【高考调研】2018年高中数学 第三章 不等式章末测试题(B )新人
教版必修5
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若a 、b 、c ,d ∈R ,则下面四个命题中,正确的命题是( ) A .若a >b ,c >b ,则a >c B .若a >-b ,则c -a
>bc 2
D .若a >b ,c >d ,则ac >bd
答案 B
解析 由不等式性质得B.
2.设全集为R ,集合M ={x |lg|x +1|≤0},则?R M 等于( ) A .{x |x <-2}∪{-1} B .{x |x >0}∪{-1} C .{x |x <-2}∪{x |x >0} D .{x |x <-2}∪{x |x >0}∪{-1} 答案 D
解析 此题为不等式在对数函数中的应用. 因为lg|x +1|≤0,即lg|x +1|≤lg1. 又因为lg x 为增函数,所以|x +1|≤1. 所以-1≤x +1≤1且|x +1|≠0. 所以-2≤x <-1或-1
3.设x >0,y >0,则下列不等式中等号不成立的是( ) A .x +y +
2
xy
≥4
B .(x +y )(1x +1
y
)≥4
C .(x +1x )(y +1
y
)≥4
D.x 2+3
x 2+2
≥2
答案 D
解析 由基本不等式分析,D 不具备等号成立的条件. 4.若不等式x 2
-ax +1≤0和ax 2
+x -1>0均不成立,则( ) A .a <-1
4或a ≥2
B .-1
4≤a <2
C .-2≤a <-1
4
D .-2 4 答案 D 解析 由???? ? Δ1=a 2 -4<0, a <0, Δ2=1+4a ≤0, 得??? ?? -2 即-2 4 .故选D. 5.如果集合P ={x ||x |>2},集合T ={x |3x >1},那么集合P ∩T 等于( ) A .{x |x >0} B .{x |x >2} C .{x |x <-2或x >0} D .{x |x <-2或x >2} 答案 B 解析 P 的解集为{x |x >2或x <-2},T 的解集为{x |x >0}. 6.在区间[12,2]上,函数f (x )=x 2 +bx +c (b 、c ∈R )与g (x )=x 2 +x +1x 在同一点取得 相同的最小值,那么f (x )在区间[1 2 ,2]上的最大值是( ) A.134 B .4 C .8 D.54 答案 B 解析 g (x )=x 2+x +1x =x +1+1x ,x ∈[1 2 ,2]. 当x =1时,g (x )取得最小值3,所以f (x )=(x -1)2 +3. 所以当x =2时,f (x )min =4.故选B. 7.对于定义域是R 的任何奇函数f (x )都有( ) A .f (x )-f (-x )>0 B .f (x )-f (-x )≤0 C .f (x )f (-x )≤0 D .f (x )f (-x )>0 答案 C 解析 利用f (0)=0及奇函数的定义. 8.以下四个命题中,正确的是( ) A .原点与点(2,3)在直线2x +y -3=0同侧 B .点(3,2)与点(2,3)在直线x -y =0同侧 C .原点与点(2,1)在直线y -3x +1 2=0异侧 D .原点与点(1,4)在直线y -3x +1 2 =0异侧 答案 C 解析 把点坐标代入直线方程检验符号即可. 9.不等式| ax -1 x |>a (a 是正实数)的解集是( ) A .{x |x >1 a } B .{x |x <1 2a } C .{x |12a a } D .{x |x <0或0 2a } 答案 D 解析 由|ax -1x |>a ,得ax -1x >a 或ax -1 x <-a . ∴ -1x >0或2ax -1x <0,∴x <0或0 . 10.如图,不等式y ≥|x |表示的平面区域是( ) 答案 A 解析 不等式等价于? ?? ?? x ≥0,y ≥x 或? ?? ?? x <0, y ≥-x . 11.(2018·重庆)关于x 的不等式x 2 -2ax -8a 2 <0(a >0)的解集为(x 1,x 2),且x 2-x 1=15,则a =( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A 解析 ∵由x 2 -ax -8a 2 <0(a >0), 得(x -4a )(x +2a )<0,即-2a ∴x 1=-2a ,x 2=4a .∵x 2-x 1=4a -(-2a )=6a =15, ∴a =156=5 2 .故选A 项. 12.(2018·北京)设关于x ,y 的不等式组???? ? 2x -y +1>0,x +m <0, y -m >0表示的平面区域内存在 点P (x 0,y 0),满足x 0-2y 0=2,求m 的取值范围是( ) A .(-∞,4 3) B .(-∞,1 3) C .(-∞,-2 3) D .(-∞,-5 3 ) 答案 C 解析 图中阴影部分表示可行域,要求可行域内包含y =1 2x -1上的点,只需要可行域的边界 点(-m ,m )在y =12x -1下方,也就是m <-12m -1,即m <-2 3 .故选C 项. 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中的横线上) 13.若x >0且x ≠1,p 、q ∈N +,则1+x p +q 与x p +x q 的大小关系为________. 答案 1+x p +q >x p +x q 解析 1+x p +q -x p -x q =1-x p +x q (x p -1) =(x p -1)(x q -1), ∵当x >1时,x p >1,x q >1;当0 <1,x q <1, ∴1+x p +q >x p +x q . 14.设点P (x ,y )在函数y =4-2x 的图像上运动,则9x +3y 的最小值为________. 答案 18 解析 因为P (x ,y )在y =4-2x 的图像上运动,所以2x +y =4,9x +3y ≥232x ·3y =23 2x +y =234=18.当且仅当2x =y 即x =1,y =2时取等号.所以当x =1,y =2时,9x + 3y 取得最小值18. 15.设0 的最大值是________. 答案 4 解析 因为0 =3x ·8-3x ≤ 3x +8-3x 2=8 2 =4. 当且仅当3x =8-3x 即x =4 3时,取等号. 所以当x =4 3时,f (x )=3x -3x 的最大值为4. 16.约束条件??? ?? 0≤x ≤1,0≤y ≤1, y -x ≤12表示的平面区域的面积为________. 答案 7 8 解析 如图,画出可行域, 其面积S =1-12×12×12=7 8 . 三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知全集U =R ,A ={x |-34x 2+x +1>0},B ={x |3x 2-4x +1>0},求?U (A ∩B ). 解析 A ={x |-34x 2 +x +1>0} ={x |3x 2 -4x -4<0}={x |-23 B ={x |3x 2-4x +1>0}={x |x <13 或x >1}, A ∩B ={x |-23 或1 ?U (A ∩B )={x |x ≤-23或1 3 ≤x ≤1或x ≥2}. 18.(12分)当x <32时,求函数y =x +8 2x -3的最值,并求出此时x 的值. 解析 因为x <3 2 ,所以2x -3<0. y =x + 82x -3=12(2x -3)+82x -3+32 . 因为3-2x 2+8 3-2x ≥2 3-2x 2×8 3-2x =4, 所以2x -32+82x -3≤-4. 所以y =x +82x -3≤-4+32=-52 . 当且仅当3-2x 2=83-2x ,即x =-12或x =7 2时,取等号. 因为x <32,所以x =-1 2 时等号成立. 所以当x =-12时,函数y =x +82x -3有最大值-5 2. 原函数无最小值. 19.(12分)设函数f (x )=|lg x |,若0f (b ),求证:ab <1. 证明 由已知,得f (x )=|lg x |=? ?? ?? lg x x , -lg x x , 因为0f (b ), 所以a ,b 不能同时在区间[1,+∞)上. 又由于0 若b ∈[1,+∞),由f (a )-f (b )>0,有-lg a -lg b >0. 故lg(ab )<0.所以ab <1. 20.(12分)不等式kx 2 -2x +6k <0(k ≠0). (1)若不等式的解集为{x |x <-3或x >-2},求k 的值; (2)若不等式的解集为R ,求k 的取值范围. 解析 (1)∵不等式的解为x <-3或x >-2, 所以-3,-2是方程kx 2-2x +6k =0的两根且k <0. 所以? ?? ? ? --=6,-+- =2 k . 所以k =-2 5 . (2)∵不等式的解集为R ,∴? ?? ?? k <0, Δ=4-4k ×6k <0. 即???? ? k <0,k >66 或k <-6 6,所以k <- 6 6 . 21.(12分)某人上午7时乘摩托艇以匀速v n mile/h(4 n mile/h≤v ≤20 n mi le/h)从A 港出发到距50 n mile/h 的B 港,然后乘汽车以匀速w km/h(30 km/h≤w ≤100 km/h)自B 港向距30 km 的C 市驶去,应该在同一天下午4点至9点到达C 市.设汽车、摩托艇所需要的时间分别是x h 和y h ,所需要的经费P =100+3·(5-x )+2·(8-y )元,求v 、w 分别是多少时走得最经济?此时需要花费多少元? 解析 由题意,得v =50y ,w =300 x . ∵4≤v ≤20,30≤w ≤100.∴3≤x ≤10,52≤y ≤25 2. ∴x 、y 的约束条件为??? ?? 9≤x +y ≤14, 3≤x ≤10, 52≤y ≤252 . 目标函数为P =131-3x -2y ,可行域如图考虑P =131-3x -2y ,将它变形为y =-3 2x -12P +1312,这是斜率为-32、随P 变化的一组平行直线,-12P +131 2是直线在y 轴上的截距,当直线截距最大时,P 的值最小.当然直线要与可行域相交,即在满足约束条件时目标函数 P =131-3x -2y 取得最小值. 由图可见,当直线P =131-3x -2y 经过可行域上的点A 时,截距最大,即P 最小. 解方程组??? ?? x =10,x +y =14, 得A 的坐标为(10,4). 即当v =12.5,w =30时走的最经济,此时需要花费93元. 22.(12分)某工厂有旧墙一面长14 m ,现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形,面积为126 m 2 的厂房.工程条件是:①建1 m 新墙的费用为a 元;②修1 m 旧墙的费用为a 4元; ③拆去1 m 旧墙,用所得的材料建1 m 新墙的费用为a 2 元.经过讨论有两种方案:(1)利用旧 墙的一段x m(x <14)为矩形厂房的一面边长;(2)矩形厂房的一面边长x ≥14,问如何利用旧墙即x 为多少时建墙费用最省?(1)、(2)两种方案哪种方案最好? 解析 设利用旧墙的一面矩形边长为x m ,则矩形的另一面边长为126 x . (1)利用旧墙的一段x m(x <14)为矩形的一面边长,则修旧墙的费用为x ·a 4 ,剩余的旧 墙拆得的材料建新墙的费用为(14-x )·a 2,其余的建新墙的费用为(2x +2×126 x -14)·a . 故总费用为y =a 4 x + -x a 2 +a (2x + 252 x -14) =a (7x 4+252x -7)=7a (x 4+36 x -1)(0 ∵x 4+36x ≥2x 4·36 x =6, ∴y =7a (x 4+36 x -1)≥7a (6-1)=35a . 当且仅当x 4=36 x 即x =12时,y 取最小值35a . (2)若利用旧墙的一面矩形边长为x (x ≥14),则修旧墙的费用为14·a 4=7a 2 ,建新墙的 费用为(2x +252 x -14)·a . 故总费用为y =72a +a (2x +252 x -14) =2a (x +126x )-21 2a (x ≥14). 设14≤x 1 则(x 1+126x 1)-(x 2+126x 2)=(x 1-x 2)(1-126 x 1x 2 )<0, (∵x 1x 2>196) ∴t =x +126 x 在[14,+∞)上为增函数. ∴y =2a (x +126x )-21 2 a ≥35.5a . 所以,采用第(1)种方案,利用旧墙12 m 为矩形的一面边长,使建墙费用最省,费用最小值为35a . 必修五综合测试题 一.选择题 1.已知数列{a n }中,21=a ,*11 ()2 n n a a n N +=+ ∈,则101a 的值为 ( ) A .49 B .50 C .51 D .52 2.2 1与21,两数的等比中项是( ) A .1 B .1 C . 1 D . 12 3.在三角形ABC 中,如果()()3a b c b c a bc +++-=,那么A 等于( ) A .0 30 B .0 60 C .0120 D .0 150 4.在⊿ABC 中, B C b c cos cos =,则此三角形为 ( ) A .直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D.等腰或直角三角形 5.已知n a 是等差数列,且a 2+ a 3+ a 10+ a 11=48,则a 6+ a 7= ( ) A .12 B .16 C .20 D .24 6.在各项均为正数的等比数列{}n b 中, 若783b b ?=, 则3132log log b b ++…… 314 log b +等于( ) (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D)8 7.已知数列 是等差数列,若,且它的前n 项和有最大值,则使得 的n 的最大值为 A. 11 B. 12 C. 21 D. 22 8.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48,前2n 项和为60,则前3n 项和为( ) A 、63 B 、108 C 、75 D 、83 9.数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2a n +1(n ∈N +),那么a 4的值为( ). A .4 B .8 C .15 D .31 10.已知△ABC 中,∠A =60°,a =6,b =4,那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( ). A .有一种情形 B .有两种情形 C .不可求出 D .有三种以上情形 11.已知关于x 的不等式的解集为,则 的最大值是 高一数学月考试题 一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.已知数列{a n }中,21=a ,*11()2 n n a a n N +=+∈,则101a 的值为 ( ) A .49 B .50 C .51 D .52 211,两数的等比中项是( ) A .1 B .1- C .1± D .12 3.在三角形ABC 中,如果()()3a b c b c a bc +++-=,那么A 等于( ) A .030 B .060 C .0120 D .0150 4.在⊿ABC 中,B C b c cos cos =,则此三角形为 ( ) A . 直角三角形; B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 5.已知{}n a 是等差数列,且a 2+ a 3+ a 10+ a 11=48,则a 6+ a 7= ( ) A .12 B .16 C .20 D .24 6.在各项均为正数的等比数列 {}n b 中,若783b b ?=, 则31 32log log b b ++……314log b +等于( ) (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D)8 7.已知b a ρρ,满足:a ρ=3,b ρ=2,b a ρρ+=4,则b a ρρ-=( ) A B C .3 D 10 8.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48,前2n 项和为60,则前3n 项和为( ) A 、63 B 、108 C 、75 D 、83 9.数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2a n +1(n ∈N +),那么a 4的值为( ). A .4 B .8 C .15 D .31 10.已知△ABC 中,∠A =60°,a =6,b =4,那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( ). A .有一种情形 B .有两种情形 高中数学必修5知识点总结 第一章 解三角形 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°-(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b 数学必修5试题 (满分:150分 时间:120分钟) 一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1、数列1,-3,5,-7,9,…的一个通项公式为 ( ) A .12-=n a n B.)21()1(n a n n --= C .)12()1(--=n a n n D.)12()1(+-=n a n n 2.已知{}n a 是等比数列,4 1 252==a a ,,则公比q =( ) A .2 1- B .2- C .2 D .2 1 3.已知ABC ?中,?=∠==60,3,4BAC AC AB ,则=BC ( ) A. 13 B. 13 C.5 D.10 4.在△ABC 中,若 2sin b B a =,则A 等于( ) A .006030或 B .006045或 C .0060120或 D .0015030或 5. 在ABC ?中,若cos cos a B b A =,则ABC ?的形状一定是( ) A .锐角三角形 B .钝角三角形 C .直角三角形 D .等腰三角形 6.若?ABC 中,sin A :sin B :sin C =2:3:4,那么cos C =( ) A. 14 - B. 14 C. 23 - D. 23 7.设数}{n a 是单调递增的等差数列,前三项的和为12,前三项的积为 48,则它的首项是( ) A .1 B .2 C .2± D .4 8.等差数列}{n a 和{}n b 的前n 项和分别为S n 和T n ,且 1 32+= n n T S n n , 则 5 5 b a =( ) A 32 B 149 C 3120 D 9 7 9.已知{}n a 为公比q >1的等比数列,若20052006a a 和是方程24830x x -+=的两根, 第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 知识结构梳理 几何法证明 正弦定理的证明 向量法证明 已知两角和任意一边 正弦定理正弦定理 正弦定理的两种应用 已知两边和其中一角的对角 解三角形 知识点1 正弦定理及其证明 1正弦定理: 2.正弦定理的证明: (1)向量法证明 (2)平面几何法证明 3.正弦定理的变形 知识点2 正弦定理的应用 1.利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知两角和任意一边,求其他两边和另一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而进一步求出其他的边和角。 2.应用正弦定理要注意以下三点: (1) (2) (3) 知识点3 解三角形 1.1.2余弦定理 知识点1 余弦定理 1. 余弦定理的概念 2. 余弦定理的推论 3. 余弦定理能解决的一些问题: 4. 理解应用余弦定理应注意以下四点: (1) (2) (3) (4) 知识点2 余弦定理的的证明 证法1: 证法2: 知识点3 余弦定理的简单应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角的问题: (1)已知三边求三角; (2)已知两边和它们的夹角,可以求第三边,进而求出其他角。 例1(山东高考)在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,tanC=73. (1) 求C cos ; (2) 若 =2 5 ,且a+b=9,求c. 1.2应用举例 知识点1 有关名词、术语 (1)仰角和俯角: (2)方位角: 知识点2 解三角形应用题的一般思路 (1)读懂题意,理解问题的实际背景,明确已知和所求,准确理解应用题中的有关术语、名称,如仰角、俯角、视角、方位角等,理清量与量之间的关系; (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形模型; (3)合理选择正弦定理和余弦定理求解; (4)将三角形的解还原为实际问题,注意实际问题中的单位、结果要求近似等。 1.3实习作业 实习作业的方法步骤 (1)首先要准备皮尺、测角仪器,然后选定测量的现场(或模拟现场),再收集测量数据,最后解决问题,完成实习报告。要注意测量的数据应尽量做到准确,为此可多测量几次,取平均值。要有创新意识,创造性地设计实施方案,用不同的方法收集数据,整理信息。 (2)实习作业中的选取问题,一般有:○1距离问题,如从一个可到达点到一个不可到达点之间的距离,或两个不可到达点之间的距离;②高度问题,如求有关底部不可到达的建筑物的高度问题。一般的解决方法就是运用正弦定理、余弦定理解三角形。 期末测试题 考试时间:90分钟 试卷满分:100分 一、选择题:本大题共14小题,每小题4分,共56分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在等差数列3,7,11…中,第5项为( ). A .15 B .18 C .19 D .23 2.数列{}n a 中,如果n a =3n (n =1,2,3,…) ,那么这个数列是( ). A .公差为2的等差数列 B .公差为3的等差数列 C .首项为3的等比数列 D .首项为1的等比数列 3.等差数列{a n }中,a 2+a 6=8,a 3+a 4=3,那么它的公差是( ). A .4 B .5 C .6 D .7 4.△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =3,b =4,∠C =60°, 则c 的值等于( ). A .5 B .13 C .13 D .37 5.数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2a n +1(n ∈N +),那么a 4的值为( ). A .4 B .8 C .15 D .31 6.△ABC 中,如果A a tan =B b tan =C c tan ,那么△ABC 是( ). A .直角三角形 B .等边三角形 C .等腰直角三角形 D .钝角三角形 7.如果a >b >0,t >0,设M =b a ,N =t b t a ++,那么( ). A .M >N B .M <N C .M =N D .M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8.如果{a n }为递增数列,则{a n }的通项公式可以为( ). A .a n =-2n +3 B .a n =-n 2-3n +1 C .a n = n 21 D .a n =1+log 2n 期末测试题 考试时间:90分钟 试卷满分:100分 一、选择题:本大题共14小题,每小题4分,共56分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在等差数列3,7,11,…中,第5项为( ). A .15 B .18 C .19 D .23 2.数列{a n }中,如果n a =3n (n =1,2,3,…) ,那么这个数列是( ). A .公差为2的等差数列 B .公差为3的等差数列 C .首项为3的等比数列 D .首项为1的等比数列 3.等差数列{a n }中,a 2+a 6=8,a 3+a 4=3,那么它的公差是( ). A .4 B .5 C .6 D .7 4.△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =3,b =4,∠C =60°,则c 的值等于( ). A .5 B .13 C .13 D .37 5.数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2a n +1(n ∈N +),那么a 4的值为( ). A .4 B .8 C .15 D .31 6.△ABC 中,如果A a tan =B b tan =C c tan ,那么△ABC 是( ). A .直角三角形 B .等边三角形 C .等腰直角三角形 D .钝角三角形 7.如果a >b >0,t >0,设M =b a ,N =t b t a ++,那么( ). A .M >N B .M <N C .M =N D .M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8.如果{a n }为递增数列,则{a n }的通项公式可以为( ). A .a n =-2n +3 B .a n =-n 2-3n +1 C .a n = n 21 D .a n =1+log 2 n 9.如果a <b <0,那么( ). 朝阳教育暑期辅导中心数学必修5测试题(B 卷) 考试时间:90分钟 满分:100分 出卷人:毛老师 考生姓名: 一、选择题(每小题5分,共50分) 1.在等比数列{n a }中,已知11 = 9 a ,5=9a ,则3=a ( ) A 、1 B 、3 C 、±1 D 、±3 2.在△ABC 中,若=2sin b a B ,则A 等于( ) A .006030或 B .006045或 C .0060120或 D .0 015030或 3.在△ABC 中,若SinA :SinB :SinC=5:7:8,则B 大小为( ) A 、30° B 、60° C 、90° D 、120° 4.已知点(3,1)和(- 4,6)在直线3x -2y +a =0的两侧,则a 的取值范围是( ) A. a <-7或 a >24 B. a =7 或 a =24 C. -7的解集是11 (,)23 -,则a b +的值是( )。 A. 10 B. 10- C. 14 D. 14- 8 1 1,两数的等比中项是( ) A .1 B .1- C .1± D . 12 9.设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A . 11a b < B .11 a b > C .2a b > D .22a b > 10.已知{}n a 是等差数列,且a 2+ a 3+ a 8+ a 11=48,则a 6+ a 7= ( ) A .12 B .16 C .20 D .24 二、填空题(每小题4分,共20分) 11、在△ABC 中,=2,=a c B 150°,则b = 12.等差数列{}n a 中, 259,33,a a ==则{}n a 的公差为______________。 13.等差数列{}n a 中, 26=5,=33,a a 则35a a +=_________。 高中数学必修五知识点汇总 第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理: 1.正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 步骤1. 证明:在锐角△ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA 得到b b a a s i n s i n = 同理,在△ABC 中, b b c c sin sin = 步骤2. 证明:2sin sin sin a b c R A B C === 如图,任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90° 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C. 所以C R c D sin 2sin == 故2sin sin sin a b c R A B C === 2.正弦定理的一些变式: ()sin sin sin i a b c A B C ::=::;()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =; ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===; (4)R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3.两类正弦定理解三角形的问题: (1)已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. (2)已知两边和其中一边的对角,求其他边角.(可能有一解,两解,无解) 4.在ABC ?中,已知a,b 及A 时,解得情况: 解法一:利用正弦定理计算 解法二:分析三角形解的情况,可用余弦定理做,已知a,b 和角A ,则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程:0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理: 高一数学月考试题 1.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知数列{a n }中, a 1 2 , a n 1 a n 1 2 (n N ) , 则 a 101 的值为 ( ) A .49 B .50 C .51 D .52 2. 2 + 1 与 2 - 1,两数的等比中项是( ) A .1 B . - 1 C . ± 1 D . 1 2 3.在三角形 ABC 中,如果 a b c b c a 3bc ,那么 A 等于( ) A . 30 B . 60 C .120 0 D .150 0 4.在⊿ABC 中, c cos C b cos B ,则此三角形为 ( ) A . 直角三角形; B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 5.已知 { a n } 是等差数列,且 a 2+ a 3+ a 10 + a 11 =48,则 a 6+ a 7= ( ) A .12 B .16 C .20 D .24 6.在各项均为正数的等比数列b n 中,若b 7b 83, 则 log 3 b 2 …… log 3 b 14 等于( ) (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D)8 7.已知 a , b 满足: a =3, b =2, a b =4,则 a b =( ) A . 3 B . 5 C .3 D 10 8.一个等比数列{a n } 的前 n 项和为 48,前 2n 项和为 60,则前 3n 项和为( ) A 、63 B 、108 C 、75 D 、83 9.数列{a n }满足 a 1=1,a n +1 =2a n +1(n ∈N + ),那么 a 4 的值为( ). A .4 B .8 C .15 D .31 10.已知△ABC 中,∠A =60°,a = 6 ,b =4,那么满足条件的△ABC 的形状大 小 ( ). * 0 r r r r r r r r 加油吧,少年,拼一次,无怨无悔! 高二数学必修五全套学案 §1.1.1 正弦定理 学习目标 1. 掌握正弦定理的内容; 2. 掌握正弦定理的证明方法; 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题. 学习过程 一、课前准备 试验:固定?ABC的边CB及∠B,使边AC绕着顶点C转动. 思考:∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而.能否用一个等式把这种关系精确地表示出来? 二、新课导学 ※学习探究 探究1:在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直 角三角形中,角与边的等式关系. 如图,在Rt?ABC中,设BC=a, AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义, 有 sin a A c =,sin b B c =,又sin 1c C c ==, 从而在直角三角形ABC 中,sin sin sin a b c A B C == . ( 探究2:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义, 有CD =sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = , 同理可得sin sin c b C B = , 从而sin sin a b A B = sin c C =. 类似可推出,当?ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立.请你试试导. 新知:正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的 的比相等,即 sin sin a b A B = sin c C =. 试试: (1)在ABC ?中,一定成立的等式是( ). A .sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = 人教版高中数学必修5期末测试题及其详细答案 A. 99 D. 101 D. 3 10. —个等比数列{a n }的前n 项和为48,前2n 项和为60,则前3n 项和为() 、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20 分) ?选择题 (本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1?由 a ! 1 , d 3确定的等差数列a n ,当a n 298时,序号n 等于() 2. ABC 中, 若 a 1,c 2,B 60,贝U ABC 的面积为( A. 3 B 4 C. 5 D.6 2 6.不等式ax bx c 0(a 0)的解集为R ,那么() A. a 0, B. a 0, C. a 0, 0 D. a 0, 0 x y 1 7.设x, y 满足约束条件y x ,则z 3x y 的最大值为() y 2 A . 5 B. 3 C. 7 D. -8 8.在 ABC 中,a 80,b 100, A 45 ,则此三角形解的情况是() A. 一解 B 两解 C.一解或两解 D.无解 9.在△ ABC 中,如果 sinA:sinB:sinC 2:3:4,那么 cosC 等于( ) C. 96 E. 100 3.已知x A . 5 0,函数y - x B . 4 x 的最小值是( C . D . 6 4..在数列{a .}中,6=1, a n 1 a n 2 ,则a 51 的值为( A . 99 5.在等比数列中, B . 49 1 2 a 1 D . 101 C. 102 丄,a n 丄,贝U 项数n 为( 2 32 2 A.- 3 2 B.-- 3 C. -1 1 D.- 4 A 、63 B 108 C 、75 D 、83 课题: §1.1.1正弦定理 授课类型:新授课 ●教学目标 知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1.1-1,固定?ABC 的边CB 及∠B ,使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来? C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1.1-1) 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图1.1-2,在Rt ?ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定 义 , 有 sin a A =, sin b B =,又s i n 1 c C == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中, sin sin sin a b c = = C a B (图1.1-2) 思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (由学生讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图1.1-3,当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义,有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = , C 同理可得sin sin c b C B = , b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B 高中数学必修5复习题及答案 一、选择题(每小题5分,共50分) 1.在△ABC 中,若a = 2 ,b =,030A = , 则B 等于(B ) A .60o B .60o 或 120o C .30o D .30o 或150o 2.在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中,x 等于(C ) A .11 B .12 C .13 D .14 3.等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为( B ) A . 81 B .120 C .168 D .192 4.已知{a n }是等差数列,且a 2+ a 3+ a 8+ a 11=48,则a 6+ a 7= ( D ) A .12 B .16 C .20 D .24 5.等差数列{}n a 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和是( C ) A.130 B.170 C.210 D.260 6.已知等比数列{}n a 的公比1 3 q =-,则 1357 2468 a a a a a a a a ++++++等于( B ) A.13- B.3- C.1 3 D.3 7.设b a >,d c >,则下列不等式成立的是( D )。 A.d b c a ->- B.bd ac > C.b d c a > D.c a d b +<+ 8.如果方程02)1(2 2=-+-+m x m x 的两个实根一个小于?1,另一个大于1,那么实数 m 的取值范围是( D ) A .)22(,- B .(-2,0) C .(-2,1) D .(0,1) 9.已知点(3,1)和(- 4,6)在直线3x -2y +a =0的两侧,则a 的取值范围是( C ) A. a <-7或 a >24 B. a =7 或 a =24 C. -7++bx ax 的解集是?? ? ??-31,21,则b a +的值为-14。 14.已知等比数列{a n }中,a 1+a 2=9,a 1a 2a 3=27,则{a n }的前n 项和 ???? ??? ???? ??-=n n S 21112 。 必修五阶段测试四(本册综合测试 ) 时间: 120 分钟满分: 150 分 一、选择题 (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共60 分 ) 3x-1 ≥ 1 的解集是 () 1.不等式2-x 3 ≤ x≤23 ≤ x<2 C. x 3 D .{ x|x<2} A. x 4 B. x 4x>2或 x≤4 2. (2017 存·瑞中学质检 )△ ABC 中, a= 1, B= 45°, S△ABC=2,则△ ABC 外接圆的直径为 () A .4 3 B .5C. 5 2D. 6 2 3.若 a<0 ,则关于 x 的不等式 22 ) x - 4ax-5a>0 的解为 ( A .x>5a 或 x<- a B.x>- a 或 x<5a C.- a 必修5 第一章 解三角形 一、正弦定理 1.定理 2.sin sin sin a b c R A B C === 其中a ,b ,c 为一个三角形的三边,A ,B ,C 为其对角,R 为外接圆半径. 变式:a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C 二、余弦定理 1.定理 a 2= b 2+ c 2-2bc cos A 、b 2=a 2+c 2-2ac cos B 、c 2=a 2+b 2-2ab cos C 变形:222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222 cos 2a b c C ab +-= 2.可解决的问题 ①已知三边,解三角形; ②已知两边及其夹角,解三角形; ③已知两边及一边的对角,求第三边. 三、三角形面积公式 (1)111 222 a b c S ah bh ch ?===. 其中h a ,h b ,h c 为a ,b ,c 三边对应的高. (3)如果一个数列已给出前几项,并给出后面任一项与前面的项之间关系式,这种给出数列的方法叫做递推法,其中的关系式称为递推公式. (4)一个重要公式:对任何数列,总有 111, (2). n n n a S a S S n -??? ??==-≥ 注:数列是特殊的函数,要注意数列与函数问题之间的相互转化. 二、等差数列 (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做数列的公差. (2)递推公式:a n +1=a n +d . (3)通项公式:a n =a 1+(n -1)d . (4)求和公式:11()(1).22 n n n a a n n S na d +-==+ (5)性质: 期末测试题 考试时间:90分钟 试卷满分:100分 一、选择题:本大题共14小题,每小题4分,共56分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在等差数列3,7,11,…中,第5项为( ). A .15 B .18 C .19 D .23 2.数列{a n }中,如果n a =3n (n =1,2,3,…) ,那么这个数列是( ). A .公差为2的等差数列 B .公差为3的等差数列 C .首项为3的等比数列 D .首项为1的等比数列 3.等差数列{a n }中,a 2+a 6=8,a 3+a 4=3,那么它的公差是( ). A .4 B .5 C .6 D .7 * 4.△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =3,b =4,∠C =60°, 则c 的值等于( ). A .5 B .13 C .13 D .37 5.数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2a n +1(n ∈N +),那么a 4的值为( ). A .4 B .8 C .15 D .31 6.△ABC 中,如果A a tan =B b tan =C c tan ,那么△ABC 是( ). A .直角三角形 B .等边三角形 C .等腰直角三角形 D .钝角三角形 7.如果a >b >0,t >0,设M =b a ,N =t b t a ++,那么( ). A .M >N B .M <N C .M =N D .M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 | 8.如果{a n }为递增数列,则{a n }的通项公式可以为( ). A .a n =-2n +3 B .a n =-n 2-3n +1 必修五·数学试卷Ⅳ Ⅰ、选择题 一、选择题 1、在ABC V 中,若 sin cos A B a b = ,则角B 等于 ( ) A 、30? B 、45? C 、60? D 、90? 2、在ABC V 中,10,30a c A ===?,则角B 等于 ( ) A 、105? B 、60? C 、15? D 、105?或15? 3、已知一个锐角三角形的三边边长分别为3,4,a ,则a 的取值范围 ( ) A 、(1,5) B 、(1,7) C 、 ) D 、 ) 4、ABC V 中,若 1cos 1cos A a B b -=-,则ABC V 一定是 ( ) A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、钝角三角形 5、在等差数列{} n a 中,若34567450a a a a a ++++=,则28a a +等于 ( ) A 、45 B 、75 C 、180 D 、300 6、设等差数列{} n a 的前n 项和为n S ,且2 11210,38m m m n a a a S -+-+-==,则m 等于 ( ) A 、38 B 、20 C 、10 D 、9 7、若数列{} n a 的通项公式为n a = ,且9m S =,则m 等于 ( ) A 、9 B 、10 C 、99 D 、100 8、已知{} n a 为等差数列,135105a a a ++=,34699a a a ++=,用n S 表示{} n a 的前n 项和,则使n S 达到最大值的n 是 ( ) A 、21 B 、20 C 、19 D 、18 9、若关于x 的不等式2 20ax bx ++>的解集为1 12 3x x ?? - <?? ? ,则a b -的值是 ( ) A 、-10 B 、-14 C 、10 D 、14 10、以原点为圆心的圆全部都在平面区域360 20x y x y -+≥?? -+≥? 内,则圆面积的最大值为 ( ) A 、 185π B 、95 π C 、2π D 、π 11、已知0a b <<,且1a b +=,则下列不等式中,正确的是 ( ) A 、2log 0a > B 、12 a b a -< C 、22log log 2a b +<- D 、12a b b a a +> 12、已知集合{} 22 40,1M x x N x x ??=->=??? , 则M N I 等于 ( ) A 、{} 2x x > B 、{} 2x x <- C 、N D 、M Ⅱ、非选择题 二、填空题 13、ABC V 的三个内角之比为1:2:3,则这个三角形的三边之比为 . 14.已知数列{} n a 的前n 项和为2 31n S n n =++,则它的通项公式为 . 15、设等差数列{} n a 的前n 项和为n S ,且53655S S -=,则4a = . 16、已知函数16 ,(2,)2 y x x x =+∈-+∞+,则此函数的最小值为 . 三、解答题 17、在ABC V 中,已知a =2,150c B ==?,求边b 的长及ABC V 的面积S . 18、在ABC V 中,sin b a C =且sin(90)c a B =?-,试判断ABC V 的形状. 编者:大成 审核:程倩 一、选择题(每小题5分,共60分) 1.在△ABC 中,若a = 2 ,b =,30A = , 则B 等于( ) A .60 B .60或 120 C .30 D .30或 150 2.在等比数列{n a }中,已知9 1 1= a ,95=a ,则=3a ( ) A .1 B .3 C . 1± D .±3 3.等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为( ) A . 81 B .120 C .168 D .192 4.已知{a n }是等差数列,且a 2+ a 3+ a 8+ a 11=48,则a 6+ a 7= ( ) A .12 B .16 C .20 D .24 5.等差数列{}n a 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和是( ) .170 C 6.已知等比数列{}n a 的公比13 q =-,则 1357 2468 a a a a a a a a ++++++等于( ) A.13- B.3- C.1 3 D.3 7.设b a >,d c >,则下列不等式成立的是( )。 A.d b c a ->- B.bd ac > C.b d c a > D.c a d b +<+ 8.如果方程02)1(2 2=-+-+m x m x 的两个实根一个小于?1,另一个大于1,那么实数 m 的取值范围是( ) A .)22(,- B .(-2,0) C .(-2,1) D .(0,1) 9.已知点(3,1)和(- 4,6)在直线3x -2y +a =0的两侧,则a 的取值范围是( ) A. a <-7或 a >24 B. a =7 或 a =24 C. -7},B ={x |2 340x x -->},且A B = R ,则实数a 的取值范围( ) A. 4a ≥ B.4a ≥- C. 4a ≤ D. 14a ≤≤ 11.设,x y 满足约束条件360x y --≤,20x y -+≥,0,0x y ≥≥,若目标函数 (0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12则23 a b +的最小值为( ) A. 256 B.256 C.6 D. 5 12.有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产地以相同的价格购进粮食,他们共购进粮食两次,各次的粮食价格不同,甲每次购粮10000千克,乙每次购粮食10000元,在两次统计中,购粮的平均价格较低的是( ) A.甲 B.乙 C.一样低 D.不确定 二、填空题(每小题4分,共16分) 13.在ABC ?中, 若2 1 cos ,3- ==A a ,则ABC ?的外接圆的半径为 _____. 14.在△ABC 中,若=++=A c bc b a 则,2 22 _________。 15.若不等式022 >++bx ax 的解集是?? ? ??-31,21,则b a +的值为________。 16.已知等比数列{a n }中,a 1+a 2=9,a 1a 2a 3=27,则{a n }的前n 项和 S n = ___________ 。 三、解答题 17.(12分)在△ABC 中,求证:)cos cos (a A b B c a b b a -=- 18.(12分)在△ABC 中,0120,ABC A a S ===c b ,. 19.(12分)21.某种汽车购买时费用为16.9万元,每年应交付保险费及汽油费共1万元;汽车 数学必修5试题 一、选择题(每小题5分,共50分) 1.已知数列{a n }中,21=a ,*11 ()2 n n a a n N +=+ ∈,则101a 的值为 ( ) A .49 B .50 C .51 D .52 2.在△ABC 中,若a = 2 ,23b =,0 30A = , 则B 等于 ( ) A .60 B .60 或 120 C .30 D .30 或150 3.在三角形ABC 中,如果()()3a b c b c a bc +++-=,那么A 等于 ( ) A .030 B .060 C .0120 D .0150 4.设{a n }是由正数组成的等比数列,且a 5a 6=81,log 3a 1+ log 3a 2+…+ log 3a 10的值是( ) A .5 B .10; C .20 D .2或4 5.已知0x >,函数4 y x x = +的最小值是 ( ) A .5 B .4 C .8 D .6 6.已知等差数列{a n }的公差d≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 ( ) A . 34 B .23 C .32 D .43 7.在⊿ABC 中,B C b c cos cos =,则此三角形为 ( ) A . 直角三角形; B. 等腰直角三角形 C 。 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 8.已知数列}{n a 的前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=+n S n n , 则312215S S S -+的值是( ) A. -76 B. 76 C. 46 D. 13 9.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤?? ≤??≥-? ,则3z x y =+的最大值为 ( ) A . 5 B. 3 C. 7 D. -8 10.等差数列{a n }中,a 1=-5,它的前11项的平均值是5,若从中抽取1项,余下10项 的平均值是4,则抽取的是 ( ) A .a 8 B .a 9 C .a 10 D .a 11 二、填空题( 每小题5分,共20分 ) 11.已知等差数列{a n }满足56a a +=28,则其前10项之和为 . 12.数列{}n a 满足12a =,11 2n n n a a --= ,则n a = ;高中数学必修五测试题
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