第一部分高等代数第五章二次型第二节标准形课件

高等代数北大版课程教案-第5章二次型

第五章 二次型 §1 二次型的矩阵表示 一 授课内容：§1 二次型的矩阵表示 二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性 替换和矩阵的合同. 三 教学重点：矩阵表示二次型 四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况. 五 教学过程： 定义：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式 n n n x x a x x a x a x x x f 11211221112122),,,( n n x x a x a 2222222 (2) n nn x a (3) 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，简称为二次型. 例如：2 3 322231212 13423x x x x x x x x x 就是有理数域上的一个3元二次型. 定义1 设n x x x ,,,21 ，n y y y ,,,21 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (4) 称为n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式 0 ij c ，那么线性替换(4)就称为非退化的. 二次型的矩阵表示：

令 ji ij a a ，j i 由于 i j j i x x x x ,那么二次型(3)就可以写为 n n n x x a x x a x a x x x f 112112211121),,,( n n x x a x a x x a 2222221221 …+2 2211n nn n n n n x a x x a x x a n i n j j i ij x x a 11 (5) 把(5)的系数排成一个n n 矩阵 nn n n n n a a a a a a a a a A 21 22221 112 11 它称为二次型(5)的矩阵.因为ji ij a a ，n j i ,,2,1, ，所以 A A . 我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的. 令 n x x x X 21,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来， n x x x AX X 2 1 nn n n n n a a a a a a a a a 21 22221 11211 n x x x 21 n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x 221 122221 21121211121 n i n j j i ij x x a 11. 故 AX X x x x f n ),,,(21 .

高等代数北大版教案-第5章二次型

高等代数北大版教案- 第5章二次型 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

４８ 第五章 二次型 §1 二次型的矩阵表示 一 授课内容：§1 二次型的矩阵表示 二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性 替换和矩阵的合同. 三 教学重点：矩阵表示二次型 四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况. 五 教学过程： 定义：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式 ++++=n n n x x a x x a x a x x x f 11211221112122),,,( +++n n x x a x a 2222222 (2) n nn x a + (3) 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，简称为二次型. 例如：2 3 322231212 13423x x x x x x x x x +++++ 就是有理数域上的一个3元二次型. 定义1 设n x x x ,,,21 ，n y y y ,,,21 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 ???????+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (4) 称为n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式 0≠ij c ，那么线性替换(4)就称为非退化的. 二次型的矩阵表示：

４９ 令 ji ij a a = ，j i < 由于 i j j i x x x x =,那么二次型(3)就可以写为 ++++=n n n x x a x x a x a x x x f 112112211121),,,( ++++n n x x a x a x x a 2222221221 …+2 2211n nn n n n n x a x x a x x a +++ ∑∑===n i n j j i ij x x a 11 (5) 把(5)的系数排成一个n n ?矩阵 ?? ? ? ? ?? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221 112 11 它称为二次型(5)的矩阵.因为ji ij a a =，n j i ,,2,1, =，所以 A A ='. 我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的. 令???? ?? ? ??=n x x x X 21,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来， ()n x x x AX X 2 1 ='??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 22221 11211??? ? ? ? ? ??n x x x 21 ()? ??? ??? ??+++++++++=n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x 221 122221 2112121112 1 ∑∑===n i n j j i ij x x a 11.

线性代数二次型习题及答案

第六章 二次型 1．设方阵1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，证明1 2A ?? ?? ?A 与12?? ?? ? B B 合同. 证：因为1A 与1B 合同，所以存在可逆矩1C ，使T 1111=B C A C ， 因为2A 与2B 合同，所以存在可逆矩2C ，使T 2222=B C A C . 令 1 2?? = ??? C C C ，则C 可逆，于是有 T T 1111111 T 2222222??????????== ? ? ? ?????????????B C A C C AC B C A C C A C 1T 2?? = ??? A C C A 即 12A ?? ?? ?A 与12?? ???B B 合同. 2．设A 对称，B 与A 合同，则B 对称 证：由A 对称，故T =A A . 因B 与A 合同，所以存在可逆矩阵C ，使T =B C AC ，于是 T T T T T T ()====B C AC C A C C AC B 即B 为对称矩阵. 3．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n 阶实对称矩阵，证明：存在n 阶可逆矩阵P ，使BP P AP P T T 与均为对角阵. 证：因为A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M ，使 E AM M =T 记T 1=B M BM ，则显然1B 是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q ，使 T 11diag(, ,)n D μμ==Q B Q T 11, ,. n μμ=B M BM 其中为的特征值 令P=MQ ，则有 D BP P E AP P ==T T , ,A B 同时合同对角阵. 4．设二次型2111 ()m i in n i f a x a x ==+ +∑，令()ij m n a ?=A ，则二次型f 的 秩等于()r A . 证：方法一 将二次型f 写成如下形式：

高等代数经典课件

§1 数域 关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的. 定义1 设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数，那么P 就称为一个数域. 显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q 、R 、C 来代表.全体整数组成的集合就不是数域. 如果数的集合P 中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P 中，就说数集P 对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含0，1在内的数集P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么P 就称为一个数域. 例1 所有具有形式 2b a + 的数（其中b a ,是任何有理数），构成一个数域.通常用)2(Q 来表示这个数域. 例2 所有可以表成形式 m m n n b b b a a a π πππ++++++ 1010 的数组成一数域，其中m n ,为任意非负整数，),,1,0;,,1,0(,m j n i b a j i ==是整数. 例 3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的. 性质：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.

一、一元多项式 定义2 设n 是一非负整数，形式表达式 111a x a x a x a n n n n ++++-- , (1) 其中n a a a ,,,10 全属于数域P ，称为系数在数域P 中的一元多项式，或者简称为数域P 上的一元多项式. 在多项式（1）中，i i x a 称为i 次项，i a 称为i 次项的系数.以后用 ),(),(x g x f 或 ,,g f 等来表示多项式. 注意：这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式. 定义3 如果在多项式)(x f 与)(x g 中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么)(x f 与)(x g 就称为相等，记为)()(x g x f =. 系数全为零的多项式称为零多项式，记为0. 在（1）中，如果0≠n a ，那么n n x a 称为多项式（1）的首项，n a 称为首项系数，n 称为多项式（1）的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式)(x f 的次数记为))((x f ?. 二、多项式的运算 设 0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 0111)(b x b x b x b x g m m m m ++++=-- 是数域P 上两个多项式，那么可以写成 ∑==n i i i x a x f 0)( ∑==m j j j x b x g 0 )( 在表示多项式)(x f 与)(x g 的和时，如m n ≥，为了方便起见，在)(x g 中令 011====+-m n n b b b ，那么)(x f 与)(x g 的和为

高等代数二次型

第五讲二次型 一、二次型的概念及标准形 1、 二次型的概念及几种表述 数域F 上的n 元二次齐次函数称为数域F 上的n 元二次型。有以下几种表述方式： （1）1211 (,,,)n n n ij i j i j f x x x a x x ===∑∑； （2）22 2 12111222(,,,)2n nn n ij i j i j f x x x a x a x a x a x x <=++ ++∑； （3）12(,, ,)T n f x x x X AX =，其中12(,,,)T n X x x x =，()ij n n A a ?=，且T A A =，并 称A 为二次型的矩阵。 2、矩阵合同 （1） 设,,n n A B F ?∈若存在可逆矩阵n n T F ?∈，使T B T AT =，则称A B 与是合同的。 （2） 合同是矩阵间的一种等价关系。 （3） 二次型经过非退化的线性替换仍变为二次型，且新老二次型的矩阵是合同的。 3、 标准形 （1） 二次型22 2 121122(,, ,)n n n f x x x d x d x d x =++ +称为标准形。 （2） 任何二次型都可以通过非退化线性替换化成标准形。 （3） 任何对称矩阵都合同于一个对角阵。 4、 复数域上二次型的规范形 （1） 复二次型22 2 121122(,, ,)n n n f x x x d x d x d x =++ +，其中1i d =或0，称为复 数域上的规范形。 （2） 任何复二次型12(,, ,)T n f x x x X AX =都可以通过非退化线性替换化成规范 形22 21212(,, ,)n r f x x x y y y =++ +，其中r A =秩，且规范形是唯一的。 （3） 任何复对称矩阵A 都合同于对角阵000r E ?? ??? ，其中r A =秩。 （4） 两个复对称矩阵合同的充要条件是秩相等。 5、 实数域上二次型的规范形 （1） 实二次型22 2 121122(,, ,)n n n f x x x d x d x d x =++ +，其中1,1i d =-或0，称为 实数域上的规范形。 （2） 任何实二次型12(,, ,)T n f x x x X AX =都可以通过非退化线性替换化成规范 形22 22 212121(,, ,)n p p r f x x x y y y y y +=+++-- -， 其中r A =秩，p 是正惯性指数，且规范形是唯一的。 （3） 惯性定理 任何实二次型经过非退化线性替换化成的标准形中，正平方项的个数

线性代数第五章答案

第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ??==11111a b , ??? ? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ?? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ? ??-==110111a b , ? ???? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ? ??? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .

2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T , (AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,

高等代数北大版教案-第5章二次型教学内容

高等代数北大版教案-第5章二次型

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢４８ 第五章 二次型 §1 二次型的矩阵表示 一 授课内容：§1 二次型的矩阵表示 二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性 替换和矩阵的合同. 三 教学重点：矩阵表示二次型 四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况. 五 教学过程： 定义：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式 ++++=n n n x x a x x a x a x x x f 11211221112122),,,( +++n n x x a x a 2222222 (2) n nn x a + (3) 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，简称为二次型. 例如：2 3 322231212 13423x x x x x x x x x +++++ 就是有理数域上的一个3元二次型. 定义1 设n x x x ,,,21 ，n y y y ,,,21 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 ???????+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (4)

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢４９ 称为n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式 0≠ij c ，那么线性替换(4)就称为非退化的. 二次型的矩阵表示： 令 ji ij a a = ，j i < 由于 i j j i x x x x =,那么二次型(3)就可以写为 ++++=n n n x x a x x a x a x x x f 112112211121),,,( ++++n n x x a x a x x a 2222221221 …+2 2211n nn n n n n x a x x a x x a +++ ∑∑===n i n j j i ij x x a 11 (5) 把(5)的系数排成一个n n ?矩阵 ?? ? ? ? ?? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221 112 11 它称为二次型(5)的矩阵.因为ji ij a a =，n j i ,,2,1, =，所以 A A ='. 我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的. 令???? ?? ? ??=n x x x X 21,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来， ()n x x x AX X 2 1 ='??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 22221 11211??? ? ? ? ? ??n x x x 21

高等代数3章习题

第三章 线性方程组 自我检测题 一．判断题 1.含零向量的向量组线性相关. 2.若一向量组的一个部分组线性相关,则它也线性相关. 3.线性无关向量组的任何一个部分组均线性无关. 4. 任一向量组都有极大线性无关向量组. 5. 一向量组的极大线性无关组是唯一的. 6.方程个数小于未知数个数的齐次线性方程组必有非零解. 7. 向量组线性相关的充要条件是该向量组的秩小于它所含向量的个数. 8.若向量组123,,ααα线性相关,则3α可由12,αα线性表出. 9. 若向量12,αα线性相关, 12,ββ线性相关, 1122,αβαβ++线性相关. 10. 若向量组123,,ααα线性无关,则12αα+,23αα+,31αα+也线性无关. 11. 如果向量组12,,,n ααα 线性相关，则12αα+，23αα+，...…， 1n n αα-+，1n αα+线性相关。 12.若向量12,αα线性无关, 3α不能由12,αα线性表出，则向量组123,,ααα线性无关. 13.若n 阶矩阵A 的秩r

线性代数习题[第五章]相似矩阵及二次型

线性代数练习纸 [ 第五章 ] 相似矩阵及二次型 5-1 向量的内积与方阵的特征值 A 1．设 为矩阵 A 的特征值，且 0 ，则 为 的特征值。 a. 1 A; b.A * ; c. A; d.A 1 ; 2．设 A 为 n 阶实对称阵， x 1, x 2 为 A 的不同特征值对应的特征向量，则 。 a. x 1T x 2 1 b. x 1 与 x 2 线性相关； c. x 1 与 x 2 线性无关； d. x 1 x 2 0 3．设 1 , 2 都为 n 阶矩阵 A 的特征值 ( 1 2 ) ，且 x 1 , x 2 分别为对应于 1 , 2 的特征向量， 则当 满足时， x k x k x 2 必为 A 的特征向量。 1 1 2 a. k 1 0 且 k 2 0 ； b. k 1 0 且 k 2 0 ； c. k 1 0 且 k 2 0 ； d. k 1 k 2 0 4．设 n 阶方阵 A 的特征值全不为零，则 。 a. r ( A) n; b. r ( A) n; c.r ( A) n; d.r ( A) n 2 1 1 5. 设矩阵 A 0 2 0 , 求 A 的特征值及特征向量 . 4 1 3

班级：姓名：序号： 111 6．试用施密特法把向量组( a1, a2 011 , a3 ) 正交化。 11 110 7．设A与B都为n阶正交阵，证明：AB 也是正交阵。 8．证明：正交阵的行列式必定等于 1 或— 1。 9．设x为n维列向量且x T x 1 ，而 H E 2 xx T，试证 H 是对称的正交矩阵。

线性代数习题 [第五章] 相似矩阵及二次型

5-1向量的内积与方阵的特征值 1．设λ为矩阵A 的特征值，且0≠λ，则 λ A 为 的特征值。 ;.;.;.;.1*1--A d A c A b A a λλ 2．设A 为n 阶实对称阵，21,x x 为A 的不同特征值对应的特征向量，则 。 1.21=x x a T 1.x b 与2x 线性相关； 1.x c 与2x 线性无关； 0.21=+x x d 3．设21,λλ都为n 阶矩阵A 的特征值)(21λλ≠，且21,x x 分别为对应于21,λλ的特征向量，则当 满足时，2211x k x k x +=必为A 的特征向量。 0.1=k a 且02=k ； 0.1=k b 且02≠k ； 0.1≠k c 且02≠k ； 0.21=?k k d 4．设n 阶方阵A 的特征值全不为零，则 。 n A r d n A r c n A r b n A r a <≤≠=)(.;)(.;)(.;)(. 5.设矩阵??? ? ? ??--=314020 112A ,求A 的特征值及特征向量.

6．试用施密特法把向量组?? ??? ???? ???---=011 101110 11 1),,(321a a a 正交化。 7．设A 与B 都为n 阶正交阵，证明：AB 也是正交阵。 8．证明：正交阵的行列式必定等于1或—1。 9．设x 为n 维列向量且1=x x T ，而T xx E H 2-=，试证H 是对称的正交矩阵。

习题5-2 相似矩阵与对称矩阵的对角化 1．设A 与B 为n 阶方阵，则B A =是A 与B 相似的 。 .a 充分条件； .b 必要条件； .c 充要条件； .d 无关条件 2.对实对称阵?? ? ???-=???? ??=1001,1001B A ，有A 与B 。 .a 互为逆矩阵； .b 相似； .c 等价； .d 正交 3. n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件是 。 a. 矩阵A 有n 个特征值； b. 矩阵A 有n 个线性无关的特征向量； c. 矩阵A 的行列式0≠A ； d. 矩阵A 的特征多项式有重根 4. 设n 阶矩阵A 与B 相似，则 。 a.A 与B 正交； b. A 与B 有相同的特征向量； c. A 与B 等价； d. A 与B 相同的特征值。 5.若A 与B 是相似矩阵，证明T A 与T B 也相似。 6.设方阵??????????------=12 4 22421x A 与?? ?? ? ???? ?-=Λ45 y 相似，求x 与y 。

线性代数 第五章

第五章 特征值与二次型 §1 向量的内积 在空间几何中，内积描述了向量的度量性质，如长度、夹角等。由内积的定义:cos ?=x y y x θ，可得 cos()= y ,?= +x y x x y x 且在直角坐标系中123123112233()()=x ,x ,x y ,y ,y x y x y x y .?++ 将上述三维向量的内积概念自然地推广到n 维向量上，就有如下定义。 定义1 设有n 维向量 12n x x x ??????=??????x ，12n y y y ??????=?????? y ， 称[]1122n n x y x y x y ,=++ +x y 为x 与y 的内积. 内积是向量的一种运算，用矩阵形式可表为[],'=x y x y 。 例1 计算[],x y ,其中x,y 如下： （1） x ＝（０，１，５,－２），y ＝（－２，０，－１，３）; （2) x ＝(－２，１，０，３），y ＝(３,－６，８，４)。 解 （1） [x,y ］＝０·（－２）＋１·０＋５·（－１）＋（－２）·３＝－１１； （2) ［x ，y ]＝（－２)·３＋１·(－６）＋０·８＋３·４＝０。 若ｘ、ｙ、ｚ为n 维实向量，λ为实数，则下列性质从内积的定义可立刻推得。 (i ） [x,y ]＝［y,x ]， (ii ）［λx,y ]＝λ［x ，y ], （iii)［x+y ，z ］＝［x,z ］＋［y ，z ］. 同三维向量空间一样，可用内积定义n 维向量的长度和夹角. 定义2 称 = =x x 的长度（或范数)，当‖x ‖＝1 时称x 为单位向量. 从向量长度的定义可立刻推得以下基本性质： （ｉ）非负性: 当x ≠0时，‖x ‖＞０，当x ＝０时‖x ‖＝０。

线性代数习题 第五章 相似矩阵及二次型

5-1向量的内积与方阵的特征值 1.设λ为矩阵A 的特征值,且0≠λ,则λA 为 的特征值。 ;.;.;.;.1*1--A d A c A b A a λλ 2.设A 为n 阶实对称阵,21,x x 为A 的不同特征值对应的特征向量,则 。 1.21=x x a T 1.x b 与2x 线性相关; 1.x c 与2x 线性无关; 0.21=+x x d 3.设21,λλ都为n 阶矩阵A 的特征值)(21λλ≠,且21,x x 分别为对应于21,λλ的特征向量,则当 满足时,2211x k x k x +=必为A 的特征向量。 0.1=k a 且02=k ; 0.1=k b 且02≠k ; 0.1≠k c 且02≠k ; 0.21=?k k d 4.设n 阶方阵A 的特征值全不为零,则 。 n A r d n A r c n A r b n A r a <≤≠=)(.;)(.;)(.;)(. 5、设矩阵???? ? ??--=314020 112A ,求A 的特征值及特征向量、

6.试用施密特法把向量组????? ???????---=011101110111),,(321a a a 正交化。 7.设A 与B 都为n 阶正交阵,证明:AB 也就是正交阵。 8.证明:正交阵的行列式必定等于1或—1。 9.设x 为n 维列向量且1=x x T ,而T xx E H 2-=,试证H 就是对称的正交矩阵。

习题5-2 相似矩阵与对称矩阵的对角化 1.设A 与B 为n 阶方阵,则B A =就是A 与B 相似的 。 .a 充分条件; .b 必要条件; .c 充要条件; .d 无关条件 2、对实对称阵?? ????-=??????=1001,1001B A ,有A 与B 。 .a 互为逆矩阵; .b 相似; .c 等价; .d 正交 3、 n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件就是 。 a 、 矩阵A 有n 个特征值; b 、 矩阵A 有n 个线性无关的特征向量; c 、 矩阵A 的行列式0≠A ; d 、 矩阵A 的特征多项式有重根 4、 设n 阶矩阵A 与B 相似,则 。 a 、A 与B 正交; b 、 A 与B 有相同的特征向量; c 、 A 与B 等价; d 、 A 与B 相同的特征值。 5、若A 与B 就是相似矩阵,证明T A 与T B 也相似。 6、设方阵??????????------=12422421x A 与????????? ?-=Λ45y 相似,求x 与y 。 7、设三阶方阵A 的特征值1,—2,2,且2 35A A B -=,求B 的特征值与B 。 8、设矩阵?? ????--=3113A ,①求A 的特征值,②求E+1-A 的特征值。

高等代数(北大版)第3章习题参考答案

第三章 线性方程组 1． 用消元法解下列线性方程组： 1234123451234512345 1 23453541 3221 1)23 4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=??++-+=-??-+--=??-++-=??++-+=-? 124512345 123451234523213322)234527 99616225x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??--+-=??-+-+=??-+-+=? 12342341242342344 3 3)31733x x x x x x x x x x x x x -+-=??-+=-?? +++=??-++=-? 12341234 1 234123434570233204)411131607230 x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??-+-=??+-+=??-++=-? 12341234 123 4123421322325)521234x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??-+-=?? +-+=-??-+-=? 1234123412341234 123231 321 6)23122215522 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=??++-=??+++=??++-=??++=? 解 1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有 13 540113 540 1132 21100321212111305 431214111307451212 1 11101 4 8 12--????????----? ?? ?????→------? ?? ?-----????????-----???? 1021 011001 0100321 200021200200000200000000000000001110 00100 00--????????---? ?? ?????→→--? ?? ?????????---????