广度优先搜索（BFS）算法
宽度优先搜索算法（又称广度优先搜索）是最简便的图的搜索算法之一，这一算法也是很多重要的图的算法的原型。Dijkstra单源最短路径算法和Prim最小生成树算法都采用了和宽度优先搜索类似的思想。
已知图G=(V,E)和一个源顶点s，宽度优先搜索以一种系统的方式探寻G的边，从而“发现”s所能到达的所有顶点，并计算s到所有这些顶点的距离(最少边数)，该算法同时能生成一棵根为s且包括所有可达顶点的宽度优先树。对从s可达的任意顶点v，宽度优先树中从s到v的路径对应于图G中从s到v的最短路径，即包含最小边数的路径。该算法对有向图和无向图同样适用。
之所以称之为宽度优先算法，是因为算法自始至终一直通过已找到和未找到顶点之间的边界向外扩展，就是说，算法首先搜索和s距离为k的所有顶点，然后再去搜索和S距离为k+l的其他顶点。
为了保持搜索的轨迹，宽度优先搜索为每个顶点着色：白色、灰色或黑色。算法开始前所有顶点都是白色，随着搜索的进行，各顶点会逐渐变成灰色，然后成为黑色。在搜索中第一次碰到一顶点时，我们说该顶点被发现，此时该顶点变为非白色顶点。因此，灰色和黑色顶点都已被发现，但是，宽度优先搜索算法对它们加以区分以保证搜索以宽度优先的方式执行。若(u,v)∈E且顶点u为黑色，那么顶点v要么是灰色，要么是黑色，就是说，所有和黑色顶点邻接的顶点都已被发现。灰色顶点可以与一些白色顶点相邻接，它们代表着已找到和未找到顶点之间的边界。
在宽度优先搜索过程中建立了一棵宽度优先树，起始时只包含根节点，即源顶点s.在扫描已发现顶点u的邻接表的过程中每发现一个白色顶点v，该顶点v及边(u,v)就被添加到树中。在宽度优先树中，我们称结点u是结点v的先辈或父母结点。因为一个结点至多只能被发现一次，因此它最多只能有--个父母结点。相对根结点来说祖先和后裔关系的定义和通常一样：如果u处于树中从根s到结点v 的路径中，那么u称为v的祖先，v是u的后裔。
下面的宽度优先搜索过程BFS假定输入图G=(V,E)采用邻接表表示，对于图中的每个顶点还采用了几种附加的数据结构，对每个顶点u∈V，其色彩存储于变量color[u]中，结点u的父母存于变量π[u]中。如果u没有父母(例如u=s或u 还没有被检索到)，则π[u]=NIL，由算法算出的源点s和顶点u之间的距离存于变量d[u]中，算法中使用了一个先进先出队列Q来存放灰色节点集合。其中
head[Q]表示队列Q的队头元素，Enqueue(Q,v)表示将元素v入队，Dequeue(Q)表示对头元素出队；Adj[u]表示图中和u相邻的节点集合。
procedure BFS(G,S);
begin
1. for 每个节点u∈V[G]-{s} do
begin
2. color[u]←White;
3. d[u]←∞;
4. π[u]←NIL;
end;
5. color[s]←Gray;
6. d[s]←0;
7. π[s]←NIL;
8. Q←{s}
9. while Q≠φ do
begin
10. u←head[Q];
11. for 每个节点v∈Adj[u] do
12. if color[v]=White then
begin
13. color[v]←Gray;
14. d[v]←d[v]+1;
15. π[v]←u;
16. Enqueue(Q,v);
end;
17. Dequeue(Q);
18. color[u]←Black;
end;
end;
图1展示了用BFS在例图上的搜索过程。黑色边是由BFS产生的树枝。每个节点u内的值为d[u]，图中所示的队列Q是第9-18行while循环中每次迭代起始时的队列。队列中每个结点下面是该结点与源结点的距离。
图1 BFS在一个无向图上的执行过程
过程BFS按如下方式执行，第1-4行置每个结点为白色，置d[u]为无穷大，每个结点的父母置为NIL，第5行置源结点S为灰色，即意味着过程开始时源结点已被发现。第6行初始化d[s]为0，第7行置源结点的父母结点为NIL，第8行初始化队列0，使其仅含源结点s，以后Q队列中仅包含灰色结点的集合。
程序的主循环在9-18行中，只要队列Q中还有灰色结点，即那些已被发现但还没有完全搜索其邻接表的结点，循环将一直进行下去。第10行确定队列头的灰色结点为u。第11-16行的循环考察u的邻接表中的每一个顶点v。如果v是白色结点，那么该结点还没有被发现过，算法通过执行第13-16行发现该结点。首先它被置为灰色，距离d[v]置为d[u]+1，而后u被记为该节点的父母，最后它被放在队列Q的队尾。当结点u的邻接表中的所有结点都被检索后，第17-18行使u弹出队列并置成黑色。
分析
在证明宽度优先搜索的各种性质之前，我们先做一些相对简单的工作——分析算法在图G=(V,E)之上的运行时间。在初始化后，再没有任何结点又被置为白色。因此第12行的测试保证每个结点至多只能迸人队列一次，因而至多只能弹出队列一次。入队和出队操作需要O(1)的时间，因此队列操作所占用的全部时间为O(V)，因为只有当每个顶点将被弹出队列时才会查找其邻接表，因此每个顶点的邻接表至多被扫描一次。因为所有邻接表的长度和为Q(E)，所以扫描所有邻接表所花费时间至多为O(E)。初始化操作的开销为O(V)，因此过程BFS的全部运行时间为O(V+E)，由此可见，宽度优先搜索的运行时间是图的邻接表大小的一个线性函数。
最短路径
在本部分的开始，我们讲过，对于一个图G=(V,E)，宽度优先搜索算法可以得到从已知源结点s∈V到每个可达结点的距离，我们定义最短路径长度δ(s,v)为从顶点s到顶点v的路径中具有最少边数的路径所包含的边数，若从s到v没有通路则为∞。具有这一距离δ(s,v)的路径即为从s到v的最短路径（后文我们将把最短路径推广到赋权图，其中每边都有一个实型的权值，一条路径的权是组成该路径所有边的权值之和，目前讨论的图都不是赋权图）。在证明宽度优先搜索计算出的就是最短路径长度之前，我们先看一下最短路径长度的一个重要性质。
引理1
设G=(V,E)是一个有向图或无向图，s∈V为G的任意一个结点，则对任意边(u,v)∈E,
δ(s,v)≤δ(s,u)+1
证明:
如果从顶点s可达顶点u，则从s也可达v。在这种情况下从s到v的最短路径不可能比从s到u的最短路径加上边(u,v)更长，因此不等式成立；如果从s
不可达顶点u，则δ(s,v)=∞，不等式仍然成立。
我们试图说明对每个顶点v∈V，BFS过程算出的d[v]=δ(s,v)，下面我们首先证明d[v]是δ(s,v)的上界。
引理2
设G=(V,E)是一个有向或无向图，并假设算法BFS从G中一已知源结点s∈V 开始执行，在执行终止时，对每个顶点v∈V，变量d[v]的值满足：d[v]≥δ(s,v)。
证明:
我们对一个顶点进入队列Q的次数进行归纳，我们归纳前假设在所有顶点v∈V，d[v]≥δ(s,v)成立。
归纳的基础是BFS过程第8行当结点s被放入队列Q后的情形，这时归纳假设成立，因为对于任意结点v∈V-{s},d[s]=0=δ(s,s)且d[v]=∞≥δ(s,v)。
然后进行归纳，考虑从顶点u开始的搜索中发现一白色顶点v，按归纳假设，
d[u]≥δ(s,u)。从过程第14行的赋值语句以及引理1可知
d[v]=d[u]+1≥δ(s,u)+1≥δ(s,v)
然后，结点v被插入队列Q中。它不会再次被插入队列，因为它已被置为灰色，而第13-16行的then子句只对白色结点进行操作，这样d[v]的值就不会改变，所以归纳假设成立。
为了证明d[v]=δ(s,v)，首先我们必须更精确地展示在BFS执行过程中是如何对队列进行操作的，下面一个引理说明无论何时，队列中的结点至多有两个不同的d值。
引理3
假设过程BFS在图G=(V,E)之上的执行过程中，队列Q包含如下结点
证明:
证明过程是对队列操作的次数进行归纳。初始时，队列仅包含顶点s，引理自然正确。
下面进行归纳，我们必须证明在压入和弹出一个顶点后引理仍然成立。如果队列的头v1被弹出队列，新的队头为v2(如果此时队列为空，引理无疑成立)，所以有d[v r]≤d[v1]+1≤d[v2]+1，余下的不等式依然成立，因此v2为队头时引理成立。要插入一个结点入队列需仔细分析过程BFS，在BFS的第16行，当顶点v加入队列成为v r+1时，队列头v1实际上就是正在扫描其邻接表的顶点u，因此有
d[v r+1]=d[v]=d[u]+1=d[v1]+1，这时同样有d[v r]≤d[v1]+1=d[u]+1=d[v]=d[v r+1]，余下的不等式d[v r]≤d[v r+1]仍然成立，因此当结点v插入队列时引理同样正确。
现在我们可以证明宽度优先搜索算法能够正确地计算出最短路径长度。
定理1 宽度优先搜索的正确性
设G=(V,E)是一个有向图或无向图，并假设过程BFS从G上某顶点s∈V开始执行，则在执行过程中，BFS可以发现源结点s可达的每一个结点v∈V，在运行终止时，对任意v∈V,d[v]=δ(s,v)。此外，对任意从s可达的节点v≠s，从s
到v的最短路径之一是从s到π[v]的最短路径再加上边(π[v],v)。
证明:
我们先证明结点v是从s不可达的情形。由引理2，d[v]≥δ(s,v)=∞，根据过程第14行，顶点v不可能有一个有限的d[v]值，由归纳可知，不可能有满足下列条件的第一个顶点存在：该顶点的d值被过程的第14行语句置为∞，因此仅对有
有限d值的顶点，第14行语句才会被执行。所以若v是不可达的话，它将不会在搜索中被发现。
证明主要是对由s可达的顶点来说的。设V k表示和s距离为k的顶点集合，即V k={v∈V:δ(s,v)=k}。证明过程为对k进行归纳。作为归纳假设，我们假定对于每一个顶点v∈V k，在BFS的执行中只有某一特定时刻满足：
?结点v为灰色；
?d[v]被置为k；
?如果v≠s，则对于某个u∈V k-1，π[v]被置为u；
?v被插入队列Q中；
正如我们先前所述，至多只有一个特定时刻满足上述条件。
归纳的初始情形为k=0，此时V0={s}，因为显然源结点s是唯一和s距离为0的结点，在初始化过程中，s被置为灰色，d[s]被置为0，且s被放人队列Q中，所以归纳假设成立。
下面进行归纳，我们须注意除非到算法终止，队列Q不为空，而且一旦某结点u 被插入队列，d[u]和π[u]都不再改变。根据引理3可知如果在算法过程中结点按次序v1,v2,...,v r被插入队列，那么相应的距离序列是单调递增的：d[v i]≤d[v i+1]，i=1,2,...,r-1。
现在我们考虑任意结点v∈V k，k≥1。根据单调性和d[v]≥k(由引理2)和归纳假设，可知如果v能够被发现，则必在V k-1中的所有结点进入队列之后。
由δ(s,v)=k，可知从s到v有一条具有k边的通路，因此必存在某结点u∈V k-1，且(u,v)∈E。不失一般性，设u是满足条件的第一个灰色节点(根据归纳可知集合V k-1中的所有结点都被置为灰色)，BFS把每一个灰色结点放入队列中，这样由第10行可知结点u最终必然会作为队头出现。当已成为队头时，它的邻接表将被扫描就会发现结点v（结点v不可能在此之前被发现，因为它不与V j(j V k-1中被发现的第一个结点)。第13行置v为灰色，第14行置d[v]=d[u]+l=k，第15行置π[v]为u，第16行把v插入队列中。由于v是V k中的任意结点，因此证明归纳假设成立。 在结束定理的证明前，我们注意到如果v∈V k，则据我们所知可得π[v]∈V k-1，这样我们就得到了一条从s到v的最短路径：即为从s到π[v]的最短路径再通过边(π[v],v)。 宽度优先树 过程BFS在搜索图的同时建立了一棵宽度优先树，如图1所示，这棵树是由每个结点的π域所表示。我们正式定义先辈子图如下，对于图G=(V,E)，源顶点为s，其先辈子图Gπ=(Vπ,Eπ)满足： Vπ={v∈V:π[v]≠NIL}∪{s} 且 Eπ={(π[v],v)∈E:v∈Vπ-{s}} 如果Vπ由从s可达的顶点构成，那么先辈子图Gπ是一棵宽度优先树，并且对于所有v∈Vπ，Gπ中唯一的由s到v的简单路径也同样是G中从s到v的一条最短路径。由于它互相连通，且|Eπ|=|Vπ|-1(由树的性质)，所以宽度优先树事实上就是一棵树，Eπ中的边称为树枝。 当BFS从图G的源结点s开始执行后，下面的引理说明先辈子图是一棵宽度优先树。 引理4 当过程BFS应用于某一有向或无向图G=(V,E)时，该过程同时建立的π域满足条件：其先辈子图Gπ=(Vπ,Eπ)是一棵宽度优先树。 证明： 过程BFS的第15行语句对(u,v)∈E且δ(s,v)<∞(即v从s可达)置π[v]=u，因此Vπ是由V中从v可达的顶点所组成，由于Gπ形成一棵树，所以它包含从s到Vπ中每一结点的唯一路径，由定理1进行归纳，我们可知其每条路径都是一条最短路径。(证毕) 下面的过程将打印出从S到v的最短路径上的所有结点，假定已经运行完BFS 并得出了最短路径树。 procedure Print_Path(G,s,v); begin 1. if v=s 2. then write(s) 3. else if π[v]=nil 4. then writeln('no path from ',s,' to ',v, 'exists.') else begin 5. Print_Path(G,s,π[v]); 6. write(v); end; end; 因为每次递归调用的路径都比前一次调用少一个顶点，所以该过程的运行时间是关于打印路径上顶点数的一个线性函数。 深度优先与广度优先 （一）深度优先搜索的特点是：（1）从上面几个实例看出，可以用深度优先搜索的方法处理的题目是各种各样的。有的搜索深度是已知和固定的，如例题2-4，2-5，2-6；有的是未知的，如例题2- 7、例题2-8；有的搜索深度是有限制的，但达到目标的深度是不定的。但也看到，无论问题的内容和性质以及求解要求如何不同，它们的程序结构都是相同的，即都是深度优先算法（一）和深度优先算法 （二）中描述的算法结构，不相同的仅仅是存储结点数据结构和产生规则以及输出要求。（2）深度优先搜索法有递归以及非递归两种设计方法。一般的，当搜索深度较小、问题递归方式比较明显时，用递归方法设计好，它可以使得程序结构更简捷易懂。当搜索深度较大时，如例题2- 5、2-6。当数据量较大时，由于系统堆栈容量的限制，递归容易产生溢出，用非递归方法设计比较好。（3）深度优先搜索方法有广义和狭义两种理解。广义的理解是，只要最新产生的结点（即深度最大的结点）先进行扩展的方法，就称为深度优先搜索方法。在这种理解情况下，深度优先搜索算法有全部保留和不全部保留产生的结点的两种情况。而狭义的理解是，仅仅只保留全部产生结点的算法。本书取前一种广义的理解。不保留全部结点 的算法属于一般的回溯算法范畴。保留全部结点的算法，实际上是在数据库中产生一个结点之间的搜索树，因此也属于图搜索算法的范畴。（4）不保留全部结点的深度优先搜索法，由于把扩展望的结点从数据库中弹出删除，这样，一般在数据库中存储的结点数就是深度值，因此它占用的空间较少，所以，当搜索树的结点较多，用其他方法易产生内存溢出时，深度优先搜索不失为一种有效的算法。（5）从输出结果可看出，深度优先搜索找到的第一个解并不一定是最优解。例如例题2-8得最优解为13，但第一个解却是17。如果要求出最优解的话，一种方法将是后面要介绍的动态规划法，另一种方法是修改原算法：把原输出过程的地方改为记录过程，即记录达到当前目标的路径和相应的路程值，并与前面已记录的值进行比较，保留其中最优的，等全部搜索完成后，才把保留的最优解输出。 二、广度优先搜索法的显著特点是：（1）在产生新的子结点时，深度越小的结点越先得到扩展，即先产生它的子结点。为使算法便于实现，存放结点的数据库一般用队列的结构。（2）无论问题性质如何不同，利用广度优先搜索法解题的基本算法是相同的，但数据库中每一结点内容，产生式规则，根据不同的问题，有不同的内容和结构，就是同一问题也可以有不同的表示方法。（3）当结点到跟结点的费用（有的书称为耗散值）和结点的深度成正比时，特别是当每一结点到根结点的费用等于深度时，用广度优先法得到的解是最优解，但如果不成正比，则得到的解不一 一、实验目的 1．掌握图的各种存储结构，特别要熟练掌握邻接矩阵和邻接表存储结构； 2．遍历是图各种应用的算法的基础，要熟练掌握图的深度优先遍历和宽度优先遍历算法，复习栈和队列的应用； 3．掌握图的各种应用的算法：图的连通性、连通分量和最小生成树、拓扑排序、关键路径。 二、实验内容 实验内容1**图的遍历 [问题描述] 许多涉及图上操作的算法都是以图的遍历为基础的。写一个程序，演示在连通无向图上遍历全部顶点。 [基本要求] 建立图的邻接表的存储结构，实现无向图的深度优先遍历和广度优先遍历。以用户指定的顶点为起点，分别输出每种遍历下的顶点访问序列。 [实现提示] 设图的顶点不超过30个，每个顶点用一个编号表示（如果一个图有N个顶点，则它们的编号分别为1，2，…，N）。通过输入图的全部边输入一个图，每条边是两个顶点编号对，可以对边依附顶点编号的输入顺序作出限制（例如从小到大）。 [编程思路] 首先图的创建，采用邻接表建立，逆向插入到单链表中，特别注意无向是对称插入结点，且要把输入的字符在顶点数组中定位（LocateVex(Graph G,char *name)，以便后来的遍历操作，深度遍历算法采用递归调用，其中最主要的是NextAdjVex(Graph G, int v, int w)；FirstAdjVex （）函数的书写，依次递归下去，广度遍历用队列的辅助。 [程序代码] 头文件： #include 深度优先搜索和广度优先搜索的比较 （一）深度优先搜索的特点是： （1）从上面几个实例看出，可以用深度优先搜索的方法处理的题目是各种各样的。有的搜索深度是已知和固定的，如例题2-4，2-5，2-6；有的是未知的，如例题2-7、例题2-8；有的搜索深度是有限制的，但达到目标的深度是不定的。 但也看到，无论问题的内容和性质以及求解要求如何不同，它们的程序结构都是相同的，即都是深度优先算法（一）和深度优先算法（二）中描述的算法结构，不相同的仅仅是存储结点数据结构和产生规则以及输出要求。 （2）深度优先搜索法有递归以及非递归两种设计方法。一般的，当搜索深度较小、问题递归方式比较明显时，用递归方法设计好，它可以使得程序结构更简捷易懂。当搜索深度较大时，如例题2-5、2-6。当数据量较大时，由于系统堆栈容量的限制，递归容易产生溢出，用非递归方法设计比较好。 （3）深度优先搜索方法有广义和狭义两种理解。广义的理解是，只要最新产生的结点（即深度最大的结点）先进行扩展的方法，就称为深度优先搜索方法。在这种理解情况下，深度优先搜索算法有全部保留和不全部保留产生的结点的两种情况。而狭义的理解是，仅仅只保留全部产生结点的算法。本书取前一种广义的理解。不保留全部结点的算法属于一般的回溯算法范畴。保留全部结点的算法，实际上是在数据库中产生一个结点之间的搜索树，因此也属于图搜索算法的范畴。 （4）不保留全部结点的深度优先搜索法，由于把扩展望的结点从数据库中弹出删除，这样，一般在数据库中存储的结点数就是深度值，因此它占用的空间较少，所以，当搜索树的结点较多，用其他方法易产生内存溢出时，深度优先搜索不失为一种有效的算法。 （5）从输出结果可看出，深度优先搜索找到的第一个解并不一定是最优解。例如例题2-8得最优解为13，但第一个解却是17。 如果要求出最优解的话，一种方法将是后面要介绍的动态规划法，另一种方法是修改原算法：把原输出过程的地方改为记录过程，即记录达到当前目标的路径和相应的路程值，并与前面已记录的值进行比较，保留其中最优的，等全部搜索完成后，才把保留的最优解输出。 二、广度优先搜索法的显著特点是： （1）在产生新的子结点时，深度越小的结点越先得到扩展，即先产生它的子结点。为使算法便于实现，存放结点的数据库一般用队列的结构。 （2）无论问题性质如何不同，利用广度优先搜索法解题的基本算法是相同的，但数据库中每一结点内容，产生式规则，根据不同的问题，有不同的内容和结构，就是同一问题也可以有不同的表示方法。 （3）当结点到跟结点的费用（有的书称为耗散值）和结点的深度成正比时，特别是当每一结点到根结点的费用等于深度时，用广度优先法得到的解是最优解，但如果不成正比，则得到的解不一定是最优解。这一类问题要求出最优解，一种方法是使用后面要介绍的其他方法求解，另外一种方法是改进前面深度（或广度）优先搜索算法：找到一个目标后，不是立即退出，而是记录下目标结点的路径和费用，如果有多个目标结点，就加以比较，留下较优的结点。把所有可能的路径都搜索完后，才输出记录的最优路径。 （4）广度优先搜索算法，一般需要存储产生的所有结点，占的存储空间要比深度优先大得多，因此程序设计中，必须考虑溢出和节省内存空间得问题。 广度优先搜索训练题 一、奇怪的电梯 源程序名LIFT.PAS 可执行文件名 LIFT.EXE 输入文件名 LIFT.IN 输出文件名 LIFT.OUT 呵呵，有一天我做了一个梦，梦见了一种很奇怪的电梯。大楼的每一层楼都可以停电梯，而且第i层楼(1<=i<=N)上有一个数字Ki(0<=Ki<=N)。电梯只有四个按钮：开，关，上，下。上下的层数等于当前楼层上的那个数字。当然，如果不能满足要求，相应的按钮就会失灵。例如：3 3 1 2 5代表了Ki(K1=3,K2=3,……)，从一楼开始。在一楼，按“上”可以到4楼，按“下”是不起作用的，因为没有-2楼。那么，从A楼到B楼至少要按几次按钮呢？ 输入 输入文件共有二行，第一行为三个用空格隔开的正整数，表示N,A,B(1≤N≤200, 1≤A,B≤N)，第二行为N个用空格隔开的正整数，表示Ki。 输出 输出文件仅一行，即最少按键次数,若无法到达，则输出-1。 样例 LIFT.IN 5 1 5 3 3 1 2 5 LIFT.OUT 3 二、字串变换 [问题描述]: 已知有两个字串 A$, B$ 及一组字串变换的规则（至多6个规则）: A1$ -> B1$ A2$ -> B2$ 规则的含义为：在 A＄中的子串 A1$ 可以变换为 B1$、A2$ 可以变换为B2$ …。例如：A$＝'abcd' B$＝'xyz' 变换规则为： ‘abc’->‘xu’‘ud’->‘y’‘y’->‘yz’ 则此时，A$ 可以经过一系列的变换变为 B$，其变换的过程为：‘abcd’->‘xud’->‘xy’->‘xyz’ 共进行了三次变换，使得 A$ 变换为B$。 [输入]: 键盘输人文件名。文件格式如下： A$ B$ A1$ B1$ \ 有两种常用的方法可用来搜索图：即深度优先搜索和广度优先搜索。它们最终都会到达所有 连通的顶点。深度优先搜索通过栈来实现，而广度优先搜索通过队列来实现。 深度优先搜索： 深度优先搜索就是在搜索树的每一层始终先只扩展一个子节点，不断地向纵深前进直到不能再前进(到达叶子节点或受到深度限制)时，才从当前节点返回到上一级节点，沿另一方向又继续前进。这种方法的搜索树是从树根开始一枝一枝逐渐形成的。 下面图中的数字显示了深度优先搜索顶点被访问的顺序。 "* ■ J 严-* 4 t C '4 --------------------------------- --- _ 为了实现深度优先搜索，首先选择一个起始顶点并需要遵守三个规则： (1) 如果可能，访问一个邻接的未访问顶点，标记它，并把它放入栈中。 (2) 当不能执行规则1时，如果栈不空，就从栈中弹出一个顶点。 (3) 如果不能执行规则1和规则2，就完成了整个搜索过程。 广度优先搜索： 在深度优先搜索算法中，是深度越大的结点越先得到扩展。如果在搜索中把算法改为按结点的层次进行搜索，本层的结点没有搜索处理完时，不能对下层结点进行处理，即深度越小的结点越先得到扩展，也就是说先产生的结点先得以扩展处理，这种搜索算法称为广度优先搜索法。 在深度优先搜索中，算法表现得好像要尽快地远离起始点似的。相反，在广度优先搜索中， 算法好像要尽可能地靠近起始点。它首先访问起始顶点的所有邻接点，然后再访问较远的区 域。它是用队列来实现的。 下面图中的数字显示了广度优先搜索顶点被访问的顺序。 实现广度优先搜索，也要遵守三个规则: ⑴ 访问下一个未来访问的邻接点，这个顶点必须是当前顶点的邻接点，标记它，并把它插入到队列中。（2）如果因为已经没有未访问顶点而不能执行规则1 *问题描述： 建立图的存储结构（图的类型可以是有向图、无向图、有向网、无向网，学生可以任选两种类型），能够输入图的顶点和边的信息，并存储到相应存储结构中，而后输出图的邻接矩阵。 1、邻接矩阵表示法: 设G=(V,E)是一个图，其中V={V1,V2,V3…,Vn}。G的邻接矩阵是一个他有下述性质的n阶方阵： 1，若(Vi,Vj)∈E 或 若图中每个顶点只含一个编号i(1≤i≤vnum)，则只需一个二维数组表示图的邻接矩阵。此时存储结构可简单说明如下： type adjmatrix=array[1..vnum,1..vnum]of adj; 利用邻接矩阵很容易判定任意两个顶点之间是否有边（或弧）相联，并容易求得各个顶点的度。 对于无向图，顶点Vi的度是邻接矩阵中第i行元素之和，即 n n D(Vi)＝∑A[i,j]（或∑A[i,j]） j=1 i=1 对于有向图，顶点Vi的出度OD(Vi)为邻接矩阵第i行元素之和，顶点Vi 的入度ID(Vi)为第i列元素之和。即 n n OD(Vi)＝∑A[i,j]，OD(Vi)＝∑A[j,i]） j=1j=1 用邻接矩阵也可以表示带权图，只要令 Wij, 若 一、深度优先搜索和广度优先搜索的深入讨论 （一）深度优先搜索的特点是： （1）从上面几个实例看出，可以用深度优先搜索的方法处理的题目是各种各样的。有的搜索深度是已知和固定的，如例题2-4，2-5，2-6；有的是未知的，如例题2-7、例题2-8；有的搜索深度是有限制的，但达到目标的深度是不定的。 但也看到，无论问题的内容和性质以及求解要求如何不同，它们的程序结构都是相同的，即都是深度优先算法（一）和深度优先算法（二）中描述的算法结构，不相同的仅仅是存储结点数据结构和产生规则以及输出要求。 （2）深度优先搜索法有递归以及非递归两种设计方法。一般的，当搜索深度较小、问题递归方式比较明显时，用递归方法设计好，它可以使得程序结构更简捷易懂。当搜索深度较大时，如例题2-5、2-6。当数据量较大时，由于系统堆栈容量的限制，递归容易产生溢出，用非递归方法设计比较好。 （3）深度优先搜索方法有广义和狭义两种理解。广义的理解是，只要最新产生的结点（即深度最大的结点）先进行扩展的方法，就称为深度优先搜索方法。在这种理解情况下，深度优先搜索算法有全部保留和不全部保留产生的结点的两种情况。而狭义的理解是，仅仅只保留全部产生结点的算法。本书取前一种广义的理解。不保留全部结点的算法属于一般的回溯算法范畴。保留全部结点的算法，实际上是在数据库中产生一个结点之间的搜索树，因此也属于图搜索算法的范畴。 （4）不保留全部结点的深度优先搜索法，由于把扩展望的结点从数据库中弹出删除，这样，一般在数据库中存储的结点数就是深度值，因此它占用的空间较少，所以，当搜索树的结点较多，用其他方法易产生内存溢出时，深度优先搜索不失为一种有效的算法。 （5）从输出结果可看出，深度优先搜索找到的第一个解并不一定是最优解。例如例题2-8得最优解为13，但第一个解却是17。 如果要求出最优解的话，一种方法将是后面要介绍的动态规划法，另一种方法是修改原算法：把原输出过程的地方改为记录过程，即记录达到当前目标的路径和相应的路程值，并与前面已记录的值进行比较，保留其中最优的，等全部搜索完成后，才把保留的最优解输出。 二、广度优先搜索法的显著特点是： （1）在产生新的子结点时，深度越小的结点越先得到扩展，即先产生它的子结点。为使算法便于实现，存放结点的数据库一般用队列的结构。 （2）无论问题性质如何不同，利用广度优先搜索法解题的基本算法是相同的，但数据库中每一结点内容，产生式规则，根据不同的问题，有不同的内容和结构，就是同一问题也可以有不同的表示方法。 （3）当结点到跟结点的费用（有的书称为耗散值）和结点的深度成正比时，特别是当每一结点到根结点的费用等于深度时，用广度优先法得到的解是最优解，但如果不成正比，则得到的解不一定是最优解。这一类问题要求出最优解，一种方法是使用后面要介绍的其他方法求解，另外一种方法是改进前面深度（或广度）优先搜索算法：找到一个目标后，不是立即退出，而是记录下目标结点的路径和费用，如果有多个目标结点，就加以比较，留下较优的结点。把所有可能的路径都搜索完后，才输出记录的最优路径。 （4）广度优先搜索算法，一般需要存储产生的所有结点，占的存储空间要比深度优先大得多，因此程序设计中，必须考虑溢出和节省内存空间得问题。 （5）比较深度优先和广度优先两种搜索法，广度优先搜索法一般无回溯操作，即入栈和出栈的操作，所以运行速度比深度优先搜索算法法要快些。 图的广度优先搜索的应用 ◆内容提要 广度优先搜索是分层次搜索，广泛应用于求解问题的最短路径、最少步骤、最优方法等方面。本讲座就最短路径问题、分酒问题、八数码问题三个典型的范例，从问题分析、算法、数据结构等多方面进行了讨论，从而形成图的广度优先搜索解决问题的模式，通过本讲座的学习，能明白什么样的问题可以采用或转化为图的广度优先搜索来解决。在讨论过程中，还同时对同一问题进行了深层次的探讨，进一步寻求解决问题的最优方案。 ◆知识讲解和实例分析 和深度优先搜索一样，图的广度优先搜索也有广泛的用途。由于广度优先搜索是分层次搜索的，即先将所有与上一层顶点相邻接的顶点搜索完之后，再继续往下搜索与该层的所有邻接而又没有访问过的顶点。故此，当某一层的结点出现目标结点时，这时所进行的步骤是最少的。所以，图的广度优先搜索广泛应用于求解问题的最短路径、最少步骤、最优方法等方面。 本次讲座就几个典型的范例来说明图的广度优先搜索的应用。 先给出图的广度优先搜索法的算法描述： F:=0;r:=1;L[r]:=初始值; H:=1;w:=1;bb:=true; While bb do begin H:=h+1;g[h]:=r+1; For I:=1 to w do Begin F:=f+1; For t:=1 to 操作数do Begin ⑴m:=L[f]; {出队列}； ⑵判断t操作对m结点的相邻结点进行操作;能则设标记bj:=0,并生成新结点;不能,则设标记bj:=1; if bj:=0 then {表示有新结点生成} begin for k:=1 to g[h]-1 do if L[k]=新结点then {判断新扩展的结点是否以前出现过} begin bj:=1;k:=g[h]-1 DFS与BFS的比较 姓名：班级：学号： 一、图的遍历 1.图的遍历的含义 图的遍历是指从图中某结点出发，按某既定方式访问图中各个可访问到的结点，使每个可访问到的结点恰被访问一次。 2.图的遍历方式：深度优先与广度优先 二、DFS与BFS的区别 1.概念 深度优先遍历可定义如下：首先访问出发点v，并将其标记为已访问过；然后依次从v出发搜索v的每个邻接点w。若w未曾访问过，则以w为新的出发点继续进行深度优先遍历，直至图中所有和源点v有路径相通的顶点(亦称为从源点可达的顶点)均已被访问为止。若此时图中仍有未访问的顶点，则另选一个尚未访问的顶点作为新的源点重复上述过程，直至图中所有顶点均已被访问止。 广度优先遍历可定义如下：假设从图中某顶点v出发，在访问了v之后依次访问v的各个未曾访问过的邻接点，然后分别从这些邻接点出发依次访问它们的邻接点，并使“先被访问的顶点的邻接点”先与“后被访问的顶点的邻接点”被访问，直至图中所有已被访问的顶点的邻接点都被访问到。若此时图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。 2. 路径 深度优先就是，从初始点出发，不断向前走，如果碰到死路了，就往回走一步，尝试另一条路，直到发现了目标位置。这种方法，即使成功也不一定找到一条好路，但是需要记住的位置比较少。 广度优先就是，从初始点出发，把所有可能的路径都走一遍，如果里面没有目标位置，则尝试把所有两步能够到的位置都走一遍，看有没有目标位置；如果还不行，则尝试所有三步可以到的位置。这种方法，一定可以找到一条最短路径，但需要记忆的内容实在很多，要量力而行。 3.算法实现 (1) 图的深度优先算法的一般性描述： long DFS(图s，结点v。) { // 从结点v。出发，深度优先遍历图s，返回访问到的结点总数 int nNodes; //寄存访问到的结点数目 访问v。; #include "string.h" #include "stdlib.h" #include "malloc.h" #include "stdio.h" #define MAX_VERTEX_NUM 10 #define MAXQSIZE 10 int visited[MAX_VERTEX_NUM]; typedef struct Node{ int adjvex; struct Node *next; }EdgeNode; typedef struct VNode{ int vertex; EdgeNode *firstedge; }V ertexNode; typedef V ertexNode AdjList[MAX_VERTEX_NUM]; typedef struct{ AdjList adjlist; int n,e; }ALGraph; typedef struct{ int *base; int front; int rear; }SqQueue; int InitQueue(SqQueue *Q) { Q->base=(int *)malloc(MAXQSIZE*sizeof(int)); if(!Q->base) return 0; Q->front=Q->rear=0; return 1; } int EnQueue(SqQueue *Q,int e) { if((Q->rear+1)%MAXQSIZE==Q->front) return 0; Q->base[Q->rear]=e; Q->rear=(Q->rear+1)%MAXQSIZE; return 1; } int DeQueue(SqQueue *Q) { int i; i=Q->base[Q->front]; Q->front=(Q->front+1)%MAXQSIZE; return i; } int QueueEmpty(SqQueue *Q) { if(Q->front==Q->rear) return 1; return 0; } void BFS(ALGraph *G,int k) 基于C语言的广度优先搜素算法的实现 1.算法说明 广度优先搜索使用队列（queue）来实现，整个过程也可以看做一个倒立的树形： （1）把根节点放到队列的末尾。 （2）每次从队列的头部取出一个元素，查看这个元素所有的下一级元素，把它们放到队列的末尾。并把这个元素记为它下一级元素的前驱。 （3）找到所要找的元素时结束程序。 （4）如果遍历整个树还没有找到，结束程序。 本次算法的应用中，我用这个队列来保存最短路径。首先我定义队列为“真进假出”，所谓“真进”就是当添加一个元素时，把元素放置队尾，然后rear++, 而“假出”就是当删除一个元素时，并没有真的删除队首元素，只是front++。 通过比较搜索所得的所有可行路径的长度，这样我们就可以从队列中获取一条最短路径！ 2.代码及结果 #include 天津理工大学实验报告学院（系）名称：计算机与通信工程学院 实验思路： 首先，定义邻接矩阵和图的类型，定义循环队列来存储，本程序中只给出了有向图的两种遍历，定义深度优先搜索和广度优先搜索的函数，和一些必要的函数，下面的程序中会有说明，然后是函数及运行结果！ #include 《数据结构课程设计》报告题目：深度与广度优先搜索 --迷宫问题 专业计算机科学与技术 学生姓名李柏 班级B计算机115 学号1110704512 指导教师巩永旺 完成日期2013年1月11日 目录 1简介 (1) 2算法说明 (1) 3测试结果 (3) 4分析与探讨 (7) 5小结 (9) 附录 (10) 附录1 源程序清单 (10) 迷宫问题 1 简介 1、图的存储结构 图的存储结构又称图的表示，其最常用的方法是邻接矩阵和邻接表。无论采用什么存储方式，其目标总是相同的，既不仅要存储图中各个顶点的信息，同时还要存储顶点之间的所有关系。 2、图的遍历 图的遍历就是从指定的某个顶点（称其为初始点）出发，按照一定的搜索方法对图中的所有顶点各做一次访问过程。根据搜索方法不同，遍历一般分为深度优先搜索遍历和广度优先搜索遍历。 本实验中用到的是广度优先搜索遍历。即首先访问初始点v i，并将其标记为已访问过，接着访问v i的所有未被访问过的邻接点，顺序任意，并均标记为已访问过，以此类推，直到图中所有和初始点v i有路径相通的顶点都被访问过为止。鉴于广度优先搜索是将所有路径同时按照顺序遍历，直到遍历出迷宫出口，生成的路径为最短路径。因此我们采用了广度优先搜索。 无论是深度优先搜索还是广度优先搜索，其本质都是将图的二维顶点结构线性化的过程，并将当前顶点相邻的未被访问的顶点作为下一个顶点。广度优先搜索采用队列作为数据结构。 本实验的目的是设计一个程序，实现手动或者自动生成一个n×m矩阵的迷宫，寻找一条从入口点到出口点的通路。具体实验内容如下： 选择手动或者自动生成一个n×m的迷宫，将迷宫的左上角作入口，右下角作出口，设“0”为通路，“1”为墙，即无法穿越。假设一只老鼠从起点出发，目的为右下角终点，可向“上、下、左、右、左上、左下、右上、右下”8个方向行走。如果迷宫可以走通，则用“■”代表“1”，用“□”代表“0”，用“☆”代表行走迷宫的路径。输出迷宫原型图、迷宫路线图以及迷宫行走路径。如果迷宫为死迷宫，则只输出迷宫原型图。 2算法说明 迷宫中存在通路和障碍，为了方便迷宫的创建，可用0表示通路，用1表示障碍，这样迷宫就可以用0、1矩阵来描述。设置迷宫的长为n、宽为m，范围为49×49，用int maze[N+2][M+2]来表示，这样相当于在迷宫外层包了一层1，即防止搜索路径时跳出迷宫。 （1）手动生成迷宫 *问题描述： 建立图的存储结构，能够输入图的顶点和边的信息，并存储到相应存储结构中，而后输出图的邻接矩阵。 1、邻接矩阵表示法: 设G=(V,E)是一个图，其中V={V1,V2,V3…,Vn}。G的邻接矩阵是一个他有下述性质的n阶方阵： 1，若(Vi,Vj)∈E 或 对于有向图，顶点Vi的出度OD(Vi)为邻接矩阵第i行元素之和，顶点Vi 的入度ID(Vi)为第i列元素之和。即 n n OD(Vi)＝∑A[i,j]，OD(Vi)＝∑A[j,i]） j=1j=1 用邻接矩阵也可以表示带权图，只要令 Wij, 若 佛山科学技术学院 实验报告 课程名称数据结构 实验项目实现深度优先搜索与广度优先搜索算法 专业班级 10网络工程2 姓名张珂卿学号 2010394212 指导教师成绩日期 2011年11月16日 一、实验目的 1、通过本实验，掌握图，无向图的基本概念，掌握图的遍历； 2、掌握图的深度优先搜索（DFS）与广度优先搜索（BFS）算法。 二、实验内容 1、建立图的存储方式； 2、图的深度优先搜索算法； 3、图的广度优先搜索算法。 三、实验原理 图的遍历是图的算法中一种非常重要的算法，通过建立图的存储结构，采用深度优先搜索与广度优先搜索算法可以进行图的遍历； 深度优先遍历是树的先根遍历的推广，是将某一条枝上的所有节点都搜索到了之后，才转向搜索另一条枝上的所有节点； 广度优先遍历与深度优先遍历的区别在于：广度优先遍历是以层为顺序，将某一层上的所有节点都搜索到了之后才向下一层搜索。 四、实验步骤 1．建立图的存储结构； 2．输入图的基本接点与信息，初始化图； 3．编写图的深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索算法（BFS）程序； 4.采用菜单形式进行显示与选择。 5.测试数据和结果显示 （1）从键盘输入顶点数和边数； （2）输入顶点信息； （3）输入边的信息，以（a,b）的形式输入边的信息，构建一个无向图； （4）对此无向图进行深度优先搜索和广度优先搜索，并输出正确的序列。 五、程序源代码及注释 /******************************* *采用邻接表的存储结构 *构建无向图 *图的创建过程中暂不支持重复验证， 因此不能对一条边进行重复定义 ******************************/ #include 华北水利水电学院数据结构实验报告 20 10 ～20 11 学年第一学期2008级计算机专业 班级：107学号：200810702姓名：王文波 实验四图的应用 一、实验目的： 1．掌握图的存储结构及其构造方法 2．掌握图的两种遍历算法及其执行过程 二、实验内容： 以邻接矩阵或邻接表为存储结构，以用户指定的顶点为起始点，实现无向连通图的深度优先及广度优先搜索遍历，并输出遍历的结点序列。 提示：首先，根据用户输入的顶点总数和边数，构造无向图，然后以用户输入的顶点为起始点，进行深度优先和广度优先遍历，并输出遍历的结果。 三、实验要求： 1．各班学号为单号的同学采用邻接矩阵实现，学号为双号的同学采用邻接表实现。 2．C/ C++完成算法设计和程序设计并上机调试通过。 3．撰写实验报告，提供实验结果和数据。 4．写出算法设计小结和心得。 四、程序源代码： #include { int nData; QueueNode* next; }; struct QueueList { QueueNode* front; QueueNode* rear; }; void EnQueue(QueueList* Q,int e) { QueueNode *q=new QueueNode; q->nData=e; q->next=NULL; if(Q==NULL) return; if(Q->rear==NULL) Q->front=Q->rear=q; else { Q->rear->next=q; Q->rear=Q->rear->next; } } void DeQueue(QueueList* Q,int* e) { if (Q==NULL) return; if (Q->front==Q->rear) { *e=Q->front->nData; Q->front=Q->rear=NULL; } else { *e=Q->front->nData; Q->front=Q->front->next; } } //创建图 void CreatAdjList(Graph* G) { int i,j,k; edgenode* p1; edgenode* p2; 算法设计：深度优先遍历和广度优先遍历实现 深度优先遍历过程 1、图的遍历 和树的遍历类似，图的遍历也是从某个顶点出发，沿着某条搜索路径对图中每个顶点各做一次且仅做一次访问。它是许多图的算法的基础。 深度优先遍历和广度优先遍历是最为重要的两种遍历图的方法。它们对无向图和有向图均适用。 注意： 以下假定遍历过程中访问顶点的操作是简单地输出顶点。 2、布尔向量visited[0．．n-1]的设置 图中任一顶点都可能和其它顶点相邻接。在访问了某顶点之后，又可能顺着某条回路又回到了该顶点。为了避免重复访问同一个顶点，必须记住每个已访问的顶点。为此，可设一布尔向量visited[0．．n-1]，其初值为假，一旦访问了顶点Vi之后，便将visited[i]置为真。 -------------------------- 深度优先遍历(Depth-First Traversal) 1．图的深度优先遍历的递归定义 假设给定图G的初态是所有顶点均未曾访问过。在G中任选一顶点v为初始出发点(源点)，则深度优先遍历可定义如下：首先访问出发点v，并将其标记为已访问过；然后依次从v出发搜索v的每个邻接点w。若w未曾访问过，则以w为新的出发点继续进行深度优先遍历，直至图中所有和源点v有路径相通的顶点(亦称为从源点可达的顶点)均已被访问为止。若此时图中仍有未访问的顶点，则另选一个尚未访问的顶点作为新的源点重复上述过程，直至图中所有顶点均已被访问为止。 图的深度优先遍历类似于树的前序遍历。采用的搜索方法的特点是尽可能先对纵深方向进行搜索。这种搜索方法称为深度优先搜索(Depth-First Search)。相应地，用此方法遍历图就很自然地称之为图的深度优先遍历。 2、深度优先搜索的过程 设x是当前被访问顶点，在对x做过访问标记后，选择一条从x出发的未检测过的深度优先与广度优先
图的深度广度优先遍历操作代码
深度优先与广度优先
广度优先搜索训练题
广度优先搜索和深度优先搜索
邻接矩阵表示图深度广度优先遍历
深度优先搜索和广度优先搜索的深入讨论
图的广度优先搜索的应用
深度优先算法与广度优先算法的比较
广度优先与深度优先搜索
基于C语言的广度优先搜索
数据结构实验四图的深度优先与广度优先遍历
深度与广度优先搜索：迷宫问题
邻接矩阵表示图_深度_广度优先遍历
数据结构实验报告(三)：实现深度优先搜索与广度优先搜索算法
图的深度优先遍历和广度优先遍历
算法设计：深度优先遍历和广度优先遍历
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