§11-3 静电场的高斯定理
一、 电场线
电场线是为了描述电场所引进的辅助概念，它并不真实存在。
1、E
用电场线描述
规定：E 方向：电力线切线方向
大小：E 的大小=该电力线密度=垂直通过单位面积的电力线条数=
ds
dN
即 ds dN
E =
（即：某点场强大小=过该点并垂直于E
的面元上的电力线密度。）
2、静电场中电场线性质
⑴不闭合、不中断、起自正电荷，止于负电荷。
⑵任意两条电场线不能相交，这是某一点只有一个场强方向的要求。
二、 电通量
定义：通过电场中某一面的电力线数叫做通过该面的电场强度通量，用e Φ表示。
下面分几种情况讨论。 1、匀强电场
⑴平面S 与E 垂直。如图所示，由E
的 大小描述可知：
⑵平面S 与E 夹角为θ，如图所示，由E
的大小描述知：
S E ES ES e ?===Φ⊥θcos )(n S S
=
?
??
?
?
式中n 为S
的单位法线向量。
2、在任意电场中通过任意曲面S 的电通量
如图所示，在S 上取面元dS ，dS 可看成平面，dS 上
E 可视为均匀，设n
为S d 单位法向向量，S d 与该处E 夹角E 为θ，则通过dS 电场强度通量为：
S d E d e
?=Φ
通过曲面S 的电场强度通量为：
???=Φ=Φs
e e S d E d
在任意电场中通过封闭曲面的电场强度通量
e s
E dS Φ=
??
注意：通常取面元外法向为正。 三、高斯定理
高斯定理是关于通过电场中任一闭合曲面电通量
的定理，现在从一简单例子讲起。
1、如图所示，q 为正点电荷，S 为以q 为中心以任
意r 为半径的球面，S 上任一点p
处E 为：
r e r q E 2
04πε=
2、通过闭合曲面S 的电场强度通量为：
?
?
?=??=?=Φs
s
r s
e dS r
q e S d r
q S d E 2
02
044πεπε
（r
、ds 同向）
2
02
044επεπεq
dS r q dS r q s
s
=
=
=??
结论：e Φ与r 无关，仅与q 有关)(0const =ε 2、点电荷电场中任意闭合曲面S 的电场强度通量
⑴q +在S 内情形
如图所示，在S 内做一个以q +为中心， 任意半径r 的闭合球面S 1，由1知，通过S 1 的电场强度通量为
εq
。∵通过S 1的电力线
必通过S ，即此时es es Φ=Φ1
，∴通过S 的 电场强度通量为0
e s
q E dS εΦ=
?=
?
⑵q +在S 外情形。
此时，进入S 面内的电力线必穿出S 面，即 穿入与穿出S 面的电力线数相等，
∴0e s
E dS Φ=
?=?
结论：S 外电荷对e Φ无贡献
=Φe
0εq
q 在S 内 0 q 在S 外
3、点电荷系情况
在点电荷n q q q q ???,,,321电场中，任一点场强为
n E E E E E +???+++=321
通过某一闭合曲面电场强度通量为：
()???+???+++=?=Φs
n s
e S d E E E E S
d E
321
?
??
∑????=
?+???+?+?+?=内
S s
n s
s
s
q S d E S d E S d E S d E 0
3211ε
即0
1
e S s
E dS q εΦ=
?=
∑?
内
上式表示：在真空中通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的一切电荷的代数和除以0ε。这就是真空中的高斯定理。上式为高斯定理数学表达式，高斯定理中闭合曲面称为高斯面。
说明：⑴以上是通过用闭合曲面的电通量概念来说明高斯定理，仅是为了便
于理解而用的一种形象解释，不是高斯定理的证明
⑵高斯定理是在库仑定律基础上得到的，但是前者适用范围比后者更广泛。后者只适用于真空中的静电场，而前者适用于静电场和随时间变化的场，高斯定理是电磁理论的基本方程之一。
⑶高斯定理表明，通过闭合曲面的电通量只与闭合面内的自由电荷代数和有关，而与闭合曲面外的电荷无关。
>0时，不能说S 内只有正电荷
当∑
?=
?=Φ内
S s
e q S d E 0
1
ε <0时，不能说S 内只有负电荷 =0时，不能说S 内无电荷
注意：这些都是S 内电荷代数和的结果和表现。
⑷高斯定理说明∑?=
?=Φ内
S s
e q S d E 0
1
ε 与S 内电荷有关而与S 外电荷无关，
这并不是说E 只与S 内电荷有关而与S 外电荷无关。实际上，E
是由S 内、外所有电荷产生的结果。 ⑸高斯面可由我们任选。
四、应用高斯定理求场强
下面介绍应用高斯定理计算几种简单而又有对称性的场强方法。可以看到，
???
?
?????
应用高斯定理求场强比前面介绍的方法更为简单。
1. 一均匀带电球面，半径为R ，电荷为q +，求：球面内外任一点场强。 解：由题意知，电荷分布是球对称的，产生的电场是球对称的，场强方向沿半径
向外，以O 为球心任意球面上的各点E
值相等。
⑴球面内任一点1P 的场强
以O 为圆心，通过P 1点做半径为1r 的球面1S 为高斯面，高斯定理为：
∑?=
?内
11
1S s q S d E ε
∵E 与S d 同向，且1S 上E
值不变
∴2
141
1
1
r E dS E dS E S d E s s s π?==?=????
01
10
=∑内
S q ε
0421=??r E π
∴0=E
即均匀带电球面内任一点P 1场强为零。
注意：1）不是每个面元上电荷在球面内产生的场强为零，而是所有面元上
电荷在球面内产生场强的矢量和=0。
2）非均匀带电球面在球面内任一点产生的场强不可能都为零。（在个
别点有可能为零）
⑵球面外任一点的场强
以O 为圆心，通过P 2点以半径2r 做一球面2S 作为高斯面，由高斯定理有：
q r E 0
221
4επ=
?
2
04r
q E πε=
?
方向：沿2OP 方向（若0 结论：均匀带电球面外任一点的场强，如图电荷全部集中在球心处的点电荷 在该点产生的场强一样。 =E 0 )(R r < 2 04r q πε )(R r > 2．有均匀带电的球体，半径为R ，电量为q +，求球内外场强（8-13）。 解：由题意知，电荷分布具有球对称性，∴电场也具有对称性，场强方向由球心 向外辐射，在以O 为圆心的任意球面上各点的E 相同。 （1）球内任一点P 1的?=E 以O 为球心，过P 1点做半径为1r 的高斯球面S 1，高斯定理为： ∵E 与S d 同向，且S 1上各点E 值相等， ∴2 141 1 1 r E dS E dS E S d E s s s π?==?=???? 3 1 3031300 343 41 1r R q r R q q S εππεε=?= ∑内 3 13 0214r R q r E επ= ?? ∴13 04r R q E πε= E 沿OP 方向。 （若0 沿P 1方向） 结论：1r E ∝ 注意：不要认为S 1外任一电荷元在P 1处产生的场强为0，而是S 1外所有电荷元在P 1点产生的场强的叠加为0。 （2）球外任一点P 2的?=E ?? ?? ? ∑?= ?内 11 1S s q S d E ε 以O 为球心，过P 2点做半径为2r 的球形高斯面S 2，高斯定理为： ∑?= ?内 22 1S s q S d E ε 由此有： q r E 0 221 4επ= ? 2 204r q E πε= ? E 沿2OP 方向 结论：均匀带电球体外任一点的场强，如同电荷 全部集中在球心处的点电荷产生的场强一样。 =E 1 304r R q πε )(1R r < 2 04r q πε )(R r > r E - 曲线如左图。 3．无限长均匀带电圆柱面，半径为R ，电荷面密度为0>σ，求柱面内外任一点 场强。 解：由题意知，柱面产生的电场具有轴对称性，场强方向由柱面轴线向外辐射， 并且任意以柱面轴线为轴的圆柱面上各点E 值相等。 1）带电圆柱面内任一点P 1的?=E 以OO’为轴，过P 1点做以1r 为半径高为h 的圆柱高斯面，上底为S 1，下底为S 2，侧面为S 3。高斯定理为： ∑?= ?内 S s q S d E 0 1ε 在此，有： ?? ?? ? ?????+?+?=?3 2 1 s s s s S d E S d E S d E S d E ∵在S 1、S 2上各面元E S d ⊥1，∴上式前二项积分=0， 又在S 3上S d 与E 同向，且E =常数， ∴h r E dS E EdS S d E s s s 123 3 π?===???? 01 =∑内 S q ε 021=??h r E π ∴0=E 结论：无限长均匀带电圆筒内任一点场强=0 2）带电柱面外任一点场强?=E 以'OO 为轴，过P 2点做半径为2r 高为h 的圆柱形高斯面，上底为S 1’，下底为S 2’，侧面为S 3’。由高斯定理有： Rh h r E πσεπ21 20 1?= ? 2 022r R E πεπσ?= ? ∵[]122??=?R R πσπσ=单位长柱面的电荷（电荷线密度）=λ ∴2 02r E πελ = ，E 由轴线指向P 2。0<σ时，E 沿P 2指向轴线 结论：无限长均匀带电圆柱面在其外任一点的场强，如全部电荷都集中在带 电柱面的轴线上的无限长均匀带电直线产生的场强一样。 4.无限大均匀带电平面，电荷面密度为σ+，求平面外任一点场强。 解：由题意知，平面产生的电场是关于平面二侧对称的，场强方向垂直平面，距 平面相同的任意二点处的E 值相等。设P 为考察点，过P 点做一底面平行于平面 的关于平面又对称的圆柱形高斯面，右端面为S 1，左端面为S 2，侧面为S 3，高斯定理为： ∑?= ?内 S s q S d E 0 1ε 在此，有： ?????+?+?=?3 2 1 s s s s S d E S d E S d E S d E ∵在S 3上的各面元E S d ⊥，∴第三项积分=0 又 ∵在S 1、S 2上各面元S d 与E 同向，且在S 1、S 2上E =常数， ∴有： 1 2122 1 2 1 ES ES ES dS E dS E EdS EdS S d E s s s s s =+=+=+=?????? 10 1 1 S q S σε ε?=∑内 10 11 2S S E σε?= ?? 即： 0 2εσ = E （均匀电场） E 垂直平面指向考察点（若0<σ，则E 由考察点指向平面）。 5.有二平行无限大均匀带电平板A 、B ，电荷面密度分别为1）σσ++,；2）σσ-+,。 求：板内、外场强。 解：设P 3为二板内任一点， B A E E E += 即 0 0022εσεσεσ=+= +=B A E E E 设P 4为B 右侧任一点（也可取在A 左侧） B A E E E += 即： 0220 0=-= -=εσεσB A E E E 上面，我们应用高斯定理求出了几种带电体产生的场强，从这几个例子看出，用高斯定理求场强是比较简单的。但是，我们应该明确，虽然高斯定理是普遍成立的，但是任何带电体产生的场强 不是都能由它计算出，因为这样的计算是有条件的，它要求电场分布具有一定的对称性，在具有某种对称性时，才能适选高斯面，从而很方便的计算出值。应用高斯定理时，要注意下面环节：1）分析对称 性；2）适选高斯面；3）计算??=?s S d E ?1 0=∑内 S q ε4）由高斯定理∑?= ?内 S s q S d E 0 1 ε 求出E 。 302-静电场的高斯定理 1 选择题 1. 一点电荷，放在球形高斯面的中心处。下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化：〔 〕 ()A 将另一点电荷放在高斯面外； ()B 将另一点电荷放进高斯面内； ()C 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内； ()D 将高斯面半径缩小。 答案：()B 2. 如图所示，任一闭合曲面S 内有一点电荷q ，O 为S 面上任一点，若将q 由闭合曲面内的P 点移到T 点，且OP=OT ，那么〔 〕 ()A 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小不变； ()B 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小改变； ()C 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小改变； ()D 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小不变。 答案：()C 3. 如图所示，闭合面S 内有一点电荷 Q ，P 为S 面上一点，在S 面外A 点有一点电荷'Q ，若将电荷'Q 移至 B 点，则；〔 〕 ()A S 面的总通量改变，P 点场强不变； ()B S 面的总通量不变，P 点场强改变； ()C S 面的总通量和P 点场强都不变； ()D S 面的总通量和P 点场强都改变。 答案：()B 4. 已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和 0i q =∑，则可肯定： 〔 〕 ()A ()B ()C () D 答案：()C 5. 如图所示，一球对称性静电场的~E r 关系曲线，请指出该电场是由下列哪种带电体产生的（E 表示电场强度的大小，r 表示离对称中心的距离）〔 〕 ()A 点电荷； ()B 半径为R 的均匀带电球体； ()C 半径为R 的均匀带电球面； ()D 内外半径分别为r 和R 的同心均匀带球壳。 答案：()C 6. 半径为R 的均匀带电球体的静电场中各点的电场强度的大小E 与距球心的距离r 的关系曲线为：〔 〕 答案：()B r ()A ()B ()C ()D 关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理 静电场的高斯定理和静电场的环路定理是库仑定律的推论，所以称之为定理。由于库仑定律是静电场的基本规律，适用于静电场，所以库仑定律的推论也适用于静电场。 电场有许多种：静电场（由静止电荷激发）、恒定电场（由运动然而空间分布不随时间改变的电荷体系激发的电场）、位电场（可以在其中建立电位函数的电场，位电场的电场强度等于电位的负梯度，分为恒定的与时变的，静电场和恒定电场就属于恒定的位电场）、涡旋电场。 静电场的高斯定理的文字表述是：静电场中，电场强度穿出闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包围的总电量除以真空电容率。静电场的高斯定理的数学表述式是：in 0d i S q E S ε?=∑? 。英国著名物理学家麦克斯韦首先假设静电场的高斯定理的数学表示式in 0d i S q E S ε?=∑? 适用于一切电场，也就是说，实际的电场强度（即总电场强度） 穿出闭合曲面的通量等于闭合曲面内的总电量除以真空电容率。这个假设后来被实验证实了。正因为这个原因，数学表示式in 0d i S q E S ε?=∑? 也叫做高斯定律。 由于德国数学家高斯根据库仑定律推出的这个静电场规律的数学表示式是普遍适用的，这让高斯在电磁学中享有很高的声誉。 in 0d i S q E S ε?=∑? 有好几个称谓：高斯定理、高斯通量定理、电场的高斯定 理、电场的高斯通量定理、高斯定律、高斯通量定律、电场的高斯定律、电场的高斯通量定律。对于静电场，这个规律叫做静电场的高斯定理，或者静电场的高斯通量定理。 高斯在数学方面有一项重要成就，叫做高斯公式（也可以叫做高斯通量公式 或者高斯散度公式）。高斯公式的数学表示式是d d S V f S f V ?=???? 。其含义是：矢量场穿出闭合曲面的通量等于矢量场的散度在闭合曲面所包围的空间区域内的体积分。 高斯定理是电（磁）学规律，高斯公式是纯粹数学规律，两者截然不同。但是把两者结合起来，就可以推出0E ρε??= 。 根据库仑定律还可以推出d 0l E l ?=? ，其含义是静电场强度沿任意回路的线积分恒等于零。数学表示式d 0l E l ?=? 除了适用于静电场，也适用于恒定电场， 还适用于位电场，但是不适用于涡旋电场。所以，d 0l E l ?=? 不是电磁学中普遍 适用的规律。正因为这个原因，首先从库仑定律导出d 0l E l ?=? 的那个人没有名 气，我们甚至不知道他姓甚名谁。大理大学工程学院教授罗凌霄 2020年3月11日 －选择题 1.关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是： ()A 如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷； ()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零； ()C 如果高斯面上E 处处不为零，则高斯面内必有电荷； ()D 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零。 〔〕 答案：()D 2. ()A q 3.面的电通量为1φ，2φ，()A φ()B φ()C φ()D φ 4. () A () B () C () D 〔〕答案：()C 5.有两个点电荷电量都是q +，相距为2a ，今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面。在球面上取两块相等的小面积1S 和2S ，其位置如图所示。设通过1S 和2S 的电场强度通量分别为1φ和2φ，通过整个球面的电场强度通量为φ，则 ()A 120,/q φφφε>=；()B 120,2/q φφφε<=； ()C 120,/q φφφε==；()D 120,/q φφφε<=。 〔〕 q S 2 答案：()D 6.一点电荷，放在球形高斯面的中心处。下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化： ()A 将另一点电荷放在高斯面外；()B 将另一点电荷放进高斯面内； ()C 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内；()D 将高斯面半径缩小。 7.A q -()A ()B 小为()C ()D 〔〕8. ( (9. (Q 60 ε ()C 穿过每一表面的电通量都等于 Q 30 ε；()D 穿过每一表面的电通量都等于0 24Q ε 〔〕 答案：()D 10.高斯定理0 nt i d ε∑?= ?q S E S ()A 适用于任何静电场。 静电场中的高斯定理： 高斯定理是静电学中的一个重要定理, 它反映了静电场的一个基本性质, 即静电场是有源场, 其源即是电荷。可表述为: 在静电场中, 通过任意闭合曲面的电通量, 等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的1/ε倍, 与闭合曲面外的电荷无关。表达式为 01 ()1/n i i S E ds q φε==?=∑?? （1） 高斯定理是用来求场强E 分布, 定理中, S 是任意曲面, 由于数学水平 的限制, 要由高斯定理计算出E,则对由场的分布有一定的要求, 即电荷分布具有严格的对称性( 若电荷分布不对称性即不是均匀的, 引起电场分布不对称, 不能从高斯定理求空间场强分布,高斯定理当然仍是成立的) , 由于电荷分布的对称性导致场强分布的对称性, 场强分布的对称性应包括大小和方向两个方面。典型情况有三种: 1) 球对称性, 如点电荷, 均匀带电球面或球体等; 2) 轴对称性, 如无限长均匀带电直线, 无限长均匀带电圆柱或圆柱面, 无限长均匀带电同轴圆柱面 3) 面对称性, 如均匀带电无限大平面或平板,或者若干均匀带电无限大平行平面。 根据高斯定理计算场强时, 必须先根据电荷分布的对称性, 分析场强分布的对称性; 再适当选取无厚度的几何面作为高斯面。选取的原则是: ○ 1 待求场强的场点必须在高斯面上;○ 2 使高斯面的各个部分或者与E 垂直, 或者E 平行;○ 3 与E 垂直的那部分高斯面上各点的场强应相等;○ 4 高斯面的形状应是最简单的几何面。 最后由高斯定理求出场强。高斯定理说明的是通过闭合曲面的电通量与闭合 曲面所包围的所有电荷的代数和之间的关系, 即闭合曲面的总场强E 的电通量 只与曲面所包围的电荷有关, 但与曲面内电荷的分布无关。但闭合曲面上的电场强度却是与曲面内外所有电荷相联系的,是共同激发的结果。 下面举一些例子来说静电场中高定理的应用： 例1：一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为()Ar r R ρ=≤，0()r R ρ=>，A 为大于零的常量。试求球体内外的场强分布及其方向。 解：在球内取半径为r 、厚为d r 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为 23d d 4d 4d q V Ar r r Ar r ρ==?π=π 在径为r 的球面内包含的总电荷为 430d 4d Ar r r A V q V r ππρ==?=???? ()r R ≤ 静电场中的高斯定理 [摘要] 高斯定理是静电学的重要定理，它可以通过数学证明方法得到，同时 要注意高斯面的选择和对高斯定理的理解。 [关键字] 高斯定理 高斯面 证明 注意事项 [内容] 高斯定理是静电学中的一个重要定理，它反映了静电场的一个基本性质，即静电场是有源场，其源就是电荷。可以将其表述为：在静电场中，通过任意闭合曲面的电通量，等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的ε0 分之一，而与闭合曲面外的电荷无关。高斯定理的表达式如下： ? ?= ?=ΦV e dq 1 d εS S E 其中，E 表示在闭合曲面上任一dS 面处的电场强度，而EdS 则表示通过面元dS 的电场强度通量， 就表示通过整个闭合曲面S 的电场强度通量， 习惯上称闭合曲面S 为高斯面。由高斯定理可知：静电场是有源的，发散的，源头在电荷所在处，由此确定的电场线起于正电荷，终于负电荷。 下面对于静电场中的高斯定理进行证明： （a ）点电荷在球面中心 点电荷q 的电场强度为 r r q 41 30??=πεE 球面的电通量为 2 20S 2 030q r 4r 4q d r 4q d r r q 41 d εππεπεπε= ??==???=????S S S E S S （1） （b ）点电荷在任意闭曲面外 闭曲面S 的电通量为 ()??? ?++= ++=??? =?S S S S S E zdxdy r 1ydxdz r 1xdydz r 14q zdxdy ydxdz xdydz r 1 4q d r r q 41d 3330S 3030 πεπεπε （2） 根据高斯公式 ?????++=???? ? ???+??+??S V R Q P R Q P dxdy dzdx dydz dxdydz z y x （3） 并考虑到3 33r z r y ,r x === R Q P ，在S 内有连续一阶的偏导数，故式（2）可以用高斯公式计算。 将式（2）代入式（3）中得 ()???? ?? ? =???? ? ??? ???????? ???+???? ???+???? ???= ++= ++=??? =?V 33303330 S 3030 0dxdydz z r z y r y x r x 4q zdxdy r 1 ydxdz r 1xdydz r 14q zdxdy ydxdz xdydz r 1 4q d r r q 41d πεπεπεπεS S S S S E － 选择题 1.关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是： ()A 如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷； ()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零； ()C 如果高斯面上E 处处不为零，则高斯面内必有电荷； ()D 如果高斯面内有净电荷， 则通过高斯面的电场强度通量必不为零。 〔 〕 答案：()D 2.如在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为 ()A 0/q ε； ()B 0/2q ε； ()C 0/4q ε； ()D 0/6q ε。 〔 〕 答案：()D 3.在电场强度为E Ej =的匀强电场中，有一如图所示的三棱柱，取表面的法线向外，设过面AA'CO ，面B'BOC ，面ABB'A'的电通量为1φ， 2φ，3φ，则 ()A 1230Ebc Ebc φφφ===； ()B 1230Eac Eac φφφ=-==； ()C 22123Eac Ec a b Ebc φφφ=-=-+=-； ()D 22 123Eac Ec a b Ebc φφφ==+=。 〔 〕 答案：()B 4.已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和 0i q =∑，则可肯定： ()A 高斯面上各点场强均为零。 ()B 穿过高斯面上每一面元的电通量均为零。 ()C 穿过整个高斯面的电通量为零。()D 以上说法都不对。 〔 〕 答案：()C 5.有两个点电荷电量都是q +，相距为2a ，今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面。 在球面上取两块相等的小面积1S 和2S ，其位置如图所示。设通过1S 和2S 的电场强度通量分别为1φ和 2φ，通过整个球面的电场强度通量为φ，则 ()A 120,/q φφφε>=； ()B 120,2/q φφφε<=； ()C 120,/q φφφε==； ()D 120,/q φφφε<=。 〔 〕 答案：()D 6.一点电荷，放在球形高斯面的中心处。下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化： ()A 将另一点电荷放在高斯面外； ()B 将另一点电荷放进高斯面内； ()C 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内； ()D 将高斯面半径缩小。 答案：()B 7.A 和B 为两个均匀带电球体，A 带电荷q +，B 带电荷q -，作一与A 同心的球面S 为高斯面，如图所示。则 x y z a b c E O A A B B C x O q q a 2a S 1 S 2 A S +q r -q B 第七章 静电场和恒定磁场的性质(一) 高斯定理 序号 学号 姓名 专业、班级 一 选择题 [ C ]1．已知一高斯面所包围的体积内电量代数和∑i q =0，则可肯定： (A) 高斯面上各点场强均为零。 (B) 穿过高斯面上每一面元的电通量均为零。 (C) 穿过整个高斯面的电通量为零。 (D) 以上说法都不对。 ［ D ］2．两个同心均匀带电球面，半径分别为R a 和R b ( R a － 选择题 题号：30212001 分值：3分 难度系数等级：2 如图所示，任一闭合曲面S 内有一点电荷q ，O 为S 面上任一点，若将q 由闭合曲面内的P 点移到T 点，且O P =O T ，那么 ()A 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小不变； ()B 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小改变； ()C 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小改变； ()D 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小不变。 〔 〕 答案：()C 题号：30213002 分值：3分 难度系数等级：3 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是： ()A 如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷； ()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零； ()C 如果高斯面上E 处处不为零，则高斯面内必有电荷； ()D 如果高斯面内有净电荷， 则通过高斯面的电场强度通量必不为零。 〔 〕 答案：()D 题号：30213003 分值：3分 难度系数等级：3 如在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为 ()A 0/q ε ； ()B 0/2q ε； ()C 0/4q ε； ()D 0/6q ε。 〔 〕 答案：()D 题号：30212004 分值：3分 难度系数等级：2 如图所示，闭合面S 内有一点电荷Q ，P 为S 面上一点，在S 面外A 点有一点电荷'Q ，若将电荷'Q 移至B 点，则； ()A S 面的总通量改变，P 点场强不变； ()B S 面的总通量不变，P 点场强改变； ()C S 面的总通量和P 点场强都不变； ()D S 面的总通量和P 点场强都改变。 〔 〕 答案：()B 题号：30214005 分值：3分 难度系数等级：4 在电场强度为E E j = 的匀强电场中，有一如图所示的三棱柱，取表面 的法线向外，设过面A A 'C O ，面B 'B O C ，面ABB'A'的电通量为1φ，φ，φ，则 1 §8.3 静电场的高斯定理 1、已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和∑q ＝0，则可肯定： ［ ］ (A) 高斯面上各点场强均为零． (B) 穿过高斯面上每一面元的电场强度通量均为零． (C) 穿过整个高斯面的电场强度通量为零 (D) 以上说法都不对． 2、由高斯定理01E ds q ε?=∫∫v v ò，可以说明以下哪点？[ ] (A) 通过闭合曲面的总通量仅由面内电荷决定； (B) 通过闭合曲面的总通量为正时，面内电荷一定没有负电荷； (C) 闭合曲面上各点的场强仅由面内电荷决定； (D) 闭合曲面上各点的场强为零时，面内电荷一定没有负电荷。 3、由高斯定理01E ds q ε?=∫∫v v ò，可以说明以下哪点？[ ] (A) 通过闭合曲面的总通量仅由面内电荷决定； (B) 闭合曲面上各点的场强仅由面内电荷决定； (C) 通过闭合曲面的总通量为零时，面内必没有电荷； (D) 通过闭合曲面的总通量为零时，面上各点的场强必为零。 4、一点电荷，放在球形高斯面的中心处．下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化： ［ ］ (A) 将另一点电荷放在高斯面外． (B) 将另一点电荷放进高斯面内． (C) 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内． (D) 将高斯面半径缩小． 5、在点电荷＋q 和－q 的静电场中，作出如图所示的三个闭 合面S 1、S 2、S 3，则通过这些闭合面的电通量分别是：Φ1＝ ______，Φ2＝________，Φ3＝________． 6、如图，点电荷q 和－q 被包围在高斯面S 内，则通过 该高斯面的电通量∫∫?s d E r r ＝_____________。 7、如图所示，一个电荷为q 的点电荷位于立方体的A 角 通过侧面abcd 的电场强度通量等于：［ ］ (A) 06εq ． (B) 0 12εq ． (C) 024εq ． (D) 0 48ε q ． 123 华中师范大学武汉传媒学院毕业论文（设计）静电场中的高斯定理的应用 院系：传媒工程系 专业：电子信息工程 班级：B1001班 姓名：常天 学号：10405010105 指导教师：黄金仙 2014年3月29日 静电场中的高斯定理的应用Gauss theorem of electrostatic field 摘要 高斯定理是电磁学的一条重要定理，他不仅在静电场中有重要的应用，而且也是麦克斯韦电磁场理论中的一个重要方程。本文比较详细的介绍了高斯定理在静电场中的应用，并提供了数学法，直接证明法等方法证明他，总结出应用高斯定理应注意的几个问题和高斯定理几种对称性求解场强的方法，最后推导出了介质中的高斯定理的求解方法，从这些问题中可以发现高斯定理在解决静电场问题的方便之处。 关键词：高斯定理静电场应用 Abstract Gauss theorem is an important theorem of electromagnetism, he not only has important application in the electrostatic field, and is an important equation of maxwell electromagnetic field theory. More detailed introduced in this paper the gauss theorem in the application of electrostatic field, and provides a mathematical method, the direct proof method and other methods to prove his, summed up the application of gaussian set several problems that should pay attention to several symmetry solving field intensity and gauss theorem, the method of the gauss theorem of solution is deduced the medium, from these problems can be found in the gauss theorem in the place where the convenient to solve the problem of electrostatic field. Keywords: Gauss theorem Electrostatic field Application － 选择题 题号：30212019 分值：3分 难度系数等级：2 如图所示，任一闭合曲面S 内有一点电荷q ，O 为S 面上任一点，若将q 由闭合曲面内的P 点移到T 点，且OP=OT ，那么 ()A 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小不变； ()B 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小改变； ()C 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小改变； ()D 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小不变。 〔 〕 答案：()C 题号：30213002 分值：3分 难度系数等级：3 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是： ()A 如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷； ()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零； ()C 如果高斯面上E 处处不为零，则高斯面内必有电荷； ()D 如果高斯面内有净电荷， 则通过高斯面的电场强度通量必不为零。 〔 〕 答案：()D 题号：30213003 分值：3分 难度系数等级：3 如在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为 ()A 0/q ； ()B 0/2q ； ()C 0/4q ； ()D 0/6q 。 〔 〕 答案：()D 题号：30212019 分值：3分 难度系数等级：2 如图所示，闭合面S 内有一点电荷Q ，P 为S 面上一点，在S 面外A 点有一点电荷'Q ，若将电荷'Q 移至B 点，则； ()A S 面的总通量改变，P 点场强不变； ()B S 面的总通量不变，P 点场强改变； ()C S 面的总通量和P 点场强都不变； ()D S 面的总通量和P 点场强都改变。 〔 〕 答案：()B 题号：30214005 分值：3分 难度系数等级：4 在电场强度为E Ej v v 的匀强电场中，有一如图所示的三棱柱，取表面的法线向外，设过面AA'CO ，面B'BOC ，面ABB'A'的电通量为1 ， 2 ， 3 ，则 ()A 1230Ebc Ebc ； ()B 1230Eac Eac ； ()C 22 123Eac Ec a b Ebc ； x y z a b c E O A A B B C Q ’ A P S Q B静电场的高斯定理
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