第十章 偏微分方程数值解法
偏微分方程问题，其求解十分困难。除少数特殊情况外，绝
大多数情况均难以求出精确解。因此，近似解法就显得更为重要。本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。
§1 差分方法的基本概念
1.1 几类偏微分方程的定解问题
椭圆型方程：其最典型、最简单的形式是泊松（Poisson ）方程
),(22
2
2y x f y
u x u u =??+??=? 特别地，当0),(≡y x f 时，即为拉普拉斯（Laplace ）方程，又
称
为调和方程
22
22=??+??=?y
u
x u u Poisson 方程的第一边值问题为
??
???Ω
?=Γ=Ω∈=??+??Γ∈),(),(),()
,(),(22
22y x y x u y x y x f y u
x
u y x ?
其中
Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线，ΓΩY
称为定解区域，),(y x f ，),(y x ?分别为Ω，Γ上的已知连
续函数。
第二类和第三类边界条件可统一表示为
),(),(y x u u y x ?α=???
? ??+??Γ∈n 其中n 为边界Γ的外法线方向。当0=α时为第二类边界条件， 0≠α时为第三类边界条件。
抛物型方程：其最简单的形式为一维热传导方程
2
20(0)u u
a a t x
??-=>?? 方程可以有两种不同类型的定解问题： 初值问题
??
???+∞
<<∞-=+∞<<-∞>=??-??x x x u x t x u a t
u )()0,(,00
22?
初边值问题
2
212
00,0(,0)()0(0,)(),(,)()0u u
a t T x l t x u x x x l
u t g t u l t g t t T
????-=<<<
=≤≤??==≤≤???
其中
)(x ?，)(1t g ，)(2t g 为已知函数，且满足连接条件
)0()(),
0()0(21g l g ==??
边界条件)(),(),(),0(21t g t l u t g t u ==称为第一类边界条
件。
第二类和第三类边界条件为
)()()()(22101t g u t x u t g u t x u l
x x =??
????+??=???
???-??==λλ
T t ≤≤0
其中
0)(1≥t λ，0)(2≥t λ。当0)()(21≡=t t λλ时，为第二
类边界条件，
否则称为第三类边界条件。
双曲型方程:
最简单形式为一阶双曲型方程
=??+??x
u
a t u 物理中常见的一维振动与波动问题可用二阶波动方程
2
2
2
22x
u a t u ??=??
描述，它是双曲型方程的典型形式。方程的初值问题为
?????
????+∞
<<∞-=??=+∞
<<∞->??=??=x x t
u x x u x t x u a t u t )()()0,(,0022
222ψ?
边界条件一般也有三类，最简单的初边值问题为
22
2220
12
00,0(,0)(),
()0(0,)(),(,)()0t u u
a t T x l t x u u x x x x l t u t g t u l t g t t T
?ψ=???==<<<
==≤≤???
?==≤≤???
1.2 差分方法的基本概念
差分方法又称为有限差分方法或网格法，是求偏微分方程定 解问题的数值解中应用最广泛的方法之一。
它的基本思想是：先对求解区域作网格剖分，将自变量的连 续变化区域用有限离散点（网格点）集代替；将问题中出现的连 续变量的函数用定义在网格点上离散变量的函数代替；通过用网 格点上函数的差商代替导数，将含连续变量的偏微分方程定解问 题化成只含有限个未知数的代数方程组（称为差分格式）。如果 差分格式有解，且当网格无限变小时其解收敛于原微分方程定解 问题的解，则差分格式的解就作为原问题的近似解（数值解）。 因此，用差分方法求偏微分方程定解问题一般需要解决以下问题： （1）选取网格；
（2）对微分方程及定解条件选择差分近似，列出差分格式； （3）求解差分格式；
（4）讨论差分格式解对于微分方程解的收敛性及误差估计。
下面，用一个简单的例子来说明用差分方法求解偏微分方程 问题的一般过程及差分方法的基本概念。
设有一阶双曲型方程初值问题。
??
???=+∞
<<∞->=??+??)()0,(,00x x u x t x u a t
u
?
（1） 选取网格：
分，最简单
kh
x x k ==，
(0,1,2,0,1,2,)j t t j k j τ===±±=L L 将
D 分成许
多小矩形
区域。这些直线称为网格线，其交点称为网格点，也称为节点，
h 和τ
分别称作
x 方向和t
方向的步长。这种网格称为矩形网格。
（2） 对微分方程及定解条件选择差分近似，列出差分格式： 如果用向前差商表示一阶偏导数，即
2
211(,)12(,)(,)(,)(,)2
(,)(,)(,)
2
k
j
k j k j k j k j x x t k j k j k j t x t u x t u x t u
h u x h t x h u x t u x t u
u x t t θτθττ++-?''=-+?-?''=-+?
其中
1,021<<θθ。
方程
u u
a t x
??+=?? 在节点
),(j k t x 处可表示为
h
t x u t x u a
t x u t x u j k j k j k j k )
,(),()
,(),(11-+-++τ
),(2
),(2122
2
j k x
j k t t h x u ah
t x u θτθτ+''++''=
),2,1,0,,2,1,0()
,(ΛΛ=±±==j k t x R j k
其中
(,0)()(0,1,2,)k k u x x k ?==±±L 。由于当
τ
,h 足够小时，在式
中略去
),(j k t x R ，就得到一个与方程相近似的差分方程
1,1,,,0
k j k k k j
j j
u u u u a
h
τ
++--+=
此处，j k u ,可看作是问题的解在节点),(j k t x 处的近似值。同初值
条件
),2,1,0()
(0,Λ±±==k x u k k ?
结合，就得到求问题的数值解的差分格式。
式
)
()
,(2
),(2),(1222h O t h x u ah
t x u t x R j k x j k t j k +=+''++''=τθτθτ
称为差分方程的截断误差。
如果一个差分方程的截断误差为
)(p
q h O R +=τ，则称差分方 程对
t
是
q 阶精度，对x 是p 阶精度的。显然，截断误差的阶数
越大，差分方程对微分方程的逼近越好。
若网格步长趋于0时，差分方程的截断误差也趋于0，则称
差分方程与相应的微分方程是相容的。这是用差分方法求解偏微 分方程问题的必要条件。
如果当网格步长趋于0时，差分格式的解收敛到相应微分方 程定解问题的解，则称这种差分格式是收敛的。
§2 椭圆型方程第一边值问题的差分解法
本节以Poisson 方程为基本模型讨论第一边值问题的差分方法。 2.1 差分格式的建立
考虑Poisson 方程的第一边值问题
??
???Ω
?=Γ=Ω∈=??+??Γ∈),(),(),()
,(),(2222y x y x u y x y x f y u
x
u y x ?
取τ
,h
线
x x k =格
。
{(,),,,}k j k j R x y x kh y j k j τ===为整数。定解区
域内部的节点称为内点，记内点集
ΩI R 为τ
h Ω。边界
Γ与网格
线的交点称为边界点，边界点全体记为
τ
h Γ。与节点
),(j k y x 沿x 方
向或
y
方向只差一个步长的点
),(1j k y x ±和),(1±j k y x 称为节点
),(j k y x 的
相邻节点。如果一个内点的四个相邻节点均属于ΓΩY ，称为正
则内点，正内点的全体记为
)
1(Ω
，至少有一个相邻节点不属于
ΓΩY
的内点称为非正则内点，非正则内点的全体记为)
2(Ω
。问题是要
求出第一边值问题在全体内点上的数值解。
为简便，记
)
,(),(j k y x j k =，
(,)(,)
k j u k j u x y =，
),(,j k j k y x f f =。对正则
内点)
1(),(Ω∈j k ，由二阶中心差商公式
4
4422
(42
(,)
2(4)222(4)2
2
(,)
(1,)(,)(,)(1,)
12
(1,)2(,)(1,)(12
(,1)2(,)(,1)(,12
x k j k
x k j y k j u k j u k j u k j u k j u h h h u x h u k j u k j u k j h u x h u
u k j u k j u k j u x y y
ττ+----?=-?+-+-=-?+-+-=-+?
Poisson 方程
22
22
(,)u u
f x y x y
??+=?? 在点
),(j k 处可表示为
22
(1,)2(,)(1,)(,1)2(,)(,
u k j u k j u k j u k j u k j u k h τ
+-+-+-++
其中
(),(12
),(12),(2
2)4(2
1)4(244+=+++=τ
τθτθh O y x u y h x u h j k R j k x j k x
为其截断误差表示式，略去
),(j k R ，即得与方程相近似的差分方程
j
k j k j k j k j
k j k j k f u u u h
u u u ,2
1
,,1,2
,1,,122=+-+
+--+-+τ
式中方程的个数等于正则内点的个数，而未知数j k u ,则除了包含
正则内点处解
u 的近似值外，还包含一些非正则内点处u 的近
似值，因而方程个数少于未知数个数。在非正则内点处Poisson 方程的差分近似不能按上式给出，需要利用边界条件得到。 边界条件的处理可以有各种方案，下面介绍较简单的两种。 （1）直接转移
用最接近非正则内点的边界点上的u 值作为该点上u
值的
近似，这就是边界条件的直接转移。 例如，点),
(j k P 为非正则内点，其最接近的边界点为Q
点，则有
)
2(,),()
()(Ω∈==j k Q Q u u j k ?
上式可以看作是用零次插值得到非正则内点处u 的近似值，容易
求出，其截断误差为)(τ+h O 。将上式代入，方程个数即与未知数
个数相等。 （2）线性插值
这种方案是通过用同一条网格线上与点P 相邻的边界点与
内点作线性插值得到非正则内点),
(j k P 处u
值的近似。由点
R 与
T
的线性插值确定
)(P u 的近似值j k u ,，得
)()(,T d
h d R d h h u j
k ??+++=
其中RP d =，其截断误差为
)(2
h O 。将其与方程相近似的差分方
程联立，得到方程个数与未知数个数相等的方程组，求解此方程 组可得Poisson 方程第一边值问题的数值解。
上面所给出的差分格式称为五点菱形格式，
j
k j k j k j k j
k j k j k f u u u h
u u u ,2
1
,,1,2
,1,,122=+-+
+--+-+τ
实际计算时经常取τ=h ，此时五点菱形格式可化为
1,1,,1,1,,21
(4)k j k j k j k j k j k j u u u u u f h
+-+-+++-= 简记为
2
1h ◇
j k j k f u ,,=
其中◇
j k j k j k j k j k j k u u u u u u ,1,1,,1,1,4-+++=-+-+。
例1 用五点菱形格式求解拉普拉斯（Laplace ）方程第一边值问题
??
???Ω?=Γ++=Ω∈=??+??Γ])1lg[(),(),()
,(222222y x y x u y x y x f y u
x
u 其中}1,0),{(≤≤=Ωy x y x 。取3
1
==τh 。
（0,0）
[解]程组
???????????=-+++=-+++=-+++++0
)4(10)4(10)4(1(12,21,23,22,12,322,11,13,12,02,221,20,22,21,11,321,10,12,11,01,22u u u u u h
u u u u u h u u u u u h u u u h 代入边界条件
1,02,00,10,21,32,33,13,21625
lg ,lg
991013
lg ,lg
992534
lg ,lg
993740
lg ,lg
99
u u u u u u u u ?
==??
?==??
?==???==??
其解为
2756919
.01,1=u ，
4603488.01,2=u ，
3467842.02,1=u ，5080467
.02
,2=u
当
τ
=h 时
，
对
1,1,,1,1,,21
(4)k j k j k j k j k j k j u u u u u f h
+-+-+++-= 利用点),(j k ，)1,1(-±j k ，)1,1(+±j k 构造的差分格
式，称为五点 矩形格式，简记为
2
21h □
j k j k f u ,,=
其
中
□
j k j k j k j k j k j k u u u u u u ,1,11,11,11,1,4-+++=--+--+++，其
截断误差为
24444
4244(,)
(,)6()12k j h u u u R k j O h O x x y y ?????=+++= ???????
五点菱形格式与矩形格式的截断误差均为
)(2
h O ，称它们具有
二阶精度。如果用更多的点构造差分格式，其截断误差的阶数可 以提高，如利用菱形格式及矩形格式所涉及的所有节点构造出的 九点格式就是具有四阶精度的差分格式。
§3 抛物型方程的差分解法
以一维热传导方程
)0(022
>=??-??a x
u
a t u
为基本模型讨论适用于抛物型方程定解问题的几种差分格式。
3.1 差分格式的建立
首先对
xt
平面进行网格剖分。分别取
τ,h 为x
方向与
t
方向
的步长，用两族平行直线
(0,1,2,)k x x kh k ===±±L ，
)2,1,0(Λ===j j t t j τ，将xt
平面剖分成矩形网格，节点
为(,)
(0,1,2,,0,1,2)k j x t k j =±±=L L 。为
简便，记
)
,(),(j k t x j k =，
)
,(),(j k t x u j k u =，)
(k k x ??=，
)
(11j j t g g =，
221122(),(),()j j j j j j g g t t t λλλλ===。
（一）微分方程的差分近似
在网格内点
),(j k 处，对
t
u ??分别采用向前、向后及中心差商公式
(,)
(,)
2(,)
(,1)(,)
()(,)(,1)
()
(,1)(,1)()
2k j k j k j u u k j u k j O t u u k j u k j O t u u k j u k j O t
ττ
ττ
ττ
?+-=
+??--=
+??+--=+?
一维热传导方程
)0(022>=??-??a x
u
a t u
可分别表示为
()
,1(),(2),1()
,()1,(2
h O h
j k u j k u j k u a j k u j k u +=-+-+--+ττ
()
,1(),(2),1()1,()1,(2
h O h
j k u j k u j k u a j k u j k u +=-+-+---+ττ
22
2
(,1)(,1)(1,)2(,)(1,)(2u k j u k j u k j u k j u k j a O h h
ττ+--+-+--=+
由此得到一维热传导方程的不同差分近似
022
,1,,1,1,=+----++h
u u u a
u u j
k j k j k j
k j k τ
022
,1,,11
,,=+----+-h
u u u a
u u j
k j k j k j k j k τ
,1,1
1,,1,2
202k j k j k j k j k j
u u u u u a
h
τ
+-+---+-=
上述差分方程所用到的节点各不相同。其截断误差分别为
)(2
h O +τ，)(2h O +τ和)(22h O +τ。因此，它们都与一维热传导方程相容。
如果将式
2
2
(,1)(,1)(1,)2(,)(1,)(2u k j u k j u k j u k j u k j a O h
ττ+--+-+--=+
中的j k u ,用
)(2
1
1,1,-++j k j k u u 代替，则可得到又一种差分近似
022
,11,1,,11
,1,=+------++-+h
u u u u a
u u j
k j k j k j k j k j k τ
差分方程用到四个节点。由Taylor 公式容易得出
)()(2
121,1,,τO u u u j k j k j
k ++=-+
故其的截断误差为
???
? ?
?++2
222
)(h O h O τ
τ
。因而不是对任意的0,→τh ，
此差分方程都能逼近热传导方程
)0(022
>=??-??a x
u
a t u ，
仅当
()o h τ=时，才成立。
综上可知，用不同的差商公式可以得到微分方程的不同的差 分近似。构造差分格式的关键在于使其具有相容性、收敛性和稳 定性。前面三个方程都具有相容性，而此方程则要在一定条件下 才具有相容性。
（二）初、边值条件的处理
为用差分方法求解定解问题初值问题
??
???+∞
<<∞-=+∞<<-∞>=??-??x x x u x t x u a t
u )()0,(,00
22?
初边值问题
221200,0(,0)()0(0,)(),(,)()0u u
a t T x l t x u x x x l
u t g t u l t g t t T ????-=<<<
=≤≤??==≤≤???
还需对定解条件进行离散化。
对初始条件及第一类边界条件，可直接得到 k
k k x u u ?==)0,(0,
(0,1, 0,1,,)k k n =±=L L 或
j
j j n j
j j g t l u u g t u u 2,1,0),(),0(====
)1,,1,0(-=m j Λ
其中
τ
T m h l n ==,
对第二、三类边界条件
)
()()()(2210
1t g u t x u t g u t x u l
x x =??
?
???+??=??????-??==λλ
T
t ≤≤0
需用差分近似。下面介绍两种较简单的处理方法。
偏微分方程数值解试题(０6B ） 参考答案与评分标准 信息与计算科学专业 一(10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(2 1)(n R x x b x Ax x J ∈-=，)()(0x x J λλ?+=.若0)0('=?，则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定)，求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点，对于任意的n R x ∈,令 ),(2),()()()(2 000x Ax x b Ax x J x x J λλλλ?+-+=+=, （3分) 0)0('=?,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0，则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ，得到b Ax =0． (3分) 反之,若n R x ∈0满足b Ax =0,则对于任意的x ,)(),(2 1)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+??,因此0x 是)(x J 的最小值点. (４分） 评分标准：)(λ?的展开式3分, 每问3分，推理逻辑性１分 二（10分）、 对于两点边值问题:?????==∈=+-=0 )(,0)(),()('b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E 为求解函数空间,检验函数空间．取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (３分) )().(),(v f fvdx dx quv dx dv dx du p v u a b a b a ==+=??,),(1 b a H v E ∈? 即变分问题的Galerkin 形式. （3分)
一．填空（1553=?分） 1．若步长趋于零时，差分方程的截断误差0→lm R ，则差分方程的解lm U 趋近于微分方 程的解lm u . 此结论_______（错或对）； 2．一阶Sobolev 空间{} )(,,),()(21 Ω∈''=ΩL f f f y x f H y x 关于内积=1),( g f _____________________是Hilbert 空间； 3．对非线性（变系数）差分格式，常用 _______系数法讨论差分格式的_______稳定性； 4．写出3 x y =在区间]2,1[上的两个一阶广义导数：_________________________________， ________________________________________； 5．隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_______（错或对）。 二．（13分）设有椭圆型方程边值问题 用1.0=h 作正方形网格剖分 。 （1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； （2）用截断误差为)(2 h O 的差分法将第三边界条件离散化； （3）整理后的差分方程组为 三．（12）给定初值问题 x u t u ??=?? ， ()10,+=x x u 取时间步长1.0=τ，空间步长2.0=h 。试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）, 并以此格式求出解函数),(t x u 在2.0,2.0=-=t x 处的近似值。 1．所选用的差分格式是： 2．计算所求近似值： 四．（12分）试讨论差分方程 ()h a h a r u u r u u k l k l k l k l ττ + - = -+=++++11,111 1 逼近微分方程 0=??+??x u a t u 的截断误差阶R 。 思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（l+1/2,k+1/2）展开的。 思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格 式。
偏微分方程数值解 偏微分方程地构建科学、工程学和其他领域的数学模型的主要手段。一般情况下,这些模型都需要用数值方法去求解。本书提供了标准数值技术的简明介绍。借助抛物线型、双曲线型和椭圆型方程的一些简单例子介绍了常用的有限差分方法、有限元方法、有限体方法、修正方程分析、辛积分格式、对流扩散问题、多重网络、共轭梯度法。利用极大值原理、能量法和离散傅里叶分析清晰严格地处理了稳定性问题。本书全面讨论了这些方法的性质,并附有典型的图像结果,提供了不同难度的例子和练习。 本书可作为数学、工程学及计算机科学专业本科教材,也可供工程技术人员和应用工作者参考。 偏微分方程数值解---学习总结(2) 关于SobolveSobolve空间的几个重要定理 迹定理 : ΩΩ是 RdRd 的一个有界开子集，具有李普希茨连续边界?Ω?Ω, s>12s>12, 则 a.存在唯一的连续线性映射γ0:Hs(Ω)→Hs?12(?Ω),满足γ0v=v ∣∣?Ω,?v∈Hs(Ω)∩C0(Ωˉˉˉˉ), b.存在唯一的连续映射R0：Hs?12(?Ω)→Hs(Ω),满足γ0°R0°φ=φ,?φ∈Hs?12(?Ω).(1)(2)(1)a.存在唯一的连续线性映射γ0:Hs(Ω)→Hs?12(?Ω),满足γ0v=v|?Ω,?v∈
Hs(Ω)∩C0(Ωˉ),(2)b.存在唯一的连续映射R0：Hs?12(?Ω)→Hs(Ω),满足γ0°R0°φ=φ,?φ∈Hs?12(?Ω). 迹定理把区域内部与边界联系起来. 上面定理中边界?Ω?Ω当被它的一个子集ΣΣ代替时，结论依然成立. S=1时， γ0:H1(Ω)→H12(?Ω)?L2(?Ω)||γ0v||0,?Ω≤||γ0v||2,?Ω≤C||v||1=C(||v||0+||?v||0).γ0:H1(Ω)→H12(?Ω)? L2(?Ω)||γ0v||0,?Ω≤||γ0v||2,?Ω≤C||v||1=C(||v||0+||? v||0). 注意几个范数 ||?||k||?||0||?||1||??||0=||?||k,2=||?||L2=||?||1,2=(||?||20+||??||20)12=|?|1.(3)(4)(5)(6)(3)||?||k=||?||k,2(4)||? ||0=||?||L2(5)||?||1=||?||1,2=(||?||02+||??||02)12(6)||?? ||0=|?|1. 庞加莱不等式(Poincare inequality): 假设ΩΩ是 RdRd 的一个有界联通开子集，ΣΣ是边界?Ω?Ω的一个非空的李普希茨连续子集. 则存在一个常数 CΩ>0CΩ>0满足 ∫Ωv2(x)dx≤CΩ∫Ω|?v(x)|2dx,?v∈H1Σ(Ω),其中H1Σ(Ω)={v ∈H1(Ω),γΣv=v∣∣Σ=0}.∫Ωv2(x)dx≤CΩ∫Ω|?v(x)|2dx,?v∈HΣ1(Ω),其中HΣ1(Ω)={v∈H1(Ω),γΣv=v|Σ=0}.
偏微分方程数值解试题(06B) 参考答案与评分标准 信息与计算科学专业 一（10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(2 1 )(n R x x b x Ax x J ∈-= ，)()(0x x J λλ?+=.若0)0('=?,则称称0x 是)(x J 的驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点,对于任意的n R x ∈,令 ),(2 ),()()()(2 000x Ax x b Ax x J x x J λλλλ?+ -+=+=, (3分) 0)0('=?,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有 0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若 n R x ∈0满足 b Ax =0,则对于任意的 x ,)(),(2 1 )0()1()(00x J x Ax x x J >+ ==+??,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分) 评分标准:)(λ?的展开式3分, 每问3分,推理逻辑性1分 二（10分）、 对于两点边值问题：????? ==∈=+-=0 )(,0)() ,()(' b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ] ,[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和 Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)(),,(|{11 =∈=a u b a H u u H E 为求解函数空间,检验函数空间.取),(1 b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分) )().(),(v f fvdx dx quv dx dv dx du p v u a b a b a ==+=??,),(1 b a H v E ∈? 即变分问题的Galerkin 形式. (3分) 令?-+=-=b a dx fu qu dx du p u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式
偏微分方程数值解期末复习（2011硕士） 一、考题类型 本次试卷共六道题目，题型及其所占比例分别为： 填空题20%；计算题80% 二、按章节复习内容 第一章 知识点：Euler法、向前差商、向后差商、中心差商、局部截断误差、整体截断误差、相容性、收敛性、阶、稳定性、显格式、隐格式、线性多步法、第一特征多项式、第二特征多项式、稳定多项式、绝对稳定等； 要求: 会辨认差分格式, 判断线性多步法的误差和阶; 第二章 知识点：矩形网格、(正则,非正则)内点、边界点、偏向前(向后,中心)差商、五点差分格式、增设虚点法、积分插值法、线性椭圆型差分格式、极值原理、比较定理、五点差分格式的相容收敛和、稳定性等； 要求: 建立椭圆型方程边值问题的差分格式, 极值原理; 第四章 知识点：最简显格式、最简隐格式、CN格式、双层加权格式、Richardson 格式、网格比、传播因子法(分离变量法) 、传播因子、传播矩阵、谱半径、von Neumann条件、跳点格式、ADI格式、线性椭圆型差分格式、极值原理、比较定理、五点差分格式的相容收敛和稳定性等； 要求: 建立抛物型方程边值问题的差分格式, 计算局部截断误差; 第五章 知识点：左偏心格式、右偏心格式、中心格式、LF格式、LW格式、Wendroff 格式、跳蛙格式、特征线、CFL条件等； 要求: 建立双曲型方程边值问题的差分格式, 计算局部截断误差; 第七章 要求: 会用线性元(线性基)建立常微分方程边值问题的有限元格式
三 练习题 1、 已知显格式21131()22 n n n n u u h f f +++-=-，试证明格式是相容的，并求它的阶。 P39+P41 2、用Taylor 展开原理构造一元函数一阶导数和二阶导数的数值微分公式。 提示：向前、向后和中心差商与一阶导数间关系，二阶中心差商与二阶导数 之间的关系 课件 3、用数值微分方法或数值积分方法建立椭圆型方程 2222(,),(,),u u f x y x y x y ??--=?∈Ω?? :01,01x y Ω≤≤≤≤ 内点差分格式。 P75+课件 4、构造椭圆型方程边值问题的差分格式. P101 (4)题 5、构建一维热传导方程220,(0)u u Lu a a t x ??=-=>??的数值差分格式(显隐格式等)。 参考P132-135相关知识点 6、设有逼近热传导方程22(0)u u Lu a f a const t x ??≡-==>??的带权双层格式 ()()1111111122(1)2k k j j k k k k k k j j j j j j u u a u u u u u u h θθτ++++-+-+-??=-++--+?? 其中[0,1]θ∈，试求其截断误差。并证明当2 1212h a θτ=-时，截断误差的阶最 高阶为24()O h τ+。 P135+P165+课件 7、传播因子法证明抛物型方程22(0)u u Lu a f a const t x ??≡-==>??的最简显隐和六点CN 格式稳定性。 P156+课件 8、对一阶常系数双曲型方程的初边值问题 0,0,0,0,(,0)(),0,(0,)(),0, u u a t T x a t x u x x x u t t t T φψ???+=<≤<<∞>?????=≤<∞??=≤≤?
专业班级 姓名 学号 开课系室数学与计算科学学院 考试日期
偏微分方程数值解试卷 一（15分）、（1）简述用差分方法求解抛物型方程初边值问题的数值解的一般步骤.(2)写出近似一阶偏导数 n m x u |??的三种有限差分逼近及其误差阶,写出近似 n m x u |22 ??的差分逼近及其误差阶. 评分标准： （1） 7分，三个离散4分，其他步骤3分 （2） 8分，每个格式及误差2分。 二（15分）、（1）以抛物型方程的差分格式为例，解释差分格式的相容性,稳定性和收敛性概念,分析相容性,稳定性和收敛性与误差的关系，简述 Lax 等价性定理。(2) 简述差分格式稳定性分析的Fourier 级数法（或称为Neumann Von 方法，分离变量法）的一般步骤。 （1）8分，解释概念6分，等价关系2分 （2）7分，典型波2分，放大因子与条件3分，其他2分 三（20分）、对于边值问题 ?? ???=?=∈=??+???0 |) 1,0()1,0(),(,92 222G u G y x y u x u （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截 断误差的阶。 （2）取3/1=h ，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式并求解） （3）就取5/1=h 的情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）。 解：（1）7分，离过程与格式
第二页（共五页） 四（20分）、对于初边值问题??? ????≤≤==<<=≤<<
偏微分方程数值解试题 1、考虑一维的抛物型方程： 2200, [0,], 0t T (,), (,)(,0)() x x u u x t x u x t u u x t u u x x ππνπ?==??=∈≤≤??=== （1）导出时间离散是一阶向前Euler 格式，空间离散是二阶精度的差分格式； （2）讨论（1）中导出的格式的稳定性； （3）若时间离散为二阶精度的蛙跳格式， 11 2n n n t t u u u t t +-=?-= ?? 空间离散是二阶精度的中心差分，问所导出的格式稳定吗？为什么？ 2、考虑Poission 方程 2(,)1, (,)0, in AB and AD (,)0, in BC and CD u x y x y u n u x y -?=∈Ω ?=?= 其中Ω是图1中的梯形。 使用差分方法来离散该方程。由于梯形的对称性，可以考虑梯形的一半，如图2， 图2 从物理空间到计算区域的几何变换 图1 梯形
为了求解本问题，采用如下方法：将Ω的一半投影到正方形区域?Ω ，然后在?Ω上使用差分方法来离散该方程。在计算区域?Ω 上用N N ?个网格点，空间步长为1/(1)N ξη?=?=-。 （1）引入一个映射T 将原区域Ω（带有坐标,x y ）变换到单位正方形?Ω（带有坐标,ξη）。 同时导出在新区域上的方程和边界条件。 （2）在变换区域，使用泰勒展开导出各导数项在区域内部和边界点上的差分格式。 3、对线性对流方程0 constant >0u u a a t x ??+=??，其一阶迎风有限体积法离散格式为 1?n j u +=?n j u a t x ?-?（?n j u 1?n j u --） （1）写出0a <时的一阶迎风有限体积法的离散格式； （2）写出a 为任意符号的常数的一阶迎风有限体积法的守恒形式。 （3）使用0 u u u t x ??+=??说明一阶迎风有限体积法不是熵保持的格式。 4、对一维Poission 方程 , (0,1) (0)(1)0 x xx u xe x u u ?-=∈? ==? 将[]01，分成(1)n +等分，写出用中心差分离散上述方程的差分格式，并问： （1）该差分格式与原微分方程相容吗？为什么？ （2）该差分格式稳定吗？为什么？ （3）该差分格式是否收敛到原微分方程的解？为什么？ （4）取(1)6n +=，写出该差分格式的矩阵表示。 5、叙述二重网格方法的执行过程，并对一维常微分方程边值问题 2 25, (0,1) (0)(1)0 xx u x x x u u πππ?-=∈? ==?（sin(5)+9sin(15)） 给出限制算子和延拓算子矩阵（以细网格h ：7n =，粗网格2h ：3n =为例）。 6、对一阶波动方程 01(,0)sin(), (0,1)2(0,)(1,)u u t x u x x x u t u t π???+=???? ? =∈?? =??? （1）写出用中心差分进行空间离散，用一阶向后Euler 进行时间离散的差分格式；
一、 问题 用有限元方法求下面方程的数值解 2 u u u f t ?-?+=? in (]0,T Ω? 0u = on []0,T ?Ω? ()00,u x u = in Ω 二、 问题分析 第一步 利用Green 公式，求出方程的变分形式 变分形式为：求()()21 00,;u L T H ∈Ω，使得 ()())(2 ,,,,u v u v u v f v t ???+??+= ???? ()10v H ?∈Ω （*） 以及 ()00,u x u =. 第二步 对空间进行离散，得出半离散格式 对区域Ω进行剖分，构造节点基函数，得出有限元子空间：()12,,,h NG V span ???=???，则（*）的Galerkin 逼近为： []0,t T ?∈，求()()1 0,h h u t x V H ∈?Ω，使得 ()()()()() () )(2 ,,,,h h h h h h h d u t v u t v u t v f v dt +??+= h h v V ?∈ （**） 以及()0,0h h u u =，0,h u 为初始条件0u 在h V 中的逼近，设0,h u 为0u 在h V 中的插值. 则0t ?≥，有()()1 N G h i i i u t t ξ? == ∑，0,h u =01 N G i i i ξ?=∑，代人（**）即可得到一常微分方程组. 第三步 进一步对时间进行离散，得到全离散的逼近格式 对 du dt 用差分格式.为此把[]0,T 等分为n 个小区间[]1,i i t t -，其长度1i i T t t t n -?=-= ,n t T =. 这样把求i t 时刻的近似记为i h u ，0 h u 是0u 的近似.这里对（**）采用向后的欧拉格式，即 ()()() () )(2 11 11 1 ,,,,i i i i h h h h h h h i h u u v u v u v f v t ++++-+??+ = ? h h v V ?∈ (***) i=0,1,2…,n-1. 0 h u =0,h u 由于向后欧拉格式为隐式格式且含有非线性项，故相邻两时间步之间采用牛顿迭代，即：
1 / 7 偏微分方程数值解试题 1、考虑一维的抛物型方程： 2200, [0, ], 0t T (,), (,)(,0)() x x u u x t x u x t u u x t u u x x ππνπ?==??=∈≤≤??=== （1）导出时间离散是一阶向前Euler 格式，空间离散是二阶精度的差分格式； （2）讨论（1）中导出的格式的稳定性； （3）若时间离散为二阶精度的蛙跳格式， 11 2n n n t t u u u t t +-=?-=?? 空间离散是二阶精度的中心差分，问所导出的格式稳定吗？为什么？ 2、考虑Poission 方程 2(,)1, (,)0, in AB and AD (,)0, in BC and CD u x y x y u n u x y -?=∈Ω ?=?= 其中Ω是图1中的梯形。 使用差分方法来离散该方程。由于梯形的对称性，可以考虑梯形的一半，如图2， 图2 从物理空间到计算区域的几何变换 图1 梯形
2 / 7 为了求解本问题，采用如下方法：将Ω的一半投影到正方形区域?Ω ，然后在?Ω上使用差分方法来离散该方程。在计算区域?Ω 上用N N ?个网格点，空间步长为1/(1)N ξη?=?=-。 （1）引入一个映射T 将原区域Ω（带有坐标,x y ）变换到单位正方形?Ω（带有坐标,ξη）。 同时导出在新区域上的方程和边界条件。 （2）在变换区域，使用泰勒展开导出各导数项在区域内部和边界点上的差分格式。 3、对线性对流方程 0 constant >0u u a a t x ??+=??，其一阶迎风有限体积法离散格式为 1?n j u +=?n j u a t x ?-?（?n j u 1?n j u --） （1）写出0a <时的一阶迎风有限体积法的离散格式； （2）写出a 为任意符号的常数的一阶迎风有限体积法的守恒形式。 （3）使用0 u u u t x ??+=??说明一阶迎风有限体积法不是熵保持的格式。 4、对一维Poission 方程 , (0,1)(0)(1)0 x xx u xe x u u ?-=∈?==? 将[]01，分成(1)n +等分，写出用中心差分离散上述方程的差分格式，并问： （1）该差分格式与原微分方程相容吗？为什么？ （2）该差分格式稳定吗？为什么？ （3）该差分格式是否收敛到原微分方程的解？为什么？ （4）取(1)6n +=，写出该差分格式的矩阵表示。 5、叙述二重网格方法的执行过程，并对一维常微分方程边值问题 225, (0,1)(0)(1)0 xx u x x x u u πππ?-=∈?==?（sin(5)+9sin(15)） 给出限制算子和延拓算子矩阵（以细网格h ：7n =，粗网格2h ：3n =为例）。 6、对一阶波动方程 1(,0)sin(), (0,1)2(0,)(1,)u u t x u x x x u t u t π???+=?????=∈??=??? （1）写出用中心差分进行空间离散，用一阶向后Euler 进行时间离散的差分格式；
“十二五”国家重点图书出版规划项目 信息与计算科学丛书 67 偏微分方程数值解法 陈艳萍鲁祖亮刘利斌编著
内 容 简 介 本书试图用较少的篇幅描述偏微分方程的几种数值方法. 主要内容包括：Sobolev空间初步, 椭圆边值问题的变分问题, 椭圆问题的有限差分方法, 抛物型方程的有限差分方法, 双曲型方程的有限差分方法, 椭圆型方程的有限元方法, 抛物及双曲方程的有限元方法, 椭圆型方程的混合有限元方法, 谱方法等. 本书内容丰富, 深入浅出, 尽可能地用简单的方法来描述一些理论结果, 并根据作者对有限差分、有限元、混合有限元、谱方法的理解和研究生教学要求, 全面、客观地评价各种数值计算方法，并列举一些数值计算的例子, 阐述许多新的学术观点. 本书可作为高等学校数学系高年级本科生和研究生的教材或参考书, 也可作为计算数学工作者和从事科学与工程计算的科研人员的参考书. 图书在版编目(CIP)数据 偏微分方程数值解法/陈艳萍, 鲁祖亮, 刘利斌编著. —北京：科学出版社, 2015.1 (信息与计算科学丛书67) ISBN 978-7-03-000000-0 Ⅰ. ①偏… Ⅱ. ①陈… ②鲁… ③刘… Ⅲ. ① Ⅳ.① 中国版本图书馆CIP数据核字(2014) 第000000号 责任编辑: 王丽平／责任校对: 彭涛 责任印制: 肖钦／封面设计: 陈敬 出版 北京东黄城根北街16号 邮政编码: 100717 https://www.doczj.com/doc/1214322829.html, 印刷 科学出版社发行 各地新华书店经销 * 2015年1月第一版开本: 720×1000 1/16 2015年1月第一次印刷印张: 14 字数: 280 000 定价: 88.00元 (如有印装质量问题, 我社负责调换)
偏微分方程数值解 一（10分）、设矩阵A 对称正定，定义)(),(),(2 1 )(n R x x b x Ax x J ∈-= ，证明下列两个问题等价：(1)求n R x ∈0使)(min )(0x J x J n R x ∈=;(2)求下列方程组的解：b Ax = 解: 设n R x ∈0是)(x J 的最小值点,对于任意的n R x ∈,令 ),(2 ),()()()(2 000x Ax x b Ax x J x x J λλλλ?+ -+=+=, (3分) 因此0=λ是)(λ?的极小值点,0)0('=?,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若 n R x ∈0满足 b Ax =0,则对于任意的x , )(),(2 1 )0()1()(00x J x Ax x x J >+ ==+??,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分) 评分标准:)(λ?的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分 二（10分）、对于两点边值问题：????? ==∈=+-=0 )(,0)() ,()(b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ] ,[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和 Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)()(),,(|{11 0==∈=b u a u b a H u u H 为求解函数空间,检验函数空间.取),(10b a H v ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分) )().(),(v f fvdx dx quv dx dv dx du p v u a b a b a ==+=??,),(10 b a H v ∈? 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)
二、改进的Euler 方法 梯形方法的迭代公式(1.10)比Euler 方法精度高,但其计算较复杂,在应用公式(1.10)进行计算时,每迭代一次,都要重新计算函数),(y x f 的值,且还要判断何时可以终止或转下一步计算.为了控制计算量和简化计算法,通常只迭代一次就转入下一步计算.具体地说,我们先用Euler 公式求得一个初步的近似值1+n y ,称之为预测值,然后用公式(1.10)作一次迭代得1+n y ,即将1+n y 校正一次.这样建立的预测－校正方法称为改进的Euler 方法: 预测: ),,(1n n n n y x hf y y +=+ 校正 : )].,(),([2 111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y (1.15) 这个计算公式也可以表示为 11(,), (,), 1(). 2p n n n c n n p n p c y y hf x y y y hf x y y y y ++?=+??=+?? ?=+??? 例1 取步长0.1h =，分别用Euler 方法及改进的Euler 方法求解初值问题 d (1),01, d (0) 1. y y xy x x y ?=-+≤≤???=? 解 这个初值问题的准确解为()1(21)x y x e x =--. 根据题设知 ).1(),(xy y y x f +-= (1) Euler 方法的计算式为 )],1([1.01n n n n n y x y y y +?-=+ 由1)0(0==y y , 得 ,9.0)]101(1[1.011=?+??-=y ,8019.0)]9.01.01(9.0[1.09.02=?+??-=y 这样继续计算下去，其结果列于表9.1. (2) 改进的Euler 方法的计算式为 110.1[(1)],0.1[(1)], 1(), 2p n n n n c n p n p n p c y y y x y y y y x y y y y ++?=-?+?=-?+??? ?=+??? 由1)0(0==y y ，得
x ∈R n 2 ( Ax, x) , J ( x + x) = ? (1) = ? (0) + ( Ax, x) > J ( x ) ,因此 x 是 J ( x ) 的最小值点. (4 分) 2 二（10 分）、对于两点边值问题： ? dx dx a(u , v) = ?b ( p . + q u v)dx = ?b fvdx = f (v) , ? v ∈ H 1 (a , b ) dx dx a a 偏微分方程数值解 一（10 分）、设矩阵 A 对称正定，定义 J ( x ) = 1 ( Ax , x ) - (b , x ) ( x ∈ R n ) ，证明下 2 列两个问题等价：(1)求 x ∈ R n 使 J ( x ) = min J ( x ) ;(2)求下列方程组的解：Ax = b 解: 设 x ∈ R n 是 J ( x ) 的最小值点,对于任意的 x ∈ R n ,令 ?(λ) = J ( x + λx) = J ( x ) + λ( Ax - b , x) + λ2 (3 分) 因此 λ = 0 是 ?(λ) 的极小值点 , ? ' (0) = 0 ,即对于任意的 x ∈ R n , ( Ax - b , x) = 0 ,特 0 别取 x = Ax - b ,则有 ( Ax - b , Ax - b ) =|| Ax - b || 2 = 0 ,得到 Ax = b . (3 分) 0 0 反 之 , 若 x ∈ R n 满 足 Ax = b , 则 对 于 任 意 的 x , 1 0 0 0 评分标准: ?(λ) 的表示式 3 分, 每问 3 分,推理逻辑性 1 分 ? d du ?Lu = - ( p ) + qu = f x ∈ (a, b ) ?? u (a) = 0, u (b ) = 0 其中 p ∈ C 1 ([a , b ]), p ( x ) ≥ min p ( x ) = p x ∈[a,b ] min > 0, q ∈ C ([a , b ]), q ≥ 0, f ∈ H 0 ([a , b ]) 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的 Ritz 形式和 Galerkin 形式的变分方程。 解 : 设 H 1 = {u | u ∈ H 1 (a , b ), u (a ) = u (b ) = 0} 为求解函数空间 , 检验函数空间 . 取 v ∈ H 1 (a, b ) ,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3 分) du dv 即变分问题的 Galerkin 形式. (3 分)
1. 课本2p 有证明 2. 课本812,p p 有说明 3. 课本1520,p p 有说明 4. Rit2法，设n u 是u 的n 维子空间，12,...n ???是n u 的一组基底，n u 中的任一元素n u 可 表为1n n i i i u c ?==∑ ，则,11 11()(,)(,)(,)(,)22j n n n n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ???=== -=-∑∑是12,...n c c c 的二次函数，(,)(,)i j j i a a ????=，令 () 0n j J u c ?=?，从而得到12,...n c c c 满足1 (,)(,),1,2...n i j i j i a c f j n ???===∑，通过解线性方程组，求的i c ，代入1 n n i i i u c ?==∑， 从而得到近似解n u 的过程称为Rit2法 简而言之，Rit2法：为得到偏微分方程的有穷维解，构造了一个近似解，1 n n i i i u c ?== ∑， 利用,11 11()(,)(,)(,)(,)22j n n n n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ???===-=-∑∑确定i c ，求得近似解n u 的过程 Galerkin 法：为求得1 n n i i i u c ? == ∑形式的近似解，在系数i c 使n u 关于n V u ∈，满足(,)(,) n a u V f V =，对任 意 n V u ∈或（取 ,1j V j n ?=≤≤） 1 (,)(,),1,2...n i j i j i a c f j n ???===∑的情况下确定i c ，从而得到近似解1 n n i i i u c ?==∑的过程称 Galerkin 法为 Rit2-Galerkin 法方程： 1 (,)(,)n i j i j i a c f ???==∑ 5. 有限元法：将偏微分方程转化为变分形式，选定单元的形状，对求解域作剖分，进而构 造基函数或单元形状函数，形成有限元空间，将偏微分方程转化成了有限元方程，利用 有效的有限元方程的解法，给出偏微分方程近似解的过程称为有限元法。 6. 解：对求解区间进行网格剖分，节点01......i n a x x x x b =<<<<=得到相邻节点1,i i x x -
第十章 偏微分方程数值解法 偏微分方程问题，其求解十分困难。除少数特殊情况外，绝 大多数情况均难以求出精确解。因此，近似解法就显得更为重要。本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。 §1 差分方法的基本概念 1.1 几类偏微分方程的定解问题 椭圆型方程：其最典型、最简单的形式是泊松（Poisson ）方程 ),(22 2 2y x f y u x u u =??+??=? 特别地，当 0),(≡y x f 时，即为拉普拉斯（Laplace ）方程，又称 为调和方程 22 22 =??+??=?y u x u u Poisson 方程的第一边值问题为 ?? ?? ?Ω ?=Γ=Ω∈=??+??Γ∈),(),(),(),(),(22 22y x y x u y x y x f y u x u y x ? 其中 Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线， ΓΩY 称为定解区域，),(y x f ，),(y x ?分别为Ω，Γ上的已知连 续函数。 第二类和第三类边界条件可统一表示为
),(),(y x u u y x ?α=??? ? ??+??Γ∈n 其中n 为边界Γ的外法线方向。当0=α时为第二类边界条件， 0≠α时为第三类边界条件。 抛物型方程：其最简单的形式为一维热传导方程 2 20(0)u u a a t x ??-=>?? 方程可以有两种不同类型的定解问题： 初值问题 ?? ???+∞ <<∞-=+∞<<-∞>=??-??x x x u x t x u a t u )()0,(,00 22 ? 初边值问题 2 212 00,0(,0)()0(0,)(),(,)()0u u a t T x l t x u x x x l u t g t u l t g t t T ????-=<<<
李微分方程数值解习题解答 1-1 如果0)0(' =?，则称0x 是)(x J 的 驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解 证明:由)(λ?的定义与内积的性线性性质,得 ),()),((2 1 )()(0000x x b x x x x A x x J λλλλλ?+-++=+= ),(2 ),()(2 00x Ax x b Ax x J λλ+ -+= ),(),()(0'x Ax x b Ax λλ?+-= 必要性:由0)0(' =?,得,对于任何n R x ∈,有 0),(0=-x b Ax , 由线性代数结论知, b Ax b Ax ==-00,0 充分性: 由b Ax =0,对于任何n R x ∈, 0|),(),()0(00'=+-==λλ?x Ax x b Ax
即0x 是)(x J 的驻点. §1-2 补充: 证明)(x f 的不同的广义导数几乎处处相等. 证明:设)(2I L f ∈,)(,221I L g g ∈为)(x f 的广义导数,由广义导数的定义可知,对于任意 )()(0I C x ∞∈?,有 ??-=b a b a dx x x f dx x x g )()()()(' 1?? ??-=b a b a dx x x f dx x x g )()()()('2?? 两式相减,得到 )(0)()(021I C x g g b a ∞ ∈?=-??? 由变分基本引理,21g g -几乎处处为零,即21,g g 几乎处处相等. 补充:证明),(v u a 的连续性条件(1.2.21) 证明: 设'|)(|,|)(|M x q M x p ≤≤,由Schwarz 不等式
《偏微分方程数值解法》试题 (专业:凝聚态物理学号:2013201260 姓名:鄢建军) 1.考虑定解问题 （1）用迎风格式(P、45)求解 1,0 (,0) 0,0 t x u u x u x x += ? ? ≤ ? ? =? ?> ? ? 。 利用迎风格式编写Fortran程序语言,运行结果如下: Fig 1、迎风格式求解结果 （2）用Beam-Warming格式(P、51)求解。 利用Beam—Warming格式编写Fortran程序语言,运行结果如下 :
Fig 2、 Beam —Warming 格式求解结果 （3） 比较两种方法结果的异同。 将两种格式运行的结果绘制在一起,要求时间步长与空间步长在两种格式中都相同,运行结果如下图所示: Fig 3、 迎风格式与Beam-Warming 格式求解结果比较 从两种格式的运行结果来瞧,都存在边缘的误差现象,相比而言,Beam-Warming 格式的运行结果差一些。但就是理论上分析,迎风格式的截断误差为()h οτ+,而Beam-Warming 格式的截断误差为22()h h οττ++。稳定性上来分析,迎风格式的稳定性较好,要求1(/)a h λλτ≤=,Beam-Warming 格式的稳定性条件为2(/)a h λλτ≤=。 2. 考虑定解问题212 1110,04(,0)sin ,0(0,)(,)0u u a x l t t u x x x l l u t u l t π???-=<
一、（10分）简叙偏微分方程数值解研究的内容。建立一个偏微分方程数值格式，需要研究和讨论哪些问题？一个好的数值格式应该到达哪些要求？ 二、（10分）简叙用差分方法求解偏微分方程数值解的方法和步骤。 三、（10分）请解释收敛性、稳定性、相容逼近性三个概念。它们之间有何区别和联系？ 四．对如下两点边值问题： ?? ???==<<=+-,0)1( )0(,10 ,222u u x f u dx u d 将区间[0，1]作剖分：N N x x x x <<<<=-1100 ， （1） 在上述网格剖分下建立中心差分格式； （10分） （2） 写出局部截断误差；并问当网格剖分满足什么条件 时，上述差分格式的误差阶为2； （10分） （3） 利用极值定理证明解的存在唯一性。 （10分） 四、
（1） 中心差分格式： )()()(2))()()()((2 1111u R x f x u h x u x u h x u x u h h i i i i i i i i i i i +=+---+- -+++ （2） 局部截断误差： )(3 )(2 331h O dx u d h h u R i i i i +??????--=+ 显然当剖分为等距时，误差阶为2 （3） 用极值定理证存在唯一性： 只需证明齐次（边值与右端恒零）问题只有平凡解。实际上，设i u 是齐次问题的解，则由极值定理，i u 既不能在区间内部取正的极大，也不能取负的极小，因此0=i u 。 七．已知两点边值问题：??? ??==<<=-0 )1( )0(10 ,22u u x f dx u d （A ） （1） 写出问题（A ）的虚功原理（含证明）； （25分） （2） 写出建立线性有限元方程组h h h b U A =的主要步骤； （10 分） （3） 对于线性有限元方程组h h h b U A =，设h A 产生扰动h A ?，h b 产
i.常微分方程初值问题数值解法 常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。