：1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。 2）从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾。 3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 4，反证法：1）反设（即假设）p则q（原命题）反设p且非q。 2）可能出现三种情况： ①导出非p为真——与题设矛盾。 ②导出q为真——与反设中“非q“矛盾。 ③导出一个恒假命题——与公理、定理矛盾。 三、例一（P32例3）用反证法证明：如果a>b>0，那么。 证一（直接证法）， ∵a>b>0,∴a b>0即,∴ ∴ 证二（反证法）假设不大于，则 ∵a>0,b>0,∴b a a a b a⋅ < ⋅ ⇒ <①或② 由①、②（传递性）知：即a < b（与题设矛盾） 同样，若（与题设矛盾） ∴． 例二、（P32--33例4）用反证法证明圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。 证明：反设AB、CD被P平分 ∵P不是圆心，连结O P 则由垂径定理： O P AB，O P CD 则过P有两条直线与O P垂直（矛盾） ∴弦AB，CD不被P平分 例三、用反证法证明：不是有理数。 证：假设是有理数，则不妨设（m,n为互质正整数） 从而：，，可见m是偶数。 设m=2p（p是正整数），则，可见n是偶数。 这样，m.,n就不是互质的正整数（矛盾）。∴不可能 ∴不是有理数。 四、小结：反证法定义、步骤、注意点 五、作业：P33练习P34习题1．7 5 及《课课练》P33例二。 A 2.2.2 反证法 一，教法分析 ●三维目标 1．知识与技能 结合实例了解间接证明的一种根本方法——反证法，了解反证法的思考过程与特点．会用反证法证明数学问题． 2．过程与方法 使学生经历“总结归纳反证法的操作步骤〞的过程，培养学生归纳、总结、推理论证的能力．增强学生的数学应用意识和创新意识． 3．情感、态度与价值观 注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以与合作意识．通过让学生体验成功，培养学生学习数学的自信心．通过科学家的故事，培养学生的耐心、恒心、自信心和抗挫折能力．从而开展学生的数学思维能力，提高思维品质． ●重点难点 重点：反证法概念的理解以与反证法的解题步骤． 难点：应用反证法解决问题，在推理过程中发现矛盾． 在教学中要明确反证法证明的三个步骤：(1)做待证命题的否命题；(2)根据所做出的否命题，结合条件或己知的其他的真命题，推导出和条件或的真命题相矛盾的地方；(3)否认所做的否命题，也就是肯定原命题的正确性．让学生亲身体会并总结三个步骤中的关键因素，集体探索解决方法，突出重点、化解难点． 二，方案设计 ●教学建议 建议本节课采取探究式教学法，让学生参与证明问题的否认假设，推理归谬，激发学生积极参与的热情，开发其论证推理能力的潜能，培养良好的思维品质．关于反证法的教学需 要注意以下几点：(1)书写格式与解题步骤：假设——归谬——指出矛盾——得出结论．(2)提出反设的方式方法：引导学生弄清反设词语的含义，掌握常见量词的反设词．(3)归谬方法：在归谬过程中要注意假设条件的利用，通过例题分析总结归谬的方法技巧．(4)反证法的适用X围与对象：反证法一般适用于题目条件中含有量词“至多〞“至少〞“全部〞“都〞或否认性命题．其次是在直接证明受阻的情况下，考虑间接证明． ●教学流程 创设问题情境，通过“道旁苦李〞的故事，引导学生认识反证法，了解其特点、推理方式与应用X畴．让学生自主完成填一填，使学生进一步了解反证法的证明格式、步骤、思维方式、证明思想等．引导学生分析例题1的条件，师生共同探究证明思路，学生自主完成证明过程，教师指导完善，并完成变式训练．学生分组探究例题2解法，总结反证法证明唯一性命题的反设方式与证明的方法，完成例题2变式训练． 完成当堂双基达标，巩固所学知识与应用方法．并进展反应矫正．归纳整理，进展课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3互动探究，教师抽查完成情况，对出现问题与时指导．让学生自主分析例题3，教师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．教师组织解法展示，引导学生总结解题规律． 三、自主导学 课标解读1.了解反证法是间接证明的一种根本方 法．(重点) 2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数 学问题．(难点) 反证法 【问题导思】 著名的“道旁苦李〞的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了 2．2.2反证法 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法． 2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题． 1．反证法 假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件、公理、定义、定理及明显成立的事实矛盾或自相矛盾等. 1．判断下列命题(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)反证法属于间接证明问题的方法．() (2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是演绎推理．() (3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．() 答案：(1)√(2)×(3)√ 2．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用() ①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论． A．①②B．①②④ C．①②③D．②③ 答案：C 3．如果两个实数之和为正数，则这两个数() A．一个是正数，一个是负数 B．两个都是正数 C．至少有一个数是正数 D．两个都是负数 答案：C 4．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”，正确的假设是________．答案：三角形的内角中至少有两个钝角 探究点一用反证法证明“否定性”命题 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数，求证：f(x)＝0无整数根． [证明]假设f(x)＝0有整数根n， 则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)． 因为f(0)，f(1)均为奇数，且f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c， 所以c为奇数，a＋b为偶数． 即a，b，c同时为奇数或a，b为偶数，c为奇数． (1)当n为奇数时，an2＋bn为偶数． (2)当n为偶数时，an2＋bn也是偶数，即an2＋bn＋c为奇数，这与an2＋bn＋c＝0矛盾． 所以假设不成立，所以f(x)＝0无整数根． 设b为整数，求证不存在函数f(x)＝ax2＋bx＋c，使f(－1)为奇数，f(1)为偶数． 证明：假设存在函数f(x)＝ax2＋bx＋c，使f(－1)为奇数，f(1)为偶数，则 f(－1)＝a－b＋c为奇数， f(1)＝a＋b＋c为偶数． 令a－b＋c＝2m－1，① a＋b＋c＝2n，②(m，n∈Z)， 2.2.2 反证法 问题导学 一、用反证法证明否定性命题 活动与探究1 (1)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x －1 (a ＞1)，证明：方程f (x )＝0没有负数根． (2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n ＋3，求证：数列{a n }中任意不同的三项都不可能是等比数列． 迁移与应用 1．证明抛物线没有渐近线． 2．已知a 是整数，a 3＋a 2＋a 是偶数，求证：a 也是偶数． 当要证结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题时，由于此类命题的反面比较具体，因而适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾． 二、用反证法证明至多、至少问题 活动与探究2 (1)已知下列三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至 少有一个方程有实根，某某数a 的取值X 围． (2)若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6 ，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0． 迁移与应用 1．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数． 2．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14 ． 活动与探究3 用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半． 迁移与应用 1．求证：两条相交直线有且只有一个交点． 2．求证：过直线a 外一点P ，有且只有一条直线与这条直线平行． 使用反证法要注意： (1)用反证法证明问题的第一步是“假设”，这一步一定要准确，否则后面的证明毫无意义．高中数学新人教版A版精品教案《2.2.2 反证法》
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