课时跟踪训练(二十一)
[基础巩固]
一、选择题
1．(2017·洛阳市高三第一次统一考试)下列函数中，是周期函数且最小正周期为π的是( )
A ．y ＝sin x ＋cos x
B ．y ＝sin 2x －3cos 2x
C ．y ＝cos|x |
D ．y ＝3sin x 2cos x
2
[解析] 对于A ，函数y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ? ????x ＋π4的最小正周期是2π，不符合题意；对于B ，函数y ＝sin 2x －3cos 2x ＝1
2(1－cos2x )－3
2(1＋cos2x )＝1－32－1＋32cos2x 的最小正周期是π，符合题意；对于C ，y ＝cos|x |＝cos x 的最小正周期是2π，不符合题意；对于D ，函数y ＝3sin x 2cos x 2＝3
2sin x 的最小正周期是2π，不符合题意．选B.
[答案] B
2．y ＝|cos x |的一个单调增区间是( )
A.????
??－π2，π2 B ．[0，π]
C.?
??
???π，3π2 D.????
??
3π2，2π [解析] 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的图象关于x 轴对称，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.
[答案] D
3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f ? ????π6＋x ＝f ? ????π6－x ，则f ? ??
??
π6的值为( )
A ．2或0
B ．－2或2
C ．0
D ．－2或0
[解析] 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ? ????
π6＋x ＝
f ? ??
??π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π
6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.
[答案] B
4．(2017·辽宁沈阳二中月考)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关
于点? ??
??
4π3，0成中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3
D.π2
[解析] ∵函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点?
??
??
4π3，0成中心对
称，∴2·4π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π－13π
6(k ∈Z )．
由此易得|φ|min ＝π
6.故选A.
[答案] A
5．(2018·安徽江淮十校联考)已知函数y ＝2sin(2x ＋φ)? ?
???|φ|<π2的图
象经过点(0,1)，则该函数图象的一条对称轴方程为( )
A ．x ＝－π
12 B ．x ＝－π
6 C ．x ＝π
6
D ．x ＝π
12
[解析] 把(0,1)代入函数表达式，知sin φ＝12.因为|φ|<π
2，所以φ＝π6.当2x ＋π6＝π
2＋k π(k ∈Z )时，函数取得最值，解得对称轴方程为x ＝π6＋k π2(k ∈Z )．令k ＝0得x ＝π
6.故选C.
[答案] C
6．(2017·河北石家庄二模)已知函数f (x )＝sin ? ????2x ＋π12，f ′(x )是f (x )的导函数，则函数y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间是( )
A.??????
π12，7π12 B.??????
－5π12，π12 C.????
??－π3，2π3 D.????
??－π6，5π6 [解析] 由题意，得f ′(x )＝2cos ?
?
?
??2x ＋π12，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )＝2sin ?
??
??2x ＋π12＋2cos ?
??
??2x ＋π12＝22sin ?
??
??2x ＋π12＋π4＝22·sin ?
?
?
??2x ＋π3.
由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π
12(k ∈Z )，
所以函数y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间为????
??
π12，7π12，故选A.
[答案] A
二、填空题
7．若函数f (x )＝2tan ? ?
???kx ＋π3的最小正周期T 满足1 数k 的值为________． [解析] 由题意知，1<π k <2，即k <π<2k . 又k ∈N *，所以k ＝2或k ＝3. [答案] 2或3 8．函数y ＝tan ? ? ? ??2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________． [解析] 由2x ＋π 4＝k π(k ∈Z )得， x ＝k π2－π 8(k ∈Z )． ∴函数y ＝tan ? ????2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是? ???? k π2－π8，0，k ∈Z . [答案] ? ?? ?? k π2－π8，0，k ∈Z 9．若函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)，且f ? ????π4＝f ? ?? ?? －π12，则函数f (x )图象 的对称轴方程为________． [解析] 易知函数f (x )的最小正周期为π，而f ? ????π4＝f ? ?? ?? －π12，所以 f (x )图象的一条对称轴方程为x ＝π 12，故函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π 12(k ∈Z )． [答案] x ＝k π2＋π 12(k ∈Z ) 三、解答题 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)? ? ???ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值； (2)若f (x )的图象过点? ???? π6 ，32，求f (x )的单调递增区间． [解] ∵f (x )的最小正周期为π， 则T ＝2π ω＝π，∴ω＝2. ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． (1)当f (x )为偶函数时，φ＝π 2＋k π，k ∈Z ， ∵0<φ<2π3，∴φ＝π 2. (2)f (x )的图象过点? ????π6 ，32时， sin ? ?? ??2×π6＋φ＝3 2， 即sin ? ?? ??π3＋φ＝32. 又∵0<φ<2π3，∴π3<π 3＋φ<π. ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ? ? ? ??2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π 2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π 12，k ∈Z . ∴f (x )的单调递增区间为 ? ?? ???k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . [能力提升] 11．若函数y ＝cos2x 与函数y ＝sin(2x ＋φ)在??? ???0，π4上的单调性相 同，则φ的一个值为( ) A.π 6 B.π4 C.3π4 D.3π2 [解析] 由于函数y ＝cos2x 与函数y ＝sin(2x ＋φ)在??? ???0，π4上的单 调性相同，函数y ＝cos2x 在??? ???0，π4上单调递减，故函数y ＝sin(2x ＋φ)在??? ? ??0，π4上单调递减， 故2×π4＋φ≤2k π＋3π2，且φ≥2k π＋π 2，k ∈Z . 解得2k π＋π2≤φ≤2k π＋π，k ∈Z .取k ＝0得π 2≤φ≤π.故选C. [答案] C 12．当x ＝π 4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0)取得最小值，则函数 y ＝f ? ?? ?? 3π4－x 是( ) A ．奇函数且图象关于点? ?? ?? π2，0对称 B ．偶函数且图象关于点(π，0)对称 C ．奇函数且图象关于直线x ＝π 2对称 D ．偶函数且图象关于点? ?? ?? π2，0对称 [解析] 由题意可知φ＝2k π－3π 4(k ∈Z )， 可得f (x )＝A sin ? ?? ??x －3π4， 则y ＝f ? ???? 3π4－x ＝A sin ? ?????? ????3π4－x －3π4 ＝A sin(－x )＝－A sin x ，所以函数y ＝f ? ?? ?? 3π4－x 是奇函数，且其图象关于直线x ＝π 2＋k π(k ∈Z )对称，故选C. [答案] C 13．(2018·福建厦门一中期中)给出下列四个命题： ①f (x )＝sin ? ????2x －π4图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π 8，k ∈Z ；②若函数y ＝2cos ? ????ax －π3(a >0)的最小正周期是π，则a ＝2；③函数f (x )＝sin x cos x －1的最小值为－3 2；④函数y ＝sin ? ????x ＋π4在??????－π2，π2上是增函数．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [解析] ①由2x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋3π 8，k ∈Z ，∴f (x )＝sin ? ?? ??2x －π4图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π 8，k ∈Z ，①正确； ②若函数y ＝2cos ? ?? ??ax －π3(a >0)的最小正周期是π，则2π a ＝π，即a ＝2，②正确； ③函数f (x )＝sin x cos x －1＝12sin2x －1，最小值为－3 2，③正确； ④当x ∈??????－π2，π2时，x ＋π4∈?????? －π4，3π4，∴函数y ＝sin ? ?? ??x ＋π4在???? ?? －π2，π2上不是单调函数，④错误． ∴正确命题的个数是3.故选C. [答案] C 14．(2015·天津卷)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________． [解析] f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ? ? ? ??ωx ＋π4，因为函数f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)＝2sin ? ?? ??ω2＋π4＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2 ＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π 2. [答案] π 2 15．已知函数f (x )＝sin ? ?? ??2x －π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)求函数f (x )在区间???? ?? －π6，π2上的最值． [解] (1)∵f (x )＝sin ? ????2x －π6， ∴周期T ＝2π 2＝π. 由2x －π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝π3＋k π 2，k ∈Z ， ∴f (x )图象的对称轴方程为x ＝π3＋k π 2，k ∈Z . (2)∵x ∈??????－π6，π2，∴2x －π6∈???? ??－π2，5π6， ∵f (x )＝sin ? ????2x －π6在区间??????－π6，π3上单调递增，在区间??????π3，π2上单调递减，∴当x ＝π 3时，f (x )max ＝1. 又∵f ? ????－π6＝－1 ??π2＝12，∴当x ＝－π6时， f (x )min ＝－1. 16．(2015·重庆卷)已知函数f (x )＝sin ? ?? ?? π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在?????? π6，2π3上的单调性． [解] (1)f (x )＝sin ? ?? ?? π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos2x )＝12sin2x －32cos2x －3 2 ＝sin ? ?? ??2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32. (2)当x ∈???? ??π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而 当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π 12时，f (x )单调递增， 当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π 3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在? ??? ??π6，5π12上单调递增；在? ??? ?? 5π12，2π3上单调递减． [延伸拓展] (2017·湖南省湘中名校高三联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其 中φ为实数，若f (x )≤???? ??f ? ????π6对x ∈R 恒成立，且f ? ?? ?? π2>f (π)，则f (x )的单 调递增区间是( ) A.? ?? ? ??k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.??? ???k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.??? ???k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.???? ?? k π－π2，k π(k ∈Z ) [解析] 因为f (x )≤??????f ? ????π6对x ∈R 恒成立，即??????f ? ????π6＝?????? sin ? ????π3＋φ＝1，所以φ＝k π＋π 6(k ∈Z )．因为f ? ?? ??π2>f (π)，所以sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)， 即sin φ<0，所以φ＝－5 6π＋2k π(k ∈Z )，所以f (x )＝sin ? ????2x －56π，所以由三角函数的单调性知2x －5π6∈??? ???2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，得x ∈? ?? ???k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )，故选C. [答案] C 第12课时 三角函数和差公式及辅助角公式 1.函数y=sin （2x+6π）+cos （2x+3 π）的最小正周期和最大值分别为（ ） A π，1 B π，2 C 2π，1 D 2π，2 2、)4sin(2cos παα -=-22，则cos α+sin α的值为（ ） 3.函数y=sin （x+3π）sin （x+2 π）的最小正周期T 是（ ） 4、函数的最小正周期是________ . 5.函数的最大值为 _________________-。 6.已知函数()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ -上的值域 7.已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ω??ω?ωπx x 本小题满分12分）为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为 .2π （Ⅰ）美洲f （8 π）的值； （Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移 6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间. 8.已知函数。 （Ⅰ）求 的最小正周期： （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。 2()sin(2)4f x x x π =--sin()cos()26y x x ππ=+-()4cos sin()16f x x x π=+-()f x ()f x ,64ππ??-???? 9.已知函数 （1）求 的值； （2）设求的值． 10、已知函数 （1）求的最小正周期和最小值； 11.已知函数f （x ）=2cos （x+ 4π）cos （x-4 π）+3sin2x ，求它的值域和最小正周期 12．已知cos ? ???α－ π4＝14，则sin2α的值为 ( ) A.78 B ．－78 C.34 D ．－34 13．已知sin ????α－π3＝13，则cos ????π6＋α的值为 ( ) A.13 B ．－13 C.233 D ．－233 14．函数f (x )＝sin ? ???2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________． 15．y ＝sin(2x －π3 )－sin2x 的一个单调递增区间是( ) A ．[－π6，π3]B ．[π12，712π]C ．[512π，1312 π] D ．[π3，5π6 ] 16．设函数f (x )＝22cos(2x ＋π4)＋sin 2x (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期； (2)写出函数f (x )的单调递增区间． 18．已知函数 ()cos cos()3f x x x π=?-. (1)求2()3f π的值； (2) 求对称轴和对称中心； (3) 求使1()4f x <成立的x 的取值集合. 1()2sin(),.36f x x x R π=-∈5()4f π106,0,,(3),(32),22135f a f ππαββπ??∈+=+=???? cos()αβ+73()sin()cos(),44f x x x x R ππ=++-∈()f x 三角函数基础练习题 一、 选择题： 1. 下列各式中,不正确．．．的是 （ ） (A)cos(―α―π)=―cos α (B)sin(α―2π)=―sin α (C)tan(5π―2α)=―tan2α (D)sin(k π+α)=(―1)k sin α (k ∈Z) 3． y=sin )2 33 2(π+x x ∈R 是 （ ） (A)奇函数 (B)偶函数 (C)在[(2k ―1)π, 2k π] k ∈Z 为增函数 (D)减函数 4．函数y=3sin(2x ―3 π)的图象，可看作是把函数y=3sin2x 的图象作以下哪 个 平移得到 （ ） (A)向左平移3 π (B)向右平移3 π (C)向左平移6 π (D)向右平移6 π 5．在△ABC 中，cosAcosB ＞sinAsinB ，则△ABC 为 （ ） (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)无法判定 6．α为第三象限角, 1 sec tan 2tan 1cos 1 2 2 -+ +ααα α化简的结果为 （ ） (A)3 (B)－3 (C)1 (D)－1 7．已知cos2θ= 3 2 ，则sin 4θ+cos 4θ的值为 （ ） (A)18 13 (B)18 11 (C)9 7 (D)－1 8． 已知sin θcos θ=8 1且4 π＜θ＜2 π，则cos θ－sin θ的值为 （ ） (A)－ 2 3 (B)43 (C) 2 3 (D)±4 3 9． △ABC 中，∠C=90°，则函数y=sin 2A+2sinB 的值的情况 （ ） (A)有最大值，无最小值 (B)无最大值，有最小值 (C)有最大值且有最小值 (D)无最大值且无最小值 10、关于函数f(x)=4sin(2x+3 π), (x ∈R )有下列命题 （1）y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数 (2) y=f(x)可改写为y=4cos(2x －6 π) (3)y= f(x)的图象关于(－6 π，0)对称 (4) y= f(x)的图象关于直线x=－6 π 对称其中真命题的个数序号为 （ ） (A) (1)(4) (B) (2)(3)(4) (C) (2)(3) (D) (3) 11．设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c=2 6，则a 、b 、c 大小 关系（ ） (A)a ＜b ＜c (B)b ＜a ＜c (C)c ＜b ＜a (D)a ＜c ＜b 12. 若 sinx ＜ 2 1 ，则x 的取值范围为 （ ） (A)(2k π，2k π+6 π)∪(2k π+6 5π，2k π+π) (B) (2k π+6 π，2k π+6 5π) (C) (2k π+6 5π，2k π+6 π) (D) (2k π－67π，2k π+6 π ) 以上k ∈Z 二、 填空题： 13．一个扇形的面积是1cm 2，它的周长为4cm, 则其中心角弧度数为______。 14．已知sin α+cos β=3 1，sin β－cos α=2 1，则sin(α－β)=__________。 高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ， 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''， 1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度， 直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 （答：Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第 二象限角，则2 α 是第_____象限角 （答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 （答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用) 求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径， 若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．2 3 三角函数 能力提高训练 2017.12 选择题 1．若π04α<< 0，则（ ） Ａ．sin 2sin αα> Ｂ．cos 2cos αα< Ｃ．tan 2tan αα> Ｄ．cot 2cot αα< 答案：Ｂ 2．函数s i n ()y A a x b =+的 图象与函数cos()y A ax b =+的图像在区间π(0)m m a a ??+>???? ，（ ） Ａ．可能没有交点 Ｂ．一定有两个交点 Ｃ．至少有一个交点 Ｄ．只有一个交点 答案：Ｃ 3．在ABC △，cos 2cos 2A B <是A B >的（ ） Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既非充分也非必要条件 答案：Ｃ 填空题 4．函数23sin cos 3cos 2y x x x =+- 的最小正周期是 ． 答案：4π 5．函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是 ． 答案：12 +6．关于函数π()4sin 23f x x ? ?=+ ??? ()x ∈R ，有下列命题： ①由12()()0f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍； ②()y f x =的表达式可改写为π4cos 26y x ? ?=- ??? ； ③()y f x =的图象关于点π06??- ???，对称； ④()y f x =的图像关于直线π6x =- 对称． 其中正确命题的序号是 ． 答案：②③ 解答题 7．已知22sin 2sin 1αβ+=，3sin 22sin 20αβ-=，且αβ，为锐角，求证：π22 αβ+=． 解：223sin 12sin cos2αββ=-= 又3sin 22sin 2αβ= 2sin 22cos 2tan 2sin sin ααβαα ∴= = tan 2cot βα∴= 1tan tan tan 2tan tan(2)1 1tan tan 21tan tan ααβααβαβαα +++==--无意义 π02α<< ，π02 β<<，02πβ<< 3π022αβ∴<+< π22αβ∴+=． 8．已知tan α，tan β是方程2 410x x --=的两个根，求22sin ()4sin 2()6cos ()αβαβαβ+-+++的值． 解：由已知：tan tan 4αβ+=且tan tan 1αβ=- tan()2αβ∴+=． 原式2222sin ()8sin()cos()6cos ()sin ()cos () αβαβαβαβαβαβ+-++++=+++ 22tan ()8tan()6tan ()1 αβαβαβ+-++=++ 65 =- 9．在ABC △中，求222sin sin sin 222A B C ++的最小值，并指出取最小值时，ABC △的形状，并说明理由． 解：设2 22sin sin sin 222A B C y =++ 31(cos cos cos )22A B C =-++ 312cos cos cos()2222A B A B A B +-??=--+???? 2312cos cos 2cos 122222A B A B A B +-+??=--+ ??? 《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 锐角三角函数： 知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义： 在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA= ， ∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 【特别提醒：1、sinA 、∠cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关 2、取值范围 1．已知Rt △ABC 中，,12,43 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?= ∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠5 3 sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4. 已知A ∠是锐角，17 8 sin =A ，求A cos ，A tan 的值 对应训练： （西城北）3．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为 A ． 55 B ．255 C ．12 D ．2 (房山)5．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 类型二. 利用角度转化求值： 1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2． 求：sin B 、cos B 、tan B ． 1.2.1 任意角的三角函数(二) 课时目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切． 1．三角函数的定义域 正弦函数y ＝sin x 的定义域是______；余弦函数y ＝cos x 的定义域是______；正切函数y ＝tan x 的定义域是_____________________________________________________________． 2．三角函数线 如图，设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于P 点．过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点．单位圆中的有向线段______、______、________分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝______，cos α＝______，tan α＝______. 一、选择题 1. 如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( ) A ．正弦线PM ，正切线A ′T ′ B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′ C ．正弦线MP ，正切线AT D ．正弦线PM ，正切线AT 2．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( ) A. B. C. D.或 π43π47π43π47π4 3．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( ) A ．sin α＋cos α>1 B ．sin α＋cos α＝1 C ．sin α＋cos α<1 D ．不能确定 4．利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是( ) A ．sin 1>sin 1.2>sin 1.5 B ．sin 1>sin 1.5>sin 1.2 三角函数总结及统练 一. 教学内容： 三角函数总结及统练 （一）基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系：商数关系： 倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2 正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式： 2cos 12 sin αα -± =；2cos 12cos αα+±=； αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan = 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60° 在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再 1.230?、45?、60?角的三角函数课时训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在ABC ?中，AC BC ⊥，30ABC ?∠=，点D 是CB 延长线上的一点，且AB BD =，则tan DAC ∠的值为（ ） A ． B ． C ．2 D ．2 2．如图，在菱形ABCD 中，过点C 作C E BC ⊥交对角线BD 于点E ，且DE CE =， 若AB =DE 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．12 D ．3 3．如图，ABC ?是等边三角形，点,D E 分别在边,BC AC 上，且,BD CE AD =与BE 相交于点 F ．若7,1AF DF ==，则ABC ?的边长等于（ ） A B C D 4．如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是BC 上一点，且FC=2BF ，连 接AE ，EF ．若AB=2，AD=3，则cos ∠AEF 的值是（ ） A ．12 B ．1 C D 5．在45?网格中，A ，B ，C 为如图所示的格点（小正方形的顶点），则下列等式正确的是（ ） A ．sin 2A = B ．1cos 2A = C ．tan 3A = D ．cos A = 6．在数 22,tan 30,72π? 3.101001，0(1-中，无理数有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 7．在平面直角坐标系内P 点的坐标（cos30?，tan 45?），则P 点关于x 轴对称点1P 的坐标为（ ） A ．2?? ? ??? B ．1,2??- ? ??? C ．1?-???? D ．12??-- ? ??? 8．已知水库的拦水坝斜坡的坡度为 ）度． A ．30 B ．45 C ．60 D ．90 9．在平面直角坐标系内P 点的坐标是()cos30tan 45??，，则P 点关于y 轴对称点P'的 坐标为（ ） A ．12? ?-- ? ??? B ．1,2? ?- ? ??? C ．1?-???? D ．12,? ?- ? ??? 10．如图，在Rt ACB 中，90ACB ∠=?，4BC =，8AC =，点D 为AB 边的中点，点E 为线段AC 上的一点，连接EB ，将ABE △沿AB 翻折得到ABE '△，连接DE 、DE '，当BC//DE '时，则BE '的长是（ ） ABC ?的面积是30，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12cos 13 A =。 (Ⅰ)求A B A C ； (Ⅱ)若1c b -=，求a 的值。 设函数()sin cos 1 , 02f x x x x x π=-++<<，求函数()f x 的单调区间与极值。 已知函数2 ()2cos 2sin f x x x =+ （Ⅰ）求()3 f π 的值； （Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值 设函数()3sin 6f x x πω?? =+ ?? ? ，0ω＞，(),x ∈-∞+∞，且以 2 π 为最小正周期． （1）求()0f ；（2）求()f x 的解析式；（3）已知9 4125f απ??+= ?? ?，求sin α的值． 已知函数2 ()sin 22sin f x x x =- （I ）求函数()f x 的最小正周期。 (II) 求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合。 在ABC 中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且 2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）若sin sin 1B C +=，是判断ABC 的形状。 (17)（本小题满分12分） 已知函数2()sin()cos cos f x x x x πωωω=-+（0ω>）的最小正周期为π， （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,16π?? ???? 上的最小值. 在?ABC 中， cos cos AC B AB C = 。 （Ⅰ）证明B=C ： （Ⅱ）若cos A =-13，求sin 4B 3π? ?+ ?? ?的值。 ABC 中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B = ，3 cos 5 ADC ∠=，求AD 。 设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且222333b c a +-=. 求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A ) 513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB tan A 的值为( ) A B C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A = 5 12 ，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A= 5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ABC 中， 90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 第8题图 A D E C B F 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则c o s ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为 3 2 ，2AC =，则s in B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．4 3 2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =， AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45 3. 如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一点，若 1tan 5 DBA ∠ = ，则AD 的长为( ) A ．2 C ．1 D ．4． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧 圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ）A ． 12 B ．2 C ．35 D ．45 5.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ． 6.（庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5 A =，则这个菱形的面积= cm 2 ． 7. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A AD = 3 3 16求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长. D A B C 正弦函数、余弦函数的性质(一) 课时目 标.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.会求()＝(ω＋φ)及＝(ω＋φ)的周期.掌握＝，＝的周期性及奇偶性． ．函数的周期性 ()对于函数()，如果存在一个，使得当取定义域内的时，都有，那么函数()就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期． ()如果在周期函数()的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()的． ．正弦函数、余弦函数的周期性 由(＋π)＝，(＋π)＝知＝与＝都是函数，都是它们的周期，且它们的最小正周期都是． ．正弦函数、余弦函数的奇偶性 ()正弦函数＝与余弦函数＝的定义域都是，定义域关于对称． ()由(－)＝知正弦函数＝是上的函数，它的图象关于对称． ()由(－)＝知余弦函数＝是上的函数，它的图象关于对称． 一、选择题 ．函数()＝(－)，∈的最小正周期为() ．π．π．π ．函数()＝(ω＋)的最小正周期为，其中ω>，则ω等于() ．．．． ．设函数()＝，∈，则()是() ．最小正周期为π的奇函数 ．最小正周期为π的偶函数 ．最小正周期为的奇函数 ．最小正周期为的偶函数 ．下列函数中，不是周期函数的是() ．＝．＝ ．＝．＝ ．定义在上的函数()既是奇函数又是周期函数，若()的最小正周期为π，且当∈时，()＝，则的值为() ．－．－ ．函数＝()的最小正周期是() ．π．π．π 题号 答案 二、填空题 ．函数()＝(π＋)的最小正周期是． ．函数＝的最小正周期是，则ω＝. ．若()是上的偶函数，当≥时，()＝，则()的解析式是． ．关于的函数()＝(＋φ)有以下命题： ①对任意的φ，()都是非奇非偶函数； ②不存在φ，使()既是奇函数，又是偶函数； ③存在φ，使()是奇函数； ④对任意的φ，()都不是偶函数． 其中的假命题的序号是． 三、解答题 ．判断下列函数的奇偶性． ()()＝(π＋)； ()()＝＋； ()()＝. 三角函数大题压轴题练习 1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x π ππ =- +-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122 ππ -上的值域 解：（1） ()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x πππ =-+-+ 1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x = ++-+ 221cos 22sin cos 2x x x x = ++- 1cos 22cos 222 x x x = +- s i n (2) 6 x π =- 2T 2 π π= =周期∴ 由2(),()6 2 23 k x k k Z x k Z π π ππ π- =+ ∈= +∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3 x k k Z π π=+ ∈ （2） 5[,],2[,]122636 x x ππ πππ ∈- ∴-∈- 因为()sin(2)6 f x x π =- 在区间[,]123ππ- 上单调递增，在区间[,]32 ππ 上单调 递减， 所以 当3 x π= 时，()f x 取最大值 1 又 1()()12 222f f π π- =- <=，当12 x π =-时，()f x 取最小值2- 所以 函数 ()f x 在区间[,]122 ππ - 上的值域为[ 2．已知函数2 π()sin sin 2f x x x x ωωω?? =+ ?? ? （0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03 ?????? ，上的取值范围． 解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-= +112cos 222 x x ωω=-+ π1sin 262x ω? ?=-+ ?? ?． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以 2π π2ω =，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262 f x x ??=- + ?? ?． 因为2π03 x ≤≤， 所以ππ7π2666 x --≤≤， 所以1πsin 2126x ??- - ?? ?≤≤， 因此π130sin 2622x ? ?- + ?? ?≤≤，即()f x 的取值范围为302?????? ，． 3. 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角. （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域. 解：（Ⅰ） 由题意得3sin cos 1,m n A A =-= 1 2sin()1,sin().662 A A ππ-=-= 由A 为锐角得 ,6 6 3 A A π π π - = = （Ⅱ） 由（Ⅰ）知1 cos ,2 A = 所以2 2 1 3()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).2 2 f x x x x s x =+=-+=--+ 因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值3 2 . 当sin 1x =-时，()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332??-???? ， 高三数学三角函数专题训练 1.为得到函数πcos 23y x ?? =+ ?? ? 的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12 个长度单位 C ．向左平移 5π6 个长度单位 D ．向右平移 5π6 个长度单位 2.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则M N 的最大值为（ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．2 3.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2倍（纵坐标不变），得到的图 象所表示的函数是( ) A .sin(2)3 y x π =-，x R ∈ B.sin( ) 2 6 x y π =+ ，x R ∈ C.s in (2)3 y x π =+，x R ∈ D.sin(2) 3 2y x π=+ ，x R ∈ 4.设5sin 7 a π=，2cos 7 b π=，2tan 7 c π=，则( ) A.c b a << B.a c b << C.a c b << D.b a c << 5.将函数sin(2)3 y x π =+ 的图象按向量α 平移后所得的图象关于点(,0) 12 π - 中 心对称，则向量α的坐标可能为（ ） A ．(,0)12π - B ．(,0)6 π - C ．( ,0)12 π D ．( ,0)6 π 6.函数2 ()sin 3sin cos f x x x x =+ 在区间 ,42ππ?? ???? 上的最大值是( ) A.1 B.13 2 + C. 3 2 D.1+ 3 7.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =( ) A.2 1 B. 2 C.2 1- D.2- 1、平面内，如图17，在□ABCD 中，10AB =，15AD =，4tan 3A =．点P 为AD 边上任意一点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转90?得到线段PQ ． （1）当10DPQ ∠=?时，求APB ∠的大小； （2）当tan :tan 3:2ABP A ∠=时，求点Q 与点B 间的距离（结果保留根号）； （3）若点Q 恰好落在□ABCD 的边所在的直线上，直接写出PB 旋转到PQ 所扫过的面积（结果保留π）． 2、如图所示，我国两艘海监船A ，B 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C ，此时，B 船在A 船的正南方向5海里处，A 船测得渔船C 在其南偏东45°方向，B 船测得渔船C 在其南偏东53°方向，已知A 船的航速为30海里/小时，B 船的航速为25海里/小时，问C 船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41） 3、如图，港口B 位于港口A 的南偏东37°方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5km 到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45°方向上，这时，E 处距离港口A 有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） B A P C D Q 备用图17 A B C D P Q 4、如图，两座建筑物的水平距离BC=30m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度． 5、一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A、B两点的距离为s米，则塔高为米． 6、如图，某小区①号楼与?号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道?号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算?号楼的高度CD． 7、某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31cm，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°． （1）求甲楼的高度及彩旗的长度；（精确到0.01m） （2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离．（精确到0.01m） （cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）三角函数和差公式练习题
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