当前位置：文档之家› 不定积分解题技巧汇编

不定积分解题技巧汇编

不定积分解题技巧探讨

数学与计算机科学学院数学与应用数学（s ） 2011031103 作者：方守强指导

老师：邓勇平

【摘要】在微分学中不定积分是数学分析的一个重要内容，我们经常用的解题方法有：直接积分法、换元积分法和分部积分法等。在我们接触过的有限的教材中，不定积分显得十分简明，但是利用基本积分公式及其性质，只能求出部分相对简单的积分，对于一些比较复杂的积分，则有一定难度。有时，我们在计算中会发现有的不定积分是无法用直接的方法来计算的，这就要求我们在平时的学习中，多进行归纳总结和概括推广。针对我们在学习中经常遇到的一些困难，本文将总结求不定积分的几种基本方法和技巧，列举一些典型例子，运用技巧解题。

【关键词】不定积分；难度；典型；技巧

引言

《数学分析》是数学与应用数学专业的大学生必修的基础理论课程,其核心任务是训练逻辑思维、应用技巧、提高学生研究能力和分析问题解决问题的能力,为今后其他数学课程的学习提供可靠的理论基础和强有力的解决问题的工具。不定积分是积分学的基础，掌握的深浅会影响相关课程的学习和理解,对于学习其他知识也有着相当重要的意义。对不定积分求解方法进行探讨，不仅会使求解不定积分的方法易于掌握，而且有助于提高对不定积分概念的理解和学习，激发学生学习数学的兴趣。为此，在前人的基础上，本文对常规的不定积分求解方法进行了一些归纳总结及探讨。

一:不定积分的概念与性质

定义1 如果F （x ）是区间I 上的可导函数，并且对任意的x ∈I ，有)()(x f x F ='dx 则称F （x ）是f(x)在区间I 上的一个原函数。

定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I 上连续，那么f(x)在区间I 上一定有原函数，即存在可导函数F （x ），使得)()(x f x F ='（x ∈I ）。

定理2 设F （x ）是f(x)在区间I 上的一个原函数，则

（1） F （x ）+C 也是f(x)在区间I 上的原函数，其中C 是任意函数；（2） f(x)在I 上的任意两个原函数之间只相差一个常数。

定义2 设F （x ）是f(x)在区间I 上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F （x ）+C 称为f(x)在区间I 上的不定积分，记为

()?dx x f ,即()()?+=C x F dx x f 。其中记号?

称为积

分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x 称为积分变量，C 称为积分常数。性质1 设函数f(x)和g(x)存在原函数，则

()()[]()()???±=±dx x g dx x f dx x g x f

性质2 设函数f(x)存在原函数，k 为非零常熟，则()()?

=dx x f k dx x kf 。

附：常用积分公式

（1）

?kdx=kx+C(k 是常数)；（2）

x u

dx=1

u x 1

u +++C(u ≠-1);

（3）

x dx =ln x +C ；（4）?2x

1dx +=arctanx+C; (5)

1dx -=arcsinx+C; (6)

?cosxdx=sinx+C;

(7) ?sinxdx=-cosx+C ; (8)

cos dx =?sec 2

xdx=tanx+C; (9)

dx 2sin =?csc 2

xdx=-cotx+C; (10) ?secxtanxdx=secx+C; (11) ?cscxcotxdx=-cscx+C; (12) ?e x dx= e x

+C; (13) ?a x

dx= e x

+C; (14) ?shxdx=chx+C; (15) ?chxdx=shx+C. (16) ?tanxdx=-ln cosx +C; (17)

cotxdx=ln sinx +C; (18)

secxdx=ln tanx secx ++C;

(19) cscxdx=ln x cot cscx -+C; (20)

22x a dx +=a

x x ln a 1+-a

+C;

(21)

?22x a dx -=arcsin

+C; (22) ?2

2x a dx +=ln(x+22a x ++C;

(23) ?

2a x dx -=ln 22a x x -+

+C.

二：求不定积分的方法及技巧小汇总

(一):不定积分的直接积分法

一般地，我们把将被积函数进行适当的恒等变形后，利用不定积分的性质和基本积分公

式，求出不定积分的方法称为直接积分法。直接积分法是建立在不定积分线性运算法则（∑?

?∑===n

i i

i n

i i

dx x x f

k f

1))(()(）

和不定积分基本积分公式之上的，求解不定积分的一般思路是：先将被积函数变形为积分公式中被积函数的代数和运算及数乘运算，然后应用不定积分

的基本积分公式和线性运算法则来求解。例 2.1 求不定积分：

?dx x x x

22sin cos 2cos

【解】???-=-=dx x x dx x x x x dx x

x x )cos 1

sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222 .tan cot sec csc 22c x x xdx xdx +--=-=??

例 2.2 ?

+-+-+dx x

x x x )1111(

【解】??--+-+=+-+-+dx x

x x x dx x x x x )1)1(1)1(()1111(2

22 ?

+=-=--++=.arcsin 2121)

1()1(2

c x dx x

dx x

x x

例 2.3()?--dx x x 2

1010

【解】()?--dx x x 2

1010=()?-+-dx x x 2101022

()()[]

d x x

?-+=-2101022

()C x x x +---2101010

ln 21

(二):不定积分的换元积分法

1:第一换元积分法（凑微分法）：令)(x u u = 若已知

?+=C x F dx x f )()(，则有

[][]C x F dx x x f +='?)()()(???

其中)(x ?是可微函数，C 是任意常数。

应用第一换元法应熟悉下列常见的微分变形。 a b ax d a

b x d dx )((1

)(+=+=、)0≠，a b 为常数具体应用为

（1）??++=+)()(1)(b ax d b ax a dx b ax m

m =???????+++++?+C b ax a

C m b ax a m ln 11)(11

)1()1(-=-≠m m

（2） )(111b x d a dx x a a

++=

+ )()1(11b ax d a

a a ++=+，a (、

b 均为常数，且)1,0-≠≠a a 。例如：

x d dx x

x x d dx x dx xdx 21

),(32,212===

（3）

)ln (1

ln 1b x a d a

x d dx x +==b a ,(为常数，)0≠a （4）,0(ln )

(,>=

=a a

a d dx a de dx e x x

且)1≠a ；（5）);(sin cos ),(cos sin x d xdx x d xdx =-= （6）)cot (csc ),(tan sec 22x d xdx x d xdx -== （7）

)(arctan 11

x d dx x

=+ （8）)(arcsin 112

x d dx x

在具体问题中，凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用。

例2.4：?

+-+dx x x x

x )

1(ln )1ln(

【解】)

1(1

111)'ln )1(ln(+-

=-+=

-+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2

)ln )1(ln(2

1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2.5：?

+dx x x x 2

)ln (ln 1

【解】x x x ln 1)'ln (+=

C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1

)ln (ln )1(ln 122

例 2.6：?

xdx x 5

3cos sin

【解】???-==xdx x xdx x x xdx x 525253cos sin sin cos sin cos sin

()()??+-=-=--=C x

x x d x x x xd x 6

cos cos cos cos cos cos cos cos 1

例2.7：计算

+dx x b x a x x 2222cos sin cos sin ，22a b ≠

【解】?

+=+x

b x a xdx x dx x

b x a x

x 2

cos sin cos sin cos sin cos sin

()()??++-=++-=x

b x a x b x a d b a x b x a x b x a d b a 2222222

222

2222222222c o s s i n 2c o s s i n 1c o s s i n 2c o s s i n 1 C x b x a b

a ++-=

2222

2c o s s i n 1

2第二换元积分法：

设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式

??=dt t t f dx f )(')]([x)(??

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：

acht

x t a x t a x a x asht x t a x t a x a x t

a x t a x x a ===-===+==-；；：；；：；：csc sec )3(cot tan )2(cos sin )1(222222也奏效。

，有时代换当被积函数含有：：t

x c bx ax x t d

cx b

ax d cx b ax t

b ax b ax m n n

n 1

)6()5()4(2=++?=++++=++

例2.8：

()

+dx x x 11

定积分的几类特殊解题技巧

第四章“积分”简介一、内容和要求 “积分”一章主要包括不定积分的概念及其运算、定积分的概念与性质、定积分的应用三部分。“不定积分的概念及其运算”主要是运用基本积分公式表，求不定积分的过程；“定积分的概念与性质”主要是理解并掌握定积分的概念，定积分的概念是本章最重要的概念，是学习其他内容的基础；“定积分的应用”主要介绍定积分在几何上的应用和在力学上的简单应用。（一）不定积分概念及其运算不定积分概念及其运算包括原函数和不定积分的概念、基本积分公式、不定积分的运算法则、直接积分法、第一换元积分法等。不定积分是一元函数微积分学的基本内容，本章教材在学生掌握求导数方法的基础上，求原函数或不定积分。由于在一定的条件下，求不定积分与求导数互为逆运算，因此学习本部分时，要与“导数与微分”一章的有关内容对照。特别是基本积分公式与常见函数的导数的对应（如下表）基本积分公式常见函数的导数不定积分中的运算及化归的内容非常丰富，涉及的积分方法有：直接积分法和第一换元积分法，它是进一步培养学生运算及化归能力的良好素材。不定积分的内容与导数的内容紧密相联，由于导数与积分之间的逆运算关系，所以大纲中强调一定的运算能力及变换技巧，但在高中阶段不应过分强调，否则容易成为学习的一种障碍，因为求不定积分及定积分涉及很多的运算及技巧，在高中安排积分的初衷似主要不是在此方面。学生只需学会用直接积分法和第一换元积分法求不定积分即可。本部分的教学要求： 1．掌握原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的线性性质。 2．熟记基本积分公式（），会利用线性性质和第一换元积分法求简单函数的不定积分。（二）定积分的概念与性质定积分的概念是“积分”一章中最重要的概念。定积分是在学习了极限、导数、微分及不定积分的基础上来学习的，它的理论基础是极限。定积分的概念是微积分重要而又基

几种定积分的数值计算方法

几种定积分的数值计算方法摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明. 关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形 Several Numerical Methods for Solving Definite Integrals Abstract:Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods. Keywords:Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid

1. 引言在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数 )(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况: (1)函数)(x f 的原函数无法用初等函数给出.例如积分 dx e x ?-1 02 , ? 1 sin dx x x 等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。 (2)函数)(x f 使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。 (3)函数)(x f 的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用. 由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较． 2.几何意义上的数值算法 s 在几何上表示以],[b a 为底,以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积A ,因此,计算s 的近似值也就是A 的近似值,如图1所示.沿着积分区间],[b a ,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设],[b a 上等分n 的小区间 ,x 1-i h x i +=b x a x n ==,0,其中n a b h -= 表示小区间的长度. 2.1矩形法

不定积分解题方法及技巧总结

不定积分解题方法及技巧总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

? 不定积分解题方法总结摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。关键词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分）设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1111)'ln )1(ln(+-=-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2)ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 ) ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法：

不定积分的解题方法与技巧

不定积分的解题方法与技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

一．直接积分法（公式法）利用不定积分的运算性质和基本积分公式直接求出不定积分二．第一类换元法 1.当遇到形如? ++c bx ax dx 2 的不定积分，可分为以下三种情况：（1）当0>?时，可将原式化为()()21x x x x --，其中，21,x x 为c bx ax ++2的两个解，则原不定积分为： ()()()()()?? ? ?? ?------=--??? 221112211 x x x x d x x x x d x x x x x x dx ()C x x x x x x +---= 2 1 12ln 1 （2）当0=?时，可利用完全平方公式，化成() () ? --2 k x k x d 。然后根据基本积分公式即可解决。（3）当0

§_5_定积分习题与答案

第五章定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数

dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+?

? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx

不定积分解题技巧汇编

不定积分解题技巧探讨数学与计算机科学学院数学与应用数学（s ） 2011031103 作者：方守强指导老师：邓勇平【摘要】在微分学中不定积分是数学分析的一个重要内容，我们经常用的解题方法有：直接积分法、换元积分法和分部积分法等。在我们接触过的有限的教材中，不定积分显得十分简明，但是利用基本积分公式及其性质，只能求出部分相对简单的积分，对于一些比较复杂的积分，则有一定难度。有时，我们在计算中会发现有的不定积分是无法用直接的方法来计算的，这就要求我们在平时的学习中，多进行归纳总结和概括推广。针对我们在学习中经常遇到的一些困难，本文将总结求不定积分的几种基本方法和技巧，列举一些典型例子，运用技巧解题。【关键词】不定积分；难度；典型；技巧引言《数学分析》是数学与应用数学专业的大学生必修的基础理论课程,其核心任务是训练逻辑思维、应用技巧、提高学生研究能力和分析问题解决问题的能力,为今后其他数学课程的学习提供可靠的理论基础和强有力的解决问题的工具。不定积分是积分学的基础，掌握的深浅会影响相关课程的学习和理解,对于学习其他知识也有着相当重要的意义。对不定积分求解方法进行探讨，不仅会使求解不定积分的方法易于掌握，而且有助于提高对不定积分概念的理解和学习，激发学生学习数学的兴趣。为此，在前人的基础上，本文对常规的不定积分求解方法进行了一些归纳总结及探讨。一:不定积分的概念与性质定义1 如果F （x ）是区间I 上的可导函数，并且对任意的x ∈I ，有)()(x f x F ='dx 则称F （x ）是f(x)在区间I 上的一个原函数。定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I 上连续，那么f(x)在区间I 上一定有原函数，即存在可导函数F （x ），使得)()(x f x F ='（x ∈I ）。定理2 设F （x ）是f(x)在区间I 上的一个原函数，则（1） F （x ）+C 也是f(x)在区间I 上的原函数，其中C 是任意函数；（2） f(x)在I 上的任意两个原函数之间只相差一个常数。定义2 设F （x ）是f(x)在区间I 上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F （x ）+C 称为f(x)在区间I 上的不定积分，记为 ()?dx x f ,即()()?+=C x F dx x f 。其中记号? 称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x 称为积分变量，C 称为积分常数。性质1 设函数f(x)和g(x)存在原函数，则 ()()[]()()???±=±dx x g dx x f dx x g x f 性质2 设函数f(x)存在原函数，k 为非零常熟，则()()? ? =dx x f k dx x kf 。附：常用积分公式

有关定积分问题的常见题型解析(全题型)

有关定积分问题的常见题型解析题型一利用微积分基本定理求积分例1、求下列定积分：（1） ( ) 1 3 31x x dx -+? （2） 4 1dx ? （3） ? --2 2 24x 分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。评注：利用微积分基本定理求定积分 dx x f a b )(?的关键是找出)()(/ x f x F =的函数)(x F 。如果原函数不好找，则可以尝试找出画出函数的图像，图像为圆或者三角形则直接求其面积。题型二利用定积分求平面图形的面积例2 如图，求直线y=2x+3与抛物线y=x 2 所围成的图形面积。分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积。为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。评注：求平面图形的面积的一般步骤：⑴画图，并将图形分割成若干曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和。关键环节：①认定曲边梯形，选定积分变量；②确定被积函数和积分上下限。知识小结：几种典型的曲边梯形面积的计算方法：（1）由三条直线x=a 、x=b （a ＜b ）、x 轴，一条曲线y=()x f （()x f ≥0）围成的曲边梯形的面积： S ＝ ()?b a dx x f ，如图1。（2）由三条直线x=a 、x=b （a ＜b ）、x 轴，一条曲线y=()x f （()x f ≤0）围成的曲边梯形的面积： S ＝ ()()??-=b a b a dx x f dx x f ，如图2。（3）由两条直线x=a 、x=b （a ＜b ）、两条曲线y=()x f 、y=()x g （()()x g x f ≥）围成的平面图形的面积：S ＝ ()()?-b a dx x g x f ][，如图3。

不定积分解题方法及技巧总结剖析

? 不定积分解题方法总结摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。关键词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分）设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1 111)'ln )1(ln(+- =-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2 )ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 )ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法：设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式 ??=dt t t f dx f )(')]([x)(??

不定积分的解题方法与技巧

一．直接积分法（公式法）利用不定积分的运算性质和基本积分公式直接求出不定积分二．第一类换元法 1.当遇到形如 ? ++c bx ax dx 2 的不定积分，可分为以下三种情况：（1）当0>?时，可将原式化为()() 21x x x x --，其中，21,x x 为c bx ax ++2 的两个解，则原不定积分为： ()()()()()?? ? ?? ?------=--??? 221112211 x x x x d x x x x d x x x x x x dx ()C x x x x x x +---= 2 1 12ln 1 （2）当0=?时，可利用完全平方公式，化成 () () ?--2 k x k x d 。然后根据基本积分公式即可解决。（3）当0

三．分部积分法口诀：反对幂指三，谁后谁先微。意思是：反三角函数，对数函数，幂函数，指数函数，三角函数，谁在后面谁先被微分。分部积分法一般用于两个函数相乘且两个函数属于口诀中五种函数中的两个。四．有理函数的积分 1.形如 () k a -x 1 的有理函数，它所对应的部分分式是 ()()() k k 221a -x A a -x A a -x A +??++ 2.形如 () k q px ++2 x 1 的有理函数，它所对应的的部分分式是 ( )( ) () k 2 k k 2 22 2211x x x q px C x B q px C x B q px C x B ++++ ??+++++ +++ 3.非以上二者形式的有理函数，采取固定分项步骤（其实，就是上述两种方法的综合）：部分分式项数为原有理函数的分母整体的次数和。当部分分式分母次数为1时（指的是x 的次数，并非整体次数），拆开时，分子所设x 的次数相应减一。例如：当部分分式分母x 次数为1时，分子所设应为A ；当部分分式分母x 次数为2时，分子所设应为Ax+B 。上述三种方法解题时可用待定系数法或者特殊值法确定各未知量。 3.不能拆的时候，可采用凑微分的方法，将分子凑出分母的微分，再拆开求解。（这样的题用到arctan 和ln 很多）。 4．类似二次多项式常数形式，分母配方，使用arctan 。 5.带根号的，想办法无理化有理，要么三角代换，要么根号整体分式代换。 6.对于分母是多项式平方的有理分式，依然要配方，再凑微分。然后一步三角换元，所得各个三角量利用三角形，找出表达式。

常见不定积分的求解方法

常见不定积分的求解方法的讨论马征指导老师：封新学摘要介绍不定积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法：直接积分法、第一类换元法（凑微法）、第二类换元法、分部积分法，并结合实际例题加以讨论，以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。关键词不定积分直接积分法第一类换元法（凑微法）第二类换元法分部积分法。 The discussion of common indefinite integral method of calculating Ma Zheng Abstract there are four solutions of indefinite integration in this discourse: direct integration; exchangeable integration; parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly. Key words Indefinite integration,exchangeable integration, parcel integration.

0引言不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 ?-x k dx 22sin 1（其中10<

定积分计算例题

第5章定积分及其应用（一）、单项选择题 1．函数()x f 在区间[a ，b]上连续是()x f 在[a ，b]上可积的（）。 A ．必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 2．下列等式不正确的是（）。 A ． ()()x f dx x f dx d b a =??????? B. ()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C. ()()x f dx x f dx d x a =??????? D. ()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 3．? ?→x x x tdt tdt sin lim 的值等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 4．设x x x f +=3 )(，则 ? -2 2 )(dx x f 的值等于（）。 A ．0 B.8 C. ? 2 )(dx x f D. ?2 )(2dx x f 5．设广义积分 ? +∞ 1 dx x α收敛，则必定有（）。 A.1-<α B. 1->α C. 1<α D. 1>α 6．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（）。 A.［0，2e ］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 7．由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（）。 A.dy y ? 2 1 ln B. dy e e x ? 2 C.dy y ? 2 ln 1ln D. ()d x e x ?-2 1 2 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为（）。 A. ()[]dy y y ?--1 1 B. ()[]dx x x ? -+-21 1 C. ()[]dy y y ? --210 1 D.()[]dx x x ? +--1 1 9．由e x x y x y e ===,log ,ln 1围成曲边梯形，用微法求解时，若选ｘ为积分变量，面积微元为（）。 A.dx x x e ???? ? ? +1 log ln B.dy x x e ???? ? ?+1log ln C.dx x x e ???? ? ?-1log ln D.dy x x e ??? ? ? ?-1log ln 10．由0,1,1,2==-==y x x x y 围成平面图形的面积为（）。 A. ? -1 1 2dx x B. ? 1 2dx x C. ? 1 dy y D.? 1 2 dy y

2016年专项练习题集-定积分的计算

2016年专项练习题集-定积分的计算一、选择题 1.dx x )5(1 2 2 -?=（） A.233 B.31 C.34 D ．83 【分值】5分【答案】D 【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。【考查方向】求定积分

【解题思路】求出被积函数的原函数，应用微积分基本定理求解。【解析】dx x )5(1 22 -?=123 153 x x -＝83 ． 2.直线9y x =与曲线3 y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（） A 、22 B 、42 C 、2 D 、4 【分值】5分【答案】D 【易错点】求曲线围成的图形的面积，可转化为函数在某个区间内的定积分来解决，被积函数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的

函数. 【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积. 【解析】由 ???==39x y x y ，得交点为()()()27,3,27,3,0,0--，所以()4 8103412 9 942 30 3 =??? ? ?-=-=?x x dx x x S ，故选D. 3.22 -? 2 412x x -+dx =（） A.π4 B.π 2 C.π D.π3 【分值】5分【答案】A

【易错点】利用定积分的几何意义，一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数，注意理解所涉及的几何曲线类型. 【考查方向】求定积分【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。【解析】设y=2 4 x- +,即(x-2)2+y2=16(y≥0). 12x ∵22-?2 x- +dx表示以4为半径的圆的四分之一12x 4 面积.∴22-?2 x- +dx=π4. 12x 4 4.F4遥控赛车组织年度嘉年华活动，为了测试一款新赛车的性能，将新款赛车A设定v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶，老款赛车B设定在A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后赛车A 追上赛车B所用的时间t(s)为( )

定积分证明题方法总结六

定积分证明题方法总结六篇定积分是历年数学的考查重点，其中定积分的证明是考查难点，同学们经常会感觉无从下手，小编特意为大家总结了定积分的计算方法，希望对同学们有帮助。篇一：定积分计算方法总结一、不定积分计算方法 1. 凑微分法 2. 裂项法 3. 变量代换法 1) 三角代换 2) 根幂代换 3) 倒代换 4. 配方后积分 5. 有理化 6. 和差化积法 7. 分部积分法（反、对、幂、指、三） 8. 降幂法二、定积分的计算方法 1. 利用函数奇偶性 2. 利用函数周期性 3. 参考不定积分计算方法三、定积分与极限

1. 积和式极限 2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限 3. 洛必达法则 4. 等价无穷小四、定积分的估值及其不等式的应用 1. 不计算积分，比较积分值的大小 1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有 f(x)>=g(x),则 >= ()dx 2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a) b) 当0 2. 估计具体函数定积分的值积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则 M(b-a) 3. 具体函数的定积分不等式证法 1) 积分估值定理 2) 放缩法 3) 柯西积分不等式 ≤ % 4. 抽象函数的定积分不等式的证法 1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性 2) 积分中值定理 3) 常数变易法 4) 利用泰勒公式展开法

五、变限积分的导数方法篇二：定积分知识点总结 1、经验总结 (1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限 (2)定积分几何意义： ①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积 ab ②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相a 反数 (3)定积分的基本性质： ①kf(x)dx=kf(x)dx aabb ②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx aaa ③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac (4)求定积分的方法：baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb ①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义 ’③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x) ba 篇三：定积分计算方法总结 1、原函数存在定理 ●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上

不定积分解题方法及技巧总结

? 不定积分解题方法总结摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。关键词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分）设f(μ)具有原函数F(μ)。则其中)(x ?可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1111)'ln )1(ln(+-=-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2 )ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 ) ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= 3.第二类换元法：设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。但当根号内出现高次幂时可能保留根号，（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。但当根号内出现高次幂时可能保留根号， 4.分部积分法. 公式：??-=νμμννμd d 分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成

不定积分计算题

计算题（共 200 小题） 1、 ??+=.d )( , sin d )()(x x f c x x x f n 求设 2、 ?'>+=.d )(),0()(2x x f x x x x f 试求设 3、 .d x x ?求 4、 .)( .0,sin ,0)(2的不定积分求设x f x x x x x f ? ??>≤= 5、已知，求它的原函数．f x x F x ()()=-1 6、 .d x x ?求　 7、 ? -233d x x 求　 8、 .,d 2是常数其中求　a x x a ? 9、 .0,,d >?a a x e a x x 是常数其中求　 10、 .d tan csc 22x x x ??求 11、 ? ?x x x d cot sec 22求 12、 ?+22d x x 求　 13、 ? +82d 2x x 求

14、 ?-9d 2x x 求　 15、 ? -.63d 2x x 求　 16、 ?+232d x x 求　 17、 .d 2432x x x x ?-求 18、 x x x d ??求　 19、 .d )1(23 x x x ?+求　 20、 .,,d )cosh sinh (均为常数其中求　b a x x b x a ?+ 21、 ?x x d cot 2求 22、 .d 11)(3x x x ?++求　 23、 .d x x x x ?求　 24、 ?+.d )arccos (arcsin x x x 求　 25、 [].d )1(cos cos )1(sin sin x x x x x ?+++求　 26、 ??.d 2 sin 22x x 求 27、

一道非常难的不定积分题目的解法.

求∫arcsinx * arccosx dx的不定积分解题思路:反复运用换元,将arcsinx 换成sinx的形式,将arccox 换成cosx的形式,最终简化题目的难度! 解题过程:第一步换元:将arccosx=t (xε[0,1],tε[0,π/2],从而得出cost=x.将 ∫arcsinxarccosx dx换成∫t arcsin(cost d(cost。接下来怎么解呢? 先看看∫arcsinx dx=arcsinx *x- ∫xd(arcsinx 从而简化题目的难度!那么你是否会产生一个想法,上面那条题目是否可以转化呢! 于是∫t* arcsin(cost* d(cost= ∫ td(arcsin(costcost+sint= t(arcsin(costcost+sint- ∫(arcsin(costcost+sintdt 从而求∫ arcsin(costcost dt 第二步换元:将arcsin(cost=p ,从而 sinp=cost,t=arccos(sinp.最终∫arcsin(costcost dt=∫psinp d(arccos(sinp= ∫p sinp *(-1/√ 1-(sinp^2*cosp dp=∫p sinp*(-1/cosp*cosp dp=-∫psinp dp=∫p dcosp=pcosp-∫cosp dp=pcosp-sinp+c 第三步:总结出答案,表示成x的形式。 ∫arcsin(costcost dt= arcsin(cost(√ 1-cos^t-cost+c ∫(arcsin(costcost+sintdt= arcsin(cost(√ 1-cos^t-cost-cost+c= arcsin(cost(√ 1-cos^t-2cost+c

定积分练习题

题型 1.定积分与极限的计算 2.计算下列定积分 3.计算下列广义积分内容一．定积分的概念与性质 1.定积分的定义 2.定积分的性质 3.变上限函数及其导数 4.牛顿—莱布尼茨公式 5.换元积分公式与分部积分公式 6.广义积分题型题型I 利用定积分定义求极限题型II比较定积分的大小题型III利用积分估值定理解题题型IV关于积分上限函数以及牛顿—莱布尼茨公式问题题型V定积分的计算

题型VI 积分等式证明题型VII 积分不等式证明题型VIII 广义积分的计算自测题五 1.根据极限计算定积分 2.根据定积分求导 3.求极限 4.求下列定积分 5.证明题 4月21日定积分练习题基础题：一．选择题、填空题 1．将和式的极限)0(.......321lim 1 >+++++∞→p n n P p p p p n 表示成定积分（） A ．dx x ?1 01 B ．dx x p ?10 C ．dx x p ?10)1( D ．dx n x p ?10)( 2．将和式)21 .........2111(lim n n n n +++++∞→表示为定积分． 3．下列等于1的积分是（） A ． dx x ? 1 B ．dx x ?+1 )1( C ．dx ? 1 1 D ． dx ?1 021 4．dx x |4|1 02 ? -= （） A ． 321 B ．322 C ．3 23 D ． 3 25 5．曲线]2 3 ,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积（）

A ．4 B ．2 C ．2 5 D ．3 6． dx e e x x ?-+1 )(= （） A ．e e 1+ B ．2e C ．e 2 D ．e e 1- 7.若10x m e dx =?，11e n dx x =?，则m 与n 的大小关系是（） A ．m n > B ．m n < C ．m n = D ．无法确定 8. 按万有引力定律，两质点间的吸引力2 2 1r m m k F =，k 为常数，21,m m 为两质点的质量，r 为两点间距离，若两质点起始距离为a ，质点1m 沿直线移动至离2m 的距离为b 处，试求所作之功（b >a ）． 9．由曲线2 1y x =-和x 轴围成图形的面积等于S ．给出下列结果： ① 1 21 (1)x dx --? ；②121 (1)x dx --?；③120 2(1)x dx -?；④0 21 2(1)x dx --?．则S 等于（） A ．①③ B ．③④ C ．②③ D ．②④ 10.0 (sin cos sin )x y t t t dt =+? ，则y 的最大值是（） A ．1 B ．2 C ．7 2 - D ．0 11. 若()f x 是一次函数，且1 ()5f x dx =? ，1 017 ()6xf x dx =?，那么21()f x dx x ?的值是． 12．???????=≠?=0 ,0,)()(2 x c x x dt t tf x F x ,其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续，则=c （）。 (A).0=c ; (B).1=c ; (C).c 不存在； (D).1-=c .

不定积分解题方法及技巧总结

不定积分解题方法及技巧总结 Prepared on 24 November 2020

? 不定积分解题方法总结摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。关键词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分）设f(μ)具有原函数F(μ)。则其中)(x ?可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1111)'ln )1(ln(+-=-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2)ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 ) ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= 3.第二类换元法：设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。但当根号内出现高次幂时可能保留根号，（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。但当根号内出现高次幂时可能保留根号， 4.分部积分法. 公式：??-=νμμννμd d 分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取νμ、时，通常基于以下两点考虑：（1）降低多项式部分的系数（2）简化被积函数的类型举两个例子吧~！例3：dx x x x ? -?2 31arccos 【解】观察被积函数，选取变换x t arccos =,则例4：?xdx 2arcsin 【解】 ? ?--=dx x x x x x xdx 2 2 211arcsin 2sin arcsin 上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在??-=νμμννμd d 中，νμ、的选取有下面简单的规律：将以上规律化成一个图就是： ν

文档之家

不定积分解题技巧汇编

定积分的几类特殊解题技巧

几种定积分的数值计算方法

不定积分解题方法及技巧总结

不定积分的解题方法与技巧

§_5_定积分习题与答案

不定积分解题技巧汇编

最新不定积分解题中的若干技巧-何志卿[1]

有关定积分问题的常见题型解析(全题型)

不定积分解题方法及技巧总结剖析

不定积分的解题方法与技巧

常见不定积分的求解方法

定积分计算例题

2016年专项练习题集-定积分的计算

定积分证明题方法总结六

不定积分解题方法及技巧总结

不定积分 计算题

一道非常难的不定积分题目的解法.

定积分练习题

不定积分解题方法及技巧总结

不定积分计算题