第6章空间分析
6.1空间数据查询及量算
查询和定位空间对象，并对空间对象进行量算是地理信息系统的基本功能之一，它是地理信息系统进行高层次分析的基础。在地理信息系统中，为进行高层次分析，往往需要查询、定位空间对象，并用一些简单的量测值对地理分布或现象进行描述，比如长度、面积、距离和形状等。实际上，空间分析首先始于空间查询和量算，它是空间分析的定量基础。
6.1.1空间查询
空间查询是从现有的信息中检索出符合特定条件的信息的过程。通过空间查询，GIS可以回答用户提出的简单问题。查询操作不对数据库中的数据做任何改动，也没有任何新数据或新实体生成。图形与属性的查询是空间查询中的两个基本部分，从这个角度出发，可以将空间查询分为三类：图形查询、属性查询与图形属性互查。
图形查询即通过图形查属性，是根据图形的空间位置来查询有关属性信息，包括实体之间的空间关系查询以及实体的属性信息查询等，称为图形查属性。地理信息系统软件一般都会提供一个INFO工具，让用户利用光标，用点选、画线、矩形、圆以及不规则多边形等工具选中地物，显示所查询对象的属性列表，可进行有关统计分析。该查询通常分为两步，首先借助空间索引，在地理信息系统数据库中快速
检索出被选空间实体，然后根据空间实体与属性的连接关系，得到所查询空间实体的属性列表。
属性查询是根据一定的属性条件来查询满足条件的空间实体的位置，是基于实体的属性信息进行查询，称为属性查图形。它与一般的非空间的关系数据库的SQL查询没有区别，只不过最后查询的结果需要再与图形关联起来，即查询到结果后，利用图形和属性的对应关系，进一步在图上用指定的显示方式将结果定位绘出。例如在中国行政区划图上查询人口大于4000万且城市人口大于1000万的省有哪些。
图形属性互查就是将空间关系和属性结合起来进行查询，并将最后结果以图形和属性两种方式显示出来。这种查询方式可以使空间信息和属性信息之间的联系得到更大的发挥，是实际生活中经常用到的查询。例如：查询京沪线沿线人口大于100万的城市及其各种属性信息。
另外，还有一种查询称为地址匹配，就是将文字性的描述地址与其空间的地理位置坐标建立对应关系的过程。例如根据一个地理名字（如学校名字）来定位相关实体并获得其属性信息。其基础是地理编码，即将一个地理名字与一个或若干个空间实体关联起来，或者与实体的某个属性关联起来，或者与某个地理坐标关联起来。地址匹配服务按照特定的步骤为地址查找匹配对象。首先要将地址标准化，然后服务器搜索地址匹配参考数据，查找潜在的位置。根据与地址的接近程度为每个候选位置指定分值，最后用分值最高的来匹配这个地址。
这种查询利用地理编码，输入街道的门牌号码，就可知道大致的位置和所在的街区。它对空间分布的社会、经济调查和统计很有帮助，只要在调查表中添加了地址，地理信息系统就可以自动从空间位置的角度来统计分析各种经济社会调查资料。另外，这种查询也经常用于公用事业管理及事故分析等方法，比如邮政、通信、供水、供电、治安、消防和医疗等领域。
下面介绍主要的空间查询方式。
1.基于空间关系查询
空间关系是指地理实体之间存在的一些具有空间特性的关系。在GIS中，空间关系主要有拓扑关系、方向关系和度量关系三大类。通过空间关系查询和定位空间实体是地理信息系统不同于一般数据库系统的功能之一。例如查询满足下列条件的城市：
在长江以南。
距离长江不超过200km。
城市人口大于50万。
城市选择区域是特定的多边形。
这个查询涉及空间顺序方位关系（在长江以南）、空间距离关系（距离长江不超过200km）和空间拓扑关系（城市选择区域是特定的多边形），甚至还有属性信息查询（城市人口大于50万）。
面、线、点之间相互关系的查询包括以下几种。
面面查询：包括邻接关系、重叠关系和包含关系等的查询，如与某个多边形相邻的多边形有哪些。
面线查询：包括邻接关系、交叉关系和包含关系等的查询，如某个多边形的边界有哪些线。
面点查询：包括邻接关系和包含关系等的查询，如某个多边形内有哪些点状地物。
线面查询：包括邻接关系和包含关系等的查询，如某条线经过（穿过）的多边形有哪些，某条链的左、右多边形是哪些。
线线查询：包括邻接关系、重叠关系、交叉关系和包含关系等的查询，如与某条河流相连的支流有哪些，某条道路跨过哪些河流。
线点查询：包括包括邻接关系和包含关系等的查询，如某条道路上有哪些桥梁，某条输电线上有哪些变电站。
点面查询：包括邻接关系和包含关系等的查询，如某个点落在哪个多边形内。
点线查询：包括邻接关系和包含关系等的查询，如某个节点由哪些线相交而成。
2.基于空间关系和属性特征查询
传统的关系数据库的标准SQL并不能处理空间查询，这是关系数据库技术的弱点，不能满足空间关系的需要。对于GIS而言，需要对SQL进行扩展。相对于一般SQL，空间扩展SQL主要增加了空间数据类型和空间操作单元，以满足空间特征的查询。对于传统的SQL，要实现空间操作，需要将SQL命令嵌入编程语言中，而新的SQL则允许用户定义自己的操作，并嵌入到SQL命令中。
6.1.2空间量算
1.几何量算
不同的地理实体模型具有不同的几何形状量算指标。几何量算对点、线、面地物有不同的含义。
点状地物（0维）：坐标。.
线状地物（1维）：长度、曲率和方向。
面状地物（2维）：面积、周长、形状、曲率等。
体状地物（3维）：体积、表面积等。
一般GIS软件都具有对点、线、面状地物的几何量算功能，无论是矢量数据结构还是栅格数据结构的空间数据都有这方面的功能。下面分别从点、线、面3个方面探讨其常用的几何量算指标。
1）点实体
对于地理空间中的点实体，其几何量算指标主要为坐标和距离。一般GIS软件都存储有点状地物的坐标，可通过直接选取点来获得其坐标。设空间中两个点为P1、P2，其空间坐标为（x1，y1，z1）、（x2，y2，z2），则两点之间的距离为
2）线实体
线状地物对象最主要的几何量算指标是长度。在矢量数据结构下，线表示为点对坐标（x，y）或（x，y，z）的序列，在不考虑比例尺
情况下，线长度的计算公式为
对于复合线状地物对象，需要在对诸分支曲线求长度后，再求其长度的总和。
通过离散坐标点来表达的线对象，选择反映曲线形状的选点方案非常重要，往往由于选点方案不同，会带来长度计算的不同精度问题。为提高计算精度，增加点的数目会对数据获取、管理与分析带来额外的负担。折中的选点方案是在曲线的拐弯处加大点的数目，在平直段减少点数，以达到计算允许精度要求。
在栅格数据结构里，线状地物的长度就是累加地物骨架线通过的格网数目，骨架线通常采用方向连接，当连接方向为对角线时，还要乘上?2
3）面实体
面实体的几何量算指标主要有面积和周长。
（1）面积量算。
面积是面状地物最基本的参数。在矢量结构下，面状地物以其轮廓边界弧段构成的多边形表示。对于没有空洞的简单多边形，假设有N个顶点，其面积计算公式为
所采用的是几何交叉处理方法，即沿多边形的每个顶点作垂直于X轴的垂线，然后计算每条边、两条垂线以及两条垂线所截得的X 轴部分所包围的面积，求出的面积的代数和即为多边形面积。对于有孔或内岛的多边形，可分别计算外多边形与内岛面积，其差值为原多
边形面积。此方法亦适合于体积的计算。
对于栅格结构，多边形面积计算就是统计具有相同属性值的格网数目。但对计算破碎多边形的面积有些特殊，可能需要计算某个特定多边形的面积，必须进行再分类，将每个多边形进行分割，赋给单独的属性值，之后再进行统计。
（2）周长量算。
在矢量数据结构下，面实体的周长是由构成其边界的众多曲线段组成的，这些线段首尾相连，构成闭合的多边形。因此，通过计算这些线段的长度，并累加就可以得到多边形的周长。
在栅格数据结构下，首先要判断栅格存储的方式，然后对面实体判断其边界所占的栅格位置，将这些判断为面实体边界的栅格单元累加即可得面实体的周长，这一过程同线实体长度的计算原理相同。
2.形状量算
1）线实体的曲率
曲率就是用确定的数量描述线实体的弯曲程度。例如直线的曲率恒等于0；圆的弯曲程度到处都一样，即圆的曲率是一个常数，但半径越大弯曲程度越小，即大圆的曲率小于小圆的曲率。圆的曲率等于圆半径的倒数。
对于一个弧段来说，其切线方向角的变换与弧长的变换之商代表了曲率的平均变化率，故曲率可以定义为曲线切线方向角相对于弧长的转动率，则任意一点的曲率公式为
式中f(x)是曲线方程，且f(x)具有二阶导数（即/ f' (x)连续，曲线是光滑的）。上式所反映的是线实体的某一部分的弯曲程度，对于整个线实体，求其平均曲率则能更好地反映实体的弯曲程度，平均曲率公式为
式中K?是线实体L的平均曲率，K为线实体L上任意一点的曲率。
定量研究线实体的弯曲程度，可以解决诸多实际应用问题。例如道路、桥梁设计的曲率与安全有关，但曲率的计算复杂，难于快速得到运算结果，不利于在GIS软件中快速实现，所以我们引入弯曲度作为描述线实体的弯曲程度的另一个指标。
弯曲度即求线实体起点和终点之间的直线距离，将其与线实体的实际长度相比所得的值。弯曲度公式为
式中d(1,n)表示线实体起点和终点之间的直线距离，L为线实体的实际长度，B为弯曲度。B的值越接近1，说明线实体的弯曲程度越小。图6-l（a）中曲线的弯曲程度小于图6-l（b）中曲线的弯曲程度。
2）面实体的形状量算
面实体的形状量测有两个基本考虑：空间一致性问题，即有孔多边形和破碎多边形的处理；多边形边界特征描述问题。
度量空间一致性最常用的指标是欧拉函数，用来计算多边形的破碎程度和孔的数目。欧拉函数的结果是一个常数，称为欧拉数。欧拉函数的计算公式为
欧拉数=（孔数）-（碎片数-1）
图6-2表示了多边形的3种可能的情形。
对于图6-2（a），欧拉数=3-（1-1）=3或欧拉数=4-0=4；对于图6-2（b），
欧拉数=4-（2-1）=3或欧拉数=4-1=3；图6-2（c）欧拉数=5-（3-1）=3。
关于多边形边界描述的问题，由于面实体的形状复杂多变，难以找到一个准确的定量指标参数来描述其形状。最常用的指标包括多边形长、短轴之比、周长面积比和面积长度比等。其中绝大多数指标是基于面积和周长的，通常认为圆形地物既非紧凑型也非膨胀型，可定
义其形状系数r为
其中P为地物周长，A为面积。如果r<1为紧凑型；r=1为标准圆；r>1为膨胀型。
3.质心量算
质心是目标的半径位置，它是保持目标均匀分布的平衡点，质心是描述地理对象空间分布的一个重要指标。质心通常定义为一个多边形或面的几何中心，当多边形比较简单时，比如矩形，计算很容易。但当多边形形状复杂时，计算也更加复杂。
现实世界中的地理实体，其质量一般是不均匀分布的，形状大都是不规则的。当研究对象在区域内分布不均匀时，质心描述的是分布中心，而不是绝对几何中心。以人口为例，当某个县绝大部分人口明显集中于一侧时，应把质心放在偏向该侧的分布中心上，这种质心称为平均中心或重心。若要得到一个全国人口分布的等值线图，而人口数据只能到县级，则必须在每个县域内定义一个点作为质心，代表该县的数值，然后进行插值计算全国人口等值线。如果考虑其他一些因
素，可以赋予权重系数，称为加权平均中心。计算公式是
其中，W i为第i个离散目标物权重，X i、Y i为第i个离散目标物的坐标。
质心量算经常用于简化复杂目标的模型建立，宏观经济分析和市场区位的选择，还可以跟踪某些地理分布的变化，比如人口变迁、土地类型变化等。
4.距离量算
距离描述了事物或实体之间的远近程度。常用的距离是欧氏距离，无论是矢量结构，还是栅格结构都很容易实现。距离的定义与度量与空间和空间匀质性相关，不同的度量空间和介质空间，距离定义不同。不同的距离有不同的特性，距离的定义是由应用决定的，可根据需要重新定义距离。在非匀质空间，距离定义不仅仅是表达式上的变化，而且还具有研究区域上的变化，这时的距离计算一般在多边形范围内按一定算法进行。
在GIS中，距离通常是两个地点之间的计算，但有时人们想知道一个地点到所有其他地点的距离，这时的距离是一个距离表面。如果一个区域中所有的性质与方向无关，则称为各向同性区域。以旅行时间为例，如果从某一点出发，到另一点所耗费的时间只与两点之间的欧氏距离成正比，则从一固定点出发，旅行特定时间后所能达到的点必然组成一个等时圆。在现实生活中，旅行所耗费的时间不只与欧氏距离成正比，还与路况、运输工具性能等有关，从固定点出发，旅行
特定时间后所能到达的点则在各个方向上是不同距离的，形成各向异性距离表面（见图6-3）。
考虑到阻力影响，计算的距离称为耗费距离。物质在空间中移动总要花费一些代价，如资金、时间等。阻力越大耗费也越大。相应的通过耗费距离得到的距离表面称为阻力表面或耗费表面，其属性值代表耗费或阻力大小。可以根据阻力表面计算最小耗费距离。
对于描述点、线、面坐标的矢量结构，也有一系列的不同于欧氏距离的概念。欧氏距离通常用于计算两点的直线距离。
当有障碍或阻力存在时，两点之间的距离就不能用直线距离，计算非标准欧氏距离的一般公式为
当时，就是欧氏距离计算公式。当A=1时，得到的距离称为曼哈顿距离。欧氏距离、曼哈顿距离和非欧氏距离的计算如图6-4所示。
6.1.3空间插值
1.空间插值的概念和原理
我们在进行某项研究时，由于地理数据具有数据量大的特点，研究人员感兴趣的区域有所偏重或地形限制等因素，不可能获取某个区域内的所有数据。在实际研究应用中，我们经常会遇到以下几种情况：
（1）现有的数据不能完全覆盖所要求的区域范围，在进行相关的计算时，需要先进行插值，使得此区域内的数据覆盖率满足计算的
要求。例如，将离散的采样点数据内插为连接的数据表面。
（2）现有的连续曲面的数据模型与所需的数据模型不符，需要重新插值。例如，将一个连续的曲面从一种空间切分方式变为另一种空间切分方式，比如从TIN到栅格、栅格到TIN或矢量多边形到栅格。
（3）现有的离散曲面的分辨率、像元大小或方向与所要求的不符，需要重新插值。例如，将一个扫描影像（航空相片、遥感影像）从一种分辨率或方向转换为另一种分辨率或方向的影像。
空间插值是GIS的智能推测，常用于将离散点的测量数据转换为连续的数据曲面，以便与其他空间现象的分布模式进行比较，它包括空间内插和外推两种算法。空间内插法是一种通过已知点的数据推求同一区域其他未知点数据的计算方法；空间外推算法则是通过已知区域的数据，推求其他区域数据的方法。
所有的空间插值都遵循一个基本原理——Tobler（托布勒）定理：所有地点都是相互关联的，近处的相关程度要比远处的高。换言之，空间位置上越靠近的点，越可能具有相似的特征值；而距离越远的点，其特征值相似的可能性越小。然而，还有另外一种特殊的插值方法——分类，它不考虑不同类别测量值之间的空间联系，只考虑分类意义上的平均值或中值，为同类地物赋属性值。主要用于地质、土壤、植被或土地利用的等值区域图或专题地图处理，在“景观单元”或图斑内部是均匀和同质的，通常被赋给一个均一的属性值，变化发生在边界上。
空间插值的应用很广泛，虽然空间插值经常显式地用于分析，但
有时它也会隐含在其他的运算中。例如在显示等高线前，首先需要插值，而这一操作是无需用户直接参与的。空间插值是一项根据可靠的判断和推理，进行推测的工作。空间插值仅仅在连续场模型下才有意义。连续表面空间插值的数据源包括：
野外测量采样数据，采样点随机分布或有规律的线性分布（沿剖面线或沿等高线）。
数字化的多边形图、等值线图。
摄影测量得到的正射航片或卫星影像。
卫星或航天飞机得到的扫描影像。
空间插值的数据通常是复杂空间变化有限的采样点的测量数据，这些己知的测量数据称为硬数据。如果在采样点数据比较少的情况下，可以根据已知的导致某种空间变化的自然过程或现象的信息机理，辅助进行空间插值，这种已知的信息机理称为软信息。通常情况下，由于不清楚这种自然过程机理，往往不得不对该问题的属性在空间的变化作一些假设，例如假设采样点之间的数据变化是平滑变化的，并假设服从某种分布概率和统计稳定性关系。
空间插值的结果好坏如何评定呢？这里涉及插值质量的问题，设
z（x i）是一个数据点的属性值，其中x i是所有测量点中的一个。
是一个点x0插值后的数值。如果一种插值方法计算的数据，其中采
样点的计算数据等于己知的采样数据，则称这种插值方法是精确插值方法；其他插值方法均为近似插值方法。统计计算值和测量值之间的差异（绝对值和平方差）为会，它是评价不精确插值方
法质量常用的指标。显然，这个数值越小代表插
值效果越好。
采样点的空间分布对空间插值的结果影响很大，有均匀布点、随机布点等方式。理想的情况是在研究区内均匀布点。然而当区域内存在大量有规律的空间分布模式时，比如有规律间隔的树或沟渠，用完全规则的采样网络则会得到片面的结果。正是这个原因，统计学家希望通过一些随机的采样来计算无偏的均值和方差，但是完全随机的采样同样存在缺陷。首先随机采样点的分布位置是不相关的，而规则样点的分布则只需要一个起点位置、方向和固定大小的间隔，尤其是在复杂的山地和林地里比较容易；其次完全随机采样会导致采样点的分布不均匀，一些区域的数据密集，另一些区域的数据缺少。图6-5列出了空间采样点分布的几种选择：①规则采样；②随机采样；③断面采样；④成层随机采样；⑤聚集采样；⑥等值线采样。
在以上6种采样方式中，规则采样和随机采样的结合方法是成层随机采样，即单个点随机分布于规则的格网内。聚集采样可用于分析不同尺度的空间变化。规则断面采样常用于河流、山坡剖面的测量。等值线采样是数字化等高线图插值数字高程模型最常用的方法。
2.空间插值的方法
空间插值方法可以分为整体插值和局部插值两类。整体插值用研究区所有采样点的数据进行全区特征拟合，此方法不能提供插值区域的局部特性，一般用于描述大范围内的变化；局部插值仅仅用邻近的数据点来估计未知点的值。整体插值通常不直接用于空间插值，而用来检测不同于总趋势的最大偏离部分，在去除宏观地物特征后，可用剩余残差来进行局部插值。由于整体插值将短尺度的局部的变化看作随机的和非结构的噪音，从而丢失了这一部分信息。局部插值恰好能弥补整体插值的缺陷，可用于局部异常值，而且不受插值表面上其他点的内插值影响。
整体插值通常使用方差分析和回归方程等标准的统计方法，计算
比较简单。其他许多方法也可用于整体空间插值，比如傅立叶级数和
小波变换，特别是遥感影像分析方面，但它们需要的数据量大。
局部插值只使用邻近的数据点来估计未知点的值，包括以下几个步骤：
（1）定义一个邻域或搜索范围'。
（2）搜索落在此邻域范围的数据点。
（3）选择表达有限个点的空间变化的数学函数。
（4）为落在规则格网单元上的数据点赋值。重复此步骤，直到格网上的所有点赋值完毕。
使用局部插值需要注意的是：所使用的插值函数；邻域大小、形状和方向；数据点的个数；数据点的分布方式是规则的还是不规则的。
下面介绍集几种典型的插值方法。
1）边界内插法
边界内插法假设任何重要的变化发生在边界上，边界内的变化是均匀的、同质的，即在各方向上都是相同的。这种概念模型经常用于土壤和景观制图，可以通过定义“均质的”土壤单元、景观图斑来表达其他的土壤、景观特征属性。
边界内插法最简单的统计模型是标准方差分析（ANOVAR）模型。
式中z是在x0位置的属性值，μ是总体平均值，αk是k类平均值与μ的差，ε为类间平均误差（噪音）。
该模型假设第一类别k的属性值是正态分布。每类k的平均值（μ+αk）由一个独立样品集估计，并假设它们与空间无关。类间平均误差ε则假设所有类间都是相同的。
评价分类效果的指标是，其中为类间方差，为总体方差，比值越小分类效果越好。分类效果的显著性检验可以用F检验。
实质上，边界内插法的理论假设是：
属性值z在“图斑”或景观单元内是随机变化的，而不是有规律的。
同一类别的所有“图斑”存在同样的类方差（噪声）。
所有的属性值都呈正态分布。
所有的空间变化发生在边界上，是突变而不是渐变的。
在使用边界内插时，应仔细考虑数据源是否符合这些理论假设。
2）最近邻点法——泰森多边形法
边界内插法的方法之一就是泰森多边形法（Thiessen Polygons），它是荷兰气象学家A.H.Thiessen提出的，最初用于从离散分布气象站的降雨量数据中计算平均降雨量，现在GIS和地理分析中经常采用泰森多边形进行快速的赋值。泰森多边形又叫Dirichlet或Voronoi多边形，此方法采用了一种极端的边界内插方法，只用最近的单个点进行区域插值。它的基本原理是，未知点的最佳值由最邻近的观测值产生，
如图6-6所示。
泰森多边形法的实现步骤是：首先将已知的离散点连接成三角形，常用的是Delaunay三角形，其与不规则三角网TIN具有相同的拓扑
结构。然后对这些三角形的每条边做垂直平分线，多条垂直平分线将研究区域划分为若干个多边形，离散点位于每个多边形中，某个多边形区域内的数据值就由其包含的离散点的值来确定。
泰森多边形的算法原理简单，易于实现，且算法的运行速度快，在GIS和地理分析中经常采用泰森多边形进行快速的赋值，实际上泰森多边形的一个隐含的假设是任何地点的气象数据均使用距它最近
的气象站的数据。实际上，除非有足够多的气象站，否则这个假设是不恰当的。因为降水、气压和温度等现象是连续变化的，用泰森多边形插值法得到的结果图变化只发生在边界上，在边界内都是均质的和无变化的。泰森多边形法还存在需要改进的地方，它在多边形边界处出现的插值陡变是与实际情况不相符的。
3）趋势面分析
趋势面分析法是用一定的函数对空间现象的空间分布特征进行
分析，用函数所代表的数学表面来逼近（或拟合）现象的实际表面——这种数学表面叫趋势面。趋势面分析法是一种多项式回归分析技术。
第六章 要求与练习 一、学习要求 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示. 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），两个向量垂直、平行的条件.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法. 3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题. 7、了解空间曲线在坐标平面上的投影，会求其方程. 二、练习 1、一向量起点为A （2，－2，5），终点为B （－1，6，7），求 （1）AB 分别在x 轴、y 轴上的投影，以及在z 轴上的分向量； （2）AB 的模；（3）AB 的方向余弦；（4）AB 方向上的单位向量. 解：（1）()3,8,2AB =-，AB 分别在x 轴的投影为-3，在y 轴上的投影为8，在z 轴上的 分向量2k ；（2）AB = ；（3）AB ； （4）AB 382) i j k -++. 2、设向量a 和b 夹角为60o ，且||5a =，||8b =，求||a b +，||a b -. 解：()2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b += +=++= ( ) 2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b -= -=+-=7. 3、已知向量{2,2,1}a =，{8,4,1}b =-，求 （1）平行于向量a 的单位向量； （2）向量b 的方向余弦. 解（1）2223a = +=平行于向量a 的单位向量221 {,,}333±； （2）2849b =+=，向量b 的方向余弦为：841,,999 -. 4、一向量的终点为B （2，－1，7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、－4和7.求该向量的起点A 的坐标. 解：AB =(4，-4，7)=(2，-1，7)-(x ，y ，z),所以(x ，y ，z)=（－2，3，0）； 5、已知{2,2,1}a =-，{3,2,2}b =，求 （1）垂直于a 和b 的单位向量； （2）向量a 在b 上的投影；
第六章要求与练习 一、学习要求 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示. 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），两个向量垂直、平行的条件.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法. （平7 1 （1 （2AB的模；）AB方向上的单位向量 解：1）AB=，AB分别在轴的投影为-3，在8，在z 轴上的分向量2k；（2）AB=77 （4）AB方向上的单位向量12)k. 2、设向量a和b夹角为5=，||8 b=，求| 解：()2220 +=+=++=129， a b a b a b a b ||||||2||||cos60 ()2220 a b a b a b a b -=-=+-=7. ||||||2||||cos60 3、已知向量{2,2,1} b=-，求 a=，{8,4,1} （1）平行于向量a的单位向量；（2）向量b的方向余弦. 解（1）2223 a=+=平行于向量a的单位向量221 ±； {,,} 333 （2）2849 b=+=，向量b的方向余弦为：841 -. ,, 999
4、一向量的终点为B （2，－1，7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、－4和7.求该向量的起点A 的坐标. 解：AB =(4，-4，7)=(2，-1，7)-(x ，y ，z),所以(x ，y ，z)=（－2，3，0）； 5、已知{2,2,1}a =-，{3,2,2}b =，求 （1）垂直于a 和b 的单位向量；（2）向量a 在b 上的投影； （3解（）()6,1,10,137c a b c =?=--=， （2()4 cos ,17 a b a b a b ?==?； （3() sin ,137a b a b a b ?=?=() 4 ,1751 a b = 60b c +=，||3a =，||2b =，||4c =，求a b b c c a ++. 解：( ) 2 22220a b c a b c a b b c c a ++=+++++=，所以a b b c c a ++=29/2-7、求参数k ，使得平面29x ky z +-=分别适合下列条件： （1（3解：8解：设平面方程为：0Ax By D ++=，将(1,5,1)P -和(3,2,1)Q -代入求得1,1, 2.A B D ===-该平面方程为：20x z +-=. 9、已知平面过(0,0,0)O 、(1,0,1)A 、(2,1,0)B 三点，求该平面方程. 解：设平面方程为：0Ax By Cz ++=，将(1,0,1)A 、(2,1,0)B 代入平面方程得， 1,2,1,A B C ==-=-，该平面方程为20x y z --=.
、选择题第六章向量代数与空间解析几何 习题A 1、向量a与三坐标轴的夹角分别为，则); A cos cos cos 1 B cos2cos2cos2 C cos2cos2cos2 f 2 D cos 2 cos 2 CO S 2、两个非零向量a和b平行，则 ()； r r r A其必要条件是a b 0 其必要条件是 r r C充分必要条件是a b 0D充分必要条件是 3、设a，b为非零向量，且满足 r (a r 3b) (7； 5b) r ,(a r 4b) r (7 a 2b)，则 r r a，b的夹角 4、平面x 2y 5 0的位置是) ； A平行Z轴B 通过Z轴垂直Z轴D 平行XOY平面5、过点 A 3,0,2 ,B 4,1,6 且平行于Y轴的平面的法向量n ()； 1,1,4 0,1, 1 1,1, 4 1,0,0 C 1,1,4 0,1,0 D 1,1,4 0,0, 1 6、向量a 1,1, 2,0, 2，则同时垂直a及b的单位向量为()； 2,0, b a 2,0,2 2,0, 2,0, 2
7、过点M 1,0,3且与两平面 1 ：X 2 y 2z 1 0都平行的直线方程为 2y z 1 0 （） ； A g - 3 c y 3 1 B 3X1 1y D - 3X 1 1 8、平面X 2y 5 0的位置是） ； 平行Z轴 B 通过 C 垂直z轴9、过点 A 3,0,2 ,B 4,1,6且平行于丫轴的平面的法向量 10 、 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 9 、 平行XOY平面 ） ； 1,1,4 0,1, 1 1,1,4 0,1, 曲面X2 4y2 z24与平面X (a z)24y2 X 0 (a z)24y2 X 0 、填空题 平行于向量a 3i B 1,1,4 D 1,1,4 z a的交线在 1,0,0 0,0, 1 yOz上的投影方程是（ X2 r 4j 点P 3, 1,6到平面X 5k的单位向量2y 2z 1 设平面X 2y Kz 6与平面Mx 过点M 1,2,0与平面3x y 2z B (a X)24y2 z 0 X2 4 z)2 4y2z2 4 0的距离为 4y z 2平行，则K 7 0垂直的直线方程 xoy平面上的曲线X2 3y25绕x轴旋转一周形成的旋转曲面方程为 直线过点平面方程 义三卫与平面X y z 7 0的位置关系为 2 1 3 - X 1 y 1 z 2 M 1,2, 2且与直线一！丿一垂直的平面方程为 2 3 1 xoy上的曲线y2z 2绕轴旋转一周而成的旋转面方程为 X2 4 y 1 20表示
第6章空间分析 6.1空间数据查询及量算 查询和定位空间对象，并对空间对象进行量算是地理信息系统的基本功能之一，它是地理信息系统进行高层次分析的基础。在地理信息系统中，为进行高层次分析，往往需要查询、定位空间对象，并用一些简单的量测值对地理分布或现象进行描述，比如长度、面积、距离和形状等。实际上，空间分析首先始于空间查询和量算，它是空间分析的定量基础。 6.1.1空间查询 空间查询是从现有的信息中检索出符合特定条件的信息的过程。通过空间查询，GIS可以回答用户提出的简单问题。查询操作不对数据库中的数据做任何改动，也没有任何新数据或新实体生成。图形与属性的查询是空间查询中的两个基本部分，从这个角度出发，可以将空间查询分为三类：图形查询、属性查询与图形属性互查。 图形查询即通过图形查属性，是根据图形的空间位置来查询有关属性信息，包括实体之间的空间关系查询以及实体的属性信息查询等，称为图形查属性。地理信息系统软件一般都会提供一个INFO工具，让用户利用光标，用点选、画线、矩形、圆以及不规则多边形等工具选中地物，显示所查询对象的属性列表，可进行有关统计分析。该查询通常分为两步，首先借助空间索引，在地理信息系统数据库中快速
检索出被选空间实体，然后根据空间实体与属性的连接关系，得到所查询空间实体的属性列表。 属性查询是根据一定的属性条件来查询满足条件的空间实体的位置，是基于实体的属性信息进行查询，称为属性查图形。它与一般的非空间的关系数据库的SQL查询没有区别，只不过最后查询的结果需要再与图形关联起来，即查询到结果后，利用图形和属性的对应关系，进一步在图上用指定的显示方式将结果定位绘出。例如在中国行政区划图上查询人口大于4000万且城市人口大于1000万的省有哪些。 图形属性互查就是将空间关系和属性结合起来进行查询，并将最后结果以图形和属性两种方式显示出来。这种查询方式可以使空间信息和属性信息之间的联系得到更大的发挥，是实际生活中经常用到的查询。例如：查询京沪线沿线人口大于100万的城市及其各种属性信息。 另外，还有一种查询称为地址匹配，就是将文字性的描述地址与其空间的地理位置坐标建立对应关系的过程。例如根据一个地理名字（如学校名字）来定位相关实体并获得其属性信息。其基础是地理编码，即将一个地理名字与一个或若干个空间实体关联起来，或者与实体的某个属性关联起来，或者与某个地理坐标关联起来。地址匹配服务按照特定的步骤为地址查找匹配对象。首先要将地址标准化，然后服务器搜索地址匹配参考数据，查找潜在的位置。根据与地址的接近程度为每个候选位置指定分值，最后用分值最高的来匹配这个地址。
姓名______________ 学号__________________ 2012级信息计算科学 《高等数学选讲》练习题(5) 第六章 定积分及应用 1.抛物线22y x =把圆22 8x y +≤分成两部分，求这两部分面积之比 2. 求两椭圆22221x y a b +≤，22 221x y b a +≤的公共部分的面积. 3.求三叶玫瑰线sin3r a θ=（a>0）所围成的图形的面积. 4.设由y 轴，2,y x y a ==（01a <<）所围成的平面图形，由y a =，2y x =，1x =所围的平面图形都绕y 轴旋转，所得旋转体的体积相等，则a =_________ 5.一圆锥形水池，池口直径30m ，深20m ，池中盛满了水.试求将全部池水抽出池外需做的功. 6. 求函数1tan ()1tan x f x x -= +在区间[0,]4 π上平均值. 7.计算定积分 221x x e dx e π π-+?. 8.讨论下列反常积分的收敛性： （1） 01m x dx x +∞+? （,0n m ≥） （2）0arctan n x dx x +∞? （3）1201(ln )dx x x ?
第七章 空间解析几何与向量代数 1.设一平面通过原点及（6，-3，2），且与平面420x y z -+=垂直，则此平面方程为_________ 2.设直线L ：321021030 x y z x y z +++=??--+=?，及平面π：420x y z -+-=，则直线L （ ） （A ）平行于平面π. （B ）在平面π上. （C ）垂直于平面π. （D ）与平面π斜交. 3. 已知A 点和B 点的直角坐标分别为（1,0,0）与（0,1,1）.线段AB 绕z 轴一周所成的旋转曲面为S ，求由S 及两平面z=0,z=1所围成立体的体积. 第八章 多元函数微分法及其应用 1.设2(,)u xf x y xy =-，其中f 具有连续的二阶偏导数，求2,u u x x y ?????. 2.设x z xy y =+ ，其中()y y x =是由方程221x y +=所确定的函数，则dz dx = _________ 3.设函数(,)f x y 可微，(0,0)0f =，'(0,0)x f m =，'(0,0)y f n =，()[,(,)]t f t f t t ?=，则 '(0)?=_________. 4.设方程33 3z xyz a -=，求隐函数的偏导数2z x y ???. 5.设(,)z f x y =是二次连续可微函数，又有关系式u x ay =+，v x ay =- （a 是不为零的常数），求2z u v ???
第六章 向量代数与空间解析几何 习 题 6—3 1、已知)3,2,1(A ，)4,1,2(-B ，求线段AB 的垂直平分面的方程. 解：设),,(z y x M 是所求平面上任一点，据题意有|,|||MB MA = ()()()2 22321-+-+-z y x ()()(),412222-+++-= z y x 化简得所求方程26270x y z -+-=.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程. 2、 一动点移动时，与)0,0,4(A 及xOy 平面等距离，求该动点的轨迹方程. 解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则 (,,)M x y z C MA z u u u r ∈? = 亦即 z z y x =++-222)4( 0 )4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(2 2 =+-y x . 3、 求下列各球面的方程： （1）圆心)3,1,2(-，半径为6=R ； （2）圆心在原点，且经过点)3,2,6(-； （3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与；（4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(2 2 2 =-+++-z y x （2）由已知，半径73)2(6222=+-+= R ，所以球面方程为49222=++z y x （3）由已知，球面的球心坐标12 3 5,1213,3242=-=-=+-==+=c b a ， 球的半径21)35()31()24(2 1 222=++++-= R ，所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x （4）设所求的球面方程为：02222 22=++++++l kz hy gx z y x 因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-，所以???????=-=++=+=08160621008160k h g g l 解之得???? ???=-=-==2210k g h l ∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x .
第六章 空间解析几何与向量代数 基 本 课 题 ： 6.1空间直角坐标系与向量代数 目 的 要 求 ：理解空间直角坐标系与向量代数的概念 重 点 ：空间直角坐标系的概念与向量线性运算 难 点 ： 空间向量方向余弦 教 学 方 法 ： 讲授与提问结合 教 学 手 段 ： 电子课件、黑板 教 参 ：《高等数学》(人大理工类本科教材) 教学环节及组织： 课前复习并引入新课 一、空间直角坐标系 在空间取定一点O 和三个两两垂直的单位向量i 、j 、k , 就确定了三条都以O 为原点的两两垂直的数轴, 依次记为x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴), 统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系, 称为Oxyz 坐标系. 注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位; (2)通常把x 轴和y 轴配置在水平面上, 而z 轴则是铅垂线; (3)数轴的的正向通常符合右手规则. 坐标面: 在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平面, 这种平面称为坐标面. x 轴及y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面, 另两个坐标面是yOz 面和zOx 面. 卦限: 三个坐标面把空间分成八个部分, 每一部分叫做卦限, 含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限, 它位于xOy 面的上方. 在xOy 面的上方, 按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限. 在xOy 面的下方, 与第一卦限对应的是第五卦限, 按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限. 八个卦限分别用字母I 、II 、III 、IV 、V 、VI 、VII 、VIII 表示. 坐标点：{},,x y z 坐标面上和坐标轴上的点, 其坐标各有一定的特征. 例如: 点M 在yOz 面上, 则x =0; 同相, 在zOx 面上的点, y =0; 在xOy 面上的点, z =0. 如果点M 在x 轴上, 则y =z =0; 同样在y 轴上,有z =x =0; 在z 轴上 的点, 有x =y =0. 如果点M 为原点, 则x =y =z =0. 空间中两点间的距离公式；d =
第六章空间解析几何和向量代数末考复习题 一、选择题： 1. 下列哪组角可以作为某个空间向量的方向角---------------------------------------------（ ） （A ）???60,45,30 （B ）???90,60,45 （C ）???120,90,60 （D ）???135,90,45 2、下列关系式错误的是------------------------------------------------------------------（ ） (A) a b b a ?=? (B) a b b a ?-=? (C) 22||a a = (D) 0=?a a 3、列曲面中经过原点的曲面是（ ）； A 、22;x y z =++ B 、2221;x y z ++= C 、22;z y xy =+ D 、22 (1).z x y =++ 4、将曲线250 y z x ?=?=?绕z 轴旋转一周，所得的曲面为（ ） （A ）圆锥面 （B ）旋转抛物面 （C ）椭球面 （D ）抛物柱面 5、在空间直角坐标系中，2236x y +=是（ ） （A ）圆 （B ）球 （C ）一点 （D ）圆柱面 6、在空间直角坐标系下，方程350x y +=的图形表示为（ ）； A 、通过原点的直线； B 、垂直于z 轴的直线； C 、垂直于z 轴的平面； D 、通过z 轴的平面。 7、已知向量{}4,4,7PQ =-的终点为()2,1,7,Q -则起点P 的坐标为 （ ）； A 、()2,3,0;- B 、()2,3,0;- C 、()4,5,14;- D 、()4,5,14.- 8、平面0x y z ++=（ ）； A 、平行于x 轴； B 、平行于y 轴； C 、平行于z 轴； D 、过原点。 9. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（ ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 10.平面1234 x y z ++=与平面2341x y z +-=的位置关系是( )． (A) 相交但不垂直 (B) 互相垂直 (C) 平行但不重合 (D) 互相重合 11，设空间直线方程,012 x y z ==则此直线经过的点是（ ）； A 、()0,0,0; B 、()0,1,0; C 、()0,0,1; D 、()2,1,2. 12．空间直线12327 x y z -+==- 与平面3271x y z -+=的相互位置关系是（ ） （A ）互相平行但不相交 （B ）互相垂直 （C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面内 二、填空题 13、)1,3,2(-=a 与)2,2,4(-=b 的位置关系_______________ 14、设）（2,1,3-=a ，）（1,2,1-=b ，则 b a ?=__________.b a ?=__________
第六章 要求与练习 一、学习要求 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示 . 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积） ，两个向量垂直、平行的条件 . 掌握 单位向量、 方向数与方向余弦、 向量的坐标表达式， 以及用坐标表达式进行向量运算的方法 . 3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、 相交等）解决有关问题 . 7 、了解空间曲线在坐标平面上的投影，会求其方程 . 二、练习 1、一向量起点为 A （ 2，－ 2， 5），终点为 B （－ 1， 6， 7），求 （1） AB 分别在 x 轴、 y 轴上的投影，以及在 z 轴上的分向量； （2） AB 的模；（ 3） AB 的方向余弦； （4） AB 方向上的单位向量 . 解：（ 1） AB 3,8,2 ， AB 分别在 x 轴的投影为 -3，在 y 轴上的投影为 8，在 z 轴上的 分向量 2k ；（ 2） AB 77 ；（ 3） AB 的方向余弦为 3 , 8 2 ； 77, 77 77 （4） AB 方向上的单位向量 1 ( 3i 8 j 2k ) . 77 2、设向量 a 和 b 夹角为 60o ，且 | a | 5 ， | b | 8 ，求 | a b |， | a b | . 解： | a b | a 2 | a |2 | b |2 2 | a ||b | cos600 129 ， b = | a b | a 2 | a |2 |b |2 2 | a || b | cos600 b =7. 3、已知向量 a {2,2,1 } ， b {8, 4,1} ，求 （1）平行于向量 a 的单位向量； （ 2）向量 b 的方向余弦 . 解（ 1） a 2 2 2 2 1 2 3 平行于向量 a 的单位向量 { 2,2,1 }； 3 3 3 （2） b 82 42 12 9 ，向量 b 的方向余弦为： 8 , 4 , 1 . 9 9 9 4、一向量的终点为 B （ 2，－ 1， 7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为 4、－ 4 和 7.求该 向量的起点 A 的坐标 . 解： AB =(4， -4， 7)=(2 ， -1，7)-(x ， y ， z),所以 (x ， y ， z)=（－ 2， 3， 0）； 5、已知 a {2, 2,1} ， b {3,2,2} ，求 b b
第 六章 要求与练习 一、学习要求 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示. 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），两个向量垂直、平行的条件.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法. 3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题. 7、了解空间曲线在坐标平面上的投影，会求其方程. 二、练习 1、一向量起点为A （2，－2，5），终点为B （－1，6，7），求 （1）AB u u u r 分别在x 轴、y 轴上的投影，以及在z 轴上的分向量； （2）AB u u u r 的模；（3）AB u u u r 的方向余弦；（4）AB u u u r 方向上的单位向量. 解：（1）()3,8,2AB =-u u u r ，AB u u u r 分别在x 轴的投影为-3，在y 轴上的投影为8，在z 轴上的 分向量2k r ；（2）AB =u u u r ；（3）AB u u u r （4）AB u u u r 382) i j k -++r r r . 2、设向量a r 和b r 夹角为60o ，且||5a =r ，||8b =r ，求||a b +r r ，||a b -r r . 解：||a b +==r r ||a b -= =r r =7. 3、已知向量{2,2,1}a =r ，{8,4,1}b =-r ，求 （1）平行于向量a r 的单位向量； （2）向量b r 的方向余弦. 解（1）3a = =r 平行于向量a r 的单位向量221{,,}333 ±； （2）9b ==r ，向量b r 的方向余弦为：841,,999 -. 4、一向量的终点为B （2，－1，7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、－4和7.求该向量的起点A 的坐标. 解：AB u u u r =(4，-4，7)=(2，-1，7)-(x ，y ，z),所以(x ，y ，z)=（－2，3，0）；
第六章 要求与练习 一、学习要求 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示. 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），两个向量垂直、平行的条件.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法. 3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题. 7、了解空间曲线在坐标平面上的投影，会求其方程. 二、练习 1、一向量起点为A （2，－2，5），终点为B （－1，6，7），求 （1）AB u u u r 分别在x 轴、y 轴上的投影，以及在z 轴上的分向量； （2）AB u u u r 的模；（3）AB u u u r 的方向余弦；（4）AB u u u r 方向上的单位向量. 解：（1）()3,8,2AB =-u u u r ，AB u u u r 分别在x 轴的投影为-3，在y 轴上的投影为8，在z 轴上的 分向量2k r ；（2）AB =u u u r ；（3）AB u u u r ； （4）AB u u u r 382) i j k -++r r r . 2、设向量a r 和b r 夹角为60o ，且||5a =r ，||8b =r ，求||a b +r r ，||a b -r r . 解：||a b += =r r ||a b -==r r =7. 3、已知向量{2,2,1}a =r ，{8,4,1}b =-r ，求 （1）平行于向量a r 的单位向量； （2）向量b r 的方向余弦. 解（1）3a ==r 平行于向量a r 的单位向量221{,,}333±； （2）9b ==r ，向量b r 的方向余弦为：841,,999-. 4、一向量的终点为B （2，－1，7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、－4和7.求该向量的起点A 的坐标. 解：AB u u u r =(4，-4，7)=(2，-1，7)-(x ，y ，z),所以(x ，y ，z)=（－2，3，0）； 5、已知{2,2,1}a =-r ，{3,2,2}b =r ，求 （1）垂直于a r 和b r 的单位向量； （2）向量a r 在b r 上的投影；
习 题 6—4 1、一动点移动时，与)0,0,4(A 及xOy 面等距离，求该动点的轨迹方程. 解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则 (,,)M x y z C MA z u u u r ∈? = 亦即 z z y x =++-222)4( 0)4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x . 2、 求下列各球面的方程： （1）圆心)3,1,2(-，半径为6=R ； （2）圆心在原点，且经过点)3,2,6(-； （3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与；（4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(2 2 2 =-+++-z y x （2）由已知，半径73)2(6222=+-+= R ，所以球面方程为49222=++z y x （3）由已知，球面的球心坐标12 3 5,1213,3242=-=-=+-==+=c b a ， 球的半径21)35()31()24(2 1 222=++++-= R ，所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x （4）设所求的球面方程为：02222 22=++++++l kz hy gx z y x 因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-，所以???????=-=++=+=08160621008160k h g g l 解之得???? ???=-=-==2210k g h l ∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x . 3、求下列旋转曲面的方程： （1）将yOz 坐标面上的抛物线22y z =绕z 旋转一周所生成的旋转曲面； 解：222x y z +=(旋转抛物面) .
第六章向量代数与空间解析几何 习题 A 一、选择题 1、向量a 与三坐标轴的夹角分别为 ,,，则 (); A cos cos cos 1 B cos 2 c o s 2 cos 2 1 C cos 2 cos 2 cos 2 1 D cos 2 cos 2 cos 2 b 的夹角 =( b a 2,0,2 2,0, 2 4、平面x 2y 5 0的位置是 ) ； A 平行Z 轴 B 通过Z 轴 垂直Z 轴 D 平行XOY 平面 5、过点 A 3,0,2 ,B 4,1,6 且平行于Y 轴的平面的法向量 n ()； 1,1,4 0,1,1 1,1,4 1,0,0 C 1,1,4 0,1,0 D 1,1,4 0,0,1 6、向量 a 1,1, 2,0, 2，则同时垂直a 及b 的单位向量为n 0 ()； 2、两个非零向量a 和b 平行，贝U (); r r r r r A 其必要条件是a b 0 B 其必要条件是a b 0 r r r r C 充分必要条件是 a b 0 D 充分必要条件是 a b ,(a 4b) (7a 2b)，则 2,0, 2,0, 3、设a , b 为非零向量，且满足 (a 3b) (7 a 5b) r o
9、过点A 3,0,2 ,B 4,1,6且平行于Y 轴的平面的法向量 n (); 4、过点M 1,2,0与平面3x y 2z 7 0垂直的直线方程 ________________________________ 5、 xoy 平面上的曲线x 2 3y 2 5绕x 轴旋转一周形成的旋转曲面方程为 _________________ 6、 直线口 上Z 3与平面x y z 7 0的位置关系为 ； 2 1 3 x 1 y 1 z 2 7、 过点M 1,2, 2且与直线 垂直的平面方程为 _________________ ; 2 3 1 8、 平面xoy 上的曲线y 2 z 2绕轴旋转一周而成的旋转面方程为 _____________________ ； 9、 方程x 2 4 y 1 2 0表示 _______________ ； A x 1 y z 3 3 1 1 C - x 1 y z 3 3 1 1 8、平 面 x 2y 5 0的位置是 ( A 平行 Z 轴 B 通过 Z 轴 7、过点M 1,0,3且与两平面 B 3 x 1 1 y 0 1 z 3 0 D - 3 x 1 1 y 0 1 z 3 0 ; C 垂直 Z 轴 D 平行XOY 平面 (); A (az)2 4y 2 2 z 4 B (a x)2 4y 2 x 2 4 z 0 x 0 -(a z)2 4y 2 2 x 4 D / 、2 ,2 2 , C (a z) 4y z 4 x 0 二、填空题 r r r r 1、平仃于向量 a 3i 4j 5k 的单位向量 ; 10、曲面 x 2 4y 2 z 2 4与平面x z a 的交线在yOz 上的投影方程是( 2、点 p 3, 1,6 至U 平面 x 2y 2z 1 0的距离为 1 ：X y 2Z 1 0 都平行的直线方程为 2 :x 2y z 1 A 1,1,4 0,1,1 B 1,1,4 1,0,0 C 1,1,4 0,1,0 D 1,1,4 0,0,1 3、设平面x 2y Kz 6与平面 Mx 4y z 2平行，则K