电容、电感元件的串联与并联模型_毛毛虎
第六章 电容元件与电感元件 电路在任一时刻t 的相应与激励的全部过去历史有关，因此动态电路是有记忆的。由于动态元件的V AR 是对时间变量t 的微分或积分关系，所以动态电路需要用微分方程或积分方程来描述。 动态元件：电容元件、电感元件 动态电路：至少包含一个动态元件的电路。 6-1 电容元件 1、定义：一个二端元件，如果在任一时刻t ，它所存储的电荷和它的端电压 之间的关系可以用平面上的一条曲线来确定，则该二端元件称为电容元件。 线性时不变电容：平面上通过原点的一条直线，且不随时间变化。 电容元件的符号及线性电容的u-q 曲线 对于线性电容有 6-2 电容的伏安关系（V AR 关系） 若采用关联方向,V AR 关系为 讨论： 1、任何时刻i 与 成正比，即与电容电压的变化率成正比。 2、若电容电压为直流电压，则 ＝0，i =0。所以电容具有隔直作用。 3、在某一时刻t 时，电容电压的数值并不取决于该时刻的电流值，而是取 决于从－∞到t 所有时刻的电流值，也就是说与电流全部过去历史有关。 )()(t Cu t q dt du dt du
为电容电压的初始值，它反映了电容初始时刻的储能状况。电容是一个记忆电流的记忆元件。 4、由于实际电路中，电流i 为有限值，即 为有限值，所以u 必为连续函数，电压值在某一时刻不能跃变，即 6-3 电容电压的连续性质和记忆性质 1、电容电压的连续性质： 若电容电流i(t)在闭区间〔ta 、tb 〕内为有界的，则电容电压uc(t)在开区间（ta 、tb ）内为连续的。特别是，对任何时间t ，且ta ＜t ＜tb ， 2、电容电压的记忆性质： 电容是一种记忆元件。通常只知道在某一时刻t0后作用于电容的电流情况，而对在此之前电容电流的情况并不了解。在求解具体电路时，给出或求解初始电压是必不可少的。 例：p15页，当u 为9.9V 时，作用过的脉冲数目是多少？ 解：电容电压为 对节点a 由KCL 得： )(0t u ) 0()0(+-=u u ) ()(+-=t u t u C C ?=t t id C t u 1 99.01)(ξ0)(,311==t u s t 且设其中μ50 99.0s u i +=50 01.0s u i =即s u i 2=
第六章电容元件与电感元件? 6－1 电容元件 ? 6－2 电容的VCR ? 6－3 电容电压的连续性质和记忆性质 ? 6－4 电容的储能 ? 6－5 电感元件 ? 6－6 电感的VCR ? 6 – 7 电容与电感的对偶性状态变量 ? 6 – 8 电容、电感的串、并联
§6－1 电容元件 电容元件的定义是：如果一个二端元件在任一时刻，其电荷与电压之间的关系由u－q平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电容元件。 图7-5
电容元件的符号和特性曲线如图7-5(a)和(b)所示。 图7-5 a) 电容元件的符号 (c) 线性时不变电容元件的符号 b) 电容元件的特性曲线 (d) 线性时不变电容元件的特性曲线 其特性曲线是通过坐标原点一条直线的电容元件称为线性电容元件，否则称为非线性电容元件。
线性时不变电容元件的符号与特性曲线如图(c)和(d)所示，它的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线，其数学表达式为 ) 117(-=Cu q 式中的系数C 为常量，与直线的斜率成正比，称为电容，单位是法[拉],用F 表示。 图7-5
实际电路中使用的电容器类型很多，电容的范围变化很大，大多数电容器的漏电很小，在工作电压低的情况下，可以用一个电容作为它的电路模型。当其漏电不能忽略时，则需要用一个电阻与电容的并联作为它的电路模型。 在工作频率很高的情况下，还需要增加一个电感来构成电容器的电路模型,如图7－6所示。 图7－6 电容器的几种电路模型
§6－2 电容的伏安关系 对于线性时不变电容元件来说，在采用电压电流关联参考方向的情况下，可以得到以下关系式 ) 127(d d d )(d d d )(-===t u C t Cu t q t i 此式表明电容中的电流与其电压对时间的变化率成正比，它与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，电容电流与此时刻电压的数值之间并没有确定的约束关系。 在直流电源激励的电路模型中，当各电压电流均不随时间变化的情况下，电容元件相当于一个开路(i =0)。
电容元件和电感元件 电容元件电感元件 公式q(t)=cu c(t) 伏安关系式 功率p=u c(t)i c(t)p=u L(t)i L(t) 贮能W(t)=cu c2(t)/2W(t)=Li L2(t)/2 电容电压不能跃变电感电流不能跃变 共同点：都是记忆元件，惯性元件。 零输入响应 当外加激励为零,仅有动态元件初始储能所产生的电流和电压,称为动态电路的零输入响应. RC电路的零输入响应
右图(a) 所示的电路中，在t<0时开关在位置1，电容被电流源充电，电路已处于稳态，电容电压u C(0-)=R0I S，t=0时，开关扳向位置2，这样在t≥0时，电容将对R放电，电路如图 (b)所示，电路中形成电流i。故 t>0后，电路中无电源作用，电路的响应均是由电容的初始储能而产生，故属于零输入响应。换路后由图（b）可知，根据KVL有-u R+u c=0,而u R=i R, 代入上式可得 上式是一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为u c=Ae pt（t≥0）式中A为待定的积分常数，可由初始条件确定。p为１式对应的特征方程的根。 将２式代入１式可得特征方程为RC +1=0 p 从而解出特征根为则通解 将初始条件u c(0+)=R0I S代入,求出积分常数A为 (t≥0)
令τ=RC，它是具有时间的量纲，即 故称τ为时间常数, 这样两式可分别写为 (t≥0) (t≥0) 由于为负，故u c和i均按指数规律衰减，它们的最大值分 别为初始值u c(0+)=R0I S 及当t→∞时，u c和i 衰减到零。 画出u c及i的波形如图所示。
RL电路的零输入响应 一阶RL电路如图(a)所示，t=0-时开关S闭合，电路已达稳态，电感L相当于短路，流过L的电流为I0。即i L(0-)=I0，故电感储存了磁能。在t=0时开关S打开，所以在t≥0时，电感L储存的磁能将通过电阻R 放电，在电路中产生电流和电压，如图(b)所示。由于t>0后，放电回路中的电流及电压均是由电感L的初始储能产生的，所以为零输入响应。 换路后由图（b）可知，根据KVL 有u R+u L=0,将 代入上 式可得 上式是一阶常系数齐次微 分方程，其通解形式为 i L=Ae pt(t≥0)
波通过串联电感和并联电容 在电力系统中，电感和电容是常见的元件，如载波通信用的高频扼流线圈和限制短路电流用的扼流线圈、电容式电压互感器和载波通信用的耦合电容器等。由于电感中的电流和电容上的电压均不能突变，这就对经过这些元件的折射波和反射波产生影响，使波形变化。下面应用彼得逊等值电路来分析串联电感和并联电容对波过程的影响。为了便于说明基本概念，原始的入射波仍采用无限长直角波。 2 ) (a 1 2 ) (b 图2-16 行波经过串联电感 如图2-16所示，无穷长直角波入射到接有电感的线路，其等值电路如图2-16（ b ）所示。由此可以写出回路方程 dt di L Z Z i U 2 2120)(2++= （2-23） 解之得 ) 1(22 10 2L T t e Z Z U i --+= （2-24） )1()1(202 120222L L T t T t e U e Z Z Z U Z i u ---=-+?==α （2-25） 其中，2 1Z Z L T L += 为电路的时间常数； α ＝ 2 12 2Z Z Z +为没有电感时电压的折射系数。 2 2) (a ) (b 图2-17行波经过并联电容 再考虑波经过并联电容的情况。如图2-17所示，无穷长直角波入射到具有并联电容的
线路，其等值电路如图2-17（ b ）所示。由此可得 221102Z i Z i U += （2-26） dt di CZ i dt du C i i 222221+=+= （2-27） 联立上述两个方程，消去i 1 ，得 dt di Z CZ Z Z i U 2 2 12120)(2++= （2-28） 解联立方程，得 ) 1()1(202 120222C C T t T t e U e Z Z Z U Z i u ---=-+?==α （2-29） 其中，2 12 1Z Z Z CZ T C += 为电路的时间常数。 从式（2-25）和（2-29）可以看出，波通过串联电感和并联电容时，折射电压的解的形式完全相同。 分析解的形式，可以得到以下结论： (1) 波经过串联电感或并联电容后，电流或电压不能突变。 在t = 0时，折射电压为零。以后随着时间的增加，折射电压按指数规律增大，从直角波变为按指数曲线缓缓上升的指数波，最后到达由Z 1导线和Z 2导线之间的折射系数所决定的稳定状态αU 0 。指数波的最大陡度发生在 t ＝ 0时。由式（2-25）可知，在串联电感的情况下，波的最大陡度为 L Z U dt du dt du t 2 00 2max 22= = = （2-30） 由式（2-29）可知，在并联电容的情况下，波的最大陡度为 C Z U dt du dt du t 10 2max 22= = = （2-31） 因此，只要增加L 或C 的值，就能把陡度限制在一定的程度。在防雷保护中常用这一原理来减小雷电波的陡度，以保护电机的匝间绝缘。 (2) 串联电感和并联电容的存在不会影响折射波的最后稳态值。当t ＝∞ 时，u 2=αU 0，这是因为在直流电压作用下，电感相当于短路，电容相当于开路。 电感使折射波波头陡度降低的物理概念是，由于电感不允许电流突然变化，所以当波作用到电感时的第一个瞬问，电感就像电路开路—样将波完全反射回去，即此时电流i 2将为零，因而u 2 将为零，以后u 2 再随着流过电感电流的逐渐增大而增大。波通过电感时的折、反射如图2-18（ a ） 所示。 电容使折射波波头陡度降低的物理概念是，由于电容上的电压不能突然变化，波作用到电容上的第一个瞬间，电容就像电路短路一样，这同样将使u 2 和i 2 为零，u 2 将随着电容的逐渐充电而增大。波旁过电容时的折、反射如图2-18（ b ） 所示。
第六章电容元件与电感元件?6－1 电容元件 ?6－2 电容的VCR ?6－3 电容电压的连续性质和记忆性质 ?6－4 电容的储能 ?6－5 电感元件 ?6－6 电感的VCR ?6 –7 电容与电感的对偶性状态变量 ?6 –8 电容、电感的串、并联
§6－1 电容元件 电容元件的定义是：如果一个二端元件在任一时刻，其电荷与电压之间的关系由u－q平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电容元件。 图7-5
a) 电容元件的符号 (c) 线性时不变电容元件的符号b) 电容元件的特性曲线(d) 线性时不变电容元件的特性曲线图7-5 电容元件的符号和特性曲线如图7-5(a)和(b)所示。 其特性曲线是通过坐标原点一条直线的电容元件称为线性电容元件，否则称为非线性电容元件。
线性时不变电容元件的符号与特性曲线如图(c)和(d)所示，它的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线，其数学表达式为) 117(-=Cu q 式中的系数C 为常量，与直线的斜率成正比，称为电容，单位是法[拉],用F 表示。图7-5
实际电路中使用的电容器类型很多，电容的范围变化很大，大多数电容器的漏电很小，在工作电压低的情况下，可以用一个电容作为它的电路模型。当其漏电不能忽略时，则需要用一个电阻与电容的并联作为它的电路模型。 在工作频率很高的情况下，还需要增加一个电感来构成电容器的电路模型,如图7－6所示。 图7－6 电容器的几种电路模型
§6－2电容的伏安关系 对于线性时不变电容元件来说，在采用电压电流关联参考方向的情况下，可以得到以下关系式 ) 127(d d d )(d d d )(-===t u C t Cu t q t i 此式表明电容中的电流与其电压对时间的变化率成正比，它与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，电容电流与此时刻电压的数值之间并没有确定的约束关系。 在直流电源激励的电路模型中，当各电压电流均不随时间变化的情况下，电容元件相当于一个开路(i =0)。